大学课件 高等数学 偏导数
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《高等数学偏导数》课件
6. 总结
偏导数在数学中扮演着重要的角色，它不仅可以帮助我们解决实际问题， 还可以拓展我们对多元函数的理解。 随着技术的进步和研究的深入，偏导数的应用将愈发广泛。
7. 参考文献
• 常用高等数学 课件
让我们一起探索高等数学中的偏导数，了解它的定义、性质、应用和几何意 义。这是一门重要而有趣的数学概念，深入了解它将帮助我们更好地理解多 元函数和曲面切平面的关系。
1. 引言
什么是偏导数？偏导数是用来描述多元函数中某个自变量变化对应的函数 变化率的工具。 了解偏导数的应用和重要性将帮助我们解决实际问题，优化函数以及在工 程、经济学等领域中进行分析。
2. 偏导数的定义和求法
• 多元函数的概念 • 偏导数的定义 • 常见偏导数的求法
3. 偏导数的性质
• 可微性和连续性 • 混合偏导数的对称性 • 微分的链式法则
4. 偏导数的应用举例
1. 流量与速度 2. 梯度和方向导数 3. 泰勒公式及其应用
5. 偏导数的几何意义
• 曲面切平面 • 二阶微分与极值判定 • 条件极值
《偏导数的概念》课件
偏导数的几何意义
偏导数在几何上表示函数曲面在某一 点处的切线斜率。
对于二元函数z=f(x,y)，其在点(x0,y0) 处的偏导数即为该点处曲面切线的斜 率。
偏导数的计算方法
通过求导法则进行计算：链式法则、乘积法则、商的法则、复合函数求导 法则等。
对于多元函数的偏导数，需要分别对各个自变量求导，然后根据具体问题 选择合适的方向进行计算。
商的乘积。
乘积法则
对于两个函数的乘积，其偏导数为各 自函数的偏导数的乘积加上各自函数 对另一变量的导数的乘积。
反函数法则
对于反函数的偏导数，等于原函数在 该点的导数的倒数。
03
CATALOGUE
偏导数在几何中的应用
曲线的切线
总结词
偏导数可以用来求曲线的切线。
详细描述
在几何学中，曲线的切线是曲线在某一点的邻近线段的行为。通过偏导数，我 们可以找到曲线在某一点的切线斜率，从而确定切线的方向和位置。
描述热量在物体中的传递和扩散过程。
电场与磁场
总结词
偏导数在电场和磁场的研究中也有着重要的应用，它可 以帮助我们理解和描述电场和磁场的变化规律。
详细描述
电场和磁场是物理学中两个重要的物理量，它们描述了 电荷和电流产生的场。在研究电场和磁场时，我们常常 需要用到偏导数来描述它们的变化规律。通过偏导数， 我们可以计算出电场和磁场在不同位置的值，从而更好 地理解和描述电场和磁场的变化规律。
THANKS
感谢观看
边际分析
边际分析
偏导数提供了对经济变量边际变化的度量，即当其他条件保持不变时，某一变量变化一 个单位所引起的另一变量的变化量。
边际成本和边际收益
在决策分析中，偏导数用于计算边际成本和边际收益，帮助企业了解产品定价、产量决 策的合理性。
大学数学偏导数PPT课件
例6 设u eax cosby,求u的二阶偏导数 .
解 u aeax cosby, x
u beax sin by, y
2u x2
a2eax
cos by,
2u y2
b2eax
cos
by,
2u abeax sin by, 2u abeax sin by.
xy
yx
定理 若z f ( x, y)的混合偏导数 2z 和 2z 在D内连续, xy yx
f x( x0 , y0 ).
记作 :
z ,
x x x0 y y0
f ,
x x x0 y y0
zx
x x0 ,
y y0
f x ( x0 , y0 ),
f x( x0 , y0 ).
同理z f ( x, y)在( x0 , y0 )处对y的偏导数定义为
lim yz lim f ( x0 , y0 y) f ( x0 , y0 ) ,
结束语
感谢聆听
不足之处请大家批评指导
Please Criticize And Guide The Shortcomings
讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
x r y r z r
x2 y2 z2
r2 r.
x y z r r r r
◆有关偏导数的两点说明： １、偏导数 z 是一个整体记号 ,不能拆分; x ２、 求分界点处的偏导数要用定义求. 例如, 设z f ( x, y) xy , 求f x (0, 0), f y (0, 0).
y y0
z () y x x0
y y0
z x x x0
y y0
z () , x x x0
y y0
《高数偏导数》课件
《高数偏导数》PPT课件
# 高数偏导数
基础知识
多元函数
学习多元函数的概念和特 性，为理解偏导数打下基 础。
偏导数的定义
掌握的意义。
偏导数的几何意义
通过几何图形和实例解释 偏导数的几何意义，加深 理解。
求偏导数的方法
1 隐函数求导
介绍如何求多元函数中的隐函数偏导数。
3 优秀的学习资源推荐
推荐一些优质的学习资源，帮助学生深入学习和提高。
偏导数在计算机科学中的应用
最小二乘法
解释最小二乘法如何利用偏 导数来进行参数估计和数据 拟合。
支持向量机
介绍支持向量机和偏导数在 机器学习中的关联。
神经网络
阐述神经网络及其反向传播 算法中偏导数的作用。
总结
1 复习提醒
总结复习重点，为巩固知识提供指导。
2 特别注意的要点
强调解题过程中需要特别注意的关键要点。
2 利用公式求导
学习利用公式计算多元函数的偏导数，掌握基本技巧。
3 高阶偏导数
引入高阶偏导数的概念，并介绍求解高阶偏导数的方法。
偏导函数的性质
1
连续性
讨论偏导函数的连续性条件，深入研究其数学性质。
2
求导法则
总结偏导函数的求导法则和常见推广公式，为后续应用打下基础。
3
需要注意的问题
强调在处理偏导数时需要注意的特殊情况和常见错误。
# 高数偏导数
基础知识
多元函数
学习多元函数的概念和特 性，为理解偏导数打下基 础。
偏导数的定义
掌握的意义。
偏导数的几何意义
通过几何图形和实例解释 偏导数的几何意义，加深 理解。
求偏导数的方法
1 隐函数求导
介绍如何求多元函数中的隐函数偏导数。
3 优秀的学习资源推荐
推荐一些优质的学习资源，帮助学生深入学习和提高。
偏导数在计算机科学中的应用
最小二乘法
解释最小二乘法如何利用偏 导数来进行参数估计和数据 拟合。
支持向量机
介绍支持向量机和偏导数在 机器学习中的关联。
神经网络
阐述神经网络及其反向传播 算法中偏导数的作用。
总结
1 复习提醒
总结复习重点，为巩固知识提供指导。
2 特别注意的要点
强调解题过程中需要特别注意的关键要点。
2 利用公式求导
学习利用公式计算多元函数的偏导数，掌握基本技巧。
3 高阶偏导数
引入高阶偏导数的概念，并介绍求解高阶偏导数的方法。
偏导函数的性质
1
连续性
讨论偏导函数的连续性条件，深入研究其数学性质。
2
求导法则
总结偏导函数的求导法则和常见推广公式，为后续应用打下基础。
3
需要注意的问题
强调在处理偏导数时需要注意的特殊情况和常见错误。
高等数学 下册-偏导数 ppt课件
p V T RT 1 V T p pV
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二、高阶偏导数
设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数
z z f x ( x, y ) , f y ( x, y ) x y 若这两个偏导数仍存在偏导数， 则称它们是z = f ( x , y )
第二节 偏 导 数
一、 偏导数概念及其计算 二 、高阶偏导数
第八章
机动
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结束
一、 偏导数定义及其计算法
引例: 研究弦在点 x0 处的振动速度与加速度 , 就是 将振幅
中的 x 固定于 x0 处, 求
关于 t 的
一阶导数与二阶导数.
u o
u ( x0 , t )
u(x , t )
x0
x
;
f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) 注意: f x ( x0 , y0 ) lim 0 x f ( x x x) f ( x0 ) d y 0 f ( x0 ) lim x 0 x d x x x0
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f y
是曲线
x x0 y y0
Tx
y0
Ty
o x
y
d f ( x0 , y) y y0 dy
x0
在点M0 处的切线 M 0Ty 对 y 轴的
斜率.
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注意： 函数在某点各偏导数都存在,
但在该点不一定连续.
xy , x2 y2 0 2 例如, z f ( x, y ) x y 2 0 , x2 y2 0
高等数学高数课件 9.2偏导数
0.
可以看出关于y的偏导可通过互换变量x,y而得到。
若将函数的自变量互换后，函数的表达式不变，
则称该二元函数具有对称性，即 z(x, y) z( y, x)
若将函数的自变量互换后，函数的表达式相反，
则称该二元函数具有反对称性，即 z(x, y) -z( y, x)
1）若 z(x, y)具有对称性，计算二阶偏导数时，先
自变量x 的偏导数，
记作z x
，f x
，z
x
或
f
x
(
x
,
y
)
.
同理可以定义函数z f ( x, y)对自变量 y 的偏
导数，记作 z y
，f y
，
z
y
或
f
y
(
x,
y).
偏导数的定义
对自变量 y 的偏导数为 f y x, y , … . 偏导数的概念
可推广到二元以上的函数.
例如, 三元函数 u f x, y, z 在 x, y, z处的偏导数
xy
x2 x2
y2 y2
2u x 2
2u y 2
2u z 2
0,
x2 y2 z2.
x换y，y换z， z换x，表达 式不变
证
u x
1 r2
r x
1 r2
x r
x r3
,
2u x 2
1 r3
3x r4
r x
1 r3
3x2 r5
.
由函数关于自变量的对称性, 得
2u y 2
1 r3
3 y2 r5
,
2u z 2
1 r3
3z2 r5
例11 设 f ( x, y)
大学课件高等数学下学期7-2偏导数
y2 y2
)2
.
17/25
设
f
( x,
y)
x3 y x2 y2
0
当( x, y) (0,0),
当(
x,
y
)
求f (0,0).
xy
(0,0)和f
xy
(0,0).
当( x, y) (0,0)时, 按定义得
f x (0,0)
lim x0
f
(0
x,0) x
f
(0,0)
lim 0 x0 x
0
运动. 又如方程
2z x 2
2z y2
0
称为拉普拉斯(laplace)方程, 它在热传导、流体
运动等问题中有着重要的作用.
20/25
练习 1、验证函数 z ln x2 y2 满足拉普拉斯方程:
2z x 2
2z y2
0.
证. 因 z ln x2 y2 1 ln( x2 y2 ),
2
z x
x2
x
y2
,
2z (x2 y2) x 2x x2 ( x2 y2 )2
y2 x2 ( x2 y2 )2 ,
由x, y在函数表达式中的对称性, 立即可写出
z y y x2 y2 ,
2z y2
x2 y2 ( x2 y2 )2
,
即证.
21/25
练习 3.
f
(
x,
y)
x
2
xy y2
f y
,
x x0 y y0
zy
, x x0
y y0
或
f y ( x0 , y0 ).
3/25
如果函数 z f ( x, y) 在区域D内任一点
高等数学偏导数PPT课件.ppt
故函数 f (x, y) 在点(0, 0) 处不连续.
f
(x, y)
xy x2 y2
( x2 y2 0 ),
f (0, 0) 0
但是
lim f (x , 0) f (0, 0) lim 0 0 ,
x0
x
x0
lim f (0, y) f (0, 0) lim 0 0 ,
y0
y
y0
( f y(0,0))x .
例 验证函数 u( x, y) ln x2 y2 满足拉普
拉斯方程
2u x 2
2u y2
0.
解 ln
x2
y2
1 ln( x2 2
y2 ),
u x
x x2
y2 ,
2u (x2 y2) x 2x y2 x2 x2 ( x2 y2 )2 ( x2 y2 )2 ,
求偏导数时,只要将 n 个自变量
中的某一个看成变量,其余的 n－1个
自变量均视为常数, 然后按一元函数 的求导方法进行计算即可 .
例 求 z x2 3xy y2在(1,2)处对 x 的偏导数．
解法一 (用定义)
z x
x 1 y2
lim z(1 x,2) z(1,2)
x0
x
8
.
解法二 (用定义)
f (x x, y, z) f (x, y, z)
fx
(
x,
y,
z)
lim
x0
x
,
f y ( x,
y, z)
lim
y0
f
(x,
y
y, z) y
f
(x,
y, z) ,
fz ( x,
y, z)
f
(x, y)
xy x2 y2
( x2 y2 0 ),
f (0, 0) 0
但是
lim f (x , 0) f (0, 0) lim 0 0 ,
x0
x
x0
lim f (0, y) f (0, 0) lim 0 0 ,
y0
y
y0
( f y(0,0))x .
例 验证函数 u( x, y) ln x2 y2 满足拉普
拉斯方程
2u x 2
2u y2
0.
解 ln
x2
y2
1 ln( x2 2
y2 ),
u x
x x2
y2 ,
2u (x2 y2) x 2x y2 x2 x2 ( x2 y2 )2 ( x2 y2 )2 ,
求偏导数时,只要将 n 个自变量
中的某一个看成变量,其余的 n－1个
自变量均视为常数, 然后按一元函数 的求导方法进行计算即可 .
例 求 z x2 3xy y2在(1,2)处对 x 的偏导数．
解法一 (用定义)
z x
x 1 y2
lim z(1 x,2) z(1,2)
x0
x
8
.
解法二 (用定义)
f (x x, y, z) f (x, y, z)
fx
(
x,
y,
z)
lim
x0
x
,
f y ( x,
y, z)
lim
y0
f
(x,
y
y, z) y
f
(x,
y, z) ,
fz ( x,
y, z)
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y0
方程为
z
y
f (x, y0 .
y),
O
x0
x
y
由于偏导数 f x ( x0 , y0 ) 等于一元函数 f ( x, y0 )的
导数 f ( x, y0 ) xx0 ,故由一元函数导数的几何意义
9
偏导数
可知:
偏导数 f x ( x0 , y0 )在几何上表示
曲线
z
y
f (x, y) y0
lim
z0
f ( x, y, z z) z
f (x, y,z).
5
偏导数
求多元函数的偏导数并不需要新的方法,
如求f x ( x, y),只需将y 看作常量,利用一元函数 的求导法对x求导即可.
例 求 z x2 y sin y在点(1,0)处的两个偏导数.
解 z 2xy,
x
z x2 cos y, y
2
偏导数
lim x z lim f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )
x0 x x0
x
对x的偏导数, 记为
z ,
x x x0 y y0
f ,
x x x0 y y0
z , x
x x0 y y0
或
f x ( x0 , y0 ).
同理, 可定义函数 z f ( x, y)在点( x0 , y0 )处
x
(
x2 (
x2
y2
) xy y2 )2
2
y
x(x2 y2) (x2 y2)2 .
当( x, y) (0,0)时,按定义得
12
偏导数
f
(
x,
y)
x2
xy
y2
0
求f ( x, y)的偏导数.
当( x, y) (0,0), 当( x, y) (0,0).
z 0, x (1,0)
z 2. y (1,0)
例 求 z x y ( x 0) 的偏导数.
解 z yx y1, z x y ln x
x
y
6
偏导数
例 求f ( x, y, z) (z a xy )sinln x2在点(1,0,2)处的
三个偏导数.
解
f x (1,0,2) [sinln x2 ] x1
2 cosln x2 2
x
x1
f y (1,0,2) (0) y0 0, fz (1,0,2) (0) z2 0.
求某一点的偏导数时, 可将其它变量的值 代入,变为一元函数,再求导, 常常较简单.
7
偏导数
例 已知理想气体的状态方程pV RT ,其中
p为压强,V为体积,T为温度, R为常数,
偏导数
偏导数的概念可以 推广到二元以上函数
如, u f ( x, y, z)在( x, y, z)处
f x ( x,
y,z)
lim
x0
f (x
x,
y,z) x
f (x, y,z),
f y ( x,
y,z)
lim
y0
f
( x,
y
y, z) y
f
( x,
y, z) ,
fz ( x,
y,z)
求证 : p V T 1 V T p
证
p
RT V
p V
RT V2
;
V 偏RpT导数的VT记号R只p ;是一T个整p体RV记号,不Tp能 像VR;
一元函数的导数那样可看成是分子与分母的
微分p 的 商V . T V T p
RT V2
R V RT p R pV
1.
8
偏导数
二、偏导数的几何意义
第二节 偏 导 数
partial derivative
偏导数的定义及其计算法 偏导数的几何意义 高阶偏导数
higher-order partial derivative
小结 思考题 作业
1
第八章 多元函数微分法及其应用
偏导数
一、偏导数的定义及其计算法
定义 设函数z f ( x, y) 在点( x0, y0 )的某邻域
例
f
(
x,
y)
x
2
xy
y2
0
当( x, y) (0,0), 当( x, y) (0,0).
求f ( x, y)的偏导数.
解 当( x, y) (0,0)时,
fx(x, y)
y ( x2 y2 ) xy 2x
( x2 y2 )2
y( y2 x2 ) ( x2 y2 )2 ,
fy(x, y)
在点
z f (x, y)
z
M0 z f ( x, y0 ) Ty
Tx z f ( x0 , y)
M0( x0 , y0 , f ( x0 , y0 ))处的切线对
O
y0
y
x轴的斜率;
x0
x
偏导数 f y ( x0, y0 )在几何上表示
曲线
z
x
f (x, y) x0
在点 M0( x0 , y0 , f ( x0 , y0 ))
对y的偏导数, 为
lim yz lim f ( x0 , y0 y) f ( x0 , y0 )
y0 y y0
y
记为
z y
,
x x0 y y0
f y
,
x x0 y y0
zy
, x x0
y y0
或
f y ( x0 , y0 ).
3
偏导数
如果函数 z f ( x, y) 在区域D内任一点
(x, y)处对x的偏导数都存在, 那么这个偏导数
设二元函数 z f ( x, y)在点 M0( x0 , y0 ) 有
偏导数. 如图,
z z f (x, y)
设M0( x0 , y0 , f ( x0 , y0 ))
M0 z f ( x, y0 )
为曲面 z f ( x, y) 上的一点,
过点 M0 作平面 y y0 , 此平面
与曲面相交得一曲线, 曲线的
仍是 x、»y 的二元函数, 它就称为函数
z f ( x, y) 对自变量x的偏导函数 (简称偏导数),
记作
Hale Waihona Puke z , xf x,
zx
或
f x ( x, y).
同理, 可定义函数 z f ( x, y) 对自变量y的
偏导函数 (简称偏导数),
记作 z , y
f , y
zy 或
f y( x, y).
4
内有定义，将y固定为y0, 而x在x0处有增量x时, 函数有相应的增量 (称为关于x的偏增量).
x z f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )
如果极限
lim x z lim f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )
x0 x x0
x
存在, 则称此极限为函数 z f ( x, y)在点( x0 , y0 )处 对x的偏导数, 记为
处的切线对y轴的斜率.
10
偏导数
曲线
z
x2 y2 4
,
在点(2,4,5)处的切线
y 4
与x轴正向所成的倾角是多少?
解
fx
(
x,
y)
1 2
x,
f x (2,4) 1 tan
4
曲线
z
x2 4
y2 , 在点(2,4,5)处的切线
x 2
与y轴正向所成的倾角是多少?
11
偏导数