(完整版)高等数学偏导数第一节题库
高等数学-偏导数的求法
下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:
(1) 函数可微
偏导数存在
(2) 偏导数连续
函数可微
14
定理1(必要条件) 若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 ,
则该函数在该点偏导数
必存在,且有
d z z x z y x y
证: 由全增量公式
得到对 x 的偏增量
x x
x
z lim x z A x x0 x
z x (1, 2)
z x1 1 3y y2
z
y (1, 2)
3
例2
求
f (x, y) x y yx (x 1)2 ( y 2)3 arctan
fx (1,2), f y (1,2)
ex 4 y2 1
解 : f x (1,2) [ f (x,2)] x1 [ x2 2x 0] x1
2z y 2
2x3 18xy
3z 6y2
x3
11
三、函数全微分
二元函数
当x, y 取得增量x, y 时如何方便
求出全增量 Z f x x, y y f x, y
引例:设有一圆柱体,受压后方式变形,它的底面半径由
r 变化到 r r, 高度由 h 变化到 h h. 问圆柱体体积
V 改变了多少.
z [ fx ( 0, 0)x f y ( 0, 0)y]
x y (x)2 (y)2
x y (x)2 (
y)
2
0
o( ) 因此,函数在点 (0,0) 不可微 .
注: 此为证明二元函数可微的方法!
16
定理2 (充分条件) 若函数
的偏导数 z , z x y
在点 (x, y) 连续, 则函数在该点可微分.且
高数 偏导数 知识点与例题精讲
导数，记作
z y
，
f y
，
z
y
或
f
y
(
x
,
y).
偏导数的概念可以推广到二元以上函数
如 u f (x, y,z) 在 (x, y,z) 处
fx(x, y,z)
lim
x0
f ( x x, y, z) x
f (x, y,z),
fy(x, y,z)
lim
y0
f ( x, y y, z) y
x
y
3、设u
x
y z
, 则u
__________;u
__________;
x
y
u ____________. z
4、设z
arctan
y ,则2z x x 2
________; 2 z y 2
_______;
2 z ____________. xy
显然 fxy(0,0) f yx (0,0).
问题：具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？
定理 如果函数z f ( x, y)的两个二阶混合偏导数 2z 及 2z 在区域 D 内连续，那末在该区域内这 yx xy
两个二阶混合偏导数必相等．
例 9 验证函数u( x, y) ln x2 y2 满足拉普拉
高阶偏导数
纯偏导 混合偏导（相等的条件）
1. 偏导数的概念及有关结论 • 定义; 记号; 几何意义
• 函数在一点偏导数存在
函数在此点连续
• 混合偏导数连续
与求导顺序无关
2. 偏导数的计算方法
先代后求
大一高数1-9的习题答案
大一高数1-9的习题答案大一高数1-9的习题答案大一高数是大学数学的基础课程之一，对于理工科学生来说是非常重要的一门课程。
在学习过程中，习题是帮助我们巩固知识、提高能力的重要工具。
下面我将为大家提供大一高数1-9章节的习题答案，希望能对大家的学习有所帮助。
第一章：极限与连续1. 求以下极限：a) lim(x→2) (x^2 - 4) / (x - 2)答案：2b) lim(x→1) (x^2 - 1) / (x - 1)答案：2c) lim(x→0) sinx / x答案：12. 判断以下函数在给定点是否连续：a) f(x) = x^2 + 3x - 2, x = 2答案：连续b) f(x) = 1 / x, x = 0答案：不连续第二章：导数与微分1. 求以下函数的导数：a) f(x) = 3x^2 - 2x + 1答案：f'(x) = 6x - 2b) f(x) = sinx + cosx答案：f'(x) = cosx - sinxc) f(x) = e^x + ln(x)答案：f'(x) = e^x + 1 / x2. 求以下函数的微分：a) f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1答案：df(x) = (6x^2 - 10x + 3)dx b) f(x) = √x + ln(x)答案：df(x) = (1 / (2√x) + 1 / x)dx 第三章：定积分1. 求以下定积分：a) ∫(0 to 1) x^2 dx答案：1 / 3b) ∫(1 to 2) 2x dx答案：3c) ∫(0 to π) sinx dx答案：22. 求以下定积分：a) ∫(0 to 1) (x^3 + 2x^2 + x) dx 答案：7 / 12b) ∫(1 to 2) (2x^2 + 3x + 1) dx答案：19 / 3第四章：不定积分1. 求以下函数的不定积分：a) ∫(3x^2 - 2x + 1) dx答案：x^3 - x^2 + x + Cb) ∫(2sinx + cosx) dx答案：-2cosx + sinx + C2. 求以下函数的不定积分：a) ∫(2x^3 + 3x^2 + x) dx答案：(1 / 2)x^4 + x^3 + (1 / 2)x^2 + C b) ∫(e^x + 1 / x) dx答案：e^x + ln|x| + C第五章：级数1. 判断以下级数是否收敛：a) ∑(n = 1 to ∞) (1 / n^2)答案：收敛b) ∑(n = 1 to ∞) (1 / n)答案：发散2. 判断以下级数是否收敛：a) ∑(n = 1 to ∞) (1 / 2^n)答案：收敛b) ∑(n = 1 to ∞) (n / 2^n)答案：收敛第六章：多元函数微分学1. 求以下函数的偏导数：a) f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2答案：∂f / ∂x = 2x + 2y, ∂f / ∂y = 2x + 2yb) f(x, y) = sinx + cosy答案：∂f / ∂x = cosx, ∂f / ∂y = -siny2. 求以下函数的全微分：a) f(x, y) = x^3 + 2xy^2答案：df = (3x^2 + 2y^2)dx + (4xy)dyb) f(x, y) = e^x + ln(y)答案：df = e^xdx + (1 / y)dy第七章：多元函数积分学1. 求以下二重积分：a) ∬(D) x^2 dA, D为单位圆盘答案：π / 3b) ∬(D) y dA, D为正方形区域，顶点为(0, 0), (1, 0), (0, 1), (1, 1) 答案：12. 求以下二重积分：a) ∬(D) (x + y) dA, D为上半平面答案：无穷大b) ∬(D) (2x + 3y) dA, D为单位正方形答案：5 / 2第八章：无穷级数1. 判断以下级数是否收敛：a) ∑(n = 1 to ∞) (1 / n^3)答案：收敛b) ∑(n = 1 to ∞) (1 / 2^n)答案：收敛2. 判断以下级数是否收敛：a) ∑(n = 1 to ∞) (n / 2^n)答案：收敛b) ∑(n = 1 to ∞) (n^2 / 2^n)答案：收敛第九章：常微分方程1. 求以下常微分方程的通解：a) dy / dx = x^2答案：y = (1 / 3)x^3 + Cb) dy / dx = 2x + 1答案：y = x^2 + x + C2. 求以下常微分方程的特解：a) dy / dx = y^2, y(0) = 1答案：y = 1 / (1 - x)b) dy / dx = 2x, y(0) = 3答案：y = x^2 + 3以上是大一高数1-9章节的习题答案，希望能对大家的学习有所帮助。
高等数学偏导数第一节题库
【090101】【计算题】【较易0.3】【多元函数的概念】【多元函数的定义域】【试题内容】设z y x yx y =++arctan 122，求该函数的定义域。
【试题答案及评分标准】x ≠0为该函数的定义域。
10分【090102】【计算题】【较易0.3】【多元函数的概念】【多元函数的定义域】 【试题内容】求函数的定义域。
【试题答案及评分标准】10分【090103】【计算题】【较易0.3】【多元函数的概念】【多元函数的定义域】 【试题内容】设，其中x ≠0，假如当 x =1时，z y =+12，试确定f x ()及z 。
【试题答案及评分标准】x =1时，z f y y ==+()12，所以f x x ()=+125分 z x y x x xx y =+⎛⎝ ⎫⎭⎪=+122210分【090104】【计算题】【较易0.3】【多元函数的概念】【多元函数的定义域】 【试题内容】设z x y f x y =++-()，已知y =0时， z x =2，求f x ()和z 。
【试题答案及评分标准】y =0时，z x =2，得x f x x +=()2 所以f x x x ()=-25分 所以z x y x y x y x y y =++---=-+()()()22210分【090105】【计算题】【中等0.5】【多元函数的概念】【多元函数的定义域】 【试题内容】设z y f x =+-()1，其中x y ≥≥00,，假如y =1时z x =，试确定函数f x ()和z 。
【试题答案及评分标准】y =1时，z f x x =+-=11() 所以f x x ()-=-113分令x t x t -==+112,()所以f t t t t f x x x ()(),()=+-=+=+11222227分所以()z y x x y x x y =+-+-=+-≥≥()(),1211002 10分【090106】【计算题】【较易0.3】【多元函数的极限】【极限的计算】 【试题内容】求极限 。
高等数学基础概念解读及例题演练-偏导数及多元复合函数的求导法则
存在，那么称极限为函数z= J(x,y） 在点（布，Yo ） 处对于x的偏导数，记作
一｜。＇ZI
δ!X lx=xo
;:ll'I ，斗ax lx=xo
,z;lx＝句或兀（xo ,Yo ). )I＝均
类似的，函数 z =f(x,y） 在点（x。. ，Yo ） 对y的偏导数定义为
lim ／（布，Yo +11y)-f（句，Yo )
dt
［答案J e' (cost-sint)+cost
第三节全微分及全微分形式不变性 设函数Z = f(x,y） 在点。，y） 的某邻域内有定义，如果函数在点（x,y） 的全增量
&=f(x＋缸， y+6y)-f(x,y)
可以表示为 ＆＝AAt+B6y+o(p),
其中 A,B 不依赖于 llx和6y ，而仅与 x和y 有关， p=o（」（At)2+(6y）勺，那么称函数
az , az 例13设
z=f(lnx
＋
一），其中函数
y
f(u
）
可微，贝tlx
一
ax
＋
Y'�
一
命
＝
［答案JO
(2012年，数学二）
f 例14设 z = f(x+ y,x-y，圳，其中 具有二阶连续偏导数， 求dz 与£ axay 乙
λ（
［答案］飞
’＋J;’＋yj3' I)dx＋飞（刀’＋儿’＋乓f；＇ I）命；
【解题步骤】理清函数与变元之间的关系z (1）画出函数结构图，理清函数间复合关系，注意到哪些变元是自变量，中间变量，因变量． (2）注意函数映射是多元函数，还是一元函数， 注意导数符号的不同． (3）先对中间变量求偏导，再乘以中间变量对自变量的偏导数．
高等数学第一章测试题
高等数学第一章测试题测试题一：导数与求导法则1. 求以下函数的导数：(a) $y = 3x^4 - 2x^3 + 5x^2 - 7x + 4$(b) $y = \sqrt{2x^3 + 5x^2 - 3x + 1}$(c) $y = e^x \cdot \ln{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}$2. 利用导数的定义计算以下函数在给定点处的导数：(a) $f(x) = 3x^2 + 2x + 1$，在点$x = 2$处的导数(b) $g(x) = \frac{1}{x^2}$，在点$x = -1$处的导数(c) $h(x) = \sin{x}$，在点$x = \frac{\pi}{4}$处的导数3. 根据给定函数的导数，确定函数的表达式：(a) 已知函数$f'(x) = 2x^3 - 3x^2 + 5x - 1$，求$f(x)$。
(b) 已知函数$g'(x) = \frac{1}{x^2} - 3x$，求$g(x)$。
(c) 已知函数$h'(x) = e^x \cdot \cos{x}$，求$h(x)$。
测试题二：微分与应用1. 计算以下函数在给定点处的微分：(a) $y = \sqrt{x^2 + 3x + 2}$，在点$x = 2$处的微分(b) $y = e^x \cdot \ln{x}$，在点$x = 1$处的微分(c) $y = \sin{x} \cdot \cos{2x}$，在点$x = \frac{\pi}{6}$处的微分2. 使用微分，求以下函数的近似值：(a) $f(x) = \sqrt[3]{x}$，当$x$接近于$8$时的近似值(b) $g(x) = \ln{(1 + x)}$，当$x$接近于$0$时的近似值(c) $h(x) = e^{2x}$，当$x$接近于$0$时的近似值3. 利用微分进一步求解以下问题：(a) 当物体从起点开始以速度$v(t) = 5t - 2$移动时，求$t = 3$时的位移。
偏导数(习题课)
的二元函数，记作 z f (x, y) 其中x, y为自变量， z为因变量，(x, y)变化的范围 D称为函
数的定义域。设点 (x0, y0 ) D,则，z f (x, y)称为对应于 (x0, y0 )
的函数值，函数值的总体称为函数的值域。 类似地，可定义三元函数及其他多元函数。
Hale Waihona Puke 2 z ex cos(2x y) 2ex sin(2x y) yx
JPZX９
学生练习：
1.求下列函数的偏导数:
(1) z xe y
(2) z arctan x y
2.求下列函数的二阶偏导数:
(1) z exy
(2) z sin2 (x y)
JPZX10
x x2 y2
f y(x, y) 1 2
2y 1
x2 y2
y x2 y2
所以
f (3,4) 1 3 2 55
f y(0,5) 11 0
JPZX5
高阶偏导数
高阶偏导数可定义为相应低一阶偏导数的偏导数.例如设
函数z f (x, y)在区域D内具有偏导数：
§18～6 偏导数（习题课）
• 复习回忆:
1.二元函数的定义 2.偏导数的概念 3.二元函数的偏导数 4.高阶偏导数
• 例题分析: • 学生练习:
例一: 例二: 例三:
JPZX1
二元函数的定义 定义1 设有三个变量 x, y和z,如果当变量 x, y在某一给定
的二元有序实数对 D内任取一对值 (x, y)时，变量z按照一定
x
z ex cos(2x y) y
高等数学11.2多元函数的偏导数和全微分-精选文档
高等数学
主讲人 宋从芝
11.2
多元函数的偏导数与全微分
本讲概要 偏导数的概念 高阶偏导数
全微分
一、偏导数的概念
１.偏导数的定义
定义1 设函数 z = f(x , y) 在点 P0(x0 , y0)及其近旁 有定义. 若极限
f ( x xy ,0 ) f ( x ,y ) 0 0 0 l i m x 0 x
2 z z z ; (x fyx ,y ) z yx y x y y x x
z z 2z y y y 2 y y
. (x fyy ,y ) z yy
(x, y) 称为二阶混合偏导数. (x, y) 及 fyx 其中 fxy
类似的，可以定义三阶、四阶、… 、n 阶偏导数，
而 f ( x ,y ) , 二阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数， x f ( x , y ) 称为函数 f ( x , y ) 的一阶偏导数. y
偏导数都存在， 那么这个偏导数是 x , y 的函数，此函 数称为函数 z = f ( x , y ) 对自变量 x 的偏导函数， 记作
z , f ( x, y), z (x fx ,y ). x 或 x x 可以定义函数 z = f (x , y) 对自变量 y 的偏导 类似地，
代入等式左边得
u u u x y z
2 2 2
2
2
2
4 x y z 4 u 4 x 4 y 4 z
2 2 2
3.偏导数的几何意义
我们知道 一元 函数 y = f (x) 的导数的几何 意义是曲线 y = f (x) 在点 (x0 , y0) 处切线的斜率， 而二元函数 z = f ( x , y ) 在点( x0 , y0) 处的偏导数， 实际上就是一元函数 z = f ( x , y0) 及 z = f (x0 , y ) 分别在点 x = x0 及 y = y0 处的导数． 因此二元函 数 z = f (x , y) 的偏导数的几何意义 也是曲线切线 的斜率.
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xy 2 x2 2 y 4
不存在，故
f (x, y) 在（ 0， 0）不连续。
y0
8分 10 分
【090126 】【计算题】 【中等 0.5】【多元函数的连续性】 【多元函数的连续性】
【试题内容】讨论函数 f (x, y)
2 xy x2 y2 0
( x, y) ( 0,0)
在点（ 0， 0）处的连续性。
xy( x y) x2 y2 0
(x, y) (0,0) 在点（ 0，0）处的连续性。 ( x, y) (0,0)
【试题答案及评分标准】
xy(x y) 解：由于 x 2 y2
x2 y x2 y2
（当 x 0, y 0 时）
y2 x x2 y2
xy
0
8分
所以 lim f (x, y) 0 f ( 0,0) x0 y0
故 f ( x, y) 在（ 0， 0）处连续。
10 分
【090124 】【计算题】 【中等 0.5】【多元函数的连续性】 【多元函数的连续性】
【试题内容】讨论函数 f (x, y)
xy2 x2 y2 0
x2 y2 0
在点（ 0， 0）处的连续性。
x 2 y2 0
【试题答案及评分标准】
xy 2
y2
解：由于
【090106 】【计算题】 【较易 0.3】【多元函数的极限】 【极限的计算】
【试题内容】求极限 lim y sin 2 x 。 x 0 xy 1 1
y0
【试题答案及评分标准】
解： lim y sin 2 x x 0 xy 1 1
y0
y sin 2x ( xy 1 1)
lim
6分
x0
xy
y0
=4
10 分
( x, y) (0,0) 在点（ 0， 0）处的连续性。 ( x, y) (0,0)
【试题答案及评分标准】
解：由于 lim
xy 2
x 0 x2 2y4
lim
x3
x 0 x2 2y4
lim x x 01 2x2
0
4分
yx 0
xy 2
y4
1
lim
x y2
0
x2
2y4
lim
y0
y4
2y4
3
y0
则 lim x0
【试题内容】试求函数
f (x, y)
xy
的间断点。
sin 2 x sin 2 y
【试题答案及评分标准】
解：显然当 ( x, y) (m,n) m, n Z 时， f ( x, y) 没定义，故不连续。 5 分
又 f (x, y)
xy
sin 2 x
sin 2
是 初 等 函 数 ， 所 以 除 点 (m,n) （ 其 中 y
【试题内容】试求函数 f (x, y, z) ln
1
的间断点。
x2 y2 z2 1
【试题答案及评分标准】
解：因为在区域 x 2 y 2 z2 1 及 x 2 y 2 z2 1 连续，故间断点为 x 2 y 2 z2 1 。
10 分 【090115】【计算题】 【较易 0.3】【多元函数的连续性】 【多元函数的间断点】
【090107 】【计算题】 【较易 0.3】【多元函数的极限】 【极限的计算】
【试题内容】求极限
1 lim
x0 y0
x2 y x3 y2
1 sin( xy) 。
【试题答案及评分标准】
解：原式 = lim
x2y sin( xy)
4分
x y
0 0
x3 y 2 (1
x 2 y 1)
1
sin( xy)
lim
x2 x2
y2 y 2 的连续性。
【试题答案及评分标准】
x2 y2
解：由于 f ( x, y)
x2
是初等函数，所以除（ 0，0）点以外处处连续。
y2
6分
但在（ 0,0）点， f ( x, y) 没定义，则在（ 0,0）点不连续。
10 分
【090119】【计算题】 【较易 0.3】【多元函数的连续性】 【多元函数的连续性】
【试题内容】求极限
lim
x0
3y3 x2
2 yx 2 xy y 2
。
y0
【试题答案及评分标准】
3y3 2 yx 2 解： x 2 xy y2
y
(3y 2 2x 2 ) x2 xy y 2
3y2 2x2
3( y2 x2 )
又 x 2 xy y 2
6 1 (x2 y2)
6分
2
lim y 0
8分
x0
y0
故原式 =0
m, n Z ）以外处处连续。
10 分
【090117】【计算题】 【较易 0.3】【多元函数的连续性】 【多元函数的间断点】
【试题内容】求函数 f ( x, y)
1 x sin
y 0
y 0 的间断点。 y0
【试题答案及评分标准】
解：只需讨论 x 轴上的点（ y 0 ）
对于（ 0， 0）点，由于 lim f (x, y) 0 f (0,0) x0 y0
【试题答案及评分标准】 y 0 时， z x2 ，得 x f ( x) x2
所以 f (x) x 2 x
5分
所以 z x y ( x y) 2 ( x y) ( x y) 2 2 y
10 分
【090105 】【计算题】 【中等 0.5】【多元函数的概念】 【多元函数的定义域】
【试题内容】设 z y f ( x 1) ，其中 x 0, y 0 ，如果 y 1时 z x ，试确定函
8分
x y
0 0
1
x2y 1
xy
1
10 分
2
【090108 】【计算题】 【较易 0.3】【多元函数的极限】 【极限的计算】
【试题内容】求极限
lim x 04
y0
x
xye
。
16 xy
【试题答案及评分标准】
解： lim x 04
y0
xye x 16 xy
xyex (4 16 xy)
lim
8分
x0
xy
y0
10 分
【090111】【计算题】 【中等 0.5】【多元函数的极限】 【极限的计算】
【试题内容】求极限
lim ( x 2 y 2 )x 2 y 2 x 0 1 cos( x 2 y 2 )
。
y0
【试题答案及评分标准】
解：原式 = lim (x 2 y 2 ) x 2 y 2
x y
0 0
1 (x2
y2 )2
=－8
10 分
【090109 】【计算题】 【中等 0.5】【多元函数的极限】 【极限的计算】
【试题内容】求极限 lim( x 2 x0 y0
y) sin 1 。 x
【试题答案及评分标准】
解：由于 lim( x 2 y) 0
1 sin 1
8分
x0
x
y0
所以原式 =0
10 分
【090110】【计算题】 【中等 0.5】【多元函数的极限】 【极限的计算】
【试题内容】试求函数 f (x, y) sin 1 的不连续点。 xy
【试题答案及评分标准】
解：由于 f (x, y)
1 sin
是初等函数， 所以除 xy
0 的点以外处处连续。
xy
5分
在 xy 0 （即 x 轴和 y 轴）上点 f ( x, y) 没定义，因而不连续。 10 分
【090116】【计算题】 【中等 0.5】【多元函数的连续性】 【多元函数的间断点】
y
xy
0 x2 y2
x2 y2 x2 y2
x2
y2
xy
0
（当 x 0, y 0 时）
6分
所以
lim
x0
x3 x2
y3 y2
0
f (0,0)
8分
y0
故 f ( x, y) 在（ 0， 0）点连续。
10 分
【090123 】【计算题】 【中等 0.5】【多元函数的连续性】 【多元函数的连续性】
【试题内容】讨论函数 f (x, y)
数 f (x) 和 z。
【试题答案及评分标准】
y 1时， z 1 f ( x 1) x 所以 f ( x 1) x 1
3分
令 x 1 t , x (t 1) 2 所以
f (t ) (t 1) 2 1 t 2 2t , f ( x) x2 2 x
7分
所以 z y ( x 1)2 2( x 1) y x 1 x 0, y 0 10 分
( x, y) (0,0)
【试题答案及评分标准】
解：由于
lim 2 xy x 0 x2 y2
lim 2kx2 x 0 x2 k2 x2
2k 1 k 2 （ k 为常数）
6分
y kx 0
则
lim
x0
2xy x2 y 2
不存在，
8分
y0
故 f ( x, y) 在（ 0， 0）不连续。
10 分
【090127 】【证明题】 【中等 0.6】【多元函数的概念】 【 【试题内容】
【090101 】【计算题】 【较易 0.3】【多元函数的概念】 【多元函数的定义域】
【试题内容】设 z
y
arctan
x
1
y x2
，求该函数的定义域。
y2
【试题答案及评分标准】 x 0 为该函数的定义域。
【090102 】【计算题】 【较易 0.3】【多元函数的概念】 【多元函数的定义域】