2018年高考数学二轮复习 专题对点练23 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题 理
广西2019届高考数学二轮复习专题对点练23圆锥曲线中的最值、范围、证明问题
专题对点练23 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题1.(2018全国Ⅰ,文20)设抛物线C:y2=2x,点A(2,0),B(-2,0),过点A的直线l与C交于M,N两点.(1)当l与x轴垂直时,求直线BM的方程;(2)证明:∠ABM=∠ABN.2.已知椭圆C的两个顶点分别为A(-2,0),B(2,0),焦点在x轴上,离心率为.(1)求椭圆C的方程;(2)点D为x轴上一点,过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M,N,过D作AM的垂线交BN于点E.求证:△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.3.已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,直线x=4与x轴的交点为P,与抛物线的交点为Q,且|QF|=|PQ|.(1)求抛物线的方程;(2)如图所示,过F的直线l与抛物线相交于A,D两点,与圆x2+(y-1)2=1相交于B,C两点(A,B两点相邻),过A,D两点分别作抛物线的切线,两条切线相交于点M,求△ABM与△CDM的面积之积的最小值.4.已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右交点分别为F1,F2,且|F1F2|=4,A-是椭圆上一点.(1)求椭圆C的标准方程和离心率e的值;(2)若T为椭圆C上异于顶点的任意一点,M,N分别为椭圆的右顶点和上顶点,直线TM与y轴交于点P,直线TN与x轴交于点Q,求证:|PN|·|QM|为定值.5.已知圆O:x2+y2=r2,直线x+2y+2=0与圆O相切,且直线l:y=kx+m与椭圆C:+y2=1相交于P,Q两点,O为坐标原点.(1)若直线l过椭圆C的左焦点,且与圆O交于A,B两点,且∠AOB=60° 求直线l的方程;(2)如图,若△POQ的重心恰好在圆上,求m的取值范围.6.已知椭圆C与双曲线y2-x2=1有共同焦点,且离心率为6.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若A为椭圆C的下顶点,M,N为椭圆C上异于A的两点,直线AM与AN的斜率之积为1.①求证:直线MN恒过定点,并求出该定点坐标;②若O为坐标原点,求的取值范围.7.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,A为C上位于第一象限的任意一点,过点A的直线l交C于另一点B,交x轴的正半轴于点D.(1)若当点A的横坐标为3,且△ADF为等边三角形时,求C的方程;(2)对于(1)中求出的抛物线C,若点D(x0,0)0,记点B关于x轴的对称点为E,AE交x轴于点P,且AP⊥BP,求证:点P的坐标为(-x0,0),并求点P到直线AB的距离d的取值范围.专题对点练23答案1.(1)解当l与x轴垂直时,l的方程为x=2,可得M的坐标为(2,2)或(2,-2).所以直线BM的方程为y=x+1或y=-x-1.(2)证明当l与x轴垂直时,AB为MN的垂直平分线,所以∠ABM=∠ABN.当l与x轴不垂直时,设l的方程为y=k(x-2)(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2),则x1>0,x2>0.由-得ky2-2y-4k=0,可知y1+y2=,y1y2=-4.直线BM,BN的斜率之和为k BM+k BN=.①将x1=+2,x2=+2及y1+y2,y1y2的表达式代入①式分子,可得x2y1+x1y2+2(y1+y2)=-=0.所以k BM+k BN=0,可知BM,BN的倾斜角互补,所以∠ABM=∠ABN.综上,∠ABM=∠ABN.2.(1)解设椭圆C的方程为=1(a>b>0).由题意得解得c=.所以b2=a2-c2=1.所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)证明设M(m,n),则D(m,0),N(m,-n).由题设知m≠±2,且n≠0.直线AM的斜率k AM=,故直线DE的斜率k DE=-.所以直线DE的方程为y=-(x-m),直线BN的方程为y=-(x-2).联立----解得点E的纵坐标y E=---.由点M在椭圆C上,得4-m2=4n2.所以y E=-n.又S△BDE=|BD|·|y E|=|BD|·|n|,S△BDN=|BD|·|n|,所以△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.3.解 (1)由题意可知P(4,0),Q,|QF|=,由|QF|=|PQ|,则,解得p=2,∴抛物线的方程为x2=4y.(2)设l:y=kx+1,A(x1,y1),D(x2,y2),联立整理得x2-4kx-4=0,则x1x2=-4,由y=x2,求导y'=,直线MA:y-(x-x1),即y=x-,同理求得MD:y=x-,联立--解得-则M(2k,-1),∴M到l的距离d==2,∴△ABM与△CDM的面积之积S△ABM·S△CDM=|AB||CD|·d2=(|AF|-1)(|DF|-1)·d2=y1y2d2=6·d2=1+k2≥当且仅当k=0时取等号,当k=0时,△ABM与△CDM的面积之积取最小值1.4.(1)解由已知得c=2,F1(-2,0),F2(2,0),∴2a=|AF1|+|AF2|=-+--=8.∴a=4,∴b2=a2-c2=4,e=.∴椭圆C的标准方程为6=1,e=.(2)证明T(x0,y0)(x0≠0,y0≠0),则060=1.M(4,0),N(0,2),∴直线TN的方程为y-2=0-0x,令y=0,得Q-00-0,直线TM的方程为y=00-(x-4),令x=0,得P0 -00-.则|MQ|=00-00-0-,则|PN|=00-00-0-.|QM|·|PN|=00-0-0- 6 00-0-000-0-0=16,∴|PN|·|QM|为定值16.5.解 (1)∵直线x+2y+2=0与圆O:x2+y2=r2相切,∴r=,∴x2+y2=.∵左焦点坐标为F(-1,0),设直线l的方程为y=k(x+1),由∠AOB=60° 得圆心O到直线l的距离d=.又d=,∴,解得k=±,∴直线l的方程为y=±(x+1).(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),由得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0.由Δ>0,得2k2+1>m2 ※且x1+x2=-.由△POQ重心恰好在圆x2+y2=上,得(x1+x2)2+(y1+y2)2=4, 即(x1+x2)2+[k(x1+x2)+2m]2=4,即(1+k2)(x1+x2)2+4km(x1+x2)+4m2=4.∴ 6 6+4m2=4,化简得m2=,代入 ※ 得k≠0.又m2==1+=1+.由k≠0,得>0,∴>0,∴m2>1,得m的取值范围为m<-1或m>1.6.解 (1)设椭圆C的标准方程为=1(a>b>0),由题意可得a2-b2=2,e=6,c=,解得a=,b=1,即有椭圆的标准方程为+x2=1;(2)①证明:设M(x1,y1),N(x2,y2),由A(0,-),直线AM与AN的斜率之积为1,可得=1,即有x1x2=y1y2+(y1+y2)+3,由题意可知直线MN的斜率存在且不为0,设直线MN:y=kx+t,代入椭圆方程,可得(3+k2)x2+2ktx+t2-3=0,可得x1x2=-,x1+x2=-,y1+y2=k(x1+x2)+2t=2t-6,y1y2=k2x1x2+kt(x1+x2)+t2=k2·-+kt-+t2=-,则--6+3,化为t2+3t+6=0,解得t=-2(- 舍去),则直线MN的方程为y=kx-2,即直线MN恒过定点,该定点坐标为(0,-2);②由①可得=x1x2+y1y2=----=-,由(3+k2)x2+2ktx+t2-3=0,可得Δ=4k2t2-4(t2-3)(3+k2)=48k2-36(3+k2)>0,解得k2>9.令3+k2=m,则m>12,且k2=m-3,即有----3,由m>12,可得-3<-3<.则的取值范围是-.7.解 (1)由题知F 0,|FA|=3+,则D(3+p,0),FD的中点坐标为 0,则=3,解得p=2,故C的方程为y2=4x.(2)依题可设直线AB的方程为x=my+x0(m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),则E(x2,-y2),由消去x,得y2-4my-4x0=0.∵x0≥,∴Δ=16m2+16x0>0,y1+y2=4m,y1y2=-4x0,设P 的坐标为(x P,0),则=(x2-x P,-y2),=(x1-x P,y1),由题知,所以(x2-x P)y1+y2(x1-x P)=0,即x2y1+y2x1=(y1+y2)x P=,显然y1+y2=4m≠0,所以x P==-x0,即证x P(-x0,0).由题知△EPB为等腰直角三角形,所以k AP=1,即-=1,也即-=1,所以y1-y2=4,∴(y1+y2)2-4y1y2=16,即16m2+16x0=16,m2=1-x0,x0<1,又因为x0≥,所以≤x0<1,d=-0,令-0=t∈6,x0=2-t2,d=--2t,易知f(t)=-2t在6上是减函数,所以d∈6.。
2018-2019学年高中新创新一轮复习理数： 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题含解析
课时达标检测（四十八） 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题[一般难度题——全员必做]1．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点为F 2(1,0)，且该椭圆过定点M ⎝⎛⎭⎫1，22. (1)求椭圆E 的标准方程；(2)设点Q (2,0)，过点F 2作直线l 与椭圆E 交于A ，B 两点，且F 2A ―→＝λF 2B ―→，λ∈[－2，－1]，以QA ，QB 为邻边作平行四边形QACB ，求对角线QC 长度的最小值．解：(1)由题易知c ＝1，1a 2＋12b 2＝1，又a 2＝b 2＋c 2， 解得b 2＝1，a 2＝2，故椭圆E 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)设直线l ：x ＝ky ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky ＋1，x 22＋y 2＝1 得(k 2＋2)y 2＋2ky －1＝0，Δ＝4k 2＋4(k 2＋2)＝8(k 2＋1)>0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则可得y 1＋y 2＝－2k k 2＋2，y 1y 2＝－1k 2＋2. QC ―→＝QA ―→＋QB ―→＝(x 1＋x 2－4，y 1＋y 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4(k 2＋1)k 2＋2，－2k k 2＋2， ∴|QC ―→|2＝|QA ―→＋QB ―→|2＝16－28k 2＋2＋8(k 2＋2)2，由此可知，|QC ―→|2的大小与k 2的取值有关．由F 2A ―→＝λF 2B ―→可得y 1＝λy 2，λ＝y 1y 2，1λ＝y 2y 1(y 1y 2≠0)．从而λ＋1λ＝y 1y 2＋y 2y 1＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2y 1y 2＝－6k 2－4k 2＋2，由λ∈[－2，－1]得⎝⎛⎭⎫λ＋1λ∈⎣⎡⎦⎤－52，－2，从而－52≤－6k 2－4k 2＋2≤－2，解得0≤k 2≤27. 令t ＝1k 2＋2，则t ∈⎣⎡⎦⎤716，12，∴|QC ―→|2＝8t 2－28t ＋16＝8⎝⎛⎭⎫t －742－172，∴当t ＝12时，|QC |min＝2.2．(2018·河南洛阳统考)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，过焦点F 的直线交C 于A ，B 两点，D 是抛物线的准线l 与y 轴的交点．(1)若AB ∥l ，且△ABD 的面积为1，求抛物线的方程；(2)设M 为AB 的中点，过M 作l 的垂线，垂足为N .证明：直线AN 与抛物线相切． 解：(1)∵AB ∥l ，∴|FD |＝p ，|AB |＝2p .∴S △ABD ＝p 2＝1. ∴p ＝1，故抛物线C 的方程为x 2＝2y .(2)证明：显然直线AB 的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋p 2，A ⎝⎛⎭⎫x 1，x 212p ，B ⎝⎛⎭⎫x 2，x 222p . 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋p 2，x 2＝2py 消去y 整理得，x 2－2kpx －p 2＝0. ∴x 1＋x 2＝2kp ，x 1x 2＝－p 2. ∴M (kp ，k 2p ＋p2)，N ⎝⎛⎭⎫kp ，－p 2. ∴k AN ＝x 212p ＋p 2x 1－kp ＝x 212p ＋p 2x 1－x 1＋x 22＝x 21＋p 22p x 1－x 22＝x 21－x 1x 22p x 1－x 22＝x 1p .又x 2＝2py ，∴y ′＝xp .∴抛物线x 2＝2py 在点A 处的切线斜率k ＝x 1p .∴直线AN 与抛物线相切．3．(2018·合肥模拟)已知中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆C ，其上一点P 到两个焦点F 1，F 2的距离之和为4，离心率为32. (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝kx ＋1与曲线C 交于A ，B 两点，求△OAB 面积的取值范围． 解：(1)设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，由条件知，⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝4，e ＝c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，c ＝3，b ＝1，故椭圆C 的方程为y 24＋x 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，y ＝kx ＋1得(k 2＋4)x 2＋2kx －3＝0， 故x 1＋x 2＝－2k k 2＋4，x 1x 2＝－3k 2＋4， 设△OAB 的面积为S ，由x 1x 2＝－3k 2＋4<0，知S ＝12×1×|x 1－x 2|＝12(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2k 2＋3(k 2＋4)2，令k 2＋3＝t ，知t ≥3，∴S ＝21t ＋1t＋2. 对函数y ＝t ＋1t (t ≥3)，知y ′＝1－1t 2＝t 2－1t2>0，∴y ＝t ＋1t 在t ∈[3，＋∞)上单调递增，∴t ＋1t ≥103，∴0<1t ＋1t ＋2≤316，∴0<S ≤32.故△OAB 面积的取值范围为⎝⎛⎦⎤0，32.[中档难度题——学优生做]1．(2018·嘉兴模拟)过离心率为22的椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F (1,0)作直线l与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，设|FA |＝λ|FB |，T (2,0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)若1≤λ≤2，求△ABT 中AB 边上中线长的取值范围． 解：(1)∵e ＝22，c ＝1，∴a ＝2，b ＝1， 即椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)①当直线的斜率为0时，显然不成立． ②设直线l ：x ＝my ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2－2＝0，x ＝my ＋1得(m 2＋2)y 2＋2my －1＝0，则y 1＋y 2＝－2m m 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2， 由|FA |＝λ|FB |，得y 1＝－λy 2， ∵－λ＋1－λ＝y 1y 2＋y 2y 1，∴－λ＋1－λ＋2＝(y 1＋y 2)2y 1y 2＝－4m 2m 2＋2，∴m 2≤27，又∵AB 边上的中线长为12|TA ―→＋TB ―→|＝12(x 1＋x 2－4)2＋(y 1＋y 2)2 ＝ 4m 4＋9m 2＋4(m 2＋2)2＝2(m 2＋2)2－7m 2＋2＋4∈⎣⎡⎦⎤1，13216.2．(2018·武昌调研)已知椭圆的中心在坐标原点，A (2,0)，B (0,1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k >0)与直线AB 相交于点D ，与椭圆相交于E ，F 两点．(1)若ED ―→＝6DF ―→，求k 的值； (2)求四边形AEBF 面积的最大值．解：(1)由题设条件可得，椭圆的方程为x 24＋y 2＝1，直线AB 的方程为x ＋2y －2＝0.设D (x 0，kx 0)，E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1<x 2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2＝4， 解得x 2＝－x 1＝21＋4k 2.① 由ED ―→＝6DF ―→，得(x 0－x 1，k (x 0－x 1))＝6(x 2－x 0，k (x 2－x 0))，即x 0－x 1＝6(x 2－x 0)，∴x 0＝17(6x 2＋x 1)＝57x 2＝1071＋4k 2.由D 在AB 上，得x 0＋2kx 0－2＝0，∴x 0＝21＋2k. ∴21＋2k ＝1071＋4k2，化简，得24k 2－25k ＋6＝0， 解得k ＝23或k ＝38.(2)根据点到直线的距离公式和①式可知，点E ，F 到AB 的距离分别为 d 1＝|x 1＋2kx 1－2|5＝2(1＋2k ＋1＋4k 2)5(1＋4k 2)，d 2＝|x 2＋2kx 2－2|5＝2(1＋2k －1＋4k 2)5(1＋4k 2)，又|AB |＝22＋12＝5， ∴四边形AEBF 的面积为S ＝12|AB |(d 1＋d 2)＝12×5×4(1＋2k )5(1＋4k 2)＝2(1＋2k )1＋4k 2＝21＋4k 2＋4k1＋4k 2＝21＋4k 1＋4k 2＝21＋44k ＋1k≤21＋424k ·1k＝22，当且仅当4k ＝1k (k >0)，即k ＝12时，等号成立．故四边形AEBF 面积的最大值为2 2.[较高难度题——学霸做]1．(2018·石家庄市质量检测)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，且长轴长为8，T 为椭圆上任意一点，直线TA ，TB 的斜率之积为－34.(1)求椭圆C 的方程；(2)设O 为坐标原点，过点M (0,2)的动直线与椭圆C 交于P ，Q 两点，求OP ―→·OQ ―→＋MP ―→·MQ ―→的取值范围．解：(1)设T (x ，y )，由题意知A (－4,0)，B (4,0)， 设直线TA 的斜率为k 1，直线TB 的斜率为k 2，则k 1＝y x ＋4，k 2＝yx －4. 由k 1k 2＝－34，得y x ＋4·y x －4＝－34，整理得x 216＋y 212＝1.故椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋2，点P ，Q 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线PQ 与椭圆方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧x 216＋y 212＝1，y ＝kx ＋2，消去y ，得(4k 2＋3)x 2＋16kx －32＝0. 所以x 1＋x 2＝－16k 4k 2＋3，x 1x 2＝－324k 2＋3. 从而，OP ―→·OQ ―→＋MP ―→·MQ ―→＝x 1x 2＋y 1y 2＋[x 1x 2＋(y 1－2)(y 2－2)]＝2(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4＝－80k 2－524k 2＋3＝－20＋84k 2＋3. 所以－20<OP ―→·OQ ―→＋MP ―→·MQ ―→≤－523.当直线PQ 的斜率不存在时，OP ―→·OQ ―→＋MP ―→·MQ ―→的值为－20. 综上，OP ―→·OQ ―→＋MP ―→·MQ ―→的取值范围为⎣⎡⎦⎤－20，－523. 2．(2018·沈阳质量监测)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝6，直线y ＝kx 与椭圆交于A ，B 两点．(1)若△AF 1F 2的周长为16，求椭圆的标准方程； (2)若k ＝24，且A ，B ，F 1，F 2四点共圆，求椭圆离心率e 的值；(3)在(2)的条件下，设P (x 0，y 0)为椭圆上一点，且直线PA 的斜率k 1∈(－2，－1)，试求直线PB 的斜率k 2的取值范围．解：(1)由题意得c ＝3，根据2a ＋2c ＝16，得a ＝5. 结合a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝25，b 2＝16. 所以椭圆的方程为x 225＋y 216＝1.(2)法一：由⎩⎨⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，y ＝24x ，得⎝⎛⎭⎫b 2＋18a 2x 2－a 2b 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．所以x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－a 2b 2b 2＋18a2，由AB ，F 1F 2互相平分且共圆，易知，AF 2⊥BF 2，因为F 2A ―→＝(x 1－3，y 1)，F 2B ―→＝(x 2－3，y 2)， 所以F 2A ―→·F 2B ―→＝(x 1－3)(x 2－3)＋y 1y 2 ＝⎝⎛⎭⎫1＋18x 1x 2＋9＝0. 即x 1x 2＝－8，所以有－a 2b 2b 2＋18a2＝－8，结合b 2＋9＝a 2， 解得a 2＝12(a 2＝6舍去)， 所以离心率e ＝32. 法二：设A (x 1，y 1)，又AB ，F 1F 2互相平分且共圆，所以AB ，F 1F 2是圆的直径，所以x 21＋y 21＝9，又由椭圆及直线方程综合可得：⎩⎨⎧x 21＋y 21＝9，y 1＝24x 1，x 21a 2＋y21b 2＝1.由前两个方程解得x 21＝8，y 21＝1，将其代入第三个方程并结合b 2＝a 2－c 2＝a 2－9， 解得a 2＝12，故e ＝32. (3)由(2)的结论知，椭圆方程为x 212＋y 23＝1，由题可设A (x 1，y 1)，B (－x 1，－y 1)，k 1＝y 0－y 1x 0－x 1，k 2＝y 0＋y 1x 0＋x 1， 所以k 1k 2＝y 20－y 21x 20－x 21，又y 20－y 21x 20－x 21＝3⎝⎛⎭⎫1－x 2012－3⎝⎛⎭⎫1－x 2112x 20－x 21＝－14，即k 2＝－14k 1，由－2＜k 1＜－1可知，18＜k 2＜14.即直线PB 的斜率k 2的取值范围是⎝⎛⎭⎫18，14.。
专题：圆锥曲线中的最值、范围、定点和定值问题(二合一版)
专题：圆锥曲线中的最值、范围、定点、定值问题题型一：定点问题解题的关健在于寻找题中用来联系已知量，未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量，未知量代入上述关系，通过整理，变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决.例1、已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -=相切．（1）求椭圆C 的方程；（2）设(4,0)P ，M 、N 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PN 交椭圆C 于另一点E ，求直线PN 的斜率的取值范围；（3）在（2）的条件下，证明直线ME 与x 轴相交于定点．解析：（1）2214x y +=；（2）0k <<或0k <<（3）(1,0)例2、在直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F ，)2,0F 的距离之和是4，点M 的轨迹是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于不同的两点P 和Q ． （1）求轨迹C 的方程；（2）当0AP AQ ⋅=时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点．解析：（1）2214x y +=；（2）k 与b 的关系是：65b k =，且直线l 经过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭点例3、已知椭圆C 中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，短轴长为 （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l ：()0y kx m k =+≠与椭圆交于不同的两点M N 、（M N 、不是椭圆的左、右顶点），且以MN 为直径的圆经过椭圆的右顶点A ．求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标．解析: （1）22143x y +=（2）直线l 的方程为 27y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，过定点2(,0)7题型二：定值问题在解析几何中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，解决这类问题时，一种思路是进行一般计算推理求出其结果，选定一个适合该题设的参变量，用题中已知量和参变量表示题中所涉及的定义，方程，几何性质，再用韦达定理，点差法等导出所求定值关系所需要的表达式，并将其代入定值关系式，化简整理求出结果；另一种思路是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊图形等）先确定出定值，这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题，从而找到解决问题的突破口，将该问题涉及的几何形式转化为代数形式或三角形式，证明该式是恒定的.同时有许多定值问题，通过特殊探索法不但能够确定出定值，还可以为我们提供解题的线索. 例1、已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于A 、B 两点，)1,3(-=+与共线.（1）求椭圆的离心率；（2）设M 为椭圆上任意一点，且),(R ∈+=μλμλ，证明22μλ+为定值. 解析：（1）36=e （2）122=+μλ例2、已知，椭圆C 过点A 3(1,)2，两个焦点为（－1，0），（1，0）.（1）求椭圆C 的方程；（2）E,F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值.解析：（1）22143x y += （2）12例3、已知椭圆的中心在原点，焦点F 在y 轴的非负半轴上，点F 到短轴端点的距离是4，椭圆上的点到焦点F 距离的最大值是6.（1）求椭圆的标准方程和离心率e ；（2）若F '为焦点F 关于直线32y =的对称点，动点M 满足MF e MF ||='||，问是否存在一个定点A ，使M 到点A 的距离为定值？若存在，求出点A 的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.解析：（1）椭圆的标准方程为2211612y x +=. 离心率21.42e ==（2）存在一个定点7(0,)3A ，使M 到A 点的距离为定值，其定值为2.3题型三：最值、范围问题例1、设椭圆E ：x a y ba b 222210+=>>（）的左、右焦点分别为F F 12、，如果椭圆上存在点M ，使∠=︒F PF 1290（1）求离心率e 的取值范围;（2）当离心率取最小值是，点N （0,3）到椭圆上的点的最远距离为 ①求椭圆E 的方程;②设斜率为(0)k k ≠的直线与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，Q 为AB 的中点，问A 、B 两点能否关于过点(0,3P -、Q 的直线对称. 解析：（1）1e ∈） 解法1：利用椭圆自身的范围求解 解法2：利用根的判别式求解 解法3：利用三角函数有界性求解 解法4：利用焦半径公式求解 解法5：利用基本不等式求解 解法6：利用平面几何知识求解解法7：利用椭圆中的焦点三角形求解 解法8：利用椭圆中的焦点三角形面积公式（2）①2213216x y +=②((0,22-⋃例2、设椭圆：x a y ba b 222210+=>>（）的左顶点为A 、上顶点为D ，点P 是线段AD 上任一点，左、右焦点分别为F F 12、，且12PF PF 的最大值为1，最小值为115- （1）求椭圆方程;（2）设椭圆右顶点为B ，点S 是椭圆上位于x 轴上方的一点，直线AS 、BS 与直线34:15l x =分别交于M 、N 两点，求|MN|的最小值.解析：（1）2214x y +=（2）1615例3、已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b+=+（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为22224a b a b +（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b a b +.专题：椭圆中的最值、范围、定点、定值问题题型一：定点问题解题的关健在于寻找题中用来联系已知量，未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量，未知量代入上述关系，通过整理，变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决。
高考圆锥曲线中的最值和范围问题的专题
高考专题 圆锥曲线中的最值和范围问题★★★高考要考什么1 圆锥曲线的最值与范围问题(1)圆锥曲线上本身存在的最值问题：①椭圆上两点间最大距离为2a (长轴长)．②双曲线上不同支的两点间最小距离为2a (实轴长)．③椭圆焦半径的取值范围为[a －c ，a ＋c ]，a －c 与a ＋c 分别表示椭圆焦点到椭圆上的点的最小距离与最大距离．④抛物线上的点中顶点与抛物线的准线距离最近．(2)圆锥曲线上的点到定点的距离的最值问题，常用两点间的距离公式转化为区间上的二次函数的最值问题解决，有时也用圆锥曲线的参数方程，化为三角函数的最值问题或用三角形的两边之和(或差)与第三边的不等关系求解．(3)圆锥曲线上的点到定直线的距离的最值问题解法同上或用平行切线法．(4)点在圆锥曲线上(非线性约束条件)的条件下，求相关式子(目标函数)的取值范围问题，常用参数方程代入转化为三角函数的最值问题，或根据平面几何知识或引入一个参数(有几何意义)化为函数进行处理．(5)由直线(系)和圆锥曲线(系)的位置关系，求直线或圆锥曲线中某个参数(系数)的范围问题，常把所求参数作为函数，另一个元作为自变量求解．与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决：（1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；（2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围；（3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。
（4）利用代数基本不等式。
代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；（5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。
直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。
因此，它们的应用价值在于：① 通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标；② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题；（6）构造一个二次方程，利用判别式∆≥0。
专题23 圆锥曲线中的最值、范围问题 微点1 圆锥曲线中的最值问题试题及答案
例7．
7．已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为− .记M的轨迹为曲线C.
（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G.
（i）证明： 是直角三角形；
最值问题不仅解答题中分量较大，而且客观题中也时常出现．
一、常用方法
解决圆锥曲线中的最值问题，常见的方法有：
（1）函数法：一般需要找出所求几量的函数解析式，要注意自变量的取值范围．求函数的最值时，一般会用到配方法、均值不等式或者函数单调性．
（2）方程法：根据题目中的等量关系建立方程，根据方程的解的条件得出目标量的不等关系，再求出目标量的最值．
题型三、与向量有关的最值问题
例6．
6．如图，已知椭圆C1： ＋ ＝1(a>b>0)的右焦点为F，上顶点为A，P为椭圆C1上任一点，MN是圆C2：x2＋(y－3)2＝1的一条直径，在y轴上截距为3－ 的直线l与AF平行且与圆C2相切．
(1)求椭圆C1的离心率；
(2)若椭圆C1的短轴长为8，求 · 的最大值．
题型二、与角度有关的最值问题
例5．
5．在平面直角坐标系 中，椭圆 ： 的离心率为 ，焦距为 .
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）如图，动直线 ： 交椭圆 于 两点， 是椭圆 上一点，直线 的斜率为 ，且 ， 是线段 延长线上一点，且 ， 的半径为 ， 是 的两条切线，切点分别为 .求 的最大值，并求取得最大值时直线 的斜率.
专题23 圆锥曲线中的最值、范围问题 微点1 圆锥曲线中的最值问题
专题23圆锥曲线中的最值、范围问题
2018年高考数学二轮复习第一部分专题五解析几何第三讲第一课时圆锥曲线的最值、范围、证明问题教案
第三讲第一课时圆锥曲线的最值、范围、证明问题习题［考情分析］解析几何的解答题一般难度较大，多为试卷的压轴题之一，常考查直线与圆锥曲线的位置关系及最值范围、定点、定值、存在性问题及证明问题，多涉及最值求法，综合性强.年份卷别考查角度及命题位置2017Ⅰ卷直线与抛物线的位置关系及应用·T20Ⅱ卷动点轨迹方程求法及直线过程定点的证明·T202016Ⅰ卷直线与抛物线的位置关系、存在性问题·T20Ⅱ卷直线与椭圆的位置关系、面积问题及证明问题·T21Ⅲ卷直线与抛物线的位置关系、证明问题及轨迹方程的求法·T202015Ⅰ卷直线与圆的综合问题·T20Ⅱ卷椭圆的标准方程及直线与圆锥曲线的位置关系·T20［真题自检]1．(2017·高考全国卷Ⅰ）设A,B为曲线C：y＝错误!上两点,A与B的横坐标之和为4. (1）求直线AB的斜率:（2）设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且AM⊥BM，求直线AB的方程．解析：(1)设A(x1，y1),B（x2，y2），则x1≠x2，y1＝错误!,y2＝错误!，x1＋x2＝4，于是直线AB的斜率k＝错误!＝错误!＝1.（2)由y＝错误!，得y′＝错误!。
设M(x3，y3），由题设知错误!＝1,解得x3＝2,于是M(2，1）．设直线AB的方程为y＝x＋m，故线段AB的中点为N(2，2＋m）,|MN|＝|m＋1｜。
将y＝x＋m代入y＝错误!得x2－4x－4m＝0。
当Δ＝16(m＋1)>0，即m>－1时，x1，2＝2±2错误!.从而|AB｜＝错误!|x1－x2|＝4错误!.由题设知｜AB|＝2|MN|，即42m＋1＝2（m＋1)，解得m＝7.所以直线AB的方程为y＝x＋7。
2．(2016·高考全国卷Ⅰ）在直角坐标系xOy中，直线l：y＝t(t≠0）交y轴于点M,交抛物线C：y2＝2px（p＞0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H。
高考数学二轮复习专项训练五圆锥曲线中的最值范围证明问题
大题考法专训（五） 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题A 级——中档题保分练1．(2019·武汉模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A ，B ，且长轴长为8，T 为椭圆C 上异于A ，B 的点，直线TA ，TB 的斜率之积为－34.(1)求椭圆C 的方程；(2)设O 为坐标原点，过点M (8,0)的动直线与椭圆C 交于P ，Q 两点，求△OPQ 面积的最大值．解析：(1)设T (x ，y )(x ≠±4)，则直线TA 的斜率为k 1＝y x ＋4，直线TB 的斜率为k 2＝yx －4.于是由k 1k 2＝－34，得y x ＋4·y x －4＝－34，整理得x 216＋y 212＝1(x ≠±4)，故椭圆C 的方程为x216＋y 212＝1.(2)由题意设直线PQ 的方程为x ＝my ＋8，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋8，x 216＋y 212＝1，得(3m 2＋4)y 2＋48my ＋144＝0，Δ＝(48m )2－4×144×(3m 2＋4)＝12×48(m 2－4)＞0，即m 2＞4，y P ＋y Q ＝－48m 3m 2＋4，y P y Q ＝1443m 2＋4. 所以|PQ |＝m 2＋13m 2＋4·Δ＝24(m 2＋1)(m 2－4)3m 2＋4， 又点O 到直线PQ 的距离d ＝8m 2＋1.所以S△OPQ＝12×|PQ |×d ＝96m 2－43m 2＋4＝963m 2－4＋16m 2－4≤43⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当m 2＝283时等号成立，且满足m 2＞4.故△OPQ 面积的最大值为4 3.2.如图所示，A ，B ，C ，D 是抛物线E ：x 2＝2py (p ＞0)上的四点，A ，C 关于抛物线的对称轴对称且在直线BD 的异侧，直线l ：x －y －1＝0是抛物线在点C 处的切线，BD ∥l .(1)求抛物线E 的方程； (2)求证：AC 平分∠BAD .解：(1)联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，x －y －1＝0，消去y 得x 2－2px ＋2p ＝0.∵l 与抛物线相切，∴Δ＝4p 2－8p ＝0，∴p ＝2， ∴抛物线E 的方程为x 2＝4y .(2)证明：设点B (x B ，y B )，D (x D ，y D )， 由(1)可得C (2,1)，A (－2,1)．∵直线l ∥BD ，∴设直线BD 的方程为y ＝x ＋t .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋t ，x 2＝4y ，得x 2－4x －4t ＝0，∴x B ＋x D ＝4.又∵k AD ＋k AB ＝x 2D4－1x D ＋2＋x 2B4－1x B ＋2＝x D ＋x B －44＝0，∴AC 平分∠BAD .3．已知A ，B 分别为曲线C ：x 2a2＋y 2＝1(y ≥0，a ＞0)与x 轴的左、右两个交点，直线l 过点B 且与x 轴垂直，M 为l 上位于x 轴上方的一点，连接AM 交曲线C 于点T .(1)若曲线C 为半圆，点T 为AB 的三等分点，试求出点M 的坐标；(2)若a ＞1，S △MAB ＝2，当△TAB 的最大面积为43时，求椭圆的离心率的取值范围．解：(1)当曲线C 为半圆时，得a ＝1.由点T 为AB 的三等分点，得∠BOT ＝60°或120°. 当∠BOT ＝60°时，∠MAB ＝30°，又|AB |＝2， 故△MAB 中，有|MB |＝|AB |·tan 30°＝233，所以M ⎝⎛⎭⎪⎫1，233.当∠BOT ＝120°时，同理可求得点M 坐标为(1,23)． (2)设直线AM 的方程为y ＝k (x ＋a )， 则k ＞0，|MB |＝2ka ，所以S △MAB ＝12·2a ·2ka ＝2，所以k ＝1a2，代入直线方程得y ＝1a2(x ＋a )，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1a 2(x ＋a )，x2a 2＋y 2＝1，解得y T ＝2aa 2＋1， 所以S △TAB ＝12·2a ·2a a 2＋1＝2a 2a 2＋1≤43，解得1＜a 2≤2， 所以椭圆的离心率e ＝1－1a 2≤22， 即椭圆的离心率的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22. B 级——拔高题满分练1．(2019·武汉调研)已知椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)经过点M (－2,1)，且右焦点F (3，0)．(1)求椭圆Γ的标准方程；(2)过N (1,0)且斜率存在的直线AB 交椭圆Γ于A ，B 两点，记t ＝MA ―→ ·MB ―→，若t 的最大值和最小值分别为t 1，t 2，求t 1＋t 2的值．解：(1)由椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的右焦点为(3，0)，知a 2－b 2＝3，即b 2＝a 2－3，则x 2a 2＋y 2a 2－3＝1.又椭圆过点M (－2,1)，∴4a 2＋1a 2－3＝1，又a 2＞3，∴a 2＝6. ∴椭圆Γ的标准方程为x 26＋y 23＝1.(2)设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 26＋y 23＝1，y ＝k (x －1)，得x 2＋2k 2(x －1)2＝6，即(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－6＝0， ∵点N (1,0)在椭圆内部，∴Δ＞0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4k 21＋2k2， ①x 1x 2＝2k 2－62k 2＋1， ②则t ＝MA ―→·MB ―→＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－1)(y 2－1) ＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＋(kx 1－k －1)(kx 2－k －1) ＝(1＋k 2)x 1x 2＋(2－k 2－k )(x 1＋x 2)＋k 2＋2k ＋5， ③ 将①②代入③得，t ＝(1＋k 2)·2k 2－62k 2＋1＋(2－k 2－k )·4k22k 2＋1＋k 2＋2k ＋5，∴t ＝15k 2＋2k －12k 2＋1， ∴(15－2t )k 2＋2k －1－t ＝0，k ∈R ， 则Δ1＝22＋4(15－2t )(1＋t )≥0，∴(2t －15)(t ＋1)－1≤0，即2t 2－13t －16≤0， 由题意知t 1，t 2是2t 2－13t －16＝0的两根， ∴t 1＋t 2＝132.2．(2019·全国卷Ⅱ)已知点A (－2,0)，B (2,0)，动点M (x ，y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为－12.记M 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程，并说明C 是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连接QE 并延长交C 于点G .①证明：△PQG 是直角三角形； ②求△PQG 面积的最大值． 解：(1)由题设得yx ＋2·y x －2＝－12， 化简得x 24＋y 22＝1(|x |≠2)，所以C 为中心在坐标原点，焦点在x 轴上不含长轴端点的椭圆． (2)①证明：设直线PQ 的斜率为k ，则其方程为y ＝kx (k ＞0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 24＋y22＝1得x ＝±21＋2k2.设u ＝21＋2k2，则P (u ，uk )，Q (－u ，－uk )，E (u,0)．于是直线QG 的斜率为k 2，其方程为y ＝k2(x －u )．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k2(x －u )，x 24＋y 22＝1消去y ，得(2＋k 2)x 2－2uk 2x ＋k 2u 2－8＝0.(*) 设G (x G ，y G )，则－u 和x G 是方程(*)的解，故x G ＝u (3k 2＋2)2＋k 2，由此得y G ＝uk 32＋k 2.从而直线PG 的斜率为uk 32＋k 2－uk u (3k 2＋2)2＋k2－u ＝－1k. 所以PQ ⊥PG ，即△PQG 是直角三角形． ②由①得|PQ |＝2u 1＋k 2，|PG |＝2uk k 2＋12＋k2， 所以△PQG 的面积 S ＝12|PQ ||PG |＝8k (1＋k 2)(1＋2k 2)(2＋k 2)＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋k 1＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1k＋k 2. 设t ＝k ＋1k，则由k ＞0得t ≥2，当且仅当k ＝1时取等号． 因为S ＝8t1＋2t 2在[2，＋∞)上单调递减，所以当t ＝2，即k ＝1时，S 取得最大值，最大值为169. 因此，△PQG 面积的最大值为169.3．已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，过点F 垂直于y 轴的直线与抛物线C 相交于A ，B 两点，抛物线C 在A ，B 两点处的切线及直线AB 所围成的三角形面积为16.(1)求抛物线C 的方程；(2)设P ，M ，N 为抛物线上不同的三点，且PM ⊥PN ，求证：若P 为定点，则直线MN 过定点Q ；并求当P 点移动时，|FQ |的最小值．解：(1)依题意得A ⎝⎛⎭⎪⎫－p ，p 2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫p ，p 2，由x 2＝2py (p ＞0)，得y ＝x 22p ，则y ′＝xp，∴抛物线C 在点A 处的切线斜率为－1，在点B 处的切线斜率为1，∴抛物线C 在点A 处的切线方程为y －p 2＝－x －p ，即y ＝－x －p2，在点B 处的切线方程为y －p 2＝x －p ，即y ＝x －p2.可得两切线的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2，∴S ＝12×2p ×p ＝p 2＝16，解得p ＝4.∴抛物线C 的方程为x 2＝8y .(2)法一：设P ⎝⎛⎭⎪⎫x 0，x 208，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，x 218，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，x 228， 则k PM ＝x 218－x 208x 1－x 0＝x 1＋x 08，同理可得k PN ＝x 2＋x 08，∴k PM ·k PN ＝x 1＋x 08·x 2＋x 08＝－1，化简得，x 1x 2＋x 0(x 1＋x 2)＋x 20＋64＝0.(*) 直线MN 的斜率一定存在，设MN ：y ＝kx ＋b . 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 2＝8y ，得x 2－8kx －8b ＝0，∴x 1＋x 2＝8k ，x 1x 2＝－8b .代入(*)，得－8b ＋8kx 0＋x 20＋64＝0， 则b ＝x 0k ＋x 208＋8.直线MN 的方程可化为y ＝kx ＋kx 0＋x 208＋8.∴直线MN 过定点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 0，x 208＋8.点Q 的轨迹方程为y ＝x 28＋8，|FQ |的最小值为6. 法二：设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，x 208，M ⎝⎛⎭⎪⎫x 1，x 218，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，x 228，则k NM ＝x 218－x 228x 1－x 2＝x 1＋x 28，k PM ＝x 1＋x 08，k PN ＝x 2＋x 08，又PM ⊥PN ，∴k PM ·k PN ＝x 1＋x 08·x 2＋x 08＝－1，化简得－x 1x 2＝x 0(x 1＋x 2)＋x 20＋64.① 直线MN 的方程为y －x 218＝x 1＋x 28(x －x 1)，化简得y ＝x 1＋x 28x －x 1x 28.②把①代入②得y ＝x 1＋x 28(x ＋x 0)＋x 208＋8，∴直线MN 过定点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 0，x 208＋8. 点Q 的轨迹方程为y ＝x 28＋8，|FQ |的最小值为6.。
专题23 圆锥曲线中的最值、范围问题 微点2 圆锥曲线中的范围问题试题及答案
专题23 圆锥曲线中的最值、范围问题 微点2圆锥曲线中的范围问题专题23 圆锥曲线中的最值、范围问题 微点2 圆锥曲线中的范围问题 【微点综述】对于圆锥曲线中的范围问题，如果是单参数问题，那么需要列出这个参数的相关不等式（组）求解．如果是双参数问题，那么还需要列出这两个参数之间的关系．具体求范围时，一般需要找出所求几何量的函数解析式，注意自变量的取值范围．求函数的最值时，一般会用到配方法、均值定理或者函数单调性．有时，也可以考虑观察图形的几何特点，判断某个特殊位置满足最值条件，然后再证明． 1.圆锥曲线中的范围问题的解题策略（1）利用圆锥曲线的几何性质或联立方程后的判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．2.求解圆锥曲线中的范围问题常用方法（1）函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数的单调性求解． （2）不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数范围． （3）判别式法：建立关于某变量的一元二次方程，利用判别式Δ求参数的范围． 3.典例精析 3.1 函数法例1．（2022·吉林吉林·模拟预测）1．已知P 是椭圆()222210x y a b a b+=>>上一动点，1F ，2F 是椭圆的左、右焦点，当123F PF π∠=时，12F PF S =△1PF 的中点落到y 轴上时，124tan 3F PF ∠=，则点P 运动过程中，1211PF PF +的取值范围是（ ） A ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．82,153⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．18,215⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭例2.2．已知直线:10l x y -+=与焦点为F 的抛物线2:2(0)C y px p =>相切. （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅰ）过点F 的直线m 与抛物线C 交于A ，B 两点，求A ，B 两点到直线l 的距离之和的最小值. 例3.3．如图，椭圆22221x y a b+=（a>b>0）的左焦点为F ，过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点.当直线AB 经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为60°.（1）求该椭圆的离心率；（2）设线段AB 的中点为G ，AB 的中垂线与x 轴、y 轴分别交于D 、E 两点.记ⅠGDF 的面积为1S ，ⅠOED （O 坐标原点）的面积为2S .求12S S 的取值范围. 例4．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）4．已知()0,0O 、()1,0E -、()1,0F ，圆221:4C x y +=，抛物线()22:20C y px p =>，过F 的直线与抛物线2C 交于A 、B 两点，且2OA OB p ⋅=-． (1)求抛物线的方程；(2)若直线AE 与圆1C 交于M 、N 两点，记AOB 面积为1S ，MON △面积为2S ，求12S S ⋅的取值范围. 3.2 不等式法例5．（2022广东·模拟预测）5．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，左、右顶点分别为,A B ，直线l 过A 点且与x 轴垂直，P 为直线l 上的任意一点，若122AB F F =，则12F PF ∠的取值范围是（ ）A ．[0,]6πB ．[0,]4πC ．[0,]3πD ．7[0,]12π 例6．（2022浙江·模拟预测） 6．如图所示，1F 与2F 是椭圆方程：()222210y x a b a b +=>>的焦点，P 是椭圆上一动点（不含上、下两端点），A 是椭圆的下端点，B 是椭圆的上端点，连接1PF ，2PF ，记直线PA 的斜率为1k ．当P 在左端点时，Ⅰ12PF F 是等边三角形．若Ⅰ12PF F 是等边三角形，则1k =__；记直线PB 的斜率为2k ，则12||||k k +的取值范围是__．例7.7．已知点A (0，－2)，椭圆E ：22221x y a b += (a >b >0)F 是椭圆E 的右焦点，直线AF O 为坐标原点. (1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点.当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程. 例8.8．已知椭圆2222C :1(0)x y a b a b+=>>的两个焦点和短轴的两个顶点构成的四边形是一个正方形,且其周长为 (1)求椭圆C 的方程;(2)设过点(0,)(0)B m m >的直线l 与椭圆C 相交于,E F 两点,点B 关于原点的对称点为D ,若点D 总在以线段EF 为直径的圆内,求m 的取值范围. 例9.(2021北京卷)9．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>一个顶 点(0,2)A -，以椭圆E 的四个顶点为顶点的四边形面积为 （1）求椭圆E 的方程；（2）过点P (0，-3)的直线l 斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别与直线交y =-3交于点M，N ，当|PM |+|PN |≤15时，求k 的取值范围． 3.3 判别式法 例10.10．已知椭圆的一个顶点01A -（，），焦点在x （1）求椭圆的标准方程；（2）设直线0y kx m k =+≠（）与椭圆交于不同的两点M N ，．当AM AN =时，求m 的取值范围． 【强化训练】 一、单选题（2022宁夏·银川一中模拟预测）11．设A ，B 是椭圆22:13x y C m +=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足ⅠAMB ＝120°，则m 的取值范围是（ ） A ．（0，1]B ．（0，1]Ⅰ[3，+∞）C ．（0，1]Ⅰ[9，+∞）D ．[9，+∞）（2022内蒙古呼和浩特·二模）12．已知点P 是椭圆2216448x y +=上异于顶点的动点，1F 、2F 为椭圆的左、右焦点，O 为坐标原点，若M 是12F PF ∠平分线上的一点，且10F M MP ⋅=，则OM 的取值范围是（ ）A ．()0,2B ．(C ．()0,4D ．(2, （2022·甘肃·一模）13．直线()y kx k R =∈与椭圆22162x y +=相交于A ，B 两点，若将x 轴下方半平面沿着x轴翻折，使之与上半平面成直二面角，则AB 的取值范围是（ ）A ．B ．⎡⎣C ．(2,D ．(]2,6（2022·河南·模拟预测）14．如图，椭圆C ：22154x y +=的左､右焦点分别为1F ，2F ，过点1F ，2F 分别作弦AB ，CD .若//AB CD ，则12AF CF +的取值范围为（ ）A ．⎣B ．⎣C ．⎣D ．⎣ 二、多选题（2022海南·模拟预测）15．已知点()1,3A --，()2,0B 和()(),12,0P x y x y -<<<在椭圆C ：()2210,0x y m n m n+=>>上，则（ ）A ．C 的焦点为()± B ．C C ．直线PA 的斜率小于1 D ．PAB 的面积最大值为3（2022福建·福州三中模拟预测）16．月光石不能频繁遇水，因为其主要成分是钾钠硅酸盐．一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点(30)F ，，椭圆的短轴与半圆的直径重合．若直线()0y t t =>与半圆交于点A ，与半椭圆交于点B ，则下列结论正确的是（ ）A ．椭圆的离心率是2B ．线段AB 长度的取值范围是(0,3+C ．ABF △面积的最大值是)914D ．OAB 的周长存在最大值（2022全国·模拟预测）17．已知()11,0F -，()21,0F 分别是椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左､右焦点，P 在C上，O 为坐标原点，若1OP =，12PF F △的面积为1，则（ ） A ．椭圆CB．点1,Q ⎛- ⎝⎭在椭圆C 上 C ．12PF F △1 D ．椭圆C 上的点到直线1PF 的距离小于2（2022·全国·模拟预测）18．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，长轴长为4，点)P在椭圆内部，点Q 在椭圆上，则以下说法正确的是（ ） A ．离心率的取值范围为1(0,)2B1||||QF QP +的最大值为4 C ．存在点Q 使得120QF QF ⋅= D ．1211||||QF QF +的最小值为1 三、填空题（2022·浙江·模拟预测）19．已知椭圆C 的离心率13e =，左右焦点分别为12,F F ，P 为椭圆C 上一动点，则12PF PF 的取值范围为___________. （2022·河南洛阳·二模）20．如图，椭圆22:154x y Γ+=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过点1F 、2F 分别作弦AB 、CD ．若//AB CD ，则12AF CF +的最小值为______．（2022·全国·模拟预测）21．如图，在直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:14x C y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点M 、N 为椭圆上位于x 轴上方的两点，且12//F M F N ，则12F N F M +的取值范围为______.（2022·山西朔州·三模）22．过椭圆22:12x C y +=左焦点F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，若线段AB 的垂直平分线与x 轴及y 轴各有唯一公共点M ，N ，则MF 的取值范围是___________. 四、解答题23．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点是(1,0)F ，且离心率为12.（1）求椭圆C 的方程；（2）设经过点F 的直线交椭圆C 于M ，N 两点，线段MN 的垂直平分线交y 轴于点()00,P y ，求0y 的取值范围.24．设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E . （I ）证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围. （2021浙江卷）25．如图，已知F 是抛物线()220y px p =>的焦点，M 是抛物线的准线与x 轴的交点，且2MF =，（1）求抛物线的方程；（2）设过点F 的直线交抛物线与A ､B 两点，斜率为2的直线l 与直线,,MA MB AB ，x 轴依次交于点P ，Q ，R ，N ，且2RN PN QN =⋅，求直线l 在x 轴上截距的范围. （2022·浙江省杭州学军中学模拟预测）26．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过点F 且斜率大于0的直线交抛物线C 于A ，B 两点，过线段AB 的中点M 且与x 轴平行的直线依次交直线OA ，OB ，l 于点P ，Q ，N ．(1)求证：||||PM NQ =；(2)若线段NP 上的任意一点均在以点Q 为圆心、线段QO 长为半径的圆内或圆上，若≤NABSp 的取值范围；（2022·北京东城·三模）27．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为1(2,0)F -，长轴长为过右焦点2F 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，直线11,F A F B 分别交直线3x =于点,M N .(1)求椭圆C 的方程；(2)设线段AB 中点为T ，当点,M N 位于x 轴异侧时，求T 到直线3x =的距离的取值范围.（2022·北京·人大附中模拟预测）28．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为()()122,0,2,0F F -．过点1F 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，过点1F 作AB 的垂线交椭圆C 于,M N 两点，2MNF 的周长为(1)求椭圆C 的方程； (2)求MN AB的取值范围．（2022·浙江·模拟预测）29．如图所示，曲线()2111:20C y p x p =>，曲线22:2(0)C y px p =->，过点(1,0)C -作直线交曲线1C 于点A ，交曲线2C 于点B ，若点C 在曲线1C 的准线上．(1)求1p ；(2)若存在直线使点B 为AC 中点，求A 点横坐标（用p 表示）及AC 斜率的范围． （2022·重庆市育才中学模拟预测）30．已知双曲线Γ：()222210,0x y a b a b -=>>过点P，且Γ的渐近线方程为y =.(1)求Γ的方程；(2)如图，过原点O 作互相垂直的直线1l ，2l 分别交双曲线于A ，B 两点和C ，D 两点，A ，D 在x 轴同侧.请从ⅠⅠ两个问题中任选一个作答，如果多选，则按所选的第一个计分. Ⅰ求四边形ACBD 面积的取值范围；Ⅰ设直线AD 与两渐近线分别交于M ，N 两点，是否存在直线AD 使M ，N 为线段AD 的三等分点，若存在，求出直线AD 的方程；若不存在，请说明理由.参考答案：1．A【分析】设12,PF m PF n ==.先由题意求出椭圆标准方程为.2211612x y +=.把1211PF PF +转化为12118PF PF mn+=，由8m n +=求出1216mn ≤≤，即可求得. 【详解】设12,PF m PF n ==. 在12F PF △中，当123F PF π∠=时，由椭圆的定义，余弦定理得：()22222cos 23m n a m n mn c π+=⎧⎪⎨+-=⎪⎩整理得：243b mn =由三角形的面积公式得：121sin 23F PF S mn π===△212b =. 因为线段1PF 的中点落到y 轴上，又O 为12F F 的中点，所以2//PF y 轴，即2PF x ⊥.由124tan 3F PF ∠=，得12243F F PF =，解得：232c PF =，所以3,2c P c ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 代入椭圆标准方程得：2222914c c a b+=.又有22212b a c =-=，解得：2216,4a c ==，所以椭圆标准方程为：2211612x y +=. 所以8m n +=.因为a c m a c -≤≤+，所以26m ≤≤. 所以1211118m n PF PF m n mn mn++=+==. 因为()()2288416mn m m m m m =-=-+=--+， 当26m ≤≤时，1216mn ≤≤， 所以1211812.23PF PF mn ⎡⎤+=∈⎢⎥⎣⎦. 故选：A.【点睛】解析几何中与动点有关的最值问题一般的求解思路： Ⅰ几何法：利用图形作出对应的线段，利用几何法求最值； Ⅰ代数法：把待求量的函数表示出来，利用函数求最值. 2．（Ⅰ）24y x =（Ⅰ【分析】（Ⅰ）联立l 和C ，利用0∆=即可求得p ，从而得到抛物线方程；（Ⅰ）设直线m 为1x ty =+，与抛物线联立后可利用韦达定理求得124y y t +=，进而得到12x x +；由中点坐标公式可求得AB 中点()221,2M t t +；利用点,A B 到l 距离之和等于点M 到l 的距离的2倍，可将所求距离变为关于t 的函数，求解函数的最小值即可得到所求距离之和的最小值. 【详解】（Ⅰ）将:10l x y -+=与抛物线2:2C y px =联立得：2220y py p -+= l 与C 相切 2480p p ∴∆=-=，解得：2p = ∴抛物线C 的方程为：24y x =（Ⅰ）由题意知，直线m 斜率不为0，可设直线m 方程为：1x ty =+联立241y x x ty ⎧=⎨=+⎩得：2440y ty --=设()11,A x y ，()22,B x y ，则124y y t += 212121142x x ty ty t ∴+=+++=+∴线段AB 中点()221,2M t t +设,,A B M 到直线l 距离分别为,,A B M d d d则221322124A B M d d d t t ⎫+===-+=-+⎪⎭2133244t ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭ ∴当12t =时，2min 133244t ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭,A B ∴两点到直线l 的距离之和的最小值为：342= 【点睛】本题考查直线与抛物线的综合应用问题，涉及到根据直线与抛物线的位置关系求解抛物线方程、抛物线中的最值问题的求解等知识；求解最值的关键是能够将所求距离之和转变为中点到直线的距离，利用点到直线距离公式得到函数关系，利用函数最值的求解方法求得结果. 3．（1）12e =（2）(9,)+∞ 【详解】（1）依题意，当直线AB 经过椭圆的顶点（0，b ）时，其倾斜角为60°.设(),0F c -，则tan603bc ==将b =代入222a b c =+，得2a c =.所以椭圆的离心率12c e a ==.（2）由（1）知，椭圆方程可设为2222143x y c c+=，设()11,A x y ，()22,B x y .依题意，直线AB不能与x 、y 轴垂直，故设直线AB 的方程为()y k x c =+，将其代入2223412x y c +=，整理得()2222224384120k x ck x k c c +++-=.则212122286,4343ck ckx x y y k k -+=+=++. 所以22243,4343ck ck G k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭. 因为GD AB ⊥，所以222223431,44343DDckckk k x ck k x k -+⨯=-=-+-+. 因为GFD OED ∽， 所以()()()222222222224221222242222243334343439999943ck ck ck ck ck GD k k k S c k c k S c k k OD ck ck k ⎛⎫-⎛⎫-+ ⎪ ⎪+++++⎝⎭⎝⎭=====+>⎛⎫- ⎪+⎝⎭. 所以12S S 的取值范围是()9,+∞. 4．(1)22y x =(2)⎫⎪⎣⎭【分析】（1）设()11,A x y 、()22,B x y ，分析可知直线AB 与x 轴不重合，将直线AB 的方程与抛物线2C 的方程联立，列出韦达定理，利用平面向量数量积的坐标运算可得出关于p 的等式，解出p 的值，即可得出抛物线的方程；（2）利用韦达定理结合三角形的面积公式可求得1S 的表达式，设直线AE 的方程为1x ny =-，利用几何法计算出2S 的表达式，然后将直线AB 、AE 的方程联立，求出点A 的坐标，代入抛物线方程，可得出222n m -=且22n ≥，然后利用换元法结合二次函数的基本性质可求得12S S ⋅的取值范围.（1）解：设()11,A x y 、()22,B x y ，若直线AB 与x 轴重合，则直线AB 与抛物线2C 只有一个交点，不合乎题意，设直线AB 的方程为1x my =+，与22y px =联立得2220y pmy p --=， 所以122y y pm +=，122y y p =-，因为2212121212122y y OA OB x x y y y y p p p ⎛⎫⋅=+=+=-=- ⎪⎝⎭，解得1p =，故抛物线的方程22y x =． （2）解：由122y y m +=，122y y =-，得11212S OF y y =⋅⋅-设直线AE 的方程为1x ny =-，即10x ny -+=，则原点到直线AE的距离1d =≤，得2MN ==212S MN d =⋅⋅=， 联立11x my x ny =+⎧⎨=-⎩可得112n m x n my n m +⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩，即点2,n m A n m n m +⎛⎫ ⎪--⎝⎭， 所以222n m n m n m +⎛⎫=⋅⎪--⎝⎭，则222n m -=且22n ≥，则12S S ⋅==令21n t +=，则3t ≥，1103t<≤，则122S S ⎫⋅⎪⎪⎣⎭， 综上，12S S ⋅的取值范围为⎫⎪⎣⎭． 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 5．A【分析】设直线1PF ，2PF 的倾斜角分别为αβ，， (,),0P a t t ->，得到()12tan tan tan tan 1tan tan F PF βαβαβα-∠=-=+，根据基本不等式可得选项.【详解】由题意可知，12(,0),(,0),0F c F c c ->，直线l 的方程为x a =-， 设直线1PF ，2PF 的倾斜角分别为αβ，，由椭圆的对称性，不妨设点P 为第二象限的点，即(,),0P a t t ->， 则tan ,tan .t t c a c aαβ==--+12F PF βα∠=-，12222222tan tan 22tan tan()=1tan tan 1t t ct c c a c a F PF t b t b t c a tβαβαβα---+-∴∠=-===++-+-22c c b b ==， 当且仅当2b t t=，即t b =时取等号.122AB F F =，2a c ∴=，且满足222a b c =+，则2224c b c =+，223b c =，Ⅰc b ，则12tan F PF ∠12F PF ∠的最大值是6π.当P 为第二或第四象限的点时，12F PF ∠的取值范围是(0,]6π； 当P 为x 轴负半轴上的点时，120F PF ∠=.综上可知，12F PF ∠的取值范围为[0,]6π，故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查直线与椭圆中的根据向量间的线性关系求角的范围的问题，关键在于设出椭圆上的点的坐标，由向量间的线性关系表示所求的角的三角函数，再运用基本不等式求解范围. 6．)∞+【分析】根据题意先求各点坐标，然后根据斜率公式求解1k ；利用参数方程求解12||||k k +的取值范围.【详解】解：由题意知，若Ⅰ12PF F 是等边三角形，则P 在左端点或右端点，此时1||OF c =，1||2PF a c ==，||OP b =，故点(P ，0)或点P ，0)，点(0,2)A c -，故1k ==1k ；由题意知，椭圆方程可化为2222134x y c c+=，不妨设cos p θ，2sin )c θ， 则1k ==，2k则12||||k k +=+0|cos |1θ<433.故答案为：；，)∞+7．（1）2214x y += （2）2y =-【详解】试题分析：设出F ，由直线AF c ，结合离心率求得a ，再由隐含条件求得b ，即可求椭圆方程；（2）点l x ⊥轴时，不合题意；当直线l 斜率存在时，设直线:2l y kx =-，联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于零求得k 的范围，再由弦长公式求得PQ ，由点到直线的距离公式求得O 到l 的距离，代入三角形面积公式，化简后换元，利用基本不等式求得最值，进一步求出k 值，则直线方程可求.试题解析：（1）设(),0F c ，因为直线AF ，()0,2A -所以2c =c =又222c b a c a ==- 解得2,1a b ==，所以椭圆E 的方程为2214x y +=.（2）解：设()()1122,,,P x y Q x y由题意可设直线l 的方程为：2y kx =-，联立221{42,x y y kx +==-，消去y 得()221416120k x kx +-+=，当()216430k ∆=->，所以234k >，即k <或k > 1212221612,1414k x x x x k k +==++. 所以PQ ==点O 到直线l 的距离d =所以12OPQS d PQ ∆==0t =>，则2243k t =+，244144OPQ t S t t t∆==≤=++， 当且仅当2t =2=，解得k =时取等号， 满足234k >所以OPQ ∆的面积最大时直线l 的方程为：2y =-或2y =-. 【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的.8．(1)2212x y +=(2)【分析】（1）由题意列出方程组求出a ，b ，由此能求出椭圆C 的方程；（2）当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为0x =，2EF =，点B 在椭圆内，由22,1,2y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2422242273231m k m k m k k ++<++，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式、由此能求出m 的取值范围. （1）由题意，得：4,a b c ⎧=⎪⎨=⎪⎩又因为222a b c =+解得1,1a b c ===，所以椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）当直线l 的斜率不存在时，由题意知l 的方程为0x =， 此时,E F 为椭圆的上下顶点，且2EF =，因为点()0D m -，总在以线段EF 为直径的圆内，且0m >， 所以01m <<；当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y kx m =+.由方程组22,1,2y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222214220k x kmx m +++-=， 因为直线l 与椭圆C 有两个公共点，即()()()2224421220km k m ∆=-+->，得2221m k <+；设()()1122,,,E x y F x y ，则2121222422,2121km m x x x x k k --+==++. 设EF 的中点()00,G x y ，则12000222,22121x x km mx y kx m k k +-===+=++， 所以222,2121km m G k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭.所以DG =EF =，因为点D 总在以线段EF 为直径的圆内，所以2EFDG <对于k R ∈恒成立，<，化简，得2422242273231m k m k m k k ++<++，整理得22213k m k +<+，而()2221221113333k g k k k +==-≥-=++（当且仅当0k =时等号成立）所以213m <，由0m >，得0m <<，综上，m 的取值范围是0m <<. 【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． (2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 9．（1）22154x y +=；（2）[3,1)(1,3]--⋃．【分析】（1）根据椭圆所过的点及四个顶点围成的四边形的面积可求,a b ，从而可求椭圆的标准方程.（2）设()()1122,,,B x y C x y ，求出直线,AB AC 的方程后可得,M N 的横坐标，从而可得PM PN +，联立直线BC 的方程和椭圆的方程，结合韦达定理化简PM PN +，从而可求k的范围，注意判别式的要求.【详解】（1）因为椭圆过()0,2A -，故2b =，因为四个顶点围成的四边形的面积为1222a b ⨯⨯=，即a =故椭圆的标准方程为：22154x y +=. （2）设()()1122,,,B x y C x y ，因为直线BC 的斜率存在，故120x x ≠， 故直线112:2y AB y x x +=-，令=3y -，则112M x x y =-+，同理222N xx y =-+. 直线:3BC y kx =-，由2234520y kx x y =-⎧⎨+=⎩可得()224530250k x kx +-+=， 故()22900100450k k ∆=-+>，解得1k <-或1k >.又1212223025,4545k x x x x k k +==++，故120x x >，所以0M N x x > 又1212=22M N x xPM PN x x y y +=++++ ()()2212121222212121222503024545=5253011114545k kkx x x x x x k k k k k kx kx k x x k x x k k --++++===---++-+++ 故515k ≤即3k ≤， 综上，31k -≤<-或13k <≤.10．（1）2214x y +=（2）1(,3)3【分析】（1）根据顶点、离心率建立方程求出椭圆的标准方程；（2）先由直线与椭圆方程联立方程组，由判别式得出不等关系，根与系数关系，再将条件AM AN =转化为A 在线段MN 的垂直平分线上，建立等量关系，最后将它们相结合进行求解．【详解】解：（1）设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则2221b c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解之得：2,1,a b c === 故椭圆的标准方程为2214x y +=．（2）设00P x y （，）弦MN 的中点，设1122M x y N x y （，），（，），由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222418410k x kmx m +++-=（）（）， 因为直线与椭圆相交，所以()2121222418,4141m km x x x x k k --+==++， ()()22222816411014km k m m k ∆=-+-⇒+（）＞＜，ⅠⅠ12024241x x km x k +==-+，所以00241my kx m k =+=+． Ⅰ2001144APy m k k x km+++==-，又AM AN =，ⅠAP MN ⊥，则21414m k km k++-=-，即2341m k =+，Ⅰ 把Ⅰ代入Ⅰ得23m m ＜，解得03m ＜＜，由Ⅰ得23104m k -=>，解得13m >．综上可知m 的取值范围为1,33⎛⎫⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了椭圆的标准方程以及直线与椭圆的位置关系的综合问题，有一定难度，属于中档题目． 11．C【分析】可得当M 位于短轴的端点时，AMB ∠取最大值，要使椭圆上存在点M 满足120AMB ∠=，则此时120AMB ∠≥，则60AMO ∠≥，讨论焦点在x 轴和在y 轴上两种情况即可求解.【详解】若椭圆焦点在x 轴上，即03m <<时，则当M 位于短轴的端点时，AMB ∠取最大值，要使椭圆上存在点M 满足120AMB ∠=，则此时120AMB ∠≥，则60AMO ∠≥，则tan tan 603AMO ∠=≥=01m <≤； 若椭圆焦点在y 轴上，即3m >时，则当M 位于短轴的端点时，AMB ∠取最大值， 要使椭圆上存在点M 满足120AMB ∠=，则此时120AMB ∠≥，则60AMO ∠≥，则tan tan 603AMO ∠=≥=9m ≥； 综上，m 的取值范围是(0,1][9,)+∞ 故选：C.【点睛】关键点睛：解决本题的关键是判断出当M 位于短轴的端点时，AMB ∠取最大值， 要使椭圆上存在点M 满足120AMB ∠=，则此时120AMB ∠≥，则60AMO ∠≥. 12．C【分析】延长2PF 、1F M 相交于点N ，连接OM ，利用椭圆的定义分析得出1212OM PF PF =-，设点()00,P x y ，求出0x 的取值范围，利用椭圆的方程计算得出012OM x =，由此可得出结果. 【详解】如下图，延长2PF 、1F M 相交于点N ，连接OM ，因为10F M MP ⋅=，则1F M MP ⊥，因为PM 为12F PF ∠的角平分线，所以，1PN PF =，则点M 为1F N 的中点，因为O 为12F F 的中点，所以，2212111222OM F N PN PF PF PF ==-=-，设点()00,P x y ，由已知可得8a =，b =4c ==，则088x -<<且00x ≠，且有22003484y x =-，100118822PF x x =+=+，故21011682PF PF x =-=-，所以，()120110,422OM PF PF x =-=∈. 故选：C. 13．C【分析】判断直线与椭圆的交点的位置,然后求解|AB |的取值范围即可．【详解】由22162x y +=可知，椭圆的短轴长2b =2a = 又直线()y kx k R =∈与椭圆22162x y +=相交于A ，B 两点，所以||AB 的最大值为将x 轴下方半平面沿着x 轴翻折，使之与上半平面成直二面角，此时||AB 的最大值仍然是长轴长2=，由于A ,B 不能在短轴端点处，所以2AB <≤ 故选：C 14．C【分析】分直线斜率不存在和存在两种情况，当直线AB 的斜率不存在，可求出点,A B 的坐标，从而可得12AF CF AB +=，当直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为(1)(0)y k x k =+≠，然后将直线方程与椭圆方程联立方程组，消元后利用根与系数的关系，表示出12x x +，从而可表示出1AF ，1BF ， 进而可表示12AF CF + 【详解】解：由椭圆的对称性可知AB CD =，12AF DF =，12BF CF =. 设点()11,A x y ，()22,B x y .若直线AB的斜率不存在，则点A ⎛- ⎝⎭，1,B ⎛- ⎝⎭，所以AB =，所以12AF CF AB +==. 若直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为(1)(0)y k x k =+≠，联立22(1),1,54y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得()222245105200k x k x k +++-=，0∆>，则21221045k x x k +=-+. 又11AF =，同理可得12BF =， 所以)1212||AF CF AB x x +==+==⎝，所以12AF CF +∈⎝.综上，12AF CF+的取值范围为⎣， 故选:C. 15．BCD【分析】将A ，B 的坐标代入椭圆的方程可求出,m n 的值，从而可得椭圆方程，进而可求出,,a b c 的值，于是对A ，B 选项可进行判断；对于C ，由题意可知，P 点在曲线段AB 之间，从而可求出直线PA 的斜率的范围；对于D ，求出与AB 平行且与椭圆相切的直线，从而可得点P 的坐标，进而可求出PAB 的面积的最大值 【详解】解：将A ，B 的坐标代入椭圆的方程得191m n+=且41m =，得4m =，12n =，所以椭圆的方程为221412xy +=，其焦点为(0,±，故A 错误．，故B 项正确． 根据题意，可知P 点在曲线段AB 之间，因为直线AB 的斜率为1，所以直线PA 的斜率小于1，故C 项正确．由于直线AB 的斜率为0(3)12(1)k --==--，所以设与AB 平行且与椭圆相切的直线为y x t =+，将其代入椭圆方程整理得2242120x tx t ++-=，由22416(12)0t t ∆=--=得4t =或4t =-，当4t =时，切点为(1,3)-不合题意，舍去，当4t =-时，切点为()1,3-，即当P 取()1,3-时，PAB 的面积最大，因为直线AB 为2y x =-，所以直线AB 与切线4y x =-间的距离为d ==PAB 的面积最大值为132AB d ==，故D 项正确． 故选：BCD【点睛】此题考查椭圆方程的方程及几何性质，解题的关键是根据题意求出椭圆方程，考查计算能力，属于中档题 16．ABC【分析】由题意可求出半圆和椭圆的方程，即可求得椭圆离心率，判断A ；结合半圆的半径以及椭圆的长半轴长，可确定线段AB 长度的取值范围，判断B ；设,A B 坐标，表示出ABF △面积，利用基本不等式求得其最大值，判断C ；表示出OAB 的周长的表达式，结合t 的取值范围可判断D.【详解】由题意得半圆的方程为22+9(0)x y x =≤，设椭圆的方程为22221(0,0)x y a b x a b +=>>≥，所以23,183b ac =⎧∴=⎨=⎩ ， 所以椭圆的方程为221(0)189x y x +=≥．A ．椭圆的离心率是c e a ==B ． 当0t →时，||3AB →+3t →时，||0AB →，所以线段AB 长度的取值范围是(0,3+，所以该选项正确； C ．由题得ABF △面积1||2S AB t =⨯，设22111(,),9,3)A x t x t x t ∴+=∴=<<，设22222(,),1,189x t B x t x ∴+=∴=||AB所以12S t t=⨯=91)4≤=，当且仅当t=D．OAB的周长||||||3AO OB AB=++=+所以当0=t时，OAB的周长最大，但是t不能取零，所以OAB的周长没有最大值，所以该选项错误．故选：ABC.17．ABD【分析】先根据已知条件得到1290F PF∠=︒，再利用12PF F△的面积为1，确定点P为C的短轴的一个端点，然后逐项分析即可.【详解】由12112OP F F==，O为12F F的中点可知，1290F PF∠=︒.由12PF F△的面积为1，可知12112PF F y⋅=，所以1Py=，所以P为椭圆C短轴的一个端点，则1b=，所以a2cea===，A正确；由A可知，椭圆C的方程为2212xy+=，将点1,Q⎛-⎝⎭的坐标代入，可知满足C的方程，B正确；因为12PF F△为等腰直角三角形，且12PF PF=12PF F△的内切圆半径121221rPF PF F F==++，C错误；不妨取()0,1P，则直线1PF的方程为1y x=+，即10x y-+=，设椭圆C上的点),sinMθθ，则点M到直线1PF的距离d==其中tanφ=max2d=<，D正确.故选：ABD.18．BD【分析】根据点P在椭圆内部求得b的范围，从而解得离心率范围即可判断A；由离心率求得,,a b c，再利用椭圆定义，数形结合求得1||||QF QP+的最大值；根据12QF QF⋅=可得OQ c =，结合选项A 中所得,b c 的范围即可判断；利用均值不等式以及椭圆定义，即可求得1211||||QF QF +的最小值.【详解】因为长轴长为4，所以24a =，即2a =；因为点)P 在椭圆内部，所以222112b +<，又b a <2b <. 对于选项A ：因为b a ⎫∈⎪⎪⎝⎭，故221,12b a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，c e a ==⎛⎝⎭，故A 不正确； 对于选项B ：当e =2c c a =c =2F ⎫⎪⎪⎝⎭，则2PF = 由椭圆定义：12||||4||||QF QP QF QP +=-+，如图所示：当点Q ，2F ，P 共线且Q 在x 轴下方时，24||||QP QF +-取最大值24||PF +，所以1||||QF QP +的最大值为4B 正确； 对于选项C ：若120QF QF ⋅=，则121||||2OQ F F c ==由A 选项知，2a =，c ae =∈，)b ∈，所以min ||OQ b c =>，所以不存在Q 使得120QF QF ⋅=，故C 不正确； 对于选项D ：由基本不等式可得121211(||||)()||||QF QF QF QF ++122124QF QF QF QF =++≥，当且仅当12QF QF =时取得等号. 又12||||4QF QF +=，所以12111||||QF QF +，故D 正确． 综上所述：正确的选项是：BD . 故选：BD . 19．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】利用焦半径公式把比值表示为0,a x 的式子，然后由0a x a -≤≤得出范围．【详解】设00(,)P x y ，010200012311133a x PF a ex a PF a ex a x a x ++===-+---，且0a x a -≤≤得：121,22PF PF ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 故答案为：1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.20【分析】分析可知21CF BF =，则12AF CF AB +=，设直线AB 的方程为1x my =-，与椭圆的方程联立，利用韦达定理、弦长公式可求得AB 的最小值，即可得解.【详解】设点C 关于原点的对称点为E ，由于椭圆Γ关于原点对称，则点E 在椭圆上，因为O 既为CE 的中点，也为线段12F F 的中点，故四边形12CF EF 为平行四边形， 故21//CF EF 且21CF EF =，因为2//AB CF 且1F AB ∈，故点B 与点E 重合，所以，12AF CF AB +=，由题意可知，直线AB 不与x 轴重合，易知点()11,0F -，设点()11,A x y 、()22,B x y ，设直线AB 的方程为1x my =-，联立2214520x my x y =-⎧⎨+=⎩，可得()22458160m y my +--=，()()2226464453201m m m ∆=++=+，122845my y m +=+，1221645y y m =-+，所以，)22145m AB m +==≥+当且仅当0m =时，等号成立，故12AF CF +.. 21．(]4,7【分析】作点N 关于原点的对称点E ，连接2EF 、1EF 、EN ，分析可知12EF F N =且M 、1F 、E 三点共线，故128F N F M EM +=-，设直线ME 的方程为x my =设点()11,M x y 、()22,E x y ，将直线ME 的方程与椭圆C 的方程联立，利用弦长公式可求得EM 的取值范围，即可得解.【详解】作点N 关于原点的对称点E ，连接2EF 、1EF 、EN ，易知点()1F 、)2F ，由椭圆的对称性可知点E 也在椭圆C 上，因为O 为EN 、12F F 的中点，所以，四边形12EF NF 为平行四边形， 所以，12//EF F N 且12EF F N =，因为12//MF F N ，故M 、1F 、E 三点共线，则1211MF NF MF EF ME +=+=， 所以，()1212122248F N F M a F M a F N a F M F N EM +=-+-=-+=-. 因为点M 、N 为椭圆上位于x 轴上方的两点，则直线ME 不与x 轴重合，设直线ME 的方程为x my =()11,M x y 、()22,E x y ，联立2244x my x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩()22410m y +--=，。
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专题对点练23 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题
1.(2017北京,理18)已知抛物线C:y2=2px过点P(1,1).过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP,ON交于点A,B,其中O为原点.
(1)求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程;
(2)求证:A为线段BM的中点.
(1)解由抛物线C:y2=2px过点P(1,1),得p=.
所以抛物线C的方程为y2=x.
抛物线C的焦点坐标为,准线方程为x=-.
(2)证明由题意,设直线l的方程为y=kx+(k≠0),l与抛物线C的交点为M(x1,y1),N(x2,y2).
由得4k2x2+(4k-4)x+1=0.
则x1+x2=,x1x2=.
因为点P的坐标为(1,1),所以直线OP的方程为y=x,点A的坐标为(x1,x1),直线ON的方程为y=x,点B的坐标为.
因为y1+-2x1=
=
==0,
所以y1+=2x1.故A为线段BM的中点.
2.(2017山西实验中学3月模拟,理20)已知O为坐标原点,椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F,E,上顶点为P,右顶点为Q,以F1F2为直径的圆O过点P,直线PQ与圆O相交
得到的弦长为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线l与椭圆C相交于M,N两点,l与x轴、y轴分别相交于A,B两点,满足:①记MN 的中点为E,且A,B两点到直线OE的距离相等;②记△OMN,△OAB的面积分别为S1,S2,若S1=λS2,则当S1取得最大值时,求λ的值.
解 (1)因为以F1F2为直径的圆O过点P,所以b=c,则圆O的方程为x2+y2=b2,直线PQ的方程为
y=-x+b=-x+b,
则2,
解得b=1,所以a=,所以椭圆C的方程为+y2=1.
(2)由题意,设直线的方程为y=kx+m(k,m≠0),M(x1,y1),N(x2,y2),则A,B(0,m).
由方程组得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,(*)
Δ=16k2-8m2+8>0,所以m2<2k2+1,
由根与系数的关系得x1+x2=,x1x2=,
因为A,B两点到直线OE的距离相等,所以线段MN的中点与线段AB的中点重合,
所以x1+x2==0-,解得k=±.
于是,S1=|MN|d=|x1-x2|
=|m|=
=.
由m2<2k2+1及k=±,可得m2<2.所以,当m2=1时,S1有最大值,此时S2=|m|2=,故λ=1.
3.已知点A(0,-2),椭圆E:=1(a>b>0)的离心率为,F是椭圆E的右焦点,直线AF的
斜率为,O为坐标原点.
(1)求E的方程;
(2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点,当△OPQ的面积最大时,求l的方程.
解 (1)设F(c,0),由条件知,得c=.
又,所以a=2,b2=a2-c2=1.
故E的方程为+y2=1.
(2)当l⊥x轴时不合题意,故设l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2).
将y=kx-2代入+y2=1,得(1+4k2)x2-16kx+12=0.
当Δ=16(4k2-3)>0,即k2>时,x1,2=.
从而|PQ|=|x1-x2|=.
又点O到直线PQ的距离d=,
所以△OPQ的面积S△OPQ=d·|PQ|=.
设=t,则t>0,S△OPQ=.
因为t+≥4,当且仅当t=2,即k=±时,等号成立,且满足Δ>0,
所以,当△OPQ的面积最大时,l的方程为y=x-2或y=-x-2.
4.(2017宁夏中卫二模,理20)已知动圆M过定点E(2,0),且在y轴上截得的弦PQ的长为4.
(1)求动圆圆心M的轨迹C的方程;
(2)设A,B是轨迹C上的两点,且=-4,F(1,0),记S=S△OFA+S△OAB,求S的最小值.
解 (1)设M(x,y),PQ的中点N,连接MN,
则|PN|=2,MN⊥PQ,
∴|MN|2+|PN|2=|PM|2.又|PM|=|EM|,
∴|MN|2+|PN|2=|EM|2.
∴x2+4=(x-2)2+y2,整理得y2=4x.
(2)设A,B,令y1>0,
则S△OFA=·|OF|·y1=y1.
∵=-4,∴+y1y2=-4,解得y1y2=-8,①
直线AB的方程为(y1≠-y2),
即y-y1=,令y=0得x=2,即直线AB恒过定点E(2,0),当y1=-y2时,AB⊥x
轴,A(2,2),B(2,-2).
直线AB也经过点E(2,0),
∴S△OAB=|OE|·|y1-y2|=y1-y2.
由①可得S△OAB=y1+,∴S=y1+y1+≥2=4.
当且仅当y1=,即y1=时,S min=4.〚导学号16804218〛
5.(2017山东潍坊一模,理20)已知椭圆C与双曲线y2-x2=1有共同焦点,且离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设A为椭圆C的下顶点,M,N为椭圆上异于A的不同两点,且直线AM与AN的斜率之积为
-3.
①试问M,N所在直线是否过定点?若是,求出该定点;若不是,请说明理由;
②若P点为椭圆C上异于M,N的一点,且|MP|=|NP|,求△MNP的面积的最小值.
解 (1)由题意,椭圆的焦点坐标为(0,±),,
设椭圆方程为=1(a>b>0),
∴c=,a=,b=1,
∴椭圆C的标准方程为+x2=1;
(2)①若MN的斜率不存在,设M(x1,y1),N(x1,-y1).
则k AM·k AN==-3,
而≤3,故不成立,
∴直线MN的斜率存在,
设直线MN的方程为y=kx+m,
联立得(k2+3)x2+2kmx+m2-3=0.
∴x1+x2=-,x1x2=,k AM=,k AN=.
∵直线AM与直线AN斜率之积为-3,
∴k AM·k AN=
=
=
=
==-3,整理得m=0.
∴直线MN恒过(0,0).
②由①知,
∵|MP|=|NP|,∴OP⊥MN.
当k≠0时,设OP所在直线方程为y=-x,
则,
当k=0时,也符合上式,
∴
S△MNP=|OM|·|OP|==3, 令k2+1=t(t≥1),k2=t-1,S△MNP=3=3.
∵t≥1,∴0<≤1.当,即t=2时,-+3取最大值4,∴当k2=1,即k=±1
时,△MNP的面积最小,最小值为.〚导学号16804219〛
6.(2017河北衡水中学二模,理20)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,A为C上位于第一
象限的任意一点,过点A的直线l交C于另一点B,交x轴的正半轴于点D.
(1)若当点A的横坐标为3,且△ADF为等边三角形时,求C的方程;
(2)对于(1)中求出的抛物线C,若点D(x0,0),记点B关于x轴的对称点为E,AE交x 轴于点P,且AP⊥BP,求证:点P的坐标为(-x0,0),并求点P到直线AB的距离d的取值范围.
解 (1)由题知F,|FA|=3+,则D(3+p,0),FD的中点坐标为,
则=3,解得p=2,故C的方程为y2=4x.
(2)依题可设直线AB的方程为x=my+x0(m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),
则E(x2,-y2),由消去x,得y2-4my-4x0=0.∵x0≥,∴Δ=16m2+16x0>0,y1+y2=4m,y1y2=-4x0,设P的坐标为(x P,0),则=(x2-x P,-y2),=(x1-x P,y1), 由题知,所以(x2-x P)y1+y2(x1-x P)=0,
即x2y1+y2x1=(y1+y2)x P=,
显然y1+y2=4m≠0,
所以x P==-x0,即证x P(-x0,0).
由题知△EPB为等腰直角三角形,
所以k AP=1,即=1,也即=1,
所以y1-y2=4,∴(y1+y2)2-4y1y2=16,
即16m2+16x0=16,m2=1-x0,x0<1,
又因为x0≥,
所以≤x0<1,d=,令=t∈
,x0=2-t2,d=-2t,易知f(t)=-2t在上是减函数,所以d∈.。