偏微分方程初步介绍
数学的偏微分方程
数学的偏微分方程偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDE）是数学中的一门重要分支，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。
本文将简要介绍偏微分方程的概念、分类和应用，并探讨其在现实生活中的重要性。
一、偏微分方程的概念偏微分方程是涉及未知函数的偏导数的方程。
与常微分方程不同，偏微分方程中的未知函数通常是多变量的函数。
偏微分方程的解是一个多变量函数，它满足方程中的所有偏导数关系。
二、偏微分方程的分类偏微分方程根据方程中出现的最高阶导数的类型和个数进行分类。
常见的分类包括：1. 线性偏微分方程与非线性偏微分方程：线性偏微分方程中，未知函数和其偏导数之间的关系是线性的；非线性偏微分方程中则不是线性关系。
2. 齐次偏微分方程与非齐次偏微分方程：齐次偏微分方程中，未知函数和其偏导数之间的关系不含有常数项；非齐次偏微分方程中则包含常数项。
3. 一阶偏微分方程与高阶偏微分方程：一阶偏微分方程中，方程中的最高阶导数是一阶导数；高阶偏微分方程中则是高于一阶的导数。
三、偏微分方程的应用偏微分方程在多个领域中都有广泛应用，包括但不限于以下几个方面：1. 物理学中的应用：偏微分方程在物理学中有着重要的应用，如热传导方程、波动方程、电磁场方程等。
这些方程描述了物理系统中的变化和传播过程，对于研究物理现象和解决实际问题至关重要。
2. 工程学中的应用：偏微分方程在工程学中也有着广泛的应用，如结构力学、流体力学、电路分析等。
这些方程可以描述工程系统中的变化和行为，为工程设计和优化提供理论基础。
3. 经济学中的应用：偏微分方程在经济学中的应用越来越重要。
例如，用偏微分方程可以描述金融市场中的价格变动和风险传播，对于风险管理和投资决策有着重要的意义。
四、数学的偏微分方程的重要性数学的偏微分方程在科学研究和工程应用中具有重要的地位和作用。
通过研究和解决偏微分方程，我们可以深入理解自然界和人类社会中的各种现象和问题，为科学技术的发展和社会进步做出贡献。
高等数学中的偏微分方程
高等数学中的偏微分方程在高等数学领域中，偏微分方程是一个重要的研究对象。
它是通过对函数的偏导数进行求解得到的方程，常常被用来描述自然界中的一些现象和非线性动态系统。
本文将介绍偏微分方程的基本概念、分类、解的方法以及在实际应用中的一些例子。
一、基本概念偏微分方程是包含多个未知函数的方程，其中函数的偏导数是方程的基本构成部分。
偏微分方程通常用来描述物理、生物、经济等领域中的问题，在不同的领域中有着不同的应用。
二、分类根据方程中出现的未知函数的个数和偏导数的阶数，偏微分方程可以分为几个主要类型：椭圆型偏微分方程、双曲型偏微分方程和抛物型偏微分方程。
具体的分类方法可以根据方程的形式和性质进行。
1. 椭圆型偏微分方程椭圆型偏微分方程的特点是方程中出现的未知函数的二阶偏导数的系数均不为零，通常用来描述稳态问题和静电场分布等现象。
2. 双曲型偏微分方程双曲型偏微分方程的特点是方程中出现的未知函数的二阶偏导数的系数满足双曲性条件，通常用来描述波动、传播等动态问题。
3. 抛物型偏微分方程抛物型偏微分方程的特点是方程中出现的未知函数的二阶偏导数的系数满足抛物性条件，通常用来描述热传导和扩散等问题。
三、解的方法求解偏微分方程通常是一个复杂的问题，不同类型的方程需要采用不同的方法进行求解。
下面介绍几种常用的解的方法。
1. 分离变量法分离变量法适用于一些特殊的偏微分方程，可以将多元函数的偏导数分离为几个单变量函数的常微分方程，通过求解这些常微分方程得到原方程的解。
2. 特征线法特征线法适用于一些双曲型偏微分方程，可以通过选取合适的坐标系和变换将方程化为常微分方程，进而求解得到解的形式。
3. 变换方法变换方法是一种常用的解偏微分方程的技巧，可以通过适当的变量代换将原方程转化为更简单的形式，然后进一步求解。
四、实际应用偏微分方程在实际应用中有着广泛的应用。
以下是一些例子：1. 热传导方程热传导方程是抛物型偏微分方程的一种，在描述热传导过程中起着重要的作用。
偏微分方程(本科生数学基础课教材)
偏微分方程(本科生数学基础课教材)微分方程是一种非常重要的数学方法，它可以处理定义在一定空间中的未知变量和已知变量间的关系。
本科生数学基础课教材中涉及到了一些偏微分方程的知识，本文将深入的介绍下偏微分方程的内容。
1. 什么是偏微分方程偏微分方程（partial differential equation，简称PDE）是指表示未知函数的某个变量的函数序列的方程，其中的变量的某些部分可能被某些定义的函数所限定。
这种方程反映了区域内任意函数的可能存在的连续性及其求解时某些变量之间的约束性关系。
偏微分方程在微分几何，动力学系统，电磁学，偏微分方程的变分技术，稳定性理论，普朗克力学，热传导，流体动力学等数学领域都有着广泛的应用。
2. 偏微分方程的基本概念偏微分方程的基本概念是函数的求导和积分，是变分法的基础。
它以熟悉概念为基础，将导数和积分结合起来，形成一种新的数学形式。
它所求解的未知函数，都是在空间和时间两个方面连续发展变化的，或者说，同时考虑空间和时间函数和现象之间的关系。
3. 常见的偏微分方程偏微分方程一般分为四类，其中常见的有波动方程，Poisson方程，拉普拉斯方程，Kelvin-Voigt方程，吉普斯梅尔方程，马太偏微分方程等。
（1）波动方程：它是一个非线性的偏微分方程，其解的特殊情况可表示为解析解，常见的波速等作为特例。
（2）Poisson方程：它是一个双曲型偏微分方程，可以用于描述在两个或多个方向上具有对称性的繁杂系统或一维系统中热或电荷的分布。
（3）拉普拉斯方程：它可以用于求解变分问题，它本身也是一个偏微分方程问题，可用来求解几何和物理系统中的路径长度，其求解结果为变函数。
（4）Kelvin-Voigt方程：它可以引用细胞膜的抗冲击性能的偏微分方程，在本科教材中可以用来求解组织在生物学上产生渐进延迟的情况。
（5）吉普斯梅尔方程：它是一类非线性偏微分方程，通常用来描述热传导，晶体振动和流体动力学在狭义上的应用。
数学的偏微分方程基础
数学的偏微分方程基础偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDEs）是描述物理、工程和数学问题中变量与它们的偏导数之间关系的方程。
偏微分方程在科学研究和工程实践中具有广泛应用，涉及物理学、生物学、工程学等诸多领域。
本文将介绍偏微分方程的基础知识、分类和解法。
一、基础知识1. 偏导数在介绍偏微分方程之前，我们首先需要了解偏导数的概念。
偏导数衡量了一个函数在某一变量上的变化率，但只考虑其他变量固定。
对于函数f(x, y)，其关于x的偏导数表示为∂f/∂x，关于y的偏导数表示为∂f/∂y。
2. 偏微分方程偏微分方程是包含未知函数的偏导数的方程。
通常用u表示未知函数，其中u的自变量可以是多个变量，如u(x, y) 或 u(x, y, t)。
常见的偏微分方程类型有椭圆型、双曲型和抛物型。
二、分类1. 椭圆型偏微分方程椭圆型偏微分方程中，二阶导数的符号一致。
典型的椭圆型方程是拉普拉斯方程（Laplace's Equation），它描述了平衡状态下的物理系统。
2. 双曲型偏微分方程双曲型偏微分方程中，相对于时间t的一阶和二阶导数的符号相反。
经典的双曲型方程是波动方程（Wave Equation），它描述了波的传播和反射现象。
3. 抛物型偏微分方程抛物型偏微分方程中，时间t的一阶导数与空间变量的二阶导数具有相同的符号。
常见的抛物型方程是热传导方程（Heat Equation），它描述了物质的热传导现象。
三、解法1. 分离变量法分离变量法是求解偏微分方程的一种常用方法。
该方法基于假设解可以分解为多个单独变量的乘积形式，然后通过将方程两边分离各个变量并进行积分来求解。
2. 特征线法特征线法适用于双曲型偏微分方程。
通过寻找曲线（称为特征线），使得偏微分方程在沿特征线的方向上退化为常微分方程，从而简化求解过程。
3. 变换方法变换方法将原始的偏微分方程转换为另一个更容易求解的形式。
偏微分方程初步介绍
10.
11.
ut 2 ux 2 u 2
非线性PDE
举例(多元函数)
2u 2u 2u 0 2 2 2 x y z 2u 2u 2u u 2 2 2 x y z t 2u 2u 2u 2u 2 2 2 x y z t 2
此为上图中PQ的放 大图示
1
O
T ( x) x
x x
X
假设弦线是均匀的，弦作微小振动，故可认为
S x
即表明弧段PQ在振动过程中长度近似不变。因此根据Hooke定律，弦上 各点的张力 T 的大小与时间 t 无关。 再由于弦是柔软的，弦上各点的张力 T 的方向正是弦的切线方向。
Q U P
2
T ( x x)
1
根据牛顿第二运动定律 O
T ( x) x
X
x x
(*1)
2u ma x 2 T ( x x) sin 2 T ( x) sin 1 f 0 x (*2) t 2
T ( x x) cos 2 T ( x) cos 1 0
x2 y2
KDV方程 特解都不易找到
u u 3u 6. 6u 0 3 t x x
7.
ut uux eu
2 vxvxx vy vyy v2
拟线性PDE
8.
9.
拟线性PDE
半线性PDE
a( x, y)(vxx vyy ) ev (vx vy )
ut u x sin u
sin 2
u x
很小 时
(*1)
T ( x x) T ( x)
2u x 2 T0 tan 2 tan 1 f 0 x t 2u u ( x x, t ) u ( x, t ) x 2 T0 f 0 ( x, t )x t x x
数学中的偏微分方程
数学中的偏微分方程在数学领域中，偏微分方程是描述关于多个变量的未知函数和它们的偏导数之间的关系的方程。
它们在物理学、工程学、经济学等领域中有广泛的应用，帮助我们理解自然界中的各种现象和问题。
一、什么是偏微分方程偏微分方程是包含未知函数的偏导数的方程。
与常微分方程不同，它们涉及到多个变量。
一般而言，偏微分方程可以表示为：\[F(x_1, x_2, \ldots, x_n, u, u_{x_1}, u_{x_2}, \ldots, u_{x_n},u_{x_1x_2}, \ldots, u_{x_1x_2\ldots x_n}) = 0\]其中，\(u\) 是未知函数，\(x_1, x_2, \ldots, x_n\) 是自变量，\(u_{x_i}\) 表示对 \(u\) 求关于 \(x_i\) 的偏导数，\(u_{x_1x_2}\) 表示对\(u\) 求关于 \(x_1\) 和 \(x_2\) 的二阶偏导数，以此类推。
二、常见的偏微分方程类型1. 抛物型方程抛物型方程描述了热传导、扩散等现象。
它们的一般形式为：\[u_t = \alpha u_{xx}\]其中，\(u_t\) 表示 \(u\) 对时间的偏导数，\(u_{xx}\) 表示 \(u\) 对 \(x\) 的二阶偏导数。
常见的抛物型方程有热方程、扩散方程等。
2. 椭圆型方程椭圆型方程出现在静电场、稳定的热传导等问题中。
它们的一般形式为：\[\alpha u_{xx} + \beta u_{yy} = 0\]其中，\(\alpha\) 和 \(\beta\) 是常数，分别表示方程中的系数。
著名的椭圆型方程有拉普拉斯方程。
3. 双曲型方程双曲型方程描述了波动、振动等问题。
它们的一般形式为：\[u_{tt} = c^2 u_{xx}\]其中，\(u_{tt}\) 表示 \(u\) 对时间的二阶偏导数，\(u_{xx}\) 表示 \(u\) 对 \(x\) 的二阶偏导数。
数学中的偏微分方程
数学中的偏微分方程数学中的偏微分方程（Partial Differential Equations, PDEs）是描述自然界中各种现象和过程的重要工具。
它们涉及多个变量和它们的偏导数，包含了很多有趣的数学和物理现象。
本文将介绍什么是偏微分方程以及它们的分类和应用。
一、偏微分方程的概念偏微分方程是描述多个变量之间关系的方程，其中，未知函数及其偏导数作为方程的解。
与常微分方程不同，偏微分方程中的未知函数不仅与自变量有关，还与多个独立变量有关。
偏微分方程通常用数学符号来表示，例如：∂u/∂t = c^2 ∂^2u/∂x^2在上述方程中，u表示未知函数，t表示时间，x表示空间坐标，c^2是一个常数。
该方程被称为一维扩散方程，描述了热的传导过程。
二、偏微分方程的分类根据方程中各个变量的次数以及方程形式的不同，偏微分方程可分为多种类型。
以下是常见的偏微分方程分类：1. 线性偏微分方程和非线性偏微分方程当方程中的未知函数及其各个偏导数之间满足线性关系时，我们称之为线性偏微分方程；否则，称为非线性偏微分方程。
2. 齐次偏微分方程和非齐次偏微分方程如果方程中的未知函数及其各个偏导数之间满足齐次关系（即等式右边为零），则称方程为齐次偏微分方程。
否则，称为非齐次偏微分方程。
3. 偏微分方程的阶数方程中各个变量的最高阶数即为偏微分方程的阶数。
常见的一阶偏微分方程如一维波动方程、一维热传导方程等；常见的二阶偏微分方程如拉普拉斯方程、泊松方程等。
三、偏微分方程的应用偏微分方程在多个领域中有着广泛的应用，包括物理学、工程学、经济学等。
以下是几个常见的应用领域：1. 物理学中的应用在物理学中，偏微分方程用于描述各种物理现象，如传热、传质、电磁现象等。
例如，电磁学中的麦克斯韦方程组、量子力学中的薛定谔方程等都是偏微分方程的应用。
2. 工程学中的应用在工程学中，偏微分方程常用于模拟和解决各种实际问题，例如流体力学中的纳维-斯托克斯方程、结构力学中的弹性方程等。
大学数学偏微分方程
大学数学偏微分方程在大学数学学科中，偏微分方程是一个重要的研究领域。
它是数学领域中研究描述多变量函数与其偏导数之间关系的方程。
偏微分方程广泛应用于物理学、工程学以及其他科学领域，并且在现代科学研究和技术应用中扮演着重要角色。
本文将介绍偏微分方程的基本概念、分类以及一些经典的偏微分方程模型。
1. 偏微分方程的基本概念偏微分方程描述了多个变量之间的关系，其中包括未知函数、偏导数以及自变量之间的关系。
偏微分方程可以分为线性和非线性两类，它们分别具有不同的性质和求解方法。
2. 偏微分方程的分类根据方程中未知函数的阶数以及变量的个数，偏微分方程可以分为常微分方程、偏微分方程以及它们的组合。
常见的偏微分方程包括椭圆型、双曲型和抛物型方程，它们分别对应于不同的物理问题和数学模型。
3. 椭圆型偏微分方程椭圆型偏微分方程在自变量的各个方向上具有平衡性，常用于描述稳态问题和静态现象。
其中最著名的方程是拉普拉斯方程和泊松方程，它们在电场、热传导等领域中有着广泛的应用。
4. 双曲型偏微分方程双曲型偏微分方程在自变量的某些方向上具有超越性，常用于描述波动传播和传输问题。
典型的双曲型偏微分方程包括波动方程和传输方程，它们在声波传播、电磁波传输等领域中具有重要意义。
5. 抛物型偏微分方程抛物型偏微分方程在自变量的某些方向上具有光滑性，常用于描述动态演化和扩散现象。
常见的抛物型偏微分方程有热传导方程和扩散方程，它们在热传导、扩散以及化学反应等问题中有着广泛应用。
6. 经典的偏微分方程模型偏微分方程在实际问题中的应用非常广泛，其中一些经典的模型具有重要的科学和工程意义。
比如，热传导方程可以描述物体的温度分布和热平衡状态；波动方程可用于描述机械波的传播和振动现象；扩散方程可以描述溶质在溶液中的传输和浓度分布。
综上所述，大学数学中的偏微分方程是一门重要的数学学科，它用于描述多变量函数与其偏导数之间的关系。
偏微分方程具有广泛的应用领域，包括物理学、工程学等。
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半线性PDE
11.
u t 2 u x 2
u2
非线性PDE
举例(多元函数)
2u x
2
2u y
2
2u z
2
0 u t 2u t
2
拉普拉斯(Laplace)方程
2u x
2
2u y
2
2u z
2
热传导方程
2u x
2
2u y
偏微分方程 PARTIAL DIFFIERENTIAL EQUATION(P.D.E)
参考书目
《数学物理方程》，
王明新，清华大学出版社。 《工程技术中的偏微分方程》， 潘祖梁，浙江大学出版社。
一. 偏微分方程的基本概念
x ( x1 , x 2 , , x n ) u ( x ) u ( x1 , x2 , , xn )
u g ( x at ) h ( x at )
2u
0
5.
2u x
2
2u y
2
0
不易找出其通解，但还是可以找 出一些特解
任意解析函数
f的实部和虚部均满足方程。 (z)
ln
6.
1 r
也是解
r
x2 y2
KDV方程 特解都不易找到
u t
6u
已知端点的位移与所受外 力作用的一个线性组合
四. 二阶线性方程的分类
a11 2u x
2
两个自变量情形
2 a12
2u xy
主部
a 22
2u y
2
a
u x
b
u y
cu 0
（1）
目的：
通过自变量的非奇异变换来简化方程的主部，从 而据此分类。 非奇异
( x , y ) ( x , y )
线性PDE：
PDE中对所含未知函数及其各阶导数的全体都是线 性的。 线性PDE中所有具同一最高阶数的偏导数组成的 部分，称为线性方程的主部。
拟线性PDE： PDE中对最高阶导数是线性的。
半线性PDE： 拟线性PDE中，最高阶导数的系数仅为自变量的
函数。
举例（未知函数为二元函数）
1.
u x
0
T ( x x ) T ( x )
T T0 常数
这表明张力的大小与 x 也无关，即
(*2)
x
x
2u t
2
T0 tan 2 tan 1 f 0 x
u ( x x , t ) u ( x , t ) T0 f 0 ( x, t ) x x x
两个引理
引理1. 假设
z ( x, y ) 是方程
a11 (
z x
) 2 2 a12
z z x y
a 22 (
z y
)2 0
（4）
的特解，则关系式
( x, y ) C 是常微分方程
（5）
a11 ( dy ) 2 2 a12 dxdy a 22 ( dx ) 2 0
u ( x ,0 ) ( x )
或者边界条件
u t
( x ,0 ) ( x )
已知端点的位移 已知在端点受到垂直 于弦的外力的作用
u (0, t ) g (t ), u ( L, t ) h (t )
T u x
x0
g (t ),
T
u x
xL
h (t )
2
2u z
2
波动方程
二. 定解问题的适定性
定解问 题 PDE
初值条件
定解条件 边值条件 初、边值条件 初值问题、边值问题、混合问题
经典的定解问题举例
波动方程的初值问题（一维）
2u 2u a2 f ( x , t ), 2 2 x t u ( x , t ) ( x) t 0 u ( x, t ) ( x) t 0 t
1
O
此为上图中PQ的放 大图示
T ( x) x
x x
X
假设弦线是均匀的，弦作微小振动，故可认为
S x
即表明弧段PQ在振动过程中长度近似不变。因此根据Hooke定律，弦上 各点的张力 T 的大小与时间 t 无关。 再由于弦是柔软的，弦上各点的张力 T 的方向正是弦的切线方向。
Q U P
2u t 2
微分中值定理
x
2u ( x, t ) t
2
T0 x
2u ( x, t ) x
2
f 0 ( x , t ) x
x 0
令
x 0 ，可得微分方程方程
弦是均匀的，故
2u t
2
T0
2u x
2
f0
为常数，记
T0v2Biblioteka ,2)2
考虑
a11 (
z x
) 2 2 a12
z z x y
a 22 (
z y
)2 0
（4）
如若能找到两个相互独立的解
z ( x, y )
那么就作变换
z ( x, y )
( x , y ) ( x , y )
从而有
A11 A22 0
2
T ( x x )
1
根据牛顿第二运动定律 O
T ( x) x
X
x x
(*1) T ( x x ) cos 2 T ( x ) cos 1 0 2u ma x 2 T ( x x ) sin 2 T ( x ) sin 1 f 0 x (*2) t 表示弦的质量密度（单位长度的质量） m x a u ( x , t )
F ( x, u , u x1 , , u x n ,
自变量
未知函数
2u x1
2
, ) 0
偏微分方程的一般形式
一些概念
PDE的阶
古典解
PDE的 解
是指这样一个函数，它本身以及它的偏导 数在所考虑的区域上连续，同时用满足方 程。
广义解 线性PDE
非线性PDE 半线性PDE 拟线性PDE 完全非线性PDE
2
(
x y 2u 2
)
2 u 2 x y )
2
u 2 xy
) 2
2 u y y
(
y
u 2 y 2
u 2 y 2
a11
2u x
1, 0 0, 1
第一边值问题（Dirichlet）
第二边值问题（Neumann） 第三边值问题（Robin）
0, 0
经典的定解问题举例
热传导方程的初、边值问题
u 2u a2 f ( x , t ), t 0,0 x L 2 x t u ( x , t ) ( x) t 0 u ( x , t ) x 0 g (t ), u ( x , t ) x L h (t )
) 2 2 a12
x y x y x y
a 22 (
y
x x x
a12 (
x y
) a 22
y y
A22 a11 (
) 2 2 a12
a 22 (
y
2u x
2
f0
f ( x, t )
( 0 x L , t 0)
方程改写为
2u t
2
v
f ( x, t )
v 表示速度，因为T的单位是质量*长度/时间的平方
单位长度是时间/质量
刻划了均匀弦的微小横振动的一般规律。通常称为弦振动方程。
为了具体给出弦的振动规律，除了列出它所满足的方程外，由于弦开始时 的形状和弦上各点的速度，对弦振动将有直接影响，由此必须列出初始条 件
的一般积分。 引理2. 假设
( x, y ) C 是常微分方程（5）的一般
z ( x, y )
积分，则函数
是（4）的特解。
由此可知，要求方程（4）的解，只须求出常微分方程（5）的 一般积分。
定义 ：
dy dx
常微分方程（5）为PDE（1）的特征方程 （5）的积分曲线为PDE（1）的特征曲线。
2u 2 ( x
u ( , )
) 2
2 u x x 2u x y
)
2
u 2 x 2
u 2 x 2 u 2 xy
2 u 2 x y 2u 2 ( y
何为适定性？
存在性 唯一性 适定性
连续依赖性（稳定性）
若PDE在附加条件及求解域的一定要求下，它的解在已知度量的某函数 类中存在、唯一而且关于附加条件为稳定的，就称定解问题在相应的函 数类中为适定的。
三. 物理模型与定解问题的导出 • 弦振动方程
弦振动方程与定解问题
一长为L的柔软均匀细弦，拉紧后，当它 受到与平衡位置垂直的外力作用时，开始作微 小横振动。 假设这运动发生在同一平面内且 与方向垂直于平衡位置，求弦上各点位移随时 间变化规律。
2
2 a12
2u xy 2u
x
a 22
2u y
2
a
u x u
b
u y u
)2
cu 0