上海市上海中学2016-2017学年高一数学上册专题汇编(实验班)专题2-函数

函数1.同一函数的概念。

构成函数的三要素是定义域，值域和对应法则。

而值域可由定义域和对应法则唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，它们一定为同一函数。

【例1】下列各题中的两个函数是否表示同一函数 (1)2)(,)(t t g x x f ==; (2);,2x y x y ==(3);1,112-=-⋅+=x y x x y （4）;)(,)(33x x g x x f ==(5);2)(,24)(2+=--=x x g x x x f （6）2)(,)2()(2+=+=x x g x x f2.求函数定义域的常用方法（在研究函数问题时要树立定义域优先的原则）： （1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零，对数log a x 中0,0x a >>且1a ≠，三角形中0A π<<, 最大角3π≥，最小角3π≤等。

【例2】（1）函数lg 3y x =-的定义域是（2）若函数2743kx y kx kx +=++的定义域为R ，则k ∈_______（3）设函数2()lg(21)f x ax x =++，①若()f x 的定义域是R ，求实数a 的取值范围 ； ②若()f x 的值域是R ，求实数a 的取值范围 。

（2）复合函数的定义域：①若已知()f x 的定义域为[,]a b ,其复合函数[()]f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤解出即可；②若已知[()]f g x 的定义域为[,]a b ,求()f x 的定义域，相当于当[,]x a b ∈时，求()g x 的值域（即()f x 的定义域）。

【例3】（1）若函数)(x f y =的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21，则)(log 2x f 的定义域为_______（2）若函数2(1)f x +的定义域为[2,1)-，则函数()f x 的定义域为________3.求函数值域（最值）的方法：（1）配方法――二次函数（二次函数在给出区间上的最值有两类： 一是求闭区间[,]m n 上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。

求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意“两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系），【例4】（1）当]2,0(∈x 时，函数3)1(4)(2-++=x a ax x f 在2=x 时取得最大值，则a 的取值范围是_ _（2）()3(24)x bf x x -=≤≤图像过点（2,1），则1212()[()]()F x f x f x --=-值域为____（2）换元法――通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，【例5】（1）22sin 3cos 1y x x =--的值域为__ ___（2）21y x =+的值域为 （3）sin cos sin cos y x x x x =++的值域为（4）4y x =++的值域为____（3）函数有界性法――直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定所求函数的值域，最常用的就是三角函数的有界性，【例6】求函数2sin 11sin y θθ-=+，313xxy =+，2sin 11cos y θθ-=+的值域?（4）单调性法――利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性，【例7】求1(19)y x x x =-<<，229sin 1sin y x x=++，52log x y -=+?（5）数形结合法――函数解析式具有某种几何意义，如两点的距离、直线斜率、等等， 【例8】（1）已知点(,)P x y 在圆221x y +=上，求2yx +及2y x -的取值范围?（2）求函数y =的值域?（3）求函数y =及y =的值域?（6）判别式法――对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分式后，再利用均值不等式：①2by k x =+型，可直接用不等式性质， 【例9】求232y x=+的值域?②2bxy x mx n=++型，先化简，再用均值不等式，【例10】（1）求21xy x =+的值域（2）求函数y =的值域③22x m x n y x mx n''++=++型，通常用判别式法；【例11】已知函数2328log 1mx x ny x ++=+的定义域为R ，值域为[0，2]，求常数,m n 值?④2x m x n y mx n''++=+型，可用判别式法或均值不等式法，【例12】求211x x y x ++=+的值域（7）不等式法――利用基本不等式：,)a b a b R ++≥∈求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。

【例13】设12,,,x a a y 成等差数列，12,,,x b b y 成等比数列，则21221)(b b a a +的取值范围是____________.4.分段函数的概念。

分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数，它是一类较特殊的函数。

在求分段函数的值0()f x 时，一定首先要判断0x 属于定义域的哪个子集，然后再代相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集。

【例14】（1）设函数2(1).(1)()41)x x f x x ⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩，则使得()1f x ≥的自变量x 的取值范围是__________（2）已知1(0)()1(0)x f x x ≥⎧=⎨-<⎩ ，则不等式(2)(2)5x x f x +++≤的解集是________5.求函数解析式的常用方法：（1）待定系数法――已知所求函数的类型（二次函数的表达形式有三种： 一般式：2()f x ax bx c =++；顶点式：2()()f x a x m n =-+； 零点式：12()()()f x a x x x x =--，要会根据已知条件的特点，灵活地选用二次函数的表达形式。

【例15】已知()f x 为二次函数，且 )2()2(--=-x f x f ，且f(0)=1,图像在x 轴上截得的线段长为22,求()f x 的解析式?【一题多解】（2）代换（配凑）法――已知形如(())f g x 的表达式，求()f x 的表达式。

【例16】（1）已知,sin )cos 1(2x x f =- 求()2x f 的解析式（2）若221)1(xx x x f +=-，则函数)1(-x f =_____ （3）若函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当),0(+∞∈x 时，)1()(3x x x f +=，那么当)0,(-∞∈x 时，)(x f =________（3）方程的思想――已知条件是含有()f x 及另外一个函数的等式，可抓住等式的特征对等式的进行赋值，从而得到关于()f x 及另外一个函数的方程组。

【例17】（1）已知()2()32f x f x x +-=-，求()f x 的解析式（2）已知()f x 是奇函数，)(x g 是偶函数，且()f x +)(x g =11-x ,则()f x =__6. 反函数：（1）存在反函数的条件是对于原来函数值域中的任一个y 值，都有唯一的x 值与之对应，故单调函数一定存在反函数，但反之不成立；偶函数只有()0({0})f x x =∈有反函数；周期函数一定不存在反函数。

【例18】函数223y x ax =--在区间[1, 2]上存在反函数的充要条件是( ) A 、(],1a ∈-∞ B 、[)2,a ∈+∞C 、[1,2]a ∈D 、(],1a ∈-∞[)2,+∞（2）求反函数的步骤：【反表示法】①反求x ；②互换 x 、y ；③注明反函数的定义域（原来函数的值域）。

注意函数(1)y f x =+的反函数不是1(1)y f x -=+，而是1()1y f x -=-。

【例19】设)0()1()(2>+=x xx x f .求)(x f 的反函数)(1x f -=（3）反函数的性质：①反函数的定义域是原来函数的值域，反函数的值域是原来函数的定义域。

【例20】单调递增函数)(x f 满足条件)3(+ax f = x ，其中a ≠ 0 ，若)(x f 的反函数)(1x f -的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡a a 4,1 ，则)(x f 的定义域是____________②函数()y f x =的图像与其反函数1()y f x -=的图像关于直线y x =对称，注意函数()y f x =的图像与1()x f y -=的图像相同。

【例21】（1）已知函数()y f x =的图像过点(1,1),那么()4f x -的反函数的图像一定经过点（2）已知函数132)(-+=x x x f ，若函数()y g x =与)1(1+=-x f y 的图像关于直线x y =对称，求(3)g 的值=③1()()f a b fb a -=⇔=。

【例22】（1）已知函数)24(log )(3+=xx f ，则方程4)(1=-x f 的解=x ______ （2）设函数f (x )图像关于点（1,2）对称，存在反函数1()f x -，f (4)＝0，1(4)f -＝____④互为反函数的两个函数具有相同的单调性和奇函数性。

⑤设()f x 的定义域为A ，值域为B ，则有1[()]()f f x x x B -=∈，1[()]f f x x -=()x A ∈，但11[()][()]f f x f f x --≠。

【例23】已知()f x 是R 上的增函数，点()()1,1,1,3A B -在它的图像上，()1f x -是它的反函数，那么不等式()12log 1f x -<的解集为________7.函数的奇偶性。

（1）【定义域优先原则】具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称。

【例24】若函数)(x f 2sin(3)x θ=+，[25,3]x απα∈-为奇函数，其中)2,0(πθ∈，则θα-的值是（2）确定函数奇偶性的常用方法（若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性）：①定义法：【例25】判断函数y =____②利用函数奇偶性定义的等价形式：()()0f x f x ±-=或()1()f x f x -=±（()0f x ≠）。

③图像法：奇函数的图像关于原点对称；偶函数的图像关于y 轴对称。