2019高考总复习优化设计1轮理科数学人教B课时规范练23 解三角形(附答案)
人教A版理科数学一轮复习解三角形的应用专题精选课时习题(含答案解析)
课时作业(二十三) [第23讲解三角形的应用][时间：45分钟分值：100分]基础热身1．已知两座灯塔A、B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东10°D．南偏西10°2．已知A、B两地的距离为10 km，B、C两地的距离为20 km，观测得∠ABC＝120°，则A、C两地的距离为()A．10 km B. 3 kmC．10 5 km D．107 km3．有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为()A．1 B．2sin10°C．2cos10°D．cos20°4．如图K23－1，一艘船上午8：00在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午8：30到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距4 2 n mile，则此船的航行速度是________ n mile/h.图K23－1能力提升5．如图K23－2，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A、B两点的距离为()图K23－2A．50 2 m B．50 3 mC．25 2 m D.2522m6．两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为()A ．a km B.2a km C ．2a km D.3a km7．据新华社报道，强台风“珍珠”在广东饶平登陆．台风中心最大风力达到12级以上，大风降雨给灾区带来严重的灾害，不少大树被大风折断．某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成45°角，树干也倾斜为与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20 m ，则折断点与树干底部的距离是( )A.2063 m B ．10 6 mC.1063m D ．20 2 m8． 海事救护船A 在基地的北偏东60°，与基地相距100 3 n mile ，渔船B 被困海面，已知B 距离基地100 n mile ，而且在救护船A 的正西方，则渔船B 与救护船A 的距离是( )A ．100 n mileB ．200 n mileC ．100 n mile 或200 n mileD ．100 3 n mile9．某人在C 点测得某塔在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10 m 到D ，测得塔顶A 的仰角为30°，则塔高为( )A ．15 mB ．5 mC ．10 mD ．12 m10．已知A 船在灯塔C 北偏东80°处，且A 船到灯塔C 的距离为2 km ，B 船在灯塔C 北偏西40°处，A 、B 两船间的距离为3 km ，则B 船到灯塔C 的距离为________ km.11．如图K23－3，在坡角为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，且第一排和最后一排的距离为10 6 m ，则旗杆的高度为________ m.图K23－312． 如图K23－4，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选取一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10 m 到位置D ，测得∠BDC ＝45°，则塔AB 的高是________ m.图K23－413． △ABC 中，AB ＝22，BC ＝5，A ＝45°，∠B 为△ABC 中最大角，D 为AC 上一点，AD ＝12DC ，则BD ＝________.14．(10分)以40 km/h 向北偏东30°航行的科学探测船上释放了一个探测气球，气球顺风向正东飘去，3 min 后气球上升到1000 m 处，从探测船上观察气球，仰角为30°，求气球的水平飘移速度．15．(13分) 如图K23－5所示，甲船由A 岛出发向北偏东45°的方向作匀速直线航行，速度为15 2 n mile/h ，在甲船从A 岛出发的同时，乙船从A 岛正南40 n mile 处的B 岛出发，朝北偏东θ⎝⎛⎭⎫tan θ＝12的方向作匀速直线航行，速度为m n mile/h.(1)若两船能相遇，求m .(2)当m ＝105时，求两船出发后多长时间距离最近，最近距离为多少n mile?图K23－5难点突破16．(12分)某海岛上有一座海拔1 km 的山，山顶上有一观察站P (P 在海平面上的射影点为A )，测得一游艇在海岛南偏西30°，俯角为45°的B 处，该游艇准备前往海岛正东方向，俯角为45°的旅游景点C 处，如图K23－6所示．(1)设游艇从B 处直线航行到C 处时，距离观察站P 最近的点为D 处． (i)求证：BC ⊥平面P AD ； (ii)计算B 、D 两点间的距离．(2)海水退潮后，在(1)中的点D 处周围0.25 km 内有暗礁，航道变窄，为了有序参观景点，要求游艇从B 处直线航行到A 的正东方向某点E 处后，再沿正东方向继续驶向C 处．为使游艇不会触礁，试求AE 的最大值．图K23－6课时作业(二十三)【基础热身】1．B [解析] 如图，∠CBA ＝12(180°－80°)＝50°，α＝60°－50°＝10°，故选B.2．D [解析] 如图，△ABC 中，AB ＝10，BC ＝20，∠B ＝120°. 由余弦定理得，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos120°， ＝102＋202－2×10×20×⎝⎛⎭⎫－12＝700， ∴AC ＝107 km ，故选D.3．C [解析] 如图，在△ACD 中，由正弦定理，有 AD sin ∠ACD ＝CDsin ∠CAD ，∴AD ＝sin (180°－20°)sin (20°－10°)＝2sin10°cos10°sin10°＝2cos10°，故选C.4．16 [解析] 如图，在△ABS 中，由正弦定理，有 AB sin ∠ASB ＝BSsin A，∴AB ＝42sin (75°－30°)sin30°＝8，故此船的航行速度是8÷12＝16(n mile/h)．【能力提升】5．A [解析] 由题意，得B ＝30°.由正弦定理，得AB sin ∠ACB ＝ACsin B，∴AB ＝AC ·sin ∠ACB sin B ＝50×2212＝502(m)．6．D [解析] 依题意得∠ACB ＝120°，由余弦定理，得 cos120°＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC.∴AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos120° ＝a 2＋a 2－2a 2×⎝⎛⎭⎫－12＝3a 2， ∴AB ＝3a ，故选D.7．A [解析] 如图所示，设树干底部为O ，树尖着地处为B ，折断点为A ，则∠ABO ＝45°，∠AOB ＝75°，∴∠OAB ＝60°.由正弦定理知，AO sin45°＝20sin60°，∴AO ＝2063m ，故选A.8．C [解析] 如图，设基地的位置为O ，在△OAB 中，OA ＝1003，OB ＝100，∠OAB ＝30°， 由余弦定理，有OB 2＝AB 2＋OA 2－2AB ·OA cos ∠OAB ， 即AB 2－300AB ＋2×1002＝0， 解得AB ＝100，或AB ＝200，故选C.9．C [解析] 如图，设塔高为h ，在Rt △AOC 中，∠ACO ＝45°，则OC ＝OA ＝h . 在Rt △AOD 中，∠ADO ＝30°，则OD ＝3h . 在△OCD 中，∠OCD ＝120°，CD ＝10.由余弦定理得，OD 2＝OC 2＋CD 2－2OC ·CD cos ∠OCD ， 即(3h )2＝h 2＋102－2h ×10×cos120°，∴h 2－5h －50＝0，解得h ＝10，或h ＝－5(舍)，故选C.10.6－1 [解析] 如图，由题意可得，∠ACB ＝120°，AC ＝2，AB ＝3，设BC ＝x ，则由余弦定理可得，AB 2＝BC 2＋AC 2－2BC ·AC cos120°， 即32＝x 2＋22－2×2x cos120°， 整理得x 2＋2x ＝5，解得x ＝6－1.11．30 [解析] 设旗杆高为h 米，最后一排为点A ，第一排为点B ，旗杆顶端为点C ，则BC ＝h sin60°＝233h . 在△ABC 中，AB ＝106，∠CAB ＝45°，∠ABC ＝105°， 所以∠ACB ＝30°，由正弦定理得，106sin30°＝233h sin45°，故h ＝30.12．106 [解析] 在△BCD 中，CD ＝10，∠BDC ＝45°， ∠BCD ＝90°＋15°＝105°，∠CBD ＝180°－105°－45°＝30°， 由正弦定理，有CD sin30°＝BC sin45°，则BC ＝10×2212＝102，在Rt △ABC 中，AB ＝BC tan60°＝10 6. 13.5 [解析] 在△ABC 中，由正弦定理，有 AB sin C ＝BC sin A ，即sin C ＝22sin45°5＝25， ∴cos C ＝1－sin 2C ＝15， sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝22×15＋22×25＝3225，由正弦定理，有AC sin B ＝BC sin A，得AC ＝5×322522＝3.∵AD ＝12DC ，∴AD ＝1，DC ＝2，在△ABD 中，BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos45° ＝(22)2＋12－2×22×1×22＝5， ∴BD ＝ 5.14．[解答] 如图，船从A 航行到C 处，气球飘到D 处． 由题知，BD ＝1 000 m ＝1 km ，AC ＝2 km ，∵∠BCD ＝30°， ∴BC ＝ 3 km. 设AB ＝x km ，在△ABC 中，∵∠BAC ＝90°－30°＝60°， ∴由余弦定理得22＋x 2－2×2x cos60°＝(3)2， ∴x 2－2x ＋1＝0，∴x ＝1.∴气球水平飘移速度为1120＝20(km/h)．15．[解答] (1)设t 小时后，两船在M 处相遇， 由tan θ＝12，得sin θ＝55，cos θ＝255，所以sin ∠AMB ＝sin(45°－θ)＝1010. 由正弦定理，AM sin θ＝ABsin ∠AMB ，∴AM ＝402，同理得BM ＝40 5.∴t ＝402152＝83，m ＝40583＝15 5.(2)以A 为原点，BA 所在直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设在t 时刻甲、乙两船分别在P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)处，则|AP |＝152t ，|BQ |＝105t .由任意角三角函数的定义，可得 ⎩⎨⎧x 1＝152t cos45°＝15t ，y 1＝152t sin45°＝15t ， 即点P 的坐标是(15t,15t )，⎩⎨⎧x 2＝105t sin θ＝10t ，y 2＝105t cos θ－40＝20t －40，即点Q 的坐标是(10t,20t －40)，∴|PQ |＝(－5t )2＋(5t －40)2＝50t 2－400t ＋1600＝50(t －4)2＋800≥202，当且仅当t ＝4时，|PQ |取得最小值202，即两船出发4小时时，距离最近，最近距离为20 2 n mile. 【难点突破】16．[解答] (1)(i)连接PD ，AD ，∵游艇距离观察站P 最近的点为D 处，∴PD ⊥BC . 又依题意可知P A ⊥平面ABC ，∴P A ⊥BC . 又P A ∩PD ＝P ，∴BC ⊥平面P AD .(ii)依题意知P A ⊥AB ，∠PBA ＝45°，P A ＝1，∴AB ＝1， 同理AC ＝1，且∠BAC ＝120°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝30°. 又BC ⊥AD ，∴D 为BC 的中点，且BD ＝32.(2)解法一：依题意过点B 作圆D 的切线交AC 于点E ，切点为G ， 则AE 取得最大值．设AE ＝x ，则CE ＝1－x ，过点E 作EF ⊥BC 于F ，则EF ＝1－x2.连接DG ，则DG ⊥BE ，∴Rt △BGD ∽Rt △BFE ，∴BE ＝3(1－x )．在△ABE 中，BE 2＝AB 2＋AE 2－2AB ·AE ·cos ∠BAC ， 即3(1－x )2＝1＋x 2＋x ，化简得2x 2－7x ＋2＝0， 解得x 1＝7＋334，x 2＝7－334.又∵0<x <1，∴x ＝7－334，答：BD 的长为32 km ，AE 的最大值为7－334km. 解法二：在平面ABC 内，以A 为坐标原点，AC 为x 轴，建立直角坐标系，依题意，当直线BE 与圆D 相切时AE 最长．由已知AB ＝1得B ⎝⎛⎭⎫－12，－32，可设直线BE ：y ＋32＝k ⎝⎛⎭⎫x ＋12， 即kx －y ＋k 2－32＝0，由(1)知D 为BC 的中点，由C (1,0)知D ⎝⎛⎭⎫14，－34.则D 到直线BE 距离为14，即⎪⎪⎪⎪3k 4－341＋k 2＝14， 得4k 2－33k ＋1＝0，即k ＝33±118⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＝33－118舍去，∴直线BE 的方程：y ＋32＝33＋118⎝⎛⎭⎫x ＋12， 令y ＝0时，得x ＝7－334，即AE ＝7－334，答：BD 的长为32 km ，AE 的最大值为7－334km.。
2020版高考数学理科(人教B版)一轮复习课时规范练23解三角形Word版含解析
课时标准练23 解三角形根底稳固组1.(2021山西吕梁一模,4)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a=,c=3,cos A= ,那么 b=()或3 D.无解2.在△ABC中,acos A=b cos B,那么△ABC的形状是()A. 等腰三角形B. 直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形3.(2021湖南长郡中学四模,11)在△ABC 中 ,角 A,B,C 所对的边分别为a,b,c, sin B+ sin A(sin C-cosC)= 0,a= 2,c=,那么角C= ()A. B. C. D.4.在△ABC中,B=,BC 边上的高等于BC,那么 cos A=()A. B.5.(2021湖南长郡中学五模,10)在△ABC 中 ,角 A,B,C 的对边分别为a,b,c,且=-,那么角 A 的最大值为()A. B. C. D.6.(2021河北衡水中学三模,14)在△ABC 中 ,角 A,B,C 所对的边分别为a,b,c,且满足 asin B=b cos A,那么sin B-cos C 的最大值是.7.(2021北京,文14)假设△ABC的面积为(a2+c 2-b2), 且∠ C 为钝角 ,那么∠ B=; 的取值范围是.8.如下图,长为3.5 m的木棒AB斜靠在石堤旁,木棒的一端A在离堤足C处1.4 m的地面上,另一端B 在离堤足C 处 2.8 m 的石堤上 ,石堤的倾斜角为α,那么坡度值 tan α=.9.(2021河北唐山一模,16)在△ABC 中 ,角 A,B,C 的对边分别为a,b,c,AB 边上的高为h,假设 c= 2h,那么的取值范围是.10.在△ABC中,∠A= 60°,c= a.(1)求 sin C 的值 ;(2)假设 a= 7,求△ABC 的面积 .综合提升组11.(2021河北衡水中学考前仿真,10)在△ABC 中 ,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,a= 5,△ABC 的面积S△ABC=,且 b2+c 2-a2=ac cos C+c 2cos A,那么sin B+ sin C= ()B. C.12.(2021河北衡水中学月考,12) △ABC 的内角B+b cos A)=abc ,假设 a+b= 2,那么 c 的取值范围为( A.(0,2) B.[1,2)A,B,C 的对边分别是 )a,b,c,且 (a2+b 2-c2) ·(acosC. D.(1,2]13.(2021河北衡水中学九模,14)如图 ,为了测量河对岸A、B 两点之间的距离,观察者找到一个点C,从点 C 可以观察到点A、 B;找到一个点D,从点 D 可以观察到点A、 C; 找到一个点E,从点 E 可以观察到点 B、C;并测量得到一些数据:CD= 2,CE= 2,∠D= 45° ,∠ACD= 105° ,∠° ,∠BCE= 75° ,∠ E= 60° ,那么A、 B 两点之间的距离为.其中°取近似值14.(2021湖南长郡中学四模,17)如图,在△ABC中,∠B= ,D为边BC上的点,E为AD上的点,且AE= 8,AC= 4 ,∠ CED= .(1)求 CE的长;(2)假设 CD= 5,求 cos∠DAB 的值 .创新应用组15.(2021江苏,13)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠ABC= 120° ,∠ ABC 的平分线交AC 于点 D ,且 BD= 1,那么 4a+c 的最小值为.16.岛A南偏西38°方向,距岛A 3 n mile的B处有一艘缉私艇.岛A处的一艘走私船正以10 n的速度向岛北偏西 22°方向行驶 ,问缉私艇朝何方向以多大速度行驶 ,恰好用 0.5 h 能截住该走 mile/h私船 ?参考数据°°课时标准练23 解三角形1.C 由余弦定理 ,得 a 2=b 2+c 2-2bccos A,即 b 2-4b+ 3= 0,解得 b= 1 或 b= 3.应选 C.2.D∵acos A=b cos B,∴sin Acos A= sin Bcos B,∴ sin 2A= sin 2 B,∴ A=B ,或 2A+ 2B= 180° ,即∴.应选 D.A+B= 90° , △ABC 为等腰三角形或直角三角形3.B∵sin B+ sin A(sin C-cos C)= 0,∴sin(A+C )+ sin Asin C-sin Acos C= 0? cos Asin C+ sin Asin C= 0? cos A+ sin A= 0? A=,由正弦定理得 ? sin C= ,C?C= ,选B.4.C(方法一 )设 BC 边上的高为 AD ,那么 BC= 3AD. 结合题意知 BD=AD ,DC= 2AD ,所以AC= AD ,AB=--AD. 由余弦定理 ,得 cos ∠BAC= =-应选 C.(方法二 )如图 ,在 △ABC 中 ,AD 为 BC 边上的高 ,由题意知 ∠ BAD=设 ∠ DAC= α,那么 ∠BAC= α+∵ B C= 3AD,BD=AD. ∴DC= 2AD,AC= AD. ∴sin α=,cos α=,∴cos ∠ BAC= cos α+ = cos αcos -sin αsin(cos α-sin α)= - =- ,应选 C.5.A 由题意结合正弦定理得 =-,所以 tan C=- 3tan B,因此 B,C 中有一钝角 ,角 A 必为锐角 ,∵ t an A=- tan(B+C )=-> 0,-∴tan B> 0,tan A? 0<A,即角 A 的最大值为 ,选 A.6.1 由 asin B=b cos A,得 sin Asin B= sin Bcos A,tan A= 1.所以在 △ABC 中 ,A=-C -cos C= sin C,C ,所以 sin C max = 1.7(2,+ ∞) 由题意 ,得 S △ABC =(a 2+c 2-b 2)= acsin B,即-= sin B,cos B= sin B,∴tan B=∴B=A+C= ,C= -A>,∴0<A< 由正弦定理 ,得-∵0<A< ,∴ tan A,即(2,+∞).sin B- cos C=sin-8 在 △ABC 中 ,AB= 3.5 m,AC= 1.4 m,BC= 2.8 m,且 α+ ∠ ACB= π.由余弦定理 ,可得 AB 2=AC 2+BC 2-2·AC ·BC ·cos ∠ ACB,222即+ 2.8 -2×××cos(π-α), 解得 cos α= ,那么 sin α=,所以 tan α=9.[2,2 ]222∴222absin C= ch,c =a+b-2abcos C, ab=,a +b=c + 2abcos C,=== 2(sin C+ cos C)= 2 sin,∵sin,[2,2 ] .10.解(1)在△ABC中,因为∠A= 60°,c=a,所以由正弦定理得sin C=(2)因为 a= 7,所以 c=7= 3.由余弦定理 a2=b 2+c 2-2bccos A 得 72=b 2+ 32-2b×3,解得 b= 8 或 b=- 5(舍 ).所以△ABC 的面积 S= bcsin A=8×3= 611.C (方法一)∵b2+c2-a2=ac cos C+c2cos A,∴cos A=,∴cos A=,A=∴S△bcsin A=∴∵ 222∴2222= 100,b+c= 10,ABC=,bc= 25. a =b +c-2bccos A, b +c=a+bc= 50,那么 (b+c )∴b=c= 5,∴△ABC 为等边三角形 ,∴s in B+ sin C=(方法二 )∵b2+c 2 -a2=ac cos C+c 2cos A,∴b2+c 2-a2=ac -2-+c=--=bc,∴cos A=-,∴A=△ABC=bcsin A=∴bc= 25.∵22+c2-2bccos A,S, a =b∴b2+c 2=a 2+bc= 50,那么 (b+c )2= 100,b+c= 10,∴b=c= 5,∴△ABC 为等边三角形 ,∴sin B+ sin C=12.B由题意可得-,且 cos C=-= 1,据此可得 cos C= ,即-2+b 2-ab= ( a+b)2- 3ab= 4-3ab≥ 4-,a2+b 2-c2=ab ,据此有 c2=a3= 1,当且仅当 a=b= 1 时等号成立 .三角形满足两边之和大于第三边,那么c<a+b=2,综上可得 ,c 的取值范围为 [1,2) .°13依题意知 ,在△ACD 中 ,∠ A= 30° ,由正弦定理得 AC=° =2在△BCE中 ,∠°在△ABC 中 ,由余弦定理 AB2 =AC 2 +BC 2-2AC·BCcos∠CBE= 45° ,由正弦定理得 BC=° = 3ACB= 10,故 AB=222 14.解(1)由题意可得∠AEC=π-,在△AEC 中,由余弦定理得∴AC =AE +CE-2AE·CEcos∠AEC , 160= 64+CE 2+8CE,整理得 CE2+ 8 CE- 96= 0,解得 CE= 4(2)在△CDE 中 ,由正弦定理得,即∴5sin∠ CDE= 4sin = 4 ,= 4,∴sin∠ CDE=点 D 在边 BC上,∴∠CDE> ∠B=,而∴∠ CDE 只能为钝角 ,,∴c os∠ CDE=- ,∴cos∠ DAB= cos-= cos∠ CDE cos + sin∠ CDEsin-=-15.9由题意可知,S ABC=S ABD+S BCD.由角平分线的性质和三角形面积公式得acsin△△△120° = a×1×sin 60° + c×1×sin 60 °,化简得 ac=a+c ,= 1.因此 4a+c= (4a+c)= 5+ 5+ 2= 9,当且仅当c= 2a= 3 时取等号 ,故 4a+c 的最小值为9.16.C 处截住走私船 ,D 为岛 A 正南方向上的一点 ,缉私艇的速度为 x n mile/h, 那么 BC= 0.5x 2 2222AB·ACcos 120° ,解得 BC = 49,BC= 0.5x= 7,解得 x=14.又由正弦定理得sin∠ ABC=向行驶,所以∠ ABC= 38° .又∠BAD= 38° ,所以,恰好用 0.5 h 截住该走私船 .BC∥ AD.故缉私艇以14 n mile/h的速度向正北方。
2019届人教A版理科数学课时试题及解析(23)解三角形的应用
课时作业(二十三) [第23讲 解三角形的应用][时间：45分钟 分值：100分]基础热身1．已知两座灯塔A 、B 与海洋观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站C 的北偏东40°，灯塔B 在观察站C 的南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东10°D ．南偏西10°2．已知A 、B 两地的距离为10 km ，B 、C 两地的距离为20 km ，观测得∠ABC ＝120°，则A 、C 两地的距离为( )A ．10 km B. km3C ．10 km D ．10 km573．有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为( )A ．1B ．2sin10°C ．2cos10°D ．cos20°4． 如图K23－1，一艘船上午8：00在A 处测得灯塔S 在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午8：30到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°处，且与它相距4 n mile 2能力提升5．如图K23－2，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A 、B 两点的距离为( )A ．50 mB ．50 m23C ．25 m D. m 225226．两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( )A ．a km B.a km2C ．2a km D.a km37．据新华社报道，强台风“珍珠”在广东饶平登陆．台风中心最大风力达到12级以上，大风降雨给灾区带来严重的灾害，不少大树被大风折断．某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成45°角，树干也倾斜为与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20 m ，则折断点与树干底部的距离是( )A. m B ．10 m 20636C. m D ．20 m 106328． 海事救护船A 在基地的北偏东60°，与基地相距100 n mile ，渔船B 被困海面，3已知B 距离基地100 n mile ，而且在救护船A 的正西方，则渔船B 与救护船A 的距离是( )A ．100 n mileB ．200 n mileC ．100 n mile 或200 n mileD ．100 n mile39．某人在C 点测得某塔在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10 m 到D ，测得塔顶A 的仰角为30°，则塔高为( )A ．15 mB ．5 mC ．10 mD ．12 m10．已知A 船在灯塔C 北偏东80°处，且A 船到灯塔C 的距离为2 km ，B 船在灯塔C 北偏西40°处，A 、B 两船间的距离为3 km ，则B 船到灯塔C 的距离为________ km.11．如图K23－3，在坡角为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，且第一排和最后一排的距离为10 m 6图K23－312． 如图K23－4，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选取一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10 m 到位置D ，测得∠BDC ＝45°，则塔AB 的高是13． △ABC 中，AB ＝2，BC ＝，A ＝45°，∠B 为△ABC 中最大角，D 为AC 上25一点，AD ＝DC ，则BD ＝________.1214．(10分)以40 km/h 向北偏东30°航行的科学探测船上释放了一个探测气球，气球顺风向正东飘去，3 min 后气球上升到1000 m 处，从探测船上观察气球，仰角为30°，求气球的水平飘移速度．15．(13分) 如图K23－5所示，甲船由A 岛出发向北偏东45°的方向作匀速直线航行，速度为15 n mile/h ，在甲船从A 岛出发的同时，乙船从A 岛正南40 n mile 处的B 岛出发，2朝北偏东θ的方向作匀速直线航行，速度为m n mile/h.(tan θ＝12)(1)若两船能相遇，求m .5(2)当m＝10时，求两船出发后多长时间距离最近，最近距离为多少n mile?图K23－5难点突破16．(12分)某海岛上有一座海拔1 km的山，山顶上有一观察站P(P在海平面上的射影点为A)，测得一游艇在海岛南偏西30°，俯角为45°的B处，该游艇准备前往海岛正东方向，俯角为45°的旅游景点C处，如图K23－6所示．(1)设游艇从B处直线航行到C处时，距离观察站P最近的点为D处．(i)求证：BC⊥平面PAD；(ii)计算B、D两点间的距离．(2)海水退潮后，在(1)中的点D处周围0.25 km内有暗礁，航道变窄，为了有序参观景点，要求游艇从B处直线航行到A的正东方向某点E处后，再沿正东方向继续驶向C处．为使游艇不会触礁，试求AE的最大值．图K23－6课时作业(二十三)【基础热身】1．B [解析] 如图，∠CBA ＝(180°－80°)＝50°，α＝60°－50°＝10°，故选B.122．D [解析] 如图，△ABC 中，B ＝120°.由余弦定理得，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos120°，＝102＋202－2×10×20×＝700，(－12)∴AC ＝10 km ，故选D.73．C [解析] 如图，在△ACD ＝，AD sin ∠ACD CD sin ∠CAD ∴AD ＝sin (180°－20°)sin (20°－10°)＝＝2cos10°，故选C.2sin10°cos10°sin10°4．16 [解析] 如图，在△ABS ＝，∴AB ＝＝8，AB sin ∠ASB BS sin A 42sin (75°－30°)sin30°故此船的航行速度是8÷＝16(n mile/h)．12【能力提升】5．A [解析] 由题意，得B ＝30°.由正弦定理，得＝，∴AB ＝＝AB sin ∠ACB AC sin B AC ·sin ∠ACB sin B ＝50(m)．50×221226．D [解析] 依题意得∠ACB ＝120°，由余弦定理，得cos120°＝.AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC∴AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos120°＝a 2＋a 2－2a 2×＝3a 2，(－12)∴AB ＝a ，故选D.37．A [解析] 如图所示，设树干底部为O ，树尖着地处为B ，折断点为A ，则∠ABO ＝45°，∠AOB ＝75°，∴∠OAB ＝60°.由正弦定理知，＝，∴AO ＝ m ，故选A.AO2020638．C [解析] 如图，OA ＝100，OB ＝100，∠OAB ＝330°，由余弦定理，有OB 2＝AB 2＋OA 2－2AB ·OA cos ∠OAB ，即AB 2－300AB ＋2×1002＝0，解得AB ＝100，或AB ＝200，故选C.9．C [解析] 如图，设塔高为h ACO ＝45°，则OC ＝OA ＝h .在Rt △AOD 中，∠ADO ＝30°，则OD ＝h .3在△OCD 中，∠OCD ＝120°，CD ＝10.由余弦定理得，OD 2＝OC 2＋CD 2－2OC ·CD cos ∠OCD ，即(h )2＝h 2＋102－2h ×10×cos120°，3∴h 2－5h －50＝0，解得h ＝10，或C.10.－1 [解析] ，AC ＝2，AB ＝3，设BC ＝x ，则6由余弦定理可得，AB 2＝BC 2＋AC 2－2BC ·AC cos120°，即32＝x 2＋22－2×2x cos120°，整理得x 2＋2x ＝5，解得x ＝－611．30 [解析] 设旗杆高为h B ，旗杆顶端为点C ，则BC ＝＝h .h sin60°233在△ABC 中，AB ＝10，∠CAB ＝45°，∠ABC ＝105°，6所以∠ACB ＝30°，由正弦定理得，＝，106sin30°233h sin45°故h ＝30.12．10 [解析] 在△BCD 中，CD ＝10，∠BDC ＝45°，6∠BCD ＝90°＋15°＝105°，∠CBD ＝180°－105°－45°＝30°，由正弦定理，有＝，CD sin30°BC sin45°则BC ＝＝10，10×22122在Rt △ABC 中，AB ＝BC tan60°＝10.613. [解析] 在△ABC 中，由正弦定理，有5＝，即sin C ＝＝，AB sin C BC sin A 22sin45°525∴cos C ＝＝，1－sin 2C 15sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C＝×＋×＝，221522253225由正弦定理，有＝，AC sin B BC sin A 得AC ＝＝3.5×322522∵AD ＝DC ，∴AD ＝1，DC ＝2，12在△ABD 中，BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos45°＝(2)2＋12－2×2×1×＝5，2222∴BD ＝.514．[解答] 如图，船从A 航行到C 处，气球飘到D 处．由题知，BD ＝1 000 m ＝1 km ，∵∠BCD ＝30°，∴BC ＝ km.3设AB ＝x km ，在△ABC 中，∵∠BAC ＝90°－30°＝60°，∴由余弦定理得22＋x 2－2×2x cos60°＝()2，3∴x 2－2x ＋1＝0，∴x ＝1.∴气球水平飘移速度为＝20(km/h)．112015．[解答] (1)设t 小时后，两船在M 处相遇，由tan θ＝，得sin θ＝，cos θ＝，1255255所以sin ∠AMB ＝sin(45°－θ)＝.1010由正弦定理，＝，∴AM ＝40，AM sin θAB sin ∠AMB2同理得BM ＝40.5∴t ＝＝，m ＝＝15.40215283405835(2)以A 为原点，BA 所在直线为yt 时刻甲、乙两船分别在P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)BQ |＝10t .5由任意角三角函数的定义，可得Error!即点P 的坐标是(15t,15t )，Error!即点Q 的坐标是(10t,20t －40)，∴|PQ |＝＝＝≥20，(－5t )2＋(5t －40)250t 2－400t ＋160050(t －4)2＋8002当且仅当t ＝4时，|PQ |取得最小值20，即两船出发4小时时，距离最近，最近距离2为20 n mile.2【难点突破】16．[解答] (1)(i)连接PD ，AD ，∵游艇距离观察站P 最近的点为D 处，∴PD ⊥BC .又依题意可知PA ⊥平面ABC ，∴PA ⊥BC .又PA ∩PD ＝P ，∴BC ⊥平面PAD .(ii)依题意知PA ⊥AB ，∠PBA ＝45°，PA ＝1，∴AB ＝1，同理AC ＝1，且∠BAC ＝120°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝30°.又BC ⊥AD ，∴D 为BC 的中点，且BD ＝.3(2)解法一：依题意过点B 作圆G ，则AE 取得最大值．设AE ＝x ，则CE ＝1－x ，过点E 作EF ⊥BC 于F ，则EF ＝.1－x 2连接DG ，则DG ⊥BE ，∴Rt △BGD ∽Rt △BFE ，∴BE ＝(1－x )．3在△ABE 中，BE 2＝AB 2＋AE 2－2AB ·AE ·cos ∠BAC ，即3(1－x )2＝1＋x 2＋x ，化简得2x 2－7x ＋2＝0，解得x 1＝，x 2＝.7＋3347－334又∵0<x <1，∴x ＝，7－334答：BD 的长为 km ，AE 的最大值为 km.327－334解法二：在平面ABC 内，以A 为坐标原点，AC 为x 轴，建立直角坐标系，依题意，当直线BE 与圆D 相切时AE 最长．由已知AB ＝1得B ，(－12，－32)可设直线BE ：y ＋＝k ，32(x ＋12)即kx －y ＋－＝0，k 232由(1)知D 为BC 的中点，由C (1,0)知D .(14，－34)则D 到直线BE 距离为，即＝，14|3k 4－34|1＋k 214得4k 2－3k ＋1＝0，即k ＝，333±118(k ＝33－118舍去)∴直线BE 的方程：y ＋＝，3233＋118(x ＋12)令y ＝0时，得x ＝，即AE ＝，7－3347－334答：BD 的长为 km ，AE 的最大值为 km.327－334。
2019版高考数学创新大一轮复习人教B版理科全国通用讲义：第四章 三角函数 解三角形 第5节 含答案 精品
第5节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式最新考纲 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).知 识 梳 理1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin__αcos__β±cos__αsin__β. cos(α∓β)＝cos__αcos__β±sin__αsin__β. tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin__αcos__α.cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. tan 2α＝2tan α1－tan α.3.函数f (α)＝a sin α＋b cos α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a 或f (α)＝a 2＋b 2²cos(α－φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝a b . [常用结论与微点提醒]1.tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β).2.cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2. 3.1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α±π4.诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“√”或“³”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.( ) (2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立.( ) (3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立.( ) (4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( )解析 (3)变形可以，但不是对任意的α，β都成立，α，β，α＋β≠π2＋k π，k ∈Z .答案 (1)√ (2)√ (3)³ (4)√2.(2017·全国Ⅲ卷)已知sin α－cos α＝43，则sin 2α＝( )A.－79B.－29C.29D.79 解析 sin 2α＝2sin αcos α＝（sin α－cos α）2－1－1＝－79.答案 A3.(2016·全国Ⅲ卷)若tan θ＝－13，则cos 2θ＝( )A.－45B.－15C.15D.45 解析 cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝45.答案 D4.(教材习题改编)tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°²tan 40°＝________. 解析 ∵tan 60°＝tan(20°＋40°)＝tan 20°＋tan 40°1－tan 20°tan 40°，∴tan 20°＋tan 40°＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°) ＝3－3tan 20°tan 40°，∴原式＝3－3tan 20°tan 40°＋3tan 20°tan 40°＝ 3. 答案35.(教材习题改编)sin 347°cos 148°＋sin 77°²cos 58°＝________. 解析 sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin 77°cos 58° ＝(－cos 77°)·(－sin 58°)＋sin 77°cos 58° ＝sin 58°cos 77°＋cos 58°sin 77° ＝sin(58°＋77°)＝sin 135°＝22.答案 22考点一 三角函数式的化简【例1】 (1)( 教材习题原题)化简：sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝________.(2)化简：（1＋sin α＋cos α）·⎝⎛⎭⎪⎫cos α2－sin α22＋2cos α(0<α<π)＝________.解析 (1)sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ) ＝sin(α＋β)cos (β－γ)－cos(α＋β)sin(β－γ) ＝sin[(α＋β)－(β－γ)]＝sin(α＋γ).(2)原式＝⎝⎛⎭⎪⎫2cos 2α2＋2sin α2cos α2·⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2－sin α24cos 2α2＝cos α2⎝⎛⎭⎪⎫cos 2α2－sin2α2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝cos α2cos α⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2.因为0<α<π，所以0<α2<π2，所以cos α2>0，所以原式＝cos α. 答案 (1)sin(α＋γ) (2)cos α规律方法 三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”、“遇到根式一般要升幂”等.【训练1】 (1)cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝( ) A.sin(α＋2β) B.sin α C.cos(α＋2β)D.cos α(2)化简：2cos 4α－2cos 2α＋122tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αsin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝________.解析 (1)cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝cos[(α＋β)－β]＝cos α. (2)原式＝12（4cos 4α－4cos 2α＋1）2³sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α·cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝（2cos 2α－1）24sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos 22α2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝cos 22α2cos 2α＝12cos 2α. 答案 (1)D (2)12cos 2α 考点二 三角函数式的求值【例2】 (1)[2sin 50°＋sin 10°(1＋3tan 10°)]·2sin 280°＝________. (2)(2018·包头一模)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝14，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝________.(3)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值为________. 解析 (1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin 50°＋sin 10°·cos 10°＋3sin 10°cos 10°· 2sin 80°＝(2sin 50°＋2sin 10°·12cos 10°＋32sin 10°cos 10°)·2cos 10°＝22[sin 50°·cos 10°＋sin 10°·cos(60°－10°)]＝22sin(50°＋10°)＝22³32＝ 6.(2)依题意得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α－1＝2³⎝ ⎛⎭⎪⎫142－1＝－78.(3)∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan （α－β）＋tan β1－tan （α－β）tan β＝12－171＋12³17＝13>0，又α∈(0，π)，∴0<α<π2，又∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2³131－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝34>0，∴0<2α<π2，∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34³17＝1. ∵tan β＝－17<0，∴π2<β<π，－π<2α－β<0， ∴2α－β＝－3π4.答案 (1)6 (2)－78 (3)－3π4规律方法 1.已知条件下的求值问题常先化简需求值的式子，再观察已知条件与所求值的式子之间的联系(从三角函数名及角入手)，最后将已知条件及其变形代入所求式子，化简求值.2.通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：(1)已知正切函数值，选正切函数；(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，选正弦较好.【训练2】 (1)(2018·湖南十三校联考)已知x ∈(0，π)，且cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin 2x ，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝( )A.13B.－13C.3D.－3(2)(一题多解)(2018·石家庄质检)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－23，则cos α＝________.解析 (1)由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin 2x 得sin 2x ＝sin 2x ，∵x ∈(0，π)，∴tan x ＝2，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝tan x －11＋tan x ＝13.(2)法一 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5π6，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝53，所以cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3－π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3cos π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3sin π3＝－23³12＋53³32＝15－26.法二 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝cos αcos π3－sin αsin π3＝12 cos α－321－cos 2α＝－23，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，解得cos α＝15－26.答案 (1)A (2)15－26 考点三 三角变换的简单应用【例3】 已知△ABC 为锐角三角形，若向量p ＝(2－2sin A ，cos A ＋sin A )与向量q ＝(sin A －cos A ，1＋sin A )是共线向量. (1)求角A ；(2)求函数y ＝2sin 2B ＋cosC －3B2的最大值.解 (1)因为p ，q 共线，所以(2－2sin A )(1＋sin A )＝(cos A ＋sin A )(sin A －cos A )，则sin 2A ＝34.又A 为锐角，所以sin A ＝32，则A ＝π3.(2)y ＝2sin 2 B ＋cos C －3B 2＝2sin 2B ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3－B －3B2＝2sin 2B ＋cos⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2B ＝1－cos 2B ＋12cos 2B ＋32sin 2B ＝32sin 2B －12cos 2B ＋1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6＋1.因为B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，B ＋A >π2，所以π6<B <π2，所以2B －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，所以当2B －π6＝π2时，函数y 取得最大值，此时B ＝π3，y max ＝2.规律方法 解三角函数问题的基本思想是“变换”，通过适当的变换达到由此及彼的目的，变换的基本方向有：(1)变换函数名称.变换函数名称可以使用诱导公式、同角三角函数关系、二倍角的余弦公式等.(2)变换角的形式.变换角的形式，可以使用两角和与差的三角函数公式、倍角公式等.【训练3】 (2017·北京卷)已知函数f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－2sin x cos x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求证：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )≥－12.(1)解 f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3－2sin x cos x＝32cos 2x ＋32sin 2x －sin 2x ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)证明 由(1)知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，∴2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，∴当2x ＋π3＝－π6，即x ＝－π4时，f (x )取得最小值－12.∴f (x )≥－12成立.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.(2015·全国Ⅰ卷)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( ) A.－32 B.32C.－12D.12解析 sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝12. 答案 D2.(2017·山东卷)已知cos x ＝34，则cos 2x ＝( ) A.－14B.14C.－18D.18解析 因为cos x ＝34，所以cos 2x ＝2cos 2x －1＝2³⎝ ⎛⎭⎪⎫342－1＝18.答案 D3.(2018·河北名校联盟质检)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线y ＝3x 上，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝( )A.－3－4310B.－4－3310C.3－4310D.4－3310解析 由已知，tan θ＝3，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝12sin 2θ＋32cos 2θ＝sin θcos θ＋32（cos 2θ－sin 2θ）sin 2θ＋cos 2θ＝tan θ＋32（1－tan 2θ）tan 2θ＋1＝3＋32（1－32）32＋1＝3－4310.答案 C4.若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β等于( ) A.17 B.16 C.57 D.56解析 tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan （α＋β）－tan α1＋tan （α＋β）·tan α＝12－131＋12³13＝17. 答案 A 5.(2018·青岛月考)sin 10°1－3tan 10°＝( )A.14B.12C.32D.1解析sin 10°1－3tan 10°＝sin 10°cos 10°cos 10°－3sin 10°＝2sin 10°cos 10°4⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°＝sin 20°4sin （30°－10°）＝14. 答案 A 二、填空题6.(2017·江苏卷)若tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝16，则tan α＝________.解析 tan α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋π4＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＋tan π41－tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4·tan π4＝16＋11－16＝75.答案 757.若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6＝________.解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＋π2＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π3－1＝2³19－1＝－79.答案 －798.(2018·南昌一中月考)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫54π＋β＝－1213，则cos(α＋β)＝________.解析 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，∴π4－α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－45，∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫54π＋β＝－1213，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β＝1213，又∵β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴π4＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β＝513，∴cos(α＋β)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35³513－45³1213＝－3365.答案 －3365 三、解答题9.(教材习题原题)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝35，17π12<x <7π4，求sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x 的值.解 sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x＝2sin x cos x ＋2sin 2x1－sin x cos x＝2sin x cos x （cos x ＋sin x ）cos x －sin x ＝sin 2x ²1＋tan x 1－tan x＝sin 2x ²tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x .由17π12<x <7π4，得5π3<x ＋π4<2π，又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝35， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝－45，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝－43.cos x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －π4＝22⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x＝－210，sin x ＝－7210，sin 2x ＝2sin x cos x ＝725.所以sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x＝－2875. 10.(一题多解)设cos α＝－55，tan β＝13，π<α<3π2，0<β<π2，求α－β的值.解 法一 由cos α＝－55，π<α<3π2，得sin α＝－255，tan α＝2，又tan β＝13，于是tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝2－131＋2³13＝1.又由π<α<3π2，0<β<π2可得－π2<－β<0，π2<α－β<3π2，因此，α－β＝5π4.法二 由cos α＝－55，π<α<3π2得sin α＝－255. 由tan β＝13，0<β<π2得sin β＝110，cos β＝310. 所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝⎝⎛⎭⎪⎫－255⎝ ⎛⎭⎪⎫310－⎝ ⎛⎭⎪⎫－55⎝ ⎛⎭⎪⎫110＝－22. 又由π<α<3π2，0<β<π2，得－π2<－β<0，π2<α－β<3π2，因此，α－β＝5π4.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2018·广州模拟)已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，若sin α＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<α<π，则f ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12＝( )A.－7210B.－210C.210D.7210解析 因为sin α＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<α<π，所以cos α＝－45，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝22sin α＋ 22cos α＝－210.答案 B12.已知cos(α＋β)＝16，cos(α－β)＝13，则tan αtan β的值为________.解析 因为cos(α＋β)＝16，所以cos αcos β－sin αsin β＝16.①因为cos(α－β)＝13，所以cos αcos β＋sin αsin β＝13.②①＋②得cos αcos β＝14.②－①得sin αsin β＝112.所以tan αtan β＝sin αsin βcos αcos β＝13. 答案 1313.(2018·合肥模拟)已知函数f (x )＝(2cos 2x －1)·sin 2x ＋12cos 4x .(1)求f (x )的最小正周期及单调递减区间；(2)若α∈(0，π)，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4－π8＝22，求tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3的值. 解 (1)f (x )＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋12cos 4x＝cos 2x sin 2x ＋12cos 4x ＝12(sin 4x ＋cos 4x )＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4， ∴f (x )的最小正周期T ＝π2.令2k π＋π2≤4x ＋π4≤2k π＋32π，k ∈Z ，得k π2＋π16≤x ≤k π2＋5π16，k ∈Z .∴f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2＋π16，k π2＋5π16，k ∈Z . (2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4－π8＝22，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝1. 因为α∈(0，π)，－π4<α－π4<3π4，所以α－π4＝π2，故α＝3π4.因此tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝tan 3π4＋tan π31－tan 3π4tan π3＝－1＋31＋3＝2－ 3.。
2019高考数学真题(理)分类汇编三角函数及解三角形含答案解析
三角函数及解三角形专题1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】函数f (x )=在[,]-ππ的图像大致为A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x-+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，排除A ．又22π1π42π2()1,π2π()2f ++==>2π(π)01πf =>-+，排除B ，C ，故选D ． 【名师点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养，采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．解答本题时，先判断函数的奇偶性，得()f x 是奇函数，排除A ，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案． 2．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】tan255°=A ．−2B ．−C ．2D ．【答案】D【解析】tan 255tan(18075)tan 75tan(4530)︒=︒+︒=︒=︒+︒=tan 45tan 301tan 45tan 30︒+︒-︒︒12+==+故选D. 【名师点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角的三角函数值、运算求解能力．首先应用诱导公式，将问题转化成锐角三角函数的计算，进一步应用两角和的正切公式2sin cos ++x xx x计算求解．题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．3．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A −b sin B =4c sin C ，cos A =−14，则b c=A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】A【解析】由已知及正弦定理可得2224a b c -=，由余弦定理推论可得2222214131cos ,,,422424b c a c c c A bc bc b +---==∴=-∴=3462b c ∴=⨯=，故选A ． 【名师点睛】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用．先利用余弦定理推论得出a ，b ，c 关系，再结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果. 4．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】若x 1=4π，x 2=43π是函数f (x )=sin x ω(ω>0)两个相邻的极值点，则ω= A ．2 B ．32C ．1D ．12【答案】A【解析】由题意知，()sin f x x ω=的周期232()44T ωπππ==-=π，解得2ω=．故选A ． 【名师点睛】本题考查三角函数的极值和周期，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．利用周期公式，通过方程思想解题．5．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知a ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sin α=A ．15BCD 【答案】B 【解析】2sin 2cos21αα=+，24sin cos 2cos .0,,cos 02αααααπ⎛⎫∴⋅=∈∴> ⎪⎝⎭，sin 0,α>2sin cos αα∴=，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5αα∴==，又sin 0α>，sin 5α∴=，故选B ．【名师点睛】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦的正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负很关键，切记不能凭感觉．解答本题时，先利用二倍角公式得到正余弦关系，再利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案．6．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】函数()2sin sin2f x x x =-在[0，2π]的零点个数为 A ．2 B ．3 C ．4D ．5【答案】B【解析】由()2sin sin 22sin 2sin cos 2sin (1cos )0f x x x x x x x x =-=-=-=， 得sin 0x =或cos 1x =，[]0,2πx ∈，0π2πx ∴=、或．()f x ∴在[]0,2π的零点个数是3，故选B ．【名师点睛】本题考查在一定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素养．令()0f x =，得sin 0x =或cos 1x =，再根据x 的取值范围可求得零点.7．【2019年高考北京卷文数】设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】0b =时，()cos sin cos f x x b x x =+=，()f x 为偶函数；()f x 为偶函数时，()=()f x f x -对任意的x 恒成立，即()cos()sin()cos sin f x x b x x b x -=-+-=-，cos sin cos sin x b x x b x +=-，得sin 0b x =对任意的x 恒成立，从而0b =.从而“0b =”是“()f x 为偶函数”的充分必要条件，故选C.【名师点睛】本题较易，注重基础知识、逻辑推理能力的考查.根据定义域为R 的函数()f x 为偶函数等价于()=()f x f x -恒成立进行判断.8．【2019年高考北京卷文数】如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，APB ∠是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为A ．4β+4cos βB ．4β+4sin βC ．2β+2cos βD ．2β+2sin β【答案】B【解析】设圆心为O ，如图1，连接OA ，OB ，AB ，OP ，则22AOB APB ∠=∠=β，所以22242OABS ⨯==扇形ββ，因为ABP AOB OAB S S S S =+-△△阴影扇形，且AOB OAB S S △扇形，都已确定， 所以当ABP S △最大时，阴影部分面积最大.观察图象可知，当P 为弧AB 的中点时（如图2），阴影部分的面积S 取最大值，此时∠BOP =∠AOP =π−β，面积S 的最大值为ABP AOB OAB S S S S =+-△△阴影扇形=4β+S △POB + S △POA =4β+12|OP ||OB |sin （π−β）+12|OP ||OA |sin （π−β）=4β+2sin β+2sin β=4β+4 sin β，故选B. 【名师点睛】本题主要考查阅读理解能力、数学应用意识、数形结合思想及数学式子变形和运算求解能力，有一定的难度.关键是观察分析区域面积最大时的状态，并将面积用边角等表示.9．【2019年高考天津卷文数】已知函数()sin()(0,0,||π)f x A x A ωϕωϕ=+>><是奇函数，且()f x 的最小正周期为π，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x .若π4g ⎛⎫= ⎪⎝⎭3π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．−2B ．C D ．2【答案】C【解析】∵()f x 为奇函数，∴(0)sin 0,=π,,0,f A k k k ϕϕ==∴∈∴=Z 0ϕ=； ∵()f x 的最小正周期为π，2ππ,T ∴==ω∴2ω=，∴1()sin sin ,2g x A x A x ==ω又π()4g =2A =，∴()2sin 2f x x =，3π()8f = 故选C.【名师点睛】本题主要考查函数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数()g x ，结合函数性质逐步得出,,A ωϕ的值即可.10．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】函数3π()sin(2)3cos 2f x x x =+-的最小值为___________． 【答案】4-【解析】23π()sin(2)3cos cos 23cos 2cos 3cos 12f x x x x x x x =+-=--=--+ 23172(cos )48x =-++，1cos 1x -≤≤，∴当cos 1x =时，min ()4f x =-，故函数()f x 的最小值为4-．【名师点睛】本题首先应用诱导公式，转化得到二倍角的余弦，进一步应用二倍角的余弦公式，得到关于cos x 的二次函数，从而得解.注意解答本题的过程中，部分考生易忽视1cos 1x -≤≤的限制，而简单应用二次函数的性质，出现运算错误．11．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知b sin A +a cos B =0，则B =___________. 【答案】3π4【解析】由正弦定理，得sin sin sin cos 0B A A B +=．(0,),(0,)A B ∈π∈π，sin 0,A ∴≠∴sin cos 0B B +=，即tan 1B =-，3.4B π∴=【名师点睛】本题考查利用正弦定理转化三角恒等式，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取定理法，利用转化与化归思想解题．本题容易忽视三角形内角的范围致误，三角形内角均在(0,π)范围内，化边为角，结合三角函数的恒等变化求角．12．【2019年高考江苏卷】已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是 ▲ .【答案】10【解析】由()tan 1tan tan tan 2tan 1πtan 13tan 1tan 4αααααααα-===-++⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，得23tan 5tan 20αα--=， 解得tan 2α=，或1tan 3α=-. πππsin 2sin 2cos cos 2sin 444ααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭()22222sin cos cos sin sin 2cos 2=22sin cos αααααααα⎛⎫+-=+ ⎪+⎝⎭222tan 1tan =2tan 1ααα⎫+-⎪+⎝⎭， 当tan 2α=时，上式222212==22110⎛⎫⨯+- ⎪+⎝⎭ 当1tan 3α=-时，上式=22112()1()33[]=1210()13⨯-+--⨯-+综上，πsin 2410α⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 【名师点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法，利用分类讨论和转化与化归思想解题.由题意首先求得tan α的值，然后利用两角和的正弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可.13．【2019年高考浙江卷】在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =___________，cos ABD ∠=___________．【解析】如图，在ABD △中，由正弦定理有：sin sin AB BD ADB BAC =∠∠，而3π4,4AB ADB =∠=,5AC ，34sin ,cos 55BC AB BAC BAC AC AC ∠==∠==，所以BD =.ππcos cos()cos cos sin sin 44ABD BDC BAC BAC BAC ∠=∠-∠=∠+∠=.【名师点睛】本题主要考查解三角形问题，即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想.在ABD △中应用正弦定理，建立方程，进而得解.解答解三角形问题，要注意充分利用图形特征. 14．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若△ABC 为锐角三角形，且c =1，求△ABC 面积的取值范围．【答案】（1）B =60°；（2）. 【解析】（1）由题设及正弦定理得sin sinsin sin 2A CA B A +=．因为sin A ≠0，所以sinsin 2A CB +=． 由180A BC ︒++=，可得sincos 22A C B +=，故cos 2sin cos 222B B B=． 因为cos02B ≠，故1sin 22B =，因此B =60°． （2）由题设及（1）知△ABC的面积ABC S =△． 由正弦定理得()sin 120sin 1sin sin 2tan 2C c A a C C C ︒-===+．由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°，由（1）知A +C =120°，所以30°<C <90°，故122a <<，从而82ABC S <<△． 因此，△ABC面积的取值范围是⎝⎭．【名师点睛】这道题考查了三角函数的基础知识，以及正弦定理的使用（此题也可以用余弦定理求解），最后考查V ABC 是锐角三角形这个条件的利用，考查的很全面，是一道很好的考题. 15．【2019年高考北京卷文数】在△ABC 中，a =3，–2b c =，cos B =12-． （1）求b ，c 的值； （2）求sin （B +C ）的值． 【答案】（1）7b =，5c =；（2【解析】（1）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2221323()2b c c =+-⨯⨯⨯-．因为2b c =+，所以2221(2)323()2c c c +=+-⨯⨯⨯-． 解得5c =．所以7b =． （2）由1cos 2B =-得sin 2B =．由正弦定理得sin sin 14a A Bb ==． 在ABC △中，B C A +=π-．所以sin()sin B C A +==【名师点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理的应用，两角差的正弦公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16．【2019年高考天津卷文数】在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =.（1）求cos B 的值； （2）求sin 26πB ⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 【答案】（1）14-；（2）716+-. 【解析】（1）在ABC △中，由正弦定理sin sin b cB C=，得sin sin b C c B =， 又由3sin 4sin c B a C =，得3sin 4sin b C a C =，即34b a =．又因为2b c a +=，得到43b a =，23c a =． 由余弦定理可得222222416199cos 22423a a a a cb B ac a a +-+-===-⋅⋅．（2）由（1）可得sin B ==，从而sin 22sin cos B B B ==，227cos 2cos sin 8B B B =-=-，故71sin 2sin 2cos cos 2sin 66682B B B πππ⎛⎫+=+=⨯= ⎪⎝⎭． 【名师点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识．考查运算求解能力．17．【2019年高考江苏卷】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b ，cos B =23，求c 的值； （2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值．【答案】（1）c =（2.【解析】（1）因为23,3a cb B ===，由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得2222(3)323c c c c+-=⨯⨯，即213c =.所以c =（2）因为sin cos 2A Ba b =， 由正弦定理sin sin a b A B =，得cos sin 2B Bb b=，所以cos 2sin B B =. 从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =.因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而cos B =.因此πsin cos 2B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭【名师点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.18．【2019年高考江苏卷】如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求：线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位：百米）． （1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．【答案】（1）15（百米）；（2）见解析；（3）17+.【解析】解法一：（1）过A 作AE BD ⊥，垂足为E .由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，6, 8DE BE AC AE CD =====.'因为PB ⊥AB ， 所以84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==. 所以12154cos 5BD PB PBD ===∠. 因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上，则线段BE 上的点（除B ，E ）到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知10AD ==， 从而2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅，所以∠BAD 为锐角. 所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此，Q 选在D 处也不满足规划要求.综上，P 和Q 均不能选在D 处.（3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15， 此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15.再讨论点Q 的位置. 由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，1CQ =此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当PB ⊥AB ，点Q 位于点C 右侧，且CQ =时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离PQ =PD +CD +CQ =17+因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+.解法二：（1）如图，过O 作OH ⊥l ，垂足为H.以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立平面直角坐标系.因为BD =12，AC =6，所以OH =9，直线l 的方程为y =9，点A ，B 的纵坐标分别为3，−3.因为AB 为圆O 的直径，AB =10，所以圆O 的方程为x 2+y 2=25.从而A （4，3），B （−4，−3），直线AB 的斜率为34.因为PB ⊥AB ，所以直线PB 的斜率为43-， 直线PB 的方程为42533y x =--.所以P （−13，9），15PB ==.因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，取线段BD 上一点E （−4，0），则EO =4<5，所以P 选在D 处不满足规划要求. ②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知D （−4，9），又A （4，3），所以线段AD ：36(44)4y x x =-+-剟.在线段AD 上取点M （3，154），因为5OM =<=， 所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此Q 选在D 处也不满足规划要求.综上，P 和Q 均不能选在D 处.（3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15，此时1P （−13，9）； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15.再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，设Q （a ，9），由15(4)AQ a ==>，得a =4+Q （4+9），此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当P （−13，9），Q （4+9）时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离4(13)17PQ =+-=+.因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+.【名师点睛】本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.19．【2019年高考浙江卷】设函数()sin ,f x x x =∈R .（1）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值；（2）求函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++的值域． 【答案】（1）π2θ=或3π2；（2）[1-+． 【解析】（1）因为()sin()f x x θθ+=+是偶函数，所以，对任意实数x 都有sin()sin()x x θθ+=-+， 即sin cos cos sin sin cos cos sin x x x x θθθθ+=-+，故2sin cos 0x θ=，所以cos 0θ=．又[0,2π)θ∈，因此π2θ=或3π2． （2）2222ππππsin sin 124124y f x f x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ππ1cos 21cos 213621cos 2sin 222222x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭=+=-- ⎪ ⎪⎝⎭π123x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．因此，函数的值域是[1+． 【名师点睛】本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力.20．【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学试题】已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点(1)P ，则cos2=αAB ．13C ．13- D．3-【答案】B【解析】因为角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点(1)P ，所以cos3==-α， 因此21cos 22cos 13=-=αα.故选B. 【名师点睛】本题主要考查三角函数的定义，以及二倍角公式，熟记三角函数的定义与二倍角公式即可，属于常考题型.解答本题时，先由角α的终边过点(1)P ，求出cos α，再由二倍角公式，即可得出结果.。
湘教版高考数学一轮总复习课后习题 第五章 三角函数、解三角形 课时规范练23
课时规范练23《素养分级练》P307基础巩固组1.函数y=2cos 2x+π6的部分图象大致是( )答案:A解析:由y=2cos 2x+π6可知,函数的最大值为2,排除D;因为函数图象过点π6,0,排除B;又因为函数图象过点-π12,2,排除C,故选A.2.将函数y=sin 2x 的图象向右平移φ个单位长度后,得到函数y=cos 2x+π6的图象,则φ的值可以是 ( )A.π12B.π6C.π3D.2π3答案:D解析:y=cos2x+π6=sin2x+π6+π2=sin2x+2π3,将函数y=sin2x的图象向右平移φ个单位长度后,得到函数y=sin[2(x-φ)]=sin(2x-2φ)的图象,由题意可得2π3=2kπ-2φ(k∈Z),可得φ=kπ-π3(k∈Z),当k=1时,φ=2π3,故选D.3.(黑龙江大庆高三期末)某智能降噪耳机工作的原理是利用芯片生成与噪音的相位相反的声波,通过两者叠加抵消掉噪音,如图所示,若噪音的声波曲线的解析式为y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,0<φ<2π)的振幅为1,周期为2,初相为π2,则用来降噪的声波曲线的解析式是( )A.y=sin πxB.y=-cos πxC.y=-sin πxD.y=cos πx答案:B解析:由题意知,A=1,ω=π,φ=π2,噪音的声波曲线的解析式为y=sinπx+π2,而降噪声波曲线可以看成将噪音声波曲线向左平移半个周期得到的曲线,故降噪声波曲线的解析式为y=sinπx+π+π2=-cosπx,故选B.4.(四川内江高三模拟)已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2,将函数f(x)的图象向左平移3π4个单位长度,得到函数g(x)的部分图象如图所示,则fπ3=( )A.12B.-12C.√32D.-√32答案:A解析:平移不改变振幅和周期,所以由图象可知A=1,2πω×34=π6--7π12=3π4,解得ω=2,函数f(x)的图象向左平移3π4个单位长度,得g(x)=cos 2x+3π4+φ.当x=π6时,2×π6+3π2+φ=3π2+2kπ,k∈Z,且|φ|<π2,得φ=-π3,所以f(x)=cos 2x-π3,fπ3=cos π3=12.故选A.5.(陕西咸阳高三二模)如图,A,B 是函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2的图象与x 轴的两个交点,若|OB|-|OA|=4π3,则ω=( )A.1B.12C.2D.23答案:B解析:由图象可知,点(0,1)在函数图象上,所以2sinφ=1,因为|φ|<π2,所以φ=π6,f(x)=2sin ωx+π6.令2sin ωx+π6=0,解得ωx+π6=kπ,k∈Z,x=kπ-π6ω,k ∈Z,因为ω>0,所以当k=0时,解得x A =-π6ω,当k=1时,x B =5π6ω,所以|OB|-|OA|=5π6ω−π6ω=4π3,解得ω=12,故选B.6.(多选)(海南海口高三月考)将函数f(x)=√3cos ωx+π3-1的图象向左平移π4个单位长度得到函数g(x)的图象与f(x)图象重合,则ω的值可以为( ) A.-4 B.8 C.12 D.16答案:BD解析:由题意得g(x)=√3cos ωx+π4+π3-1=√3cos ωx+ωπ4+π3-1,由于函数g(x)的图象与f(x)图象重合,故ωπ4=2kπ(k∈Z),ω=8k(k∈Z).当k=1时,ω=8;当k=2时,ω=16.由于k 取整数,故ω=8k 不会取到-4或12.故选BD.7.(多选)(福建宁德高三期中)函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如图所示,则( )A.ω=3B.函数f(x)在3π5,14π5上单调递增C.φ=6π5D.函数f(x)图象的对称轴为直线x=kπ3−π15(k ∈Z)答案:AD解析:由图象知函数的周期T=2×13π30−π10=2π3=2πω,解得ω=3,所以A 正确;由题图得3×π10+φ=2kπ+π2(k ∈Z),因为0≤φ<2π,所以φ=π5,所以C 错误;f(x)=cos 3x+π5,当2kπ≤3x+π5≤2kπ+π(k∈Z)时,函数f(x)单调递减,取k=1,得f(x)的一个单调递减区间为3π5,14π15,所以B 错误;函数f(x)图象的对称轴为直线3x+π5=kπ(k∈Z),即x=kπ3−π15(k ∈Z),所以D 正确.故选AD.8.设函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2在一个周期内的图象经过A-5π18,0,B -π9,-1,Cπ9,0,D2π9,1这四个点中的三个点,则φ= . 答案:-π6解析:因为-π9--5π18=122π9--π9=π6,所以f(x)在一个周期内的图象不可能经过点C,则T=π6×4=2πω,解得ω=3.因为f2π9=1,所以2π9×3+φ=π2+2kπ(k∈Z),φ=-π6+2kπ(k∈Z).又|φ|<π2,所以φ=-π6.9.(山东济南高三月考)已知函数f(x)=cos 2x+sin 2x-π2,将函数f(x)的图象先向右平移π12个单位长度,再向下平移1个单位长度得到函数g(x)的图象,则函数g(x)图象的对称轴为直线 . 答案:x=kπ2+π12(k ∈Z)解析:f(x)=cos 2x+sin 2x-π2=2cos 2x=1+cos2x,由题意可得g(x)=cos2x-π12=cos 2x-π6,令2x-π6=kπ(k∈Z),解得x=kπ2+π12(k ∈Z).综合提升组10.(山东东营高三期中)将函数y=asin x+bcos x 图象上所有点的纵坐标不变,横坐标变为原来的12,然后将所得图象向左平移π6个单位长度,可得函数y=2cos 2x+π6的图象,则a+b=( )A.2B.0C.√3+1D.1-√3答案:C解析:先将y=2cos 2x+π6的图象向右平移π6个单位长度,得y=2cos 2x-π6+π6=2cos 2x-π6,然后纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍,得y=2cosx-π6=2√32cosx+12sinx =sinx+√3cosx,故a=1,b=√3,所以a+b=1+√3,故选C.11.(多选)(河北保定高三模拟)已知P(1,2√3)是函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2图象的一个最高点,B,C 是与P 相邻的两个最低点.若△PBC 为等边三角形,则下列说法正确的是( ) A.A=2B.f(x)的最小正周期为8C.φ=π4D.将f(x)图象上所有点向右平移1个单位长度后得到g(x)的图象,(2,0)是g(x)图象的一个对称中心 答案:BC解析:设BC 的中点为D,与P 相邻且函数f(x)的图象与x 轴的交点为E,F,即E,F 为函数f(x)图象的两个对称中心,连接PD,则由题意知A=2√3,故选项A 错误;易知|PD|=4√3,∠BPD=π6,所以|BD|=4,|PB|=|BC|=8,则f(x)的最小正周期为8,故选项B 正确;因为ω=2π8=π4,则π4×1+φ=π2+2kπ,k∈Z,又|φ|<π2,所以φ=π4,故选项C 正确;因为f(x)=2√3sin π4x+π4,则将f(x)图象上所有点向右平移1个单位长度后得到g(x)=2√3sin π4x 的图象,易知(2,0)不是g(x)图象的对称中心,故选项D 错误.故选BC.12.如图是一个半径为R 的水车,一个水斗从点A(1,-√3)出发,沿圆周按逆时针方向匀速旋转,且旋转一周用时6秒.经过t 秒后,水斗旋转到P 点,设点P 的坐标为(x,y),其纵坐标满足y=f(t)=Rsin(ωt+φ)t≥0,ω>0,|φ|<π2.若当t ∈[0,m)时,函数f(t)恰有2个极大值,则m 的取值范围是 .答案:172,292解析:根据点A 的坐标(1,-√3)可得圆周的半径R=√1+3=2.又旋转一周用时6秒,即周期T=6,从而得ω=2πT=π3,∴f(t)=2sinπ3t+φ.又当t=0时,在函数图象上y=-√3,∴f(0)=2sin π3×0+φ=-√3,即sinφ=-√32. 又|φ|<π2,∴φ=-π3,∴f(t)=2sinπ3t-π3.根据三角函数的性质,f(t)在[0,m)内恰有两个极大值时,有5π2<π3m-π3≤9π2,解得172<m≤292.创新应用组13.(浙江金华高三月考)已知函数f(x)=cos 2x 图象向右平移π12个单位长度后得到g(x)的图象.若对于任意的,n],使得f(-n|的最小值为 . 答案:π3解析:函数f(x)=cos2x 图象向右平移π12个单位长度后得到g(x)=cos 2x-π6的图象.因为x 1∈-π3,π6,所以2x 1∈-2π3,π3,所以f(x 1)=cos2x 1∈-12,1.因为对于任意的,n],使得f(x 1)=g(x 2),所以g(-n|取最小值,只需函数g(x)在x ∈[m,n]上单调且值域为-12,1即可.由2kπ-2π3≤2x -π6≤2kπ(k∈Z)可得kπ-π4≤-n|的最小值为-π4−π12=π3.。
2020版高考数学理科人教B版一轮温习课时标准练23解三角形
课时标准练23 解三角形基础巩固组1.(2018山西吕梁一模,4)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边别离为a ,b ,c ,已知a=√6,c=3,cos A=23,则b= ( )或3D.无解2.在△ABC 中,已知a cos A=b cos B ,则△ABC 的形状是 ( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形3.(2018湖南长郡中学四模,11)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边别离为a ,b ,c ,已知sin B+sin A (sin C-cos C )=0,a=2,c=√2,那么角C=( ) A.5π6B.π6C.π4D.π34.在△ABC 中,B=π4,BC 边上的高等于13BC ,则cos A= ( )A.3√1010B.√1010√10103√10105.(2018湖南长郡中学五模,10)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边别离为a ,b ,c ,且cosB b =-3cosCc,那么角A 的最大值为( )A.π6B.π4C.π3D.π26.(2018河北衡水中学三模,14)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边别离为a ,b ,c ,且知足a sin B=b cos A ,则√2sin B-cos C 的最大值是 .7.(2018北京,文14)若△ABC 的面积为√34(a 2+c 2-b 2),且∠C 为钝角,则∠B= ;ca的取值范围是 . 8.如下图,长为 m 的木棒AB 斜靠在石堤旁,木棒的一端A 在离堤足C 处 m 的地面上,另一端B 在离堤足C 处 m 的石堤上,石堤的倾斜角为α,那么坡度值tan α=.9.(2018河北唐山一模,16)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边别离为a ,b ,c ,AB 边上的高为h ,若c=2h ,则a b +ba 的取值范围是 .10.在△ABC 中,∠A=60°,c=37a. (1)求sin C 的值;(2)若a=7,求△ABC 的面积.综合提升组11.(2018河北衡水中学考前仿真,10)在△ABC中,内角A,B,C所对的边别离为a,b,c,已知a=5,△ABC的面积S△ABC=25√34,且b2+c2-a2=ac cos C+c2cos A,则sin B+sin C=()B.9√32C.√3√312.(2018河北衡水中学月考,12)已知△ABC的内角A,B,C的对边别离是a,b,c,且(a2+b2-c2)·(a cos B+b cos A)=abc,若a+b=2,则c的取值范围为()A.(0,2)B.[1,2)C.[12,2] D.(1,2]13.(2018河北衡水中学九模,14)如图,为了测量河对岸A、B两点之间的距离,观看者找到一个点C,从点C能够观看到点A、B;找到一个点D,从点D能够观看到点A、C;找到一个点E,从点E能够观看到点B、C;并测量取得一些数据:CD=2,CE=2√3,∠D=45°,∠ACD=105°,∠ACB=°,∠BCE=75°,∠E=60°,则A、B两点之间的距离为.其中cos °取近似值2314.(2018湖南长郡中学四模,17)如图,在△ABC中,∠B=π3,D为边BC上的点,E为AD上的点,且AE=8,AC=4√10,∠CED=π4.(1)求CE的长;(2)若CD=5,求cos∠DAB的值.创新应用组15.(2018江苏,13)在△ABC中,角A,B,C所对的边别离为a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的平分线交AC于点D,且BD=1,则4a+c的最小值为.16.已知岛A南偏西38°方向,距岛A 3 n mile的B处有一艘缉私艇.岛A处的一艘走私船正以10 n mile/h的速度向岛北偏西22°方向行驶,问缉私艇朝何方向以多大速度行驶,恰好用 h能截住该走私船?(参考数据:sin38°=5√314,sin22°=3√314)课时标准练23 解三角形由余弦定理,得a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,即b 2-4b+3=0,解得b=1或b=3.应选C .∵a cos A=b cos B ,∴sin A cos A=sin B cos B ,∴sin 2A=sin 2B ,∴A=B ,或2A+2B=180°,即A+B=90°,∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形.应选D . ∵sin B+sin A (sin C-cos C )=0,∴sin(A+C )+sin A sin C-sin A cos C=0⇒cos A sin C+sin A sin C=0⇒cos A+sin A=0⇒A=3π,由正弦定理得√2sinC =2sin 3π4⇒sin C=12,C ∈(0,π2)⇒C=π6,选B .(方式一)设BC 边上的高为AD ,则BC=3AD.结合题意知BD=AD ,DC=2AD ,因此AC=√AD 2+DC 2=√5AD ,AB=√2AD.由余弦定理,得cos ∠BAC=AB 2+AC 2-B C 22AB ·AC=2222×√2AD×√5AD=-√1010.应选C .(方式二)如图,在△ABC 中,AD 为BC 边上的高,由题意知∠BAD=π4.设∠DAC=α,则∠BAC=α+π4.∵BC=3AD ,BD=AD. ∴DC=2AD ,AC=√5AD. ∴sin α=√5=2√5,cos α=√5=√5,∴cos ∠BAC=cos α+π4=cos αcos π4-sin αsin π4=√22(cos α-sin α)=√22×(√55-2√55)=-√1010,应选C .由题意结合正弦定理得cosB sinB =-3cosCsinC ,因此tan C=-3tan B ,因此B ,C 中有一钝角,角A 必为锐角,∵tan A=-tan(B+C )=-tanB+tanC1-tanBtanC =2tanB1+3tan 2B >0,∴tan B>0,tan A ≤2tanB 2√3tanB =√33⇒0<A ≤π6,即角A 的最大值为π6,选A .由a sin B=b cos A ,得sin A sin B=sin B cos A ,tan A=1.因此在△ABC 中,A=π4.√2sin B-cos C=√2sin3π4-C -cos C=sin C ,C ∈(0,3π4),因此sin C max =1.7.π3(2,+∞) 由题意,得S △ABC =√34(a 2+c 2-b 2)=12ac sin B ,即√3(a 2+c 2-b 2)2ac=sin B ,∴√3cos B=sin B ,∴tan B=√3.∴B=π3.∴A+C=2π3,C=2π3-A>π2,∴0<A<π6.由正弦定理,得ca=sinCsinA=sin (2π3-A )sinA=sin 2π3cosA -cos 2π3sinAsinA=√32tanA +12. ∵0<A<π6,∴tan A ∈(0,√3). ∴c a >√32×√3312,即c a ∈(2,+∞). 8.√2315在△ABC 中,AB= m,AC= m,BC= m,且α+∠ACB=π.由余弦定理,可得AB 2=AC 2+BC 2-2·AC·BC·cos ∠ACB , 即=+×××cos(π-α), 解得cos α=516,则sin α=√23116,因此tan α=sinαcosα=√2315.9.[2,2√2] ∵12ab sin C=12ch ,c 2=a 2+b 2-2ab cos C ,∴ab=cℎsinC ,a 2+b 2=c 2+2ab cos C ,a b +b a=a 2+b 2ab=c 2+2abcosCcℎsinC=sinC (c 2+2cℎsinC cosC )cℎ=csinC+2ℎcosC ℎ=2(sin C+cos C )=2√2sin (C +π4),∵sin (C +π4)∈[√22,1], ∴a b +ba∈[2,2√2]. 10.解 (1)在△ABC 中,因为∠A=60°,c=37a ,因此由正弦定理得sin C=csinA a=37×√32=3√314. (2)因为a=7,因此c=37×7=3.由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bc cos A 得72=b 2+32-2b×3×12,解得b=8或b=-5(舍). 因此△ABC 的面积S=12bc sin A=12×8×3×√32=6√3.(方式一)∵b 2+c 2-a 2=ac cos C+c 2cos A ,∴cos A=accosC+c 2cosA 2bc =acosC+ccosA2b, ∴cos A=sinAcosC+cosAsinC 2sinB =sin (A+C )2sinB =12,A=π3.∴S △ABC =12bc sin A=25√34,∴bc=25.∵a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,∴b 2+c 2=a 2+bc=50,则(b+c )2=100,b+c=10,∴b=c=5,∴△ABC 为等边三角形, ∴sin B+sin C=√3.(方式二)∵b 2+c 2-a 2=ac cos C+c 2cos A ,∴b 2+c 2-a 2=ac ·a 2+b 2-c 22ab +c 2·b 2+c 2-a 22bc =c (a 2+b 2-c 2+b 2+c 2-a 2)2b =2b 2c 2b =bc ,∴cos A=b 2+c 2-a 22bc =12, ∴A=π.∴S △ABC =1bc sin A=25√3,∴bc=25.∵a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,∴b 2+c 2=a 2+bc=50,则(b+c )2=100,b+c=10,∴b=c=5,∴△ABC 为等边三角形, ∴sin B+sin C=√3.由题意可得a 2+b 2-c 22ab ×acosB+bcosA c =12,且cos C=C 2+b 2-c 22ab ,acosB+bcosA c =sinAcosB+sinBcosA sinC =sinCsinC=1,据此可得cos C=12,即a 2+b 2-c 22ab =12,a 2+b 2-c 2=ab ,据此有c 2=a 2+b 2-ab=(a+b )2-3ab=4-3ab ≥4-3(a+b 2)2=1,当且仅当a=b=1时等号成立.三角形知足两边之和大于第三边,则c<a+b=2,综上可得,c 的取值范围为[1,2).13.√10 依题意知,在△ACD 中,∠A=30°,由正弦定理得AC=CDsin45°sin30°=2√2.在△BCE 中,∠CBE=45°,由正弦定理得BC=CEsin60°sin45°=3√2.在△ABC 中,由余弦定理AB 2=AC 2+BC 2-2AC·BC cos ∠ACB=10,故AB=√10.14.解 (1)由题意可得∠AEC=π-π4=3π4,在△AEC 中,由余弦定理得AC 2=AE 2+CE 2-2AE·CE cos ∠AEC ,∴160=64+CE 2+8√2CE ,整理得CE 2+8√2CE-96=0,解得CE=4√2.(2)在△CDE 中,由正弦定理得CE =CD ,即4√2=5sin π4,∴5sin ∠CDE=4√2sin π=4√2×√22=4,∴sin ∠CDE=45.∵点D 在边BC 上,∴∠CDE>∠B=π3,而45<√32,∴∠CDE 只能为钝角,∴cos ∠CDE=-35,∴cos ∠DAB=cos (∠CDE -π)=cos ∠CDE cos π+sin ∠CDE sin π=-3×1+4×√3=4√3-3. 由题意可知,S △ABC =S △ABD +S △BCD .由角平分线的性质和三角形面积公式得12ac sin 120°=12a×1×sin60°+12c×1×sin 60°,化简得ac=a+c ,1a +1c =1.因此4a+c=(4a+c )(1a +1c )=5+ca +4a c≥5+2√c a ·4ac=9,当且仅当c=2a=3时取等号,故4a+c 的最小值为9.16.解 设缉私艇在C 处截住走私船,D 为岛A 正南方向上的一点,缉私艇的速度为x n mile/h,则BC= n mile,AC=5 n mile,依题意,∠BAC=180°-38°-22°=120°,由余弦定理可得BC 2=AB 2+AC 2-2AB·AC cos 120°,解得BC 2=49,BC==7,解得x=14.又由正弦定理得sin ∠ABC=A C sin∠BACBC=5×√327=5√314,因此∠ABC=38°.又∠BAD=38°,因此BC ∥AD.故缉私艇以14 n mile/h 的速度向正北方向行驶,恰好用 h 截住该走私船.。
2019届高考数学人教A版一轮复习单元质检四 三角函数、
单元质检四三角函数、解三角形(B)(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)1.为了得到函数y=sin的图象,只需把函数y=sin x的图象上所有的点()A.向左平行移动个单位长度B.向右平行移动个单位长度C.向上平行移动个单位长度D.向下平行移动个单位长度2.“α=”是“sin(α-β)=cos β”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.将函数f(x)=sin 2x的图象向右平移φ个单位后得到函数g(x)的图象.若对满足|f(x1)-g(x2)|=2的x1,x2,有|x1-x2|min=,则φ=()A. B.C. D.4.已知函数y=sin与y=cos的图象关于直线x=a对称,则a的值可能是()A. B.C. D.5.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=1,c=2(b-cos C),则△ABC周长的取值范围是()A.(1,3]B.[2,4]C.(2,3]D.[3,5]6.已知f(x)=A sin(ωx+φ)满足f(x)=-f,对任意的x都有f(x)≤f=2,则g(x)=A cos(ωx+φ)在区间上的最大值为()A.4B.C.1D.-2二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)7.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,则b=.8.(2017浙江,14)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则△BDC的面积是,cos∠BDC=.三、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知cos 2A-3cos(B+C)=1.(1)求角A的大小;(2)若△ABC的面积S=5,b=5,求sin B sin C的值.10.(15分)已知函数f(x)=sin 2ωx-cos 2ωx的图象关于直线x=对称,其中ω∈.(1)求函数f(x)的解析式;(2)在△ABC中,a,b,c分别为三个内角A,B,C的对边,锐角B满足f,b=,求△ABC面积的最大值.11.(15分)(2017江苏,16)已知向量a=(cos x,sin x),b=(3,-),x∈[0,π].(1)若a∥b,求x的值;(2)记f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.答案：1.A解析:由题意知,为得到函数y=sin,只需把函数y=sin x的图象上所有点向左平行移动个单位长度,故选A.2.A解析:若α=,则sin(α-β)=cos β.反之不成立,例如,取α=2π+,也有sin(α-β)=cos β.故“α=”是“sin(α-β)=cos β”的充分不必要条件.3.D解析:由题意可知,g(x)=sin(2x-2φ).由|f(x1)-g(x2)|=2,可知f(x1)和g(x2)分别为f(x)和g(x)的最大值和最小值(或最小值和最大值).不妨令2x1=+2kπ(k∈Z),2x2-2φ=-+2mπ(m∈Z),则x1-x2=-φ+(k-m)π(k∈Z,m∈Z).因为|x1-x2|min=,0<φ<,所以当k-m=0,即k=m时,有-φ=,解得φ=.故选D.4.A解析:因为函数y=sin的图象关于直线x=a的对称的图象对应的函数为y=sin,即y=cos=cos,又因为函数y=sin与y=cos的图象关于直线x=a对称,所以y=cos=cos,所以a可以为,故选A.5.C解析:在△ABC中,由余弦定理可得2cos C=.∵a=1,2cos C+c=2b,∴+c=2b,∴(b+c)2-1=3bc.∵bc≤,∴(b+c)2-1≤3×,即b+c≤2,当且仅当b=c时,取等号.故a+b+c≤3.∵b+c>a=1,∴a+b+c>2.故△ABC的周长的取值范围是(2,3].6.B解析:由f(x)=-f,知f(x+π)=-f=f(x),故f(x)的周期为π.所以=π,解得ω=2.由对任意的x都有f(x)≤f=2知,当x=时,f(x)取最大值,且最大值为2.所以+φ=2kπ+,k∈Z,且A=2,故φ=2kπ+,k∈Z.又因为|φ|<,所以φ=.所以g(x)=2cos.因为x∈,所以2x+.由余弦函数的图象知g(x)max=2cos,故选B.7.解析:因为cos A=,cos C=,且A,C为△ABC的内角,所以sin A=,sin C=,sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sin A cos C+cos A sin C=.又因为,所以b=.8.解析:如图,取BC中点E,DC中点F,由题意知AE⊥BC,BF⊥CD.在Rt△ABE中,cos∠ABE=,∴cos∠DBC=-,sin∠DBC=.∴S△BCD=×BD×BC×sin∠DBC=.∵cos∠DBC=1-2sin2∠DBF=-,且∠DBF为锐角,∴sin∠DBF=.在Rt△BDF中,cos∠BDF=sin∠DBF=.综上可得,△BCD的面积是,cos∠BDC=.9.解:(1)由cos 2A-3cos(B+C)=1,得2cos2A+3cos A-2=0,即(2cos A-1)(cos A+2)=0,解得cos A=(cos A=-2舍去).因为0<A<π,所以A=.(2)由S=bc sin A=bc=5,可得bc=20.由b=5,解得c=4.由余弦定理,得a2=b2+c2-2bc cos A=25+16-20=21,故a=.由正弦定理,得sin B sin C=sin A·sin A=sin2A=.10.解:(1)因为f(x)=sin 2ωx-cos 2ωx=2sin的图象关于直线x=对称,所以2ω×=kπ+(k∈Z),所以ω=+1(k∈Z).因为ω∈,所以-+1<(k∈Z),所以-1<k<1(k∈Z),所以k=0,ω=1,所以f(x)=2sin.(2)因为f=2sin B=,所以sin B=.因为B为锐角,所以0<B<,所以cos B=.因为cos B=,所以,所以ac=a2+c2-2≥2ac-2,所以ac≤3,当且仅当a=c=时,ac取到最大值3,所以△ABC面积的最大值为×3×.11.解:(1)因为a=(cos x,sin x),b=(3,-),a∥b,所以-cos x=3sin x.若cos x=0,则sin x=0,与sin2x+cos2x=1矛盾,故cos x≠0.于是tan x=-.又x∈[0,π],所以x=.(2)f(x)=a·b=(cos x,sin x)·(3,-)=3cos x-sin x=2cos.因为x∈[0,π],所以x+,从而-1≤cos.于是,当x+,即x=0时,f(x)取到最大值3; 当x+=π,即x=时,f(x)取到最小值-2.。
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课时规范练23解三角形基础巩固组1.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=,b=2,A=60°,则c=()A.B.1C.D.22.在△ABC中,已知a cos A=b cos B,则△ABC的形状是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形3.已知△ABC的三个内角A,B,C依次成等差数列,BC边上的中线AD=,AB=2,则S△ABC=()A.3B.2C.3D.64.在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则cos A=()A. B.C.-D.-5.在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b cos A+a cos B=c2,a=b=2,则△ABC的周长为()A.7.5B.7C.6D.5〚导学号21500534〛6.已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足-=sin A-sin B,则C=.7.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2c·cos B=2a+b,若△ABC的面积为S=c,则ab 的最小值为.8.如图所示,长为3.5 m的木棒AB斜靠在石堤旁,木棒的一端A在离堤足C处1.4 m的地面上,另一端B在离堤足C处2.8 m的石堤上,石堤的倾斜角为α,则坡度值tan α=.9.(2017全国Ⅲ,理17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin A+cosA=0,a=2,b=2.(1)求c;(2)设D为BC边上一点,且AD⊥AC,求△ABD的面积.〚导学号21500535〛10.已知岛A南偏西38°方向,距岛A 3 n mile的B处有一艘缉私艇.岛A处的一艘走私船正以10 n mile/h的速度向岛北偏西22°方向行驶,问缉私艇朝何方向以多大速度行驶,恰好用0.5 h 能截住该走私船?参考数据综合提升组11.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=则C=()A.B.C.D.12.在△ABC中,D为BC边上的一点,AD=BD=5,DC=4,∠BAD=∠DAC,则AC=()A.9B.8C.7D.613.如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点,从点A测得点M的仰角∠MAN=60°,点C的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从点C测得∠MCA=60°.已知山高BC=100 m,则山高MN= m.14.(2017河南郑州一中质检一,理17)已知△ABC外接圆直径为,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,C=60°.(1)求的值;(2)若a+b=ab,求△ABC的面积.创新应用组15.(2018福建泉州期末,理10)已知点P是函数f(x)=A sin(ωx+φ)(φ>0)图象上的一个最高点,B,C是与P相邻的两个最低点.若cos∠BPC=,则f(x)的图象的对称中心可以是() A.(0,0) B.(1,0)C.(2,0)D.(3,0)16.(2017宁夏银川九中二模,理17)已知函数f(x)=sin ωx-2sin2+m(ω>0)的最小正周期为3π 当x∈[0 π]时,函数f(x)的最小值为0.(1)求函数f(x)的表达式;(2)在△ABC中,若f(C)=1,且2sin2B=cos B+cos(A-C),求sin A的值.〚导学号21500536〛参考答案课时规范练23解三角形1.B由已知及余弦定理,得3=4+c2-2×2×c×,整理,得c2-2c+1=0,解得c=1.故选B.2.D∵a cos A=b cos B,∴sin A cos A=sin B cos B,∴sin 2A=sin 2B,∴A=B,或2A+2B=180°,即A+B=90°,∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.故选D.3.C∵A,B,C成等差数列,∴B=60°.在△ABD中,由余弦定理,得AD2=AB2+BD2-2AB·BD·cos B,即7=4+BD2-2BD,∴BD=3或-1(舍去),可得BC=6,∴S△ABC=AB·BC·sin B=×2×6×=3.4.C(方法一)设BC边上的高为AD,则BC=3AD.结合题意知BD=AD,DC=2AD,所以AC=AD,AB=AD.由余弦定理,得cos A=-==-,故选C.(方法二)如图,在△ABC中,AD为BC边上的高,由题意知∠BAD=.设∠DAC=α,则∠BAC=α+.∵BC=3AD,BD=AD.∴DC=2AD,AC=AD.∴sin α=,cos α=.∴cos∠BAC=cos=cos αcos-sin αsin(cos α-sin α)=-=-,故选C.5.D∵b cos A+a cos B=c2,a=b=2,∴由余弦定理可得b×-+a×-=c2,整理可得2c2=2c3,解得c=1,则△ABC的周长为a+b+c=2+2+1=5.故选D.6.在△ABC中,∵-=sin A-sin B,∴-=a-b,∴a2+b2-c2=ab,∴cos C=-,∴C=.7.12在△ABC中,由条件并结合正弦定理可得2sin C cos B=2sin A+sin B=2sin(B+C)+sin B,即2sin C cos B=2sin B cos C+2sin C cos B+sin B,∴2sin B cos C+sin B=0,∴cos C=-,C=.由于△ABC的面积为S=ab·sin C=ab=c,∴c=ab.再由余弦定理可得c2=a2+b2-2ab·cos C,整理可得a2b2=a2+b2+ab≥3ab,当且仅当a=b时,取等号,∴ab≥12 故答案为12.8.在△ABC中,AB=3.5 m,AC=1.4 m,BC=2.8 m,且α+∠ACB=π.由余弦定理,可得AB2=AC2+BC2-2·AC·BC·cos∠ACB,即3.52=1.42+2.82-2×1.4×2.8×cos π-α),解得cos α=,则sin α=,所以tan α=.9.解 (1)由已知可得tan A=-,所以A=.在△ABC中,由余弦定理得28=4+c2-4c cos,即c2+2c-24=0.解得c=-6(舍去),c=4.(2)由题设可得∠CAD=,所以∠BAD=∠BAC-∠CAD=.故△ABD面积与△ACD面积的比值为=1.又△ABC的面积为×4×2sin∠BAC=2,所以△ABD的面积为.10.解设缉私艇在C处截住走私船,D为岛A正南方向上的一点,缉私艇的速度为x n mile/h,则BC=0.5x n mile,AC=5 n mile,依题意,∠BAC=180°-38°-22°=120°,由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB·AC cos 120°,解得BC2=49,BC=0.5x=7,解得x=14.又由正弦定理得sin∠ABC=,所以∠ABC=38°.又∠BAD=38°,所以BC∥AD.故缉私艇以14 n mile/h的速度向正北方向行驶,恰好用0.5 h截住该走私船.11.B由题意结合三角形的内角和,可得sin(A+C)+sin A(sin C-cos C)=0,整理得sin A cosC+cos A sin C+sin A sin C-sin A cos C=0,则sin C(sin A+cos A)=0,因为sin C>0,所以sin A+cos A=0,即tan A=-1,因为A∈ 0 π 所以A=.由正弦定理,得,即sin C=,所以C=,故选B.12.D设∠B=θ,则∠ADC=2θ,在△ADC中,由,所以AC=8cos θ,在△ABC中,由,可得,所以16cos2θ=9,可得cos θ=,所以AC=8×=6.故选D.13.150在Rt△ABC中,∠CAB=45°,BC=100 m,所以AC=100 m.在△AMC中,∠MAC=75°,∠MCA=60°,从而∠AMC=45°,由正弦定理,得,因此AM=100 m.在Rt△MNA中,AM=100 m,∠MAN=60°,由=sin 60°,得MN=100=150(m).14.解 (1)由正弦定理可得=2R=,∴=2R=.(2)由正弦定理可得,∴c=2.由余弦定理可得22=a2+b2-2ab cos 60°,化为a2+b2-ab=4.又a+b=ab,∴(a+b)2-3ab=a2b2-3ab=4,解得ab=4.∴△ABC的面积S=ab sin C=×4×sin 60°=.15.C如图,取BC的中点D,连接PD,则PD=4.设BD=x,则PB=PC=.由余弦定理可得,(2x)2=()+()2-2()2cos∠BPC,解得x=3(负值舍去).则B-,-2,C ,-2,故BP,CP的中点都是f(x)图象的对称中心.故选C.16.解 (1)f(x)=sin ωx-2sin2+m=sin ωx-1+cos ωx+m=2sin-1+m.依题意=3π ω=,所以f(x)=2sin-1+m.当x∈[0 π]时,≤sin≤1所以f(x)的最小值为m.依题意,m=0.所以f(x)=2sin-1.(2)因为f(C)=2sin-1=1,所以sin=1.而,所以.解得C=.在Rt△ABC中,因为A+B=,2sin2B=cos B+cos(A-C), 所以2cos2A-sin A-sin A=0,解得sin A=-.因为0<sin A<1,所以sin A=-.。