函数、极限、连续与导数练习题
经济数学第一章练习题
经济数学第一章练习题一、函数与极限1. 判断下列函数的单调性：(1) f(x) = 2x + 3(2) f(x) = x^2 + 4x + 1(3) f(x) = e^x 2x2. 求下列极限：(1) lim(x→0) (sin x / x)(2) lim(x→1) (x^2 1) / (x 1)(3) lim(x→+∞) (1 + 1/x)^x3. 讨论下列函数在指定区间内的连续性：(1) f(x) = |x|，区间为[1, 1](2) f(x) = sqrt(4 x^2)，区间为[2, 2]二、导数与微分1. 求下列函数的导数：(1) f(x) = 3x^2 2x + 1(2) f(x) = ln(x + 1)(3) f(x) = e^x sin x2. 计算下列函数的微分：(1) f(x) = x^3 2x^2 + 3x 4(2) f(x) = arcsin(x/2)3. 求下列隐函数的导数：(1) y = e^(x + y)(2) x^2 + y^2 = 4三、高阶导数与微分方程1. 求下列函数的二阶导数：(1) f(x) = x^4 3x^3 + 2x^2(2) f(x) = ln(x^2 + 1)2. 求下列微分方程的通解：(1) y' + y = x(2) y'' 2y' + y = e^x3. 求下列微分方程的特解：(1) y' = 2x + y，初始条件为y(0) = 1(2) y'' + y = sin x，初始条件为y(0) = 0，y'(0) = 1四、泰勒公式与应用1. 将下列函数在指定点处展开成泰勒级数：(1) f(x) = e^x，展开点为x = 0(2) f(x) = sin x，展开点为x = π/22. 利用泰勒公式求下列极限：(1) lim(x→0) (1 cos x) / x^2(2) lim(x→0) (e^(x^2) 1 x^2) / x^43. 计算下列函数的近似值：(1) f(x) = sqrt(1 + x)，当x = 0.01时(2) f(x) = ln(1 + x)，当x = 0.1时五、多元函数微分法1. 计算下列多元函数的偏导数：(1) z = x^2 + y^2，对x和y求偏导数(2) u = sin(xy) + e^z，对x、y和z求偏导数2. 求下列函数的全微分：(1) z = x^2y + y^2x(2) u = ln(xyz)3. 验证下列函数是否满足拉格朗日中值定理：(1) f(x, y) = x^2 + y^2，在直线y = x上(2) f(x, y) = e^(x^2 + y^2)，在圆x^2 + y^2 = 1上六、极值与条件极值1. 求下列函数的极值：(1) f(x) = x^3 3x^2 + 2(2) f(x, y) = x^2 + y^2 2x 4y + 52. 求下列函数在给定区间上的最大值和最小值：(1) f(x) = x^2 + 4x，区间为[0, 3](2) f(x, y) = x^2 + y^2，在圆x^2 + y^2 = 4内3. 求下列条件极值问题：(1) max f(x, y) = x + y，约束条件为x^2 + y^2 = 1(2) min f(x, y, z) = x + y + z，约束条件为x^2 + y^2 + z^2 = 4，x + y + z = 1七、积分与定积分的应用1. 计算下列不定积分：(1) ∫(3x^2 2x + 1)dx(2) ∫(e^x sin x)dx2. 计算下列定积分：(1) ∫_{0}^{1} (x^2 + 1)dx(2) ∫_{π/2}^{π/2} (cos x)dx3. 利用定积分求解下列实际问题：(1) 计算由曲线y = x^2与直线x = 1，y = 0围成的平面图形的面积(2) 计算由曲线y = e^x，直线x = 0，y = e及y轴围成的平面图形的体积八、多元积分1. 计算下列二重积分：(1) ∬_D (x^2 + y^2)dxdy，其中D为圆x^2 + y^2 ≤ 1(2) ∬_D (e^(x + y))dxdy，其中D为矩形区域0 ≤ x ≤ 1，0 ≤ y ≤ 22. 计算下列三重积分：(1) ∭_E (x + y + z)dV，其中E为长方体0 ≤ x ≤ 1，0 ≤ y ≤ 2，0 ≤ z ≤ 3(2) ∭_E (xyz)dV，其中E为球体x^2 + y^2 + z^2 ≤ 13. 利用二重积分求解下列实际问题：(1) 计算由抛物线y = x^2与直线x = 1，y = 0围成的平面图形绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积(2) 计算由曲面z = x^2 + y^2与平面z = 4围成的立体图形的体积答案一、函数与极限1. (1) 单调递增(2) 单调递减(3) 单调递增2. (1) 1(2) 2(3) e3. (1) 在[1, 1]上连续(2) 在[2, 2]上连续，但在x = ±2处不连续二、导数与微分1. (1) f'(x) = 6x 2(2) f'(x) = 1 / (x + 1)(3) f'(x) = e^x sin x + e^x cos x2. (1) df(x) = (6x^2 4x + 3)dx(2) df(x) = (1 / sqrt(1 (x/2)^2))dx3. (1) y' = (e^(x + y) y') / e^(x + y)(2) y' = x / y三、高阶导数与微分方程1. (1) f''(x) = 12x^2 12x(2) f''(x) = 2 / (x^2 + 1)^22. (1) y = C e^(x) + x(2) y = C1 e^x + C2 e^(x)3. (1) y = x + 1(2) y = (1/2) sin x (1/2) cos x四、泰勒公式与应用1. (1) e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! +(2) sin x = 1 (x π/2)^2/2! + (x π/2)^4/4!2. (1) 1/2(2) 1/23. (1) f(0.01) ≈ 1.005(2) f(0.1) ≈ 0.09516五、多元函数微分法1. (1) ∂z/∂x = 2x，∂z/∂y = 2y(2) ∂u/∂x = y cos(xy)，∂u/∂y = x cos(xy)，∂u/∂z = e^z2. (1) dz = (2xy + y^2)dx + (x^2 + 2xy)dy(2) du = (1/x + 1/y + 1/z)dx + (1/x + 1/y + 1/z)dy + (1/x + 1/y + 1/z)dz3. (1) 满足(2) 满足六、极值与条件极值1. (1) 极大值f(1) = 0，极小值f(2/3) = 4/27(2) 极小值f(1, 2) = 52. (1) 最大值f(3) = 3，最小值f(1) = 1(2) 最大值f(0, 2) = 4，最小值f(0, 2) = 03. (1) 最大值f(√2/2, √2/2)= √2(2) 最小值f(1, 0, 0) = 1七、积分与定积分的应用1. (1) (x^3 x^2 + x) + C(2) (e^x + cos x) + C2. (1) 5/3(2) 23. (1) 1/3 π(2) (e^2 e)π八、多元积分1. (1) π(2) e^2 12. (1) 3(2) 0（因为积分区域关于y轴对称，被积函数关于x为奇函数）3. (1) (2/3)π(2) (π/6)。
微积分复习题集带参考答案(二)
微积分习题集带参考答案综合练习题1（函数、极限与连续部分）1．填空题 （1）函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域是 ． 答案：2>x 且3≠x .（2）函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是 ．答案：]2,1()1,2(-⋃--（3）函数74)2(2++=+x x x f ，则=)(x f ． 答案：3)(2+=x x f（4）若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=0,0,13sin )(x k x xx x f 在0=x 处连续，则=k ．答案：1=k （5）函数x x x f 2)1(2-=-，则=)(x f ．答案：1)(2-=x x f（6）函数1322+--=x x x y 的间断点是 ．答案：1-=x（7）=∞→xx x 1sin lim ．答案：1（8）若2sin 4sin lim 0=→kxxx ，则=k ．答案：2=k2．单项选择题（1）设函数2e e xx y +=-，则该函数是（ ）．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数 答案：B（2）下列函数中为奇函数是（）．A ．x x sinB ．2e e x x +- C ．)1ln(2x x ++ D ．2x x +答案：C（3）函数)5ln(4+++=x x xy 的定义域为（ ）． A ．5->x B ．4-≠x C ．5->x 且0≠x D ．5->x 且4-≠x答案：D（4）设1)1(2-=+x x f ，则=)(x f （ ） A ．)1(+x x B ．2xC ．)2(-x xD ．)1)(2(-+x x 答案：C（5）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,2)(x k x e x f x 在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：D（6）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．1- 答案：B （7）函数233)(2+--=x x x x f 的间断点是（ ） A ．2,1==x xB ．3=xC ．3,2,1===x x xD ．无间断点 答案：A 3．计算题（1）423lim 222-+-→x x x x ． 解：4121lim )2)(2()1)(2(lim 423lim 22222=+-=+---=-+-→→→x x x x x x x x x x x x （2）329lim 223---→x x x x解：234613lim )1)(3()3)(3(lim 329lim 33223==++=+-+-=---→→→x x x x x x x x x x x x （3）4586lim 224+-+-→x x x x x解：3212lim )1)(4()2)(4(lim 4586lim 44224=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x综合练习题2（导数与微分部分）1．填空题 （1）曲线1)(+=x x f 在)2,1(点的切斜率是 ．答案：21 （2）曲线xx f e )(=在)1,0(点的切线方程是 ． 答案：1+=x y（3）已知xx x f 3)(3+=，则)3(f '= ． 答案：3ln 33)(2x x x f +=')3(f '=27（)3ln 1+（4）已知x x f ln )(=，则)(x f ''= ． 答案：x x f 1)(='，)(x f ''=21x- （5）若xx x f -=e )(，则='')0(f．答案：xx x x f --+-=''e e 2)(='')0(f 2-2.单项选择题 （1）若x x f xcos e)(-=，则)0(f '=（ ）．A. 2B. 1C. -1D. -2 因)(cos e cos )e ()cos e()('+'='='---x x x x f x x x)sin (cos e sin e cos e x x x x x x x +-=--=---所以)0(f '1)0sin 0(cos e 0-=+-=- 答案：C （2）设，则（ ）． A ． B ．C ．D ．答案：B（3）设)(x f y =是可微函数，则=)2(cos d x f （ ）． A ．x x f d )2(cos 2' B ．x x x f d22sin )2(cos 'C ．x x x f d 2sin )2(cos 2'D ．x x x f d22sin )2(cos '- 答案：D（4）若3sin )(a x x f +=，其中a 是常数，则='')(x f （ ）．A ．23cos a x + B ．a x 6sin + C ．x sin - D ．x cos 答案：C3．计算题（1）设xx y 12e =，求y '．解： )1(e e 22121xx x y xx -+=')12(e 1-=x x（2）设x x y 3cos 4sin +=，求y '.解：)sin (cos 34cos 42x x x y -+='x x x 2cos sin 34cos 4-=（3）设xy x 2e 1+=+，求y '. 解：2121(21exx y x -+='+ （4）设x x x y cos ln +=，求y '.解：)sin (cos 12321x x x y -+=' x x tan 2321-= 综合练习题3（导数应用部分）1．填空题 （1）函数的单调增加区间是 ．答案：),1(+∞（2）函数1)(2+=ax x f 在区间),0(∞+内单调增加，则a 应满足 ． 答案：0>a2．单项选择题（1）函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是（ ）A ．单调增加B ．单调减少C ．先增后减D ．先减后增 答案：D（2）满足方程0)(='x f 的点一定是函数)(x f y =的（ ）. A ．极值点 B ．最值点 C ．驻点 D ． 间断点 答案：C（3）下列结论中（ ）不正确． A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微. B ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导. C ．可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D ．函数的极值点一定发生在不可导点上. 答案： B（4）下列函数在指定区间上单调增加的是（ ）．A ．x sinB ．xe C ．2x D ．x -3答案：B3．应用题（以几何应用为主）（1）欲做一个底为正方形，容积为108m 3的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底边的边长为x m ，高为h m ，容器的表面积为y m 2。
高三数学第2、3章《极限》《导数》测试及答案
高三数学第2、3章《极限》《导数》测试及答案一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项正确 1．（理）若复数z 满足方程022=+z ，则=3z（ ）A ．22±B ． 22-C ．i 22-D ． i 22±(文)曲线y=4x －x 3在点(－1,－3)处的切线方程是（ ）A ． y=7x+4B ． y=7x+2C ． y=x －4D ． y=x －22．函数y=x 2(－21≤x ≤21)图像上一点P,以点P 为切点的切线为直线l,则直线l 的倾斜角的范围是（ ）A ．［0,4π］∪［43π,π］B ．［0,π］C ．［4π,43π］D ．［0,4π］∪(2π,43π) 3．（理）若2lim →x 434222=--+x ax x ,则a 的值为（ ）A ．0B ．1C ．－1D ．21（文）在曲线y=x 2+1的图像上取一点（1,2）及邻近一点（1+Δx ,2+Δy ）,则yx∆∆为（ ） A ．Δx+x∆1+2 B ．Δx －x ∆1－2 C ．Δx+2D ．2+Δx －x ∆14．曲线y=51x 5+3x 2+4x 在x =－1处的切线的倾斜角是（ ）A ．－4πB ．4πC ．43πD ．45π5．函数f(x)=x 3－ax 2－bx+a 2在x=1时,有极值10,则a 、b 的值为（ ）A ．⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧-==1143,3b a b a 或 B ．⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=-=1141,4b -a b a 或 C ．⎩⎨⎧=-=51b aD ．以上皆错6．（理）已知()23,12,1x x f x x +≠⎧=⎨=⎩，下面结论正确的是（ ）A ．()f x 在1x =处连续B ．()5f x =C ．()1lim 2x f x -→= D ．()1lim 5x f x +→=（文）设f （x ）=a x 3+3x 2+2,若f ′（－1）=4,则a 的值等于A ．319B ．316 C ．313 D ．3107．函数f(x )=x 3－3x +1,x ∈［－3,0］的最大值、最小值分别是（ ）A ．1,－1B ．1,－17C ．3, －17D ．9,－198．（理）数列{a n }中，a 1=1,S n 是前n 项和.当n ≥2时，a n =3S n ,则∞→n lim311-++n n S S 的值是（ ）A ．－31B ．－2C ．1D ．－54（文）曲线y=x 3－3x 2+1在点（1，－1）处的切线方程为（ ）A ．y=3x －4B ．y=－3x+2C ．y=－4x+3D ．y=4x －5 9．（理）2+23i 的平方根是（ ）A ．3+iB ．3±iC ．±3+iD ．±(3+i)（文）已知f （x ）=2x 3－6x 2+m （m 为常数）在［－2，2］上有最大值3，那么此函数在［－2，2］上的最小值是（ ）A ．－37B ．－29C ．－5D ．以上都不对10．已知函数)(x f x y '=的图像如右图所示（其中 )(x f '是函数)(x f 的导函数），下面四个图像中)(x f y =的图像大致是11．设f(x)、g(x)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,当x ＜0时,)()()()(x g x f x g x f '-' ＞0.且g(3)=0.则不等式f(x)g(x)＜0的解集是（ ）A ．（－3,0)∪(3,+∞)B ．(－3,0)∪(0, 3)C ．(－∞,- 3)∪(3,+∞)D ．(－∞,－ 3)∪(0, 3)12．已知两点O （0,0），Q （a ,b ）,点P 1是线段OQ 的中点，点P 2是线段QP 1的中点，P 3是线段P 1P 2的中点，┅，2+n P 是线段n P 1+n P 的中点，则点n P 的极限位置应是（ ） A ．（2a ,2b） B ．(3,3b a ) C ．(32,32b a ) D ． (43,43ba )二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上)13．垂直于直线2x －6y+1=0且与曲线y=x 3+3x 2－1相切的直线方程的一般式是__________.14．(理) （2006年安徽卷）设常数0a >，42ax ⎛ ⎝展开式中3x 的系数为32，则2lim()n n a a a →∞++⋅⋅⋅+=_____.(文)(2006福建高考)已知直线10x y --=与抛物线2y ax =相切，则______.a = 15．函数f(x)=2x 3+3x 2－12x －5,则函数f(x)的单调增区间是______. 16．（理）用数学归纳法证)"(212111211214131211"*N n nn n n n ∈+++++=--++-+- 的过程中，当n=k 到n=k+1时，左边所增加的项为_______________.（文）若函数f （x ）=x 3+x 2+mx+1是R 上的单调递增函数，则m 的取值范围是______________．三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（本小题满分12分）（理）设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<≤-+-<≤<=)3(4)31(24)10()0(0)(2x xx x x x x x x f（1）画出函数的图像；（2）在x=0，x=3处函数)(x f 是否连续； （3）求函数)(x f 的连续区间. （文）已知函数ax ax x f 313)(23-+-=. （1）讨论函数)(x f 的单调性；（2）若曲线)(x f y =上两点A 、B 处的切线都与y 轴垂直，且线段AB 与x 轴有公共点，求实数a 的取值范围.18．（本题满分12分）（理）已知复数z 1=cosθ－i ，z 2=sinθ+i ，求| z 1·z 2|的最大值和最小值.（文）(2006福建高考)已知()f x 是二次函数，不等式()0f x <的解集是(0,5),且()f x 在区间[]1,4-上的最大值是12。
高等数学作业题及参考答案
高等数学作业题（一）第一章 函数1、填空题（1）函数1142-+-=x x y 的定义域是 2、选择题(1)下列函数是初等函数的是（ ）。
A.3sin -=x y B.1sin -=x y C.⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=1,01,112x x x x yD. ⎩⎨⎧≥<+=0,0,1x x x x y (2)xy 1sin =在定义域内是（ ）。
A. 单调函数 B. 周期函数 C. 无界函数 D. 有界函数3、求函数2)1ln(++-=x x y 的定义域4、设,1)(2+-=x x x f 计算xf x f ∆-∆+)2()2(5、要做一个容积为250立方米的无盖圆柱体蓄水池，已知池底单位造价为池壁单位造价的两倍，设池底单位造价为a 元，试将总造价表示为底半径的函数。
6、把一个圆形铁片，自中心处剪去中心角为α的一扇形后，围成一个无底圆锥，试将此圆锥体积表达成α的函数。
第二章 极限与连续1、填空题（1）32+=x y 的间断点是 （2）0=x 是函数x x y +=1的第 类间断点。
（3）若极限a x f x =∞→)(lim 存在，则称直线a y =为曲线=y ()x f 的 渐近线。
（4）有界函数与无穷小的乘积是（5）当0→x ，函数x 3sin 与x 是 无穷小。
（6）xx x 1)21(lim 0+→= （7）若一个数列{}n x ，当n 时，无限接近于某一个常数a ，则称a 为数列{}n x 的极限。
（8）若存在实数0>M ，使得对于任何的R x ∈，都有()M x f <，且()0lim 0=→x g x ， 则()()=→x g x f x 0lim （9）设x y 3sin =，则=''y(10) x x x)211(lim -∞→=2、选择题（1）xx x sin lim 0→的值为（ ）。
A.1 B.∞ C.不存在 D.0 （2）当x →0时，与3100x x +等价的无穷小量是( )。
微积分综合练习题与参考答案完美版
微积分综合练习题与参考答案完美版综合练习题1（函数、极限与连续部分）1．填空题（1）函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域是 ． 答案：2>x 且3≠x .（2）函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是 ．答案：]2,1()1,2(-⋃--（3）函数74)2(2++=+x x x f ，则=)(x f． 答案：3)(2+=x x f（4）若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=0,0,13sin )(x k x xx x f 在0=x 处连续，则=k ．答案：1=k（5）函数x x x f 2)1(2-=-，则=)(x f ．答案：1)(2-=x x f（6）函数1322+--=x x x y 的间断点是 ．答案：1-=x（7）=∞→xx x 1sin lim ．答案：1（8）若2sin 4sin lim0=→kxxx ，则=k ．答案：2=k 2．单项选择题（1）设函数2e e xx y +=-，则该函数是（ ）．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数 答案：B（2）下列函数中为奇函数是（）．A ．x x sinB ．2e e x x +- C ．)1ln(2x x ++ D ．2x x +答案：C（3）函数)5ln(4+++=x x xy 的定义域为（ ）． A ．5->x B ．4-≠x C ．5->x 且0≠x D ．5->x 且4-≠x答案：D（4）设1)1(2-=+x x f ，则=)(x f （ ）A ．)1(+x xB ．2x C ．)2(-x x D ．)1)(2(-+x x 答案：C（5）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,2)(x k x e x f x 在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：D（6）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．1- 答案：B （7）函数233)(2+--=x x x x f 的间断点是（ ）A ．2,1==x xB ．3=xC ．3,2,1===x x xD ．无间断点 答案：A 3．计算题（1）423lim 222-+-→x x x x ． 解：4121lim )2)(2()1)(2(lim 423lim 22222=+-=+---=-+-→→→x x x x x x x x x x x x （2）329lim 223---→x x x x解：234613lim )1)(3()3)(3(lim 329lim 33223==++=+-+-=---→→→x x x x x x x x x x x x（3）4586lim 224+-+-→x x x x x解：3212lim )1)(4()2)(4(lim 4586lim 44224=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x综合练习题2（导数与微分部分）1．填空题 （1）曲线1)(+=x x f 在)2,1(点的切斜率是 ．答案：21 （2）曲线x x f e )(=在)1,0(点的切线方程是 ． 答案：1+=x y（3）已知x x x f 3)(3+=，则)3(f '= ． 答案：3ln 33)(2x x x f +=')3(f '=27（)3ln 1+（4）已知x x f ln )(=，则)(x f ''= ． 答案：x x f 1)(='，)(x f ''=21x- （5）若x x x f -=e )(，则='')0(f．答案：x xx x f --+-=''e e2)(='')0(f 2-（1）若x x f xcos e)(-=，则)0(f '=（ ）．A. 2B. 1C. -1D. -2 因)(cos e cos )e ()cos e()('+'='='---x x x x f x x x)sin (cos e sin e cos e x x x x x x x +-=--=---所以)0(f '1)0sin 0(cos e 0-=+-=-答案：C（2）设y x =lg2，则d y =（ ）． A ．12d x x B ．1d x x ln10 C ．ln10x x d D ．1d xx 答案：B（3）设)(x f y =是可微函数，则=)2(cos d x f （ ）．A ．x x f d )2(cos 2'B ．x x x f d22sin )2(cos 'C ．x x x f d 2sin )2(cos 2'D ．x x x f d22sin )2(cos '- 答案：D（4）若3sin )(a x x f +=，其中a 是常数，则='')(x f （ ）．A ．23cos a x +B ．a x 6sin +C ．x sin -D ．x cos 答案：C3．计算题（1）设xx y 12e =，求y '．解： )1(e e 22121xx x y xx -+=')12(e 1-=x x（2）设x x y 3cos 4sin +=，求y '.解：)sin (cos 34cos 42x x x y -+='x x x 2cos sin 34cos 4-=（3）设xy x 2e 1+=+，求y '. 解：2121(21exx y x -+='+ （4）设x x x y cos ln +=，求y '.解：)sin (cos 12321x x x y -+=' x x tan 2321-=综合练习题3（导数应用部分）1．填空题（1）函数y x =-312()的单调增加区间是 ． 答案：),1(+∞（2）函数1)(2+=ax x f 在区间),0(∞+内单调增加，则a 应满足 ． 答案：0>a2．单项选择题（1）函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是（ ） A ．单调增加 B ．单调减少 C ．先增后减 D ．先减后增 答案：D（2）满足方程0)(='x f 的点一定是函数)(x f y =的（ ）. A ．极值点 B ．最值点 C ．驻点 D ． 间断点 答案：C（3）下列结论中（ ）不正确． A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微. B ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导. C ．可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D ．函数的极值点一定发生在不可导点上. 答案： B（4）下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调增加的是（ ）． A ．x sin B ．xe C ．2xD ．x -3答案：B3．应用题（以几何应用为主）（1）欲做一个底为正方形，容积为108m 3的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底边的边长为x m ，高为h m ，容器的表面积为y m 2。
高等数学习题及解答(极限,连续与导数)
高等数学习题库淮南联合大学基础部2008年10月第一章 映射，极限，连续习题一 集合与实数集基本能力层次：1: 已知：A ＝{x|1≤x ≤2}∪{x|5≤x ≤6}∪{3},B={y|2≤y ≤3} 求：在直角坐标系内画出 A ×B解：如图所示A ×B ＝{（x,y ）| ,x A y B ∈∈ }.2：证明：∵ P 为正整数，∴p ＝2n 或p ＝2n+1，当p ＝2n+1时，p 2＝4n 2+4n+1，不能被2整除，故p ＝2n 。
即结论成立。
基本理论层次：习题二 函数、数列与函数极限基本能力层次1：解：2：证明：由得cxy ay ax b -=+即 ay bx cy a+=-，所以 ()x f y = 所以命题成立3：（1）22x y -= （2）lg(sin )y x x =+（3 []y x = （4）0,01,0x y x ≥⎧⎫=⎨⎬<⎩⎭解：4：用极限定义证明： 1lim1n n n →∞-=(不作要求)证明：因为 ω∀ 有11|1|n n n ω--=<成立,只要1n ω>取N ＝[1ω]，则当n>N 时,就有11|1|n n nω--=<有定义变知1lim 1n n n →∞-=成立5：求下列数列的极限（1）lim 3n n n→∞ （2）222312limn n n →∞+++（3）（4）1lim 1n n→∞+解：（1） 233nn n n <,又2lim 03n n x →∞=,所以 0lim 03n n n →∞≤≤ , 故：lim 3n n n →∞＝0 （2）由于2223312(1)(21)111(1)(2)6n n n n n n n n n+++++==++又因为：1111lim (1)(2)63n n n n →∞++=,所以：2223121lim3n n n →∞+++ （3）因为：所以：（4） 因为：11111n n n ≤+≤+，并且1lim(1)1n n →∞+=, 故由夹逼原理得111n n+=6：解：由于7：解：8：9：习题三无穷小与无穷大、极限运算法则及两个重要极限基本理论层次1：解：同理：（3），（4）习题四无穷小的比较、函数的连续及性质基本理论层次1：（1）（2）2：第二章一元微分学及应用习题一导数及求导法则、反函数及复合函数的导数.基本理论层次21,1,,,,1()(1)(1)lim lim 1x a b x bx x f x f bx x ⎧+≥⎪⎨-+<⎪⎩-+-==-2222-ax 1.设f(x)=试求常数使f(x)在x=1处可导。
微积分练习1
C.非奇非偶函数
函数奇, 偶性定义 : 1.若对任意x, 恒有f ( x) = f ( x), 则称f ( x)为偶函数.
2.若对任意x, 恒有f ( x) = f ( x), 则称f ( x)为奇函数.
解: 设f ( x) = x sin x, 则 f ( x) = ( x) sin( x) = ( x)( sin x) = x sin x = f ( x)
说明 : 函数的间断点一般是使 分母为0的点.
解 : 令x + 1 = 0 x = 1
导数基本公式
(1) ( 2) (3) ( 4) (5) ( 6) (7 ) (8) (9 ) (10 ) (c )' = 0 (c为常数 ) (α为任意实数 ) ( a > 0, a ≠ 1) ( a > 0, a ≠ 1) ( x α ) ' = α xα 1 ( a x ) ' = a x ln a (e x ) ' = e x (log a x ) ' = 1 x ln a
2
ax + bx+ c < 0
2
(a, b, c均为常数 且a > 0) , x > x2或 x < x1 x <x<x
1
2
( x位于两根之外 )
( x位于两根之内)
堂上练习: 1 1 函数f ( x) = , 的定义域是 (2,3) U (3,+∞) . ln( x 2) 1 2, 函数f ( x) = + 5 x的定义域是 ( 1,0 ) U (0,5] . ln( x + 1)
x →0 x →0
.
B .2
C.1
D .0
高等数学第一章测试题
高等数学第一章测试题测试题一：导数与求导法则1. 求以下函数的导数：(a) $y = 3x^4 - 2x^3 + 5x^2 - 7x + 4$(b) $y = \sqrt{2x^3 + 5x^2 - 3x + 1}$(c) $y = e^x \cdot \ln{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}$2. 利用导数的定义计算以下函数在给定点处的导数：(a) $f(x) = 3x^2 + 2x + 1$，在点$x = 2$处的导数(b) $g(x) = \frac{1}{x^2}$，在点$x = -1$处的导数(c) $h(x) = \sin{x}$，在点$x = \frac{\pi}{4}$处的导数3. 根据给定函数的导数，确定函数的表达式：(a) 已知函数$f'(x) = 2x^3 - 3x^2 + 5x - 1$，求$f(x)$。
(b) 已知函数$g'(x) = \frac{1}{x^2} - 3x$，求$g(x)$。
(c) 已知函数$h'(x) = e^x \cdot \cos{x}$，求$h(x)$。
测试题二：微分与应用1. 计算以下函数在给定点处的微分：(a) $y = \sqrt{x^2 + 3x + 2}$，在点$x = 2$处的微分(b) $y = e^x \cdot \ln{x}$，在点$x = 1$处的微分(c) $y = \sin{x} \cdot \cos{2x}$，在点$x = \frac{\pi}{6}$处的微分2. 使用微分，求以下函数的近似值：(a) $f(x) = \sqrt[3]{x}$，当$x$接近于$8$时的近似值(b) $g(x) = \ln{(1 + x)}$，当$x$接近于$0$时的近似值(c) $h(x) = e^{2x}$，当$x$接近于$0$时的近似值3. 利用微分进一步求解以下问题：(a) 当物体从起点开始以速度$v(t) = 5t - 2$移动时，求$t = 3$时的位移。
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一、函数、极限、连续练习题
1．01lim sin x x x
→⋅=( ). A ．1 B ． 0
C ．不存在
D ．∞ 2. 设()f x 的定义域是[0,1]，则(tan )f arc x 的定义域为( )．
A.[0,1]
B.[0,]4π
C.[0,tan1]
D.(,)22
ππ-
3．1()arctan f x x
=的连续区间为( ). A ．(,3)-∞ B ．(,3]-∞ C ．(,0)(0,3]-∞和 D ．(,0)(0,3)-∞和
4．当x →+∞时，对数函数ln x 、幂函数()n x n 为正整数、指数函数(0)x e λλ> 增大速度最快的是( )．
A. ln x
B. n x C . x e λ D. 一样快
5．当0x →时，2cos x x x e e -是n x 的同阶无穷小，则n 为( )．
A ．5
B ．4
C ．52
D ．2 6.已知2
lim()01
x x ax b x →∞--=+，其中a,b 是常数，则（ ）。
()1,1()1,1()1,1()1,1A a b B a b C a b D a b ===-===-=-=-
7. 设函数22132
x y x x -=-+，则1x =是它的( )． A ．跳跃间断点 B ．可去间断点 C ．无穷间断点 D ．振荡间断点
8．设函数11,0()ln(1),10
x e x f x x x -⎧⎪>=⎨⎪+-<≤⎩ 则0x =是( ).
A ．可去间断点
B ．跳跃间断点
C ．无穷间断点
D ．振荡间断点 9.设()f x 在2x =连续，且2()3lim 2
x f x x →--存在，则(2)f =________. 10.设22,0,0(),()2,0,0x x x x g x f x x x x x -≤⎧<⎧==⎨⎨+>-≥⎩⎩
，则[()]g f x =_____________.
11．已知()2
cos ,0(),0x x x f x a x -⎧≠⎪=⎨=⎪⎩在0x =连续，则a = ．
12．设函数21sin ,01(),0ln(12),0x x x x e f x b x x a x x ⎧⎪<⎪-⎪⎪==⎨⎪+⎪+>⎪⎪⎩
在(,)-∞+∞上是连续函数，则
a =____,b=_____.
13．设,1()2,1x x f x x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩
，试讨论11lim ()lim ()x x f x f x →→-及 14、讨论函数221()lim 1n
n
n x f x x x →∞-=+的连续性。
若有间断点，判别其类型。
15. 求极限30tan sin lim sin x x x x →-;123
0(1)1lim cos 1x x x →+--; sin 0lim x x x +→; 123lim()6x
x x x -→∞++;
21lim 2
x x x →+- 二．导数练习题
1．函数sin y x =在0x =点( )．
A. 连续且可导
B. 连续但不可导
C. 既不连续也不可导
D.以上说法都不对
2.设函数3()1()f x x x ϕ=-，其中()x ϕ在x=1处连续，则(1)0ϕ=是()f x 在x=1处可导的( )条件.
A.充分必要
B.必要不充分
C.充分不必要
D.既不充分也不必要
3．下列函数中，在0x =处可导的是( )．
A ．221,0()1,0x x h x x x ->⎧=⎨-≤⎩ B
．()g x =C ．1()1f x x =- D ．223,0()3,0x x s x x x -≤⎧=⎨+>⎩
4．设 322,1()3,1x x f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩
，则函数在1x =的( )．
A ．左、右导数都存在
B ．左、右导数都不存在
C ．左导数不存在，右导数存在
D ．左导数存在，右导数不存在
5．函数()f x 为可导函数，且满条件12)1()1(lim
0-=--→x
x f f x ，则曲线在点(1,(1))f 处的切线斜率是( )．
A ．2
B ．1-
C ．12
D ．2- 6．设(0)2f '= 且(0)0f =, 则2lim ()h hf h
→∞=( ). A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
7.设1arctan |_____x
x dy y e dx ==-=则 8．设函数()f x 在x=0可导，且()(0)2()f x f x x α=++，又0()lim 0x x x α→=， 则(0)f '=__________.
9．已知(0)1f '=，则0(2)()lim h f h f h h
→--= . 10．已知()(1)(12)
(1)f x x x nx =+++，则()(0)n f = ． 11．函数sin y x =的n 阶导数公式为 ．
12．设函数2x y x e =，则(10)y = ．
13.设()()(),().f x x a x x x a f a ϕϕ'=-=其中()在连续，求
14.求(ln x y e =的微分dy .
15.求函数y =.
16．求参数方程32ln(1)x t t y t t
=-+⎧⎨=+⎩所确定的函数的二阶导数22d y dx . 17.求由方程1sin 02
x y y -+=所确定的隐函数的二阶导数22d y dx .
184位数字.。