高中数学 第2章 圆锥曲线与方程习题课(5)课时作业 北师大版选修11
2019-2020年高中数学苏教版选修2-1第2章《圆锥曲线与方程》(5)word学案
2019-2020年高中数学苏教版选修2-1第2章《圆锥曲线与方程》（5）word 学案 [学习目标] 1.了解圆锥曲线的统一定义.2.能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题．[知识链接]1．椭圆上一点到准线距离与它到对应焦点距离之比等于多少？ 答：1e. 2．动点M 到一个定点F 的距离与到一条定直线l 的距离之比为定值的轨迹一定是圆锥曲线吗？ 答：当F ∉l 时，动点M 轨迹是圆锥曲线．当F ∈l 时，动点M 轨迹是过F 且与l 垂直的直线． [预习导引]1．圆锥曲线的统一定义平面内到一个定点F 和到一条定直线l (F 不在l 上)的距离的比等于常数e 的点的轨迹． 0<e <1时，它表示椭圆；e >1时，它表示双曲线；e ＝1时，它表示抛物线．2．对于椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)和双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)中，与F (c,0)对应的准线方程是l ：x ＝a 2c ，与F ′(－c ，0)对应的准线方程是l ′：x ＝－a 2c；如果焦点在y 轴上，则两条准线方程为y ＝±a 2c.要点一 统一定义的简单应用例1 椭圆x 225＋y 29＝1上有一点P ，它到左准线的距离等于2.5，那么，P 到右焦点的距离为________．答案 8解析 如图所示，PF 1＋PF 2＝2a ＝10，e ＝c a ＝45， 而PF 12.5＝e ＝45，∴PF 1＝2，∴PF 2＝10－PF 1＝10－2＝8.规律方法 椭圆的两个定义从不同角度反映了椭圆的特征，解题时要灵活运用．一般地，如果遇到有动点到两定点距离和的问题，应自然联想到椭圆的定义；如果遇到有动点到一定点及一定直线距离的问题，应自然联想到统一定义；若两者都涉及，则要综合运用两个定义才行．跟踪演练1 已知椭圆x 24b 2＋y 2b 2＝1上一点P 到右焦点F 2的距离为b (b >1)，求P 到左准线的距离．解 方法一 由x 24b 2＋y 2b 2＝1，得a ＝2b ，c ＝3b ，e ＝32.由椭圆第一定义， PF 1＋PF 2＝2a ＝4b ，得PF 1＝4b －PF 2＝4b －b ＝3b .由椭圆第二定义，PF 1d 1＝e ，d 1为P 到左准线的距离， ∴d 1＝PF 1e ＝23b ，即P 到左准线的距离为23b . 方法二 ∵PF 2d 2＝e ，d 2为P 到右准线的距离． e ＝c a ＝32，∴d 2＝PF 2e ＝233b . 又椭圆的两准线的距离为2·a 2c ＝833b ， ∴P 到左准线的距离为833b －233b ＝23b . 要点二 应用统一定义转化求最值例2 已知椭圆x 28＋y 26＝1内有一点P (1，－1)，F 是椭圆的右焦点，在椭圆上求一点M ，使MP ＋2MF 之值为最小．解 设d 为M 到右准线的距离．∵e ＝c a ＝12，MF d ＝12， ∴MF 12＝d ，即d ＝2MF (如图)． 故MP ＋2MF ＝MP ＋MM ′.显然，当P 、M 、M ′三点共线时，所求的值为最小，从而求得点M 的坐标为(2315，－1)．规律方法 本例中，利用统一定义，将椭圆上点M 到焦点F 的距离转化为到准线的距离，再利用图形的形象直观，使问题得到简捷的解决．跟踪演练2 已知双曲线x 29－y 216＝1的右焦点为F ，点A (9,2)，试在双曲线上求一点M ，使MA ＋35MF 的值最小，并求这个最小值． 解 过M 作MN 垂直于双曲线的右准线l 于N ，由第二定义可知MN ＝MF e(如图)． 又a ＝3，b ＝4，c ＝5，e ＝53， ∴MN ＝35MF ，∴MA ＋35MF ＝MA ＋MN ，显然当M 、N 、A 三点共线时MA ＋MN ＝AN 为最小，即MA ＋35MF 取得最小值，此时AN ＝9－a 2c ＝9－95＝365，∴MA ＋35MF 的最小值为365，此时点M (352，2)． 要点三 圆锥曲线统一定义的综合应用例3 已知A 、B 是椭圆x 2a 2＋y 2925a 2＝1上的点，F 2是右焦点，且AF 2＋BF 2＝85a ，AB 的中点N 到左准线的距离等于32，求此椭圆方程． 解 设F 1为左焦点，则根据椭圆定义有：AF 1＋BF 1＝2a －AF 2＋2a －BF 2＝4a －(AF 2＋BF 2)＝4a －85a ＝125a . 再设A 、B 、N 三点到左准线距离分别为d 1，d 2，d 3，由梯形中位线定理有d 1＋d 2＝2d 3＝3，而已知b 2＝925a 2， ∴c 2＝1625a 2，∴离心率e ＝45， 由统一定义AF 1＝ed 1，BF 1＝ed 2，∴AF 1＋BF 1＝125a ＝e (d 1＋d 2)＝125，∴a ＝1， ∴椭圆方程为x 2＋y 2925＝1. 规律方法 在圆锥曲线有关问题中，充分利用圆锥曲线的共同特征，将曲线上的点到准线的距离与到焦点的距离相互转化是一种常用方法．跟踪演练3 设P (x 0，y 0)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上任意一点，F 1为其左焦点． (1)求PF 1的最小值和最大值；(2)在椭圆x 225＋y 25＝1上求一点P ，使这点与椭圆两焦点的连线互相垂直． 解 (1)对应于F 1的准线方程为x ＝－a 2c， 根据统一定义：PF 1x 0＋a 2c＝e ， ∴PF 1＝a ＋ex 0.又－a ≤x 0≤a ，∴当x 0＝－a 时，(PF 1)min ＝a ＋c a×(－a )＝a －c ； 当x 0＝a 时，(PF 1)max ＝a ＋c a·a ＝a ＋c . (2)∵a 2＝25，b 2＝5，∴c 2＝20，e 2＝45. ∵PF 21＋PF 22＝F 1F 22，∴(a ＋ex 0)2＋(a －ex 0)2＝4c 2. 将数据代入得25＋45x 20＝40.∴x 0＝±532. 代入椭圆方程得P 点的坐标为⎝⎛⎭⎫532，52，⎝⎛⎭⎫532，－52，⎝⎛⎭⎫－532，52，⎝⎛⎭⎫－532，－52.1．已知方程(1＋k )x 2－(1－k )y 2＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值范围为________． 答案 －1<k <1解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋k >0，1－k >0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k >－1，k <1，即－1<k <1. 2．已知点F 1，F 2分别是椭圆x 2＋2y 2＝2的左，右焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|PF→1＋PF →2|的最小值是________． 答案 2解析 设P (x 0，y 0)，则PF →1＝(－1－x 0，－y 0)，PF →2＝(1－x 0，－y 0)，∴PF →1＋PF →2＝(－2x 0，－2y 0)，∴|PF →1＋PF →2|＝4x 20＋4y 20＝22－2y 20＋y 20＝2－y 20＋2.∵点P 在椭圆上，∴0≤y 20≤1，∴当y 20＝1时，|PF →1＋PF →2|取最小值为2.3．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点．满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________．答案 (0，22) 解析 ∵MF 1→·MF 2→＝0，∴M 点轨迹方程为x 2＋y 2＝c 2，其中F 1F 2为直径，由题意知椭圆上的点在圆x 2＋y 2＝c 2外部，设点P 为椭圆上任意一点，则OP >c 恒成立，由椭圆性质知OP ≥b ，其中b 为椭圆短半轴长，∴b >c ，∴c 2<b 2＝a 2－c 2，∴a 2>2c 2，∴(c a )2<12，∴e ＝c a <22. 又∵0<e <1，∴0<e <22. 4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与双曲线x 2m 2－y 2n2＝1(m ＞0，n ＞0)，有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，若c 是a 、m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项，则椭圆的离心率是________．答案 12解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－b 2＝c 2， ①m 2＋n 2＝c 2，②c 2＝am ，③2n 2＝2m 2＋c 2，④由②④可得m 2＋n 2＝2n 2－2m 2，即n 2＝3m 2，⑤⑤代入②得4m 2＝c 2⇒c ＝2m ，⑥⑥代入③得4m 2＝am ⇒a ＝4m .所以椭圆的离心率e ＝c a ＝12.1.三种圆锥曲线的共同特征是曲线上的点到定点的距离与它到定直线距离的比是常数．2．利用圆锥曲线的统一定义可实现曲线上的点到焦点的距离与到准线距离的相互转化．一、基础达标1．若直线ax －y ＋1＝0经过抛物线y 2＝4x 的焦点，则实数a ＝______.答案 －1解析 焦点为(1,0)，代入直线方程，可得a ＝－1.2．已知椭圆的准线方程为y ＝±4，离心率为12，则椭圆的标准方程为____________． 答案 x 23＋y 24＝1 解析 由⎩⎨⎧ a 2c ＝4，c a ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，c ＝1. 所以b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆的标准方程为x 23＋y 24＝1. 3．双曲线3x 2－y 2＝9，P 是双曲线上一点，则P 点到右焦点的距离与P 点到右准线的距离的比值为________．答案 2解析 由统一定义，所求距离之比即为双曲线的离心率．双曲线方程可化为x 23－y 29＝1， 得a 2＝3，b 2＝9，c 2＝a 2＋b 2＝12，所以e ＝c a ＝123＝2. 4．椭圆x 225＋y 216＝1上一点P 到左焦点F 1的距离为3，则点P 到左准线的距离为________． 答案 5解析 依题意e ＝35，所以点P 到左准线的距离d ＝PF 1e＝5. 5．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，右准线方程为x ＝33，则双曲线方程为__________．答案 x 2－y 22＝1 解析 由⎩⎨⎧c a ＝3，a 2c ＝33，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝3，所以b 2＝3－1＝2. 所以双曲线方程为x 2－y 22＝1. 6．已知抛物线y 2＝2px 的准线与双曲线x 2－y 2＝2的左准线重合，则抛物线的焦点坐标为________．答案 (1,0)解析 双曲线的左准线为x ＝－1，抛物线的准线为x ＝－p 2，所以p 2＝1，所以p ＝2. 故抛物线的焦点坐标为(1,0)．7．已知双曲线的渐近线方程为3x ±4y ＝0，一条准线方程为y ＝95，求该双曲线的标准方程． 解 由已知可设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)． 由题意有⎩⎨⎧a 2c ＝95，ab ＝34，a 2＋b 2＝c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝16. 所以所求双曲线方程为y 29－x 216＝1. 二、能力提升8．已知点P 在椭圆x 216＋y 225＝1上，F 1、F 2是椭圆的上、下焦点，M 是PF 1的中点，OM ＝4，则点P 到下准线的距离为________．答案 403解析 因为OM 是△F 1F 2P 的中位线，所以PF 2＝2OM ＝8.又e ＝35，所以P 到下准线的距离d ＝PF 2e ＝8×53＝403. 9．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上横坐标为3a 2的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线的离心率的取值范围是________．答案 (2，＋∞)解析 由已知得(3a 2－a 2c )e >3a 2＋a 2c，即3c 2>5ac ＋2a 2， 所以3e 2－5e －2>0，解得e >2或e <－13(舍去)． 10．在给定的椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应的准线的距离为1，则椭圆的离心率为________．答案 22解析 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)， 则右焦点F (c,0)，右准线l ：x ＝a 2c. 把x ＝c 代入椭圆的方程得y 2＝b 2(1－c 2a 2)＝b 4a 2，即y ＝±b 2a. 依题设知2b 2a ＝2且a 2c －c ＝b 2c＝1， 所以e ＝c a ＝b 2a ·c b 2＝22×1＝22. 11．已知双曲线过点(3，－2)，且与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点．(1)求双曲线的标准方程；(2)求以双曲线的右准线为准线的抛物线的标准方程．解 (1)椭圆的焦点为(5，0)，(－5，0)，它也是双曲线的焦点．设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)． 则由题设得⎩⎪⎨⎪⎧ 9a 2－4b 2＝1，a 2＋b 2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝3，b 2＝2. 所以双曲线的标准方程为x 23－y 22＝1. (2)由(1)可知双曲线的右准线为x ＝a 2c ＝355. 它也是抛物线的准线，所以p 2＝355， 故抛物线的标准方程为y 2＝－1255x . 12．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率e ＝22，点F 2到右准线l 的距离为 2.(1)求a 、b 的值；(2)设M 、N 是l 上的两个动点，F 1M →·F 2N →＝0，证明：当|MN →|取最小值时，F 2F 1→＋F 2M →＋F 2N →＝0.(1)解 因为e ＝c a ，F 2到l 的距离d ＝a 2c－c ， 所以由题设得⎩⎨⎧ c a ＝22，a 2c －c ＝2，解得c ＝2，a ＝2.由b 2＝a 2－c 2＝2，得b ＝ 2.故a ＝2，b ＝ 2.(2)证明 由c ＝2，a ＝2得F 1(－2，0)，F 2(2，0)，l 的方程为x ＝22， 故可设M (22，y 1)，N (22，y 2)．由F 1M →·F 2N →＝0知(22＋2，y 1)·(22－2，y 2)＝0，得y 1y 2＝－6，所以y 1y 2≠0，y 2＝－6y 1. |MN →|＝|y 1－y 2|＝|y 1＋6y 1|＝|y 1|＋6|y 1|≥26， 当且仅当y 1＝±6时，上式取等号，此时y 2＝－y 1，所以，F 2F 1→＋F 2M →＋F 2N →＝(－22，0)＋(2，y 1)＋(2，y 2)＝(0，y 1＋y 2)＝0.三、探究与创新13.如图所示，已知某椭圆的焦点是F 1(－4，0)、F 2(4,0)，过点F 2作垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ，且F 1B ＋F 2B ＝10，椭圆上不同的两点A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)满足条件：F 2A 、F 2B 、F 2C 成等差数列．(1)求该椭圆的方程；(2)求弦AC 中点的横坐标．解 (1)由椭圆定义及条件知，2a ＝F 1B ＋F 2B ＝10，得a ＝5，又c ＝4，所以b ＝a 2－c 2＝3.故椭圆方程为x 225＋y 29＝1.(2)由点B (4，y B )在椭圆上，得F 2B ＝y B ＝95. 因为椭圆右准线方程为x ＝254，离心率为45， 根据椭圆定义，有F 2A ＝45⎝⎛⎭⎫254－x 1，F 2C ＝45⎝⎛⎭⎫254－x 2，由F 2A 、F 2B 、F 2C 成等差数列，得 45⎝⎛⎭⎫254－x 1＋45⎝⎛⎭⎫254－x 2＝2×95，由此得出x 1＋x 2＝8.设弦AC 的中点为P (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝4.。
金榜名师推荐高中数学北师大选修同课异构练习 第二章 圆锥曲线与方程 课时提升作业 十一 含答案
温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。
关闭Word文档返回原板块。
课时提升作业十一抛物线及其标准方程一、选择题(每小题5分，共25分)1.到直线x=2与到定点P(2，0)的距离相等的点的轨迹是( )A.抛物线B.圆C.椭圆D.直线【解析】选D.根据抛物线的定义判断，首先要看点P与直线的位置关系，点P(2，0)在直线x=2上，故轨迹不是抛物线，而是经过点P(2，0)且垂直于直线x=2的一条直线.【一题多解】设动点M(x，y)，则有=|x-2|，所以y2=0，即y=0.表示的是x轴这条直线.【补偿训练】设动点C到点M(0，3)的距离比点C到直线y=0的距离大1，则动点C的轨迹是( )A.抛物线B.直线C.椭圆D.圆【解析】选A.由题意，点C到M(0，3)的距离等于点C到直线y=-1的距离，所以点C的轨迹是抛物线.2.(2016·福州高二检测)抛物线C：y=4x2的焦点坐标为( )A.(0，1)B.(1，0)C. D.【解析】选C.因为抛物线x2=2py(p>0)的焦点坐标为，所以抛物线y=4x2，即x2=y的焦点坐标为.【补偿训练】(2015·西安高二检测)抛物线y2=8px(p>0)，F为焦点，则p表示( ) A.F到准线的距离 B.F到准线距离的C.F到准线距离的D.F到y轴的距离【解析】选B.设y2=2mx(m>0)，则m表示焦点到准线的距离，又2m=8p.所以p=.3.(2015·陕西高考)已知抛物线y2=2px(p>0)的准线经过点(-1，1)，则抛物线焦点坐标为( )A.(-1，0)B.(1，0)C.(0，-1)D.(0，1)【解析】选B.因为抛物线y2=2px(p>0)的准线经过点(-1，1)，所以=1，所以该抛物线焦点坐标为(1，0).4.(2016·咸阳高二检测)抛物线y2=x上一点P到焦点的距离是2，则P 点坐标为( )A. B.C. D.【解析】选B.设P(x0，y0)，则|PF|=2，又F，所以=2且=x 0，所以x0=，所以y0=±.5.当a为任意实数时，直线(2a+3)x+y-4a+2=0恒过定点P，则过点P 的抛物线的标准方程是( )A.x2=32y或y2=-xB.x2=-32y或y2=xC.y2=32x或x2=-yD.y2=-32x或x2=y【解析】选 C.把直线方程(2a+3)x+y-4a+2=0转化为(3x+y+2)+a(2x-4)=0，由得所以定点P的坐标为(2，-8)，所以过点P的抛物线的标准方程是y2=32x或x2=-y.二、填空题(每小题5分，共15分)6.(2016·浙江高考)若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M 到y轴的距离是.【解题指南】根据抛物线的定义求解.【解析】x M+1=10⇒x M=9.答案:97.(2015·南昌高二检测)抛物线y=ax2的准线方程是y=2，则a的值为________.【解析】抛物线方程化为标准形式为x2=y，由题意得a<0，所以2p=-，所以p=-，所以准线方程为y==-=2，所以a=-.答案：-8.(2014·湖南高考)如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a<b)，原点O为AD的中点，抛物线y2=2px(p>0)经过C，F两点，则=________.【解题指南】由正方形的边长给出点C，F的坐标，代入抛物线方程求解.【解析】由题可得C，F，则=+1.答案：+1三、解答题(每小题10分，共20分)9.若抛物线y2=2px(p>0)上有一点M，其横坐标为9，它到焦点的距离为10，求抛物线方程和点M的坐标.【解析】由抛物线的定义知，焦点为F，准线l为x=-.过M作MN⊥l，垂足为N，则|MN|=|MF|=10.即9-=10，所以p=2，故抛物线的方程为y2=4x.将点M(9，y)代入抛物线方程得y=±6，所以M(9，6)或M(9，-6).10.已知抛物线形拱桥的顶点距离水面2m时，测量水面宽为8m，当水面上升m后，则水面的宽度是多少？【解题指南】先根据题意建立恰当的坐标系，然后再设出标准方程求解.【解析】以抛物线形拱桥的顶点为原点建立如图所示的直角坐标系，设抛物线的标准方程为x2=-2py(p>0).把B(4，-2)代入得16=4p，所以p=4.所以x2=-8y.把y=-代入得x=±2.所以此时水面的宽度为4m.一、选择题(每小题5分，共10分)1.(2014·全国卷Ⅰ)已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|=x0，则x0=( )A.1B.2C.4D.8【解析】选A.根据抛物线的定义可知|AF|=x0+=x0，解得x0=1.【补偿训练】(2014·长春高二检测)已知F是抛物线y2=8x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=12，则线段AB中点到y轴的距离为( )A.16B.6C.8D.4【解析】选D.设A，B到准线的距离为d1，d2，则由抛物线的定义得，d1+d2=12，所以线段AB中点到准线的距离为6，所以线段AB中点到y 轴的距离为6-2=4.2.(2015·浙江高考)如图，设抛物线y2=4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y 轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是( )A. B.C. D.【解析】选A.=====.二、填空题(每小题5分，共10分)3.抛物线y2=24ax(a>0)上有一点M，它的横坐标是3，它到焦点的距离是5，则抛物线的方程为__________.【解析】由抛物线的定义知点M到焦点的距离等于它到准线的距离. 因为抛物线y2=24ax的准线方程为x=-6a，所以3+6a=5，a=.故抛物线的方程为y2=8x.答案：y2=8x4.(2016·长安高二检测)与圆(x-3)2+y2=9外切，且与y轴相切的圆的圆心的轨迹方程为________.【解析】设轨迹上任意一点为P(x，y).圆(x-3)2+y2=9的圆心A(3，0)，半径r=3，如图所示，由题意知|AP|=r+|x|，所以=|x|+3(x≠0).当x>0时，y2=12x；当x<0时，y=0.所以所求轨迹方程为y2=12x(x>0)和y=0(x<0).答案：y2=12x(x>0)和y=0(x<0)【误区警示】易忽视圆A与y轴相切于原点，即y=0(x<0)也适合题意.三、解答题(每小题10分，共20分)5.已知点A(2，0)，B(4，0)，动点P在抛物线y2=-4x上运动，求·取得最小值时点P的坐标.【解析】设P，则=，=，·=+y2=+y2+8≥8，当且仅当y=0时取等号，此时P点坐标为(0，0).6.(2016·赣州高二检测)已知抛物线y2=2px(p>0)，焦点为F，一直线l与抛物线交于A，B两点，|AF|+|BF|=8，且AB的垂直平分线恒过定点S(6，0).求抛物线方程.【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点M(x0，y0).当直线的斜率存在时，设斜率为k，则由|AF|+|BF|=8得x1+x2+p=8，所以x0=4-.又得-=2p(x 1-x2)，所以y0=.所以M.依题意·k=-1，所以p=4，所以抛物线方程为y2=8x，当直线的斜率不存在时，2p=8，也满足上式，所以抛物线方程为y2=8x.关闭Word文档返回原板块。
高中数学第二章圆锥曲线与方程章末归纳总结课件北师大选修11
学习本章应深刻体会数形结合的思想，转化的思想，函数 与方程的思想及待定系数法等重要的数学思想和方法．
求轨迹方程的方法常用的有：直接法、定义法、代入法， 要注意题目中的限制条件，特别是隐含条件的发掘，直线与圆 锥曲线的位置关系问题，通常用判别式法；要注意有关弦长问 题中韦达定理的应用，需特别注意的是，直线平行于抛物线的 轴时与抛物线只有一个交点，直线平行于双曲线的渐近线时与 双曲线只有一个交点．
2．椭圆中几何量a、b、c满足a2＝b2＋c2，双曲线中几何 量a、b、c满足a2＋b2＝c2.
3．椭圆离心率e∈(0,1)，双曲线离心率e∈(1，＋∞)，抛物 线离心率e＝1.
4．求圆锥曲线的标准方程时，一定要先区别焦点在哪个轴 上，选取合适的形式．
5．由标准方程判断椭圆、双曲线的焦点位置时，椭圆看分 母的大小，双曲线看 x2、y2 系数的符号．
(1)求椭圆的方程； (2)若直线 l：y＝－12x＋m 与椭圆交于 A、B 两点，与以 F1F2 为直径的圆交于 C、D 两点，且满足||CADB||＝543，求直线 l 的方程．
[解析]
b＝ 3，
(1)由题设知ac＝12， b2＝a2－c2，
解得 a＝2，b＝ 3，c＝1， ∴椭圆的方程为x42＋y32＝1.
[解析] 联立方程组yy＝2＝k4xx＋1 ，消去 y，整理得 k2x2＋(2k －4)x＋1＝0.
又∵点 C(－4,0)，B(4,0)，∴|BC|＝8， ∴|AC|－|AB|＝4， ∴点 A 的轨迹是以 B、C 为焦点的双曲线的一支(靠近 B 点， 除去点(2,0))， ∴2a＝4,2c＝|BC|＝8，即 a＝2，c＝4，∴b2＝c2－a2＝12. ∴点 A 的轨迹方程为x42－1y22 ＝1(x>2)．
2021年高中数学第二章圆锥曲线与方程..3抛物线的简单性质课时作业北师大版选修
2021年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.3抛物线的简单性质2课时作业北师大版选修一、选择题1．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0,1)且平行于x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0)，选C.答案：C2．抛物线y ＝ax 2与直线y ＝kx ＋b (k ≠0)交于A 、B 两点，且此两点的横坐标分别为x 1，x 2，直线与x 轴交点的横坐标是x 3，则恒有( )A ．x 3＝x 1＋x 2B ．x 1x 2＝x 1x 3＋x 2x 3C ．x 1＋x 2＋x 3＝0D ．x 1x 2＋x 2x 3＋x 3x 1＝0解析：联立⎩⎨⎧y ＝ax2y ＝kx ＋b ，则ax 2－kx －b ＝0，则x 1＋x 2＝k a ，x 1x 2＝－b a ，x 3＝－b k.则－b a ＝k a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－b k ，即x 1x 2＝(x 1＋x 2)x 3，选项B 正确． 答案：B3．设过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的弦为AB ，则|AB |的最小值为( )A.p2 B ．pC ．2pD ．无法确定解析：由题意得当AB ⊥x 轴时，|AB |取最小值，为2p . 答案：C4．[xx·大纲全国卷]已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点，若MA →·MB →＝0，则k ＝( )A. 12B.22C. 2D. 2解析：本题主要考查直线与抛物线的位置关系，平面向量的坐标运算等知识．由题意可知抛物线的焦点坐标为(2,0)，则直线方程为y ＝k (x －2)，与抛物线方程联立，消去y 化简得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4＋8k2，x 1x 2＝4，所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4k ＝8k，y 1y 2＝k 2[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4]＝－16，因为MA →·MB→＝0，所以(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝0(*)，将上面各个量代入(*)，化简得k 2－4k ＋4＝0，所以k ＝2，故选D.答案：D 二、填空题5．已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (1,0)，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，若AB 中点为(2,2)，则直线l 的方程为__________．解析：由题意知，抛物线C 的方程为y 2＝4x ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，把A ，B 代入抛物线方程得⎩⎨⎧ y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，①②①－②得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)． 又y 1＋y 2＝4，∴y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝1. ∴直线l 的方程为y －2＝x －2，即y ＝x . 答案：y ＝x6．若直线y ＝2x －3与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，则线段AB 的中点坐标是________．解析：本题主要考查直线与抛物线相交时的性质和设而不求数学思想的应用．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程得⎩⎨⎧y ＝2x －3，y 2＝4x ，整理得4x 2－16x ＋9＝0，由根与系数之间的关系知x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2(x 1＋x 2)－6＝2，所以线段AB 的中点坐标为(2,1)．答案：(2,1)7．直线y ＝x ＋b 交抛物线y ＝12x 2于A ，B 两点，O 为抛物线的顶点，OA ⊥OB ，则b的值为__________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，y ＝12x 2，得x 2－2x －2b ＝0，设直线与抛物线的两交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－2b ，于是y 1y 2＝14(x 1x 2)2＝b 2，由OA ⊥OB 知x 1x 2＋y 1y 2＝0，故b 2－2b ＝0，解得b ＝2或b ＝0(不合题意，舍去)． 答案：2 三、解答题8．若抛物线y 2＝4x 与直线y ＝x －4相交于不同的两点A ，B ，求证OA ⊥OB .证明：由⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝x －4，消去y ，得x 2－12x ＋16＝0.∵直线y ＝x －4与抛物线相交于不同两点A ，B ， ∴可设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝16.∵OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(x 1－4)(x 2－4)＝x 1x 2＋x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋16＝16＋16－4×12＋16＝0，∴OA →⊥OB →，即OA ⊥OB .9．已知抛物线C 1：y 2＝4px (p >0)，焦点为F 2，其准线与x 轴交于点F 1；椭圆C 2：分别以F 1、F 2为左、右焦点，其离心率e ＝12；且抛物线C 1和椭圆C 2的一个交点记为M .(1)当p ＝1时，求椭圆C 2的标准方程；(2)在(1)的条件下，若直线l 经过椭圆C 2的右焦点F 2，且与抛物线C 1相交于A ，B 两点，若弦长|AB |等于△MF 1F 2的周长，求直线l 的方程．解：(1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由已知得c a ＝12，①c ＝1，②∴a ＝2，c ＝1，b ＝3，∴椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)①若直线l 的斜率不存在， 则l ：x ＝1，且A (1,2)，B (1，－2)， ∴|AB |＝4.又∵△MF 1F 2的周长等于|MF 1|＋|MF 2|＋|F 1F 2|＝2a ＋2c ＝6≠|AB |. ∴直线l 的斜率必存在．②设直线l 的斜率为k ，则l ：y ＝k (x －1)，由⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝k x －1，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，∵直线l 与抛物线C 1有两个交点A ，B ， ∴Δ＝[－(2k 2＋4)]2－4k 4 ＝16k 2＋16>0，且k ≠0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则可得x 1＋x 2＝2k 2＋4k2，x 1x 2＝1.于是|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝1＋k2[2＋4k22－4]＝1＋k216k 2＋16k4＝41＋k 2k2，∵△MF 1F 2的周长等于|MF 1|＋|MF 2|＋|F 1F 2|＝2a ＋2c ＝6， ∴由41＋k 2k2＝6，解得k ＝± 2. 故所求直线l 的方程为y ＝±2(x －1)．。
北师大版高中数学选修1-1第二章《圆锥曲线与方程》测试题(含答案解析)
一、选择题1．已知斜率为16的直线l 与双曲线22221(0,0)x y C a b a b-=>>:相交于B 、D 两点，且BD 的中点为(1,3)M ，则C 的离心率为（ ）A ．2B C ．3 D2．已知()5,0F 是双曲线()2222:=10,0x y C a b a b->>的右焦点，点(A .若对双曲线C 左支上的任意点M ，均有10MA MF +≥成立，则双曲线C 的离心率的最大值为（ ）A B ．5C ．52D ．63．双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线被圆()2223x y -+=截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ）A ．3B ．2C D4．已知斜率为(0)k k >的直线l 与抛物线2:4C y x =交于,A B 两点，O 为坐标原点，M 是线段AB 的中点，F 是C 的焦点，OFM ∆的面积等于3，则k =（ ）A ．14B ．13C ．12D ．35．直线34y kx k =-+与双曲线221169x y -=有且只有一个公共点，则k 的取值有（ ）个A ．1B ．2C ．3D ．46．已知M 是抛物线2:C x y =上一点，记点M 到抛物线C 的准线的距离为1d ，到直线:3490l x y ++=的距离为2d ，则12d d +的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．已知1F 、2F 分别是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左右焦点，点P 在双曲线右支上且不与顶点重合，过2F 作12F PF ∠的角平分线的垂线，垂足为A ，O 为坐标原点，若OA =，则该双曲线的离心率为（ ）A B C ．2 D 8．已知圆2221:(3)(7)C x y a a ++=>和222:(3)1C x y -+=，动圆M 与圆1C ，圆2C 均相切，P 是12MC C 的内心，且12123PMC PMC PC C SSS+=，则a 的值为（ ）A ．9B ．11C ．17D ．199．已知抛物线2:C x y =，点()2,0A ，()0,2B -，点P 在抛物线上，则满足PAB △为直角三角形的点P 的个数有（ ） A ．2B ．4C ．6D ．810．过抛物线24y x =的焦点的直线与抛物线交于A ，B 两点，若AB 的中点的纵坐标为2，则AB 等于（ ） A ．4B ．6C ．8D ．1011．“04a <<”是“方程2214x y a a+=-表示为椭圆”的（ ）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件12．已知点P 在双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上，点()2,0A a ，当PA 最小时，点P不在顶点位置，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．)+∞B ．)+∞C ．(D ．(二、填空题13．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>右焦点(c,0)F 关于直线2y x =的对称点Q 在双曲线上，则双曲线的离心率是______．14．设点P 是椭圆2213x y +=的短轴的一个上端点，Q 是椭圆上的任意一个动点，则线段PQ |∣长的最大值是________．15．知直线m 过抛物线()220y px p =>的焦点F ，且交抛物线于A 、B 两点，交其准线l于点C .若6AF =，2CB BF =，则p =____________16．已知点F 为抛物线2:2C x y =的焦点，过点F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A ，B 两点，直线2l 与C 交于D ，E 两点，则4AB DE +的最小值为_________.17．如图，椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左､右焦点分别为1F ､2F ，B 为椭圆C 的上顶点，若12BF F △的外接圆的半径为23b，则椭圆C 的离心率为________.18．已知抛物线C ：2y x =的焦点为F ，A ()00,x y 是C 上一点，054AF x =，则0x =________.19．已知双曲线M ：22221x y a b-=（0a >，0b >），ABC 为等边三角形．若点A 在y轴上，点B ，C 在双曲线M 上，且双曲线M 的实轴为ABC 的中位线，则双曲线M 的离心率为________．20．已知下列几个命题：①ABC 的两个顶点为(4,0)A -，(4,0)B ，周长为18，则C 点轨迹方程为221259x y +=； ②“1x >”是“||0x >”的必要不充分条件；③已知命题:33p ≥，:34q >，则p q ∨为真，p q ∧为假，p ⌝为假；④双曲线221916x y -=-的离心率为54．其中正确的命题的序号为_____．三、解答题21．已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点.过右焦点F 与x 轴不垂直的直线l 交椭圆于P ，Q 两点. （1）求椭圆的方程；（2）当直线l 的斜率为2时，求POQ △的面积；（3）在线段OF 上是否存在点M (m ，0)，使得MPQ 为等腰三角形？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.22．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()2:20C x py p =>，过抛物线焦点F 的直线l 与抛物线相交于M ､N 两点.（1）若l 与y 轴垂直，且OMN 的周长为425+C 的方程； （2）在第一问的条件下，过点()1,2P 作直线m 与抛物线C 交于点A ，B ，若点P 是AB 的中点，求直线m 的方程.23．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>左右焦点分别为()12(,0),,0F c F c -，点Р为椭圆C 上一点，满足1290F PF ∠=︒，且12F PF △的面积为2c .（1）求椭圆C 的离心率；（2）已知直线()122y x =-与椭圆C 交于,M N 两点，点Q 坐标为()2,0，若3MQ NQ =，求椭圆C 的方程.24．已知点M 是圆222:(2)(2)C x y r r -+=>与x 轴负半轴的交点，过点M 作圆C 的弦MN ，并使弦MN 的中点恰好落在y 轴上． （1）求点N 的轨迹方程；（2）设点N 的轨迹为曲线E ，延长NO 交直线2x =-于点A ，延长NC 交曲线E 于点B ，曲线E 在点B 处的切线交y 轴于点D ，求证：AD BD ⊥．25．（1）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的焦距为1F 、2F 为左、右焦点，M 为椭圆E 上一点，且123F MF π∠=，12F MF S =△，求椭圆E 的方程． （2）过点()()00P m m a <<,的直线交椭圆E 于A 、B 两点，交直线4x m=于点M ，设MA AP λ=，MB BP μ=，求λμ+的值．26．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，过左顶点与上顶点的直线与圆2243x y +=相切. （1）求椭圆C 的方程﹔ （2）已知斜率为k 的直线l 在y 轴上的截距为()0m m b <<，l 与椭圆交于,A B 两点，是否存在实数k 使得2OA OB k k k ⋅=成立?若存在，求出k 的值，若不存在，说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】设()()1122,,B x y D x y 、，用“点差法”表示出a 、b 的关系，即可求出离心率 【详解】设()()1122,,B x y D x y 、,则22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， 两式作差得：22221212220x xy y a b---=， 整理得：()()()()2121221212y y y y b a x x x x +-=+-BD 的中点为(1,3)M ，且直线l 的斜率为16 ，代入有：22611262b a =⨯=即22212c a a -=，解得62cea . 故选：D 【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到a 、b 、c 的关系，消去b ，构造离心率e 的方程或（不等式）即可求出离心率．2．C解析：C 【分析】设E 是双曲线的左焦点，利用双曲线的定义把MF 转化为ME 后易得MA ME +的最小值，从而得a 的最小值，由此得离心率的最大值． 【详解】设E 是双曲线的左焦点，M 在左支上，则2MF ME a -=，2MF ME a =+，22MA MF MA ME a EA a +=++≥+，当且仅当E A M ,,三点共线时等号成立．则222(5)(11)210EA a a +=-++≥，2a ≥，所以552c e a a ==≤． 故选：C ．思路点睛：本题考查双曲线的定义的应用．在涉及双曲线上的点与一个焦点和另外一个定点距离和或差的最值时，常常利用双曲线的定义把到已知焦点的距离转化为到另一焦点的距离，从而利用三点共线取得最值求解．3．D解析：D 【分析】设双曲线C 的渐近线方程为y kx =，其中bk a=±，利用圆的半径、渐近线截圆所得弦长的一半、弦心距三者满足勾股定理可求得k的值，再利用e =可求得双曲线C 的离心率e 的值. 【详解】设双曲线C 的渐近线方程为y kx =，其中b k a=±， 圆()2223x y -+=的圆心坐标为()2,0，半径为r =圆心到直线y kx =的距离为d =另一方面，由于圆的半径、渐近线截圆所得弦长的一半、弦心距三者满足勾股定理，可得d ===，解得1k =±，1ba∴=， 因此，双曲线C的离心率为c e a ===== 故选：D. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率e 的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.4．B解析：B 【分析】先求出F ,设出A 、B 、M ，用“点差法”找出121202y y k x x y -==-，利用OFM ∆的面积等于3计算出0y ，求出斜率k .由抛物线2:4C y x =知：焦点()1,0F设()()()112200,,,,,,A x y B x y M x y因为M 是线段AB 的中点，所以0121222x x x y y y =+⎧⎨=+⎩将2114y x =和2224y x =两式相减可得：()2212124y y x x -=-，即121202y y k x x y -==- ∵000k y >∴>∴00113,62OFM S y y ∆=⨯⨯=∴=, 022163k y ∴===.故选：B 【点睛】“中点弦”问题通常用“点差法”处理.5．D解析：D 【分析】将直线方程与双曲线的方程联立，得出关于x 的方程，根据直线与双曲线只有一个公共点，求出对应的k 值，即可得解. 【详解】联立22341169y kx k x y =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去y 并整理得()()()2221693243164390k x k k x k ⎡⎤-+-+-+=⎣⎦，由于直线34y kx k =-+与双曲线221169x y -=有且只有一个公共点， 所以，21690k -=或()()()222216903243641694390k k k k k ⎧-≠⎪⎨⎡⎤⎡⎤∆=----+=⎪⎣⎦⎣⎦⎩， 解得34k =±或2724250k k +-=， 对于方程2724250k k +-=，判别式为22447250'∆=+⨯⨯>，方程2724250k k +-=有两个不等的实数解.显然34k=±不满足方程2724250k k+-=.综上所述，k的取值有4个.故选：D.【点睛】方法点睛：将直线与圆锥曲线的两个方程联立成方程组，然后判断方程组是否有解，有几个解，这是直线与圆锥曲线位置关系的判断方法中最常用的方法，注意：在没有给出直线方程时，要对是否有斜率不存在的直线的情况进行讨论，避免漏解．6．B解析：B【分析】作出图形，过点M分别作抛物线C的准线l和直线3490x y++=的垂线，垂足分别为点B、A，由抛物线的定义得出1d MB MF==，可得出12d d MF MA+=+，利用FM与直线3490x y++=垂直时，12d d+取最小值，然后计算出点F到直线3490x y++=的距离，即为所求.【详解】如下图所示：过点M分别作抛物线C的准线l和直线3490x y++=的垂线，垂足分别为点B、A，由抛物线的定义可得1d MB MF==，则12d d MF MA+=+，当且仅当FM与直线3490x y++=垂直时，12d d+取最小值，点F到直线3490x y++=的距离为22130494234d⨯+⨯+==+，因此，12d d +的最小值为2. 故答案为：2. 【点睛】关键点点睛：本题求出抛物线上一点到准线和定直线的距离之和最小值问题，解题的关键就是利用F 、A 、M 三点共线取最小值，结合抛物线的定义转化求解.7．B解析：B 【分析】延长2F A 交1PF 于点Q ，可得1223QF OA b ==，结合双曲线的定义可得,a b 的关系，从而求得离心率． 【详解】延长2F A 交1PF 于点Q ，∵PA 是12F PF ∠的平分线，∴2AQ AF =，2PQ PF =， 又O 是12F F 中点，所以1//QF AO ，且1223QF OA b ==， 又11122QF PF PQ PF PF a =-=-=，∴223a b =，222233()a b c a ==-，∴233c e a ==． 故选：B ．【点睛】关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率，解题关键是找到关于,,a b c 的关系，解题方法是延长2F A 交1PF 于点Q ，利用等腰三角形的性质、平行线的性质得出123QF b =，然后由双曲线的定义得出关系式，从而求解．8．C解析：C 【分析】先判断出圆1C 与2C 内含，根据条件可得动圆M 与圆1C ，圆2C 均相切，从而得出121216MC MC a C C +=+>=，即动点M 的轨迹是以12,C C 为焦点，长轴为1a +的椭圆，又设12MC C 的内切圆的半径为r ' ，由12123PMC PMC PC C SSS+=，有12121113222MC r MC r C C r ''+⨯=⨯⨯⨯'⨯，从而得出答案. 【详解】由圆2221:(3)(7)C x y a a ++=>和222:(3)1C x y -+=，可得圆1C 的圆心()13,0C -，半径为1r a =，圆2C 的圆心()23,0C ，半径为21r = 由121261C C a r r =<-=-所以圆1C 与2C 内含，由动圆M 与圆1C ，圆2C 均相切. 所以动圆M 与圆1C 内切，与圆2C 外切，设动圆M 的半径为R 则11MC r R a R =-=-，221MC r R R =+=+ 所以121216MC MC a C C +=+>=所以动点M 的轨迹是以12,C C 为焦点，长轴为1a +的椭圆，设其方程为22221(0)x y m n m n +=>> 所以12a m +=，设22c m n =-，则3c = 由P 是12MC C 的内心，设12MC C 的内切圆的半径为r ' 由12123PMC PMC PC C SSS+=，有12121113222MC r MC r C C r ''+⨯=⨯⨯⨯'⨯ 即1212318MC MC C C +==，又由椭圆的定义可得121MC MC a +=+ 所以118a +=，则17a = 故选：C 【点睛】本题考查圆与圆的位置关系，考查根据圆与圆的相切求动圆圆心的轨迹，考查椭圆的定义的应用，解答本题的关键的由条件得出圆1C 与2C 内含，由动圆M 与圆1C ，圆2C 均相切，进一步由条件得出121216MC MC a C C +=+>=，即得出动点M 的轨迹，属于中档题.9．B解析：B 【分析】分三个角为直角分别进行讨论，通过数形结合即得结果. 【详解】(1)若APB ∠为直角，如下图，即以AB 为直径的圆与抛物线的交点为P ，易见有O ，P 两个点符合题意；（2）若PAB ∠为直角，则过A 作直线垂直AB ，如下图，易见有P ，P '两个点符合题意；（3）若PBA ∠为直角，则过B 作直线垂直AB ，如上图，易见无交点，不存在点P 符合题意.综上，共有4个点符合题意. 故选：B. 【点睛】 关键点点睛：本题的解题关键在于对三个角为直角进行分类讨论，再结合数形结合思想即突破难点.10．C解析：C 【分析】先根据抛物线的定义将焦点弦长问题转化为中点到准线距离的两倍，进而用中点横坐标表示，设直线AB 的方程为：1x my =+(m 为常数),与抛物线方程联立消去x ,得到关于y 的一元二次方程，利用中点公式和韦达定理求得m 的值，进而得到中点的横坐标，从而求得线段AB 的长度. 【详解】抛物线24y x =的焦点坐标F (1,0),准线方程:1l x =-,设AB 的中点为M ,过A ,B ,M 作准线l 的垂线，垂足分别为C ,D ,N ,则MN 为梯形ABDC 的中位线，()02|21AB AF BF AC BD MN x ∴=+=+==+,∵直线AB 过抛物线的焦点F ,∴可设直线AB 的方程为：1x my =+(m 为常数), 代入抛物线的方程消去x 并整理得：2440y my --=,设A ,B 的纵坐标分别为12,y y ,线段AB 中点()00,M x y , 则120222y y y m +===,1m ∴=, ∴直线AB 的方程为1x y =+,001213x y ∴=+=+=,()2318AB ∴=+=，故选：C.【点睛】本题考查抛物线的焦点弦长问题，涉及抛物线的定义，方程，线段中点坐标公式，直线与抛物线的交点问题，属中档题，关键是灵活使用抛物线的定义，将焦点弦长问题转化为中点坐标问题，注意直线方程的设法：过点(a ,0)，斜率不为零的直线方程可以设为x =my +a 的形式，不仅避免了讨论，而且方程组消元化简时更为简洁.11．C解析：C 【分析】根据方程2214x y a a +=-表示椭圆求出实数a 的取值范围，然后利用集合的包含关系可判断出“04a <<”是“方程2214x y a a+=-表示椭圆”的条件.【详解】若方程2214x y a a+=-表示椭圆，则0404a a a a >⎧⎪->⎨⎪≠-⎩，解得02a <<或24a <<， 记为{}02,24A a a a =<<<<或， 又记{}04B a a =<<，AB则“04a <<”是“方程2214x y a a+=-表示椭圆”的必要不充分条件.故选：C.关键点点睛：本题的关键是求出方程为椭圆的充分必要条件.12．C解析：C 【分析】把P 的坐标表示出来，PA 转化为二次函数，利用二次函数最值取得条件求离心率的范围． 【详解】 设00(,)P x y ，则||PA ==又∵点P 在双曲线上，∴2200221x y a b -=，即2222002b x y b a=-，∴||PA ===．当PA 最小时，0224202a ax e e -=-=>． 又点P 不在顶点位置，∴22aa e>，∴22e <，∴e < ∵双曲线离心率1e >，∴1e <<故选：C ． 【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到a 、b 、c 的关系，消去b ，构造离心率e 的方程或（不等式）即可求出离心率．二、填空题13．【分析】由题意可得Q 点坐标代入双曲线方程计算即可得出离心率【详解】设则中点由题意可得由在双曲线上可得两边同除可得解得（舍）故答案为：【点睛】关键点点睛：齐次式方程两边同除可得关于离心率的方程即可求出由题意可得Q 点坐标，代入双曲线方程，计算即可得出离心率. 【详解】设(,)Q m n ，则FQ 中点(,)22+m c n，=-FQ n k m c由题意可得325224215c nm c m n c n m c +⎧⎧=-=⨯⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪⨯=-=⎪⎪-⎩⎩，由(,)Q m n 在双曲线上，可得222242242222234()()91655119502502525()--=⇒-=⇒-+=-c c c c c a c a a b a c a 两边同除4a ，可得42950250e e -+=，解得3==e e （舍）【点睛】关键点点睛：齐次式方程，两边同除可得关于离心率的方程，即可求出离心率.本题考查了计算能力和逻辑推理能力，属于中档题目.14．【分析】设出根据点在椭圆上点的坐标满足椭圆方程得到利用两点间距离公式求得结合的范围求得其最大值【详解】由已知得到或由于对称性不妨设设是椭圆上的任一点所以所以又因为所以当时长度取得最大值且最大值为故答解析：2【分析】设出(,)Q x y ，根据点在椭圆上，点的坐标满足椭圆方程，得到223(1)x y =-，利用两点间距离公式求得PQ =y 的范围，求得其最大值.【详解】由已知得到(0,1)P 或(0,1)P -，由于对称性，不妨设(0,1)P ， 设(,)Q x y 是椭圆上的任一点，所以223(1)x y =-，所以PQ ====又因为11y -≤≤，所以当12y时，PQ |∣2=，故答案为：322. 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关椭圆上的点到短轴端点的距离的最值问题，解题思路如下： （1）根据题意，设出点(,)Q x y ，取好点P ；（2）利用两点间距离公式写出PQ |∣，配方，结合椭圆上点坐标的范围求得结果.15．3【分析】过作准线的垂线垂足分别为过作的垂线垂足为根据结合抛物线的定义可得据此求出再根据抛物线的定义可求出【详解】如图：过作准线的垂线垂足分别为过作的垂线垂足为因为所以因为所以所以所以在直角三角形中解析：3 【分析】过A 、B 作准线l 的垂线，垂足分别为,N M ，过F 作AN 的垂线，垂足为D ，根据2CB BF =结合抛物线的定义可得30DFA MCB ∠=∠=，据此求出||3AD =，再根据抛物线的定义可求出p . 【详解】如图：过A 、B 作准线l 的垂线，垂足分别为,N M ，过F 作AN 的垂线，垂足为D ，因为2CB BF =，所以||2||CB BF =， 因为||||BF BM =，所以||2||CB BM =， 所以30MCB ∠=，所以30DFA ∠=，在直角三角形ADF 中，因为||6AF =，所以||3AD =， 因为||||6AN AF ==，且||||3AN AD p p =+=+， 所以63p =+，所以3p =. 故答案为：3 【点睛】关键点点睛：利用抛物线的定义求解是解题关键.16．18【分析】设直线的方程为联立方程组分别求得和结合基本不等式即可求得的最小值得到答案【详解】由题抛物线的焦点准线方程为设直线的方程为联立方程组则设可得由抛物线的定义可得由可将上式中的换为可得则当且仅解析：18 【分析】设直线1l 的方程为12y kx =+，联立方程组，分别求得222AB k =+和22||2DE k=+，结合基本不等式，即可求得4AB DE +的最小值，得到答案. 【详解】由题，抛物线2:2C x y =的焦点10,2F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为12y 设直线1l 的方程为12y kx =+，0k ≠， 联立方程组2212x y y kx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，则2210x kx --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，可得122x x k +=，()21212121112122y y kx kx k x x k +=+++=++=+由抛物线的定义可得212||122AB y y k =++=+， 由12l l ⊥，可将上式中的k 换为1k -，可得22||2DE k=+，则224102102184AB DE k k ⎛⎫+=++≥+⨯= ⎪⎝⎭，当且仅当k = 则4AB DE +的最小值为18 故答案为：18 【点睛】方法点睛：本题考查抛物线的焦点弦，考查基本不等式的应用，与抛物线的焦点有关问题的解题策略：1、与抛物线的焦点有关的问题，一般情况下都与抛物线的定义有关：“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径；2、特别提醒：主要灵活运用抛物线上一点(,)P x y 到焦点F 的距离：2PF px =+或2PF p y =+. 17．【分析】由题意可得的外接圆的圆心在线段上可得在中由勾股定理可得：即结合即可求解【详解】由题意可得：的外接圆的圆心在线段上设圆心为则在中由勾股定理可得：即所以即所以所以故答案为：【点睛】方法点睛：求椭 解析：12【分析】由题意可得12BF F △的外接圆的圆心在线段OB 上，1OF c =，123bMF BM ==，可得 13OM b =，在1OMF △中，由勾股定理可得：22211MF OM OF =+，即222233b b c ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合222b ac =-即可求解. 【详解】由题意可得：12BF F △的外接圆的圆心在线段OB 上，1OF c =， 设圆心为M ，则2133OM OB BM b b b =-=-=， 在1OMF △中，由勾股定理可得：22211MF OM OF =+，即222233b b c ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以223b c =，即2223a c c -=，所以2a c =，所以12c e a ==， 故答案为：12. 【点睛】方法点睛：求椭圆离心率的方法： （1）直接利用公式c e a=； （2）利用变形公式221b e a=-； （3）根据条件列出关于,a c 的齐次式，两边同时除以2a ，化为关于离心率的方程即可求解.18．【分析】根据焦半径公式可得：结合抛物线方程求解出的值【详解】由抛物线的焦半径公式可知：所以故答案为：【点睛】结论点睛：抛物线的焦半径公式如下：（为焦准距）（1）焦点在轴正半轴抛物线上任意一点则；（2 解析：1【分析】根据焦半径公式可得：00524x p x +=，结合抛物线方程求解出0x 的值. 【详解】由抛物线的焦半径公式可知：0015224AF x x =+=，所以01x =， 故答案为：1. 【点睛】结论点睛：抛物线的焦半径公式如下：（p 为焦准距）（1）焦点F 在x 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF x =+； （2）焦点F 在x 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF x =-+； （3）焦点F 在y 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF y =+； （4）焦点F 在y 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF y =-+. 19．【分析】可根据实轴为的中位线得出再根据对称性及为等边三角形表示出的坐标代入双曲线方程得到关系式求解离心率【详解】实轴长为则关于轴对称不妨设在双曲线左支则其横坐标为根据为等边三角形可得故将的坐标代入双【分析】可根据实轴为ABC 的中位线，得出BC ，再根据对称性及ABC 为等边三角形，表示出B 的坐标，代入双曲线方程，得到,a b 关系式求解离心率. 【详解】实轴长为2a ，则4BC a =，BC 关于y 轴对称不妨设B 在双曲线左支，则其横坐标为2a ，根据ABC 为等边三角形，60ABC ∠=可得B y =故()2,B a，()2,C a -，将B 的坐标代入双曲线方程有2222431a a a b-=，则a b =，则c =故e =【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式c e a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．20．③④【分析】根据椭圆定义可对①进行判断；根据必要不充分条件定义可对②进行判断；根据复合命题的真假可对③进行判断；根据双曲线的离心率公式可对④进行判断【详解】①的两个顶点为周长为18则C 点轨迹方程为当解析：③④ 【分析】根据椭圆定义可对①进行判断；根据必要不充分条件定义可对②进行判断；根据复合命题的真假可对③进行判断；根据双曲线的离心率公式可对④进行判断. 【详解】①ABC 的两个顶点为(4,0)A -，(4,0)B ，周长为18，则C 点轨迹方程为221259x y +=(5)x ≠±，当5x =±时，构不成三角形，错误； ②当0.1x =时，1x <，所以||0x >不一定有1x >，错误；③已知命题:33p ≥是真命题，:34q >是假命题，根据复合命题的真假判断，p q ∨为真，p q ∧为假，p ⌝为假，正确；④双曲线221916x y -=-，2216,9a b ==，所以22225c a b =+=，54c e a ==，正确．其中正确的命题的序号是③④， 故答案为：③④. 【点睛】本题考查了椭圆定义、双曲线离心率、必要不充分条件及复合命题真假的判断，属于基础题.三、解答题21．（1）2212x y +=；（2）9；（3）存在102m <<，理由见解析.【分析】（1）设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，根据题意得1b c ==，即可求出a ，从而求出椭圆方程；（2）根据题意得直线l 的方程为2(1)y x =-，设()11,P x y ，()22,Q x y ，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，即可求出弦PQ ，再利用点到直线的距离公式求出高，即可取出面积；（3）假设在线段OF 上存在点(,0)(01)M m m <<，使得以MPQ 为等腰三角形，联立直线与椭圆，分别计算即可判断； 【详解】解：（1）设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，根据题意得1b c ==，所以2222a b c =+=，所以椭圆的方程为2212x y +=.（2）根据题意得直线l 的方程为2(1)y x =-，即220x y --=，与2212x y +=联立，得：291660x x -+=设()11,P x y ，()22,Q x y ，则12169x x +=，1223x x ⋅=.所以12|9PQ x x =-=，点O 到l 的距离为d =，所以 1122 9ABC PQ d S ===⨯△. （3）存在，102m <<. 假设在线段OF 上存在点(,0)(01)M m m <<，使得以MPQ 为等腰三角形， 若直线l 与x 轴不垂直，直线l 的斜率存在，可设直线l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，设()11,P x y ，()22,Q x y ，则()11,MP x m y =-，()22,MQ x m y =-，由22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222)202142(-=+-+x k x k k ，所以2122421k x x k ，21222221k x x k -⋅=+. ①当||||MP MQ =时设PQ 的中点为N ，则2222,2121k k N k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，又1MN k k ⋅=-， 所以22211212k m k k ==++，所以102m <<. ②|||PQ MP ≠，|||MQ PQ ≠∣.∵()1222224||221221k PQ a e x x k k =-+=⋅=++MP==>>∴不可能|||PQ MP=.同理，根据椭圆对称性，也不可能||||MQ PQ=.所以当12m<<时MPQ为等腰三角形；【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．22．（1）24x y=；（2）230x y-+=.【分析】（1）将将2py=代入抛物线C的方程可求得,M N坐标，得,,MN OM ON，由OMN的周长参数p，得抛物线方程；（2）设点211,4xA x⎛⎫⎪⎝⎭，222,4xB x⎛⎫⎪⎝⎭，由,A B坐标表示出直线斜率，结合中点坐标即得直线斜率，得直线方程．【详解】解：（1）由题意，焦点0,2pF⎛⎫⎪⎝⎭，将2py=代入抛物线C的方程可求得,2pM p⎛⎫-⎪⎝⎭，,2pN p⎛⎫⎪⎝⎭，∴2MN p=，OM ON p===，所以QMN的周长为24p+=+2p=，故抛物线方程为24x y=.（2）设点211,4xA x⎛⎫⎪⎝⎭，222,4xB x⎛⎫⎪⎝⎭，直线m的斜率为2212121244x xx xx x-+=-，由条件1212x x+=，故直线m的斜率为12，从而直线m的方程为230x y-+=.【点睛】关键点点睛：本题考查求抛物线方程，求中点弦所在直线方程．已知弦中点坐标，一般设弦两端点坐标为1122(,),(,)x y x y代入圆锥曲线方程相减即可得中点坐标与直线斜率关系．这称为“点差法”．23．（1）2；（2）答案见解析. 【分析】（1）利用椭圆定义122PF PF a +=和1290F PF ∠=︒求得2122PF PF b =，再根据12F PF △的面积为2c 求解；（2）椭圆方程2222x y a +=与直线1(2)2y x =-联立，由韦达定理得到2121244,36a y y y y -+=-=，再根据3MQ NQ =，分3MQ NQ =和3MQ NQ =-求解. 【详解】（1）由椭圆定义可得122PF PF a +=，① 又1290F PF ∠=，所以222124PF PF c +=，②①和②可得2122PF PF b ⋅=，所以12F PF △的面积为2b ，所以22b c =，即222a c =，所以椭圆C 的离心率为2； （2）椭圆方程可化为2222x y a +=，与1(2)2y x =-联立可得： 226840y y a ++-=，由()2642440a ∆=-->可得243a >，设()()1122,,,M x y N x y ，所以2121244,36a y y y y -+=-=，③又直线1(2)2y x =-过点Q ，且3MQ NQ =，()112,MQ x y =--，()222,NQ x y =--.（i ）当3MQ NQ =时，即123y y =时，则122443y y y +==-，可得213y =-，则2212214336a y y y -===，可得2423a =>，所以椭圆C 的方程为2212x y +=；（ii ）当3MQ NQ =-，即123y y =-时，则122423y y y +=-=-，则223y =，可得22212224433336a y y y -⎛⎫=-=-⨯=-= ⎪⎝⎭，解得24123a =>，所以椭圆C 的方程为221126x y +=.【点睛】方法点睛：求椭圆的标准方程有两种方法：①定义法：根据椭圆的定义，确定2a 、2b 的值，结合焦点位置可写出椭圆方程； ②待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a 、b ；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x 轴上和y 轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为()2210,0,Ax By A B A B +=>>≠．24．（1）28(0)y x x =>；（2）证明见解析. 【分析】（1）设(,)N x y ，利用N 在圆上及弦MN 的中点在y 轴上可得点N 的轨迹方程，也可以利用垂径定理得到点N 的轨迹方程，注意范围．（2）设()11N x y ,，()22,B x y ，直线NB 的方程为2x my =+，点B 的处的切线方程为()22y y k x x -=-，联立切线方程和抛物线方程，利用判别式为0可求切线方程，从而得到D 的坐标，求出直线ON 的方程后可得A 的坐标，再联立直线NB 的方程与抛物线的方程，利用韦达定理化简可得1AD BD k k ⋅=-，从而得到要求证的垂直关系．我们也可以设()()000,0N x y x ≠，利用导数和韦达定理可求D 的坐标，同样可得1AD BD k k ⋅=-．【详解】（1）解法一：由题意知(2,0)C ，(2,0)M r -， 设(,)N x y 是222:(2)(2)C x y r r -+=>上的任意点，弦MN 的中点2,22r x y -+⎫⎛⎪⎝⎭恰好落在y 轴上， 202r x-+∴=，2r x ∴=+，222(2)(2)x y x ∴-+=+， 整理得28y x =，2r >，0x ∴>，∴点N 的轨迹方程为28(0)y x x =>．解法二：设(,)N x y ，弦MN 的中点为0,2y Q ⎫⎛ ⎪⎝⎭，(,0)M x -， 因为M 在x 轴的负半轴上，故0x >． ()2,,2,2y CQ MN x y ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，由垂径定理得CQ MN ⊥，故22220,8(0)2y x y x x -⨯+=∴=>．（2）证法一：设直线NB 的方程为2x my =+，则由282y x x my ⎧=⎨=+⎩，消去x ，整理得28160y my --=，264640m ∆=+>． 设()11N x y ,，()22,B x y ，则128y y m +=，1216y y =-，11ON y k x ∴=，∴直线ON 的方程为11y y x x =， ∴令2x =-，则112y y x -=，1122,y A x ⎫⎛-∴-⎪ ⎝⎭． 设点B 的处的切线方程为()22y y k x x -=-，与28y x =相切，由()2228y y k x x y x⎧-=-⎨=⎩，消去x ，整理得()222880ky y y kx -+-=，22220k x ky ∴∆=-+=，()22222220408y k ky y k -+=⇒-=，24BDk y ∴=， ∴直线()2224:BD y y x x y -=-，令0x =，则 222222244x x y y y y y --+=+=22222484x x x y y -+==，2240,x D y ⎫⎛∴⎪ ⎝⎭， 212122*********24AD x y x y y k y x y x y ⎫⎛∴=+=+=+⎪ ⎝⎭12113244y y y y +==， 121244161AD BD k k y y y y ∴⋅=⋅==-，AD BD ∴⊥． 证法二：设()()000,0N x y x >，则直线ON 的方程为00y y x x =，0022,y A x ⎫⎛∴--⎪ ⎝⎭， 设直线NB 的方程为2x my =+，则由282y x x my ⎧=⎨=+⎩，消去x ，整理得28160y my --=，264640m ∆=+>，设()11,B x y ，则101200016321616,y y y B y y y ⎫⎛=-⇒=-⇒-⎪ ⎝⎭， 由抛物线的对称性，不妨设B 在x 轴下方， 则由曲线28y x =，得y y '=-⇒=-=，切线的斜率为4y k ===-， 切线方程为020016324y y x y y ⎫⎛+=--⎪ ⎝⎭，则080,D y ⎫⎛⎪ ⎝⎭，020000283282,,y AD BD x y y y ⎫⎫⎛⎛⋅=-⋅-⎪⎪ ⎝⎝⎭⎭22000000641664641664088AD BD y x y x x x =-+-=-+-=⇒⊥． 【点睛】思路点睛：（1）求动点的轨迹方程，几何法、动点转移法、参数法等．（2）直线与抛物线的位置关系中的定值问题，一般联立直线方程和抛物线的方程，利用韦达定理化简目标代数式，涉及到切线范围，可借助导数来求切线的斜率．25．（1）22:142x y E +=；（2）0．【分析】（1）首先根据题意得到c =11MF r =，22MF r =，得到122r r a +=，再根据123F MF S =△和余弦定理即可得到24a =，22b =，从而得到椭圆的标准方程. （2）首先设直线x ky m =+，与椭圆联立得到222(2)240k y kmy m +++-=，从而得到1221224y y km y y m +=--，联立4x m x ky m⎧=⎪⎨⎪=+⎩，得到244m M m km ⎛⎫- ⎪⎝⎭,.再根据MA AP λ=，MB BP μ=，得到2141m kmy λ-=-和2241m kmy μ-=-，计算λμ+即可. 【详解】（1）由已知得2c =，即c =设11MF r =，22MF r =，得到122r r a +=. 在12F MF △中，121213sin 23F MF r r S π==△，解得1283r r =.(22212122cos3r r r r π=+-，化简得：()2121283r r r r =+-，288433a =-⨯，解得24a =.所以2242b =-=，椭圆22:142x y E +=.（2）由（1）知22:142x y E +=，()()002P m m <<,，设直线x ky m =+， 联立2224x ky m x y =+⎧⎨+=⎩得：222(2)240k y kmy m +++-=12222km y y k +=-+，212242m y y k-=+ 所以1221224y y km y y m +=-- 联立4x m x ky m⎧=⎪⎨⎪=+⎩，得244m M m km ⎛⎫- ⎪⎝⎭,.21144,m MA x y m km ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，()11AP m x y =--,由MA AP λ=，得2114m y y km λ--=-，得2141m kmy λ-=-. 同理MB BP μ=得2241m kmy μ-=-. 222212212124444222204y y m m m m kmkmy kmy km y y km m λμ+-----+=+-=⋅-=⋅-=-.【点睛】关键点点睛：本题主要考查直线与椭圆的位置关系，属于中档题.本题中直线方程代入椭圆方程整理后得到1221224y y km y y m +=--和利用向量关系得到2141m kmy λ-=-和2241m kmy μ-=-为解决本题的关键，考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．26．（1）22142x y +=；（2）存在，2k =±. 【分析】（1）根据题意可得c e a ==，222b a c =-，根据相切列出方程，解得,,c a b 进而可得椭圆的方程．（2）假设存在实数k 满足题意，直线l 的方程为y kx m =+，设()()1122,,,A x y B x y ，联立直线与椭圆的方程，可得关于x 的一元二次方程，由韦达定理可得1212,x x x x +，化简计算2OA OB k k k ⋅=，即可解得k 的值． 【详解】 （1）2c e a ==， a ∴=又222,b a c =-,b c ∴=。
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.2 椭圆及其标准
2.1.2 椭圆及其标准方程（2）一、选择题1．已知P 为椭圆C 上一点，F 1，F 2为椭圆的焦点，且|F 1F 2|＝23，若|PF 1|与|PF 2|的等差中项为|F 1F 2|，则椭圆C 的标准方程为( )A.x 212＋y 29＝1 B.x 29＋y 212＝1 C.x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1 D.x 248＋y 245＝1或x 245＋y 248＝1 解析：由已知2c ＝|F 1F 2|＝23，∴c ＝ 3. 又2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝43， ∴a ＝2 3.∴b 2＝a 2－c 2＝9.故椭圆C 的标准方程是x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1.答案：C 2．若方程x 2m ＋9＋y 225－m＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是( )A. －9<m <25B. 8<m <25C. 16<m <25D. m >8解析：依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧25－m >0，m ＋9>0，m ＋9>25－m ，解得8<m <25. 答案：B3．“m >n >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：将方程mx 2＋ny 2＝1转化为x 21m＋y 21n＝1，根据椭圆的定义，要使焦点在y 轴上，则有1m >0，1n >0，且1n >1m，即m >n >0.反之，m >n >0时，方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆．故选C.答案：C4．[2014·安徽省合肥六中月考]设F 1，F 2是椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，则△F 1PF 2的面积等于( )A. 5B. 4C. 3D. 1解析：本题考查椭圆定义的综合应用．由椭圆方程，得a ＝3，b ＝2，c ＝5，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，又|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，由22＋42＝(25)2可知，△F 1PF 2是直角三角形，故△F 1PF 2的面积为12|PF 1|·|PF 2|＝12×4×2＝4，故选B.答案：B 二、填空题5．[2013·北京东城区检测]已知F 1，F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点．若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝________.解析：本题主要考查椭圆的定义．由题意，知(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝2a ＋2a .又由a ＝5，可得|AB |＋(|BF 2|＋|AF 2|)＝20，即|AB |＝8.答案：86．椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝________，∠F 1PF 2的大小为________．解析：∵a 2＝9，b 2＝2， ∴c ＝a 2－b 2＝9－2＝7， ∴|F 1F 2|＝27.又|PF 1|＝4， |PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6， ∴|PF 2|＝2.由余弦定理得 cos ∠F 1PF 2＝22＋42－2722×2×4＝－12，∴∠F 1PF 2＝120°. 答案：2 120°7．设P 为椭圆x 24＋y 29＝1上的任意一点，F 1，F 2为其上、下焦点，则|PF 1||PF 2|的最大值是__________．解析：由已知a ＝3，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6， ∴|PF 1|·|PF 2|≤(|PF 1|＋|PF 2|2)2＝9.当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝3时，式中等号成立． 故|PF 1|·|PF 2|的最大值为9. 答案：9 三、解答题8．已知椭圆8x 281＋y236＝1上一点M 的纵坐标为2.(1)求M 的横坐标；(2)求过M 且与x 29＋y 24＝1共焦点的椭圆的方程．解：(1)把M 的纵坐标代入8x 281＋y236＝1得8x 281＋436＝1，即x 2＝9. ∴x ＝±3，即M 的横坐标为3或－3. (2)对于椭圆x 29＋y 24＝1，焦点在x 轴上且c 2＝9－4＝5，故设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2a 2－5＝1.把M 点的坐标代入得9a 2＋4a 2－5＝1，解得a 2＝15.故所求椭圆的方程为x 215＋y 210＝1.9．在直线l ：x －y ＋9＝0上取一点P ，过点P 以椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为焦点作椭圆．(1)P 点在何处时，所求椭圆长轴最短； (2)求长轴最短时的椭圆方程．解：(1)由题意知椭圆两焦点坐标分别为F 1(－3,0)、F 2(3,0)．设点F 1(－3,0)关于直线l 的对称点F ′1的坐标为(x 0，y 0)，当P 在F 2F ′1与直线l 的交点处时，椭圆长轴最短．则⎩⎪⎨⎪⎧y 0x 0＋3＝－1，x 0－32－y 02＋9＝0，解之得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－9，y 0＝6，∴F ′1(－9,6)．则过F ′1和F 2的直线方程为y －6－6＝x ＋93＋9，整理得x ＋2y －3＝0联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3＝0，x －y ＋9＝0，解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝4，即P 点坐标为(－5,4)．(2)由(1)知2a ＝|F ′1F 2|＝180， ∴a 2＝45.∵c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝36. ∴所求椭圆的方程为x 245＋y 236＝1.。
高中数学 第2章 圆锥曲线与方程习题课(5)课时作业 北
第2章 圆锥曲线与方程习题课(5)一、选择题1．动点P 到点M (1,0)及点N (3,0)的距离之差为2，则点P 的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．双曲线的一支 C ．两条射线D ．一条射线解析：由已知|PM |－|PN |＝2＝|MN |，所以点P 的轨迹是一条以N 为端点的射线． 答案：D2．方程x ＝3y 2－1所表示的曲线是( ) A ．双曲线 B ．椭圆 C ．双曲线的一部分D ．椭圆的一部分解析：依题意：x ≥0，方程可化为：3y 2－x 2＝1，所以方程表示双曲线的一部分．故选C.答案：C3．[2014·安徽省合肥一中月考]若双曲线x 2＋ky 2＝1的离心率是2，则实数k 的值是( )A. －3B. 13C. 3D. －13解析：本题主要考查双曲线的简单性质．双曲线x 2＋ky 2＝1可化为x 21＋y 21k＝1，故离心率e ＝1－1k1＝2，解得k ＝－13，故选D.答案：D4．[2014·广东实验中学期末考试]已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，两渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为( )A. 233B. 3C. 2D. 233或2解析：本题考查双曲线的简单几何性质的应用．根据题意，由于双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，两渐近线的夹角为60°，则可知b a ＝3或b a ＝33，那么可知双曲线的离心率为e ＝1＋ba2，所以结果为2或233，故选D.答案：D5．[2014·课标全国卷Ⅰ]已知F 为双曲线C ：x 2－my 2＝3m (m >0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( )A. 3B. 3mC. 3D. 3m解析：双曲线方程为x 23m －y 23＝1，焦点F 到一条渐近线的距离为b ＝ 3.选A.答案：A6. [2014·湖北高考]已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )A. 433B. 233C. 3D. 2解析：假定焦点在x 轴上，点P 在第一象限，F 1，F 2分别为左、右焦点．设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，双曲线的方程为x 2m 2－y 2n2＝1(m >0，n >0)，它们的离心率分别为e 1，e 2，则|PF 1|＝a ＋m ，|PF 2|＝a －m ，在△PF 1F 2中，4c 2＝(a ＋m )2＋(a －m )2－2(a ＋m )(a －m )cos π3⇒a 2＋3m 2＝4c 2⇒(a c )2＋3(m c )2＝4，则[(a c )2＋3(m c )2](1＋13)≥(a c ＋m c )2⇒1e 1＋1e 2＝a c ＋m c ≤433，当且仅当a ＝3m 时，等号成立，故选A.答案：A 二、填空题7．[2013·陕西高考]双曲线x 216－y 29＝1的离心率为__________．解析：本题主要考查双曲线的离心率的求法．由已知得a 2＝16，b 2＝9，∴c 2＝a 2＋b 2＝25，∴e 2＝c 2a 2＝2516，e ＝54.答案：548．[2014·山西四校联考]已知双曲线x 29－y 2b2＝1(b >0)，过其右焦点F 作圆x 2＋y 2＝9的两条切线，切点记作C ，D ，双曲线的右顶点为E ，∠CED ＝150°，则双曲线的离心率为________．解析：由题可得三角形OCE 为等腰三角形，且底角为75°，所以顶角∠COE ＝30°，在直角三角形OCF 中，|OC |＝3，易知|OF |＝23，即c ＝23，所以离心率e ＝c a ＝233.答案：2339．对于曲线C ：x 24－k ＋y 2k －1＝1，给出下面四个命题：①曲线C 不可能表示椭圆； ②当1<k <4时，曲线C 表示椭圆； ③若曲线C 表示双曲线，则k <1或k >4； ④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1<k <52.其中命题正确的序号为__________． 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧4－k >0，k －1>0，4－k ≠k －1，解得1<k <52或52<k <4，此时方程表示椭圆，且1<k <52时表示焦点在x 轴上的椭圆，所以①②错，④正确；由(4－k )(k －1)<0得k <1或k >4，此时方程表示双曲线，故③正确．所以应填③④.答案：③④ 三、解答题10．求适合下列条件的双曲线标准方程． (1)虚轴长为16，离心率为2；(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y ＝±32x ；(3)求与双曲线x 22－y 2＝1有公共渐近线，且过点M (2，－2)的双曲线方程．解：(1)由题意知b ＝8，且为等轴双曲线， ∴双曲线标准方程为x 264－y 264＝1或y 264－x 264＝1.(2)设以y ＝±32x 为渐近线的双曲线方程为x 24－y29＝λ(λ≠0)，当λ>0时，a 2＝4λ， ∴2a ＝24λ＝6⇒λ＝94，当λ<0时，a 2＝－9λ， ∴2a ＝2－9λ＝6⇒λ＝－1.∴双曲线的方程为x 29－4y 281＝1和y 29－x 24＝1.(3)设与双曲线x 22－y 2＝1有公共渐近线的双曲线方程为x 22－y 2＝k (k ≠0)， 将点(2，－2)代入得k ＝222－(－2)2＝－2，∴双曲线的标准方程为y 22－x 24＝1.11．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)． (1)求此双曲线的方程；(2)若点M (3，m )在此双曲线上，求证：F 1M →·F 2M →＝0. 解：(1)∵离心率e ＝c a＝2，∴a ＝b . 设双曲线方程为x 2－y 2＝n (n ≠0)， ∵(4，－10)在双曲线上， ∴n ＝42－(－10)2＝6. ∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)∵M (3，m )在双曲线上，则M (3，±3)， 即m ＝±3，∴kMF 1·kMF 2＝m 3＋23·m 3－23＝－m 23＝－1.∴F 1M →·F 2M →＝0.12．[2014·四川成都六校协作体期中考试]求证：双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上任意一点到两条渐近线的距离之积为定值．证明：设P (x 0，y 0)是双曲线上任意一点，由双曲线的两渐近线方程为bx ＋ay ＝0和bx －ay ＝0，可得点P 到bx ＋ay ＝0的距离d 1＝|bx 0＋ay 0|a 2＋b 2，点P 到bx －ay ＝0的距离d 2＝|bx 0－ay 0|a 2＋b 2.∴d 1d 2＝|bx 0＋ay 0|a 2＋b 2·|bx 0－ay 0|a 2＋b2＝|b 2x 20－a 2y 20|a 2＋b 2.又P 在双曲线上，∴x 20a 2－y 20b 2＝1，即b 2x 20－a 2y 20＝a 2b 2，∴d 1d 2＝a 2b 2a 2＋b2.故P 到两条渐近线的距离之积为定值．。
北师大数学选修作业：第2章 圆锥曲线与方程231 含解析
第二章2.3.1A 级 基础巩固一、选择题1．已知M (－2,0)、N (2,0)，|PM |－|PN |＝4，则动点P 的轨迹是( C )A ．双曲线B ．双曲线左支C ．一条射线D ．双曲线右支[解析] ∵|PM |－|PN |＝|MN |＝4，∴动点P 的轨迹是一条射线．2．(2018·浙江，2)双曲线x 23－y 2＝1的焦点坐标是( B ) A ．(－2，0)，(2，0)B ．(－2,0)，(2,0)C ．(0，－2)，(0，2)D ．(0，－2)，(0,2)[解析] ∵双曲线方程为x 23－y 2＝1， ∴a 2＝3，b 2＝1，且双曲线的焦点在x 轴上，∴c ＝a 2＋b 2＝3＋1＝2， 即得该双曲线的焦点坐标为(－2,0)，(2,0)．故选B ．3．已知方程x 21＋k －y 21－k＝1表示双曲线，则k 的取值范围是( A ) A ．－1<k <1B ．k >0C ．k ≥0D ．k >1或k <－1[解析] 由题意得(1＋k )(1－k )>0，∴(k －1)(k ＋1)<0，∴－1<k <1.4．已知双曲线2mx 2－my ＝4的一个焦点为(0，6)，则m 的值为( B )A ．1B ．－1C ．73D ．－73[解析] 将双曲线方程化为x 22m －y 24m＝1.因为一个焦点是(0，6)，所以焦点在y 轴上，所以c ＝6，a 2＝－4m ，b 2＝－2m ，所以a 2＋b 2＝－4m －2m ＝－6m＝c 2＝6.所以m ＝－1.5．双曲线x 210－y 22＝1的焦距为( D ) A ．3 2B ．4 2C ．3 3D ．4 3[解析] 由双曲线的标准方程，知a 2＝10，b 2＝2，则c 2＝a 2＋b 2＝10＋2＝12，因此2c ＝43，故选D ．6．若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( B )A ．11B ．9C ．5D ．3 [解析] 由题，|||PF 1|－|PF 2|＝2a ＝6，即||3－|PF 2|＝2a ＝6，解得|PF 2|＝9.二、填空题7．已知双曲线C ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为C 右支上的一点，且|PF 2|＝|F 1F 2|，则△PF 1F 2的面积等于__48__.[解析] 依题意得|PF 2|＝|F 1F 2|＝10，由双曲线的定义得|PF 1|－|PF 2|＝6，∴|PF 1|＝16.∴S △PF 1F 2＝12×16×102－(162)2＝48. 8．已知双曲线x 225－y 29＝1的两个焦点分别为F 1、F 2，若双曲线上的点P 到点F 1的距离为12，则点P 到点F 2的距离为__2或22__.[解析] 设F 1为左焦点，F 2为右焦点，当点P 在双曲线左支上时，|PF 2|－|PF 1|＝10，|PF 2|＝22；当点P 在双曲线右支上时，|PF 1|－|PF 2|＝10，|PF 2|＝2.三、解答题9．求满足下列条件的双曲线的标准方程．(1)求与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点且过点Q (2,1)的双曲线的方程． (2)过P (3，154)和Q (－163，5)两点． [解析] (1)由题知c 2＝4－1＝3，∴c ＝3，∵焦点在x 轴上，∴可设双曲线的方程为x 2a 2－y 23－a 2＝1(0<a <3)． 又双曲线过点Q (2,1)，∴4a 2－13－a 2＝1⇒a 2＝2， ∴双曲线的方程为x 22－y 2＝1. (2)设双曲线方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)，由题意得⎩⎨⎧ 9A ＋22516B ＝12569A ＋25B ＝1，解之得⎩⎨⎧ A ＝－116B ＝19.∴所求双曲线方程为y 29－x 216＝1. B 级 素养提升一、选择题1．已知双曲线中心在原点，一个焦点为F 1(－5，0)，点P 在该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则双曲线的方程是( B )A ．x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1 C ．x 22－y 23＝1 D ．x 23－y 22＝1 [解析] 由条件知P (5，4)在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上， ∴5a 2－16b 2＝1，又a 2＋b 2＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1b 2＝4，故选B ． 2．(2017·全国Ⅰ文，5)已知F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则△APF 的面积为( D )A ．13B ．12C ．23D ．32 [解析] 因为F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，所以F (2,0)． 因为PF ⊥x 轴，所以可设P 的坐标为(2，y P )．因为P 是C 上一点，所以4－y 2P 3＝1，解得y P ＝±3， 所以P (2，±3)，|PF |＝3.又因为A (1,3)，所以点A 到直线PF 的距离为1，所以S △APF ＝12×|PF |×1＝12×3×1＝32.故选D ． 3．(2019·安徽省蚌埠市高二期末)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)右焦点为F ，点A 在双曲线的右支上，以AF 为直径的圆M 与圆x 2＋y 2＝a 2的位置关系是( B )A ．相交B ．外切C ．相离D ．内切[解析] 设F ′为左焦点，则AF ′－AF ＝2a ，从而圆心O 到AF 中点M 距离为a ＋AF 2，所以以AF 为直径的圆M 与圆x 2＋y 2＝a 2的位置关系是外切，选B ．4．已知双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点，线段AB 的长为5，若2a ＝8，那么△ABF 2的周长是( D )A ．16B ．18C ．21D ．26[解析] |AF 2|－|AF 1|＝2a ＝8，|BF 2|－|BF 1|＝2a ＝8，∴|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝16，∴|AF 2|＋|BF 2|＝16＋5＝21，∴△ABF 2的周长为|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝21＋5＝26.二、填空题5．设双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，有一个交点的坐标为(15，4)，则此双曲线的方程为 y 24－x 25＝1 . [解析] 解法一：椭圆x 227＋y 236＝1的焦点坐标是(0，±3)，根据双曲线的定义，知2a ＝|(15)2＋12－(15)2＋72|＝4，故a ＝2.又b 2＝c 2－a 2＝5，故所求双曲线的方程为y 24－x 25＝1.解法二：椭圆x 227＋y 236＝1的焦点坐标是(0，±3)．设双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，则a 2＋b 2＝9，16a 2－15b 2＝1，解得a 2＝4，b 2＝5.故所求双曲线的方程为y 24－x 25＝1. 解法三：设双曲线方程为x 227－λ＋y 236－λ＝1(27<λ<36)，由于双曲线过点(15，4)，故1527－λ＋1636－λ＝1，解得λ1＝32，λ2＝0(舍去)．故所求双曲线方程为y 24－x 25＝1. 6．已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|等于__4__.[解析] 在△PF 1F 2中，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos60°＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|， 即(22)2＝22＋|PF 1|·|PF 2|，解得|PF 1|·|PF 2|＝4.三、解答题7．已知双曲线方程为2x 2－y 2＝k ，焦距为6，求k 的值．[解析] 由题意知c ＝3，若焦点在x 轴上，则方程可化为x 2k 2－y 2k ＝1，∴k 2＋k ＝32，即k ＝6. 若焦点在y 轴上，则方程可化为y 2－k －x 2－k 2＝1. ∴－k ＋(－k 2)＝32，即k ＝－6. 综上，k 的值为6或－6.8．当0°≤α≤180°时，方程x 2cos α＋y 2sin α＝1表示的曲线如何变化？[解析] (1)当α＝0°时，方程为x 2＝1，它表示两条平行直线x ＝±1.(2)当0°<α<90°时，方程为x 21cos α＋y 21sin α＝1. ①当0°<α<45°时，0<1cos α<1sin α，它表示焦点在y 轴上的椭圆． ②当α＝45°时，它表示圆x 2＋y 2＝ 2.③当45°<α<90°时，1cos α>1sin α>0，它表示焦点在x 轴上的椭圆． (3)当α＝90°时，方程为y 2＝1，它表示两条平行直线y ＝±1.(4)当90°<α<180°时，方程为y21sin α－x21－cos α＝1，它表示焦点在y轴上的双曲线．(5)当α＝180°时，方程为x2＝－1，它不表示任何曲线．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第2章 圆锥曲线与方程习题课(5)
一、选择题
1．动点P 到点M (1,0)及点N (3,0)的距离之差为2，则点P 的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．双曲线的一支 C ．两条射线
D ．一条射线
解析：由已知|PM |－|PN |＝2＝|MN |，所以点P 的轨迹是一条以N 为端点的射线． 答案：D
2．方程x ＝3y 2
－1所表示的曲线是( ) A ．双曲线 B ．椭圆 C ．双曲线的一部分
D ．椭圆的一部分
解析：依题意：x ≥0，方程可化为：3y 2
－x 2
＝1，所以方程表示双曲线的一部分．故选C.
答案：C
3．[2014·安徽省合肥一中月考]若双曲线x 2
＋ky 2
＝1的离心率是2，则实数k 的值是( )
A. －3
B. 13
C. 3
D. －13
解析：本题主要考查双曲线的简单性质．双曲线x 2
＋ky 2
＝1可化为x 21＋y 2
1
k
＝1，故离心率
e ＝
1－
1k
1
＝2，解得k ＝－1
3
，故选D.
答案：D
4．[2014·广东实验中学期末考试]已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)，两渐近线的夹角
为60°，则双曲线的离心率为( )
A. 233
B. 3
C. 2
D. 233
或2
解析：本题考查双曲线的简单几何性质的应用．根据题意，由于双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，
b >0)，两渐近线的夹角为60°，则可知b a ＝3或b a ＝3
3
，那么可知双曲线的离心率为e ＝
1＋
b
a
2
，所以结果为2或23
3
，故选D.
答案：D
5．[2014·课标全国卷Ⅰ]已知F 为双曲线C ：x 2
－my 2
＝3m (m >0)的一个焦点，则点F 到
C 的一条渐近线的距离为( )
A. 3
B. 3m
C. 3
D. 3m
解析：双曲线方程为x 23m －y 2
3
＝1，焦点F 到一条渐近线的距离为b ＝ 3.选A.
答案：A
6. [2014·湖北高考]已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π
3
，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )
A. 433
B. 233
C. 3
D. 2
解析：假定焦点在x 轴上，点P 在第一象限，F 1，F 2分别为左、右焦点．设椭圆的方程
为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，双曲线的方程为x 2m 2－y 2
n
2＝1(m >0，n >0)，它们的离心率分别为e 1，e 2，则|PF 1|＝a ＋m ，|PF 2|＝a －m ，在△PF 1F 2中，4c 2＝(a ＋m )2＋(a －m )2－2(a ＋m )(a －m )cos π3
⇒
a 2＋3m 2＝4c 2⇒(a c )2＋3(m c )2＝4，则[(a c )2＋3(m c )2](1＋13)≥(a c ＋m c )2⇒1e 1＋1e 2＝a c ＋m c ≤43
3
，当
且仅当a ＝3m 时，等号成立，故选A.
答案：A 二、填空题
7．[2013·陕西高考]双曲线
x 216－y 2
9
＝1的离心率为__________．
解析：本题主要考查双曲线的离心率的求法．由已知得a 2
＝16，b 2
＝9，∴c 2
＝a 2
＋b 2
＝
25，∴e 2
＝c 2a 2＝2516，e ＝5
4
.
答案：54
8．[2014·山西四校联考]已知双曲线x 29－y 2b
2＝1(b >0)，过其右焦点F 作圆x 2＋y 2
＝9的
两条切线，切点记作C ，D ，双曲线的右顶点为E ，∠CED ＝150°，则双曲线的离心率为________．
解析：由题可得三角形OCE 为等腰三角形，且底角为75°，所以顶角∠COE ＝30°，在
直角三角形OCF 中，|OC |＝3，易知|OF |＝23，即c ＝23，所以离心率e ＝c a ＝23
3
.
答案：23
3
9．对于曲线C ：x 24－k ＋y 2
k －1＝1，给出下面四个命题：
①曲线C 不可能表示椭圆； ②当1<k <4时，曲线C 表示椭圆； ③若曲线C 表示双曲线，则k <1或k >4； ④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1<k <5
2.
其中命题正确的序号为__________． 解析：由⎩⎪⎨⎪
⎧
4－k >0，k －1>0，
4－k ≠k －1，
解得1<k <52或52<k <4，此时方程表示椭圆，且1<k <5
2
时表示
焦点在x 轴上的椭圆，所以①②错，④正确；由(4－k )(k －1)<0得k <1或k >4，此时方程表示双曲线，故③正确．所以应填③④.
答案：③④ 三、解答题
10．求适合下列条件的双曲线标准方程． (1)虚轴长为16，离心率为2；
(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y ＝±3
2
x ；
(3)求与双曲线x 2
2－y 2
＝1有公共渐近线，且过点M (2，－2)的双曲线方程．
解：(1)由题意知b ＝8，且为等轴双曲线， ∴双曲线标准方程为x 264－y 264＝1或y 264－x 2
64
＝1.
(2)设以y ＝±32x 为渐近线的双曲线方程为x 2
4－y
2
9＝λ(λ≠0)，
当λ>0时，a 2
＝4λ， ∴2a ＝24λ＝6⇒λ＝9
4
，
当λ<0时，a 2
＝－9λ， ∴2a ＝2－9λ＝6⇒λ＝－1.
∴双曲线的方程为x 29－4y 281＝1和y 29－x 2
4
＝1.
(3)设与双曲线x 2
2－y 2
＝1有公共渐近线的双曲线方程为x 2
2－y 2
＝k (k ≠0)， 将点(2，－2)代入得k ＝22
2－(－2)2
＝－2，
∴双曲线的标准方程为y 22－x 2
4
＝1.
11．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)． (1)求此双曲线的方程；
(2)若点M (3，m )在此双曲线上，求证：F 1M →·F 2M →
＝0. 解：(1)∵离心率e ＝c a
＝2，∴a ＝b . 设双曲线方程为x 2
－y 2
＝n (n ≠0)， ∵(4，－10)在双曲线上， ∴n ＝42
－(－10)2＝6. ∴双曲线方程为x 2
－y 2
＝6.
(2)∵M (3，m )在双曲线上，则M (3，±3)， 即m ＝±3，
∴kMF 1·kMF 2＝m 3＋23·m 3－23＝－m 2
3＝－1.
∴F 1M →·F 2M →
＝0.
12．[2014·四川成都六校协作体期中考试]求证：双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)上任意一
点到两条渐近线的距离之积为定值．
证明：设P (x 0，y 0)是双曲线上任意一点，由双曲线的两渐近线方程为bx ＋ay ＝0和bx －ay ＝0，可得点P 到bx ＋ay ＝0的距离d 1＝|bx 0＋ay 0|
a 2＋
b 2
，
点P 到bx －ay ＝0的距离
d 2＝
|bx 0－ay 0|
a 2＋b
2
. ∴d 1d 2＝|bx 0＋ay 0|a 2＋b 2·|bx 0－ay 0|a 2＋b 2
＝|b 2x 2
0－a 2y 2
0|
a 2＋
b 2.
又P 在双曲线上，∴x 20a 2－y 20
b 2＝1，
即b 2x 20
－a 2y 20
＝a 2b 2
，∴d 1d 2＝a 2b 2
a 2＋b
2.
故P 到两条渐近线的距离之积为定值．。