3.2.3直线的一般式方程(最新)

1 当a≠0时, k1 , k2 a 2 , a 若 l1 l2 , 则 k1 k2 1,
所以 a 1; 综上, a 0 或 a 1.
练习3：直线x+m2y+6=0与直线 (m-2)x+3my+2m=0没有公共点,求实数m的值.
解：当m=0时, l1 : x 6 0, l2 : 2 x 0,
P0 ( x0 , y0 )
也具有形式Ax+By+C=0(B=0).
综上，都具有形式：Ax+By+C=0.
二、方程Ax+By+C=0表示直线
A C x , 1、当B≠0时, 方程可化为 y B B A 这是直线的斜截式方程，它表示斜率是
C 在y轴上的截距是 的直线. B
2、当B=0时，
4 x 3 y 12 0.
练习1：根据下列条件, 写出直线的方程, 并 把它化成一般式:
1 ⑴ 经过点 A(8, 2) , 斜率是 ; 2 ⑵ 经过点 B (4, 2) , 平行于 x 轴;
⑶ 经过点 P (3, 2) , P2 (5, 4) ; 1
x 2y 4 0 y20 x y 1 0
y
l
(1) A=0 , B≠0 ,C≠0
o
x
四、A、B、C对直线的位置的影响:
在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时， 方程表示的直线： (1)平行于x轴;(2)平行于y轴;
y
l
(2) B=0 , A≠0 , C≠0
o
x
四、A、B、C对直线的位置的影响:
在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时， 方程表示的直线： (1)平行于x轴;(2)平行于y轴;(3)与x轴重合;
y
l
(3) A=0 , B≠0 ,C=0
o
x
四、A、B、C对直线的位置的影响:
在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时， 方程表示的直线： (1)平行于x轴;(2)平行于y轴;(3)与x轴重合; (4)与y轴重合;
y
l
(4) B=0 , A≠0, C=0
o
x
四、A、B、C对直线的位置的影响:
x
O
2k 2 令 y 0, 得 x ( ), k 2 ( k 1) 1 2k 2 , ) (2k 2) 2, 即 由题意, ( k 2 k
即 y kx 2k 2, 令 x 0, 得 y 2k 2,
1 解得 k 2, 或k , 2
y
l
o
(1) A=0 , B≠0 ,C≠0 (2) B=0 , A≠0 , C≠0 (3) A=0 , B≠0 ,C=0 (4) B=0 , A≠0, C=0 x (5) C=0，A、B不同时为0
注意：一般式可以表示任意直线.
例2、把直线 l 的一般式方程 x 2 y 6 0化成斜截 式，求出直线 l 的斜率和它在 x 轴与 y 轴上的截距， 并画出图形. 解：将原方程移项，得 2 y
y
y
y
y
y
O
x
O
x
O
x
O
x
O
x
Ax By C 0
温故知新 四类直线方程的适用条件：
方程名称 点斜式
方程形式
y y0 k ( x x0 )
适用范围
不垂直x轴
斜截式 两点式
截距式
y kx b
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
不垂直x轴
不垂直两个坐标轴 不垂直两个坐标 轴且不经过原点
在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时， 方程表示的直线： (1)平行于x轴;(2)平行于y轴;(3)与x轴重合; (4)与y轴重合; (5)过原点.
y
l
(5) C=0，A、B不同时为0
o
x
四、A、B、C对直线的位置的影响:
在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时， 方程表示的直线： (1)平行于x轴;(2)平行于y轴;(3)与x轴重合; (4)与y轴重合; (5)过原点.
3 ⑷ 在 x 轴, y 轴上的截距分别是 , 3 . 2 x y 3 0 2 注意:对于直线方程的一般式，规定： ①x的系数为正;
②x,y的系数及常数项一般不出现分数;
③按含x项，含y项、常数项顺序排列.
四、A、B、C对直线的位置的影响:
在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时， 方程表示的直线： (1)平行于x轴;
x y (2) 1; 4 5
y 3x 5
4 y x 5 5 1 y x 2 7 2 y x 6 3
(3) x 2 y 0; (4)7 x 6 y 4 0.
例3、已知直线 l 经过点(-2,2)且与两坐标轴围成单 位面积的三角形,求该直线的方程. y 解：设直线斜率为k, 代入点斜式得： P y 2 k ( x 2),
x y 1 a b
讲授新课：
一、直线方程都具有形式:Ax+By+C=0
1、当直线斜率存在时，直线方程为：
y y0 k ( x x0 ),
即 kx y kx0 y0 0,
具有形式Ax+By+C=0;
P0 ( x0 , y0 )
2、当直线斜率不存在时，直线方程为：
x x0 , 即 x x0 0,
元一次方程;
⑵ 每一个关于 x , y 的二元一次方程都表示一条直线 2、直线的一般式方程与其他几种方程的互化, 解题时 灵活加以运用.
B
y
C 方程可化为 x （A 0) A 表示垂直于x轴的一条直线.
综上，Ax+By+C=0表示直线.
l
x
O
C A
三、直线的一般式方程
关于x，y的二元一次方程
Ax By C 0, ( A B 0).
2 2
叫做直线的一般式方程，简称一般式.
4 例1、已知直线过点A(6,-4),斜率为 ,求直线的点斜 3 式、一般式方程. 解：直线的点斜式方程为： 4 y 4 ( x 6), 3 化成一般式方式：
1 y x3 ， 2
3
O
x
令 y 0, 可得 x 6, 即直线 l 在 x 轴上的截距 是 6 .
1 因此,直线 l 的斜率 k ，它在 y 轴上的截距是 3 ， 2
练习2：求下列直线的斜率以及在y轴上的截 距，并画出图形:
(1)3x y 5 0;
1 所以直线方程为 y 2 x 2, 或 y x 1. 2 一般式方程为 2 x y 2 0, 或 x 2 y 2 0.
例4、已知直线l1:x-ay-1=0和l2:a2x+y+2=0, 若l1⊥l2,求a的值.
解：当a=0时, l1 : x 1, l2 : y 2, 这时 l1 l2 , 符合题意;
1 m2 当m≠0时, k1 2 , k 2 , m 3m 若 l1∥ l2 , 则 k1 k2 ,
这时 l1∥ l2 , 符合题意;
所以m 1或m 3;
经验证m=3时两直线重合,与题意不符， 综上, m 0 或 m 1.
A1 B2 A2 B1 , l1 ∥ l2 A1C2 A2C1 ;
A1 B2 A2 B1 , l1 , l2重 合 A1C2 A2C1 ;
l1 l2 A1 A2 B1B2 0.
【总一总★成竹在胸】
1、直线的一般式方程
Ax By C 0 (其中 A , B
不同时为零)的两方面含义: ⑴ 平面直角坐标系中的每一条直线都是关于 x , y的二