优化方案(山东专用)高考数学二轮复习小题分层练(五)理
2022版优化方案高考数学(山东专用·理科)二轮复习小题分类练(二) Word版含答案
小题分类练(二) 推理论证类(建议用时：50分钟)1．下列函数为奇函数的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝e xC ．y ＝cos xD ．y ＝e x －e －x2．设a ，b 是实数，则“a ＋b >0”是“ab >0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．(2021·临沂模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π，则函数f (x )的图象( )A ．关于直线x ＝π4对称B ．关于直线x ＝π8对称C ．关于点⎝⎛⎭⎫π4，0对称D ．关于点⎝⎛⎭⎫π8，0对称4．若a >b >0，c <d <0，则肯定有( ) A.a d >b c B.a d <b c C.a c >b d D.a c <b d5．在△ABC 中，若(CA →＋CB →)·AB →＝|AB →|2，则( ) A ．△ABC 是锐角三角形 B ．△ABC 是直角三角形 C ．△ABC 是钝角三角形 D ．△ABC 的外形不能确定6．(2021·济南质量监测)若tan (α＋45°)<0，则下列结论正确的是( ) A ．sin α<0 B ．cos α<0 C ．sin 2α<0 D ．cos 2α<0 7．若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4，满足l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，l 3⊥l 4，则下列结论肯定正确的是( ) A ．l 1⊥l 4 B ．l 1∥l 4C ．l 1与l 4既不垂直也不平行D ．l 1与l 4的位置关系不确定8．已知点P (x 0，y 0)，圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r >0)，直线l ：x 0x ＋y 0y ＝r 2，有以下几个结论：①若点P 在圆O 上，则直线l 与圆O 相切；②若点P 在圆O 外，则直线l 与圆O 相离；③若点P 在圆O 内，则直线l 与圆O 相交；④无论点P 在何处，直线l 与圆O 恒相切，其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．49．(2021·潍坊调研)观看等式：sin 230°＋cos 260°＋sin 30°cos 60°＝34，sin 220°＋cos 250°＋sin 20°cos 50°＝34，sin 215°＋cos 245°＋sin 15°·cos 45°＝34，…，由此得出以下推广命题，不正确的是( )A ．sin 2α＋cos 2β＋sin αcos β＝34B ．sin 2(α－30°)＋cos 2α＋sin(α－30°)cos α＝34C ．sin 2(α－15°)＋cos 2(α＋15°)＋sin(α－15°)cos(α＋15°)＝34D ．sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝3410．给出下列命题：①在区间(0，＋∞)上，函数y ＝x －1，y ＝x 12，y ＝(x －1)2，y ＝x 3中有3个是增函数；②若log m 3＜log n 3＜0，则0＜n ＜m ＜1；③若函数f (x )是奇函数，则f (x －1)的图象关于点A (1，0)对称；④已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －2，x ≤2，log 3（x －1），x ＞2，则方程f (x )＝12有2个实数根，其中正确命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．411．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市．由此可推断乙去过的城市为________．12．数列{a n }满足a 1＝3，a n －a n a n ＋1＝1，A n 表示{a n }的前n 项之积，则A 2 016的值为________． 13．(2021·东营模拟)在同一平面直角坐标系中，函数y ＝g (x )的图象与y ＝e x 的图象关于直线y ＝x 对称．而函数y ＝f (x )的图象与y ＝g (x )的图象关于y 轴对称．若f (m )＝－1，则m 的值是________．14．(2021·安丘模拟)观看下列等式：13＝12，13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，…，依据上述规律，第n 个等式为________．15．△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论中正确的是________．(写出全部正确结论的编号)①a 为单位向量；②b 为单位向量；③a ⊥b ；④b ∥BC →；⑤(4a ＋b )⊥BC →.小题分类练(二) 推理论证类1．解析：选D.对于A ，定义域不关于原点对称，故不符合要求；对于B ，f (－x )≠－f (x )，故不符合要求；对于C ，满足f (－x )＝f (x )，故不符合要求；对于D ，由于 f (－x )＝e －x －e x ＝－(e x －e －x )＝－f (x )，所以 y ＝e x－e －x 为奇函数，故选D.2．解析：选D.特值法：当a ＝10，b ＝－1时，a ＋b ＞0，ab ＜0，故a ＋b ＞0 ab ＞0；当a ＝－2，b ＝－1时，ab ＞0，但a ＋b ＜0，所以ab ＞0 a ＋b ＞0.故“a ＋b ＞0”是“ab ＞0”的既不充分也不必要条件．3．解析：选B.由于f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4的最小正周期为π，所以2πω＝π，ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.当x ＝π4时，2x ＋π4＝3π4，所以A ，C 错误；当x ＝π8时，2x ＋π4＝π2，所以B 正确，D 错误．4．解析：选B.法一：令a ＝3，b ＝2，c ＝－3，d ＝－2， 则a c ＝－1，bd ＝－1，排解选项C ，D ； 又a d ＝－32，b c ＝－23，所以a d <b c， 所以选项A 错误，选项B 正确．故选B.法二：由于c <d <0，所以－c >－d >0，所以1－d >1－c>0.又a >b >0，所以a －d >b －c，所以a d <bc .故选B.5．解析：选B.依题意得，(CA →＋CB →)·(CB →－CA →)＝|AB →|2，即CB →2－CA →2＝|AB →|2，|CB →|2＝|CA →|2＋|AB →|2，CA ⊥AB ，因此△ABC 是直角三角形，故选B.6．解析：选D.由于tan (α＋45°)<0，所以k ·180°－135°<α<k ·180°－45°，所以k ·360°－270°<2α<k ·360°－90°，所以cos 2α<0，故选D.7．解析：选D.如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，记l 1＝DD 1，l 2＝DC ，l 3＝DA ，若l 4＝AA 1，满足l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，l 3⊥l 4，此时l 1∥l 4，可以排解选项A 和C.若l 4＝DC 1，也满足条件，可以排解选项B.故选D.8．解析：选A.依据点到直线的距离公式有d ＝r 2x 20＋y 20.若点P 在圆O 上，则x 20＋y 20＝r 2，d ＝r ，相切；若点P 在圆O 外，则x 20＋y 20>r 2，d <r ，相交；若点P 在圆O 内，则x 20＋y 20<r 2，d >r ，相离，故只有①正确． 9．解析：选A.观看已知等式不难发觉，60°－30°＝50°－20°＝45°－15°＝30°，推广后的命题应具备此关系，但A 中α与β无联系，从而推断错误的命题为A.10．解析：选C.命题①中，在(0，＋∞)上只有y ＝x 12，y ＝x 3为增函数，故①不正确；②中不等式等价于0＞log 3m ＞log 3n ，故0＜n ＜m ＜1，②正确；③中函数y ＝f (x －1)的图象是把y ＝f (x )的图象向右平移一个单位得到的，由于函数y ＝f (x )的图象关于坐标原点对称，故函数y ＝f (x －1)的图象关于点A (1，0)对称，③正确；④中当3x －2＝12时，x ＝2＋log 312＜2，当log 3(x －1)＝12时，x ＝1＋3＞2，故方程f (x )＝12有2个实数根，④正确．11．解析：由题意可推断：甲没去过B 城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A ，C 城市，而乙“没去过C 城市”，说明乙去过城市A ，由此可知，乙去过的城市为A.答案：A12．解析：由a 1＝3，a n －a n a n ＋1＝1，得a n ＋1＝a n －1a n ，所以a 2＝3－13＝23，a 3＝－12，a 4＝3，所以{a n }是以3为周期的周期数列，且a 1a 2a 3＝－1.又2 016＝3×672，所以A 2 016＝(－1)672＝1.答案：113．解析：由题意知g (x )＝ln x ，则f (x )＝ln(－x )，若f (m )＝－1，则ln(－m )＝－1，解得m ＝－1e.答案：－1e14．解析：由第一个等式13＝12，得13＝(1＋0)2；其次个等式13＋23＝32，得13＋23＝(1＋2)2；第三个等式13＋23＋33＝62，得13＋23＋33＝(1＋2＋3)2；第四个等式13＋23＋33＋43＝102，得13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2；由此可猜想第n 个等式为13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝(1＋2＋3＋…＋n )2＝⎣⎡⎦⎤n （n ＋1）22.答案：13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝⎣⎡⎦⎤n （n ＋1）2215．解析：由于 AB →2＝4|a |2＝4，所以 |a |＝1，故①正确；由于 BC →＝AC →－AB →＝(2a ＋b )－2a ＝b ，又△ABC为等边三角形，所以 |BC →|＝|b |＝2，故②错误；由于 b ＝AC →－AB →，所以 a ·b ＝12AB →·(AC →－AB →)＝12×2×2×cos60°－12×2×2＝－1≠0，故③错误；由于 BC →＝b ，故④正确；由于 (AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝AC →2－AB →2＝4－4＝0，所以 (4a ＋b )⊥BC →，故⑤正确．答案：①④⑤。
优化方案山东专用2016年高考数学二轮复习第一部分高考热点追踪五课件理
(2015·南平模拟)已知抛物线 x2＝3y，过原点作斜率为 1
的直线交抛物线于第一象限内一点 P1，又过点 P1作斜率为13的
直线交抛物线于点
P2，再过
P2
作斜率为1的直线交抛物线于 9
点 P3，…，如此继续，一般地，过点 Pn 作斜率为31n的直线交
抛物线于点 Pn＋1，设点 Pn(xn，yn)．令 an＝x2n＋1－x2n－1，求
已知点 P 到两定点 M(－1，0)，N(1，0)的距离之比为 2∶1，点 N 到直线 PM 的距离 NH 为 1，求直线 PN 的方程．
[解]如图，在 Rt△MNH 中，斜边 MN ＝2，直角边 NH＝1，可得∠HMN＝ 30°. 在△PMN 中，由正弦定理，
得 |PM| ＝ |PN| ⇒ sin∠PNM sin∠PMN
证：数列 {an} 是等比数列．
[证明] 因为 P ( n(xn，yn)、Pn＋1 xn＋1，yn＋1)在抛物线上，故 x2n
＝ 3yn，① x2n＋ 1＝ 3yn＋ 1.② 又因为直线 PnPn＋1 的斜率为31n，
即 yn＋ xn＋
11－－xynn＝31n，①、②代入
可得：
13·xxn2n＋＋11－－xx2nn＝31n⇒ xn＋1＋ xn＝3n1－ 1，
y＝ kx－ kt＋ t＋ 1， 联立直线 l 与曲线 C1，得x22－y2＝1
⇒k2－12 x2＋ 2k(1＋t－ kt)x＋ (1＋ t－ kt)2＋ 1＝ 0，
当
k2≠1时，若 直线 2
l
与曲线
C1 有交点，
则 Δ＝4k2(1＋t－kt)2－4k2－12[(1＋t－kt)2＋1]≥0.
化简得 (1＋ t－ kt)2≥ 2k2－ 1，②
优化方案(山东专用)高考数学二轮复习高考热点追踪(五)专题强化精练提能理
【优化方案】（山东专用）2016年高考数学二轮复习 高考热点追踪（五）专题强化精练提能 理1．已知倾斜角为α的直线l 与直线x －2y ＋2＝0平行，则tan 2α的值为( )A.45B.43C.34D.23解析：选B.依题意知tan α＝12，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝11－14＝43. 2．圆C 1：x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0和圆C 2：x 2＋y 2－2by ＋b 2－1＝0内切，若a ，b ∈R ，且ab ≠0，则1a 2＋1b2的最小值为( )A ．4B ．2C ．1D.12解析：选A.因为圆C 1：(x ＋a )2＋y 2＝4与圆C 2：x 2＋(y －b )2＝1内切，所以|C 1C 2|＝a 2＋b2＝2－1＝1，a 2＋b 2＝1，所以1a 2＋1b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1b 2(a 2＋b 2)＝2＋b 2a 2＋a 2b 2≥4，当且仅当a 2＝b 2＝12时取等号，故1a 2＋1b 2的最小值为4.3．直线l 通过两直线7x ＋5y －24＝0和x －y ＝0的交点，且点(5，1)到l 的距离为10，则l 的方程是( ) A ．3x ＋y ＋4＝0 B ．3x －y ＋4＝0 C ．3x －y －4＝0 D ．x －3y －4＝0解析：选C.由⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋5y －24＝0，x －y ＝0，得交点(2，2)，当k ＝0和k 不存在时不符合题意， 故设l 的方程为y －2＝k (x －2)， 即kx －y ＋2－2k ＝0，所以|5k －1＋2－2k |k 2＋（－1）2＝10，解得k ＝3.所以l 的方程为3x －y －4＝0.4．(2015·高考山东卷)一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A ．－53或－35B ．－32或－23C ．－54或－45D ．－43或－34解析：选D.由已知，得点(－2，－3)关于y 轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点(2，－3)．设反射光线所在直线的斜率为k ，则反射光线所在直线的方程为y ＋3＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0.由反射光线与圆相切，则有d＝|－3k －2－2k －3|k 2＋1＝1，解得k ＝－43或k ＝－34，故选D.5．(2015·江西省九江市第一次统考)已知抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，过抛物线上一点M (p ，2p )和抛物线的焦点F 作直线l 交抛物线于另一点N ，则|NF |∶|FM |＝( )A ．1∶ 2B ．1∶ 3C ．1∶2D ．1∶3解析：选C.由题意可知直线l 的方程为y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫p4，－22p ，所以|NF |＝p 4＋p 2＝34p ，|MF |＝p ＋p 2＝32p ，所以|NF |∶|FM |＝1∶2，故选C.6．如图，在△ABC 中，∠CAB ＝∠CBA ＝30°，AC 、BC 边上的高分别为BD 、AE ，则以A 、B 为焦点，且过D 、E 的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为( )A. 3 B ．2 3 C.233D.43解析：选A.先求椭圆的离心率，由题设B (c ，0)，AB ＝2c ，则BD ＝c ，AD ＝3c ，则AD＋BD ＝c ＋3c ＝2a ，则椭圆的离心率e ＝c a ＝21＋3 .再求双曲线的离心率，由AD －BD ＝(3－1)c ＝2a 得双曲线的离心率e ＝c a ＝23－1.所以椭圆与双曲线的离心率的倒数和为 3.故选A.7．(2015·高考重庆卷)若点P (1，2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为________．解析：因为以原点O 为圆心的圆过点P (1，2)，所以圆的方程为x 2＋y 2＝5.因为k OP ＝2，所以切线的斜率k ＝－12.由点斜式可得切线方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0. 答案：x ＋2y －5＝08．已知双曲线C ：x 2n －y 24－n＝1的离心率为3，则C 的渐近线方程为________．解析：由双曲线的方程x 2n －y 24－n＝1知，双曲线的焦点在x 轴上，所以n ＋4－n n＝(3)2＝3，所以n ＝43，所以a 2＝43，b 2＝4－43＝83，从而双曲线的渐近线方程是y ＝±2x .答案：y ＝±2x9．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点A 与焦点F 以及坐标原点O 构成的三角形OAF 的面积为p ，且|AF |＝4，则p ＝________．解析：设A (x ，y )，则由S △OAF ＝12·p 2·|y |＝p ，得|y |＝4，从而x ＝8p，由焦半径公式得8p ＋p2＝4，故p ＝4. 答案：410．(2015·高考湖北卷)如图，已知圆C 与x 轴相切于点T (1，0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B 在A 的上方)，且|AB |＝2.(1)圆C 的标准方程为____________________；(2)圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为________． 解析：(1)取AB 的中点D ，连接CD ，则CD ⊥AB . 由题意|AD |＝|CD |＝1，故|AC |＝|CD |2＋|AD |2＝2，即圆C 的半径为 2.又因为圆C 与x 轴相切于点T (1，0)，所以圆心C 的坐标为(1，2)，故圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2.(2)令(x －1)2＋(y －2)2＝2中的x ＝0，解得y ＝2±1，故B (0，2＋1)．直线BC 的斜率为2＋1－20－1＝－1，故切线的斜率为1，切线方程为y ＝x ＋2＋1.令y ＝0，解得x＝－2－1，故所求截距为－2－1.答案：(1)(x －1)2＋(y －2)2＝2 (2)－2－111．(2015·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C ：y ＝x 24与直线l ：y ＝kx ＋a (a＞0)交于M ，N 两点．(1)当k ＝0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；(2)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由． 解：(1)由题设可得M (2a ，a )，N (－2a ，a )， 或M (－2a ，a )，N (2a ，a )．又y ′＝x 2，故y ＝x 24在x ＝2a 处的导数值为a ，C 在点(2a ，a )处的切线方程为y －a＝a (x －2a )，即ax －y －a ＝0.y ＝x 24在x ＝－2a 处的导数值为－a ，C 在点(－2a ，a )处的切线方程为y －a ＝－a(x ＋2a )，即ax ＋y ＋a ＝0.故所求切线方程为ax －y －a ＝0和ax ＋y ＋a ＝0. (2)存在符合题意的点．证明如下：设P (0，b )为符合题意的点，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2.将y ＝kx ＋a 代入C 的方程，得x 2－4kx －4a ＝0. 故x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4a .从而k 1＋k 2＝y 1－b x 1＋y 2－bx 2＝2kx 1x 2＋（a －b ）（x 1＋x 2）x 1x 2＝k （a ＋b ）a.当b ＝－a 时，有k 1＋k 2＝0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补， 故∠OPM ＝∠OPN ，所以点P (0，－a )符合题意．12．(2015·滨州检测)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线为y ＝3x ，右焦点F 到直线x ＝a 2c 的距离为32.(1)求双曲线C 的方程；(2)斜率为1且在y 轴上的截距大于0的直线l 与双曲线C 相交于B 、D 两点，已知A (1，0)，若DF →·BF →＝1，证明：过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切．解：(1)依题意有b a ＝3，c －a 2c ＝32，因为a 2＋b 2＝c 2，所以c ＝2a 2，所以a ＝1，c ＝2，所以b 2＝3，所以双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1.(2)证明：设直线l 的方程为y ＝x ＋m (m >0)，B (x 1，x 1＋m )，D (x 2，x 2＋m )，BD 的中点为M ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 2－y 23＝1，得2x 2－2mx －m 2－3＝0，所以x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝－m 2＋32，因为DF →·BF →＝1，即(2－x 1)(2－x 2)＋(x 1＋m )(x 2＋m )＝1， 所以m ＝0(舍去)或m ＝2，所以x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－72，M 点的横坐标为x 1＋x 22＝1.因为DA →·BA →＝(1－x 1)(1－x 2)＋(x 1＋2)(x 2＋2)＝5＋2x 1x 2＋x 1＋x 2＝5－7＋2＝0， 所以AD ⊥AB ，所以过A 、B 、D 三点的圆以点M 为圆心，BD 为直径， 因为M 点的横坐标为1， 所以MA ⊥x 轴．因为|MA |＝12|BD |，所以过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切．13．(2015·山西省质量检测) 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的离心率为22，过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与CD .当直线AB 斜率为0时，|AB |＋|CD |＝3 2.(1)求椭圆的方程；(2)求由A ，B ，C ，D 四点构成的四边形的面积的取值范围．解：(1)由题意知，e ＝c a ＝22，则a ＝2c ，b ＝c .所以|AB |＋|CD |＝2a ＋2b2a＝22c ＋2c ＝32，所以c ＝1.所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)①当两条弦中有一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，由题意知S 四边形＝12|AB |·|CD |＝12×22×2＝2.②当两条弦的斜率均存在且不为0时， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝k (x －1)．则直线CD 的方程为y ＝－1k(x －1)．将直线AB 的方程代入椭圆方程中，并整理得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0，所以|AB |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝k 2＋1·2 2 k 2＋11＋2k 2＝22（k 2＋1）1＋2k2. 同理，|CD |＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋11＋2k2＝22（k 2＋1）k 2＋2.所以S 四边形＝12·|AB |·|CD |＝12·22（k 2＋1）1＋2k 2·22（k 2＋1）k 2＋2＝4（k 2＋1）22k 4＋2＋5k2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k 22⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k 2＋1＝2－22⎝⎛⎭⎪⎫k ＋1k2＋1.因为2⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k 2＋1≥2⎝⎛⎭⎪⎫2k ·1k 2＋1＝9，当且仅当k ＝±1时取等号，所以S 四边形∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫169，2. 综合①与②可知，S 四边形∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤169，2.14. 已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1，点F 1、F 2分别为其左、右焦点，点A 为左顶点，直线l 的方程为x ＝4，过点F 2的直线l ′与椭圆交于异于点A 的P 、Q 两点．(1)求AP →·AQ →的取值范围；(2)若AP ∩l ＝M ，AQ ∩l ＝N ，求证：M 、N 两点的纵坐标之积为定值，并求出该定值． 解：(1)①当直线PQ 的斜率不存在时，由F 2(1，0)可知PQ 的方程为x ＝1，代入椭圆C ：x 24＋y 23＝1，得点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，Q ⎝⎛⎭⎪⎫1，－32， 又点A (－2，0)，故AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32，AQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－32，AP →·AQ →＝274.②当直线PQ 的斜率存在时，设PQ 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，代入椭圆C ：x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，得x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k2，y 1y 2＝k 2(x 1－1)(x 2－1)＝k 2(－x 1－x 2＋x 1x 2＋1)＝－9k 23＋4k2，故AP →·AQ →＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋y 1y 2 ＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＋y 1y 2＝27k 23＋4k 2＝273k2＋4∈⎝⎛⎭⎪⎫0，274， 综上，AP →·AQ →的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，274.(2)证明：由(1)知，直线AP 的方程为y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)，与直线l 的方程x ＝4联立，得M ⎝⎛⎭⎪⎫4，6y 1x 1＋2，同理，得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，6y 2x 2＋2， 故M 、N 两点的纵坐标之积y M y N ＝6y 1x 1＋2·6y 2x 2＋2＝36y 1y 2x 1x 2＋2（x 1＋x 2）＋4.①当直线PQ 的斜率不存在时，y M y N ＝36×32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－321×1＋2（1＋1）＋4＝－9；②当直线PQ 的斜率存在时，由(1)可知，y M y N ＝－324k 23＋4k24k 2－123＋4k 2＋16k23＋4k2＋4＝－9.综上所述，M、N两点的纵坐标之积为定值，该定值为－9.。
优化方案(山东专用)高考数学二轮复习小题分类练(五)理
小题分类练(五) 图表信息类(建议用时：50分钟)1．已知x 、y 的取值如下表所示，从散点图分析，y 与x 线性相关，且y ^＝0.83x ＋a ^，则a ^＝( )A.0.8 C ．0.9 D ．0.842．(2015·日照第二次质量预测)已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m 、n 的比值m n＝( )A ．1B.13C.29D.383．(2015·德州模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.13＋2πB.13π6C.7π3D.5π2 4．已知函数y ＝f (x )(－2≤x ≤2)的图象如图所示，则函数y ＝f (|x |)(－2≤x ≤2)的图象是( )5．执行如图所示的程序框图，输出的结果为( )A ．(－2，2)B ．(－4，0)C ．(－4，－4)D ．(0，－8)6．(2015·烟台模拟)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是( )A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 7. 如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是( )A ．{x |－1＜x ≤0}B ．{x |－1≤x ≤1}C ．{x |－1＜x ≤1}D ．{x |－1＜x ≤2}8．若对任意的x ∈R ，y ＝1－a |x |均有意义，则函数y ＝log a ⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x 的大致图象是( )9．某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )A.12万元 C ．17万元D ．18万元10. 函数f (x )＝ax ＋b（x ＋c ）2的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．a >0，b >0，c <0B ．a <0，b >0，c >0C ．a <0，b >0，c <0D ．a <0，b <0，c <0 11．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为________．12．如图，△ABC 及其内部的点组成的集合记为D ，P (x ，y )为D 中任意一点，则z ＝2x ＋3y 的最大值为________．13．如图为函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的部分图象，B 、C 分别为图象的最高点和最低点，若AB →·BC →＝|AB →|2，则ω＝________．14．如图，点A 的坐标为(1，0)，点C 的坐标为(2，4)，函数f (x )＝x 2，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________．15．(2015·东营模拟)如图所示，将正整数排成三角形数阵，每排的数称为一个群，从上到下顺次为第1群，第2群，…，第n 群，…，第n 群恰好有n 个数，则第n 群中n 个数的和是________．小题分类练(五) 图表信息类 1．解析：选B.由题意，x －＝0＋1＋3＋44＝2，y －＝0.9＋1.9＋3.2＋4.44＝2.6，而样本的中心点(x －，y －)必在回归直线上，代入得2.6＝0.83×2＋a ^，从而有a ^＝0.94.2．解析：选D.由茎叶图可知甲的数据为27、30＋m 、39，乙的数据为20＋n 、32、34、38.由此可知乙的中位数是33，所以甲的中位数也是33，所以m ＝3.由此可以得出甲的平均数为33，所以乙的平均数也为33，所以有20＋n ＋32＋34＋384＝33，所以n ＝8，所以m n ＝38，所以选D.3．解析：选B.由三视图可知，该几何体是一个圆柱和半个圆锥组合而成的几何体，其体积为π×12×2＋12×13π×12×1＝136π.4．解析：选B.法一：由题意可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－12x －1，－2≤x ＜0，－（x －1）2＋1，0≤x ≤2，所以y ＝f (|x |)＝⎩⎪⎨⎪⎧－（x ＋1）2＋1，－2≤x ＜0，－（x －1）2＋1，0≤x ≤2，可知选B. 法二：由函数f (x )的图象可知，函数在y 轴右侧的图象在x 轴上方，函数在y 轴左侧的图象在x 轴下方，而y ＝f (|x |)在x ＞0时的图象保持不变，因此排除C 、D ，由于y ＝f (|x |)是偶函数，函数y ＝f (|x |)在y 轴右侧的图象与在y 轴左侧的图象关于y 轴对称，故选B.5．解析：选B.x ＝1，y ＝1，k ＝0，s ＝x －y ＝0，t ＝x ＋y ＝2，x ＝s ＝0，y ＝t ＝2，k ＝1，不满足k ≥3；s ＝x －y ＝－2，t ＝x ＋y ＝2，x ＝－2，y ＝2，k ＝2，不满足k ≥3；s ＝x －y ＝－4，t ＝x ＋y ＝0，x ＝－4，y ＝0，k ＝3，满足k ≥3，输出的结果为(－4，0)．6．解析：选D.根据图象知消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故选项A 错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项B 错；甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故选项C 错；最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项D 对．7．解析：选C.令g (x )＝y ＝log 2(x ＋1)，作出函数g (x )图象如图．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝log 2（x ＋1），得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1. 所以结合图象知不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1＜x ≤1}．8．解析：选B.由题意得1－a |x |≥0，即a |x |≤1＝a 0恒成立，由于|x |≥0，故0＜a ＜1.y ＝log a ⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x ＝－log a |x |是偶函数，且在(0，＋∞)上是单调递增函数，故选B.9．解析：选D.设每天生产甲、乙产品分别为x 吨、y 吨，每天所获利润为z 万元，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，z ＝3x ＋4y ，作出可行域如图阴影部分所示，由图形可知，当直线z ＝3x ＋4y 经过点A (2，3)时，z 取最大值，最大值为3×2＋4×3＝18.10．解析：选C.函数定义域为{x |x ≠－c }，结合图象知－c >0，所以c <0.令x ＝0，得f (0)＝b c2，又由图象知f (0)>0，所以b >0. 令f (x )＝0，得x ＝－b a ，结合图象知－b a>0，所以a <0.故选C.11．解析：该地区中小学生总人数为3 500＋2 000＋4 500＝10 000，则样本容量为10 000×2%＝200，其中抽取的高中生近视人数为2 000×2%×50%＝20.答案：200，2012．解析：把z ＝2x ＋3y 变形为y ＝－23x ＋13z ，通过平移直线y ＝－23x 知，当过点A (2，1)时，z ＝2x ＋3y 取得最大值且z max ＝2×2＋3×1＝7.答案：7 13．解析：由题意可知|BC →|＝2|AB →|，由AB →·BC →＝|AB →|2知－|AB →|·|BC →|·cos ∠ABC ＝|AB →|2，∠ABC＝120°，过B 作BD 垂直于x 轴于D ，则|AD →|＝3，T ＝12，ω＝2πT ＝π6.答案：π614．解析：由题意知，阴影部分的面积S ＝⎠⎛12(4－x 2)d x ＝(4x －13x 3)|21＝53，所以所求概率P ＝S S 矩形ABCD ＝531×4＝512.答案：51215．解析：根据规律观察可得每排的第一个数1，2，4，8，16，…构成以1为首项，以2为公比的等比数列，所以第n 群的第一个数是2n －1，第n 群的第2个数是3×2n －2，…，第n 群的第n －1个数是(2n －3)×21，第n 群的第n 个数是(2n －1)×20，所以第n 群的所有数之和为2n －1＋3×2n －2＋…＋(2n －3)×21＋(2n －1)×20，根据错位相减法求和得其和为3×2n－2n －3.答案：3×2n－2n －3。
高考总复习优化设计二轮用书数学限时练5
分.古希腊数学家帕普斯曾提出以下作法:如图,以∠ACB的顶点C为圆心作
圆交角的两边于A,B两点;取线段AB的三等分点O,D;以B为焦点,A,D为顶点
作双曲线,与圆弧AB交于点E,连接CE,则∠ACB=3∠BCE.若图中CE交AB于
点P, 5=6 ,则cos∠ACP=( C )
2024
高考总复习优化设计
GAO KAO ZONG FU XI YOU HUA SHE JI
限时练5
单项选择题
1.(2023山东济南三模)已知全集U={1,2,3,4,5,6},A={1,2,3},B={3,6},则图中
阴影部分代表的集合为( C )
A.{1,2}
B.{3,4}
C.{4,5}
D.{2,3,5}
6
1
B.
3
1
C.
2
2
D.
3
解析 由题意,设高一年级2名学生为A,B,高二年级2名学生为C,D,从这4名
学生中随机选2名组织校文艺汇演有AB,AC,AD,BC,BD,CD,共6种,这2名学
4
生来自不同年级的组合有AC,AD,BC,BD,共4种,故所求的概率 P=6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
故 C 错误;
由(x-1)6=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+a3(x+1)3+…+a6(x+1)6两边求导,
得6(x-1)5=a1+2a2(x+1)+3a3(x+1)2+…+6a6(x+1)5,令x=0,则
2022版优化方案高考数学(山东专用·理科)二轮复习小题分层练(一) Word版含答案
小题分层练小题分层练(一) 本科闯关练(1)(建议用时：50分钟)1．若z ＝1－2ii(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数是( )A ．－2－iB ．2－iC ．2＋iD ．－2＋i2．已知集合M ＝{x |x 2－2x －3＜0}，N ＝{x |x ＞a }，若M ⊆N ，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(－∞，－1)C ．[3，＋∞)D ．(3，＋∞) 3．(2021·日照第一次质量猜测)命题p ：“a ＝－2”是命题q ：“直线ax ＋3y －1＝0与直线6x ＋4y －3＝0垂直”成立的( )A ．充要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．既非充分也非必要条件4．类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线相互平行”的性质，可得出空间内的下列结论：①垂直于同一个平面的两条直线相互平行；②垂直于同一条直线的两条直线相互平行；③垂直于同一个平面的两个平面相互平行；④垂直于同一条直线的两个平面相互平行．则正确的结论是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④5．执行如图所示的程序框图，输出的k 值为( )A ．7B ．9C ．11D ．136．已知⎝⎛⎭⎫x －a x 8开放式中常数项为1 120，其中a 是常数，则开放式中各项系数的和是( )A ．28B ．38C ．1或38D ．1或28 7．已知各项不为0的等差数列{a n }满足2a 2－a 27＋2a 12＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 3b 11等于( )A ．16B ．8C ．4D ．28．(2021·潍坊模拟)若函数y ＝sin ωx ＋3cos ωx 的图象关于直线x ＝－π6对称，则ω的最小正值为( )A ．3B ．4C ．5D ．69．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，以F 1F 2为直径的圆与双曲线的一个交点是P ，且△F 1PF 2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是( )A. 2B. 3C ．2D ．5 10．已知点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x －y ＋1≥0，2x ＋y －4≤0内的动点，则(x ＋1)2＋(y ＋1)2的最大值是( )A ．10B.495C.13 D ．13 11．(2021·泰安模拟)100名同学某次数学测试成果(单位：分)的频率分布直方图如图所示，则测试成果落在[60，80)中的同学人数是________．12．函数f (x )＝1－（lg x ）2＋3lg x －2的定义域是________．13．已知函数f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠1}，对定义域中任意的x ，都有f (2－x )＝f (x )，且当x <1时，f (x )＝2x 2－x .那么当x >1时，f (x )的递增区间是________．14．(2021·聊城模拟)某圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是中心角为π3的扇形，则该几何体的体积为________．15．设a ，b ，c 是单位向量，且a ·b ＝0，则(a ＋c )·(b ＋c )的最大值为________．小题分层练小题分层练(一) 本科闯关练(1)1．解析：选D.z ＝1－2i i＝－2－i ，故z －＝－2＋i.2．解析：选A.M ＝{x |x 2－2x －3＜0}＝{x |－1＜x ＜3}，又M ⊆N ，故a ≤－1.3．解析：选A.直线ax ＋3y －1＝0与直线6x ＋4y －3＝0垂直的充要条件是6a ＋12＝0，即a ＝－2，因此选A.4．解析：选D.明显①④正确；对于②，在空间中垂直于同一条直线的两条直线可以平行，也可以异面或相交；对于③，在空间中垂直于同一个平面的两个平面可以平行，也可以相交．5．解析：选C.程序运行的过程：S ＝0，k ＝1，不满足条件S ＜－1，S ＝lg 13，k ＝3；不满足条件S ＜－1，S ＝lg 13＋lg 35＝lg 15，k ＝5；不满足条件S ＜－1，S ＝lg 15＋lg 57＝lg 17，k ＝7；不满足条件S ＜－1，S ＝lg 17＋lg 79＝lg 19，k ＝9；不满足条件S ＜－1，S ＝lg 19＋lg 911＝lg 111，k ＝11；满足条件S ＜－1，退出循环，输出k 的值为11.6．解析：选C.由题意知C 48·(－a )4＝1 120，解得a ＝±2，令x ＝1，得开放式中各项系数的和为(1－a )8＝1或38.7．解析：选A.由于2a 2－a 27＋2a 12＝0，且a 2＋a 12＝2a 7，a n ≠0，所以a 7＝4，所以b 7＝4.故b 3b 11＝b 27＝16.8．解析：选C.由题意得y ＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3，由sin ⎝⎛⎭⎫－π6ω＋π3＝±1知，－π6ω＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，解得ω＝－6k －1，当k ＝－1时ω的最小正值为5.故选C. 9．解析：选D.不妨设点P 在靠近F 2的一支上，则|PF 2|，|PF 1|，|F 1F 2|成等差数列，设|PF 2|＝n ，|PF 1|＝m ，则⎩⎪⎨⎪⎧2m ＝n ＋2c ，①m 2＋n 2＝4c 2，②m －n ＝2a ，③由①③可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2（c －a ），n ＝2（c －2a ），将其代入②可得5a 2－6ac ＋c 2＝0，即e 2－6e ＋5＝0，得e ＝5.10．解析：选D.不等式组对应的平面区域是四边形区域，(x ＋1)2＋(y ＋1)2的几何意义是点(x ，y )到点(－1，－1)的距离的平方，由图可知，当点(x ，y )为点(1，2)时，(x ＋1)2＋(y ＋1)2取得最大值13，故选D.11．解析：依据频率分布直方图中各组频率之和为1，得10(2a ＋3a ＋7a ＋6a ＋2a )＝1，解得a ＝1200，所以测试成果落在[60，80)中的频率是10(3a ＋7a )＝100a ＝100×1200＝12，故对应的同学人数为100×12＝50.答案：5012．解析：要使函数有意义需满足－(lg x )2＋3lg x －2＞0，即(lg x )2－3lg x ＋2＜0，解得1＜lg x ＜2，故10＜x ＜100，因此函数的定义域为(10，100)．答案：(10，100)13．解析：由f (2－x )＝f (x )，得函数图象关于直线x ＝1对称，当x <1时，递减区间是⎝⎛⎦⎤－∞，14，由对称性得f (x )的递增区间是⎣⎡⎭⎫74，＋∞. 答案：⎣⎡⎭⎫74，＋∞ 14．解析：由三视图知，几何体为圆柱的一部分，且圆柱的高为3，底面圆的半径为2，底面扇形的中心角为π3，所以几何体的体积V ＝16π×22×3＝2π.答案：2π15．解析：(a ＋c )·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c ＋b ·c ＋c 2＝(a ＋b )·c ＋1＝|a ＋b |·|c |cos θ＋1＝2cos θ＋1，其中θ为向量a ＋b 与c 的夹角，易知当cos θ＝1时，(a ＋c )·(b ＋c )取得最大值1＋ 2.答案：1＋ 2。
2022版优化方案高考数学(山东专用·理科)二轮复习小题专题练(一) Word版含答案
小题限时专练 小题专题练小题专题练(一) 集合、常用规律用语、不等式、函数与导数(建议用时：50分钟)1．命题“∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是( ) A ．∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1 B ．∀x ∉(0，＋∞)，ln x ＝x －1 C ．∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0≠x 0－1 D ．∃x 0∉(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1 2．(2021·济南二模)集合A ＝{x |x －2<0}，B ＝{x |x <a }，若A ∩B ＝A ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2] B ．[－2，＋∞) C ．(－∞，2] D ．[2，＋∞)3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A ．y ＝1＋x 2B ．y ＝x ＋1xC ．y ＝2x ＋12x D ．y ＝x ＋e x4．(2021·河北省五校联盟质量监测)若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ＞0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0， f (f (1))＝1，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．－1D ．－2 5．(2021·临沂调研)若不等式⎪⎪⎪⎪x ＋1x >|a －2|＋1对于一切非零实数x 均成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．1<a <3 B ．a >1 C ．a <3 D ．a <16．若直线x a ＋yb＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1，1)，则a ＋b 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．57．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为( )8．(2021·泰安统考)已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x ≥0，y ≥m 表示的平面区域的面积为2，则x ＋y ＋2x ＋1的最小值为( )A.32B.43 C ．2 D ．49．若函数y ＝f(x)(x ∈R )满足f (x ＋2)＝f (x )，且x ∈[－1，1]时，f (x )＝|x |，则函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝log 3|x |的图象的交点的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．510．设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ，其中a ＜1，若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)＜0，则a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫－32e ，1B.⎣⎡⎭⎫－32e ，34C.⎣⎡⎭⎫32e ，34D.⎣⎡⎭⎫32e ，1 11．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2（2－x ），x <1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝________．12．已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1，4)，则a ＝________．13．已知命题p ：不等式xx －1<0的解集为{x |0<x <1}；命题q ：在△ABC 中，“A >B ”是“sin A >sin B ”成立的必要不充分条件．有下列四个结论：①p 真q 假；②“p ∧q ”为真；③“p ∨q ”为真；④p 假q 真，其中正确结论的序号是________．(请把正确结论的序号都填上)14．(2021·济宁模拟)如图为函数f (x )的图象，f ′(x )为函数f (x )的导函数，则不等式xf ′(x )<0的解集为________．15．若函数f (x )＝2|x －a |(a ∈R )满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (x )在[m ，＋∞)上单调递增，则实数m 的最小值等于________．小题限时专练 小题专题练小题专题练(一) 集合、常用规律用语、不等式、函数与导数1．解析：选A.转变原命题中的三个地方即可得其否定，∃改为∀，x 0改为x ，否定结论，即ln x ≠x －1，故选A.2．解析：选D.由题意，得A ＝{x |x <2}．又由于A ∩B ＝A ，所以a ≥2，故选D.3．解析：选D.A 选项定义域为R ，由于f (－x )＝1＋（－x ）2＝1＋x 2＝f (x )，所以是偶函数．B 选项定义域为{x |x ≠0}，由于f (－x )＝－x －1x ＝－f (x )，所以是奇函数．C 选项定义域为R ，由于f (－x )＝2－x ＋12－x ＝12x ＋2x＝f (x )，所以是偶函数．D 选项定义域为R ，由于f (－x )＝－x ＋e －x ＝1ex －x ，所以是非奇非偶函数． 4．解析：选A.由于f (1)＝1g 1＝0，f (0)＝∫a 03t 2d t ＝t 3|a 0＝a 3，所以由f (f (1))＝1得：a 3＝1，a ＝1，故选A.5．解析：选A.由于⎪⎪⎪⎪x ＋1x ≥2，所以|a －2|＋1<2，即|a －2|<1，解得1<a <3. 6．解析：选C.将(1，1)代入直线x a ＋y b ＝1，得1a ＋1b＝1，a ＞0，b ＞0，故a ＋b ＝(a ＋b )(1a ＋1b )＝2＋b a ＋ab≥2＋2＝4，当且仅当a ＝b 时取到等号，故选C.7．解析：选D.函数f (x )＝(x －1x)cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)为奇函数，排解选项A ，B ；当x ＝π时，f (x )＝(π－1π)cos π＝1π－π＜0，排解选项C ，故选D.8. 解析：选B.画出不等式组所表示的区域，由区域面积为2，可得m ＝0.而x ＋y ＋2x ＋1＝1＋y ＋1x ＋1，y ＋1x ＋1表示可行域内任意一点与点(－1，－1)连线的斜率，所以y ＋1x ＋1的最小值为0－（－1）2－（－1）＝13，所以x ＋y ＋2x ＋1的最小值为43.9．解析：选C.由题设可知函数y ＝f (x )(x ∈R )是周期为2的函数，结合x ∈[－1，1]时，f (x )＝|x |，可画出函数y ＝f (x )在整个定义域R 上的图象，同时在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝log 3|x |的图象，观看可知两函数的图象一共有4个交点．10．解析：选D.由于 f (0)＝－1＋a ＜0， 所以 x 0＝0.又由于 x 0＝0是唯一的使f (x )<0的整数，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）≥0，f （1）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧e －1[2×（－1）－1]＋a ＋a ≥0，e （2×1－1）－a ＋a ≥0， 解得a ≥32e.又由于 a ＜1，所以 32e ≤a ＜1，经检验a ＝34，符合题意．故选D.11．解析：由于 －2<1，所以 f (－2)＝1＋log 2(2＋2)＝1＋log 24＝1＋2＝3.由于 log 212>1，所以 f (log 212)＝2log 212－1＝122＝6.所以 f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9. 答案：912．解析：由于 f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1，4)， 所以 4＝a ×(－1)3－2×(－1)，解得a ＝－2. 答案：－213．解析：解不等式知，命题p 是真命题，在△ABC 中，“A >B ”是“sin A >sin B ”的充要条件，所以命题q 是假命题，所以①正确，②错误，③正确，④错误．答案：①③14．解析：由题意可知，f ′(x )>0的区间为(－3，－1)，(1，＋∞)，f ′(x )<0的区间为(－∞，－3)，(－1，1)，不等式xf ′(x )<0等价于⎩⎪⎨⎪⎧x <0，f ′（x ）>0或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，f ′（x ）<0，故不等式xf ′(x )<0的解集为(－3，－1)∪(0，1)．答案：(－3，－1)∪(0，1)15．解析：由于f (x )＝2|x －a |，所以f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．又由f (1＋x )＝f (1－x )，知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，故a ＝1，且f (x )的增区间是[1，＋∞)，由函数f (x )在[m ，＋∞)上单调递增，知[m ，＋∞)⊆[1，＋∞)，所以m ≥1，故m 的最小值为1.答案：1。
优化方案(山东专用)高考数学二轮复习 第一部分专题一
第一部分专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数 第1讲 集合与常用逻辑用语专题强化精练提能 理[A 卷]1．(2015·高考天津卷)已知全集U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A ＝{2，3，5，6}，集合B ＝{1，3，4，6，7}，则集合A ∩∁U B ＝( )A ．{2，5}B ．{3，6}C ．{2，5，6}D ．{2，3，5，6，8}解析：选A.由题意得∁U B ＝{2，5，8}，所以A ∩∁U B ＝{2，3，5，6}∩{2，5，8}＝{2，5}．2．已知命题p ：∃x 0>0，log 2x 0＝1，则¬p 是( ) A ．∀x >0，log 2x ≠1 B ．∀x ≤0，log 2x ≠1 C ．∃x 0>0，log 2x 0≠1 D ．∃x 0≤0，log 2x 0≠1解析：选A.由p ：∃x 0>0，log 2x 0＝1推出¬p ：∀x >0，log 2x ≠1.3．设P ＝{y |y ＝－x 2＋1，x ∈R }，Q ＝{y |y ＝2x，x ∈R }，则( ) A ．P ⊆Q B ．Q ⊆P C ．∁R P ⊆Q D ．Q ⊆∁R P解析：选C.因为P ＝{y |y ＝－x 2＋1，x ∈R }＝{y |y ≤1}，Q ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }＝{y |y >0}，所以∁R P ＝{y |y >1}，所以∁R P ⊆Q ，选C.4．(2015·济南市第一次模拟)命题p ：若sin x >sin y ，则x >y ；命题q ：x 2＋y 2≥2xy .下列命题为假命题的是( )A ．p 或qB ．p 且qC ．qD ．¬p解析：选B.取x ＝π3，y ＝5π6，可知命题p 不正确；由(x －y )2≥0恒成立，可知命题q正确，故¬p 为真命题，p 或q 是真命题，p 且q 是假命题，故选B.5．(2015·高考北京卷)设a ，b 是非零向量，“a ·b ＝|a ||b |”是“a ∥b ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.因为a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉，所以当a ·b ＝|a ||b |时，有cos 〈a ，b 〉＝1，即〈a ，b 〉＝0°，此时a ，b 同向，所以a ∥b .反过来，当a ∥b 时，若a ，b 反向，则〈a ，b 〉＝180°，a ·b ＝－|a ||b |；若a ，b 同向，则〈a ，b 〉＝0°，a ·b ＝|a ||b |，故“a ·b ＝|a ||b |”是“a ∥b ”的充分而不必要条件．6．下列命题中，是真命题的是( )A ．存在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，使sin x ＋cos x ＞ 2B ．存在x ∈(3，＋∞)，使2x ＋1≥x 2C ．存在x ∈R ，使x 2＝x －1D ．对任意x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，使sin x ＜x解析：选D.A 中，因为sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤2， 所以A 错误；B 中，2x ＋1≥x 2的解集为[1－2，1＋2]，故B 错误；C 中，Δ＝(－1)2－4＝－3＜0，所以x 2＝x －1的解集为∅，故C 错误；D 正确，且有一般结论，对任意x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，均有sin x ＜x ＜tan x 成立，故选D.7．设函数f (x )＝lg(1－x 2)，集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}，则图中阴影部分表示的集合为( )A ．[－1，0]B ．(－1，0)C ．(－∞，－1)∪[0，1)D ．(－∞，－1]∪(0，1)解析：选D.因为A ＝{x |y ＝f (x )}＝{x |1－x 2>0}＝{x |－1<x <1}，∁R A ＝(－∞，－1]∪[1，＋∞)．则u ＝1－x 2∈(0，1]，所以B ＝{y |y ＝f (x )}＝{y |y ≤0}，∁R B ＝(0，＋∞)， 所以题图阴影部分表示的集合为 (A ∩∁R B )∪(B ∩∁R A )＝(0，1)∪(－∞，－1]．故选D.8．(2015·南昌市调研测试卷)下列说法正确的是( )A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题是“若x 2＝1，则x ≠1”B ．“x ＝－1”是“x 2－x －2＝0”的必要不充分条件C ．命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题是真命题D ．“tan x ＝1”是“x ＝π4”的充分不必要条件解析：选C.由原命题与否命题的关系知，原命题的否命题是“若x 2≠1，则x ≠1”，即A 不正确．因为x 2－x －2＝0⇔x ＝－1或x ＝2，所以由“x ＝－1”能推出“x 2－x －2＝0”，反之，由“x 2－x －2＝0”推不出“x ＝－1”，所以“x ＝－1”是“x 2－x －2＝0”的充分不必要条件，即B 不正确．因为由x ＝y 能推得sin x ＝sin y ，即原命题是真命题，所以它的逆否命题是真命题．由tan x ＝1推不出x ＝π4，而由x ＝π4可推出tan x ＝1，则“tan x ＝1”是“x ＝π4”的必要不充分条件，即D 不正确．9．设命题甲：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，命题乙：对数函数y ＝log (4－2a )x 在(0，＋∞)上单调递减，那么甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.因为关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，所以Δ＝(2a )2－4×4<0，解得－2<a <2；因为y ＝log (4－2a )x 在(0，＋∞)上单调递减，所以0<4－2a <1，解得32<a <2，易知甲是乙的必要不充分条件，故选B. 10．已知集合A ＝{x |1≤x <5}，C ＝{x |－a <x ≤a ＋3}．若C ∩A ＝C ，则a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－32，－1B.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－32 C.(]－∞，－1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，＋∞ 解析：选C.因为C ∩A ＝C ，所以C ⊆A .①当C ＝∅时，满足C ⊆A ，此时－a ≥a ＋3，得a ≤－32；②当C ≠∅时，要使C ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧－a <a ＋3，－a ≥1，a ＋3<5，解得－32<a ≤－1.由①②得a ≤－1. 11．命题“存在x 0∈R ，使得|x 0－1|－|x 0＋1|>3”的否定是________________________________________________________________________．解析：命题“存在x 0∈R ，使得|x 0－1|－|x 0＋1|>3”的否定是“对任意的x ∈R ，都有|x －1|－|x ＋1|≤3”．答案：对任意的x ∈R ，都有|x －1|－|x ＋1|≤312．已知集合A ＝{x ，x ＋y ，xy }，B ＝{0，|x |，y }，且A ＝B ，则x －y 的值为________． 解析：已知A ＝B ，即{x ，x ＋y ，xy }＝{0，|x |，y }，根据集合中元素互异性可知x ≠0且y ≠0，所以x ＋y ＝0，即y ＝－x .此时A ＝{0，x ，－x 2}＝B ＝{0，|x |，－x }，即－x 2＝－x .又由x ≠0知x ＝1，则y ＝－1，所以x －y ＝2.答案：213．已知集合A ＝{x |x 2－2x －8≤0}，B ＝{x |x 2－(2m －3)x ＋m (m －3)≤0，m ∈R }，若A ∩B ＝[2，4]，则实数m ＝________.解析：由题意知A ＝[－2，4]，B ＝[m －3，m ]，因为A ∩B ＝[2，4]，故⎩⎪⎨⎪⎧m －3＝2，m ≥4，则m＝5.答案：5 14．若命题p ：曲线x 2a －2－y 26－a＝1为双曲线，命题q ：函数f (x )＝(4－a )x在R 上是增函数，且p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则实数a 的取值范围是________．解析：当p 为真命题时，(a －2)(6－a )>0， 解之得2<a <6.当q 为真命题时，4－a >1，即a <3.由p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，知p ，q 一真一假． 当p 真q 假时，3≤a <6；当p 假q 真时，a ≤2. 因此实数a 的取值范围是(－∞，2]∪[3，6)． 答案：(－∞，2]∪[3，6)15．(2015·济宁模拟)设集合A ＝{－1，0，1}，集合B ＝{0，1，2，3}，定义A *B ＝{(x ，y )|x ∈A ∩B ，y ∈A ∪B }，则A *B 中元素的个数是________．解析：因为A ＝{－1，0，1}，B ＝{0，1，2，3}，所以A ∩B ＝{0，1}，A ∪B ＝{－1，0，1，2，3}．因为x ∈A ∩B ，所以x 可取0，1；因为y ∈A ∪B ，所以y 可取－1，0，1，2，3.答案：10[B 卷]1．设集合A ＝{－1，0，2}，集合B ＝{－x |x ∈A 且2－x ∉A }，则B ＝( ) A ．{1} B ．{－2} C ．{－1，－2} D ．{－1，0}解析：选A.当x ＝－1时，2－x ＝3∉A ，此时－x ＝1∈B ， 当x ＝0时，2－0＝2∈A ， 当x ＝2时，2－2＝0∈A ， 所以B ＝{1}．2．(2015·洛阳市统考)已知集合A ＝{1，m 2＋1}，B ＝{2，4}，则“m ＝3”是“A ∩B ＝{4}”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.A ∩B ＝{4}⇒m 2＋1＝4⇒m ＝±3，故“m ＝3”是“A ∩B ＝{4}”的充分不必要条件．3．命题“若α＝π6，则sin α＝12”的逆否命题是( )A ．若α≠π6，则sin α≠12B ．若α＝π6，则sin α≠12C ．若sin α≠12，则α≠π6D ．若sin α≠12，则α＝π6解析：选C.以否定的条件作结论，否定的结论作条件得出的命题为逆否命题，即“若α＝π6，则sin α＝12”的逆否命题是“若sin α≠12，则α≠π6”．4．设非空集合A ，B 满足A ⊆B ，则以下表述正确的是( ) A ．∃x 0∈A ，x 0∈B B ．∀x ∈A ，x ∈B C ．∃x 0∈B ，x 0∉A D ．∀x ∈B ，x ∈A解析：选B.根据集合的关系以及全称、特称命题的含义可得B 正确．5．已知非空集合A ，B ，全集U ＝A ∪B ，集合M ＝A ∩B ，集合N ＝(∁U B )∪(∁U A )，则( ) A ．M ∪N ＝M B ．M ∩N ＝∅ C ．M ＝N D ．M ⊆N解析：选B.作出满足题意的Venn 图，如图所示，容易知道M ∩N ＝∅.6．(2015·唐山市第一次模拟)命题p ：∃x ∈N ，x 3<x 2；命题q ：∀a ∈(0，1)∪(1，＋∞)，函数f (x )＝log a (x －1)的图象过点(2，0)，则( )A ．p 假q 真B ．p 真q 假C ．p 假q 假D ．p 真q 真解析：选A.因为x 3<x 2，所以x 2(x －1)<0，所以x <0或0<x <1，在这个范围内没有自然数，命题p 为假命题．因为f (x )的图象过点(2，0)，所以log a 1＝0，对∀a ∈(0，1)∪(1，＋∞)的值均成立，命题q 为真命题．7．(2015·山东省考前质量检测)给定下列三个命题： p 1：函数y ＝a x ＋x (a >0，且a ≠1)在R 上为增函数； p 2：∃a ，b ∈R ，a 2－ab ＋b 2<0；p 3：cos α＝cos β成立的一个充分不必要条件是α＝2k π＋β(k ∈Z )． 则下列命题中的真命题为( ) A ．p 1∨p 2 B ．p 2∧p 3 C ．p 1∨(¬p 3) D ．(¬p 2)∧p 3解析：选D.对于p 1：令y ＝f (x )，当a ＝12时，f (0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120＋0＝1，f (－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1－1＝1，所以p 1为假命题；对于p 2：a 2－ab ＋b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b 2＋34b 2≥0，所以p 2为假命题；对于p 3：由cos α＝cos β，可得α＝2k π±β(k ∈Z )，所以p 3是真命题，所以(¬p 2)∧p 3为真命题，故选D.8．(2015·南昌市调研测试卷)下列说法错误的是( )A ．命题“若x 2－5x ＋6≠0，则x ≠2”的逆否命题是“若x ＝2，则x 2－5x ＋6＝0”B ．若命题p ：存在x 0∈R ，x 20＋x 0＋1<0，则¬p ：对任意x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0C ．若x ，y ∈R ，则“x ＝y ”是“xy ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22”的充要条件 D ．已知命题p 和q ，若“p 或q ”为假命题，则命题p 与q 中必一真一假解析：选D.由原命题与逆否命题的关系知A 正确；由特称命题的否定知B 正确；由xy ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22⇔4xy ≥(x ＋y )2⇔4xy ≥x 2＋y 2＋2xy ⇔(x －y )2≤0⇔x ＝y 知C 正确；对于D ，命题p 或q 为假命题，则命题p 与q 均为假命题，所以D 不正确．9. 如图所示的程序框图，已知集合A ＝{x |x 是程序框图中输出的x 的值}，集合B ＝{y |y 是程序框图中输出的y 的值}，全集U ＝Z ，Z 为整数集．当输入的x ＝－1时，(∁U A )∩B 等于( )A ．{－3，－1，5}B ．{－3，－1，5，7}C ．{－3，－1，7}D ．{－3，－1，7，9}解析：选D.根据程序框图所表示的算法，框图中输出的x 值依次为0，1，2，3，4，5，6；y 值依次为－3，－1，1，3，5，7，9.于是A ＝{0，1，2，3，4，5，6}，B ＝{－3，－1，1，3，5，7，9}，因此(∁U A )∩B ＝{－3，－1，7，9}．10．已知“命题p ：(x －m )2>3(x －m )”是“命题q ：x 2＋3x －4<0”成立的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－7]B ．[1，＋∞)C ．[－7，1]D ．(－∞，－7]∪[1，＋∞)解析：选D.记P ＝{x |(x －m )2>3(x －m )}＝{x |(x －m )(x －m －3)>0}＝{x |x <m 或x >m ＋3}，Q ＝{x |x 2＋3x －4<0}＝{x |(x ＋4)(x －1)<0}＝{x |－4<x <1}，p 是q 成立的必要不充分条件，即等价于Q P .所以m ＋3≤－4或m ≥1，解得m ≤－7或m ≥1.故选D.11．某个含有三个实数的集合既可表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫b ，b a，0，也可表示为{a ，a ＋b ，1}，则a2 015＋b2 015＝________.解析：由题意得a ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，ba＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1，所以a2 015＋b2 015＝0.答案：012．设命题p ：∀a >0，a ≠1，函数f (x )＝a x－x －a 有零点，则¬p ：________________.解析：全称命题的否定为特称命题，¬p ：∃a 0>0，a 0≠1，函数f (x )＝a x0－x －a 0没有零点．答案：∃a 0>0，a 0≠1，函数f (x )＝a x0－x －a 0没有零点13．已知命题p ：∃x 0∈R ，ax 20＋x 0＋12≤0.若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是________．解析：因为命题p 是假命题，所以¬p 为真命题，即∀x ∈R ，ax 2＋x ＋12>0恒成立．当a＝0时，x >－12，不满足题意；当a ≠0时，要使不等式恒成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1－4×12×a <0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a >12，所以a >12，即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 14．(2015·烟台模拟)函数f (x )＝x 2＋2x ，集合A ＝{(x ，y )|f (x )＋f (y )≤2}，B ＝{(x ，y )|f (x )≤f (y )}，则由A ∩B 的元素构成的图形的面积是________．解析：集合A ＝{(x ，y )|x 2＋2x ＋y 2＋2y ≤2}，可得(x ＋1)2＋(y ＋1)2≤4，集合B ＝{(x ，y )|x 2＋2x ≤y 2＋2y }，可得(x －y )·(x ＋y ＋2)≤0.在平面直角坐标系上画出A ，B 表示的图形可知A ∩B 的元素构成的图形的面积为2π.答案：2π15．设命题p ：已知非零向量a ，b ，“|a |＝|b |”是“(a ＋b )⊥(a －b )”的充要条件；命题q ：平面上M 为一动点，A ，B ，C 三点共线的充要条件是存在角α，使MA →＝sin 2αMB →＋cos 2αMC →，下列命题①p ∧q ；②p ∨q ；③(¬p )∧q ；④(¬p )∨q .其中假命题的序号是________．(将所有假命题的序号都填上)解析：(a ＋b )⊥(a －b )⇔(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝|a |2－|b |2＝0⇔|a |＝|b |，故p 是真命题．若A ，B ，C 三点共线，则存在x ，y ∈R ，使MA →＝xMB →＋yMC →(x ＋y ＝1)； 若MA →＝sin 2αMB →＋cos 2αMC →，则A ，B ，C 三点共线． 故q 是假命题．故p ∧q ，(¬p )∧q ，(¬p )∨q 为假命题． 答案：①③④。
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小题分层练(五) “985”跨栏练(1)(建议用时：50分钟)1．在△ABC 中，D 为BC 的中点，O 在AD 上且AO ＝14AD ，AB ＝2，AC ＝6，则BC →·AO →＝( )A ．2B ．5 C.92D ．42．在如图所示的程序框图中，若f 0(x )＝x e x，则输出的结果是( )A ．2 016e x ＋x e xB ．2 015e x ＋x e xC ．2 014e x ＋x e xD ．2 013e x ＋x e x3．(2015·枣庄模拟)函数f (x )＝x 3－3e的大致图象是( )4．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )A.81π4B ．16πC ．9π D.27π45．已知点P 是椭圆x 225＋y 29＝1上的动点，且与椭圆的四个顶点不重合，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，O 为坐标原点，若点M 是∠F 1PF 2的平分线上的一点，且F 1M ⊥MP ，则|OM |的取值范围是( )A ．(0，4)B ．(0，4]C ．(2，4)D ．(2，4]6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若9S 5＋5S 9＝90，则S 7＝( ) A ．7 B ．14 C ．21 D ．22 7．若不等式|2x －1|≥|1＋a |－|2－a |对任意的实数a 恒成立，则x 的取值范围为( ) A ．(－∞，0]∪[1，＋∞) B ．[0，1] C ．(－∞，－1]∪[2，＋∞) D ．[－1，2]8．(2015·济宁模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过F 作斜率为－1的直线交双曲线的渐近线于点P ，点P 在第一象限，O 为坐标原点，若△OFP 的面积为a 2＋b 28，则该双曲线的离心率为( ) A.53 B.73 C.103D.1539．若函数y ＝2x的图象上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为( )A ．2B.32 C ．1 D.1210．已知函数f (x )满足：对于任意的x 1，x 2∈R ，都有f (x 1＋x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)－2 015，且当x >0时，有f (x )<2 015.若f (x )在[－2 015，2 015]上的最大值、最小值分别为M 、N ，则M ＋N 的值为( )A ．2 014B ．2 015C ．4 028D ．4 03011．已知集合M ＝{1，2，3，…，100}，A 是集合M 的非空子集，把集合A 中的各元素之和记作S (A )．(1)满足S (A )＝8的集合A 的个数为________； (2)S (A )的所有不同取值的个数为________．12．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋2≥0，x ＋ay ＋2≤0表示的平面区域为Ω1，不等式x 2＋y 2≤1表示的平面区域为Ω2.(1)若Ω1与Ω2有且只有一个公共点，则a ＝________；(2)记S (a )为Ω1与Ω2公共部分的面积，则函数S (a )的取值范围是________．13．已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t ，|AC →|＝t .若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP →＝AB→|AB →|＋4AC →|AC →|，则PB →·PC →的最大值等于________． 14．(2015·临沂模拟)如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动，点B 恰好经过原点．设顶点P (x ，y )的轨迹方程是y ＝f (x )，则对函数y ＝f (x )有下列判断：①函数y ＝f (x )是偶函数；②对任意的x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (x －2)；③函数y ＝f (x )在区间[2，3]上单调递减；④∫20f(x)d x ＝π＋12.其中判断正确的序号是________．15．(2015·东营模拟)在平面直角坐标系中，定义：一条直线经过一个点(x ，y)，若x ，y 都是整数，就称该直线为完美直线，这个点叫直线的完美点，若一条直线上没有完美点，就称它为遗憾直线．现有如下几个命题：①如果k 与b 都是无理数，则直线y ＝kx ＋b 一定是遗憾直线；②“直线y ＝kx ＋b 是完美直线”的充要条件是“k 与b 都是有理数”；③存在恰有一个完美点的完美直线；④过原点的完美直线l 经过无穷多个完美点，当且仅当直线l 经过两个不同的完美点．其中正确的命题是________．(写出所有正确命题的编号)小题分层练(五) “985”跨栏练(1) 1．解析：选D.由题意可知AO →＝14AD →＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（AB →＋AC →）＝18(AB →＋AC →)，又BC →＝AC →－AB →，所以BC →·AO →＝(AC →－AB →)·18(AB →＋AC →)＝18(AC →2－AB →2)＝18(36－4)＝4.2．解析：选B.由f 0(x )＝x e x 知，当i ＝1时，f 1(x )＝f ′0(x )＝(x e x )′＝e x ＋x e x，当i＝2时，f 2(x )＝f ′1(x )＝(e x ＋x e x )′＝2e x ＋x e x，…，当i ＝2 015时，f 2 015(x )＝f ′2 014(x )＝(2 014e x ＋x e x )′＝2 015e x ＋x e x，此时退出循环，故选B.3．解析：选C.由题意知，f (0)＝0－3e 0＝－3＜0，排除A ，B ，又f (33)＝3－3e 3 3＝0，故排除D.4．解析：选A.如图，设球心为O ，半径为r ，则在Rt △AOF 中，(4－r )2＋(2)2＝r 2，解得r ＝94，所以该球的表面积为4πr 2＝4π×⎝ ⎛⎭⎪⎫942＝814π.5．解析：选A.由椭圆的对称性，只需研究动点P 在第一象限内的情况，当点P 趋近于椭圆的上顶点时，点M 趋近于点O ，此时|OM |趋近于0；当点P 趋近于椭圆的右顶点时，点M 趋近于点F 1，此时|OM |趋近于25－9＝4，所以|OM |的取值范围为(0，4)．6．解析：选A.由题意9S 5＋5S 9＝90，所以S 55＋S 99＝2，5a 35＋9a 59＝2，即a 3＋a 5＝2，由等差数列的前n 项和公式，得S 7＝7×a 1＋a 72，又a 1＋a 7＝a 3＋a 5，故S 7＝7×a 1＋a 72＝7×a 3＋a 52＝7.7．解析：选C.令f (a )＝|1＋a |－|2－a |，又|1＋a |－|2－a |≤|1＋a ＋2－a |＝3，即f (a )的最大值f (a )max ＝3，又不等式|2x －1|≥|1＋a |－|2－a |对任意的实数a 恒成立，所以|2x －1|≥3，即2x －1≥3或2x －1≤－3，解得x ≥2或x ≤－1.8．解析：选C.由题意知过F 且斜率为－1的直线的方程为y ＝－(x －c )，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋c ，y ＝b ax 可得点P 的纵坐标为y P ＝bc a ＋b ，故S △OFP ＝12×bc a ＋b ×c ＝bc 22（a ＋b ）.由题意可知bc 22（a ＋b ）＝a 2＋b 28，即bc 22（a ＋b ）＝c 28，所以a ＝3b ，所以a 2＝9(c 2－a 2)，所以9c 2＝10a 2，所以e 2＝c 2a2＝109，所以e ＝103. 9．解析：选C.作出不等式组所表示的平面区域(即△ABC 的边及其内部区域)如图中阴影部分所示．点M 为函数y ＝2x与边界直线x ＋y －3＝0的交点，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x，x ＋y －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，即M (1，2)．若函数y ＝2x 的图象上存在点(x ，y )满足约束条件，则函数y ＝2x的图象上存在点在阴影部分内部，则必有m ≤1，即实数m 的最大值为1.10．解析：选D.令x 1＝x 2＝0，得f (0)＝2 015，令x 1＝x ，x 2＝－x ，可得f (x )＋f (－x )＝4 030.设x 1<x 2，x 1，x 2∈[－2 015，2 015]，则x 2－x 1>0，f (x 2－x 1)<2 015，所以f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1＋x 1)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－2 015－f (x 1)＝f (x 2－x 1)－2 015<2 015－2 015＝0，可得f (x 2)<f (x 1)，也即函数f (x )在区间[－2 015，2 015]上是单调递减函数，所以M ＝f (－2 015)，N ＝f (2 015)，又f (2 015)＋f (－2 015)＝4 030，所以M ＋N 的值为4 030.故选D.11．解析：(1)若集合A 中含有一个元素，则A ＝{8}；若集合A 中含有两个元素，则A ＝{1，7}或A ＝{2，6}或A ＝{3，5}；若集合A 中含有三个元素，则A ＝{1，3，4}或A ＝{1，2，5}；(2)易知1＋2＋3＋…＋100＝5 050，所以S (A )将取尽1到5 050的所有数，因此S (A )的所有不同取值的个数为5 050.答案：(1)6 (2)5 05012．解析：(1)当直线x ＋ay ＋2＝0与圆x 2＋y 2＝1相切时，Ω1与Ω2有且只有一个公共点，此时21＋a 2＝1，解得a ＝± 3. (2)当a ≥3或a ≤－3时，Ω1与Ω2有公共部分，为弓形．其面积为扇形面积减去三角形面积．当直线x ＋ay ＋2＝0过圆心时，扇形面积最大，三角形面积最小，即弓形面积最大，但直线x ＋ay ＋2＝0不过点(0，0)，所以函数S (a )的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2.答案：(1)± 3 (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π213．解析：因为AB →⊥AC →，故可以A 为原点，AB ，AC 所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系．不妨设B (0，1t )，C (t ，0)，则AP →＝（0，1t ）1t＋4（t ，0）t＝(4，1)，故点P 的坐标为(4，1).PB →·PC →＝(－4，1t －1)·(t －4，－1)＝－4t －1t ＋17＝－(4t ＋1t)＋17≤－4＋17＝13.当且仅当4t ＝1t ，即t ＝12时(负值舍去)取得最大值13.答案：13 14．解析：依题意，当－1≤x ≤1时，点P 位于以原点为圆心、2为半径的圆弧上运动；当1≤x ≤2时，点P 位于以点(1，0)为圆心、1为半径的圆弧上运动；当2≤x ≤3时，点P 位于以点(3，0)为圆心、1为半径的圆弧上运动．因此，对于①，②，易知有f (－x )＝f (x )，f (x ＋4)＝f (x )，因此函数f (x )是以4为周期的偶函数，因此①，②均正确；对于③，结合图象可知，函数f (x )在[2，3]上是增函数，因此③不正确；对于④，∫20f (x )d x ＝∫10f (x )d x ＋∫21f (x )d x ＝18π×(2)2＋12×12＋14π×12＝π＋12，因此④正确．综上所述，其中正确的命题的序号是①②④.答案：①②④15．解析：对于①，取k ＝3，b ＝3，则直线y ＝3x ＋3经过完美点(－1，0)，是完美直线，所以①错误；对于②，由①知当k ＝b ＝3时，k 与b 均为无理数，但是直线y ＝3x ＋3是完美直线，所以②错误；对于③，设直线为y ＝5x ，它只经过了一个完美点(0，0)，所以③正确；对于④，设y ＝kx 为过原点的完美直线l ，若此直线过不同的完美点(x 1，y 1)和(x 2，y 2)，把这两点代入完美直线l 的方程得y 1＝kx 1，y 2＝kx 2，两式相减得y 1－y 2＝k (x 1－x 2)，则(x 1－x 2，y 1－y 2)也在完美直线y ＝kx 上，且(x 1－x 2，y 1－y 2)也为完美点，通过这种方法可得直线l 经过无穷多个完美点，所以④正确．答案：③④。