“运动变化型问题”专题复习教学案-

图9—16 ））
“运动变化型问题”专题复习教学案
【考点透视】：
1.纵观近5年全国各地的中考数学试卷，动态几何型综合题常常出现在一张试卷的压轴题位置，估计这一趋势在今后几年的中考中会越来越明显，这类试题往往综合性较强，往往涉及到函数、直线型、圆等初中数学的重点考察对象中的好几个，应加大训练的力度。

2．质点运动型问题就是在三角形、矩形、梯形等一些几何图形上，设计一个或几个动点，并对这些点在运动变化的过程中相伴随着的等量关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系等进行研究考察．质点运动型问题常常集几何、代数知识于一体，数形结合，有较强的综合性．
【经典考题】：
例1：如图9—16，梯形OABC中，O为直角坐标系的原点，A、B、C的坐标分别为（14，0）、（14，3）、（4，3）．点P、Q同时从原点出发，分别作匀速运动，其中点P沿OA向终点A运动，速度为每秒1个单位；点Q沿OC、CB向终点B运动．当这两点中有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动．
（1）设从出发起运动了x s，如果点Q的速度为每秒2个单位，试分别写出这时点Q在OC 上或在CB上时的坐标（用含x的代数式表示，不要写出x的取值范围）；
（2）设从出发起运动了x s，如果点P与点Q所经过的路程之和恰好为梯形OABC的周长的一半．
①试用含x的代数式表示这时点Q所经过的路程和它的速度；
②试问：这时直线PQ是否可能同时把梯形OABC的面积也分成相等的两部分？如有可能，求出相应的x的值和P、Q的坐标；如不可能，请说明理由．
例2：已知抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点A(0，3)，与x轴分别交于B(1，0)、C(5，0)两点．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点D为线段OA的一个三等分点，求直线DC的解析式；（3）若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上的某点(设为点E)，再到达抛物线的对称轴上某点(设为点F)，最后运动到点A．求使点P运动的总路径最短的点E、点F 的坐标，并求出这个最短总路径的长．
例3：如图1，以矩形OABC 的两边OA 和OC 所在的直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，A 点的坐标为(3)C ，0，点的坐标为
(04)
，．将矩形OABC 绕O 点逆时针旋转，使B 点落在y 轴的正半轴上，旋转后的矩形为11111OA B C BC A B ，、相交于点M ．
（1）求点1B 的坐标与线段1B C 的长； （2）将图1中的矩形111OA B C 沿y 轴向上平移，如图2，矩形222PA B C 是平移过程中的某一位置，22BC A B 、相交于点1M ，点P 运动到C 点停止．设点P 运动的距离为x ，矩形222PA B C 与原矩形OABC 重叠部分的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；
（3）如图3，当点P 运动到点C 时，平移后的矩形为333PA B C ．请你思考如何通过图形变换使矩形333PA B C 与原矩形OABC 重合，请简述你的做法．
例4：如图①，有两个形状完全相同的直角三角形ABC 和EFG 叠放在一起（点A 与点E 重合），已知AC ＝8cm ，BC ＝6cm ，∠C ＝90°，EG ＝4cm ，∠EGF ＝90°，O 是△EFG 斜边上的中点．
如图②，若整个△EFG 从图①的位置出发，以1cm/s 的速度沿射线AB 方向平移，在△EFG 平移的同时，点P 从△EFG 的顶点G 出发，以1cm/s 的速度在直角边GF 上向点F 运动，当点P 到达点F 时，点P 停止运动，△EFG 也随之停止平移．设运动时间为x （s ），FG 的延长线交 AC 于H ，四边形OAHP 的面积为y （cm 2)（不考虑点P 与G 、F 重合的情况）．
（1）当x 为何值时，OP ∥AC ?
（2）求y 与x 之间的函数关系式，并确定自变量x 的取值范围．
（3）是否存在某一时刻，使四边形OAHP 面积与△ABC 面积的比为13∶24？若存在，求出x 的值；若不存在，说明理由．（参考数据：1142 ＝12996，1152 ＝13225，1162 ＝13456
或4.42 ＝19.36，4.52 ＝20.25，4.62 ＝21.16）
A
B
C D E F G
H N M B C
P
P'
A B
C
D C'
B'
【探究体验】：
1．如图所示，O 是锐角三角形ABC 内一点，∠AOB ＝∠BOC ＝∠COA ＝120°，P 是ΔABC 内不同于O 的另一点；ΔA 1BO 1、ΔA 1BP 1分别由ΔAOB ，ΔAPB 旋转而得，旋转角都为60°，则下列结论：①ΔO 1BO 为等边三角形，且A 1、O 1、O 、C 在一条直线上；②A 1O 1＋O 1O ＝AO ＋BO ；③A 1P 1＋PP 1＝PA ＋PB ；④PA ＋PB ＋PC>OA ＋OB ＋OC 。

其中正确的有 (填序号).
2．如图，P 是正三角形 ABC 内的一点，且PA ＝6，PB ＝8，PC ＝10．若将△PAC 绕点A 逆时针旋转后，得到△P'AB ，则点P 与点P' 之间的距离为_______，∠APB ＝______°．
3．如图，8×8方格纸上的两条对称轴EF 、MN 相交于中心点O ，对△ABC 分别作下列变换：
①先以点A 为中心顺时针方向旋转90°，再向右平移4格、向上平移4格；
②先以点O 为中心作中心对称图形，再以点A 的对应点为中心逆时针方向旋转90°；
③先以直线MN 为轴作轴对称图形，再向上平移4格，再以点A 的对应点为中心顺时针方向旋转90°．其中，能将△ABC 变换成△PQR 的是（ ）．
（A ）①②； （B ）①③； （C ）②③； （D ）①②③．
4．如图，将△ABC 绕点A 顺时针旋转60
′C ′，且
BC 的中点，
则C ′D ∶D B ′等于（ ）．A ．1:2 ； B ．1:； C ．；
D ．1:3 ． 5．如图，在矩形ABCD 中，AB=2AD ，线段EF=10.在EF 上取一点M ，分别以EM 、MF 为一边作矩形EMNH 、矩形MFGN ，使矩形MFG N ∽矩形ABCD .令MN =x ，当x 为何值时，矩形EMNH 的面积S 有最大值?最大值是多少?
6．已知，如图(甲)，正方形ABCD 的边长为2,点M 是BC 的中点,P 是线段MC 上的一个动点, P 不运动到M 和C,以AB 为直径做⊙O ，过点P 作⊙O 的切线交AD 于点F,切点为E.（1）求四边形CDFP 的周长；（2）试探索P 在线段MC 上运动时，求AF ·BP 的值；（3）延长DC 、FP 相交于点G,连结OE 并延长交直线DC 于H(如图乙),是否存在点P,
使△EFO ∽△
EHG?如果存在,试求此时的BP 的长;如果不存在,请说明理由。

A P
P 1O 1O
B
C
A 1
7．如图，形如量角器的半圆O 的直径DE=12cm ，形如三角板的⊿ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=12cm 。

半圆O 以2cm/s 的速度从左向右运动，在运动过程中，点D 、E 始终在直线BC 上。

设运动时间为t (s)，当t=0s 时，半圆O 在⊿ABC 的左侧，OC=8cm 。

（1）当t 为何值时，⊿ABC 的一边所在直线与半圆O 所在的圆相切？（2）当⊿ABC 的一边所在直线与半圆O 所在的圆相切时，如果半圆O 与直线DE 围
成的区域与⊿ABC 三边围成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积。

8．已知：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =CD =3cm ，∠C =60°，BD ⊥CD ． （1）求BC 、AD 的长度；
（2）若点P 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm/秒的速度运动，点Q 从点C 开始沿CD 边向点D 以1cm/秒的速度运动，当P 、Q 分别从B 、C 同时出发时，写出五边形ABPQD 的面积S 与运动时间t 之间的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围（不包含点P 在B 、C 两点的情况）；
（3）在（2）的前提下，是否存在某一时刻t ，使线段PQ 把梯形ABCD 分成两部分的面积比为1∶5？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．
9．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，BC ＝16，动点P 从点A 出发沿AC 边向点C 以每秒3个单位长的速度运动，动点Q 从点C 出发沿CB 边向点B 以每秒4个单位长的速度运动．P ，Q 分别从点A ，C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．在运动过程中，△PCQ 关于直线PQ 对称的图形是△PDQ ．设运动时间为t （秒）． （1）设四边形PCQD 的面积为y ，求y 与t 的函数关系式； （2）t 为何值时，四边形PQBA 是梯形？
（3）是否存在时刻t ，使得PD ∥AB ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由； （4）通过观察、画图或折纸等方法，猜想是否存在时刻t ，使得PD ⊥AB ？若存在，请估计t 的值在括号中的哪个时间段内（0≤t ≤1；1＜t ≤2；2＜t ≤3；3＜t ≤4）；若不存在，请简要说明理由．
C
P。