【精品】2018届高三数学 第84练 极坐标与参数方程练习
高中数学极坐标与参数方程大题及答案
高中数学极坐标与参数方程大题及答案一、题目1.将直角坐标方程x2+y2=4转化为极坐标方程，并求出对应的参数方程；2.已知曲线的极坐标方程为 $r=2\\cos\\theta$，求对应的直角坐标方程并作图；3.曲线的参数方程为 $x=\\sin\\theta$，$y=\\cos\\theta$，求对应的直角坐标方程并判断曲线形状。
二、解答1. 将直角坐标方程转化为极坐标方程给定直角坐标方程x2+y2=4，我们可以假设 $x=r\\cos\\theta$，$y=r\\sin\\theta$，将其带入方程得：$(r\\cos\\theta)^2+(r\\sin\\theta)^2=4$化简得：$r^2(\\cos^2\\theta+\\sin^2\\theta)=4$由于 $\\cos^2\\theta+\\sin^2\\theta=1$，所以方程可以简化为r2=4，即r=±2。
因此，直角坐标方程x2+y2=4对应的极坐标方程为r=2和r=−2。
对应的参数方程为：当r=2时，$x=2\\cos\\theta$，$y=2\\sin\\theta$；当r=−2时，$x=-2\\cos\\theta$，$y=-2\\sin\\theta$。
2. 求曲线的直角坐标方程并作图已知曲线的极坐标方程为 $r=2\\cos\\theta$，我们将其转化为直角坐标方程。
利用极坐标与直角坐标的关系 $x=r\\cos\\theta$，$y=r\\sin\\theta$，我们将$r=2\\cos\\theta$ 代入得：$x=2\\cos\\theta\\cos\\theta=2\\cos^2\\theta$$y=2\\cos\\theta\\sin\\theta=\\sin2\\theta$所以，曲线的直角坐标方程为 $x=2\\cos^2\\theta$，$y=\\sin2\\theta$。
我们现在来作图，首先确定参数的范围。
极坐标和参数方程的典型例题
极坐标和参数方程的典型例题在数学中，极坐标和参数方程是研究平面曲线的重要工具。
极坐标是一种用极径和极角来表示平面上点位置的坐标系统，而参数方程则是用一个或多个参数来表示曲线上的点的坐标。
在本文中，我们将通过一些典型例题来探讨如何使用极坐标和参数方程解决问题。
例题一：极坐标下的圆首先让我们考虑一个非常简单的例子，即极坐标下的圆。
圆的极坐标方程为：$$ \\begin{cases} r = a \\\\ \\theta \\in [0, 2\\pi) \\end{cases} $$其中，r表示极径，a表示圆的半径，$\\theta$表示极角。
这个方程说明了圆上的每个点都满足极径等于半径a，并且极角可以在0到$2\\pi$之间取值。
例题二：参数方程下的抛物线接下来，我们考虑一个使用参数方程描述的曲线：抛物线。
抛物线的参数方程为：$$ \\begin{cases} x = at^2 \\\\ y = 2at \\end{cases} $$其中，a为常数，t为参数。
根据这个参数方程，我们可以看到x和y都是t的二次函数。
这个参数方程给出了抛物线上的每个点的坐标。
例题三：极坐标和参数方程的转换有时候，我们需要在极坐标和参数方程之间进行转换。
下面的例题将展示如何将一个极坐标方程转换为参数方程。
考虑极坐标方程：$$ \\begin{cases} r = 2\\cos\\theta \\\\ \\theta \\in [0, \\pi] \\end{cases} $$我们可以使用三角恒等式来将这个极坐标方程转换为参数方程。
首先，我们注意到r是$\\theta$的函数，而x和y是r的函数。
根据极坐标和直角坐标之间的关系，我们有下面的关系式：$$ \\begin{cases} x = r\\cos\\theta \\\\ y = r\\sin\\theta \\end{cases} $$将极坐标方程中的r代入上述关系式，我们得到参数方程：$$ \\begin{cases} x = 2\\cos(\\theta)\\cos(\\theta) = 2\\cos^2(\\theta) \\\\y = 2\\cos(\\theta)\\sin(\\theta) = \\sin(2\\theta) \\end{cases} $$ 通过这个转换，我们将极坐标方程转换为了参数方程。
极坐标与参数方程---高考题练习(精编完美版)
极坐标与参数方程----高考题练习1.以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，则直线l 被圆C 截得的弦长为( )A.14B.214C. 2D.2 22.曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( )A.在直线y ＝2x 上B.在直线y ＝－2x 上C.在直线y ＝x －1上D.在直线y ＝x ＋1上3.若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( )A.ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2B.ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4C.ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2D.ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π44.在极坐标系中，直线ρcos θ－3ρsin θ－1＝0与圆ρ＝2cos θ交于A ，B 两点，则|AB |＝________.5.已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，点A 的极坐标为A ⎝⎛⎭⎪⎫22，7π4，则点A到直线l 的距离为________6.在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎪⎫2，π3到直线ρ(cos θ＋3sin θ)＝6的距离为________.7.在极坐标系中，圆ρ＝8sin θ上的点到直线θ＝π3(ρ∈R )距离的最大值是________.8.已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t ，y ＝1＋t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＝4⎝⎛⎭⎪⎫ρ＞0，3π4＜θ＜5π4，则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为________.9.(2014·湖北，16)已知曲线C 1的参数方程是⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝3t 3(t 为参数).以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2.则C 1与C 2交点的直角坐标为________.10.已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝3＋t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－4cos θ＝0(ρ≥0,0≤θ＜2π)，则直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ＝________.11.在以O 为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a 相交于A ，B 两点.若△AOB 是等边三角形，则a 的值为________.12.在平面直角坐标系中，倾斜角为π4的直线l 与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)交于A ，B 两点，且|AB |＝2.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是________.13.在极坐标系中，曲线C 1和C 2的方程分别为ρsin 2θ＝cos θ和ρsin θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1和C 2交点的直角坐标为________.14.在极坐标系中，点A 在圆ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0上，点P 的坐标为(1,0)，则|AP |的最小值为________．15.在极坐标系中，直线4ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＋1＝0与圆ρ＝2sin θ的公共点的个数为________． 16.在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t(t 为参数，a >0).在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .15.在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25.(1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数),l 与C 交于A 、B 两点,|AB |＝10,求l 的斜率.16.在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2 2.(1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标系方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标.17.在直角坐标系xOy 中,直线C 1：x ＝－2,圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积.18.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3cos t ，y ＝－2＋3sin t (t 为参数).在极坐标系(与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴)中，直线l 的方程为2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝m (m ∈R ).①求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； ②设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值.19.已知直线l ：⎩⎨⎧x ＝5＋32t ，y ＝3＋12t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ. (1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点M 的直角坐标为(5，3)，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|MA |·|MB |的值.20.将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C . (1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.21.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t(t 为参数)，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t (t 为参数)．(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标；(2)若C 上的点到l 的距离的最大值为17，求a .23.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，点B 在曲线C2上，求△OAB 面积的最大值．24.在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝kt(t 为参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋m ，y ＝mk(m 为参数)．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C .(1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求25.在平面直角坐标系中xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－8＋t ，y ＝t2(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2s 2，y ＝22s(s 为参数)．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．。
参数方程 极坐标专项训练 高三数学解析几何专项训练试题(含例题、练习、答案)
心尺引州丑巴孔市中潭学校第三章 参数方程 极坐标专项训练参数方程、极坐标〔一〕【例题精选】：一、参数方程：例1：化以下方程为普通方程解：〔1〕∴=--⎛⎝ ⎫⎭⎪+=+⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪∴--=-+=+⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪x t t y t t x t t y t t 311211131121①②②2－①2得 〔2〕解出cos sin θθ=+=-x y y x 4929〔3〕由x tt =-+21中解出t 得t x x x =-+≠-211（）代入y t t=+21中，化简得：〔4〕由y tg y tg x tg =+=+=sin (cos )θθθθθ得·1 例2：P x y (,)是以A 〔1，0〕为圆心且过原点O 的圆，设∠=AOP α，以α为参数，写出此圆的参数方程。
解：连BP ，自P 作PM OB ⊥，M 为垂足，∴所求圆的参数方程是x y ==⎧⎨⎩∈-⎡⎣⎢⎤⎦⎥22222cos sin αααππ， 例3：一个质点按照规律x a t y b t t =+=+⎧⎨⎩cos sin θθ（为参数）运动，试求它从时间t 1到t 2所经过的距离。
解：设时间t 1、t 2对应的点为A 、B ，那么A 、B 点的坐标分别是：例4：圆锥曲线方程是x t y t =++=-+-⎧⎨⎩3516452cos sin ϕϕ〔1〕假设t 为参数，ϕ为常数，求这圆锥曲线的普通方程，并求出焦点到准线的距离。
〔2〕假设ϕ为参数，t 为常数，求这圆锥曲线的普通方程，并求出它的离心率。
解：〔1〕方程化成x ty t --=-+=-⎧⎨⎩5134562cos sin ϕϕ 消去参数t ，得()()x y --=--+5132452cos sin ϕϕ 顶点为()5145cos sin ϕϕ+-，焦点到准线的距离为P =34〔2〕方程化成x t y t --=++=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪3156542cos sin ϕϕ消去参数ϕ，得例5：直线l x t y t t R :sin cos =-︒=+︒⎧⎨⎩∈125525（）的倾斜角是：A ．115B ．75C ．155D ．25分析：y t -=︒525cos答案：A例6：直线x ty t t y x =--=+⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪--=1352452122（为参数）与曲线()相交于A 、B 两点。
极坐标与参数方程例题示范(分题型)
.极坐标与参数方程例题示范(分题型)极坐标与参数方程是选修内容的必考题型，这里按照课本及高考考试说明，归纳总结为四类题型。
题型一。
极坐标与直角坐标的互化。
互化原理（三角函数定义）、数形结合。
1．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧-=+-=t y t x 13（t 为参数），以O 为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位，曲线C 的极坐标方程为0cos 2=+θρ.（1）把曲线C 的极坐标方程化为普通方程；（2）求直线l 与曲线C 的交点的极坐标（πθρ20,0<≤≥）.试题解析：（1）由0cos 2=+θρ得θρcos 2-=，两边同乘以ρ，得x y x 222-=+；（2）由直线l 的参数方程为⎩⎨⎧-=+-=ty tx 13（t 为参数），得直线的普通方程为02=++y x ，联立曲线C 与直线l 的方程得，⎩⎨⎧-=-=11y x 或⎩⎨⎧=-=02y x ，化为极坐标为或),2(π.考点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线参数方程与普通方程的互化.考点：cos ,sin x y ρθρθ==，222x y ρ=+.2．在极坐标系中，设圆C 经过点轴的交点，求圆C 的极坐标方程． 试题解析：它与x 轴的交点也就是圆心为()1,0所以圆的方程为()2211x y -+=，得2220x y x +-=所以，圆的极坐标方程为：2cos ρθ=法二：与极轴的交点，所以令0θ=，得1ρ=，即圆心是()1,0 又圆C 经过点，∴圆的半径∴圆过原点，∴圆C 的极坐标方程是2cos ρθ=．考点：（1）转化为直角坐标，求出所求方程，再转化为极坐标；（2）先求圆心坐标，再运用余弦定理求半径，最后借助过原点写出圆的极坐标方程.题型二。
曲线（圆与椭圆）的参数方程。
（1）普通方程互化和最值问题。
“1”的代换（22cos sin 1θθ+=）、三角解决。
3．已知曲线C 的参数方程是)(sin ,cos 2为参数θθθ⎩⎨⎧==y x ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，B A ,的极坐标分别为（Ⅰ）求直线AB 的直角坐标方程；（Ⅱ）设M 为曲线C 上的点，求点M 到直线AB 距离的最大值..试题解析：（Ⅰ）将A 、B 化为直角坐标为∴直线AB 的方程为（Ⅱ）设(2cos ,sin )M θθ，它到直线AB 的距离为，考点：1.椭圆的参数方程；2.点到直线的距离公式；3.三角函数求最值．4．已知曲线C 的极坐标方程是2sin ρθ=，直线l 的参数方程是（t 为参数）．设直线l 与x 轴的交点是M ，N 是曲线C 上一动点，求MN 的最大值. 试题解析：曲线C的极坐标方程可化为22sin ρρθ=. 又222,cos ,sin x y x y ρρθρθ+===，所以曲线C 的直角坐标方程为2220x y y +-=. 将直线l 的参数方程化为直角坐标方程，得令0y =，得2x =，即M 点的坐标为（2，0）. 又曲线C 的圆心坐标为（1，0）， 半径1r =，则法二：设N 的坐标为()cos ,1sin θθ+.1==≤=考点：极坐标化为直角坐标，参数方程化为普通方程，直线与圆位置关系5．已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是 ，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为（1）判断直线l 与曲线C 的位置关系；（2）设M 为曲线C 上任意一点，求x y +的取值范围. 试题解析：（1）直线l 的普通方程为 曲线C 的直角坐标系下的方程为. （2.考点：直线与圆的参数方程和圆的极坐标方程.6．已知平面直角坐标系xOy ，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P 点，曲线C 的参数方程为（θ为参数）. （1）写出点P 的直角坐标及曲线C 的直角坐标方程；（2）若Q 为曲线C 上的动点，求PQ 中点M 到直线:cos 2sin 10l ρθρθ++=的距离的最小值.试题解析：（1）点P 的直角坐标所以曲线C 的直角坐标方程为（2）曲线C 的参数方θ为参数），直线l 的普通方程为210x y ++=，，那么点M 到直线l 的距离所以点M 到直线l 的最小距离为考点：1、极坐标和直角坐标的互化；2、参数方程和普通方程的互化；3、点到直线的距离．（2）公共点问题。
高三数学《极坐标与参数方程》专题测试题含答案
高三数学极坐标与参数方程专题测试题含答案（120分钟 每小题10分，共15小题，总分150分）1.【2017课标1，理22】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩（为参数）.（1）若a =−1，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到la.2. 【2017课标II ，理22】在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=。
（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为(2,)3π，点B 在曲线2C 上，求OAB △面积的最大值。
3.【2017课标3，理22】在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为2+,,x t y kt =⎧⎨=⎩（t 为参数），直线l 2的参数方程为2,,x m m my k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（为参数）.设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C . （1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设()3:cos sin 0l ρθθ+=，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径.4.【2015高考陕西，理23】在直角坐标系x y O 中，直线l的参数方程为1322x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，C的极坐标方程为ρθ=．（I ）写出C 的直角坐标方程；（II ）P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．5.【2015高考新课标2，理23】在直角坐标系xoy 中，曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0t ≠），其中0απ≤<，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:2sin C ρθ=，曲线3:C ρθ=．（Ⅰ）.求2C 与1C 交点的直角坐标；（Ⅱ）.若2C 与1C 相交于点A ，3C 与1C 相交于点B ，求AB 的最大值．6． 【2014全国2，理20】在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（Ⅰ）求C 的参数方程；（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.7. 【2014课标Ⅰ，理23】已知曲线221:149x y C +=，直线l ：2,22,x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）.（I ）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（II ）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30︒的直线，交l 于点A ，PA 的最大值与最小值．8.【2015高考新课标1，理23】在直角坐标系xOy 中，直线1C :x =-2，圆2C ：()()22121x y -+-=,以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ,N ,求2C MN 的面积.9．【2016高考新课标3理数】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为()sin x y ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()4ρθπ+=（I ）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（II ）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求PQ 的最小值及此时P 的直角坐标.10.【2016高考新课标1卷】在直角坐标系x O y 中,曲线C 1的参数方程为cos 1sin x a ty a t=⎧⎨=+⎩（t 为参数,a ＞0）．在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2：ρ=4cos θ. （I ）说明C 1是哪一种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程；（II ）直线C 3的极坐标方程为0θα=,其中0α满足tan 0α=2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上,求a ．11.【2016高考新课标2理数】在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(6)25x y ++=． （Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； （Ⅱ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）, l 与C 交于,A B 两点，||10AB =，求l 的斜率．12.【2018年全国卷Ⅲ理】在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），过点且倾斜角为的直线与交于两点．（1）求的取值范围； （2）求中点的轨迹的参数方程．13．【2018年理数全国卷II】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）.（1）求和的直角坐标方程；（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．14．【贵州省凯里市2018届四模】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），以原点为极点，以轴非负半轴为极轴，建立极坐标系.(1)写出曲线的极坐标方程；(2)设直线（为任意锐角）、分别与曲线交于两点，试求面积的最小值.15．【辽宁省葫芦岛市2018年二模】直角坐标系中，直线的参数方程为 (为参数)，在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，圆的方程为.（1）求圆的直角坐标方程；（2）设圆与直线交于点，若点的坐标为，求的最小值.参考答案1.解析：（1）曲线C 的普通方程为2219x y +=. 当1a =-时，直线l 的普通方程为430x y +-=.由2243019x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得30x y =⎧⎨=⎩或21252425x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，2124(,)2525-.…………5分 （2）直线l 的普通方程为440x y a +--=，故C 上的点(3cos ,sin )θθ到l 的距离为d =当4a ≥-时，d=8a =； 当4a <-时，d=16a =-. 综上，8a =或16a =-.…………10分【考点】极坐标与参数方程仍然考查直角坐标方程与极坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化，直线与曲线的位置关系.【名师点睛】化参数方程为普通方程主要是消参，可以利用加减消元、平方消元、代入法等等；在极坐标方程与参数方程的条件下求解直线与圆的位置关系问题，通常将极坐标方程化为直角坐标方程，参数方程化为普通方程来解决.2.解析：（1）设P 的极坐标为()()，＞0ρθρ，M 的极坐标为()()11，＞0ρθρ，由题设知cos 14=，=ρρθOP OM =。
极坐标参数方程高考练习含答案非常好的练习题
极坐标参数方程高考练习含答案非常好的练习题公司标准化编码 [QQX96QT-XQQB89Q8-NQQJ6Q8-MQM9N]极坐标与参数方程高考精练（经典39题）1．在极坐标系中，以点(2,)2C π为圆心，半径为3的圆C 与直线:()3l R πθρ=∈交于,A B两点.（1）求圆C 及直线l 的普通方程.（2）求弦长AB .2．在极坐标系中，曲线2:sin 2cos L ρθθ=，过点A （5，α）（α为锐角且3tan 4α=）作平行于()4R πθρ=∈的直线l ，且l 与曲线L 分别交于B ，C 两点.(Ⅰ)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，取与极坐标相同单位长度，建立平面直角坐标系，写出曲线L 和直线l 的普通方程；(Ⅱ)求|BC|的长.3．在极坐标系中，点M 坐标是)2,3(π，曲线C 的方程为)4sin(22πθρ+=；以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是1-的直线l 经过点M ．（1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）求证直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，并求||||MB MA ⋅的值．4．已知直线l 的参数方程是)(242222是参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==，圆C 的极坐标方程为)4cos(2πθρ+=．（1）求圆心C 的直角坐标；（2）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值．5．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为()为参数t ty ta x ,3⎩⎨⎧=+=.在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为θρcos 4=.（Ⅰ）求圆C 在直角坐标系中的方程；（Ⅱ）若圆C 与直线l 相切，求实数a 的值.6．在极坐标系中，O 为极点，已知圆C 的圆心为(2,)3π，半径r=1，P 在圆C 上运动。
（I ）求圆C 的极坐标方程；（II ）在直角坐标系（与极坐标系取相同的长度单位，且以极点O 为原点，以极轴为x 轴正半轴）中，若Q 为线段OP 的中点，求点Q 轨迹的直角坐标方程。
高三极坐标与参数方程练习题
高三极坐标与参数方程练习题1．点M 的极坐标)32,5(π化为直角坐标为（ ） A ．)235,25(-- B ．)235,25(- C ．)235,25(- D ．)235,25( 2．点M 的直角坐标为)1,3(--化为极坐标为( ）A ．)65,2(πB ．)67,2(πC ．)611,2(πD ．)6,2(π 3．已知曲线C 的参数方程为)(1232为参数t t y t x ⎩⎨⎧+==则点)4,5(),1,0(21M M 与曲线C 的位置关系是（ ) A ．1M 在曲线C 上,但2M 不在。
B ．1M 不在曲线C 上，但2M 在。
C ．1M ，2M 都在曲线C 上。
D ．1M ,2M 都不在曲线C 上。
4．椭圆 )(sin 51cos 3为参数θθθ⎩⎨⎧+-=+=y x 的两个焦点坐标是( )A ．（—3,5)，（—3，—3）B ．(3，3），（3,—5)C ．（1，1）,（—7，1）D ．(7,—1），（—1，—1)5．曲线的极坐标方程ρ=４sinθ化 成直角坐标方程为（ ）A ．x 2+(y+2)2=4B ．x 2+（y —2）2=4C ．（x —2）2+y 2=4D ．（x+2）2+y 2=46．极坐标方程4sin 2θ=3表示曲线是 ( ）A ．两条射线B ．抛物线C ．圆D ．两条相交直线7。
在极坐标系中,曲线C 1与C 2的方程分别为2ρcos 2θ＝sin θ与ρcos θ＝1。
以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1与C 2交点的直角坐标为________．8. 参数方程 ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=θθθθcos 1sin cos 1cos y x (θ为参数）化成普通方程为 。
9。
抛物线y 2=2px （p ＞0)的一条过焦点的弦被焦点分成m 、n 长的两段，则nm 11+ = . 10。
在极坐标系中,点错误!到直线ρ sin 错误!＝1的距离是________．11. 将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C .（1)写出C 的参数方程；（2)设直线l :2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．12。
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第84练 极坐标与参数方程
1．(2016·安庆一模)在极坐标系中，点(2，π
3)与圆ρ＝2cos θ的圆心之间的距离为
( ) A ．2 B. 4＋π2
9
C.
1＋π2
9
D. 3
2．(2016·马鞍山二模)直线l 的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝6，圆C ：
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝cos θy ＝sin θ
(θ为参数)上的点到直线l 的距离为d ，则d 的最大值为( )
A ．32＋1
B ．3 2
C ．32－1
D ．32＋2
3．把方程xy ＝1化为以t 为参数的参数方程是( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝t 1
2y ＝t －1
2
B.⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝sin t y ＝1
sin t
C.⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝cos t y ＝1
cos t
D.⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝tan t y ＝1
tan t
4．极坐标方程ρcos θ＝2sin 2θ表示的图象为( ) A ．一条射线和一个圆 B ．两条直线 C ．一条直线和一个圆
D ．一个圆
5．直线⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝1＋2t
y ＝2＋t (t 为参数)被圆x 2
＋y 2
＝9截得的弦长为( )
A.125
B.
125
5 C.955
D.
910
5
6．(2017·黄山质检)在极坐标系中，直线ρsin(θ＋π
4
)＝2被圆ρ＝4截得的弦长为( ) A ．4 3 B ．5 3 C ．4
D ．5
7．在极坐标系中，与圆ρ＝4sin θ相切的一条直线的方程为( ) A ．ρcos θ＝2 B ．ρsin θ＝2 C ．ρ＝4sin(θ＋π
3
)
D ．ρ＝4sin(θ－π
3
)
8．(2016·皖南八校联考)若直线l ：⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝2t
y ＝1－4t (t 为参数)与曲线C ：
⎩⎨
⎧
x ＝5cos θ
y ＝m ＋5sin θ
(θ为参数)相切，则实数m 为( )
A ．－4或6
B ．－6或4
C ．－1或9
D ．－9或1
二、填空题
9．已知两曲线的参数方程分别为⎩⎨
⎧
x ＝5cos θy ＝sin θ
(0≤θ<π)和⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝54
t 2
y ＝t
(t ∈R )，则
它们的交点坐标为________．
10．在直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．设点A ，B
分别在曲线C 1：⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝3＋cos θ
y ＝sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，则|AB |的最小值为
________．
11．已知曲线C 1：⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝－4＋cos t
y ＝3＋sin t (t
为参数)，C 2：⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝8cos θ
y ＝3sin θ(θ为参数)．若
曲线C 1上的点P 对应的参数为t ＝π
2
，Q 为曲线C 2上的动点，则线段PQ 的中点M 到直线
C 3：⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝3＋2t y ＝－2＋t (t 为参数)距离的最小值为________．
12．在直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线
C ：ρsin 2θ＝2a cos θ(a >0)，过点P (－2，－4)的直线l 的参数方程为
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－2＋2
2t ，y ＝－4＋22
t ，直线l 与曲线C 分别交于M ，N 两点．若|PM |，|MN |，|PN |成等
比数列，则a 的值为________.
答案精析
1．D [由⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝ρcos θ＝2cos π
3
＝1，y ＝ρsin θ＝2sin π
3
＝3可知，点(2，π
3
)的直角坐标为(1，3)，
圆ρ＝2cos θ的直角坐标方程为x 2
＋y 2
＝2x ，即(x －1)2＋y 2
＝1，则圆心(1,0)与点(1，3)之间的距离为 3.]
2．A [由题意知，直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＝6，圆C 的普通方程为x 2
＋y 2
＝1，则圆心到直线的距离d ＝
62
＝32，所以圆C 上的点到直线l 的距离的最大值为32＋1.]
3．D [由xy ＝1，知x 取非零实数即可，而选项A ，B ，C 中的x 的范围有各自的限制．] 4．C [由ρcos θ＝4sin θcos θ，得cos θ＝0或ρ＝4sin θ.即θ＝k π＋π2或x
2
＋y 2
＝4y ，所以方程表示的是一条直线和一个圆．]
5．B [由⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝1＋2t ，
y ＝2＋t ，可得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1＋
5t ×25，
y ＝2＋
5t ×
1
5
，
把直线⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝1＋2t ，y ＝2＋t 代入x 2
＋y 2
＝9，
得(1＋2t )2
＋(2＋t )2
＝9，5t 2
＋8t －4＝0， |t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2
－4t 1t 2＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－852＋165＝125，
弦长为5|t 1－t 2|＝1255
.]
6．A [直线的极坐标方程化为直角坐标方程为x ＋y －22＝0，圆的极坐标方程化为直角坐标方程为x 2
＋y 2
＝16，圆心坐标为(0,0)，则圆心(0,0)到直线x ＋y －22＝0的距离d ＝222
＝2，所以直线被圆截得的弦长为242－22＝4 3.]
7．A [圆ρ＝4sin θ的直角坐标方程为x 2
＋(y －2)2
＝4，直线ρcos θ＝2的直角坐标方程为x ＝2，圆x 2
＋(y －2)2
＝4与直线x ＝2显然相切．] 8．A [由⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＝2t y ＝1－4t
(t 为参数)，得直线l ：2x ＋y －1＝0，由⎩⎨
⎧
x ＝5cos θ
y ＝m ＋5sin θ
(θ
为参数)，得曲线C ：x 2＋(y －m )2
＝5，因为直线与曲线相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即
|m －1|
22
＋1
＝5，解得m ＝－4或m ＝6.] 9．(1，25
5
)
解析 由⎩⎨
⎧
x ＝5cos θ
y ＝sin θ
(0≤θ<π)得x 2
5
＋y 2
＝1(y ≥0)，由⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝54
t 2y ＝t
(t ∈R )得x ＝
5
4
y 2
，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
5＋y 2
＝1，
x ＝5
4y 2
，
则5y 4＋16y 2－16＝0，解得y 2＝45
或y 2
＝－4(舍去)，则
x ＝54y 2＝1，又y ≥0，所以其交点坐标为(1，
25
5
)． 10．1
解析 消掉参数θ，得到曲线C 1的普通方程为(x －3)2＋y 2
＝1，表示以(3,0)为圆心，以1为半径的圆；C 2表示的是单位圆，所以|AB |的最小值为3－1－1＝1. 11.855
解析 曲线C 1的普通方程为(x ＋4)2
＋(y －3)2
＝1，曲线C 2的普通方程为x 264＋y 2
9
＝1，曲线
C 1为圆心是(－4,3)，半径是1的圆．曲线C 2为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴
长是8，短半轴长是3的椭圆．当t ＝π
2时，点P 的坐标为(－4,4)．Q 为曲线C 2上的动点，
设Q (8cos θ，3sin θ)，故M (－2＋4cos θ，2＋3
2sin θ)，
直线C 3的参数方程化为普通方程为x －2y －7＝0， 点M 到直线C 3的距离d ＝
5
5
|4cos θ－3sin θ－13|， 从而cos θ＝45，sin θ＝－35时，d 取得最小值85
5.
12．1
解析 将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程为y 2
＝2ax ，将直线l 的参数方程
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－2＋2
2t y ＝－4＋22
t (t 为参数)代入y 2＝2ax ，得到t 2
－22(4＋a )t ＋8(4＋a )＝0.
设直线上的M ，N 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则有t 1＋t 2＝22(4＋a )，t 1t 2＝8(4＋a )．因为|MN |2
＝|PM |·|PN |，所以(t 1－t 2)2
＝(t 1＋t 2)2
－4t 1t 2＝t 1t 2，解得a ＝1.。