充分利用等_不等_量关系解题

由切线长定理知 1 1 AD = ( b + c - a ) , BD = ( c + a - b) . 2 2
收稿日期 : 2009 - 03 - 20
2009 年第 7 期
3
1
S
=
1
bc
+#43;b+c
1
①
由此易得
13 ( a + b) = 17 c,
2 2 2 2 或 169 ( a + b) = 289 c = 289 ( a + b ) .
又 从而 ,
AOM = A EM =
1 ( 2
CAB +
CBA ) = 45 ° ,
AOM.
2009 年第 7 期
5
故 A、 O、 E、 M 四点共圆 , 有
AMO = OM E = A EO = 90 ° , OA E = OAB.
= =
1 a b ( a + b - c) ( a + b - c) 2 c c
(提示 : 延长 FE 到点 A、 EF 到点 B , 使 ECA = ECD,
・
c = . 2 ( a + b + c)
将 c < a + b≤ 2 c代入上式 , 变形得
1 S △OM N 1 < < . 5 S △AB C 4
为直角三角形 . 设 △AB C 三边长为 a、 b、 c .易 知
ab 1 2 ( a + b - c) , 2・ c 2
于是 , △OMN 注意到
S △OMN S △OAB
△OAB.
OM 1 = cos 45 ° = .则 OA 2
2
1 2 易证 ( c - a ) ( c - b) = ( a + b - c) . 2
OM = OA S △OAB S △AB C
故 tan
2
+ tan
B
2
=
2c . a +b+c
思考 : 如图 2, 延 长
AC 到点 E, 延长 B C 到点 F, 使得 A E = B F = AB = c . 此 时 , △AB E、△BA F
都是 等 腰 三 角 形, 且
CB E = A
图 2
2
,
CA F
显然 ,
I BD =
I AD = B ,
2
中 等 数 学
数学活动课程讲座
充分利用等 (不等 )量关系解题
黄全福
(安徽省怀宁县江镇中学 , 246142)
(本讲适合初中 )
1 利用等量关系解题
故 tan
=
IAD + tan
IBD =
ID ID + AD BD
在 R t△AB C 中 , C = 90 ° , B C = a, CA = b, AB = c . 利用勾股定理易推导出下面两个等 量关系式 :
延长 B C 到 Q, 使 A P = BQ = AB. 试 比 较 △CPQ 与四边形 O ECF 面积的大小 .
(提示 :记 B C = a, CA = b, AB = c .则 S △CPQ
EF = a + b - c, CD = ab 2 ab ( a + b + c) ( a + b - c) = = . c 2c 2c
练习题
1. 在 R t△AB C 中 ,
OE B C 于 E, O F C = 90 ° , O 为内心 , AC 于 F. 延长 AC 到 P,
故
CD a + b + c = . EF 2c
C = 90 ° , 内切 O 切 AC、 B C 于点 E、 F, 射线 BO 、 AO 交
出 a∶ b∶ c吗 ? 例 5 两个直角梯形的斜腰与上底都等 于 1, 且两个锐角互余 , 它们的面积分别等于 S1 、 S2 . 证明 : 1 < S1 + S2 < 2. 讲解 : 将 两 个 直 角梯形拼成图 5 的形 式 , 分别延长 AD、 EF 交于 点 K. 易 知 四 边 形 AB EK 是 一 个 矩
由不等式 ① 得 2c 2c < = 1; a +b+c c+c 2c 2c 4 ≥ = 2 ( 2 - 1) > . a +b+c 5 2c + c 结论获证 . 思考 :借助于图 4, 当
p1 p2
再代入式 ①, 立得 1 < S1 + S2 < 2. 注 :将 ( 1 + x ) ( 1 + y ) 化为
=2 a a b +bc c
2 2
= 2 ( a + b - c) . = 2c . a +b+c
另一方面 ,
1 1 3 +2 2 2 2 ( x + y + 1) ≤ ( 2 + 1) = < 3. 2 2 2
从而 ,
p1 p2
= 1+
2
a b + c c
代入式 ② 得
2 < ( 1 + x ) ( 1 + y ) < 3.
S
设直角三角形的三边为 a、 b、 c, 其中 , c 为斜边 . 则
c < a + b≤ 2 c .
①
式① 的左边是众所周知的 . 下面证明 : a + b≤ 2 c. 注意到 2 2 2 ( a + b) = ( a + b ) + 2 ab 2 2 2 2 ≤(a + b ) + (a + b ) 2 2 2 = 2 ( a + b ) = 2c . 所以 , a + b≤ 2 c. 需要指出的是 , 不等式 a + b ≤ 2 c 在处 理某些几何不等式时 , 往往能发挥不可替代 的作用 . 例 4 如图 4, 在 R t △ABC 的斜边 AB 上取 B P = BC, AQ = AC. 作 PM BC于点 M , QN AC 于点 N, P M 交 QN 于点 G . 记矩 形 G MCN 的 周 长 为 p1 , △PQG的周长为 p2. 求证 :
又 △PBM
2
△AB C, △AQN
2
△AB C,
②
得 BM =
a b , AN = . c c
在 R t△B CH 中 , 有 1 < x + y ≤ 2. 一方面 ,
1 1 2 2 ( x + y + 1 ) > ( 1 + 1 ) = 2; 2 2
则 p1 = 2 ( CM + CN ) = 2 [ ( a - BM ) + ( b - AN ) ]
4 p1 < < 1. 5 p2
图4
=
则
=
a +b+c 1 1 1 = + + . abc bc ca ab
注 :在运算中用到了等量关系式
ab = ( a + b + c) ( a + b - c)
2
.
例 3 在 R t△ABC 中 ,
CA = b, AB = c .若
C = 90° , BC = a,
b, AB = c, 联 结 O E、 AM. 则 OE AC.
1 S △OM N 1 < < . 5 S △AB C 4
图 6
S正方形 DCFK = DC = 1.
2
由图 形 显 示 的条件易知
A EM = CEF = 45 ° .
故 S1 + S2 = ( 1 + x ) ( 1 + y ) - 1. ① 注意到 1 ( 1 + x ) ( 1 + y ) = ( 2 + 2 x + 2 y + 2 xy ) 2 1 2 2 = [ ( x + y + 2 xy ) + 2 ( x + y ) + 1 ] 2
=
1 2
2
1 = . 2
故 S四边形 GM CN = S △PQG. )
3. 在 锐角 △CEF 中 ,
ECF = 45 ° , CD CD 5 < . EF 4 FCB = FCD , 则 △AB C
又易证
S △OMN S △AB C
c = .故 a +b+c
是高 . 求证 : 1 <
=
S △OMN S △OAB S △OAB S △AB C
图 5 形 . 延长 DC 交 B E 于 点 H, 则 CH B E. 2 2 设 B H = x, CH = y. 则 x + y = 1. 易知 S矩形 AB EK = B E・ DH = ( 1 + x ) ( 1 + y ) ,
直线 EF 于点 M 、 N. 证明 : 讲解 :如图 6, 设 B C = a, CA =
1 ( 2 + 2 x + 2 y + 2 xy ) , 2
最后得到
= 5 时 , 你能求 6
1 2 ( x + y + 1 ) , 这种先缩小 2 倍 、 后 2
扩大 2 倍的作法 , 虽然其值不变 , 但表达式却 发生了根本变化 — — — 变成一个完全平方式 . 此时 , 再利用不等式 1 < x + y ≤ 2, 证明就大 功告成了 . 例 6 在 R t △AB C 中 , 圆
( 1 ) ( a + b + c) ( a + b - c) = 2 ab, ( 2 ) ( - a + b + c) ( a - b + c) = 2 ab .