苏教版2019数学热点难点名师精讲专题25+实际问题中的解三角形问题含答案

（1）警员甲从 出发，沿 行至点 处，此时
，求 的距离；
（2）警员甲从 出发沿 前往 ，警员乙从 出发沿������������前往 ，两人同时出发，甲的速度为 3 千米/小时，乙
的速度为 6 千米/小时.两人通过专用对讲机保持联系，乙到达 后原地等待，直到甲到达 时任务结束.若对
讲机的有效通话距离不超过 9 千米，试问两人通过对讲机能保持联系的总时长？
1 (3)S＝2r(a＋b＋c)(r 为内切圆半径)．
应用举例:
类型一、测量高度问题
【例 1】【河北省衡水中学 2018 届高三第十六次模拟考试】如图，一山顶有一信号塔 CD （ CD 所在的直线 与地平面垂直），在山脚 A 处测得塔尖 C 的仰角为 ，沿倾斜角为 的山坡向上前进 l 米后到达 B 处，测得
所以
，
时长为 3 小时．
15 + 20
3＋
＝ 7 （小时）．
2
1
15 + 20 答：两人通过对讲机能保持联系的总时长是 7 小时． 点睛：考查正弦定理解三角形的应用以及对实际应用的分析问题和解决的能力，属于中档题.
【例 4】【上海市 2018 年 5 月高考模练习（一）】钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土，如图:点������．������、������分
1
考纲要求: 1 . 能运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题． 2.研究测量距离问题，解决此问题的方法是：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三 角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．常见的命题角度有：(1)两点都不可到达；(2)两点不相通的 距离；(3)两点间可视但有一点不可到达．
（1）求该军舰艇的速度. （2）求 的值.
【答案】（1）14 海里/小时；（2） .
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1
点睛：与解三角形相关的实际问题中，我们常常碰到方位角、俯角、仰角等，注意它们的差别.另外，把实
际问题抽象为解三角形问题时，注意分析三角形的哪些量是已知的，要求的哪些量，这样才能确定用什么定
理去解决. 【例 7】如图，位于 A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距 40 海里的 B 处有一艘渔船遇险，在原地等待 营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西 30°、相距 20 海里的 C 处的乙船，现乙船朝北偏东 θ 的方向 沿直线 CB 前往 B 处救援，求 cos θ 的值．
2
1
【答案】10 6 【解析】如图，设电视塔 AB 高为 x m，则在 Rt△ABC 中，由∠ACB＝45°得 BC＝x. 在 Rt△ADB 中，∠ADB＝30°，则 BD＝ 3x. 在△BDC 中，由余弦定理得，BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos 120°， 即( 3x)2＝x2＋402－2·x·40·cos 120°，解得 x＝40，所以电视塔高为 40 m. 点评：求解高度问题应注意的 3 个问题
21 【答案】 14 .
点评：解决测量角度问题的 3 个注意事项 (1)测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义． (2)求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值． (3)在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题， 解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点．
2
,
sinDBC sinCDB
2
所以，山顶位于 D 处南偏东1350 .
2．【江苏省盐城中学 2018 届高三上学期期末考试】我校为丰富师生课余活动，计划在一块直角三角形
ABC 的空地上修建一个占地面积为 S （平方米）的 AMPN 矩形健身场地，如图，点 M 在 AC 上，点
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N 在 AB 上，且 P 点在斜边 BC 上，已知 ACB 60 ， AC 30 米， AM x 米， x 10, 20.设
【答案】（1）航行速度是每小时 6 3 1 千米.（2）山顶位于 D 处南偏东1350 .
所以 AB 2 3 1 ， 船的航行速度是每小时 6 3 1 千米.
（2）在 BCD 中，由余弦定理得： CD 6 ，
在 BCD 中，由正弦定理得：
CD
B
sinCDB
C 的仰角为 .
（1）求 BC 的长；
（2）若 l 24 ， 45 ， 75 ， 30 ，求信号塔 CD 的高度.
【答案】(1)
BC

sin sin


l
；(2)
24 8
3.
【例 2】 要测量电视塔 AB 的高度，在 C 点测得塔顶 A 的仰角是 45°，在 D 点测得塔顶 A 的仰角是 30°， 并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，求电视塔的高度．
3.三角形面积公式的应用原则
1
1
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(1)对于面积公式 S＝2absin C＝2acsin B＝2bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．
2
1
(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化． 实战演练: 1．【东北师大附中、哈尔滨师大附中、辽宁省实验中学 2017 届高三下学期第四次联合模拟考试】如图，一
2
15 + 20
【答案】（1）
；（2） 7
【解析】分析：（1）在 中，������������ = 6，
，
1
，然后由正弦定理可得 BP，（2）甲从 C
到 A，需要 4 小时，乙从 A 到 B 需要 1 小时．设甲、乙之间的距离为������(������)，要保持通话则需要
．
当
时， 当
时，分别求得对应的时长在求和即得到结论.
=
=
= 3 3（ 6 ‒ 2）
2+ 6 6+ 2
4
即
4
，
故 的距离是 9 －3 千米．
������(������) = 36 + (12 ‒ 3������)2 ‒ 2 ⋅ 6(12 ‒ 3������)������������������60°
， 即������2 ‒ 6������ + 3 ≤ 0，解得3 ‒ 6 ≤ ������ ≤ 3 + 6，又
类型二、测量距离问题 研究测量距离问题，解决此问题的方法是：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角 形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．常见的命题角度有：(1)两点都不可到达；(2)两点不相通的距 离；(3)两点间可视但有一点不可到达．
【例 3】【江苏省南京师大附中 2018 届高三高考考前模拟考试】如图，������,������,������三个警亭有直道相通，已知������在 的正北方向 6 千米处，������在 的正东方向 千米处.
类型三、测量角度问题 【例 6】【河北省邯郸市 2017-2018 学年高二下学期期末考试】如图,某军舰艇位于岛的 的正西方 处,且与
岛的 相距 12 海里.经过侦察发现,国际海盗船以 10 海里/小时的速度从岛屿 出发沿北偏东 30°方向逃窜,
同时,该军舰艇从 处出发沿北偏东
的方向匀速追赶国际海盗船,恰好用 2 小时追上.
条巡逻船由南向北行驶，在 A 处测得山顶 P 在北偏东150 BAC 150 方向上，匀速向北航行 20 分钟到
达 B 处，测得山顶 P 位于北偏东 600 方向上，此时测得山顶 P 的仰角 600 ，若山高为 2 3 千米，
（1）船的航行速度是每小时多少千米？
（2）若该船继续航行10 分钟到达 D 处，问此时山顶位于 D 处的南偏东什么方向？
为 α(如图(b))．
3．方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)××度．
a
b
c
4.sin A＝sin B＝sin C＝2R，其中 R 是三角形外接圆的半径．
由正弦定理可以变形：(1) a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；(2) a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C.
5．余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，c2＝a2＋b2－2abcos C．
b2＋c2－a2
a2＋c2－b2
a2＋b2－c2
变形：cos A＝ 2bc ，cos B＝ 2ac ，cos C＝ 2ab .
6.在△ABC 中，已知 a，b 和 A 解三角形时，解的情况
(6)在△ABC 中，A，B，C 成等差数列的充要条件是 B＝60° .
(7)△ABC 为正三角形的充要条件是 A，B，C 成等差数列且 a，b，c 成等比数列．
2.判定三角形形状的两种常用途径
(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．
（2）利用正弦定理、余弦定理化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断．
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其方法在 A 所在的岸边选定一点 C，可以测出 AC 的距离 m，再借助仪器，测出∠ACB＝α，∠CAB＝β，在△ ABC 中，运用正弦定理就可以求出 AB.若测出 AC＝60 m，∠BAC＝75°，∠BCA＝45°，则 A，B 两点间的距 离为________m. 【答案】200 7 m.
点评：求距离问题的 2 个注意事项 (1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量， 则把未知量放在另一确定三角形中求解． (2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．
方法、规律归纳:
1.三角形中常见的结论
Hale Waihona Puke (1)A＋B＋C＝π. (2)在△ABC 中，A＞B⇔a＞b⇔sinA＞sinB⇔cosA＜cosB.