新北师大版九年级数学上册《探索三角形相似的条件(1)(精)
新北师大版九年级上探索三角形相似的条件_图文
两边及夹角
AA/
B/
C/
B
C
改变k值的大小 ，再试一试。
定理 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 。
∴ △ABC∽△DEF
两边及其中一边的对角 想一想 如果△ABC与△A’B’C’两边成比例，且其中一边 所对的角相等，那么这两个三角形一定相似吗？
1.5 2
3
解：∵AE=1.5，AC=2
又∵∠EAD=∠CAB ∴△ADE∽△ABC
(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似) ∵BC=3
练习
1.如图，每组中的两个三角形是否相似？为什么？ A
3 1
E
F
3 1
B
C
（1）
4
5
350
350
2.5
3.5
（2）
（1）相似，因为两边成比例且夹角相等； （2）不相似，因为虽有一个角相等，但该角的 两边不成比例。
2.在△ABC中， ∠B=390，AB=1.8cm,BC=2.4cm;在 △DEF中， ∠D=390，DE=3.6cm,DF=2.7cm.这两个 三角形相似吗？为什么？
相似，因为AB ∶DF=BC ∶DE=2 ∶3，且∠B= ∠D.
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如果两个三角形有两边成比例，
它们一定相似吗？ 不相似
D A
B 45°
45° C
70° 70°
E
F
两边成比例的两个三角形不一定相似。如果再增 加一个条件，你能说出有哪几种可能的情况吗？
两种情况：1、一个角相等； 2、另两边成比例。
我们先来考虑增加一角相等的情况。
如图,D在△ABC的AB边上,AD=1,BD=2,
北师大新版九年级上数学 课件：4.4 探索三角形相似的
4.4 探索三角形相似的条件(1)
问题情境
(1)相似多边形的定义是什么？ 各角分别相等，各边对应成比例的两个多边形叫做
相似多边形。
(2) 什么是相似三角形？ 三角分别相等，三边对应成比例的两个三角形叫做
相似三角形。
(3) 两个三角形满足哪些条件就全等？ ASA(AAS)、SAS、SSS、HL(Rt△)
解：(1)△DBA∽△ABC △DAC∽△ABC △DAC∽ △DBA
(2) ∵△DAC∽ △DBA
AD BD
DC AD
∴AD2=BD·DC
巩固练习
3、将两个全等的等腰直角三角形摆成如图所示的样子 (图中所有点、线都在同一平面内)，请在图中找出两对 相似而不全等的三角形，并说明它们相似的理由。
巩固练习
4、如图，为了测量一个大峡谷的宽度，地质勘探人员在对 面的岩石上观察到一个特别明显的表示点O，再在他们所在 的这一侧选点A、B、D，使得AB⊥AO，DB⊥AB，然后确 定DO和AB的交点C。测得AC=120m，CB=60m，BD=50m， 你能帮助他们算出峡谷的宽AO吗？
课堂小结
相似三角形的判定定理： (1)两角分别相等的两个三角形相似；
合作交流
ⅰ、有一个锐角对应相等的两个直角三角形是否相似？ 为什么？
D
A
C
B
F
E
两角分别相等的两个三角形相似
合作交流
ⅱ、顶角相等的两个等腰三角形是否相似？为什么？ D
A
C
BF
E
两角分别相等的两个三角形相似
范例讲解
例2、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于 点D。 (1)请指出图中所有的相似三角形； (2)你能得出AD2=BD·DC吗？
北师大版九年级数学上册《探索三角形相似的条件》第1课时示范公开课教学设计
第四章图形的相似4.4 探索三角形相似的条件第1课时一、教学目标1.掌握相似三角形的定义及相似三角形的判定方法1.2.会运用三角形相似的判定定理1判别两个三角形相似，并会运用三角形相似解决简单问题.3.借助几何直观探索相似三角形的判定定理，进一步发展合情推理能力和初步的逻辑推理能力.4.在活动中，开发、培养发散性思维，发展探究、合作交流意识、图形分析能力、化归意识和综合运用变换解决有关问题的能力.二、教学重难点重点：掌握相似三角形的定义及相似三角形的判定方法1.难点：会运用三角形相似的判定定理1判别两个三角形相似，并会运用三角形相似解决简单问题.三、教学用具电脑、多媒体、课件、教学用具等.四、教学过程设计相似三角形的定义吗？【归纳】教师活动：通过问题2的引导，带领学生一起归纳相似三角形定义及表示.相似三角形定义：三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形.△ABC与△A'B'C'相似，表示为：△ABC∽△A'B'C'，读作：△ABC相似于△A'B'C'.注意：在写两个三角形相似时应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.问题3：用定义法判定两个三角形相似需要知道哪些条件？预设答案：∠A= ∠A'，∠B= ∠B'，∠C= ∠C'，AB BC CAA'B'B'C'C'A'，则△ABC ∽△A'B'C'.教师活动：通过问题3的提问和解答，强调两个三角形相似需要满足的条件，及已知两个三角形相似可以得到的关系.问题4：判定两个三角形全等有哪些方法？预设答案：角边角（ASA）、角角边（AAS）、边边边（SＳS）、边角边（SAS）、斜边与直角边（HL）.教师活动：简单总结复习回顾中的四个问教师活动：指导学生具体实施验证的方法，分组进行验证.画完后，请解答下列问题:①∠C=∠C'吗？②先量出自己所画的三角形三边的长度，再合作求出对应边的比AB BC CA，，A'B'B'C'C'A' (比值精确到0.1），它们相等吗？③这两个三角形相似吗？预设答案：①∠C=∠C'，②相等，③相似.【探究】任意画出△ABC和△A'B'C'，使得∠A和∠A'都等于∠α，∠B和∠B'都等于∠β，此时，∠C和∠C'相等吗？三边的比AB BC CA，，A'B'B'C'C'A'相等吗？这样的两个三角形相似吗？改变∠α，∠β的大小，再试一试.教师活动：播放两个三角形中有两个相等的角∠α、∠β时三角形另一角及边的比值变化情况，当∠α、∠β变化时，两个三角形的变化情况的动画.指导学生注意观察，判断这两个三角形是否相似.预设答案：两个三角形相似.【归纳】相似三角形的判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似.符号语言：已知: △ABC与△A1B1C1，若存在∠A=∠A1，∠B=∠B1，则有△ABC∽△A1B1C1.教师活动：说明这个判定定理可以进行证明，会在后面章节的内容中学习.【拓展】利用判定定理1证明三角形相似，在找对应角相等时，应注意图形中的隐含条件，如对顶角、公共角等.通过两角相等判定两个三角形相似的基本模型：模型一：平行线型（如下图两种情况，已知DE∥BC）模型二：斜交型（有公共角或对顶角，已知另一组对应角相等）模型三：旋转型（∠1=∠2，另一组角对应相等）教师活动：分别说明上面的几种模型，并进行综合归纳使用判定定理1证明两个三角形相似时要注意寻找的线索：【典型例题】教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.例：如图，D、E分别是△ABC边AB、AC上的点，DE∥BC，AB=7，AD=5，DE=10，求BC的长.教师分析：由已知DE∥BC可得：∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，根据相似三角形的判定定理1，可以得到△ADE∽△ABC，再利用相似三角形对应边成比例的性质，即可求出BC的长.展示完整解题过程：解：∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.1.判断下列说法是否正确？（1）所有的等腰三角形都相似.( )（2）所有的等腰直角三角形都相似.( )（3）所有的等边三角形都相似.( )（4）所有的直角三角形都相似.( )（5）有一个角是100 °的两个等腰三角形相似.( )（6）有一个角是70 °的两个等腰三角形相似. ( )2.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则图中相似三角形共有() A．1对B．2对C．3对D．4对3.如图，D是直角三角形ABC直角边AC 上的一点，若过D点的直线交AB于E，使得到的三角形与原三角形相似，则这样的直线有()A．1条B．2条C．3条D．4条4.已知DE∥BC且∠1=∠B，则图中共有______ 对相似三角形.答案：1.× √ √ × √ ×2.C3.B4.解：∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC∵∠1=∠B，∠A=∠A∴△ACD∽△ABC∴△ADE∽△ABC∽△ACD (3对）∵DE∥BC∴∠EDC=∠DCB，又∵∠1=∠B∴△DEC∽△CDB.共4对.思维导图的形式呈现本节课的主要内容：教科书第90页习题4.5第2、3题.。
北师大版九年级数学上册探索三角形相似的条件第1课时课件
知识梳理
课时学业质量评价
3. 如图，在△ ABC 中，∠ C ＝90°， AC ＝8， BC ＝6， D 为 AB 上一点，
且 AD ＝2，若在 AC 边上取点 E ，使△ ADE 与△ ABC 类似，则 AE 的长
为
或
.
1
2
3
4
第1课时 类似三角形的定义
及其判定定理1
知识梳理
2. 定理：两角分别
、三边
相等
成比例
知识梳理
课时学业质量评价
的两个三角形叫做类似三角形.
的两个三角形类似.
第1课时 类似三角形的定义
及其判定定理1
1. 下列命题中，是真命题的是(
知识梳理
B
)
A. 两个等腰三角形类似
B. 有一个角都是120°的两个等腰三角形类似
C. 两个直角三角形类似
D. 有一个角都是30°的两个等腰三角形类似
课时学业质量评价
4. 如图，在平行四边形 ABCD 中， E 为 BC 边上一点，连接 DE ， F 为线
段 DE 上一点，且∠ AFE ＝∠ B . 求证：△ ADF ∽△ DEC .
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AB ∥ CD ， AD ∥ BC .
∴∠ C ＋∠ B ＝180°，∠ ADF ＝∠ DEC .
典例精讲
例1 如图4，D，E分别是△ABC 的边AB，AC上的点，
DE∥BC，AB=7，AD=5，DE=10，求BC 的长.
解：∵ DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.
∴△ADE∽△ABC
（两角分别相等的两个三角形类似）.
新北师大版数学九年级上册课件：探索三角形相似的条件(第1课时)
7．[2018· 株洲]如图349所示，Rt△ABM和Rt△ADN的斜边分别为正方形 ABCD的边AB和AD，其中AM＝AN.
图349
(1)求证：Rt△ABM≌Rt△ADN； 1 (2)线段MN与线段AD相交于点T，若AT＝ AD，求tan ∠ABM的值． 4 (1)证明：∵AM＝AN，AB＝AD，
3．如图345，在▱ABCD中，F是BC上的一点，直线DF与AB的延长线相交于 点E，BP∥DF，且与AD相交于点P，请从图中找出一组相似的三角形：
△CDF∽△ABP等
△ABP∽△AED或△BEF∽△CDF或△BEF∽△AED或△CDF∽△
．
图345
【解析】 ∵BP∥DE，∴∠ABP＝∠AED，又∠A＝∠A，∴△ABP∽△ AED；同理△BEF∽△CDF；△BEF∽△AED.利用相似三角形的传递性，还可 以得到△CDF∽△AED，△CDF∽△ABP等．
6．如图348，D是△ABC的边AC上的一点，连接BD，已知∠ABD＝∠C， AB＝6，AD＝4，求线段CD的长．
图348
解：在△ABD和△ACB中， ∠ABD＝∠C，∠A＝∠A， ∴△ABD∽△ACB， AB AD ∴AC＝AB. ∵AB＝6，AD＝4， AB2 36 ∴AC＝ AD ＝ ＝9， 4 则CD＝AC－AD＝9－4＝5.
第四章 图形的相似
总第34课时——4 探索三角形相似的条件 (第1课时)
知识管 理 归类探 究 随堂练 习 分层作 业
1．相似三角形的概念
知识管 理
相似三角形：三角分别 相等 ，三边 成比例 的两个三角形叫做相似三角形． 表示方法：△ABC 与△DEF 相似，记作△ABC∽△DEF. 注 意：(1)全等三角形是特殊的相似三角形，它的特殊性体现在相似比为 1. (2)相似三角形的定义，既可以作为相似三角形的判定，又可以作为相似三角形 的性质，其性质为：两个三角形相似，对应角相等、对应边成比例．
北师大版九年级数学上册《探索三角形相似的条件(1)》优质课件
手
形是否为相似 三角形？
啊
新课导入
想一想
议一议
课堂练习
小
结
家庭作业
小结：
相似三角形的定义 相似三角形的判定定理1
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想一想
议一议
课堂练习 小 结 家庭作业
☞
祝同学们 学习进步！
B
A' C
形的两个角对应相 等，那么这两个三 角形相似。可以简
△ABC与△ A'B'C'是否相似?
单说成： 两角对应 相等，两三角形相
似。
B' C'
新课导入
想一想
议一议
课堂练习 小 结 家庭作业
用数学符号表示：
A
A'
咦？是
这么表示 的？
B
B' C'
C
∵ ∠A=∠A'， ∠B=∠B'
∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
4.4探索三角形相似的条件(一)
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想一想
议一议
课堂练习 小 结 家庭作业
三角形相似需要一些什么条 件?今天我们就来讨论一下这个 问题!准备好了吗?
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想一想
议一议
课堂练习 小 结 家庭作业
观察一下:这些图片有什么特点?
不错！这些图片都是相似的。 形状相同、大小不同！
它们有什么 相同点？
相似三
角形的定义
B
AB BC CA
可以作为三
A'B' B'C' C'A'
角形相似的
C'
一种判定方
∴ △ABC∽△A'B'C'
北师大版九年级数学上4.4探索三角形相似的条件(一)教学课件 (共16张PPT)
•
判一判
判断下列说法是否正确？并说明理由.
√ 1.有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似.（ ）
2.有一个角相等的两个等腰三角形相似.
（×）
D
A
平行顶角型
D
E
B
C
（1）
B
C
（2）
A
A
E
E
D
B
（3）பைடு நூலகம்
CB
（4）
C
非平行共角型
D
E A
非平行顶角型
B
（5） C
问题解决
为了测量一个大峡谷的宽
度，地质勘探人员在对面的岩
石上观察到一个特别明显的标
志点O，再在他们所在的这一
侧选点A、B、D，使得AB┴AO，
DB┴AB，然后确定DO和AB的
O
交点C.测得AC=120m，
B
C
这样的两个三角形相似吗？请说明理由.
（2）改变а、β的度数（取自己喜欢的值），再试一试.
相似
定理：两角分别相等的两个三角形相似.
符号语言： ∵_∠__A_＝__∠__A__′，__∠__B__＝__∠__B_′_，
∴_△__A__B_C_∽__△__A__′B__′C_′___.
A A′
B
C B′
CB=60m，BD=50m.
B 你能帮助他们算出峡谷的宽AO吗？
C
A
D
1.本节课你有什么收获？ 你还有什么疑惑？ 2.三个角分别相等的两个三角形一定相似吗？ 3.你能说出相似三角形与全等三角形的联系 和
探索三角形相似的条件(第1课时)北师大版初中数学九年级上册
战场上目测距离 的2个电影片断
回顾回顾与思思考考
类似 与 全等
1、什么叫全等三角形?
1、什么叫类似三角形?
2、三角形全等的判定 方法有哪些？
2、若给定两个三角形， 你有什么办法来判定
它们是否类似?
【全等三角形】 形状相同、大小相等的两个三角形。 即：三角对应相等,三边也对应相等的两个三角形全等.
三角形类似的条件的探索方向
你认为判定两个三角形类似至少需要哪些条件?
因为三角形的组成元素是三个角、三条边。 （1）只考虑角 （2）只考虑边 （3）考虑部分角与部分边.
先 “从角考虑” 两个三角形类似的条
件
1、两个三角形，如果只有
一个角对应相等,能否判定这两 个三角形类似？
每人画一个△ABC， 使∠A=30°，与同
(1) 图中有哪些相等的角？
(2) 找出图中的类似三角形，并说明理由。
(3) 写出图中成比例线段。
D
解:(1) ∵ DE∥BC
∴ ∠ADE=∠B, ∠AED=∠C;
A E
(2) ∵ DE∥BC,
B
C
∴ ∠ADE=∠B, ∠AED= ∠C ,
∴ △ ADE ∽ △ ABC .
(3) ∵ △ ADE ∽ △ AED
∴ AD AE DE ;
AB AC BC
想一想
解题后的反思与拓展
例 1 如图4-17,D,E分别是△ ABC边AB,
AC上的点, DE∥BC。
A
D
E
B
C
图4-17
解思: (考1)由：上面(3)题可知:
A△ADDADEA∽ED△EABC
DABB ACBC