函数与导数期末复习题
高三期末复习函数导数不等式2
高三期末复习函数方程不等式(2)编写人：刘洪志题型一、导数的几何意义⑴已知,P Q 为抛物线2=2x y 上两点，点,P Q 的横坐标分别为4,-2，过,P Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为 ．⑵曲线y =x (3ln x +1)在点)1,1(处的切线方程为________．⑶已知函数()cos f x k x =的图像经过点,13P π⎛⎫⎪⎝⎭，则函数图像上过点P 的切线斜率为 ．题型二、利用导数研究函数⑴已知函数()()211ln 2f x x ax a x =-+-，其中1a >，试讨论函数()f x 的单调性⑵设函数()()2x k f x x k e =-，⑴求()f x 的极大值；⑵若对任意的()0,x ∈+∞，都有()1f x e≤求实数k 的取值范围题型三、解不等式 ⑴不等式1121x x -≤+的解集是 ⑵已知关于x 的不等式101ax x ->+的解集是()1,1,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ ，则a = ⑶已知函数()2f x x x =-，若()()212f m f --<，则实数m 的取值范围是 ⑷函数()f x 的定义域为R ，()12f -=，对任意的(),2x R f x '∈>，则()24f x x >+的解集是 题型四、基本不等式的应用⑴已知()0,0,ln 0a b a b >>+=，则11a b+的最小值为 . ⑵设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>恒过定点(1,2)A ,则椭圆的中心到准线的距离的最小值 . ⑶已知,x y 为实数，若2241x y xy ++=，则2x y +的最大值为 .⑷不等式()228a b b a b λ+≥+对任意的,a b R ∈恒成立，则实数λ的取值范围是 . 题型五、应用题⑴有一海湾，海岸线为近似半个椭圆（如图），椭圆长轴端点为A ，B ，AB 间距离为3km ，椭圆焦点为C ，D ，CD 间距离为2km ，在C ，D 处分别有甲，乙两个油井，现准备在海岸线上建一度假村P ，不考虑风向等因素影响，油井对度假村废气污染程度与排出废气的浓度成正比（比例系数都为1k ），与距离的平方成反比（比例系数都为2k ），又知甲油井排出的废气浓度是乙的8倍。
高中数学函数与导数练习题及参考答案
高中数学函数与导数练习题及参考答案一、选择题（每小题3分，共30分）1. 设函数f(x)=2x^3-3x^2+4x-1，则f'(x)的值为：A. 6x^2-6x+4B. 6x^2-3x+4C. 6x^2-6x-4D. 6x^2-3x-42. 已知函数f(x)=e^(2x)-x，下列说法正确的是：A. f(x)的定义域为RB. f(x)的值域为RC. 对任意x∈R，f(x)≥0D. f(x)在R上递增3. 函数f(x)=log(2x+1)的定义域为：A. x>1/2B. x≥1/2C. x>1D. x≥-1/24. 函数f(x)=(x-2)^2-1的图像对称于：A. x轴B. y轴C. 原点D. 直线x=25. 函数f(x)=x^3+3x^2-x+2的最小值为：A. -∞B. -4C. 1D. 66. 函数f(x)=log_a(x^2-4)的定义域为：A. x>2B. x<-2C. x>2或x<-2D. x>07. 设函数f(x)=(x+1)e^x，则f'(x)=：A. (x+2)e^xB. xe^xC. (x+1)e^x+e^xD. (x+1)e^x+18. 函数y=2^(x^2)的图像在y轴的左侧为：A. 上拋曲线B. 下落曲线C. 开口向上的曲线D. 开口向下的曲线9. 函数f(x)=√(x-1)的定义域为：A. x>1B. x≥1C. x>0D. x≥010. 设函数f(x)=x^3-3x^2+2，则f''(x)的值为：A. 6x-6B. 6x-2C. 6x-3D. 6x-4二、计算题（每小题5分，共40分）1. 计算函数f(x)=e^(2x)-3x在x=1处的导数f'(1)的值。
解答：f'(x)=2e^(2x)-3f'(1)=2e^2-32. 已知函数y=log_a(x^2-4)，求f(x)在x=0处的导数f'(0)。
高中数学函数与导数复习 题集附答案
高中数学函数与导数复习题集附答案1. 函数的概念与性质1.1 函数的定义函数是一种具有对应关系的数学工具，它使得一个集合中的每个元素都与另一个集合中的唯一元素相对应。
一般来说，函数由输入和输出组成，输入称为自变量，输出称为因变量。
1.2 函数的性质函数有以下几个基本性质：- 定义域：函数的自变量能取的值的范围。
例如，对于函数f(x) =√x，定义域是非负实数集。
- 值域：函数的因变量能取的值的范围。
继续以f(x) = √x为例，值域是非负实数集。
- 单调性：函数的增减关系。
可分为严格单调递增、严格单调递减、非严格单调递增、非严格单调递减四种情况。
- 奇偶性：函数图像相对于y轴的对称性。
奇函数满足f(-x) = -f(x)，偶函数满足f(-x) = f(x)。
- 周期性：函数图像的重复性。
周期函数满足f(x+T) = f(x)，其中T为正数。
2. 常见函数类型及性质2.1 一次函数（线性函数）一次函数的一般形式为f(x) = kx + b，其中k和b为常数。
- 斜率 k 决定了函数图像的斜率和单调性。
- 截距 b 决定了函数图像与y轴的交点位置。
2.2 二次函数（抛物线函数）二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数，且a ≠ 0。
- 抛物线开口方向由二次项系数a的正负决定。
- 顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。
- 对称轴方程为x = -b/2a。
2.3 幂函数幂函数的一般形式为f(x) = x^a，其中a为常数。
- 当a > 1时，函数图像在定义域上是递增的。
- 当0 < a < 1时，函数图像在定义域上是递减的。
- 当a < 0时，函数图像具有奇对称性。
2.4 指数函数指数函数的一般形式为f(x) = a^x，其中a > 0且a ≠ 1。
- 指数函数的图像都通过点(0, 1)。
- 当a > 1时，函数图像在整个定义域上递增。
导数与函数综合试题答案
导数与函数综合试题答案一、选择题1. 题目：若函数f(x)在区间[0,1]上单调递增，则下列选项中正确的是：A. f(0) < f(1)B. f(1) < f(0)C. f(0) = f(1)D. f(x)在[0,1]上可能存在极小值点答案：A2. 题目：设函数g(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，求g(x)的单调递减区间。
答案：[0,2]3. 题目：函数h(x) = e^x的导数为：答案：e^x4. 题目：若函数k(x) = x^2 + 3x + 2在点x=1处的切线方程为：答案：y = 5x - 25. 题目：设函数p(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，求p(x)的极值点。
答案：x = 1, x = 2, x = 3二、填空题1. 题目：函数q(x) = |x^2 - 4x|在x=2处的导数为______。
答案：42. 题目：若函数r(x) = sin(x) + cos(x)，则r'(x) = ______。
答案：cos(x) - sin(x)3. 题目：函数s(x) = ln(x)的定义域为______。
答案：(0, +∞)4. 题目：设函数t(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1，求t(x)的拐点坐标。
答案：(1, 2)5. 题目：函数u(x) = x^3的单调递增区间为______。
答案：(-∞, +∞)三、解答题1. 题目：设函数v(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1，求v(x)的最大值和最小值。
答案：首先求导得到v'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 12x - 4，令v'(x) = 0，解得x = 0, 1, 2。
通过分析二阶导数v''(x) = 12x^2 - 24x + 12 = 12(x - 1)^2 + 1 > 0，可知v(x)在x = 0和x = 2处取得极小值，在x = 1处取得极大值。
导函数复习题及答案
导函数复习题及答案1. 定义：若函数f(x)在点x=a处可导，则称f(x)在x=a处的导数为导函数，记作f'(a)。
请给出导数的定义式。
2. 基本导数公式：列出几个常见的导数公式。
3. 导数的几何意义：解释导数在几何上的直观含义。
4. 导数的运算法则：给出求导的四则运算法则。
5. 高阶导数：解释什么是高阶导数，并给出一个例子。
6. 复合函数的导数：使用链式法则求复合函数的导数。
7. 隐函数的导数：给出隐函数求导的一般步骤。
8. 应用题：给定一个函数f(x)=x^3-2x^2+x+5，求其在x=2处的导数。
9. 应用题：若某物体的速度函数v(t)=t^2-3t+2，求其在t=1时的加速度。
10. 应用题：给定一个函数f(x)=sin(x)+cos(x)，求其导数f'(x)。
答案1. 定义：若极限\( \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \)存在，则称f(x)在x=a处可导，该极限值即为f(x)在x=a处的导数，记作\( f'(a) \)。
2. 基本导数公式：- \( \frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1} \)（幂函数）- \( \frac{d}{dx}e^x = e^x \)（指数函数）- \( \frac{d}{dx}\ln(x) = \frac{1}{x} \)（自然对数函数）- \( \frac{d}{dx}\sin(x) = \cos(x) \)- \( \frac{d}{dx}\cos(x) = -\sin(x) \)3. 导数的几何意义：导数在几何上表示函数在某点的切线斜率。
4. 导数的运算法则：- \( \frac{d}{dx}(kf(x)) = k\frac{d}{dx}f(x) \)（常数倍） - \( \frac{d}{dx}(f(x) \pm g(x)) = \frac{d}{dx}f(x) \pm\frac{d}{dx}g(x) \)（和差）- \( \frac{d}{dx}(f(x)g(x)) = f(x)\frac{d}{dx}g(x) +g(x)\frac{d}{dx}f(x) \)（乘积）- \( \frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) =\frac{\frac{d}{dx}f(x)g(x) - f(x)\frac{d}{dx}g(x)}{g(x)^2} \)（商）5. 高阶导数：例如，若f'(x)存在，则f''(x)表示f'(x)的导数，称为二阶导数。
高中函数和导数试题及答案
高中函数和导数试题及答案一、选择题1. 函数f(x) = x^2 + 3x + 2的导数是：A. 2x + 3B. x^2 + 3C. 2x + 1D. 3x + 22. 若函数f(x) = sin(x) + cos(x)的导数是：A. cos(x) - sin(x)B. cos(x) + sin(x)C. -sin(x) + cos(x)D. -sin(x) - cos(x)3. 已知函数g(x) = 2x^3 - 5x^2 + 7x - 1，其在x = 1处的导数值是：A. -1B. 0C. 1D. 2二、填空题4. 若f(x) = 4x^3 - 5x^2 + 6x - 7，求f'(x) = __________。
5. 若f(x) = x^4 + 2x^3 - 3x^2 + 4x + 5，求f'(2) = __________。
三、解答题6. 已知函数h(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，求h'(x)，并求h'(1)的值。
7. 已知函数k(x) = √x，求k'(x)，并讨论k(x)的单调性。
四、综合题8. 已知函数F(x) = ln(x) + x^2，求F'(x)，并讨论F(x)在x > 0时的增减性。
答案解析：一、选择题1. 正确答案：A. 2x + 3解析：f'(x) = 2x + 3，根据导数的幂规则和线性规则计算得出。
2. 正确答案：A. cos(x) - sin(x)解析：f'(x) = cos(x) - sin(x)，根据三角函数的导数规则计算得出。
3. 正确答案：B. 0解析：g'(x) = 6x^2 - 10x + 7，代入x = 1得g'(1) = 0。
二、填空题4. 答案：12x^2 - 10x + 6解析：根据导数的幂规则和线性规则计算。
5. 答案：44解析：f'(x) = 4x^3 + 6x^2 - 6x + 4，代入x = 2计算得出。
函数与导数压轴题题型与解题方法(高考必备)
函数与导数压轴题题型与解题方法(高考必备)题型与方法（选择、填空题）一、函数与导数1、抽象函数与性质主要知识点：定义域、值域（最值）、单调性、奇偶性、周期性、对称性、趋势线（渐近线）对策与方法：赋值法、特例法、数形结合例1：已知定义在$[0,+\infty)$上的函数$f(x)$，当$x\in[0,1]$时，$f(x)=\frac{2}{3}-4x$；当$x>1$时，$f(x)=af(x-1)$，$a\in R$，$a$为常数。
下列有关函数$f(x)$的描述：①当$a=2$时，$f(\frac{3}{2})=4$；②当$a<\frac{1}{2}$时，函数$f(x)$的值域为$[-2,2]$；③当$a>\frac{1}{2}$时，不等式$f(x)\leq 2a$恒成立；④当$-\frac{1}{2}<a<\frac{1}{2}$时，函数$f(x)$的图像与直线$y=2an-1$（$n\in N^*$）在$[1,n]$内的交点个数为$n-\frac{1+(-1)^n}{2}$。
其中描述正确的个数有（。
）【答案】C分析：根据题意，当$x>1$时，$f(x)$的值由$f(x-1)$决定，因此可以考虑特例法。
当$a=2$时，$f(x)$的值域为$[0,4]$，因此①正确。
当$a\frac{1}{2}$时，$f(x)$在$[0,1]$上单调递减，在$[1,+\infty)$上单调递增，因此不等式$f(x)\leq 2a$恒成立，③正确。
当$-\frac{1}{2}<a<\frac{1}{2}$时，$f(x)$在$[0,1]$上单调递减，在$[1,+\infty)$上单调递增，因此$f(x)$与直线$y=2an-1$（$n\in N^*$）在$[1,n]$内的交点个数为$n-\frac{1+(-1)^n}{2}$，④正确。
因此，答案为$\boxed{\textbf{(C) }2}$。
导数复习导数大题练习(含详解答案)
1、函数f(*)=(2*2―k*＋k)·e -*(Ⅰ)当k 为何值时，)(x f 无极值；(Ⅱ)试确定实数k 的值，使)(x f 的极小值为0 2、函数()ln f x ax x =+()a ∈R .(Ⅰ)假设2a =，求曲线()y f x =在1x =处切线的斜率；(Ⅱ)求()f x 的单调区间；〔Ⅲ〕设2()22g x x x =-+，假设对任意1(0,)x ∈+∞，均存在[]20,1x ∈，使得12()()f x g x <，求a 的取值围. 3、设函数()1x f x x ae -=-。
〔I 〕求函数()f x 单调区间； 〔II 〕假设()0R f x x ≤∈对恒成立，求a 的取值围；〔III 〕对任意n 的个正整数1212,,nn a a a a a a A n++⋅⋅⋅⋅⋅⋅=记〔1〕求证：()11,2,i a iAa e i n A-≤=⋅⋅⋅〔2〕求证：A ≥4、函数b x x a x a x f +++-=23213)(，其中,a b ∈R ． 〔Ⅰ〕假设曲线)(x f y =在点))2(,2(f P 处的切线方程为45-=x y ，求函数)(x f 的解析式； 〔Ⅱ〕当0>a 时，讨论函数)(x f 的单调性． 5、函数2()(21)(R x f x ax x e a -=-+⋅∈，e 为自然对数的底数).(I)当时，求函数()f x 的极值；(Ⅱ)假设函数()f x 在[-1，1]上单调递减，求a 的取值围． 6、函数2()(33)x f x x x e =-+⋅，设2t >-,(2),()f m f t n -==.〔Ⅰ〕试确定t 的取值围,使得函数()f x 在[]2,t -上为单调函数；〔Ⅱ〕试判断,m n 的大小并说明理由；〔Ⅲ〕求证：对于任意的2t >-,总存在0(2,)x t ∈-，满足0'20()2(1)3x f x t e =-,并确定这样的0x 的个数.7、函数2()ln (2)f x x ax a x =-+-．〔Ⅰ〕假设()f x 在1x =处取得极值，求a 的值；〔Ⅱ〕求函数()y f x =在2[,]a a 上的最大值． 8、函数221()()ln 2f x ax x x ax x =--+.()a ∈R . 〔I 〕当0a =时，求曲线()y f x =在(e,(e))f 处的切线方程〔e 2.718...=〕； 〔II 〕求函数()f x 的单调区间.9、函数()(1)e (0)xa f x x x=->，其中e 为自然对数的底数.〔Ⅰ〕当2a =时，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线与坐标轴围成的面积；〔Ⅱ〕假设函数()f x 存在一个极大值点和一个极小值点，且极大值与极小值的积为5e ，求a 的值.10、函数36)2(23)(23-++-=x x a ax x f . 〔1〕当1=a 时，求函数)(x f 的极小值；〔2〕试讨论曲线)(x f y =与x 轴的公共点的个数。
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函数与导数期末复习题一、选择题(本大题12小题，每小题5分，共60分)1. 已知函数y ＝f (x )的图象如图，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．f ′(x A )>f ′(xB ) B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定2．已知函数()f x 在1x =处存在导数，则011lim ()(3)x f x f x∆→+∆-=∆A ．(1)f 'B ．31()f 'C ．113()f 'D 3()f '3．已知曲线y ＝2ax 2＋1过点(a ，3)，则该曲线在该点处的切线方程为( )A ．y ＝－4x －1B ．y ＝4x －1C ．y ＝4x －11D ．y ＝－4x ＋7 4．已知e e ()x f x x -=+的导函数为()f 'x ，则1()f '=A B C D ．05x 3＋ax (1a 的取值范围是( )A ．[3，＋∞)B ．[－3，＋∞)C ．(－3，＋∞)D ．(－∞，－3)6．已知函数2s n )i (x xf x x+=，则该函数的导函数()f 'x =A ．22cos x x x +B ．22cos sin x x x xx +-C ．22cos sin x x x x x +- D ．2cos x x - 7．已知a >0，函数f (x )＝－x 3＋ax 在[1，＋∞)上是单调减函数，则a 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．48．若函数f (x )＝a sin x ＋13cos x 在x ＝π3处有最值，那么a 等于( )A.33 B ．－33 C.36 D ．－369．函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π的最大值是( )A ．π－1 B.π2－1 C ．π D ．π＋110. 函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 11．丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方向留下了很多宝贵的成果．设函数()f x 在(),a b 上的导函数为()f 'x ，()f 'x 在(),a b 上的导函数记为()f ''x ，若在(),a b 上(0)f ''x <恒成立，则称函数()f x 在(),a b 上为“凸函数”，在(1,4)上为“凸函数”，则实数t 的取值范围是A ．[3,)+∞B ．(3,)+∞ CD12．已知点P 与2()ln 32(0)g x a x b a =+>图象的公共点，若以P 为切点可作直线l 与两曲线都相切，则实数b 的最大值为AB CD 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝14．设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1 (x ∈R )，若对于x ∈[－1，1]，都有f (x )≥0，则实数a 的值为15. f （x ）=ax 3﹣x 2+x+2，，∀x 1∈（0，1]，∀x 2∈（0，1]，使得f （x 1）≥g （x 2），则实数a 的取值范围是 ．16．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，x ∈[－2,2]表示过原点的曲线，且在x ＝±1处的切线的倾斜角均为34π，有以下命题：①f (x )的解析式为f (x )＝x 3－4x ，x ∈[－2,2]．②f (x )的极值点有且只有一个． ③f (x )的最大值与最小值之和等于零．其中正确命题的序号为________． 三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．若函数f (x )＝13x 3－12ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1,4)上为减函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，试求实数a 的取值范围．18．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝－23与x ＝1时都取得极值．(1)求a ，b 的值与函数f (x )的单调区间；(2)若对x ∈[－1,2]，不等式f (x )<c 2恒成立，求c 的取值范围．19.一个圆柱形圆木的底面半径为1 m ，长为10 m ，将此圆木沿轴所在的平面剖成两部分．如图所示，现要把其中一部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形ABCD，其中O为圆心，C，D在半圆上，设BOCθ∠=，木梁的体积为V（单位：m3），表面积为S（单位：m2）．（1）求V关于θ的函数表达式；（2）求θ的值，使体积V最大，并判断此时表面积S是否也最大．20．已知函数f(x)＝x2＋ln x.(1)求函数f(x)在[1，e]上的最大值和最小值；(2)求证：当x∈(1，＋∞)时，函数f(x)的图象在g(x)＝23x3＋12x2的下方．21.设a为实数，函数f(x)＝e x－2x＋2a，x∈R.(1)求f (x )的单调区间与极值； (2)求证：当a >ln 2－1且x >0时，e x >x 2－2ax ＋1.22．已知函数21ln 12()a f x a x x +=++． （1）当12a =-时，求函数()f x 在区间1[,e]e上的最值； （2）讨论()f x 的单调性； （3）当10a -<<时，2())1ln(af x a >+-恒成立，求实数a 的取值范围．参考答案1．B [f ′(x A )和f ′(x B )分别表示函数图象在点A 、B 处的切线斜率，故f ′(x A )<f ′(x B )．] 2．B [物体的初速度即为t ＝0时物体的瞬时速度，即函数s (t )在t ＝0处的导数．s ′(0)＝s ′|t ＝0＝(3－2t )|t ＝0＝3.]3．B [∵曲线过点(a ，3)，∴3＝2a 2＋1，∴a ＝1，∴切点为(1,3)．由导数定义可得y ′＝4ax ＝4x ， ∴该点处切线斜率为k ＝4，∴切线方程为y －3＝4(x －1)，即y ＝4x －1.] 4．B5．B [f ′(x )＝3x 2＋a .令3x 2＋a ≥0，则a ≥－3x 2，x ∈(1，＋∞)，∴a ≥－3.]6．A [∵y ′＝x ′(x ＋2)－x (x ＋2)′(x ＋2)2＝2(x ＋2)2，∴k ＝y ′|x ＝－1＝2(－1＋2)2＝2， ∴切线方程为：y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.] 7．C8．A [f ′(x )＝a cos x －13sin x ，由题意f ′⎝⎛⎭⎫π3＝0，即a ·12－13×32＝0，∴a ＝33.] 9．C [y ′＝1－cos x ≥0，所以y ＝x －sin x 在⎣⎡⎦⎤π2，π上为增函数．∴当x ＝π时，y max ＝π.] 10．A [由图象看，在图象与x 轴的交点处左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0的点才满足题意，这样的点只有一个B 点．]11．C [∵f ′(x )＝x ′(1－x )－x (1－x )′(1－x )2＝1－x ＋x (1－x )2＝1(1－x )2>0，又x ≠1，∴f (x )的单调增区间为(－∞，1)，(1，＋∞)．]12．B [由题意知，存款量g (x )＝kx (k >0)，银行应支付的利息h (x )＝xg (x )＝kx 2，x ∈(0，0.048)．设银行可获得收益为y ，则y ＝0.048kx －kx 2.于是y ′＝0.048k －2kx ，令y ′＝0，解得x ＝0.024，依题意知y 在x ＝0.024处取得最大值．故当存款利率为0.024时，银行可获得最大收益．] 13．314．4解析 若x ＝0，则不论a 取何值，f (x )≥0，显然成立；当x ∈(0,1]时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可转化为a ≥3x 2－1x 3，设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝3(1－2x )x 4，所以g (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，12上单调递增，在区间⎝⎛⎦⎤12，1上单调递减， 因此g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝4，从而a ≥4；当x ∈[－1,0)时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可转化为a ≤3x 2－1x 3， 设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝3(1－2x )x 4，所以g (x )在区间[－1,0)上单调递增．因此g (x )min ＝g (－1)＝4，从而a ≤4，综上所述，a ＝4.15.439 解析 设CD ＝x ，则点C 坐标为⎝⎛⎭⎫x 2，0.点B 坐标为⎝⎛⎭⎫x 2，1－⎝⎛⎭⎫x 22， ∴矩形ABCD 的面积S ＝f (x )＝x ·⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫x 22＝－x 34＋x (x ∈(0,2))． 由f ′(x )＝－34x 2＋1＝0，得x 1＝－23(舍)，x 2＝23，∴x ∈⎝⎛⎭⎫0，23时，f ′(x )>0，f (x )是递增的，x ∈⎝⎛⎭⎫23，2时，f ′(x )<0，f (x )是递减的，当x ＝23时，f (x )取最大值439.16．①③解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由题意得f (0)＝0，f ′(－1)＝f ′(1)＝tan 3π4＝－1.∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝03－2a ＋b ＝－13＋2a ＋b ＝－1，∴a ＝0，b ＝－4，c ＝0.∴f (x )＝x 3－4x ，x ∈[－2,2]．故①正确．由f ′(x )＝3x 2－4＝0得x 1＝－233，x 2＝233.根据x 1，x 2分析f ′(x )的符号、f (x )的单调性和极值点.∴x f (x )min ＋f (x )max ＝0.∴②错，③正确．17．解 f ′(x )＝x 2－ax ＋a －1，由题意知f ′(x )≤0在(1,4)上恒成立，且f ′(x )≥0在(6，＋∞)上恒成立．由f ′(x )≤0得x 2－ax ＋a －1≤0，即x 2－1≤a (x －1)．∵x ∈(1,4)，∴x －1∈(0,3)，∴a ≥x 2－1x －1＝x ＋1.又∵x ＋1∈(2,5)，∴a ≥5， ①由f ′(x )≥0得x 2－ax ＋a －1≥0，即x 2－1≥a (x －1)．∵x ∈(6，＋∞)，∴x －1>0，∴a ≤x 2－1x －1＝x ＋1. 又∵x ＋1∈(7，＋∞)，∴a ≤7， ②∵①②同时成立，∴5≤a ≤7.经检验a ＝5或a ＝7都符合题意，∴所求a 的取值范围为5≤a ≤7.18．解 (1)f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由f ′⎝⎛⎭⎫－23＝129－43a ＋b ＝0， f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0得a ＝－12，b ＝－2.f ′(x )＝3x 2－x －2＝(3x ＋2)(x －1)，令f ′(x )>0，得x <－23或x >1，令f ′(x )<0，得－23<x <1.所以函数f (x )的递增区间是⎝⎛⎭⎫－∞，－23和(1，＋∞)，递减区间是⎝⎛⎭⎫－23，1. (2)f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋c ，x ∈[－1,2]，由(1)知，当x ＝－23时，f ⎝⎛⎭⎫－23＝2227＋c 为极大值， 而f (2)＝2＋c ，则f (2)＝2＋c 为最大值，要使f (x )<c 2，x ∈[－1,2]恒成立， 则只需要c 2>f (2)＝2＋c ，得c <－1或c >2.19．解 设每次订购电脑的台数为x ，则开始库存量为x 台，经过一个周期的正常均匀销售后，库存量变为零，这样又开始下一次的订购，因此平均库存量为12x 台，所以每年的保管费用为12x ·4 000·10%元，而每年的订货电脑的其它费用为5 000x·1 600元，这样每年的总费用为5 000x ·1 600＋12x ·4 000·10%元．令y ＝5 000x ·1 600＋12x ·4 000·10%，y ′＝－1x 2·5 000·1 600＋12·4 000·10%.令y ′＝0，解得x ＝200(台)．也就是当x ＝200台时，每年订购电脑的其它费用及保管费用总费用达到最小值，最小值为80 000元．20．解 (1)对函数f (x )求导数，得f ′(x )＝(x 2－2ax )e x ＋(2x －2a )e x ＝[x 2＋2(1－a )x －2a ]e x .令f ′(x )＝0，得[x 2＋2(1－a )x －2a ]e x ＝0，从而x 2＋2(1－a )x －2a ＝0. 解得x 1＝a －1－1＋a 2，x 2＝a －1＋1＋a 2，其中x 1<x 2. 当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化如下表：12当a ≥0时，x 1<－1，x 2≥0.f (x )在(x 1，x 2)为减函数，在(x 2，＋∞)为增函数．而当x <0时，f (x )＝x (x －2a )e x >0； 当x ＝0时，f (x )＝0，所以当x ＝a －1＋1＋a 2时，f (x )取得最小值．(2)当a ≥0时，f (x )在[－1,1]上为单调函数的充要条件是x 2≥1，即a －1＋1＋a 2≥1，解得a ≥34.综上，f (x )在[－1,1]上为单调函数的充分必要条件为a ≥34.即a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫34，＋∞. 21．(1)解 由f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R 知f ′(x )＝e x －2，x ∈R .令f ′(x )＝0，得x ＝ln 2.于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：故处取得极小值，极小值为f (ln 2)＝e ln 2－2ln 2＋2a ＝2(1－ln 2＋a )．(2)证明 设g (x )＝e x －x 2＋2ax －1，x ∈R ，于是g ′(x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R . 由(1)知当a >ln 2－1时，g ′(x )取最小值为g ′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a )>0. 于是对任意x ∈R ，都有g ′(x )>0，所以g (x )在R 内单调递增． 于是当a >ln 2－1时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )>g (0)． 而g (0)＝0，从而对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )>0， 即e x －x 2＋2ax －1>0，故e x >x 2－2ax ＋1.22．(1)解 ∵f (x )＝x 2＋ln x ，∴f ′(x )＝2x ＋1x.∵x >1时，f ′(x )>0，∴f (x )在[1，e]上是增函数，∴f (x )的最小值是f (1)＝1，最大值是f (e)＝1＋e 2.(2)证明 令F (x )＝f (x )－g (x )＝12x 2－23x 3＋ln x ，∴F ′(x )＝x －2x 2＋1x ＝x 2－2x 3＋1x ＝x 2－x 3－x 3＋1x ＝(1－x )(2x 2＋x ＋1)x.∵x >1，∴F ′(x )<0，∴F (x )在(1，＋∞)上是减函数，∴F (x )<F (1)＝12－23＝－16<0.∴f (x )<g (x )．∴当x ∈(1，＋∞)时，函数f (x )的图象在g (x )＝23x 3＋12x 2的下方．。