2019秋浙教版七年级数学上册习题课件：6.8 余角和补角 (共22张PPT)
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浙教版-数学-七年级上册-6.8余角和补角 同步课件
6.8 余角和补角
1
2
∠1+ ∠2=90°
如果两个锐角的和是一个直角，我们就说 这两个角互为余角（简称互余）。也可以 说其中一个角是另一个角的余角。
如果两个角的和是一个平 角，我们就说这两个角互 为补角（简称互补）。也 可以说其中一个角是另一 个角的补角。
3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4
∠3+ ∠4=180°
想一想
若已知一个角∠A=50°17′，那么∠A的 余角和补角分别是多少度？
２、如下图，点Ｏ为直线ＡＢ上一点， ∠ＡＯＣ＝Ｒt ∠ ，
ＯＤ是∠ＢＯＣ 内的一条射线．图中有哪些角互补？有哪
些角互余？说明你的理由．
∠A0C与∠BOC互补 ∠A0D与∠DOB互补 ∠COD与∠DOB互余
做一做
3、如果给你一个角，你能画出它的余角吗？
2
3
β
θ
∠2= ∠3
∠β= ∠θ
余角的性质：同角或等角的余角相等。
变式1：已知一个角的补角是这个角的余角 的4倍，求这个角的度数。
变式2：已知一个角的补角减去30°后，等 于这个角的余角的4倍，求这个角的度数。
做一做
１、如图，已经∠1＝42°， ∠2＝138°，∠3＝48°请问图中 有没有互余或互补的角？若有，请把它们写出来，并说明理由。
两个角是否互余或 互补只跟两个角的 度数大小有关，与 它们的位置无关。
请利用互余互补的关系完成下表
∠α
∠α的余角 ∠α的补角
5°
85°
175°
32°
58°
148°
45° 77° 62°23′
x
45° 13° 27°37′ 90°- x°
135° 103° 117°37′ 180°- x°
1
2
∠1+ ∠2=90°
如果两个锐角的和是一个直角，我们就说 这两个角互为余角（简称互余）。也可以 说其中一个角是另一个角的余角。
如果两个角的和是一个平 角，我们就说这两个角互 为补角（简称互补）。也 可以说其中一个角是另一 个角的补角。
3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4
∠3+ ∠4=180°
想一想
若已知一个角∠A=50°17′，那么∠A的 余角和补角分别是多少度？
２、如下图，点Ｏ为直线ＡＢ上一点， ∠ＡＯＣ＝Ｒt ∠ ，
ＯＤ是∠ＢＯＣ 内的一条射线．图中有哪些角互补？有哪
些角互余？说明你的理由．
∠A0C与∠BOC互补 ∠A0D与∠DOB互补 ∠COD与∠DOB互余
做一做
3、如果给你一个角，你能画出它的余角吗？
2
3
β
θ
∠2= ∠3
∠β= ∠θ
余角的性质：同角或等角的余角相等。
变式1：已知一个角的补角是这个角的余角 的4倍，求这个角的度数。
变式2：已知一个角的补角减去30°后，等 于这个角的余角的4倍，求这个角的度数。
做一做
１、如图，已经∠1＝42°， ∠2＝138°，∠3＝48°请问图中 有没有互余或互补的角？若有，请把它们写出来，并说明理由。
两个角是否互余或 互补只跟两个角的 度数大小有关，与 它们的位置无关。
请利用互余互补的关系完成下表
∠α
∠α的余角 ∠α的补角
5°
85°
175°
32°
58°
148°
45° 77° 62°23′
x
45° 13° 27°37′ 90°- x°
135° 103° 117°37′ 180°- x°
浙教初中数学七上《6.8 余角和补角》PPT课件 (2)
P
B
OC、OD所表示的方向
吗？
30°40°
西M
3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ° O 45° N 东
D
C
Q
南
1.今天你收获了哪些知识？ 2.你掌握了哪些方法？
北
A
P
B
西M D
30°40°
O 45° 50°
N东
C Q 南
1、如果两个锐角的和是一个直角，那么 这两个角互为余角，简称这两个角互余。 其中一个角是另一个的余角。
1
2
A
O
B
2、如果两个角的和是一个平角，那么这 两个角互为补角，简称这两个角互补。
其中一个角是另一个的补角。
３
４
A
O
B
书本P164 第1、2题
如图，Rt∠COD的顶点O在直线AB上.图 中有没有互余的角？为什么？
同角或等角的余角相等.
(1)∠α的补角=180°-__∠__α__ ; (2)∠β的补角=1_8_0_°__- ∠β.
同角或等角的补角相等.
1.如果∠1+∠2=90°，∠3+∠4=90°，
∠1=∠4，则∠2_=__∠3(填＞、=或＜)，
理由是_等__角__的__余__角__相__等__________.
∠2＝∠4 ∠AOC＝∠COE
E
432
1
O
B A
例2 已知一个角的补角是这个角的4倍， 求这个角的度数。
变式1：已知一个角的补角是这个角的余角 的4倍，求这个角的度数。
变式2：已知一个角的补角减去30°后，等 于这个角的余角的4倍，求这个角的度数。
北
在如图所示的方向标中， A 你能说出射线OA、OB、
2019年秋浙教版七年级上册数学课件：6.8 余角和补角(共22张PPT)
9
7．如图，∠ACB＝∠CDB＝90°，图中与∠ACD 互余的角有___2_____个． 8．如图，点 A 位于点 O 北偏西___2_5_°___.
9．如果∠1 与∠2 互余，∠3 与∠2 互补，且∠3＝120°，那么∠1＝__3_0_°____.
10
10．一个角的余角比它的12少 30°，请你计算出这个角的大小． 解：设这个角的度数为 x，则它的余角为(90°－x)．由题意，得12x－(90°－x)＝30°， 解得 x＝80°.即这个角的度数是 80°.
• C．α－β＝90° D．α＋β＝180°
8
5．将一副三角板按照如图所示的位置摆放，则下列关于∠α 和∠β 的关系一定 成立的是( C )
A．∠α 与 β 互余
B．∠α 与∠β 互补
C．∠α 与∠β 相等
D．∠α 比∠β 小
6．一个锐角的补角和它的余角的差是( B )
A．锐角
B．直角
C．钝角
D．不能确定
3
• 【典例1】已知∠α＝43°26′18″，则∠α的余角是( ) • A．16°33′42″ B．46°33′42″ • C．17°34′42″ D．47°34′42″ • 分析：根据余角的概念求解.90°－43°26′18″＝46°33′42″. • 答案：B
4
• 知识点2 余角和补角的性质 • (1)同角或等角的余角相等． • (2)同角或等角的补角相等． • 【典例2】因为∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90°，所以∠1＝∠3.理由
21
图2
图3 当点 D 在∠BOC 外时(如图 3)，∠AON＝∠CON－∠AOC＝12∠COD－α＝45°， 故∠COD＝90°＋2α.依题意可得，45°＋90°＋2α＝180°，解得 α＝22.5°.综上，α 的取 值为 45°或 22.5°.
七级数学浙教版课件：6.8 余角和补角 (共23张PPT)精品
3.已知一个角的补角是这个角的余角的4倍，求 这个角的度数. 60 °
方程思想
2019
最新中小学课件
14
A
B
C 31 2
O
D
Байду номын сангаас
同角或等角的余角相等 .
3α
2019
∠α =∠β
最新中小学课件
β 2
15
仅供学习交流！
A
C D
21 O 3
B β
3
2
α
同角 或等角 的补角相等 .
∠2=∠3，∠2+∠α=180°，∴∠3+∠β=180°
∵∠1+∠2=1800,
∴ ∠1与∠2互补.
2019
最新中小学课件
10
找朋友:图中给出的各角中,哪些互为余角? 哪些互为补角?
1°0
30°
60°
①
②
③
80°
④
2019
° 100
⑤
最新中小学课件
° 120
⑥
11
互余：两个锐角
2019
最新中小学课件
12
强化概念
判断下列说法是否正确,为什么？
1.90度的角叫余角，180度的角叫补角. （ ） 2.若 1 2 3900 ,则 1, 2, 3互 为 .（余 ） 3.若一个角有补角，则这个角一定是钝角.（ ）
最新中小学课件
20
如图，射线OA表示北偏西30°方向，你能用类 似的方法画图表示下列各方向吗？
(1)北偏西40°
(2)南偏西50°
(3)东南方向
2019
最新中小学课件
21
南北为基准，向东西偏多少度.
浙教版七年级数学上册习题课件：6.8 余角和补角 (共14张PPT)精品
仅供学习交流！
仅供学习交流！！！
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
谢谢！
墨子，(约前468～前376)名翟，鲁人 ，一说 宋人， 战国初 期思想 家，政 治家， 教育家 ，先秦 堵子散 文代表 作家。 曾为宋 国大夫 。早年 接受儒 家教育 ，后聚 徒讲学 ，创立 与儒家 相对立 的墨家 学派。 主张•兼 爱”“ 非攻“ 尚贤” “节用 ”，反 映了小 生产者 反对兼 并战争 ，要求 改善经 济地位 和社会 地位的 愿望， 他的认 识观点 是唯物 的。但 他一方 面批判 唯心的 宿命论 ，一方 面又提 出同样 是唯心 的“天 志”说 ，认为 天有意 志，并 且相信 鬼神。 墨于的 学说在 当时影 响很大 ，与儒 家并称 为•显 学”。 《墨子》是先秦墨家著作，现存五 十三篇 ，其中 有墨子 自作的 ，有弟 子所记 的墨子 讲学辞 和语录 ，其中 也有后 期墨家 的作品 。《墨 子》是 我国论 辩性散 文的源 头，运 用譬喻 ，类比 、举例 ，推论 的论辩 方法进 行论政 ，逻辑 严密， 说理清 楚。语 言质朴 无华， 多用口 语，在 先秦堵 子散文 中占有 重要的 地位。 公输，名盘，也作•“般”或•“班 ”又称 鲁班， 山东人 ，是我 国古代 传说中 的能工 巧匠。 现在， 鲁班被 人们尊 称为建 筑业的 鼻祖， 其实这 远远不 够．鲁 班不光 在建筑 业，而 且在其 他领域 也颇有 建树。 他发明 了飞鸢 ，是人 类征服 太空的 第一人 ，他发 明了云 梯(重武 器)，钩 钜(现 在还用) 以及其 他攻城 武器， 是一位 伟大的 军事科 学家， 在机械 方面， 很早被 人称为 “机械 圣人” ，此外 还有许 多民用 、工艺 等方面 的成就 。鲁班 对人类 的贡献 可以说 是前无 古人， 后无来 者，是 我国当 之无愧 的科技 发明之 父。
浙教版七年级数学上册 6.8《余角补角》 课件 (共29张PPT)
∴ ∠1 + ∠2 =90 °. ( 互余定义)
3
∵∠3 + ∠4 =180 °, ( 已知 )
∴ ∠3和∠4互补 . (互补定义 )
∵ ∠3和∠4互补, ( 已知 )
4
∴ ∠3 + ∠4 =180 ° .(互补定义 )
考考你
1. 图中给出的各角，哪些互为余角？
10° 25°
44° 65° 46°
拓展提升
如图，是O直线AB上一点，∠AOE=∠FOD=90°, OB平分∠COD，图中与∠DOE互余的角有哪些？
与∠DOE互补的角有哪些？
祝同学们 学习进步
29
试一试
1、填空 （1）若∠1与∠2互余，∠2与∠3互余， 则__∠__1_＝_∠__3___，根据是＿同＿角＿的余＿角＿相＿等.
(2)若∠3与∠4互补，∠6与∠5互补， 且∠3＝∠6, 则_∠_4___＝__∠__5__，根据是 ＿等＿角＿的＿补角＿相＿等＿.
试一试
2、如图，直线a、b相交于一点，∠1和∠2 互补，∠1和∠4互补，则∠2=∠4的依据是 （ B ）. A.同角的余角相等 B.同角的补角相等 C.等角的余角相等 D.等角的补角相等
A
C
D
1. 下列四个角中,最有可能与70°角互补的角是( D )
2.已知∠α=26°,则∠α的补角是_1_5_4_°_ 度. 3.一个角的补角是36°35′,这个角是 _1_4_3_°__2_5.′ 4.一个角的补角是150°，则这个角的余角是_____. 5.一个角是70°，则它的余角的补角是_______. 6.一个角的补角是它的3倍，则这个角是_______.
900
1350
100035'
2024年浙教版七年级数学上册 6.8 余角和补角 (课件)
的余角是，这个角是 ，这个角的补角是 。
1.余角的性质：同角或等角的余角相等。
2.补角的性质：同角或等角的补角相等。
典例2 （1）如图（1）所示， ， 与 相等吗？为什么？
解：相等。因为 ，所以 。因为 ,所以 ，所以 。
（2）如图（2）所示，直线与直线相交于点， 与 相等吗？为什么？
方向角通常先写北或南，再写偏东或偏西，如“北偏东 ”一般不写成“东偏北 ”。
典例3 (绍兴柯桥区期末)如图，甲从点 出发沿北偏东 方向走到点，乙从点 出发沿南偏西 方向走到点，则 的度数是( )
D
A. B. C. D.
解析：由题意知， , ，所以 。
若， 则与互余，是 的余角，也是 的余角。
_
名称
概念
数学语言
图示
互为补角
如果两个角的和是一个平角，我们就说这两个角互为补角，简称互补，也可以说其中一个角是另一个角的补角。
若， 则与互补，是 的补角，也是 的补角。
_
（1）两个角互余或互补是两个角之间的数量关系，与它们的位置无关。（2）若两个角互余，则这两个角一定都是锐角；若两个角互补，则这两个角可能都是直角，也可能一个是锐角，另一个是钝角。
第6章 图形的初步知识
6.8 余角和补角
七上数学 ZJ
1.了解互为余角、互为补角的概念，会求一个角的余角或补角。2.掌握同角或等角的余角（补角）相等，并能说明两角相等，培养推理能力。3.会用方向角表示方向，发展几何直观。
名称
概念
数学语言
图示
互为余角
如果两个锐角的和是一个直角，我们就说这两个角互为余角，简称互余，也可以说其中一个角是另一个角的余角。
解：相等。因为点，，在同一条直线上，所以 ，即 。因为点，，在同一条直线上，所以 ，即 ，所以 。
1.余角的性质：同角或等角的余角相等。
2.补角的性质：同角或等角的补角相等。
典例2 （1）如图（1）所示， ， 与 相等吗？为什么？
解：相等。因为 ，所以 。因为 ,所以 ，所以 。
（2）如图（2）所示，直线与直线相交于点， 与 相等吗？为什么？
方向角通常先写北或南，再写偏东或偏西，如“北偏东 ”一般不写成“东偏北 ”。
典例3 (绍兴柯桥区期末)如图，甲从点 出发沿北偏东 方向走到点，乙从点 出发沿南偏西 方向走到点，则 的度数是( )
D
A. B. C. D.
解析：由题意知， , ，所以 。
若， 则与互余，是 的余角，也是 的余角。
_
名称
概念
数学语言
图示
互为补角
如果两个角的和是一个平角，我们就说这两个角互为补角，简称互补，也可以说其中一个角是另一个角的补角。
若， 则与互补，是 的补角，也是 的补角。
_
（1）两个角互余或互补是两个角之间的数量关系，与它们的位置无关。（2）若两个角互余，则这两个角一定都是锐角；若两个角互补，则这两个角可能都是直角，也可能一个是锐角，另一个是钝角。
第6章 图形的初步知识
6.8 余角和补角
七上数学 ZJ
1.了解互为余角、互为补角的概念，会求一个角的余角或补角。2.掌握同角或等角的余角（补角）相等，并能说明两角相等，培养推理能力。3.会用方向角表示方向，发展几何直观。
名称
概念
数学语言
图示
互为余角
如果两个锐角的和是一个直角，我们就说这两个角互为余角，简称互余，也可以说其中一个角是另一个角的余角。
解：相等。因为点，，在同一条直线上，所以 ，即 。因为点，，在同一条直线上，所以 ，即 ，所以 。
2018-2019学年七年级数学上册 第6章 图形的初步认识 6.8 余角和补角教学课件 (新版)浙
COD COE 1 AOC 1 BOC
2
2
1 (AOC BOC) 90 2
所以，∠COD和∠COE互为余角，
同理∠AOD和∠BOE，∠AOD和∠COE，
∠COD和∠BOE也互为余角。
E
西 C
F
北 D 45° 45° O
B南
（1）正东，正南，正西，正北
H 射线OA OB OC OD
（2）西北方向:_射__线__O_E__
东
西南方向:_射__线__O_F__
A
东南方向:_射__线__O_G__
G
东北方向:_射__线__O_H__
北 （3）南偏西25°BFra bibliotek70°
射线 OA
西
O
东 北偏西70°
60°
射线 OB
C
25°
南偏东60°
A南
射线OC
北 乙地对甲地的方位角
1. 先找出中心点,然后画
出方向指标 2. 把中心点和目的地用线
(即北偏西45°)方向上又
北
分别发现了客轮B,货
●D
●B
45°40°
轮C和海岛D.仿照表示
O
灯塔方位的方法,画出 西
●
东
表示客轮B,货轮C和海 岛D方向的射线.
60° C●10南°
●A
所以:射线OA的方向就是南偏东60°，即灯塔A 所在的方向。 射线OB的方向就是北偏东40°，即客轮B所在的方向。 射线OC的方向就是南偏西10°，即货轮C所在的方向。 射线OD的方向就是南偏西45°，即海岛D所在的 方向。
（这里用到了： 等量减等量，差相等）
如图∠1 与∠2互余，∠３ 与∠４互余 ，如果∠1＝ ∠３，那么∠2与∠４相等吗？为什么？
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图 6－8－8
解：(1)∵∠AOC 与∠AOB 互补， ∴∠AOC＋∠AOB＝180°， ∵∠AOC＋∠DOC＝180°，∴∠COD＝∠AOB； (2)∵∠AOB 与∠AOC 互补，∠AOB＝30°， ∴∠AOC＝180°－30°＝150°， ∵OM 为∠AOC 的平分线，∴∠AOM＝75°， ∵ON 为∠AOB 的平分线，∴∠AON＝15°， ∴∠MON＝75°－15°＝60°； (3)∵∠MON＝55°，∴∠AOM－∠AON＝55°，
9．∵∠1＋∠2＝180°，∠2＋∠3＝180°，∴∠1＝∠3，根据是
__同__角___的__补__角__相__等____．
10．如图 6－8－5，∠1 与∠2 互余，∠3 与∠4 互余，如果∠1＝∠3， 那么∠2 与∠4 相等吗？为什么？
图 6－8－5 解：∠2＝∠4.理由：等角的余角相等．
11．如图 6－8－6，O 为直线 AB 上一点，ON 平分 ∠BOC，OM 平分∠AOC，那么图中互余的角共有
8．(1)[2018·黔三州改编]若∠α＝35°，则∠α 的补角为_1_4_5_°___，∠α 的余角为__5_5_°____，∠α 的补角与余角的差为__9_0_°___；
(2)已知一个角为 x，则它的余角为__9_0_°__－__x__，补角为__1_8_0_°__－__x__，
补角与余角的差是__9_0_°___； (3)[2018·日照]一个角是 70°39′，则它的余角的度数是__1_9_°__2_1_′__．
13．如图 6－8－7，已知 OB 的方向是南偏东 60°，OA，OC 分别平分∠NOB 和∠NOE.求 ∠AOC 的度数． 解：∵OB 的方向是南偏东 60°， ∴∠BOE＝30°， ∴∠NOB＝30°＋90°＝120°，
∵OA 平分∠NOB，∴∠NOA＝12∠NOB＝60°，
∵OC 平分∠NOE，∴∠NOC＝12∠NOE＝45°， ∴∠AOC＝∠NOA－∠NOC＝60°－45°＝15°.
(3)当∠COD 的位置如图③所示时，若∠AOC 与∠BOD 互补，请你 过点 O 作射线 OM，使得∠COM 为∠AOC 的余角，并求出∠MOE 的度数．(题中的角都是小于平角的角) 解：(1)∵∠COD＝90°，∠EOC＝35°， ∴∠EOD＝55°，∵OE 平分∠BOD， ∴∠BOD＝2∠EOD＝110°， ∴∠AOD＝∠AOB－∠BOD＝40°； (2)∵∠AOB＝150°，∠COD＝90°， ∴∠AOC＋∠BOD＝360°－150°－90°＝120°， ∵OF 平分∠AOC，OE 平分∠BOD，
∴12∠AOC－12∠AOB＝55°， ∠AOC－∠AOB＝110°， ∴∠AOC－(180°－∠AOC)＝110°， 解得∠AOC＝145°.
15．[2018 春·南岗区期末]在同一平面内已知∠AOB＝150°，∠COD ＝90°，OE 平分∠BOD.
图 6－8－9 (1)当∠COD 的位置如图 6－8－9①所示时，且∠EOC＝35°，求 ∠AOD 的度数； (2)当∠COD 的位置如图②所示时，作∠AOC 的角平分线 OF，求 ∠EOF 的度数；
6.8 余角和补角
1．[2018·白银]若一个角为 65°，则它的补角的度数为
A．25°
B．35°
(C)
C．115°
D．125°
【解析】 ∵一个角为 65°，∴它的补角＝180°－65°＝115°，故
选 C.
2．[2017·常德]若一个角为 75°，则它的余角的度数为
A．285°
B．105°
C．75°
与射线 OA 夹角为 90°，则 OB 的方位角是
(B)
A．北偏西 30° C．东偏北 30°
图 6－8－2 B．北偏西 60° D．东偏北 60°
5．[2018·德州]如图 6－8－3，将一副三角尺按不同的位置摆放，下
列摆放方式中∠α 与∠β 互余的是
( A)
图 6－8－3
A．图①
B．图②
C．图③
图6－8－7
14．如图 6－8－8，已知 O 为直线 AD 上一点，OB 是∠AOC 内部 一条射线且满足∠AOB 与∠AOC 互补，OM，ON 分别为∠AOC， ∠AOB 的平分线． (1)∠COD 与∠AOB 相等吗？请说明理由； (2)若∠AOB＝30°，试求∠AOM 与∠MON 的度数； (3)若∠MON＝55°，试求∠AOC 的度数．
正确的是
(C)
图 6－8－4 A．∠NOQ＝42° B．∠NOP＝132° C．∠PON 比∠MOQ 大 D．∠MOQ 与∠MOP 互补
【解析】 如图所示，∠NOQ＝138°，选项 A 错误； ∠NOP＝48°，选项 B 错误； ∠PON＝48°，∠MOQ＝42°，∠PON 比∠MOQ 大，选项 C 正确； ∠MOQ＋∠MOP≠180°，∠MOQ 与∠MOP 不互补，．3 对 D．6 对
(C ) 图6－8－6
【解析】 互余的角有∠CON 与∠COM， ∠BON 与∠COM，∠AOM 与∠CON，∠AOM 与∠BON，共 4 对．故选 C.
12．[2017 春·莲湖区期中]若一个角的补角是这个角的余角的 3 倍， 求这个角的度数．
解：设这个角是 x， 则这个角的补角为 180°－x，余角为 90°－x， 所以 3(90°－x)＝180°－x， 整理，可得 2x＝90°，解得 x＝45°， 即这个角的度数为 45°.
D．图④
【解析】 图①中∠α 与∠β 互余，图②中∠α＝∠β，图③中∠α＝
∠β，图④中两角互补．故选 A.
6．已知岛 P 位于岛 Q 的正西方，由岛 P，Q 分别测得船 R 位于南
偏东 30°和南偏西 45°方向上，符合条件的示意图是
(D)
7．已知 M，N，P，Q 四点的位置如图 6－8－4 所示，下列结论中，
D．15°
( D)
3．如图 6－8－1，下列说法中错误的是
( D)
图 6－8－1 A．OA 表示的方向是北偏西 32° B．OC 表示的方向是南偏东 60° C．OB 表示的方向是西南方向 D．OD 表示的方向是北偏东 60°
【解析】 OD 表示的方向是北偏东 30°.故选 D.
4．如图 6－8－2，OA 是北偏东 30°方向的一条射线，若射线 OB
∴∠COF＝12∠AOC，∠DOE＝12∠BOD， ∴∠COF＋∠DOE＝60°， ∴∠EOF＝60°＋90°＝150°；
(3)设∠AOC＝α， ∵∠AOB＝150°，∠COD＝90°， ∴∠AOD＝90°－α，∠BOC＝150°－α， ∵∠AOC 与∠BOD 互补， ∴∠AOC＋∠BOD＝180°， ∴∠AOD＋∠BOC＝180°， ∴90°－α＋150°－α＝180°， ∴α＝30°，即∠AOC＝30°， ∴∠BOD＝150°，∵OE 平分∠BOD， ∴∠DOE＝∠BOE＝75°， 如答图①，∵∠COM 为∠AOC 的余角，
第 15 题答图 ∴∠COM＝60°，∴∠DOM＝30°， ∴∠MOE＝∠MOD＋∠DOE＝30°＋75°＝105°； 如答图②，∵∠COM 为∠AOC 的余角， ∴∠COM＝60°，∠BOM＝60°， ∴∠MOE＝∠BOM＋∠BOE＝60°＋75°＝135°. 综上所述，∠MOE 的度数为 105°或 135°.
解：(1)∵∠AOC 与∠AOB 互补， ∴∠AOC＋∠AOB＝180°， ∵∠AOC＋∠DOC＝180°，∴∠COD＝∠AOB； (2)∵∠AOB 与∠AOC 互补，∠AOB＝30°， ∴∠AOC＝180°－30°＝150°， ∵OM 为∠AOC 的平分线，∴∠AOM＝75°， ∵ON 为∠AOB 的平分线，∴∠AON＝15°， ∴∠MON＝75°－15°＝60°； (3)∵∠MON＝55°，∴∠AOM－∠AON＝55°，
9．∵∠1＋∠2＝180°，∠2＋∠3＝180°，∴∠1＝∠3，根据是
__同__角___的__补__角__相__等____．
10．如图 6－8－5，∠1 与∠2 互余，∠3 与∠4 互余，如果∠1＝∠3， 那么∠2 与∠4 相等吗？为什么？
图 6－8－5 解：∠2＝∠4.理由：等角的余角相等．
11．如图 6－8－6，O 为直线 AB 上一点，ON 平分 ∠BOC，OM 平分∠AOC，那么图中互余的角共有
8．(1)[2018·黔三州改编]若∠α＝35°，则∠α 的补角为_1_4_5_°___，∠α 的余角为__5_5_°____，∠α 的补角与余角的差为__9_0_°___；
(2)已知一个角为 x，则它的余角为__9_0_°__－__x__，补角为__1_8_0_°__－__x__，
补角与余角的差是__9_0_°___； (3)[2018·日照]一个角是 70°39′，则它的余角的度数是__1_9_°__2_1_′__．
13．如图 6－8－7，已知 OB 的方向是南偏东 60°，OA，OC 分别平分∠NOB 和∠NOE.求 ∠AOC 的度数． 解：∵OB 的方向是南偏东 60°， ∴∠BOE＝30°， ∴∠NOB＝30°＋90°＝120°，
∵OA 平分∠NOB，∴∠NOA＝12∠NOB＝60°，
∵OC 平分∠NOE，∴∠NOC＝12∠NOE＝45°， ∴∠AOC＝∠NOA－∠NOC＝60°－45°＝15°.
(3)当∠COD 的位置如图③所示时，若∠AOC 与∠BOD 互补，请你 过点 O 作射线 OM，使得∠COM 为∠AOC 的余角，并求出∠MOE 的度数．(题中的角都是小于平角的角) 解：(1)∵∠COD＝90°，∠EOC＝35°， ∴∠EOD＝55°，∵OE 平分∠BOD， ∴∠BOD＝2∠EOD＝110°， ∴∠AOD＝∠AOB－∠BOD＝40°； (2)∵∠AOB＝150°，∠COD＝90°， ∴∠AOC＋∠BOD＝360°－150°－90°＝120°， ∵OF 平分∠AOC，OE 平分∠BOD，
∴12∠AOC－12∠AOB＝55°， ∠AOC－∠AOB＝110°， ∴∠AOC－(180°－∠AOC)＝110°， 解得∠AOC＝145°.
15．[2018 春·南岗区期末]在同一平面内已知∠AOB＝150°，∠COD ＝90°，OE 平分∠BOD.
图 6－8－9 (1)当∠COD 的位置如图 6－8－9①所示时，且∠EOC＝35°，求 ∠AOD 的度数； (2)当∠COD 的位置如图②所示时，作∠AOC 的角平分线 OF，求 ∠EOF 的度数；
6.8 余角和补角
1．[2018·白银]若一个角为 65°，则它的补角的度数为
A．25°
B．35°
(C)
C．115°
D．125°
【解析】 ∵一个角为 65°，∴它的补角＝180°－65°＝115°，故
选 C.
2．[2017·常德]若一个角为 75°，则它的余角的度数为
A．285°
B．105°
C．75°
与射线 OA 夹角为 90°，则 OB 的方位角是
(B)
A．北偏西 30° C．东偏北 30°
图 6－8－2 B．北偏西 60° D．东偏北 60°
5．[2018·德州]如图 6－8－3，将一副三角尺按不同的位置摆放，下
列摆放方式中∠α 与∠β 互余的是
( A)
图 6－8－3
A．图①
B．图②
C．图③
图6－8－7
14．如图 6－8－8，已知 O 为直线 AD 上一点，OB 是∠AOC 内部 一条射线且满足∠AOB 与∠AOC 互补，OM，ON 分别为∠AOC， ∠AOB 的平分线． (1)∠COD 与∠AOB 相等吗？请说明理由； (2)若∠AOB＝30°，试求∠AOM 与∠MON 的度数； (3)若∠MON＝55°，试求∠AOC 的度数．
正确的是
(C)
图 6－8－4 A．∠NOQ＝42° B．∠NOP＝132° C．∠PON 比∠MOQ 大 D．∠MOQ 与∠MOP 互补
【解析】 如图所示，∠NOQ＝138°，选项 A 错误； ∠NOP＝48°，选项 B 错误； ∠PON＝48°，∠MOQ＝42°，∠PON 比∠MOQ 大，选项 C 正确； ∠MOQ＋∠MOP≠180°，∠MOQ 与∠MOP 不互补，．3 对 D．6 对
(C ) 图6－8－6
【解析】 互余的角有∠CON 与∠COM， ∠BON 与∠COM，∠AOM 与∠CON，∠AOM 与∠BON，共 4 对．故选 C.
12．[2017 春·莲湖区期中]若一个角的补角是这个角的余角的 3 倍， 求这个角的度数．
解：设这个角是 x， 则这个角的补角为 180°－x，余角为 90°－x， 所以 3(90°－x)＝180°－x， 整理，可得 2x＝90°，解得 x＝45°， 即这个角的度数为 45°.
D．图④
【解析】 图①中∠α 与∠β 互余，图②中∠α＝∠β，图③中∠α＝
∠β，图④中两角互补．故选 A.
6．已知岛 P 位于岛 Q 的正西方，由岛 P，Q 分别测得船 R 位于南
偏东 30°和南偏西 45°方向上，符合条件的示意图是
(D)
7．已知 M，N，P，Q 四点的位置如图 6－8－4 所示，下列结论中，
D．15°
( D)
3．如图 6－8－1，下列说法中错误的是
( D)
图 6－8－1 A．OA 表示的方向是北偏西 32° B．OC 表示的方向是南偏东 60° C．OB 表示的方向是西南方向 D．OD 表示的方向是北偏东 60°
【解析】 OD 表示的方向是北偏东 30°.故选 D.
4．如图 6－8－2，OA 是北偏东 30°方向的一条射线，若射线 OB
∴∠COF＝12∠AOC，∠DOE＝12∠BOD， ∴∠COF＋∠DOE＝60°， ∴∠EOF＝60°＋90°＝150°；
(3)设∠AOC＝α， ∵∠AOB＝150°，∠COD＝90°， ∴∠AOD＝90°－α，∠BOC＝150°－α， ∵∠AOC 与∠BOD 互补， ∴∠AOC＋∠BOD＝180°， ∴∠AOD＋∠BOC＝180°， ∴90°－α＋150°－α＝180°， ∴α＝30°，即∠AOC＝30°， ∴∠BOD＝150°，∵OE 平分∠BOD， ∴∠DOE＝∠BOE＝75°， 如答图①，∵∠COM 为∠AOC 的余角，
第 15 题答图 ∴∠COM＝60°，∴∠DOM＝30°， ∴∠MOE＝∠MOD＋∠DOE＝30°＋75°＝105°； 如答图②，∵∠COM 为∠AOC 的余角， ∴∠COM＝60°，∠BOM＝60°， ∴∠MOE＝∠BOM＋∠BOE＝60°＋75°＝135°. 综上所述，∠MOE 的度数为 105°或 135°.