导数定义与极限
导数值与极限值的关系
导数值与极限值的关系
导数与极限的关系：
1、极限只是一个数，x趋向于x0的极限=f(x0) 。
2、而导数则是瞬时变化率，是函数在该点x0的斜率，导数比极限多了一个表达“过程”的部分。
【导数与极限的关系】一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率，极限是一种“变化状态”的描述，此变量永远趋近的值A叫做“极限值” 。
当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。
在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。
可导的函数一定连续，不连续的函数一定不可导，因此导数也是一种极限。
考研数学-专题5 导数的概念及应用
f (x), x 0;
F
(
x)
0, x 0;
f (x), x 0;
若 f (0) 1, 则
lim F(x) F(0) lim f (x) f (0) f (0) 1
x0
x
x0
x
lim F(x) F(0) lim f (x) f (0)
x0
x
x0
x
lim f (x) f (0) f (0) 1
x0
x0
则
lim ln[ f (x) ex ] ln 2
x0
x
从而 lim ln[ f (x) ex ] 0, lim f (x) f (0) 0,
x0
x0
当 x 0 时， ln[ f (x) ex ] ln[1 f (x) ex 1] ~ f (x) ex 1
则 lim ln[ f (x) ex ] lim f (x) ex 1 f (0) 1 ln 2
1
【例 2】已知 f (x) 在 x 0 处连续，且 lim[ f (x) ex ]x 2, 则 f (0) （ ） x0
(A)不存在
(B)等于 e2 ,
(C)等于 2,
(D)等于 1 ln 2
1
ln[ f ( x)e x ]
【解】 由于 lim[ f (x) ex ]x lim e x 2
3
f (x0 n ) f (x0 ) f (x0 )n n
（其中 lim 0 ） n
f
( x0
n ) f (x0 n n
n)
f
(
x0
)
n n
n n
n n n n
n n n n n n
0
则 lim n
导数的第一定义和第二定义
导数的第一定义是指函数在某一点的导数，也称为导数的极限定义。
给定函数f(x)，在点a 处的导数定义为：
f'(a) = lim┬(h→0)(f(a+h) - f(a))/h
其中，h表示自变量x的增量。
导数的第二定义是指函数在某一点的导数，也称为导数的微分定义。
给定函数f(x)，在点a 处的导数定义为：
f'(a) = d/dx[f(x)]|_(x=a)
即函数f(x)在点a处的导数等于函数f(x)对自变量x求导后再在x=a处求值。
这两个定义都描述了函数在某一点处的变化率或斜率，是导数的基本定义形式。
第一定义通过极限的方式，从函数增量的角度来定义导数；第二定义通过微分的方式，从函数的微小变化来定义导数。
这两个定义是导数概念的基础，为后续的导数运算和应用打下了基础。
函数的极限与导数的关系
函数的极限与导数的关系函数的极限以及导数是微积分中两个重要的概念，它们之间存在着紧密的联系和相互依赖的关系。
本文将探讨函数的极限与导数之间的联系，并说明它们在数学中的重要性。
一、函数的极限的定义与性质函数的极限是研究函数在某一点处的趋势及其极限值的一种方法。
设函数f(x)在点x=a的某一去心邻域内有定义，如果存在一个常数A，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正数δ(不论它多么小，但大于0)，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-A|<ε成立，那么就称函数f(x)在x=a处有极限A（或说f(x)的极限为A），记作lim {x→a} f(x) = A。
函数的极限具有唯一性和局部有界性的性质。
即在一个点的左右两侧的极限值相等，且函数在该点的邻域内有界。
二、导数的定义与性质导数是用来描述函数的变化率的概念，它表示函数在某一点上的斜率，也可以理解为函数图像在该点处的切线斜率。
对于函数y=f(x)，在点x=a处，若极限lim {h→0} [f(a+h)-f(a)]/h存在，那么称该极限为函数f(x)在点x=a处的导数，记作f'(a)或dy/dx|{x=a}。
导数具有唯一性和几何意义的性质。
例如，对于导函数f'(x)存在的函数f(x)，f'(x)就代表了f(x)在x点处的切线斜率。
三、函数的极限与导数之间存在着重要的联系，可以说导数的概念是由极限引出的。
1. 极限为导数的特殊情况若函数f(x)在点x=a处的极限lim {h→0} [f(a+h)-f(a)]/h存在，那么该极限值就是f(x)在x=a处的导数f'(a)。
此时，函数的极限值和导数值是相等的。
2. 导数的连续性若函数f(x)在点x=a处的导数f'(a)存在，且f(x)在点x=a处连续，那么可以得出结论：函数f(x)在点x=a处的极限lim {x→a} f(x)存在。
3. 极限的重要性极限是导数存在的前提，它为导数的计算提供了基础。
第二章 导数与极限 1
及 lim f ( x) = A, 得出: A > 0.
x→x0
ˆ 例如 在N (0, δ )内有 f ( x ) =| x |> 0,
但 lim | x |= A = 0.
x→0
说明: 定理4, 说明 定理 5, 6及推论所论极限 在自变量 的其它变化 及推论所论极限, 在自变量x的其它变化 趋势的情形下, →∞, →−∞, 趋势的情形下 即: x→x0−, x→x0+, x→∞ x→+∞, x→−∞ → → →∞ → ∞ →−∞ 都有类似的结论。 都有类似的结论。
y
y=|x|
| x|−|0| x lim+ = lim+ = 1, x →0 x→0 x x−0 | x |−|0| 故 lim 不存在 x →0 x − 0
所以函数 f ( x ) =| x | 在 x = 0 处不可导.
O
x
10
求取整函数f(x)=[x]在整数点 0=n处的左极限和右极限 在整数点x 处的左极限和右极限 处的左极限和右极限. 例10. 求取整函数 在整数点
x→n x→n
11
C. 自变量趋于无穷大时函数的极限 设函数f(x)在|x|≥a (a≥0)上有定义 如果存在常 上有定义, 定义 设函数 在 ≥ ≥ 上有定义 如果存在常 使对任意给定的正数ε 总存在正数 正数X, 数A, 使对任意给定的正数ε, 总存在正数 当 |x|>X, 有: |f(x)−A|<ε 成立 > − < 成立,
f ( x0 + 0) = A.
注意 : { x 0 < x − x0 < δ } = { x 0 < x − x0 < δ } U { x − δ < x − x0 < 0}
导数的定义和基本规则
导数的定义和基本规则1. 导数的定义导数是数学分析中的一个核心概念，主要用于研究函数在某一点处的局部性质。
具体来说，导数反映了函数在某一点处的变化率，即自变量发生微小变化时，因变量的变化量与自变量变化量的比值。
设函数f(x)在点x0处有极限，则函数f(x)在点x0处的导数定义为：f′(x0)=limΔx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx如果上述极限存在，则称函数f(x)在点x0处可导。
2. 基本导数公式（1）常数函数的导数：对于常数c，有f(x)=c，则f′(x)=0。
（2）幂函数的导数：对于幂函数f(x)=x n（n为实数），有f′(x)=nx n−1。
（3）指数函数的导数：对于指数函数f(x)=a x（a为常数，a≠0），有f′(x)=a x lna。
（4）对数函数的导数：对于对数函数f(x)=log a x（a为常数，a>0，a≠1），有f′(x)=1xlna。
（5）三角函数的导数：•对于正弦函数f(x)=sinx，有f′(x)=cosx。
•对于余弦函数f(x)=cosx，有f′(x)=−sinx。
•对于正切函数f(x)=tanx，有f′(x)=sec2x。
（6）反三角函数的导数：•对于反正弦函数f(x)=arcsinx，有f′(x)=√1−x2（−1≤x≤1）。
•对于反余弦函数f(x)=arccosx，有f′(x)=√1−x2−1≤x≤1）。
•对于反正切函数f(x)=arctanx，有f′(x)=11+x2。
（7）链式法则：若函数f(x)=g(ℎ(x))，则f′(x)=g′(ℎ(x))⋅ℎ′(x)。
（8）乘积法则：若函数f(x)=g(x)⋅ℎ(x)，则f′(x)=g′(x)⋅ℎ(x)+g(x)⋅ℎ′(x)。
（9）商法则：若函数f(x)=g(x)ℎ(x)（h(x)≠0），则f′(x)=g′(x)⋅ℎ(x)−g(x)⋅ℎ′(x)[ℎ(x)]2。
（10）和差法则：若函数f(x)=g(x)+ℎ(x)，则f′(x)=g′(x)+ℎ′(x)；若函数f(x)=g(x)−ℎ(x)，则f′(x)=g′(x)−ℎ′(x)。
掌握高考数学中的导数与极限运算技巧有哪些关键点
掌握高考数学中的导数与极限运算技巧有哪些关键点导数与极限是高考数学中的重要内容，对于理工科考生来说尤其重要。
掌握导数与极限运算的关键点能够帮助考生提高解题效率，下面将介绍几个关键点。
一、理解导数的定义导数是描述函数在某一点的变化率的指标。
在掌握导数运算的关键点之前，我们需要先理解导数的定义。
导数的定义是函数的极限，即函数在某一点的导数等于该点处函数的极限。
这个定义非常重要，理解了这个定义之后才能更好地应用导数进行运算。
二、掌握导数基本运算法则在高考数学中，常见的导数基本运算法则有常数倍法则、和差法则、乘积法则、商法则等。
掌握这些法则是解题的基础，可以帮助考生更快速地求导数。
以乘积法则为例，乘积的导数等于一项的导数乘以另一项，再加上另一项的导数乘以一项，即(d(uv)/dx = u'v + uv')。
熟练掌握这些法则能够帮助考生迅速解题。
三、学会运用导数的性质导数具有一些特殊的性质，掌握这些性质可以简化计算过程。
比如，导数的和的导数等于各项导数的和，导数的差的导数等于各项导数的差，导数的幂的导数等于指数乘以底数的导数等等。
掌握这些性质可以在解题过程中灵活运用，提高解题效率。
四、了解常见的导数公式在高考数学中，有一些常见的函数的导数公式是需要掌握的，比如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的导数公式。
熟悉这些公式能够帮助考生更快地求出函数的导数。
需要注意的是，在使用这些公式时，要注意各种函数的复合运算，灵活运用链式法则。
五、熟练掌握极限运算的技巧极限是导数的基础，因此对极限运算的技巧的掌握也是非常重要的。
在高考数学中，常见的极限运算技巧有利用夹逼定理、利用等价无穷小、利用洛必达法则等。
熟练掌握这些技巧可以帮助考生更快地求解极限问题，尤其是在计算极限时遇到不确定型的问题。
综上所述，掌握高考数学中的导数与极限运算技巧的关键点主要包括理解导数的定义、掌握导数基本运算法则、学会运用导数的性质、了解常见的导数公式以及熟练掌握极限运算的技巧。
导数的定义和求导规则
导数的定义和求导规则一、导数的定义1.1 极限的概念：当自变量x趋近于某一数值a时，函数f(x)趋近于某一数值L，即称f(x)当x趋近于a时的极限为L，记作：lim (x→a) f(x) = L1.2 导数的定义：函数f(x)在点x=a处的导数，记作f’(a)或df/dx|_{x=a}，表示函数在某一点的瞬时变化率。
定义如下：二、求导规则2.1 常数倍法则：如果u(x)是可导函数，c是一个常数，则cu(x)也是可导函数，且(cu(x))’ = c*u’(x)。
2.2 幂函数求导法则：如果u(x) = x^n，其中n为常数，则u’(x) = n*x^(n-1)。
2.3 乘积法则：如果u(x)和v(x)都是可导函数，则(u(x)v(x))’ = u’(x)v(x) +u(x)v’(x)。
2.4 商法则：如果u(x)和v(x)都是可导函数，且v(x)≠0，则(u(x)/v(x))’ =(u’(x)v(x) - u(x)v’(x))/(v(x))^2。
2.5 和差法则：如果u(x)和v(x)都是可导函数，则(u(x) + v(x))’ = u’(x) + v’(x)，(u(x) - v(x))’ = u’(x) - v’(x)。
2.6 链式法则：如果y = f(u)，u = g(x)，则y关于x的导数可以表示为dy/dx = (dy/du) * (du/dx)。
2.7 复合函数求导法则：如果y = f(g(x))，则y关于x的导数可以表示为dy/dx = (df/dg) * (dg/dx)。
2.8 高阶导数：如果f’(x)是f(x)的一阶导数，则f’‘(x)是f’(x)的一阶导数，以此类推。
2.9 隐函数求导法则：如果方程F(x,y) = 0表示隐函数，则y关于x的导数可以表示为(dy/dx) = -F_x / F_y，其中F_x和F_y分别是F(x,y)对x和y的偏导数。
三、导数的应用3.1 函数的单调性：如果f’(x) > 0，则f(x)在区间内单调递增；如果f’(x) < 0，则f(x)在区间内单调递减。
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证 明 f(x )在 x 2 0 0 5 处 可 导 。
证 法 1f ( x ) （ x ) ( x 2 0 0 5 ) ( x )
f ( 2 0 0 5 ) （ 2 0 0 5 ) 0 ( 2 0 0 5 ) （ 2 0 0 5 )
证法2 f(2005)limf(x)f(2005)
（c） f (x)在点0处连续.
解
处可导, 试用导数
解 （a）
(2)用导数定义求导
f(0)xl im 0 f(x) xf(0)xl im 0xsxin1 x
xl im 0x1sin1 x 不 0,存 在 ， 1,1
f (0)x l im 0f(x) xf(0)lx i m 000
1 时 ， f(0)0;
（1）limf(x03h)f(x0) 解
h0
h
（2） lim f(x03h)f(x02h) 解
h 0
h
（3） ln i m nfx01nf(x0)
解
（4） limxf(x0)x0f(x) 解
xx0
xx0
解（1）原式
lim 3[f(x03h)f(x0)]3f
h 0
3h
(x0).
(2) 原式 分 l i 项 (f m (x 0 3 h ) f(x 0 ) ) [f(x 0 2 h ) f(x 0 )]
练习2 设函数
处可导, 试用导数
（2） f(x)2x2xx
(2)用导数定义求导
问下列结论成立?
（a） f ( x) 在点0处连续? 显然连续 （b） f ( x) 在点0处可导? 解
（c） f (0)?
解
解（b）
2x2xx f (x)
0,
x0, f (0)0 0x
f (0 )xl 0 i 0m f(x x ) 0 f(0 )lx i0fm (x x)
解（b） 注意到: limxsin10(0),
x0
x
01时f ( x) 在点0处连续, 但不可导.
解 （c）
处可导, 试用导数
当x 0时，
f(x)x1sin1
x
x2
cos1 x
1当xΒιβλιοθήκη 时，f (0) 0(2)用导数定义求导
f(x)1 x1sin1 xx2cos1 x,
0,
x0, x0,
类似于(a )可解得 当 2时f， (x)在 x0时连续
x 2005 x2005
lim f( x ) lim ( x 2 0 0 5 )( x ) lim ( x ) x 2 0 0 5 x 2 0 0 5x 2 0 0 4 x 2 0 0 5 x 2 0 0 5
(x)在 x 2 0 0 5 处 连 续 。 lim(x)(2005) x 2005 f(2 0 0 5 )lim (x )(2 0 0 5 ) x 2 0 0 5
h 0
h
li 3 m [f(x 0 3 h ) f(x 0 ) ]2 [f(x 0 2 h ) f(x 0 ) ]
h 0
3 h
2 h
3f(x0)2f(x0) 5f(x0)
f(a)lim f(x)f(a) x a xa
f(a)lim f(ax)f(a)
x 0
x
处可导, 试用导数
（3） ln i m nfx01nf(x0)
可微 可导 连续 极限存在.
本章的计算重点是求函数的导数.
1. 导数（含左导数、右导数）和微分的定义及其几何意义.
f(a)lim f(x)f(a) x a xa
f(a)lim f(ax)f(a)
x 0
x
练习1 设函数
(1) 导数定义与极限
f ( x) 在 x 0 处可导, 试用导数 f (x0 ) 表示下列极限：
一、基本要求
1. 理解导数（含左导数、右导数）和微分的定义及其几何意义. 2. 熟悉掌握函数的求导法则（四则运算求导法则、复合函数求 导法则）. 3. 掌握策分的运算法则及一阶微分形式不变性. 4. 牢记基本求导公式 5. 了解高阶导数的概念, 能熟练地求出初等函数的二阶导数及 某些函数的阶导数. 6. 掌握隐函数的求导法及由参数方程表示的函数的求导法. 7. 知道一元函数可微、可导、连续、极限存在之间的关系：
练习3 求下列 函数的导数:
(3) 导数的四则运算
(a) f(x)ln3 xs2inx1; 解 (b ) f(x)1 s c i2x n o x t1 c to 2a xxs nsixn co x;s解
(3) 导数的四则运算
解（a） (1 ) f(x ) 1 [lsn ix n ln x ( 1 ) ln x 1 ()] 3
lim 2x2x2 lim x0
x0 x
x0
f (0 )x l 0 i 0m f(x x ) 0 f(0 )lx i0fm ( x x)
lim 2x2x2 lim 3x0f(0)0
x 0 x
x 0
解（c）
f (x)3xx22,
x0, 0x
f(x) 6 2x x,
x0,且 f(0)0 0x,
f (0 ) x l 0 i 0m f(x x ) 0 f(0 ) x l 0 i 0m fx (x )
lim
x0
2x x
2
f (0 ) x l 0 i 0m f(x x ) 0 f(0 ) x l 0 i 0m fx (x )
lim
x0
6x x
6
f (0)不存在
处可导, 试用导数
练习2 设函数
(2)用导数定义求导
（3） 设 f(x)(x 2 0 0 5 )(x)， 且 (x )在 x 2 0 0 5 处 连 续 。
f(x)1[cox s 11] 3sixnx1 x1
解（b）
(3) 导数的四则运算
f(x )s3 ix nc3 o xs six c nx o ; s six n cx os six n cx os
lim
f
x0
1 n
f (x0)
n
1
f (x0)
n
f(a)lim f(x)f(a) x a xa
f(a)lim f(ax)f(a)
x 0
x
处可导, 试用导数
解（4）原式 x l ix0m x(fx0x ) x x0 0f(x0)x0f(xx ) x f0 (x0)
f(x0)x0f(x0)
f(a)lim f(x)f(a) x a xa
f(a)lim f(ax)f(a)
x 0
x
处可导, 试用导数
练习2 （1）
设函数
f (x)
x
sin
1 x
,
(2)用导数定义求导
x 0,
0,
x 0,
问常数 在什么条件下, 下列结论成立：
（a） f ( x) 在点0处可导；
解
（b） f ( x) 在点0处连续, 但不可导. 解