高等数学极限与导数测试题
高中数学的导数与极限应用测试题
高中数学的导数与极限应用测试题在高中数学的学习中，导数与极限是极为重要的概念，它们在解决各种数学问题中发挥着关键作用。
为了帮助同学们更好地掌握这部分知识，以下是一套精心设计的导数与极限应用测试题。
一、选择题（每题 5 分，共 30 分）1、函数＼（f(x) ＝ x^3 3x ＋ 1\）的导数＼（f'（x)＼）为（）A ＼（3x^2 3\）B ＼（3x^2\）C ＼（3x^2 ＋ 3\）D ＼（3x^2 1\）2、已知函数＼（f(x) ＝＼frac{1}｛x}＼），则＼（f'（2)＼）的值为（）A ＼（＼frac{1}｛4}＼）B ＼（＼frac{1}｛4}＼）C ＼（＼frac{1}｛2}＼） D ＼（＼frac{1}｛2}＼）3、函数＼（y ＝＼sin x\）的导数为（）A ＼（＼cos x\）B ＼（＼cos x\）C ＼（＼sin x\）D ＼（＼sin x\）4、极限＼（＼lim_{x ＼to 0} ＼frac{＼sin x}｛x}＼）的值为（）A 0B 1C ＼（＼infty\）D 不存在5、函数＼（f(x) ＝ x^2 2x ＋ 3\）在＼（x ＝ 1\）处的导数为（）A 0B 1C 2D 36、若＼（f(x) ＝＼ln x\），则＼（f'（e)＼）的值为（）A ＼（＼frac{1}｛e}＼）B ＼（＼frac{1}｛e}＼）C ＼（ e\）D ＼（＼frac{1}｛e^2}＼）二、填空题（每题 5 分，共 30 分）1、函数＼（f(x) ＝ 2x^2 ＋ 3x 1\）的导数＼（f'（x) ＝＼）＿____。
2、曲线＼（y ＝ x^3 2x ＋ 1\）在点＼（（1, 0) ＼）处的切线方程为_____。
3、已知函数＼（f(x) ＝＼cos x\），则＼（f'（＼frac{＼pi}｛2}）＝＼）＿____。
4、极限＼（＼lim_{x ＼to 1} ＼frac{x^2 1}｛x 1} ＝＼）＿____。
高三数学第2、3章《极限》《导数》测试及答案
高三数学第2、3章《极限》《导数》测试及答案一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项正确 1．（理）若复数z 满足方程022=+z ，则=3z（ ）A ．22±B ． 22-C ．i 22-D ． i 22±(文)曲线y=4x －x 3在点(－1,－3)处的切线方程是（ ）A ． y=7x+4B ． y=7x+2C ． y=x －4D ． y=x －22．函数y=x 2(－21≤x ≤21)图像上一点P,以点P 为切点的切线为直线l,则直线l 的倾斜角的范围是（ ）A ．［0,4π］∪［43π,π］B ．［0,π］C ．［4π,43π］D ．［0,4π］∪(2π,43π) 3．（理）若2lim →x 434222=--+x ax x ,则a 的值为（ ）A ．0B ．1C ．－1D ．21（文）在曲线y=x 2+1的图像上取一点（1,2）及邻近一点（1+Δx ,2+Δy ）,则yx∆∆为（ ） A ．Δx+x∆1+2 B ．Δx －x ∆1－2 C ．Δx+2D ．2+Δx －x ∆14．曲线y=51x 5+3x 2+4x 在x =－1处的切线的倾斜角是（ ）A ．－4πB ．4πC ．43πD ．45π5．函数f(x)=x 3－ax 2－bx+a 2在x=1时,有极值10,则a 、b 的值为（ ）A ．⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧-==1143,3b a b a 或 B ．⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=-=1141,4b -a b a 或 C ．⎩⎨⎧=-=51b aD ．以上皆错6．（理）已知()23,12,1x x f x x +≠⎧=⎨=⎩，下面结论正确的是（ ）A ．()f x 在1x =处连续B ．()5f x =C ．()1lim 2x f x -→= D ．()1lim 5x f x +→=（文）设f （x ）=a x 3+3x 2+2,若f ′（－1）=4,则a 的值等于A ．319B ．316 C ．313 D ．3107．函数f(x )=x 3－3x +1,x ∈［－3,0］的最大值、最小值分别是（ ）A ．1,－1B ．1,－17C ．3, －17D ．9,－198．（理）数列{a n }中，a 1=1,S n 是前n 项和.当n ≥2时，a n =3S n ,则∞→n lim311-++n n S S 的值是（ ）A ．－31B ．－2C ．1D ．－54（文）曲线y=x 3－3x 2+1在点（1，－1）处的切线方程为（ ）A ．y=3x －4B ．y=－3x+2C ．y=－4x+3D ．y=4x －5 9．（理）2+23i 的平方根是（ ）A ．3+iB ．3±iC ．±3+iD ．±(3+i)（文）已知f （x ）=2x 3－6x 2+m （m 为常数）在［－2，2］上有最大值3，那么此函数在［－2，2］上的最小值是（ ）A ．－37B ．－29C ．－5D ．以上都不对10．已知函数)(x f x y '=的图像如右图所示（其中 )(x f '是函数)(x f 的导函数），下面四个图像中)(x f y =的图像大致是11．设f(x)、g(x)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,当x ＜0时,)()()()(x g x f x g x f '-' ＞0.且g(3)=0.则不等式f(x)g(x)＜0的解集是（ ）A ．（－3,0)∪(3,+∞)B ．(－3,0)∪(0, 3)C ．(－∞,- 3)∪(3,+∞)D ．(－∞,－ 3)∪(0, 3)12．已知两点O （0,0），Q （a ,b ）,点P 1是线段OQ 的中点，点P 2是线段QP 1的中点，P 3是线段P 1P 2的中点，┅，2+n P 是线段n P 1+n P 的中点，则点n P 的极限位置应是（ ） A ．（2a ,2b） B ．(3,3b a ) C ．(32,32b a ) D ． (43,43ba )二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上)13．垂直于直线2x －6y+1=0且与曲线y=x 3+3x 2－1相切的直线方程的一般式是__________.14．(理) （2006年安徽卷）设常数0a >，42ax ⎛ ⎝展开式中3x 的系数为32，则2lim()n n a a a →∞++⋅⋅⋅+=_____.(文)(2006福建高考)已知直线10x y --=与抛物线2y ax =相切，则______.a = 15．函数f(x)=2x 3+3x 2－12x －5,则函数f(x)的单调增区间是______. 16．（理）用数学归纳法证)"(212111211214131211"*N n nn n n n ∈+++++=--++-+- 的过程中，当n=k 到n=k+1时，左边所增加的项为_______________.（文）若函数f （x ）=x 3+x 2+mx+1是R 上的单调递增函数，则m 的取值范围是______________．三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（本小题满分12分）（理）设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<≤-+-<≤<=)3(4)31(24)10()0(0)(2x xx x x x x x x f（1）画出函数的图像；（2）在x=0，x=3处函数)(x f 是否连续； （3）求函数)(x f 的连续区间. （文）已知函数ax ax x f 313)(23-+-=. （1）讨论函数)(x f 的单调性；（2）若曲线)(x f y =上两点A 、B 处的切线都与y 轴垂直，且线段AB 与x 轴有公共点，求实数a 的取值范围.18．（本题满分12分）（理）已知复数z 1=cosθ－i ，z 2=sinθ+i ，求| z 1·z 2|的最大值和最小值.（文）(2006福建高考)已知()f x 是二次函数，不等式()0f x <的解集是(0,5),且()f x 在区间[]1,4-上的最大值是12。
极限导数考试题及答案
极限导数考试题及答案1. 计算极限：\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)。
答案：根据洛必达法则，当\(x\)趋近于0时，\(\frac{\sin x}{x}\)的极限等于\(\frac{\cos x}{1}\)的极限，即\(\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = \cos 0 = 1\)。
2. 求函数\(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2\)在\(x = 1\)处的导数。
答案：首先求导数\(f'(x) = 3x^2 - 6x\)，然后将\(x = 1\)代入得到\(f'(1) = 3(1)^2 - 6(1) = 3 - 6 = -3\)。
3. 判断极限\(\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}\)是否存在，并说明理由。
答案：极限\(\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0\)存在，因为当\(x\)趋向于无穷大时，\(\frac{1}{x}\)趋向于0。
4. 计算定积分\(\int_{0}^{1} x^2 dx\)。
答案：根据定积分的定义，\(\int_{0}^{1} x^2 dx =\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3}\)。
5. 求函数\(g(x) = e^x\)的导数。
答案：根据指数函数的导数公式，\(g'(x) = e^x\)。
6. 计算极限：\(\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}\)。
答案：首先对分子进行因式分解，得到\(\lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 2 + 2 = 4\)。
7. 求函数\(h(x) = \ln(x)\)在\(x = e\)处的导数值。
大学高数极限考试题及答案
大学高数极限考试题及答案# 大学高数极限考试题及答案一、选择题1. 下列函数中，极限不存在的是（）A. \( f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} \) 当 \( x \to 1 \)B. \( g(x) = \sin(x) \) 当 \( x \to \pi \)C. \( h(x) = x^2 \) 当 \( x \to 2 \)D. \( k(x) = \frac{\sin(x)}{x} \) 当 \( x \to 0 \)答案：A2. 计算极限 \( \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x + 1} \) 的结果是（）A. \( \infty \)B. \( 1 \)C. \( 0 \)D. \( \frac{1}{2} \)答案：A二、填空题1. \( \lim_{x \to 0} x \cdot \sin(\frac{1}{x}) = \) ______答案：02. \( \lim_{x \to 1} (x^2 - 1) = \) ______答案：0三、计算题1. 计算极限 \( \lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3} \)。
解答：\( \lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3} = \lim_{x \to 3}\frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3} = \lim_{x \to 3} (x + 3) = 3 + 3 = 6 \)2. 计算极限 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} \)。
解答：使用洛必达法则（L'Hôpital's Rule）：\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{\cos(x)}{1} = \cos(0) = 1 \)四、证明题1. 证明 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 \)。
北京理科高考真题 极限与导数
14 北京理科 极限与导数一 选择、填空题1（05北京理）（12）过原点作曲线y ＝e x 的切线，则切点的坐标为 ，切线的斜率为 ．2（06北京理）（6）在下列四个函数中，满足性质：“对于区间（1，2）上的任意,( ).恒成立”的只有（A ） （B ） （C ） （D ） 3（06北京理）(9）的值等于.4（08北京理）12．如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为，则 ；．（用数字作答）5（09北京理）9．_________.6（09北京理）11．设是偶函数，若曲线在点处的切线的斜率为1，则该曲线在处的切线的斜率为_________.1.[(1,e),e]2.A3.4.(2,-2)5.6.(-1)二 解答题1x 2x 12x x ≠2121()()f x f x x x -<-1()f x x=()f x x =x x f 2)(=2()f x x =123221lim-++-→x x x x ________()f x ABC A B C ，，(04)(20)(64)，，，，，((0))f f =0(1)(1)limx f x f x∆→+∆-=∆1x →=()f x ()y f x =(1,(1))f (1,(1))f --21-211（05北京理）（15）（本小题共13分） 已知函数f (x )=－x 3＋3x 2＋9x ＋a , （I ）求f (x )的单调递减区间；（II ）（II ）若f (x )在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值． 解：（I ） f ’(x )＝－3x 2＋6x ＋9．令f ‘(x )<0，解得x <－1或x >3， 所以函数f (x )的单调递减区间为（－∞，－1），（3，＋∞）．（II ）因为f (－2)＝8＋12－18＋a =2＋a ，f (2)＝－8＋12＋18＋a ＝22＋a ，所以f (2)>f (－2)．因为在（－1，3）上f ‘(x )>0，所以f (x )在[－1, 2]上单调递增，又由于f (x )在[－2，－1]上单调递减，因此f (2)和f (－1)分别是f (x )在区间[－2，2]上的最大值和最小值，于是有 22＋a ＝20，解得 a ＝－2． 故f (x )=－x 3＋3x 2＋9x －2，因此f (－1)＝1＋3－9－2＝－7， 即函数f (x )在区间[－2，2]上的最小值为－7．2（06北京理）（16）（ 13 分） 已知函数在点处取得极大值5，其导函数 的图象经过点（1，0），（2，0），如图所示：求： （Ⅰ）的值； （Ⅱ）a ，b ，c 的值. 解法一： （Ⅰ）由图象可知，在（－∞，1）上,在(1,2)上,在上,故在,上递增,在(1,2)上递减,因此在处取得极大值,所以.(Ⅱ) 由得 解得 解法二: (Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)设 又 所以 32()f x ax bx cx =++0x ()y f x '=0x ()0f x '>()0f x '<(2,)+∞()0f x '>()f x (,1)-∞(2,)+∞()f x 1x =01x =2()32,f x ax bx c '=++(1)0,(2)0,(1)5,f f f ''===320,1240,5,a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩2,9,12.a b c ==-=2()(1)(2)32,f x m x x mx mx m '=--=-+2()32,f x ax bx c '=++3,,2,32m a b m c m ==-=323()2.32m f x x mx mx =-+由, 即得, 所以. 3（07北京理）19．（13分）如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为2r ，短半轴长为r ，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB 是半椭圆的短轴，上底CD 的端点在椭圆上，记CD=2x ，梯形面积为S 。
大学求极限试题及答案
大学求极限试题及答案试题：1. 求极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)。
2. 计算 \(\lim_{n \to \infty} \left(1 +\frac{1}{n}\right)^n\)。
3. 求 \(\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}\)。
4. 计算 \(\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}\)。
5. 求 \(\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x}\)。
答案：1. \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\)。
解答过程：根据洛必达法则，分子分母同时求导，得到 \(\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = \cos(0) = 1\)。
2. \(\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e\)。
解答过程：利用自然对数的定义，\(\ln(1 + \frac{1}{n})\approx \frac{1}{n}\) 当 \(n\) 趋向于无穷大时，所以 \(\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = \lim_{n \to\infty} e^{\ln\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n} = e^{\lim_{n\to \infty} n \cdot \frac{1}{n}} = e^1 = e\)。
3. \(\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1\)。
解答过程：根据 \(e^x\) 的泰勒展开式，\(e^x = 1 + x +\frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots\)，当 \(x\) 趋向于0时，\(e^x - 1 \approx x\)，所以 \(\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = 1\)。
极限及导数练习题及答案
极限及导数练习题及答案淮南联合大学基础部2008年10月第一章映射，极限，连续习题一集合与实数集基本能力层次：1: 已知：A＝{x|1≤x≤2}∪{x|5≤x≤6}∪{3},B={y|2≤y≤3} 求：在直角坐标系内画出A×B解：如图所示A×B＝{| x?A,y?B }.2：证明：∵ P为正整数，∴p＝2n或p＝2n+1，当p＝2n+1时，p2＝4n2+4n+1，不能被2整除，故p＝2n。
即结论成立。
基本理论层次：习题二函数、数列与函数极限基本能力层次1：解：2：证明：由所以命题成立得cxy?ay?ax?b即 x?ay?b，所以 x?f cy?a3：y?2?xy?y??解：4：用极限定义证明： lim2lg?0,x?0??1,x?0??n?1?1n??nn?1111?1|成立,只要n?取N＝[]，则当n>N时,就有证明：因为 ?? 有|nn??n?11n?1|?1|有定义变知lim?1成立n??nnn5：求下列数列的极限n12?22n2limnlimn??3n??n3nnnn2n2n解：? n?n,又?limn?0,所以 0?limn?0 , 故：limn ＝0n??3n??3x??33312?22n2n111?? 由于n3n36nn111112?22n21又因为：lim?,所以：limn??6n??nn3n3因为：所以：因为：1?n11?1?，并且lim?1,故由夹逼原理得n??nnn?16：解：由于7：解：8：9：习题三无穷小与无穷大、极限运算法则及两个重要极限基本理论层次1：解：习题1.23.求下列极限?limn??n?0??1?为无穷小量。
?n3.求下列函数的极限 x3?2x lim2; x??x?1 13x?1?lim解：?lim3?0 x??x?2xx3x2?x3?2x?lim2不存在。
x??x?1limtan5x; x?02x解：原式=limsin5x1? x?02xcos5x5sin5x1?lim??lim x?025xx?0cos5x5?limtanx?sinx x?0x1?1sinx解：原式=lim ?2x?0xxsinx11?cosx?lim?? x?0xcosxx2sinx11?cosx?lim?lim?lim x?0xx?0cosxx?0x2 x2sin2?1?1?lim2x?0xxsin21 ?lim?x?02x221?limtanx?0?x2;解：原式=limlimtanx?0x?0?x2?1?0?0 1limxx?0;1?2x?2解：原式=lim[)x?0]?e?2?x?4? lim??xx?1?2x?1；2x?11?解：原式=lim?1??x5??令t? x?1,则x??5t?1;x??时t??; ?5?10t?3?1?原式?lim?1??tt???1lim?1??t??t??e?10 limt10?1??lim?1?? tt??31?cosmx ; x?0x2sinmx2) mx22?limmx?02sin lim ; x??x?1解：?limx?1x?1?lim?limx??x3?2xx??x2x??1x2?2x2?12?0 x2 不存在。
函数的极值与导数测试题及答案
函数的极值与导数测试题及答案函数的极值与导数测试题及答案一、选择题1．已知函数f(x)在点x0处连续，下列命题中，正确的是()A．导数为零的点一定是极值点B．如果在点x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极小值C．如果在点x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值D．如果在点x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值[答案] C[解析] 导数为0的点不一定是极值点，例如f(x)＝x3，f(x)＝3x2，f(0)＝0，但x＝0不是f(x)的极值点，故A错；由极值的定义可知C正确，故应选C.2．函数y＝1＋3x－x3有()A．极小值－2，极大值2B．极小值－2，极大值3C．极小值－1，极大值1D．极小值－1，极大值3[答案] D[解析] y＝3－3x2＝3(1－x)(1＋x)令y＝0，解得x1＝－1，x2＝1当x－1时，y0，函数y＝1＋3x－x3是减函数，当－11时，y0，函数y＝1＋3x－x3是增函数，当x1时，y0，函数y＝1＋3x－x3是减函数，当x＝－1时，函数有极小值，y极小＝－1.当x＝1时，函数有极大值，y极大＝3.3．设x0为f(x)的极值点，则下列说法正确的是()A．必有f(x0)＝0B．f(x0)不存在C．f(x0)＝0或f(x0)不存在D．f(x0)存在但可能不为0[答案] C[解析] 如：y＝|x|，在x＝0时取得极小值，但f(0)不存在．4．对于可导函数，有一点两侧的导数值异号是这一点为极值的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] 只有这一点导数值为0，且两侧导数值异号才是充要条件．5．对于函数f(x)＝x3－3x2，给出命题：①f(x)是增函数，无极值；②f(x)是减函数，无极值；③f(x)的递增区间为(－，0)，(2，＋)，递减区间为(0,2)；④f(0)＝0是极大值，f(2)＝－4是极小值．其中正确的命题有()A．1个 B．2个C．3个 D．4个[答案] B[解析] f(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f(x)0，得x2或x0，令f(x)0，得02，①②错误．6．函数f(x)＝x＋1x的极值情况是()A．当x＝1时，极小值为2，但无极大值B．当x＝－1时，极大值为－2，但无极小值C．当x＝－1时，极小值为－2；当x＝1时，极大值为2D．当x＝－1时，极大值为－2；当x＝1时，极小值为2[答案] D[解析] f(x)＝1－1x2，令f(x)＝0，得x＝1，函数f(x)在区间(－，－1)和(1，＋)上单调递增，在(－1,0)和(0,1)上单调递减，当x＝－1时，取极大值－2，当x＝1时，取极小值2.7．函数f(x)的'定义域为开区间(a，b)，导函数f(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点()A．1个 B．2个C．3个 D．4个[答案] A[解析] 由f(x)的图象可知，函数f(x)在区间(a，b)内，先增，再减，再增，最后再减，故函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极小值点．8．已知函数y＝x－ln(1＋x2)，则函数y的极值情况是()A．有极小值B．有极大值C．既有极大值又有极小值D．无极值[答案] D[解析] ∵y＝1－11＋x2(x2＋1)＝1－2xx2＋1＝(x－1)2x2＋1令y＝0得x＝1，当x1时，y0，当x1时，y0，函数无极值，故应选D.9．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于(1,0)点，则函数f(x)的极值是()A．极大值为427，极小值为0B．极大值为0，极小值为427C．极大值为0，极小值为－427D．极大值为－427，极小值为0[答案] A[解析] 由题意得，f(1)＝0，p＋q＝1①f(1)＝0，2p＋q＝3②由①②得p＝2，q＝－1.f(x)＝x3－2x2＋x，f(x)＝3x2－4x＋1＝(3x－1)(x－1)，令f(x)＝0，得x＝13或x＝1，极大值f13＝427，极小值f(1)＝0.10．下列函数中，x＝0是极值点的是()A．y＝－x3 B．y＝cos2xC．y＝tanx－x D．y＝1x[答案] B[解析] y＝cos2x＝1＋cos2x2，y＝－sin2x，x＝0是y＝0的根且在x＝0附近，y左正右负，x＝0是函数的极大值点．二、填空题11．函数y＝2xx2＋1的极大值为______，极小值为______．[答案] 1 －1[解析] y＝2(1＋x)(1－x)(x2＋1)2，令y0得－11，令y0得x1或x－1，当x＝－1时，取极小值－1，当x＝1时，取极大值1.12．函数y＝x3－6x＋a的极大值为____________，极小值为____________．[答案] a＋42 a－42[解析] y＝3x2－6＝3(x＋2)(x－2)，令y0，得x2或x－2，令y0，得－22，当x＝－2时取极大值a＋42，当x＝2时取极小值a－42.13．已知函数y＝x3＋ax2＋bx＋27在x＝－1处有极大值，在x ＝3处有极小值，则a＝______，b＝________.[答案] －3 －9[解析] y＝3x2＋2ax＋b，方程y＝0有根－1及3，由韦达定理应有14．已知函数f(x)＝x3－3x的图象与直线y＝a有相异三个公共点，则a的取值范围是________．[答案] (－2,2)[解析] 令f(x)＝3x2－3＝0得x＝1，可得极大值为f(－1)＝2，极小值为f(1)＝－2，y＝f(x)的大致图象如图观察图象得－22时恰有三个不同的公共点．三、解答题15．已知函数f(x)＝x3－3x2－9x＋11.(1)写出函数f(x)的递减区间；(2)讨论函数f(x)的极大值或极小值，如有试写出极值．[解析] f(x)＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3)，令f(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3.x变化时，f(x)的符号变化情况及f(x)的增减性如下表所示：x (－，－1) －1 (－1,3) 3 (3，＋)f(x) ＋ 0 － 0 ＋f(x) 增极大值f(－1) 减极小值f(3) 增(1)由表可得函数的递减区间为(－1,3)；(2)由表可得，当x＝－1时，函数有极大值为f(－1)＝16；当x＝3时，函数有极小值为f(3)＝－16.16．设函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，在x＝1和x＝－1处有极值，且f(1)＝－1，求a、b、c的值，并求出相应的极值．[解析] f(x)＝3ax2＋2bx＋c.∵x＝1是函数的极值点，－1、1是方程f(x)＝0的根，即有又f(1)＝－1，则有a＋b＋c＝－1，此时函数的表达式为f(x)＝12x3－32x.f(x)＝32x2－32.令f(x)＝0，得x＝1.当x变化时，f(x)，f(x)变化情况如下表：x (－，－1) －1 (－1,1) 1 (1，＋)f(x) ＋ 0 － 0 ＋f(x) ? 极大值1 ? 极小值－1 ?由上表可以看出，当x＝－1时，函数有极大值1；当x＝1时，函数有极小值－1.17．已知函数f(x)＝ax3＋bx2－3x在x＝1处取得极值．(1)讨论f(1)和f(－1)是函数f(x)的极大值还是极小值；(2)过点A(0,16)作曲线y＝f(x)的切线，求此切线方程．[解析] (1)f(x)＝3ax2＋2bx－3，依题意，f(1)＝f(－1)＝0，即解得a＝1，b＝0.f(x)＝x3－3x，f(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)．令f(x)＝0，得x1＝－1，x2＝1.若x(－，－1)(1，＋)，则f(x)＞0，故f(x)在(－，－1)上是增函数，f(x)在(1，＋)上是增函数．若x(－1,1)，则f(x)＜0，故f(x)在(－1,1)上是减函数．f(－1)＝2是极大值；f(1)＝－2是极小值．(2)曲线方程为y＝x3－3x.点A(0,16)不在曲线上．设切点为M(x0，y0)，则点M的坐标满足y0＝x30－3x0.∵f(x0)＝3(x20－1)，故切线的方程为y－y0＝3(x20－1)(x－x0)．注意到点A(0,16)在切线上，有16－(x30－3x0)＝3(x20－1)(0－x0)．化简得x30＝－8，解得x0＝－2.切点为M(－2，－2)，切线方程为9x－y＋16＝0.18．(2010北京文，18)设函数f(x)＝a3x3＋bx2＋cx＋d(a0)，且方程f(x)－9x＝0的两个根分别为1,4.(1)当a＝3且曲线y＝f(x)过原点时，求f(x)的解析式；(2)若f(x)在(－，＋)内无极值点，求a的取值范围．[解析] 本题考查了函数与导函数的综合应用．由f(x)＝a3x3＋bx2＋cx＋d得f(x)＝ax2＋2bx＋c∵f(x)－9x＝ax2＋2bx＋c－9x＝0的两根为1,4.(1)当a＝3时，由(*)式得，解得b＝－3，c＝12.又∵曲线y＝f(x)过原点，d＝0.故f(x)＝x3－3x2＋12x.(2)由于a0，所以“f(x)＝a3x3＋bx2＋cx＋d在(－，＋)内无极值点”等价于“f (x)＝ax2＋2bx＋c0在(－，＋)内恒成立”由(*)式得2b＝9－5a，c＝4a.又∵＝(2b)2－4ac＝9(a－1)(a－9)解得a[1,9]，即a的取值范围[1,9]．。
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高等数学极限与导数测试题
（时间：120分钟）
1.
求极限1
32lim e 2x x x x x →∞⎡⎛⎫-+- ⎪⎢⎝⎭⎣． 2.
求极限lim n
n →∞⎝⎭． 3. 求极限()201cos sin ln 1lim sin x x x x x x
→--++． 4. 设2()cos2f x x x =，求高阶导数(10)()f x ．
5. 求由参数方程222,3x t t y t t
⎧=-⎪⎨=+⎪⎩所确定的函数在1t =时相应的点处的导数d d y x 和二阶导数22d d y x
． 6. 设()3
2()21x f x x =-，求出该函数的定义域、单调区间、凹凸区间、拐点、渐近线和极值，并画出它的图像．
7. 设函数()f x 在区间[],a b 上是可微的，0ab >，证明：存在a c b <<，满足等式[]()()()()()af b bf a f c cf c a b '-=--．
8. 设π02x <<，证明：tan sin x x x x
<． 9. 设0k >，求当k 为何值时，方程arctan 0x kx -=有正实根．
10. 设函数()f x 在区间(),a +∞上二次可导，且()0f x ''≥，证明：若()lim 1x f x x →+∞=，则lim ()1x f x →+∞'=．
参考答案：
1.
16． 2.
ln10． 3. 12
． 4.
()8224cos240sin 290cos2x x x x x -++． 5. 2d 31d 21y t x t +=-，()223
2d 321d 41y t t x t --=-． 6. 定义域为{},1x x x ∈≠且R ；单调区间和凸性区间如下表
拐点为()0,0；渐近线为112y x =+和1x =；极小值为27(3)8
f =；图像略． 7. 提示：构造函数1()()F t tf t =，运用Cauchy 中值定理．
8. 提示：构造函数22()cos sin f x x x x =-．
9. ()0,1k ∈．
10. 提示：证明极限lim ()x f x →+∞'存在，即可运用L'Hospital 法则．。