论文正文21

三质点三弹簧系统的振动分析陈美玲（渭南师范学院物理与电气工程学院物理系09级物理学1班）摘要：对多自由度系统振动进行分析，以一个三质点三弹簧的振动系统为实例进行深入研究，利用主振型变换和正则振型变换等方法分析系统的固有频率、主振型，重点分析无阻尼系统对初始条件的响应和对激励的响应，以及有阻尼系统对激励的响应，最后对系统能量进行分析，使此研究能为以后工程机械提高效率提供有效的理论指导。

关键词：固有频率；无阻尼系统；有阻尼系统；激励响应；能量以弹簧-质量系统为模型，研究多自由度系统振动特点，过去有质点系的微振动,弦振动]1[的相关研究，均使用拉格朗日方程和微扰法进行求解。

利用矩阵进行坐标变换使系统去耦, 它为研究多自由度的受迫振动提供了有效而方便的方法]2[，同时相关的还有用能量法求系统固有频率]43[-。

本文以三质点三弹簧系统作为实例，利用拉格朗日方程、振动叠加、正则变换或主振型变换等方法分析系统的固有频率、主振型，分别讨论无阻尼系统对初始条件的响应和对激励的响应，以及有阻尼系统对激励的响应，进而分析系统的能量。

1系统固有频率、主振型1.1 模态模态（也称固有振动模态或主模态）是多自由度线性系统的一种固有属性，可由系统的特征值与特征矢量（固有矢量或主振型）二者共同来表示；它们分别从时空两个方面来刻画系统的振动特性。

分析表明，多自由度系统的振动都可以由各个模态振动叠加而成]5[。

一方面，系统特征值确定了各个模态振动的固有频率与阻尼率，另一方面，系统特征矢量规定了一种空间模式，它确定在模态运动中各个位移矢量之间的相对振幅与相位。

1.2固有频率首先考虑多自由度线性振动系统，它的运动微分方程可表示为]6[(1)+=Mx K x fn⨯阶实对式中x是位移矩阵；M与K分别为系统的质量与刚度矩阵，它们都是n称阵，且M设为正定,f是激励列阵。

系统的自由振动微分方程可表示为M x Kx +=0 (2) 它的解可设为 )sin(ϕωφ+=t a x (3) 其中φ为振幅列阵 ,ω为原频率，ϕ为初相位,它们都是特定的量]6[。

将上式代入自由振动微分方程，可得2K M ω-=0（系统的特征方程） 由此可确定2ω，并按i ω1i ω-≤排列，i =1,2… n 。

i ω称为系统的固有频率。

固有频率仅取决于系统本身的刚度、质量等物理参数。

1.3 主振型多自由度系统的模态也称为主振型,仍然讨论正定系统]7[的主振动，对于n 自由度系统，总可以找到n 个固有频率和与之对应的n 阶主振型。

用M 阵、K 阵来表示振动的特征值问题。

特征值问题：i ω一一对应)(i φ 1)()(1)(⨯∈⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=n i n i i R φφφ 在特征向量中规定某个元素的值以确定其他各元素的值的过程称为归一化。

)(i φ描述了系统做第i 阶主振动时具有的振动形态，称为第i 阶主振型或模态。

主振型仅取决于系统的M 阵、K 阵等物理参数。

1.4三质点三弹簧实例图1是三自由度振动系统]87[-，设123k k k k ===, 12m m m ==，32m m =，试 求系统的固有频率和主振型。

图1三自由度振动系统分析：选择1x ，2x ，3x 坐标，则系统的质量矩阵和刚度矩阵分别为0000002m M m m ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 2020k k K k k k kk -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦将M 和K 代入频率方程20K p M -=得：020202222=-------mp k kk m p k k k mp k解方程得到系统的三个固有频率为mk p m k p m k p 7609.1,2810.1,3559.0321=== 再求特征矩阵的伴随矩阵22222222222222(2)(2)(2)adj (2)(2)(2)(2)(2)(2)k p m k p m k k k p m k B k k p m k p m k p m k k p m k k k p m k p m k ⎡⎤----⎢⎥=----⎢⎥⎢⎥---⎣⎦设取其第三列(计算时可只求出这一列)，将1p 值代入，得到第一阶主振型为()11.00001.87332.5092A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭二，三阶 ()3(2)1.0000 1.00000.7274 1.10070.47090.2115A A ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭2．无阻尼系统对初始条件的响应和对激励的响应2.1主坐标变换和正则坐标变换n 自由度的振动系统，具有n 个固有频率和与之对应的n 阶主振型，且这些主振型之间存在着关于质量矩阵和刚度矩阵的正交性。

主振型为正交型]9[,以各阶主振型矢量为列，按顺序排列成一个n n ⨯阶方阵，称此方阵为主振型矩阵或模态矩阵]10[，即()()()()()()()()()()()()12111121222212()nn n P n nnn A A A A A A A A A A A A A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦根据主振型的正交性，可以导出主振型矩阵的两个性质T P P PT P P PA MA M A KA K ⎧=⎪⎨=⎪⎩主刚度矩阵12P n K K K K ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ，主质量矩阵12P n M M M M ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 以各阶正则振型为列，按顺序排列成一个n n ⨯阶方阵，称此方阵为正则振型模态矩阵，即 ()()()()()()()()()()()()12111121222212()nNN N n n N N N N NN N n N nN n N n A A A A A A A A A A A A A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦根据主振型的正交性，可以导出正则矩阵的两个性质212222111T N N T N N n A MA I p p A K A P p ⎧⎡⎤⎪⎢⎥⎪⎢⎥==⎪⎢⎥⎪⎢⎥⎣⎦⎪⎨⎡⎤⎪⎢⎥⎪⎢⎥⎪==⎢⎥⎪⎢⎥⎪⎢⎥⎣⎦⎩由此也得到，主振型矩阵p A 与正则振型矩阵n A ，均可使系统的质量矩阵和刚度矩阵转换成为对角阵。

因此，可利用二者进行坐标变换，进而求主坐标或正则坐标]5[。

2.1.1 三质点三弹簧实例分析前例图示系统中的主振型矩阵和正则振型矩阵。

析： 将1.4节求得的各阶主振型依次排列成方阵，得到主振型矩阵()()()123 1.0000 1.00001.0000() 1.87330.7274 1.10072.50920.47090.2115P A A A A ⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦由质量矩阵 ，可求出主质量矩阵17.1014000 1.9726000 2.3010TP PP m M A MA m m ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦可得各阶正则振型：()()()()()()()()()111222333N N N A A A A A A A A A ======以各阶正则振型为列，写出正则振型矩阵：0.24180.71200.65920.45300.51790.72560.60670.33530.1394N A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦2.2 无阻尼系统对初始条件的响应已知n 自由度无阻尼系统的自由振动运动微分方程M x K x +=0 当t =0时，系统的初始位移与初始速度为 012(0)((0)(0)....(0))T n x x x x x ==012(0)((0)(0)....(0))T n xx x x x == 求系统对初始条件的响应。

求解的方法是：先利用主坐标变换或正则坐标变换，将系统的方程式转换成n 个独立的单自由度形式的运动微分方程]6[；然后利用单自由度系统求解自由振动的理论，求得用主坐标或正则坐标表示的响应；最后，再反变换至原物理坐标求出n 自由度无阻尼系统对初始条件的响应。

用正则坐标变换求解的方法N N x A x =-- TN Nx A Mx = (4) 系统的响应是由各阶振型叠加得到的，又称振型叠加法()()()()1212N N nN N N N NN n x x x A x A A A x ⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=()()()1212n N N N N N N nA x A x A x +++ (5)2.2.1三质点三弹簧对初始条件的响应设初始条件是()()(0)00,(0)000TTx a x== 分析系统的响应]6[。

分析: 已由2.1.1节求得系统的正则振型矩阵和质量矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=6592.07120.02418.0a m0(0)0TN N x A MK x== 得到用正则坐标表示的响应 tp m a x t p m a x tp m a x N N N 332211cos 6592.0cos 7120.0cos 2418.0===求出系统对初始条件的响应 ()()()123123NN N N N N x A x A x A x =++ mkp m k p m k p 7609.1,1281.1,3559.0321=== 321321cos 0919.04783.04345.0cos 0919.03687.05069.0cos 1469.01095.00585.0p a t p a t p a x x x ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ (6) 将1p ，2p ，3p 代入上述矩阵中。

10,3,a ==分别画图如⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=002000100011394.07256.06592.03353.05179.07120.06067.04530.02418.0a m 0(0)TN Nx A Mx =下所示：图2m的位移随时间变化图1图3m的速度随时间变化图1图4m的位移随时间变化图2图5m的速度随时间变化图2图6 3m 的位移随时间变化图图7 3m 的速度随时间变化图由以上图可以看出，对于比较复杂的系统它们在一定的初始条件下，位移、速度随时间变化关系都比较复杂。

2.3 无阻尼系统对激励的响应设系统受到激振力sin f F t ω=，为了求系统对此激振力的响应]7[，现采用主振型分析法和正则振型分析法。

利用主坐标变换p p x A x =—— MxKx f += ——P p P P P M x K x q += sin sin T T P PP P q A f A F t Q t ωω===（TP P Q A F =） (7) 以主坐标表示的受迫振动方程式，它是一组n 个独立的单自由度方程，即t Q x K x M i P i P i i P i ωsin =+（n i ,,3,2,1 =） 同单自由度无阻尼受迫振动,设其稳态响应是与激振力同频率的简谐函数，即 t B x i P i P ωsin = （n i ,,3,2,1 =）｛sin diag sin TP P Px B t aA F t ωω==｝ t Q x K x M i P i P i i P i ωsin =+（n i ,,3,2,1 =） (8) 代入原物理坐标 diag TP P P Px A x A aA f ==这就是系统对简谐激振力的稳态响应。