高等数学-偏导数的求法
高等数学偏导数部分的知识点及习题
= 。
−
例1、设 = ⅇ , sin
ⅆ
，具有连续导数，求 。
ⅆ
例2、设 = 2 − 2 , sin ，求 ， 。
例3、设 =
例4、设 =
, ⅇ− , 2
+ 3
，f具有连续导数，求 ， 。
方向导数的计算
= cos + cos ，，分别为与x轴y轴的正向相交的夹角。
例1、求 = ⅇ2 在点 1,0 处从点 1,0 到 2, −1 的方向导数。
推广：在(, , )中，
=
例2、已知两点 1,1,1 ， 5,7,3 ，求 =
量方向的方向导数。
cos 2
1
+
cos
1
2
+
cos
6 2 + 8 2 在P点沿向
五、梯度
定义函数 = , 在点 , 的梯度，记为graⅆ , = ∇ , = Ԧ + Ԧ。
性质：
1、梯度是一个向量。
2、沿梯度方向的导数达到最大。
2、 = , ，其中 = , , ， = , , 。
=
+
=
+
=
+
3、 = f , ，其中 = ， = 。
=
⋅
+
隐函数方程组求偏导数
探究隐函数方程组的求偏导数方法隐函数方程组求偏导数是高等数学中的重点之一。
在应用数学、物理、化学等领域中，经常会涉及到多元函数的求导问题。
本文将探究隐函数方程组的求偏导数方法，给出具体的操作步骤和应用案例。
我们先来回顾一下隐函数方程组的概念。
隐函数方程组是指一组方程，其中每个方程都包含多个变量，但是其中只有一些变量是显式出现的，其余变量是隐含的。
例如，下面这组方程就可以看作是一个隐函数方程组：x + y + z = 10x^2 + y^2 + z^2 = 30这个方程组中，x、y、z三个变量的每个方程中都有出现，但是其中只有x和y是显式出现的，z是隐含的。
在这种情况下，我们可以用偏导数的概念来求出z对x、y的偏导数。
下面我们就来介绍求解方法。
假设有一个隐函数方程组：F(x, y, z) = 0G(x, y, z) = 0H(x, y, z) = 0我们要求z对x、y的偏导数，可以按照下面的方法进行：1. 对于某个变量t，若t在某个方程中显式出现，则对该方程求偏导数，可得到关于t的偏导数。
2. 对于某个变量t，若t在某个方程中隐含出现，则分别对三个方程求偏导数，得到：∂F/∂x * ∂G/∂y * ∂H/∂z + ∂G/∂x * ∂H/∂y * ∂F/∂z + ∂H/∂x * ∂F/∂y * ∂G/∂z- ∂F/∂x * ∂H/∂y * ∂G/∂z - ∂G/∂x * ∂F/∂y * ∂H/∂z - ∂H/∂x *∂G/∂y * ∂F/∂z3. 将求得的上式带入下面的式子中：∂z/∂x = - (∂F/∂x * ∂H/∂y * ∂G/∂z + ∂G/∂x * ∂F/∂y * ∂H/∂z + ∂H/∂x * ∂G/∂y * ∂F/∂z) / ( ∂F/∂x * ∂G/∂y * ∂H/∂z + ∂G/∂x * ∂H/∂y * ∂F/∂z + ∂H/∂x * ∂F/∂y * ∂G/∂z)同理，可得：∂z/∂y = - (∂F/∂y * ∂H/∂x * ∂G/∂z + ∂G/∂y * ∂F/∂x * ∂H/∂z + ∂H/∂y * ∂G/∂x * ∂F/∂z) / ( ∂F/∂x * ∂G/∂y * ∂H/∂z + ∂G/∂x * ∂H/∂y * ∂F/∂z + ∂H/∂x * ∂F/∂y * ∂G/∂z)4. 按照上述方法，逐步求得z对x、y的偏导数值。
隐函数求偏导的方法
隐函数求偏导的方法
隐函数求偏导是高等数学中的一个重要概念，它是解决多元函数求导问题的一种方法。
在实际应用中，我们经常会遇到一些函数，它们的自变量和因变量之间存在一些隐含的关系，这时候我们就需要用到隐函数求偏导的方法。
隐函数求偏导的基本思想是，将多元函数中的某个变量表示为其他变量的函数，然后对这个函数进行求导。
具体来说，假设有一个函数f(x,y)，其中y是x的函数，即y=y(x)，那么我们可以将f(x,y)表示为f(x,y(x))，然后对它进行求导，得到：
∂f/∂x = (∂f/∂x) + (∂f/∂y) * (dy/dx)
其中，dy/dx表示y对x的导数，也就是y关于x的偏导数。
这个式子告诉我们，如果我们知道了f(x,y)和y(x)的函数关系，就可以通过求导的方式来求出f对x的偏导数。
举个例子，假设有一个函数f(x,y)=x^2+y^2，其中y是x的函数，即y=x^3。
那么我们可以将f(x,y)表示为f(x,x^3)=x^2+x^6，然后对它进行求导，得到：
∂f/∂x = 2x + 6x^5
这个式子告诉我们，当y=x^3时，f对x的偏导数为2x+6x^5。
这个结果可以帮助我们更好地理解函数f(x,y)在y=x^3时的变化规律。
需要注意的是，隐函数求偏导的方法只适用于一些特定的函数，例如y是x的函数的情况。
如果函数中存在多个自变量之间的复杂关系，就需要用到其他的求导方法，例如全微分法、偏导数法等。
隐函数求偏导是高等数学中的一个重要概念，它可以帮助我们更好地理解多元函数的变化规律。
在实际应用中，我们需要根据具体情况选择合适的求导方法，以便更好地解决问题。
9.2偏导数总结
三、高阶偏导数
函数 z f ( x , y ) 的二阶偏导数为
2 z z 2 f xx ( x , y ), x x x
2 z z 2 f yy ( x, y ) y y y
z 2 z z 2 z f yx ( x, y ) f xy ( x, y ), x y yx y x xy
RT p RT 2 ; 证 p V V V RT V R T V pV V 偏导数的记号只是一个整体记号 ; ; T ,不能像 p T p p R R
一元函数的导数那样可看成是分子与分母的 p V . T RT R V RT 微分的商
V T p
f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 ) lim x 0 x
存在, 则称此极限为函数 z f ( x, y )在点( x0 , y0 )处 对x的偏导数, 记为 f , f x ( x0 , y0 ), x x x0
y y0
z x
x x0 y y0
z f , z y 或 f y ( x, y ). , y y
求多元函数的偏导数 并不需要新的方法, 如求f x ( x , y ), 只需将y 看作常量, 利用一元函数
的求导法对x求导即可. 例 求 z x 2 y sin y 在点(1,0)处的两个偏导数. z 解 z 2 xy, x 2 cos y , x y z z 0, 2. x (1,0 ) y ( 1 , 0 ) 例 求 z x y ( x 0) 的偏导数. z z 解 yx y 1 , x y ln x x y
对x的偏导数
对x的偏导数偏导数是高等数学中的重要概念，它是多元函数在某一点处沿着某一坐标轴方向上的导数。
对于一个多元函数f(x1,x2,...,xn)，其在某一点(x1,x2,...,xn)处沿着第i个坐标轴方向上的偏导数定义为：∂f/∂xi。
在本文中，我们将对偏导数进行更详细的介绍。
一、偏导数的概念偏导数是指函数在某一点处，沿着某一坐标轴方向上的导数。
具体来说，偏导数f(x1,x2,...,xn)在点(x1,x2,...,xn)处沿着第i个坐标轴方向上的偏导数为：∂f/∂xi。
其中，∂表示偏导符号，表示只对xi求导，而其他变量视为常数。
二、偏导数的计算方法偏导数的计算方法与一元函数中求导数的方法类似。
对于一个多元函数f(x1,x2,...,xn)，我们可以先将其他自变量视为常数，再对第i 个自变量求导。
例如，对于函数f(x,y)=2x^3+3xy^2，我们可以求出∂f/∂x=6x^2+3y^2和∂f/∂y=6xy。
这就是函数f(x,y)在点(x,y)处沿着x轴和y轴方向上的偏导数。
三、偏导数的应用偏导数在实际应用中有着广泛的应用。
其中，最常见的应用就是在微积分中。
在微积分中，我们需要对多元函数进行求导，而偏导数就是我们求导的基础。
除此之外，偏导数还可以用于优化问题和求解方程组。
在优化问题中，我们需要求出函数的极值点，而偏导数可以帮助我们找到这些点。
在求解方程组中，偏导数也可以帮助我们求解方程组的解。
四、偏导数的注意事项在求偏导数时，需要注意以下几点：（1）偏导数只能在可导的点处计算。
（2）偏导数的计算顺序不影响结果，但需要注意变量的顺序。
（3）对于一些非常数函数，偏导数可能不存在，这需要我们进行特殊处理。
（4）偏导数的计算需要一定的技巧和经验，需要多加练习和思考。
五、总结偏导数是多元函数在某一点处沿着某一坐标轴方向上的导数，是微积分中的重要概念。
通过本文的介绍，我们了解了偏导数的概念、计算方法、应用以及注意事项。
6_1_3 偏导数 高等数学微积分 考研数学
1
二 者 不
f yx (0,0)
lim
x0
f y (x,
0) x
f y (0, 0)
lim
x0
x x
1
Page
14
等
定理. 若 f x y ( x, y)和 f y x ( x, y)都在点( x0 , y0 )连续, 则 f x y ( x0 , y0 ) f y x ( x0 , y0 )
z
y
f (x, y0
y)在点
M0
处的切线
M 0Tx 对 x 轴的斜率.
f y
x x0 y y0
d dy
f (x0 , y)
y
y0
o x0xy0源自y是曲线 斜率.z
x
f (x, x0
y)
在点M0 处的切线
M 0Ty
对
y
轴的
Page 6
注意：函数在某点各偏导数都存在, 但在该点不一定连续.
例如, 显然
x x0
y0 ) dx y
dx
f (x0 , y0 ) x x0
Page 3
同样可定义对 y 的偏导数
f y (x0 , y0 )
lim
y0
f (x0 , y0 y) f (x0 , y0 ) y
d dy
f
(x0 , y)
y y0
若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x
本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立. 例如, 对三元函数 u = f (x , y , z) , 当三阶混合偏导数 在点 (x , y , z) 连续时, 有
fxyz(x, y, z) fyzx(x, y, z) fzxy(x, y, z) fxzy(x, y, z) fyxz(x, y, z) fzyx(x, y, z)
偏导数法解一元三次方程
偏导数法解一元三次方程一、引言在高等数学中，解一元三次方程是一种经典的求解方法。
本文将介绍一种基于偏导数法解一元三次方程的方法，探讨其原理和具体应用。
二、偏导数法简介偏导数法又称牛顿法，是一种求函数极值的方法。
在解一元三次方程时，我们可以利用偏导数法求出方程的根，并进行验证。
三、偏导数法解一元三次方程的步骤1. 设一元三次方程为f(x)=0，求出其一阶偏导数f'(x)。
2. 利用牛顿迭代公式：x_(n+1) = x_n - f(x_n)/f'(x_n)，选择一个初值x_0，并进行迭代计算，直至收敛。
3. 将求得的x值带入原方程f(x)=0中验证是否成立。
四、具体应用举例示例：解方程x^3 - 6x^2 + 9x - 4 = 0。
步骤一：计算一阶偏导数f'(x)。
f'(x) = 3x^2 - 12x + 9步骤二：选择初值x_0并进行迭代计算。
选择x_0 = 1，代入牛顿迭代公式得到x_1，再将x_1代入公式得到x_2，以此类推，直至收敛。
经过计算，当n=4时，x_4 的值收敛到 2.步骤三：将x=2带入原方程验证是否成立。
计算得到2^3 - 6*2^2 + 9*2 - 4 = 0，方程成立。
因此，方程x^3 - 6x^2 + 9x - 4 = 0的解为x=2.五、总结偏导数法是一种求解一元三次方程的有效方法。
通过求出方程的偏导数，利用牛顿迭代公式进行迭代计算，可以得到方程的解，并通过验证来确认结果的准确性。
六、延伸应用偏导数法不仅适用于解一元三次方程，还可以用于解其他类型的方程。
在实际问题中，我们可以运用偏导数法解决包括经济、物理等各领域的实际问题，提高问题求解的效率和准确性。
七、结论偏导数法解一元三次方程是一种有效的求解方法，通过迭代计算和验证，可以得到准确的方程解。
在数学及相关领域的研究和应用中，偏导数法具有重要的意义。
以上就是利用偏导数法解一元三次方程的方法及其应用的介绍。
高等数学：8-2偏导数与全微分
叠加原理也适合二元以上的函数，如 u f x, y, z,
du u dx u dy u dz x y z
14
例5.求下列函数的全微分:
1 z x2 y y2;
2u xyz x 0, x 1
解（1）dz
x0
x
类似地
f y x, y, z ? fz x, y, z ?
2. 对多元函数求关于某一个 自变量的偏导数时, 只需视其它
变量为常数, 根据一元函数的求导公式和求导法则求导即可。
3. 符号
f x
;
f y
等是一个整体;与一元函数的导数符号
dy dx
不同.
定一不
4.偏导数存在
连续.
不一定
3
例1 求 z x 2 3xy y 2 在点 1,2 处的偏导数.
dz Ax By
9
若函数 z f x , y在区域D内各点处都可微分, 则称函数
在D内可微分.
注: 若函数 z f x , y在点 x , y 处可微分，则函数在该点
必连续。
事实上, 由 z Ax By o, 知
lim z 0,
x0 y0
再由 z f x x, y y f x, y, 知
设函数z
z
f x , y 在区域D 内有偏导数 x
fx ' x, y,
z y
fy ' x, y.
若这两个函数的偏导数存在，称其为函数z f x , y 的二阶偏导数.
x
z x
2z x 2
fxx
''x, y,
y
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下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:
(1) 函数可微
偏导数存在
(2) 偏导数连续
函数可微
14
定理1(必要条件) 若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 ,
则该函数在该点偏导数
必存在,且有
d z z x z y x y
证: 由全增量公式
得到对 x 的偏增量
x x
x
z lim x z A x x0 x
z x (1, 2)
z x1 1 3y y2
z
y (1, 2)
3
例2
求
f (x, y) x y yx (x 1)2 ( y 2)3 arctan
fx (1,2), f y (1,2)
ex 4 y2 1
解 : f x (1,2) [ f (x,2)] x1 [ x2 2x 0] x1
2z y 2
2x3 18xy
3z 6y2
x3
11
三、函数全微分
二元函数
当x, y 取得增量x, y 时如何方便
求出全增量 Z f x x, y y f x, y
引例:设有一圆柱体,受压后方式变形,它的底面半径由
r 变化到 r r, 高度由 h 变化到 h h. 问圆柱体体积
V 改变了多少.
z [ fx ( 0, 0)x f y ( 0, 0)y]
x y (x)2 (y)2
x y (x)2 (
y)
2
0
o( ) 因此,函数在点 (0,0) 不可微 .
注: 此为证明二元函数可微的方法!
16
定理2 (充分条件) 若函数
的偏导数 z , z x y
在点 (x, y) 连续, 则函数在该点可微分.且
数可以选择方便的求导顺序.
10
例 2 设z x3 y2 3 xy3 xy 1，
求
2z x2
、
2z yx
、
2z xy
、
2z y 2
及3z x 3
.
解 z 3x2 y2 3 y3 y, z 2x3 y 9xy2 x;
x
y
2z 6xy2, x 2
2z yx
6x2y 9y2
1
2z xy
u z(1 xz) yz ln1 xz
y 将 x, y 看作常数, u 是关于 z 的幂指数函数.
先将函数变形后求导有
lnu yz ln1 xz
或 u e yzln1xz
u (1 xz) yz[ y ln1 xz xyz ]
z
1 xz
5
例4:
求曲线
z
1 x2 y2
在点 1,1,
3 处的切线
偏导数为
( y
)
nz xn1 y
8
例1. 求函数 z ex2 3x y的二阶偏导数及
3z y x 2
.
解 : z (2x 3y)ex23x y x
z y
3x ex2 3x y
2z x2
ex2 3x y[2
(2x
3y)2]
2z x y
ex2 3x y[3 3x(2x
3y)]
2 z ex23x y[3 3x(2x 3y)] yx
d z e2 d x 2e2 d y
(2,1)
19
例3. 设
解: f (x,0,0) x 3 cos x
注意: x , y , z 具有 轮换对称性
f
x
(0,0,0)
3
x cos
x
x
0
1 4
利用轮换对称性 , 可得
f y (0,0,0)
f z (0,0,0)
1 4
d f (0,0,0) f y (0,0,0) d x f y (0,0,0) d y f z (0,0,0) d z
x0 y0
故函数在点 (0, 0) 连续 ;
22
2)
fx (0,0)
lim
x0
f (x,0) x
f (0,0)
lim 0 0 x0 x
0,
同理
f y (0,0) 0.
3) 当(x, y) (0,0)时,
fx (x, y)
sin
1 x2 y2
x2 y (x2 y2)3
lim
(x, x )(0,0)
解: 圆柱体的体积 V r2h V [(r r)2 (h h) r2h]
r2 h2
[2rhr r2h 2rrh hr2 r2h]
r, h 的一个线性函数 的高阶无穷小
当 r , h 很小时 V [2rhr r2h]
与一元函数类似此式称为函数V的全微分.
12
定义: 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y )
2x (2x x2 ln 2) x1 4 ln 4
f y (1,2) [ f (1, y)] y2 ( y) y2 1
4
例3 u 1 xzyz 求 u u u
x y z
解: 将 y, z 看作常数, u 是关于 x 的幂函数. u yz2 (1 xz) yz1 x 将 x, z 看作常数, u 是关于 y 的指数函数.
f f x (0,0)x f y (0,0)y
说明: 此题表明, 偏导数连续只是可微的充分条件. 24
作业
习题册 第八章第二节
高等数学(下)
第六讲
偏导数的求法:
求多元函数对哪个自变量的偏导数, 就将其它自变量看作常数, 用一元函数求 导法则及公式求偏导.
2
例1 . 求 z x2 3xy y2在点(1 , 2) 处的偏导数.
解法1:
z x
2x
3
y
,
z x (1, 2)
z y
3x
2
y
z
y (1, 2)
解法2: z y2 x2 6x 4
fx (x,
y)
lim( x sin 1
x0
2|x| 2
x3 2 | x |3 cos
1) 2|x|
极限不存在 , fx (x, y) 在点(0,0)不连续 ;
同理 , f y (x, y) 在点(0,0)也不连续.
23
4) 下面证明 f (x, y) 在点 (0,0)可微 :
令 (x)2 (y)2 , 则
x 1
和 y 轴正向所构成的倾角.
解 所给的曲线是曲面 z 1 x2 y2 与平面 x 1
的交线。
该曲线在点 1,1, 3 处的切线关于 y 轴的斜率为
z
y
1,1, 3
2 y2
y 1
y 2 y2 y 1
1 3 33
所以，曲线在 1,1, 3 处的切线与 y 轴正向所成的倾角为
tan 3
1 (d x d y d z) 4
21
例4 证明函数
在点 (0,0) 连续且偏导数存在, 但偏导数在点 (0,0) 不连
续, 而 f (x, y) 在点 (0,0) 可微 .
证: 1) 因
xy sin
1 x2 y2
xy x2 y2 2
所以
lim f (x, y) 0 f (0,0)
同样可证 z B , 因此有 y
令y 0, Ax o ( x )
15
注意: 定理1 的逆定理不成立 . 即:
偏导数存在函数 不一定可微 !
反例: 函数 f (x, y)
xy , x2 y2 0 x2 y2
0,
x2 y2 0
易知 fx (0, 0) f y (0, 0) 0 , 但
2 z y2
9x2ex2 3x y
3z y x 2
x
(
2 z ) ex23x y[12x 9y y x
(3 3x(2x 3y))(2x
3y)]
注意:此处 2 z 2 z , 但这一结论并不总成立.
xy yx
9
定理. 若 f xy (x,y)和 f y x (x,y) 都在点(x0 , y0 )连续, 则
du dx udy udz u
18
例1. 计算函数
在点 (2,1) 处的全微分.
解法1:
z yexy , x
z xexy y
z x
(2,1) e2 ,
z y
(2,1) 2e2
d z e2 d x 2e2 d y
(2,1)
解法2:
z
e2 ,
x (2,1)
z
2e2 ,
y (2,1)
(z) y x
2z x y
fx y (x, y)
(z) 2z x y yx
f yx (x, y);
y
(z y
)
2z y2
f y y (x, y)
7
类似可以定义更高阶的偏导数. 例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为
z = f (x , y) 关于 x 的 n –1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶
3
.
6
6
二、高阶偏导数
设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数
z x
fx (x,
y) ,
z y
f y (x, y)
若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z = f ( x , y )
的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导
数:
(z) x x
2z x2
f xx (x, y);
注: 对 x 的偏增量
x x
x Ax o ( x )
其中 Ax 称为对 x 的偏微分 13
由微分定义 :
lim z lim (Ax By ) o ( ) 0