高中数学经验积累2

17同角三角函数的基本关系式及诱导公式转化与化归思想例 (14分)已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝5(1)51.(1)求tan α的值；(2)把cos2α－sin2α(1)cos2α－sin2α1用tan α表示出来，并求其值．多角度审题 由sin α＋cos α＝5(1)51应联想到隐含条件sin 2α＋cos 2α＝1，要求tan α，应当切化弦，所以只要求出sin α，cos α即可，(2)需要把弦化成切．【答题模板】解 (1)联立方程sin2α＋cos2α＝1， ②(， ①)sin2α＋cos2α＝1， ②， ①由①得cos α＝5(1)51－sin α，将其代入②，整理得25sin 2α－5sin α－12＝0.[2分]∵α是三角形的内角，∴5(3)53，[4分]∴tan α＝－3(4)34.[7分](2)cos2α－sin2α(1)cos2α－sin2α1＝cos2α－sin2α(sin2α＋cos2α)cos2α－sin2αsin2α＋cos2α＝cos2α(cos2α－sin2α)cos2αcos2α－sin2α＝1－tan2α(tan2α＋1)1－tan2αtan2α＋1，[10分]∵tan α＝－3(4)34，∴cos2α－sin2α(1)cos2α－sin2α1＝1－tan2α(tan2α＋1)1－tan2αtan2α＋1＝2(4)24＝－7(25)725.[14分]【突破思维障碍】由sin α＋cos α＝5(1)51及sin 2α＋cos 2α＝1联立方程组，利用角α的范围，应先求sin α再求cos α.(1)问切化弦即可求．(2)问应弦化切，这时应注意“1”的活用．【易错点剖析】在求解sin α，cos α的过程中，若消去cos α得到关于sin α的方程，则求得两解，然后应根据α角的范围舍去一个解，若不注意，则误认为有两解．1．由一个角的三角函数值求其他三角函数值时，要注意讨论角的范围．2．注意公式的变形使用，弦切互换、三角代换、消元是三角代换的重要思想，要尽量少开方运算，慎重确定符号．注意“1”的灵活代换．3．应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断．18三角函数图像与性质转化与化归思想例 (14分)求下列函数的值域：(1)y ＝－2sin 2x ＋2cos x ＋2；(2)y ＝3cos x －sin x ，x ∈[0，2π]；(3)y ＝sin x ＋cos x ＋sin x cos x .【答题模板】解 (1)y ＝－2sin 2x ＋2cos x ＋2＝2cos 2x ＋2cos x＝2(cos x ＋21)2－21，cos x ∈[－1,1]．当cos x ＝1时，y max ＝4，当cos x ＝－21时，y min ＝－21，故函数值域为[－21，4]．[4分](2)y ＝3cos x －sin x ＝2cos(x ＋6π)．∵x ∈[0，2π]，∴6π≤x ＋6π≤32π，∵y ＝cos x 在[6π，32π]上单调递减，∴－21≤cos(x ＋6π)≤23，∴－≤y ≤3，故函数值域为[－，3]．[9分](3)令t ＝sin x ＋cos x ，则sin x cos x ＝2t2－1，且|t |≤.∴y ＝t ＋2t2－1＝21(t ＋1)2－1，∴当t ＝－1时，y min ＝－1；当t ＝时，y max ＝21＋.∴函数值域为[－1，21＋]．[14分]【突破思维障碍】1．对于形如f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈[a ，b ]的函数在求值域时，需先确定ωx ＋φ的范围，再求值域．同时，对于形如y ＝a sin ωx ＋b cos ωx ＋c 的函数，可借助辅助角公式，将函数化为y ＝sin(ωx ＋φ)＋c 的形式，从而求得函数的最值．2．关于y ＝a cos 2x ＋b cos x ＋c (或y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c )型或可化为此型的函数求值域，一般可化为二次函数在闭区间上的值域问题．给你提个醒！不论用什么方法，切忌忽略函数的定义域．1．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的定义、图象和性质是研究三角问题的基础，三角函数的定义域是研究其他一切性质的前提，求三角函数的定义域实质上就是解最简单的三角不等式(组)．2．三角函数的值域问题，实质上是含有三角函数的复合函数的值域问题．3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的单调区间的确定，基本思想是把ωx ＋φ看作一个整体，利用y ＝sin x 的单调区间来求．19函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用数形结合思想例 (14分)设关于θ的方程cos θ＋sin θ＋a ＝0在区间(0,2π)内有相异的两个实根α、β.(1)求实数a 的取值范围；(2)求α＋β的值．【答题模板】解 (1)原方程可化为sin(θ＋3π)＝－2a ，作出函数y ＝sin(x ＋3π)(x ∈(0,2π))的图象．由图知，方程在(0,2π)内有相异实根α，β的充要条件是3.[4分]即－2<a <－或－<a <2.[7分](2)由图知：当－<a <2，即－2a ∈(－1，23)时，直线y ＝－2a 与三角函数y ＝sin(x ＋3π)的图象交于C 、D 两点，它们中点的横坐标为67π，∴2α＋β＝67π，∴α＋β＝37π.[10分]当－2<a <－，即－2a ∈(23，1)时，直线y ＝－2a 与三角函数y ＝sin(x ＋3π)的图象有两交点A 、B ，由对称性知，2α＋β＝6π，[13分]∴α＋β＝3π.综上所述，α＋β＝3π或α＋β＝37π. [14分]【突破思维障碍】在解决三角函数的有关问题时，若把三角函数的性质融于函数的图象之中，将数(量)与图形结合起来进行分析、研究，可使抽象复杂的数量关系通过几何图形直观地表现出来，这是解决三角函数问题的一种有效的解题策略．图象的应用主要有以下几个方面：①比较大小；②求单调区间；③解不等式；④确定方程根的个数．如判断方程sin x ＝x 的实根个数；⑤对称问题等．【易错点剖析】此题若不用数形结合法，用三角函数有界性求a 的范围，不仅过程繁琐，而且很容易漏掉a ≠－的限制，而从图象中可以清楚地看出当a ＝－时，方程只有一解．1．从“整体换元”的思想认识、理解、运用“五点法作图”，尤其在求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间、解析式等相关问题中要充分理解基本函数y ＝sin x 的作用．2．三角函数自身综合问题：要以课本为主，充分掌握公式之间的内在联系，从函数名称、角度、式子结构等方面观察，寻找联系，结合单位圆或函数图象等分析解决问题．3．三角函数模型应用的解题步骤：(1)根据图象建立解析式或根据解析式作出图象．(2)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型．(3)利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型．21二倍角的三角函数及简单的三角恒等变换转化与化归思想例 (14分)(2010·江西)已知函数f (x )＝tan x 1sin 2x ＋m sin 4πsin 4π.(1)当m ＝0时，求f (x )在区间43π上的取值范围；(2)当tan α＝2时，f (α)＝53，求m 的值．【答题模板】解 (1)当m ＝0时，f (x )＝sin x cos x sin 2x＝sin 2x ＋sin x cos x ＝21－cos 2x ＋sin 2x＝21＋1π，[3分]由已知x ∈43π，得2x －4π∈45π，[4分]所以sin 4π∈，12，[5分]从而得f (x )的值域为22.[7分](2)f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x －2m cos 2x＝21－cos 2x ＋21sin 2x －2m cos 2x＝21[sin 2x －(1＋m )cos 2x ]＋21，[9分]由tan α＝2，得sin 2α＝sin2α＋cos2α2sin αcos α＝1＋tan2α2tan α＝54，cos 2α＝cos2α＋sin2αcos2α－sin2α＝1＋tan2α1－tan2α＝－53.[11分]所以53＝21(1＋m 3＋21，[12分]解得m ＝－2.[14分]【突破思维障碍】三角函数式的化简是指利用诱导公式、同角基本关系式、和与差的三角函数公式、二倍角公式等，将较复杂的三角函数式化得更简洁、更清楚地显示出式子的结果．化简三角函数式的基本要求是：(1)能求出数值的要求出数值；(2)使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数的种类最少；(3)分式中的分母尽量不含根式等．1．求值中主要有三类求值问题：(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角．2．三角恒等变换的常用方法、技巧和原则：(1)在化简求值和证明时常用如下方法：切割化弦法，升幂降幂法，辅助元素法，“1”的代换法等．(2)常用的拆角、拼角技巧如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，α＝(α－β)＋β，2α＋β＝2β＋2α，2α是4α的二倍角等．(3)化繁为简：变复角为单角，变不同角为同角，化非同名函数为同名函数，化高次为低次，化多项式为单项式，化无理式为有理式．消除差异：消除已知与未知、条件与结论、左端与右端以及各项的次数、角、函数名称、结构等方面的差异．。