备考2019高考数学解三角形文

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2019年高考一轮热点难点名师精讲与专题25：实际问题中的解三角形问题

考纲要求:1.能运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．2.研究测量距离问题，解决此问题的方法是：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．常见的命题角度有：(1)两点都不可到达；(2)两点不相通的距离；(3)两点间可视但有一点不可到达．基础知识回顾: 1．仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角．(如图(a ))．图(a ) 图(b )2．方位角：从某点的指北方向线起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角．如B 点的方位角为α(如图(b ))．3．方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)××度． 4.a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形：(1) a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(2) a ＝2Rsin A ，b ＝2Rsin B ，c ＝2Rsin C . 5．余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bccos A ，b 2＝a 2＋c 2－2accos B ，c 2＝a 2＋b 2－2abcos C ．变形：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.6.在△ABC 中，已知a ，b 和A 解三角形时，解的情况A 为锐角 A 为钝角或直角图形关系式 a ＜bsinA a ＝bsinAbsinA ＜a ＜ba ≥ba ＞ba ≤b解的个数无解一解两解一解一解无解7.三角形常用的面积公式(1)S ＝12a ·h a (h a 表示a 边上的高)．(2)S ＝12absinC ＝12acsinB ＝12bcsinA ＝abc 4R .(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为内切圆半径)．应用举例:类型一、测量高度问题【例1】【河北省衡水中学2018届高三第十六次模拟考试】如图，一山顶有一信号塔CD （CD 所在的直线与地平面垂直），在山脚A 处测得塔尖C 的仰角为α，沿倾斜角为θ的山坡向上前进l 米后到达B 处，测得C 的仰角为β.（1）求BC 的长；（2）若24l =， 45α=， 75β=， 30θ=，求信号塔CD 的高度. 【答案】(1) ()()sin sin BC l αθβα-=-；(2) 2483-.【例2】要测量电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，求电视塔的高度．【答案】10 6【解析】如图，设电视塔AB高为x m，则在Rt△ABC中，由∠ACB＝45°得BC＝x.在Rt△ADB中，∠ADB＝30°，则BD＝3x.在△BDC中，由余弦定理得，BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos120°，即(3x)2＝x2＋402－2·x·40·cos120°，解得x＝40，所以电视塔高为40 m.点评：求解高度问题应注意的3个问题类型二、测量距离问题研究测量距离问题，解决此问题的方法是：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．常见的命题角度有：(1)两点都不可到达；(2)两点不相通的距离；(3)两点间可视但有一点不可到达．【例3】【江苏省南京师大附中2018届高三高考考前模拟考试】如图，三个警亭有直道相通，已知在的正北方向6千米处，在的正东方向千米处.（1）警员甲从出发，沿行至点处，此时，求的距离；（2）警员甲从出发沿前往，警员乙从出发沿前往，两人同时出发，甲的速度为3千米/小时，乙的速度为6千米/小时.两人通过专用对讲机保持联系，乙到达后原地等待，直到甲到达时任务结束.若对讲机的有效通话距离不超过9千米，试问两人通过对讲机能保持联系的总时长？【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）在中，，，，然后由正弦定理可得BP，（2）甲从C到A，需要4小时，乙从A到B需要1小时．设甲、乙之间的距离为，要保持通话则需要．当时，当时，分别求得对应的时长在求和即得到结论.解：（1）在中，，，由正弦定理，，即，故的距离是9－3千米．，即，解得，又所以，时长为3小时．3＋＝（小时）．答：两人通过对讲机能保持联系的总时长是小时．点睛：考查正弦定理解三角形的应用以及对实际应用的分析问题和解决的能力，属于中档题.【例4】【上海市2018年5月高考模练习（一）】钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土，如图:点分别表示钓鱼岛、南小岛、黄尾屿，点在点的北偏东方向，点在点的南偏西方向，点在点的南偏东方向，且两点的距离约为3海里.(1)求两点间的距离；(精确到0.01)(2)某一时刻，我国一渔船在点处因故障抛锚发出求教信号.一艘国舰艇正从点正东10海里的点处以18海里/小时的速度接近渔船，其航线为 (直线行进)，而我东海某渔政船正位于点南偏西方向20海里的点处，收到信号后赶往救助，其航线为先向正北航行8海里至点处，再折向点直线航行，航速为22海里/小时.渔政船能否先于国舰艇赶到进行救助?说明理由.【答案】（1）14.25（2）渔政船能先于国舰艇赶到进行救助.【例5】如图所示，A，B两点在一条河的两岸，测量者在A的同侧，且B点不可到达，要测出AB的距离，其方法在A所在的岸边选定一点C，可以测出AC的距离m，再借助仪器，测出∠ACB＝α，∠CAB＝β，在△ABC中，运用正弦定理就可以求出AB.若测出AC＝60 m，∠BAC＝75°，∠BCA＝45°，则A，B两点间的距离为________m.【答案】200 7 m.点评：求距离问题的2个注意事项(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．类型三、测量角度问题【例6】【河北省邯郸市2017-2018学年高二下学期期末考试】如图,某军舰艇位于岛的的正西方处,且与岛的相距12海里.经过侦察发现,国际海盗船以10海里/小时的速度从岛屿出发沿北偏东30°方向逃窜,同时,该军舰艇从处出发沿北偏东的方向匀速追赶国际海盗船,恰好用2小时追上.（1）求该军舰艇的速度.（2）求的值.【答案】（1）14海里/小时；（2）.点睛：与解三角形相关的实际问题中，我们常常碰到方位角、俯角、仰角等，注意它们的差别.另外，把实际问题抽象为解三角形问题时，注意分析三角形的哪些量是已知的，要求的哪些量，这样才能确定用什么定理去解决.【例7】如图，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处救援，求cos θ的值．【答案】2114.点评：解决测量角度问题的3个注意事项(1)测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义． (2)求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值．(3)在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点．方法、规律归纳: 1.三角形中常见的结论(1)A ＋B ＋C ＝π. (2)在△ABC 中，A ＞B ⇔a ＞b ⇔sinA ＞sinB ⇔cosA ＜cosB . (3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(4)三角形内的诱导公式： sin (A ＋B )＝sin C ；cos (A ＋B )＝－cos C ；tan (A ＋B )＝－tan C ；sin A ＋B 2＝cos C 2；cos A ＋B 2＝sin C2.(6)在△ABC 中，A ，B ，C 成等差数列的充要条件是B ＝60° .(7)△ABC 为正三角形的充要条件是A ，B ，C 成等差数列且a ，b ，c 成等比数列． 2.判定三角形形状的两种常用途径(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．（2）利用正弦定理、余弦定理化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断． 3.三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S ＝12absin C ＝12acsin B ＝12bcsin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．实战演练:1．【东北师大附中、哈尔滨师大附中、辽宁省实验中学2017届高三下学期第四次联合模拟考试】如图，一条巡逻船由南向北行驶，在A 处测得山顶P 在北偏东()001515BAC ∠=方向上，匀速向北航行20分钟到达B 处，测得山顶P 位于北偏东060方向上，此时测得山顶P 的仰角060，若山高为23千米，（1）船的航行速度是每小时多少千米？（2）若该船继续航行10分钟到达D 处，问此时山顶位于D 处的南偏东什么方向？【答案】（1）航行速度是每小时()631+千米.（2）山顶位于D 处南偏东0135.所以()231AB =+，船的航行速度是每小时()631+千米.（2）在BCD ∆中，由余弦定理得： 6CD =，在BCD ∆中，由正弦定理得：2sin sin sin 2CD B CDB DBC CDB =⇒∠=∠∠, 所以，山顶位于D 处南偏东0135.2．【江苏省盐城中学2018届高三上学期期末考试】我校为丰富师生课余活动，计划在一块直角三角形ABC 的空地上修建一个占地面积为S （平方米）的AMPN 矩形健身场地，如图，点M 在AC 上，点N 在AB上，且P 点在斜边BC 上，已知60ACB ∠=︒， 30AC =米， AM x =米， []10,20x ∈.设矩形AMPN健身场地每平方米的造价为37k S 元，再把矩形AMPN 以外（阴影部分）铺上草坪，每平方米的造价为12kS元（k 为正常数）（1）试用x 表示S ，并求S 的取值范围；（2）求总造价T 关于面积S 的函数()T f S =;（3）如何选取AM ，使总造价T 最低（不要求求出最低造价）【答案】(1) 20032253S ≤≤ (2) 选取AM 的长为12米或18米时总造价T 最低137T k S =，又ABC ∆的面积为4503,即草坪造价()2124503kT S S=-，写出总造价即可；（3）根据均值不等式21631263S S+≥即可求出造价的最小值.（2）矩形AMPN 健身场地造价137T k S = 又ABC ∆的面积为4503,即草坪造价()2124503kT S S=-, 由总造价122163,25,20032253T T T T k S S S ⎛⎫=+∴=+≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭(3)21631263S S+≥ 当且仅当2163S S=即2163S =时等号成立，此时， ()3302163x x -=解得12x =或18x = 答：选取AM 的长为12米或18米时总造价T 最低.3．【江西省南昌市2018届高三第一轮复习训练题数学（四）】（Ⅰ）利用正余弦函数的定义和向量知识证明： ()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；（Ⅱ）如下三图，四边形ABCD 是由两个斜边长为x 的直角三角形拼成，其面积为1， 89,31.BAD BAC ∠=∠= TUV ∆是斜边长为x 的直角三角形，63,.TUV TV y ∠==四边形PQRS 是平行四边形，其中,,,PQ y PS x QPS a ==∠=其面积为2，求a 的值.【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)89或91.(Ⅱ) 在图1中可得cos31,sin31,sin32,cos32.AB x BC x AD x CD x ==== 再由四边形的面积为1， 2221141sin62sin6444cos26cos28x x x =+⇒=+由()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=- 得()()1cos cos cos cos 2αβαβαβ⎡⎤=++-⎣⎦ 2000042cos cos 2cos cos ,22cos26cos28cos1cos27A B A B x αβ+-===+002cos1cos27x =.在图2中得2cos27cos1y =在图3中得22sin sin sin sin89sin91cos1xy a a a ==⇒== 又8991.a =或4．在一水域上建一个演艺广场.演艺广场由看台Ⅰ，看台Ⅱ，三角形水域ABC ，及矩形表演台BCDE 四个部分构成（如图）.看台Ⅰ，看台Ⅱ是分别以AB ， AC 为直径的两个半圆形区域，且看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍；矩形表演台BCDE 中， 10CD =米；三角形水域ABC 的面积为4003平方米.设BAC θ∠=.（Ⅰ）当6πθ=时，求BC 的长；（Ⅱ）若表演台每平方米的造价为0.3万元，求表演台的最低造价.【答案】(Ⅰ)40；(Ⅱ)120万元.()80040423cos sin θθ=- ，即()80023cos 40423cos 40sin sin BC θθθθ-=-= 所以 23cos 40sin BC θθ-= ， ()0,θπ∈. 当6πθ=时， 23cos 4040sin BC θθ-==点睛：本题主要考查了根据实际问题建立数学模型，以及运用函数、导数的知识解决实际问题的能力．利用导数求函数的最值是解决本题的关键．属于中档题．一般解决实际应用题目先要读懂题目构建数学模型，再用数学知识解决其中的问题。

专题15 解三角形-2019年高考数学母题题源系列(江苏专版)(原卷版)

专题15 解三角形【母题来源】【2019年高考江苏卷】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b cos B =23，求c 的值；（2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值．【答案】（1）3c =；（2）5.【解析】（1）因为23,3a cb B ===，由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得2222(3)323c c c c+-=⨯⨯，即213c =.所以c =（2）因为sin cos 2A B a b=，由正弦定理sin sin a b A B =，得cos sin 2B B b b=，所以cos 2sin B B =. 从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =.因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而cos 5B =.因此πsin cos 2B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭【名师点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.【命题意图】（1）掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.（3）考查数形结合能力、化归与转化能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算、直观想象.【命题规律】解三角形问题是高考重要知识点，主要考查以斜三角形为背景求三角形的基本量、面积或判断三角形的形状，解三角形与不等式、三角函数性质、三角恒等变换交汇命题成为高考的热点．常见的命题角度主要有：（1）直接利用正、余弦定理解三角形；（2）与三角形面积有关的问题；（3）三角形形状的判断；（4）解三角形与三角恒等变换相结合．【答题模板】解答此类题目，一般考虑如下四步：第一步，定条件：即确定三角形中的已知和所求，在图形中标注出来，然后确定转化的方向.第二步，定工具：即根据条件和所求，合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步，求结果.第四步，再反思：在实施边角互化的时候应注意转化的方向，一般有两种思路：一是全部转化为边之间的关系；二是全部转化为角之间的关系，然后进行恒等变形.【方法总结】（一）利用正、余弦定理求边和角的方法：（1）根据题目给出的条件(即边和角)作出相应的图形，并在图形中标出相关的位置．（2）选择正弦定理或余弦定理或二者结合求出待解问题．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.（3）在运算求解过程中注意三角恒等变换与三角形内角和定理的应用．常见结论：（1）三角形的内角和定理：在ABC △中，π A B C ++=，其变式有：πA B C +=-，π222A B C +=-等．（2）三角形中的三角函数关系：i in(s n s )A B C =+； ()s os co c A B C =-+；sin cos 22A B C +=； cos sin 22A B C +=. （二）利用正、余弦定理判定三角形形状的两种思路：（1）“角化边”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.（2）“边化角”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角恒等变换，得出内角间的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用πA B C ++=这个结论．提醒：在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免造成漏解.（三）求三角形面积的方法（1）若三角形中已知一个角(角的大小，或该角的正、余弦值)，结合题意求夹这个角的两边或该两边之积，套公式求解．（2）若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，套公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．（四）三角形中，已知面积求边、角的方法三角形面积公式中含有两边及其夹角，故根据题目的特点，若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解；若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．（五）三角形中的综合问题（1）解三角形的应用中要注意与基本不等式的结合，以此考查三角形中有关边、角的范围问题.利用正弦定理、余弦定理与三角形的面积公式，建立如“22,,a b ab a b ++”之间的等量关系与不等关系，通过基本不等式考查相关范围问题.（2）注意与三角函数的图象与性质的综合考查，将两者结合起来，既考查解三角形问题，也注重对三角函数的化简、计算及考查相关性质等.（3）正、余弦定理也可能结合平面向量及不等式考查面积的最值或求面积，此时注意应用平面向量的数量积或基本不等式进行求解.1．【江苏省徐州市2018-2019学年高三考前模拟检测数学试题】在△ABC 中，已知3AC =，cos 14B =，（1）求AB 的长；（2.2．【江苏省镇江市2019届高三考前模拟（三模）数学试题】已知,,a b c 分别为ABC △三个内角,,A B C 所对的边，若向量(,cos )b B =m ，(cos ,2)C c a =-n ，且⊥m n .（1）求角B ；（2）若||=m 24ac =，求边,a c .3．【江苏省南通市2019届高三适应性考试数学试题】在△ABC 中，已知2AB =，cos 10B =（1）求BC 的长；（2.4．【江苏省七市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港)2019届高三第三次调研考试数学试题】在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对边的长，()()()sin sin sin sin a A B c b B C -=-+．（1）求角C 的值；（2）若4a b =，求sin B 的值．5．【江苏省苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（二）数学试题】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 2cos sin A C-=．（1）求角A 的大小；（2）若cos(B ＋6π)＝14，求cos C 的值．6．【江苏省南通市基地学校2019届高三3月联考数学试题】在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．向量()2,a b =m ，()1,cos C =-n ，且∥m n .（1）若30A =︒，求角C 的值；（2）求角B 的最大值．7．【江苏省南通、扬州、泰州、苏北四市七市2019届高三第一次（2月）模拟数学试题】在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对边的长，cos cos a B A =，cos A =．（1）求角B 的值；（2）若a =ABC 的面积．8．【江苏省泰州中学2019届高三3月月考数学试题】在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边依次为a ，b ，c ，且1cos 4C =. （1）求22cos 2sin 22A B C ++的值；（2）设2c =，求a b +的取值范围.9．【江苏省如皋市2019届高三教学质量调研（三）数学试题】在△ABC 中，tan 3tan A B =-，cos cos b C c B +=．（1）求角C 的大小；（2）设2()sin()cos ()2x B f x x A +=++，其中5π[0,]6x ∈，求()f x 的取值范围．10．【江苏省南京市2019届高三上学期综合模拟数学试题】在△ABC 中，3π,6,4A AB AC ===（1）求πsin 4B ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（2）若点D 在BC 边上，AD BD =，求AD 的长.11．【江苏省南京市六校联合体2019届高三12月联考数学试题】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c sin cos A a B =．（1）求角B ；（2）若3b =，sin C A =，求a ，c ．12．【江苏省南通市通州区、海门市2019届高三第二次质量调研数学试题】在△ABC 中，已知()22sin sin sin sin sin .A B A C C -=-（1）求内角B 的大小；（2）若cos 3A =求sin2C 的值.。

2019版文科数学讲义：第四章三角函数解三角形4.1 含答案

§4.1任意角、弧度制及任意角的三角函数最新考纲考情考向分析1.了解任意角的概念和弧度制的概念．2.能进行弧度与角度的互化．3。

理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.以理解任意角三角函数的概念、能进行弧度与角度的互化和扇形弧长、面积的计算为主，常与向量、三角恒等变换相结合,考查三角函数定义的应用及三角函数的化简与求值，考查分类讨论思想和数形结合思想的应用意识．题型以选择题为主,低档难度。

1．角的概念（1)角的分类（按旋转的方向)角错误!(2）象限角(3)终边相同的角所有与α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可记为S＝｛β|β＝α＋k·360°,k∈Z｝．2．弧度制(1)定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是零．(2）角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝错误!rad,1 rad＝错误!°. (3）扇形的弧长公式:l＝｜α｜r，扇形的面积公式:S＝错误!lr＝错误!｜α|r2.3．任意角的三角函数的定义α为任意角,α的终边上任意一点P （异于原点）的坐标（x ，y ),它与原点的距离OP ＝r ＝错误! （r >0），则sin α＝y r ；cos α＝错误!；tan α＝错误!;cot α＝错误!；sec α＝错误!；csc α＝错误!.4．三角函数在各象限的符号规律及三角函数线（1）三角函数在各象限的符号：象限符号函数Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳsin α，csc α ＋＋－－cos α，sec α ＋－－＋tan α，cot α ＋－＋－(2)三角函数线：正弦线如图，角α的正弦线为错误!。

余弦线如图，角α的余弦线为错误!。

正切线如图，角α的正切线为错误!.知识拓展三角函数值的符号规律三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√"或“×”）(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．（×）（2）角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关．（√) (3)不相等的角终边一定不相同．(×）（4)若α为第一象限角,则sin α＋cos α〉1。

高考数学(理)总复习：解三角形(解析版)

高考数学（理）总复习：解三角形题型一利用正、余弦定理解三角形【题型要点解析】关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口．【例1】△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2B2，(1)求cos B ；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 的面积为2，求b .【解析】 (1)由题设及A ＋B ＋C ＝π，sin B ＝8sin 2B2，故sin B ＝4(1－cos B )．上式两边平方，整理得17cos 2B －32cos B ＋15＝0，解得cos B ＝1(舍去)，cos B ＝1517.(2)由cos B ＝1517得sin B ＝817，故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac .又S △ABC ＝2，则ac ＝172.由余弦定理及a ＋c ＝6得：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )＝36－2×172×⎪⎭⎫ ⎝⎛+17151 ＝4.所以b ＝2.题组训练一利用正、余弦定理解三角形1．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A ＝223，a ＝2，S △ABC＝2，则b 的值为( )A.3B.322 C ．2 2D ．2 3【解析】 ∵在锐角△ABC 中，sin A ＝223，S △ABC ＝2，∴cos A ＝1－sin 2A ＝13，12bc sin A ＝12bc ·223＝2，∴bc ＝3①，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴(b ＋c )2＝a 2＋2bc (1＋cos A )＝4＋6×⎪⎭⎫⎝⎛+311＝12， ∴b ＋c ＝23②.由①②得b ＝c ＝3，故选A. 【答案】 A2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A sin B ＋sin B sin C ＋cos 2B ＝1.若C ＝2π3，则ab＝________.【解析】 ∵sin A sin B ＋sin B sin C ＋cos 2B ＝1，∴sin A sin B ＋sin B sin C ＝2sin 2B . 由正弦定理可得ab ＋bc ＝2b 2，即a ＋c ＝2b ，∴c ＝2b －a ，∵C ＝2π3，由余弦定理可得(2b －a )2＝a 2＋b 2－2ab cos 2π3，可得5a ＝3b ，∴a b ＝35. 【答案】 353．已知△ABC 是斜三角形，内角A ，B ，C 所对的边的长分别为a ，b ，c .若c sin A ＝3a cos C .(1)求角C ；(2)若c ＝21，且sin C ＋sin(B －A )＝5sin 2A ，求△ABC 的面积．【解析】 (1)根据a sin A ＝c sin C，可得c sin A ＝a sin C ，又∵c sin A ＝3a cos C ，∴a sin C ＝3a cos C ， ∴sin C ＝3cos C ，∴tan C ＝sin Ccos C ＝3，∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.(2)∵sin C ＋sin(B －A )＝5sin 2A ，sin C ＝sin (A ＋B )， ∴sin (A ＋B )＋sin (B －A )＝5sin 2A ， ∴2sin B cos A ＝2×5sin A cos A . ∵△ABC 为斜三角形， ∴cos A ≠0，∴sin B ＝5sin A . 由正弦定理可知b ＝5a ，① ∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴21＝a 2＋b 2－2ab ×12＝a 2＋b 2－ab ，②由①②解得a ＝1，b ＝5，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×1×5×32＝534.题型二正、余弦定理的实际应用【题型要点解析】应用解三角形知识解决实际问题一般分为下列四步：(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词术语，如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等；(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)将所求的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解；(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．【例2】某学校的平面示意图如图中的五边形区域ABCDE ，其中三角形区域ABE 为生活区，四边形区域BCDE 为教学区，AB ，BC ，CD ，DE ，EA ，BE .为学校的主要道路(不考虑宽度)．∠BCD ＝∠CDE ＝2π3，∠BAE ＝π3，DE ＝3BC ＝3CD ＝910km.(1)求道路BE 的长度；(2)求生活区△ABE 面积的最大值．【解析】 (1)如图，连接BD ，在△BCD 中，BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos ∠BCD ＝27100，∴BD ＝3310km.∵BC ＝CD ，∴∠CDB ＝∠CBD ＝π－2π32＝π6，又∠CDE ＝2π3，∴∠BDE ＝π2.∴在Rt △BDE 中， BE ＝BD 2＋DE 2＝335(km)．故道路BE 的长度为335km.(2)设∠ABE ＝α，∵∠BAE ＝π3，∴∠AEB ＝2π3－α.在△ABE 中，易得AB sin ∠AEB ＝BE sin ∠BAE ＝335sinπ3＝65，∴AB ＝65sin ⎪⎭⎫⎝⎛-απ32，AE ＝65sin α.∴S △ABE ＝12AB ·AE sin π3＝9325sin ⎪⎭⎫⎝⎛-απ32·sin α ＝9325⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-4162sin 21πα≤9325⎪⎭⎫ ⎝⎛+4121 ＝273100(km 2)． ∵0<α<2π3，∴－π6<2α－π6<7π6.∴当2α－π6＝π2，即α＝π3时，S △ABE 取得最大值，最大值为273100km 2，故生活区△ABE面积的最大值为273100km 2题组训练二正、余弦定理的实际应用1．如图，为了估测某塔的高度，在同一水平面的A ，B 两点处进行测量，在点A 处测得塔顶C 在西偏北20°的方向上，仰角为60°；在点B 处测得塔顶C 在东偏北40°的方向上，仰角为30°.若A ，B 两点相距130 m ，则塔的高度CD ＝________m.【解析】设CD ＝h ，则AD ＝h3，BD ＝3h ，在△ADB 中，∠ADB ＝180°－20°－40°＝120°，∴由余弦定理AB 2＝BD 2＋AD 2－2BD ·AD ·cos 120°，可得1302＝3h 2＋h 23－2×3h ×h 3×⎪⎭⎫⎝⎛-21，解得h ＝1039，故塔的高度为1039 m.【答案】 10392．如图，在第一条海防警戒线上的点A ，B ，C 处各有一个水声监测点，B ，C 两点到A 的距离分别为20千米和50千米，某时刻，B 收到发自静止目标P 的一个声波信号，8秒后A ，C 同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒．(1)设A 到P 的距离为x 千米，用x 表示B ，C 到P 的距离，并求x 的值；(2)求P 到海防警戒线AC 的距离．【解析】 (1)依题意，有P A ＝PC ＝x ， PB ＝x －1.5×8＝x －12. 在△P AB 中，AB ＝20， cos ∠P AB ＝P A 2＋AB 2－PB 22P A ·AB＝x 2＋202－(x －12)22x ·20＝3x ＋325x ，同理，在△P AC 中，AC ＝50，cos ∠P AC ＝P A 2＋AC 2－PC 22P A ·AC ＝x 2＋502－x 22x ·50＝25x .∵cos ∠P AB ＝cos ∠P AC ， ∴3x ＋325x ＝25x，解得x ＝31. (2）作PD ⊥AC 于点D ，在△ADP 中，由cos ∠P AD ＝2531，得sin ∠P AD ＝1－cos 2∠P AD ＝42131， ∴PD ＝P A sin ∠P AD ＝31×42131＝421.故静止目标P 到海防警戒线AC 的距离为421千米．题型三三角函数与解三角形问题【题型要点】解三角形与三角函数的综合题，其中，解决与三角恒等变换有关的问题，优先考虑角与角之间的关系；解决与三角形有关的问题，优先考虑正弦、余弦定理．【例3】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足sin A －sin C b ＝sin A －sin Ba ＋c .(Ⅰ)求C ；(Ⅱ)若cos A ＝17，求cos(2A －C )的值．【解析】 (Ⅰ)由sin A －sin C b ＝sin A －sin B a ＋c 及正弦定理得a －c b ＝a －ba ＋c ，∴a 2－c 2＝ab －b 2，整理得a 2＋b 2－c 2＝ab ，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，又0<C <π，所以C ＝π3.(Ⅱ)由cos A ＝17知A 为锐角，又sin 2A ＋cos 2A ＝1，所以sin A ＝1－cos 2A ＝437，故cos2A＝2cos 2A －1＝－4749，sin2A ＝2sin A cos A ＝2×437×17＝8349，所以cos(2A －C )＝cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πA ＝cos2A cos π3＋sin2A sin π3＝－4749×12＋8349×32＝－2398.题组训练三三角函数与解三角形问题已知函数f (x )＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛+62πx ＋cos 2x . (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，已知f (A )＝32，a ＝2，B ＝π3，求△ABC 的面积．【解析】 (1)f (x )＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛+62πx ＋cos 2x ＝sin 2x cos π6＋cos 2x sin π6＋cos 2x＝32sin 2x ＋32cos 2x ＝3⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 2cos 232sin 21 ＝3sin ⎪⎭⎫⎝⎛+32πx . 令－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π⇒－5π12＋k π≤x ＋π3≤π12＋k π，k ∈Z .f (x )的单调递增区间为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππk k 12,125，k ∈Z .(2)由f (A )＝32，sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πA ＝12，又0<A <2π3，π3<2A ＋π3<5π3，因为2A ＋π3＝5π6，解得：A ＝π4.由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得b ＝6，又由A ＝π4，B ＝π3可得：sin C ＝6＋24.故S △ABC ＝12ab sin C ＝3＋32.题型四转化与化归思想在解三角形中的应用【题型要点】利用正弦、余弦定理解三角形的模型示意图如下：【例4】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a cos 2C 2＋c cos 2A 2＝32b .(1)求证：a ，b ，c 成等差数列；(2)若∠B ＝60°，b ＝4，求△ABC 的面积．【解析】 (1)证明：a cos 2C 2＋c cos 2A2＝a ·1＋cos C 2＋c ·1＋cos A 2＝32b ，即a (1＋cos C )＋c (1＋cos A )＝3b . ①由正弦定理得：sin A ＋sin A cos C ＋sin C ＋cos A sin C ＝3sin B ， ② 即sin A ＋sin C ＋sin(A ＋C )＝3sin B ， ∴sin A ＋sin C ＝2sinB.由正弦定理得，a ＋c ＝2b ， ③ 故a ，b ，c 成等差数列．(2)由∠B ＝60°，b ＝4及余弦定理得： 42＝a 2＋c 2－2ac cos 60°，∴(a ＋c )2－3ac ＝16，又由(1)知a ＋c ＝2b ，代入上式得4b 2－3ac ＝16. 又b ＝4，所以ac ＝16， ④∴△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12ac sin 60°＝4 3.题组训练四转化与化归思想在解三角形中的应用如图，在平面四边形ABCD 中，AD ＝1，CD ＝2，AC ＝7.(1)求cos ∠CAD 的值；(2)若cos ∠BAD ＝－714，sin ∠CBA ＝216，求BC 的长．【解析】 (1)在△ADC 中，由余弦定理，得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD ＝7＋1－427＝277. (2)设∠BAC ＝α，则α＝∠BAD －∠CAD . 因为cos ∠CAD ＝277，cos ∠BAD ＝－714，所以sin ∠CAD ＝1－cos 2∠CAD ＝217，sin ∠BAD ＝1－cos 2∠BAD ＝32114. 于是sin ∠BAC ＝sin (∠BAD －∠CAD )＝sin ∠BAD cos ∠CAD －cos ∠BAD ·sin ∠CAD ＝32114×277－⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1417×217＝32. 在△ABC 中，由正弦定理得，BC ＝AC ·sin ∠BACsin ∠CBA＝7×32216＝3. 【专题训练】一、选择题1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且b 2＝a 2＋bc ，A ＝π6，则内角C 等于( )A.π6 B.π4 C.3π4D.π4或3π4【解析】在△ABC 中，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即a 2－b 2＝c 2－2bc cos A ，由已知，得a 2－b 2＝－bc ，则c 2－2bc cos π6＝－bc ，即c ＝(3－1)b ，由正弦定理，得sin C＝(3－1)sin B ＝(3－1)sin ⎪⎭⎫⎝⎛-C 65π，化简，得sin C －cos C ＝0，解得C ＝π4，故选B.【答案】 B2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝2，c ＝22，且C ＝π4，则△ABC 的面积为( )A.3＋1B.3－1 C ．4 D ．2【解析】法一由余弦定理可得(22)2＝22＋a 2－2×2×a cos π4，即a 2－22a －4＝0，解得a ＝2＋6或a ＝2－6(舍去)，△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×2×(2＋6)sin π4＝12×2×22×(6＋2)＝3＋1，选A.法二由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得sin B ＝b sin C c ＝12，又c >b ，且B ∈(0，π)，所以B ＝π6，所以A ＝7π12，所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×2×22sin 7π12＝12×2×22×6＋24＝3＋1.【答案】 A3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且2S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C 等于( )A.34B.43C ．－43D ．－34【解析】因为2S ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ，则结合面积公式与余弦定理，得ab sin C ＝2ab cos C ＋2ab ，即sin C －2cos C ＝2，所以(sin C －2cos C )2＝4，sin 2C －4sin C cos C ＋4cos 2C sin 2C ＋cos 2C ＝4，所以tan 2C －4tan C ＋4tan 2C ＋1＝4，解得tan C ＝－43或tan C ＝0(舍去)，故选C.【答案】 C4．如图，在△ABC 中，C ＝π3，BC ＝4，点D 在边AC 上，AD ＝DB ，DE ⊥AB ，E 为垂足．若DE ＝22，则cos A 等于( )A.223B.24 C.64D.63【解析】依题意得：BD ＝AD ＝DE sin A ＝22sin A ，∠BDC ＝∠ABD ＋∠A ＝2∠A .在△BCD 中， BC sin ∠BDC ＝BD sin C ，则4sin 2A ＝22sin A ×23＝423sin A ，即42sin A cos A ＝423sin A，由此解得cos A ＝64，选C.【答案】 C5．如图所示，为测一建筑物的高度，在地面上选取A ，B 两点，从A ，B 两点分别测得建筑物顶端的仰角为30°，45°，且A ，B 两点间的距离为60 m ，则该建筑物的高度为( )A ．(30＋303) mB ．(30＋153) mC ．(15＋303) mD ．(15＋153) m【解析】设建筑物高度为h ，则h tan 30°－h tan 45°＝60，即(3－1)h ＝60，所以建筑物的高度为h ＝(30＋303)m.【答案】 A6．在三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若20aBC →＋15bCA →＋12cAB →＝0，则三角形ABC 中最小角的正弦值等于( )A.45B.34C.35D.74【解析】 ∵20aBC →＋15bCA →＋12cAB →＝0，∴20a (AC →－AB →)＋15bCA →＋12cAB →＝0， ∴(20a －15b )AC →＋(12c －20a )AB →＝0.∵AC →与AB →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧20a －15b ＝0，12c －20a ＝0⇒⎩⎨⎧b ＝43a ，c ＝53a ，∴三角形ABC 中最小角为角A ， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a22bc ＝169a 2＋259a 2－a 22×43×53a 2＝45，∴sin A ＝35，故选C. 【答案】 C 二、填空题7．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，c ＝3，当ab 取得最大值时，S △ABC ＝________.【解析】因为(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，a 2＋b 2－c 2＝－ab ，所以cos C ＝－12，所以sinC ＝32，由余弦定理得(3)2＝a 2＋b 2＋ab ≥3ab ，即ab ≤1，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立．所以S △ABC ＝34. 【答案】348．已知△ABC 中，AB ＝1，sin A ＋sin B ＝2sin C ，S △ABC ＝316sin C ，则cos C ＝________. 【解析】 ∵sin A ＋sin B ＝2sin C ，由正弦定理可得a ＋b ＝2c .∵S △ABC ＝316sin C ，∴12ab sin C ＝316sin C ，sin C ≠0，化为ab ＝38.由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－2ab－2ab cos C ，∴1＝(2)2－2×38(1＋cos C )，解得cos C ＝13.【答案】139．已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )·sin C ，则△ABC 面积的最大值为________．【解析】由正弦定理得(2＋b )(a －b )＝(c －b )c ，即(a ＋b )·(a －b )＝(c －b )c ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，又A ∈(0，π)，所以A ＝π3，又b 2＋c 2－a 2＝bc ≥2bc －4，即bc ≤4，故S △ABC ＝12bc sin A ≤12×4×32＝3，当且仅当b ＝c ＝2时，等号成立，则△ABC 面积的最大值为 3. 【答案】310．如图，△ABC 中，AB ＝4，BC ＝2，∠ABC ＝∠D ＝60°，若△ADC 是锐角三角形，则DA ＋DC 的取值范围是________．【解析】在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC ＝12，即AC ＝2 3.设∠ACD ＝θ(30°<θ<90°)，则在△ADC 中，由正弦定理得23sin 60°＝DA sin θ＝DCsin (120°－θ)，则DA ＋DC ＝4[sin θ＋sin(120°－θ)]＝4⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+θθcos 23sin 23＝43sin(θ＋30°)，而60°<θ＋30°<120°，43sin 60°<DA ＋DC ≤43sin 90°，即6<DA ＋DC ≤4 3.【答案】 (6,43] 三、解答题11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a >b ，a ＝5，c ＝6，sin B ＝35. (1)求b 和sin A 的值；(2)求sin ⎪⎭⎫⎝⎛+42πA 的值．【解析】 (1)在△ABC 中，因为a >b ，故由sin B ＝35，可得cos B ＝45.由已知及余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13，所以b ＝13.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝a sin B b ＝31313.所以b 的值为13，sin A 的值为31313.(2)由(1)及a <c ，得cos A ＝21313，所以sin 2A ＝2sin A cos A ＝1213，cos 2A ＝1－2sin 2A ＝－513.故sin ⎪⎭⎫⎝⎛+42πA ＝sin 2A cos π4＋cos 2A sin π4＝7226. 12．如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝π3，AD ∶AB ＝2∶3，BD ＝7，AB ⊥BC .(1)求sin ∠ABD 的值；(2)若∠BCD ＝2π3，求CD 的长．【解析】(1)∵AD ∶AB ＝2∶3，∴可设AD ＝2k ，AB ＝3k .又BD ＝7，∠DAB ＝π3，∴由余弦定理，得(7)2＝(3k )2＋(2k )2－2×3k ×2k cos π3，解得k ＝1，∴AD ＝2，AB ＝3，sin ∠ABD ＝AD sin ∠DABBD＝2×327＝217.(2)∵AB ⊥BC ，∴cos ∠DBC ＝sin ∠ABD ＝217，∴sin ∠DBC ＝277，∴BD sin ∠BCD ＝CDsin ∠DBC，∴CD＝7×27732＝433.。

2019年高考试题：正余弦定理解三角形

2019年高考试题训练一：2019年高考理科数学新课标Ⅰ卷第17题：ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 。

设C B A C B sin sin sin )sin (sin 22-=-。

（Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若c b a 22=+，求C sin 。

本题解析：（Ⅰ）本题目是边角转化和余弦定理四项式综合的经典题型。

半角转化：方程中每一项都有内角的正弦，每一项中正弦次数相加相等，可以把每一项中的正弦全部转化为对边，保持次数不变。

CC B B C B A C B 2222sin sin sin 2sin sin sin sin )sin (sin +-⇒-=-CB AC B C B A sin sin sin sin sin sin sin sin 2222=-+⇒-=bc a c b =-+⇒222。

根据余弦定理得到：32122cos 222π=⇒==-+=A bc bc bc a c b A 。

（Ⅱ）本题目是边角转化和一个角的正弦等于另外两个角和的正弦综合的经典题型。

边角转化：方程中每一项都有边，每一项中的边次数相加相等，可以把每一项中的边全部转化为对角的正弦，保持次数不变。

C B A c b a sin 2sin sin 222=+⇒=+。

C C A C C A C A B sin 21cos 23cos sin cos sin )sin(sin +=+=+=C C C C C sin 23cos 2326sin 2sin 21cos 23232=+⇒=++⨯⇒6sin 3cos 3sin 3cos 36-=⇒=+⇒C C C C 2sin 3cos -=⇒C C 2cos sin 3=-⇒C C 2)6sin(22)cos 6sin sin 6(cos 2=-⇒=-⇒πππC C C 4622)6sin(πππ=-⇒=-⇒C C 或125436πππ=⇒=-C C 或1211π=C 。

2019年高考数学一轮复习第3单元三角函数、解三角形第21讲二倍角公式与简单的三角恒等变换理

,
sin��sin��
=
-
1 15
,
所以 tan αtan
β=csoins
��sin �� cos ��
=-14.
课前双基巩固
4.[教材改编] 已知 sin θ=35,θ 为第二象限角,则 sin 2θ 的值
为
.
[答案] -2245
[解析] ∵sin θ=35,θ 为第二象限角,
1 + sin6 + 1-sin6 + 2 (1 + sin6)(1-sin6)= 2 + 2cos6= 2 + 2(2cos23-1)= 4cos23
=-2cos 3.
(2)f(x)=1-sin2(x+α)+cos(x+α)sin(x+α)=1-1-cos
2(�� 2
+��)+12sin
5
教学参考
■ [2017-2016]其他省份类似高考真题
1.[2017·山东卷] 已知 cos x=3,则 cos
4
2x= ( )
A.-1
B.1
4
4
C.-18
D.18
[答案] D [解析] 由二倍角公式得 cos 2x=2cos2x-1=2×196-1=18,故选 D.
教学参考
2.[2016·浙江卷] 已知 2cos2x+sin
课前双基巩固
知识聚焦
1.二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式 S2α:sin 2α= 2sin αcos α
.
(2)公式 C2α:cos 2α=
cos2α-sin2α

2019届高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形4-4三角恒等变换课件文

(2)4cos50°－tan40°＝4sin40°－tan40°
＝4sin40°ccooss4400°°－sin40°＝2sin80°－cossin403°0°＋10°
＝2cos10°－12ccooss1400°°－
3 2 sin10°
＝32cos10c°o－s4023°sin10°
＝ 3 cosc3o0s°4＋0°10°＝ 3. [答案] (1)1 (2) 3
第
四
三角函数解三角形
章
第四节
三角恒等变换
高考概览 1.巧变角：三角函数式中往往出现较多的差异角，注意观察角与角之间的和、差、倍、互补、互余等关系，运用角的变换，化多角为单角或减少未知角的数目，连接条件角与待求角，使问题顺利获解．对角变换时：(1)可以通过诱导公式、两角和与差的三角公式等；(2)注意倍角的相对性；(3)注意拆角、拼角技巧，例如，2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，β＝α＋2 β－ α－2 β＝(α＋2β)－(α＋β)，α－β＝(α－γ)＋(γ－β)，15°＝45°－30°，
(2)三角函数求值的方法策略
类型
要点
给角关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角
求值函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数
类型
要点
给出某些角的三角函数值，求另外一些角的给值
三角函数值，解题关键在于“变角”，使其求值
角相同或具有某种关系
给值实质是转化为给值求值，关键是变角，把所
求角求角用含已知角的式子表示，由所得的函数
角度 1：给角求值 (1)化简：sin50°(1＋ 3tan10°)＝________.
(2)4cos50°－tan40°＝________. 化成“一角一

2019年高考数学文真题分项解析：专题04 三角函数与解三角形

第四章三角函数与三角形1.【2019高考新课标Ⅰ，文7】tan255°= A. －2－3 B. －2+3C. 2－3D. 2+3【答案】D 【解析】【分析】本题首先应用诱导公式，将问题转化成锐角三角函数的计算，进一步应用两角和的正切公式计算求解．题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．【详解】详解：000000tan 255tan(18075)tan 75tan(4530)=+==+=00031tan 45tan 3032 3.1tan 45tan 30313++==+--【点睛】三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角的三角函数值、运算求解能力．2.【2019高考新课标Ⅰ，文11】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B =4c sin C ，cos A =－14，则b c =A. 6B. 5C. 4D. 3【答案】A 【解析】【分析】利用余弦定理推论得出a ，b ，c 关系，在结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果. 【详解】详解：由已知及正弦定理可得2224a b c -=，由余弦定理推论可得22222141313cos ,,,464224242b c a c c c b A bc bc b c +---==∴=-∴=∴=⨯=，故选A ．【点睛】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用．3.【2019高考新课标Ⅱ，文8】若x 1=4π，x 2=34π是函数f (x )=sin x ω(ω>0)两个相邻的极值点，则ω=A. 2B.32C. 1D.12【答案】A 【解析】【分析】从极值点可得函数的周期，结合周期公式可得ω. 【详解】由题意知，()sin f x x ω=的周期232()44T ωπππ==-=π，得2ω=．故选A ．【点睛】本题考查三角函数的极值、最值和周期，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用方程思想解题．4.【2019高考新课标Ⅱ，文11】已知a ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sinα= A. 15B.55 C.33D.255【答案】B 【解析】【分析】利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案．【详解】2sin 2cos21α=α+Q ，24sin cos 2cos .0,,cos 02π⎛⎫∴α⋅α=αα∈∴α> ⎪⎝⎭Q ． sin 0,2sin cos α>∴α=α，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5∴α=α=，又sin 0α>，5sin 5α∴=，故选B ．【点睛】本题为三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负，很关键，切记不能凭感觉．5.【2019高考新课标Ⅲ，文5】函数()2sin sin2f x x x =-在[]0,2π的零点个数为（） A. 2 B. 3C. 4D. 5【答案】B 【解析】【分析】令()0f x =，得sin 0x =或cos 1x =，再根据x 的取值范围可求得零点.【详解】由()2sin sin 22sin 2sin cos 2sin (1cos )0f x x x x x x x x =-=-=-=，得sin 0x =或cos 1x =，[]0,2x π∈Q ，02x ππ∴=、或．()f x ∴在[]0,2π的零点个数是3，故选B ．【点睛】本题考查在一定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素养．采取特殊值法，利用数形结合和方程思想解题．6.【2019高考北京卷，文6】设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据定义域为R 的函数()f x 为偶函数等价于()=()f x f x -进行判断. 【详解】0b = 时，()cos sin cos f x x b x x =+=, ()f x 为偶函数； ()f x 为偶函数时，()=()f x f x -对任意的x 恒成立，()cos()sin()cos sin f x x b x x b x -=-+-=-cos sin cos sin x b x x b x +=- ，得0bsinx =对任意的x 恒成立，从而0b =.从而“0b =”是“()f x 为偶函数”的充分必要条件，故选C.【点睛】本题较易，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.7.【2019高考北京卷，文8】如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，APB ∠是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为A. 4β+4cos βB. 4β+4sin βC. 2β+2cos βD. 2β+2sin β【答案】B 【解析】【分析】由题意首先确定面积最大时点P 的位置，然后结合扇形面积公式和三角形面积公式可得最大的面积值. 【详解】观察图象可知，当P 为弧AB 的中点时，阴影部分的面积S 取最大值，此时∠BOP =∠AOP =π-β, 面积S 的最大值为2222βππ⨯⨯+S △POB + S △POA =4β+1||sin()2OP OB πβ-‖1||sin()2OP OA πβ+-‖ 42sin 2sin 44sin βββββ=++=+⋅.故选：B .【点睛】本题主要考查阅读理解能力、数学应用意识、数形结合思想及数学式子变形和运算求解能力，有一定的难度.关键观察分析区域面积最大时的状态，并将面积用边角等表示.8.【2019高考天津卷，文7】已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><是奇函数，将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为()g x .若()g x 的最小正周期为2π，且24g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（） A. 2- B. 2-C.2 D. 2【答案】C 【解析】【分析】只需根据函数性质逐步得出,,A ωϕ值即可。

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18 解三角形1．[2018·白城十四中]在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，60B =︒，4a =，其面积S =则c =（） A ．15B ．16C ．20D ．2．[2018·东师附中]在ABC △中，1a =，π6A ∠=，π4B ∠=，则c =（） A B C D 3．[2018·长春质检]在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1cos 2b a Cc =+，则角A 为（） A ．60︒B ．120︒C ．45︒D ．135︒4．[2018·大庆实验]ABC △中A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c 其面积2224a b c S +-=，则中C 的大小是（） A ．30︒B ．90︒C ．45︒D ．135︒5．[2018·银川一中]已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos C =，cos cos 2b A a B +=，则ABC △的外接圆面积为（） A ．4πB ．8πC ．9πD ．36π6．[2018·黄冈模拟]如图所示，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50m ，45ACB ∠=︒，105CAB ∠=︒后，就可以计算出A ，B 两点的距离为（）A ．mB ．mC ．D m 7．[2018·长春实验]在ABC △中，a ，b ，c 分别是A ，B ，C 所对的边，若cos 4cos a C c A =-，π3B =，a =，则cos C =（）一、选择题8．[2018·莆田一中]在ABC△中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且满足2cos cos cosb B a Cc A=+，若b a c+的最大值为（）A．B．3 C．32D．99．[2018·重庆期中]在ABC△中，若22tantanA aB b=，则ABC△的形状是（）A．等腰或直角三角形B．直角三角形C．不能确定D．等腰三角形10．[2018·长春150中]在ABC△中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且4442222ab cca b++=+，若C为锐角，则sin B A的最大值为（）A B1CD11．[2018·长沙模拟]已知锐角ABC△的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2B A=，则sina Ab的取值范围是（）A．⎝⎭B．⎝⎭C．12⎛⎝⎭D ．12⎫⎪⎪⎝⎭12．[2018·江南十校]在ABC△中，角A，B ，C所对的边分别为a，b，c，且A是B和C的等差中项，0AB BC⋅>，a=ABC△周长的取值范围是（）A．233,⎛++⎝⎭B．⎭C．⎝⎭D．⎝⎭13．[2018·遵义航天]在ABC△中，3AB=，4AC=，3BC=，D为BC的中点，则AD=__________．14．[2018·黄陵中学]在ABC△中，三个内角A∠，B∠，C∠所对的边分别是a，b，c，若()2sin cos2sin cosb C A A C+=-，且a=，则ABC△面积的最大值是________．15．[2018·江苏卷]在ABC△中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，120ABC∠=︒，ABC∠的角平分线交AC于点D，且1BD=，则4a c+的最小值为________．二、填空题16．[2018·成都七中]在锐角ABC△中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A、B、C成等差数列，b ABC△面积的取值范围是__________．1．【答案】C【解析】由三角形面积公式可得11sin4sin6022ABCS ac B c==⨯⨯⨯︒=△据此可得20c=．本题选择C选项．2．【答案】A【解析】由正弦定理sin sina bA B=可得π1sinsin4πsin sin6a BbA⨯===且()()cos cos cos cos sin sinC A B A B A B=-+=--=由余弦定理可得c，故选A．3．【答案】A【解析】1cos2b a C C=+，1sin sin cos sin2B AC C∴=+，()1sin sin cos cos sin sin cos sin2A C A C A C A C C+=+=+，1cos sin sin2A C C=，1cos2A=，60A=︒，故选A．4．【答案】C【解析】∵ABC△中，1sin2S ab C=，2222cosa b c ab C+=-，且2224a b cS+-=，∴11sin cos22ab C ab C=，即tan1C=，则45C=︒．故选C．5．【答案】D【解析】由cos cos22sin sin sinb A a Ba b cRA B C+====⎧⎪⎨⎪⎩，可得1sin cos sin cosB A A BR+=，所以()1sin A BR+=，即1sin CR=，又cos C，所以1sin3C=，所以3R=，所以ABC△的外接圆面积为24π36πs R==．故选D．6．【答案】A【解析】在ABC△中，50mAC=，45ACB∠=︒，105CAB∠=︒，即30ABC∠=︒，答案与解析一、选择题则由正弦定理sin sin AB AC ACB ABC =∠∠，得50sin 21sin 2AC ACBAB ABC∠===∠，故选A ．7．【答案】D【解析】由余弦定理知，222222422b a c b c a a c ab bc+-+-⋅=-⋅，即4b =，由正弦定理知43πsin sin 3A =，解得sin A =，因为a b <，所以π4A =，()cos cos cos cos sin sin C A B A B A B =-+=-+=，故选D ． 8．【答案】A【解析】2cos cos cos b B a C c A =+，则2sin cos sin cos sin cos B B A C C A =+，所以()2sin cos sin sin B B A C B =+=，1cos 2B =，π3B =．又有2222231cos 222a cb ac B ac ac +-+-===，将式子化简得223a c ac +=+，则()()2233334a c a c ac ++=+≤+，所以()2134a c +≤，a c +≤A ． 9．【答案】A【解析】由正弦定理有2222tan 4sin tan 4sin A R AB R B=，因sin 0A >，故化简可得 sin cos sin cos A A B B =，即sin 2sin 2A B =，所以222πA B k =+或者22π2πA B k +=+，k ∈Z ．因A ，()0,πB ∈，()0,πA B +∈，故A B =或者π2A B +=，所以ABC △的形状是等腰三角形或直角三角形．故选A ． 10．【答案】A 【解析】4442222a b c c a b ++=+444222222222222a b c a c b c a b a b ∴++--+=，即()2222222a b c a b +-=，由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，得2222cos a b c ab C +-=，代入上式，222224cos2a b C a b ∴=，解得cos C ∴= C 为锐角，πA B C ++=，π4C ∴=，3π4B A =-，3π0,4A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()3πsin sin4B A A A Aϕ⎛⎫∴+=-+=+≤⎪⎝⎭1tan3ϕ=，故选A．11．【答案】D【解析】∵2B A=，∴sin sin22sin cosB A A A==，由正弦定理得2cosb a A=，∴12cosab A=，∴sin sin1tan2cos2a A AAb A==．∵ABC△是锐角三角形，∴π2π022π0π32AB AC A<⎧⎪⎪⎪⎨<<=<<=-<⎪⎪⎪⎩，解得ππ64A<<，tan1A<<11tan22A<<．即sina Ab的值范围是12⎫⎪⎪⎝⎭，故选D．12．【答案】B【解析】∵A是B和C的等差中项，∴2A B C=+，∴π3A=，又0AB BC⋅>，则()cosπ0B->，从而π2B>，∴π2π23B<<，∵21sin sin s s3in ina b cA B C====，∴sinb B=，2πsin sin3c C B⎛⎫==-⎪⎝⎭，所以ABC△的周长为2πsin sin3π6l a b c B B B⎛⎫⎛⎫=++=++-=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又π2π23B<<，π2π5π366B<+<，1sin26πB⎛⎫<+<⎪⎝⎭l<故选B．13．【解析】在ABC△中，根据余弦定理，可得2223341cos2339B+-==⨯⨯，在ABD△中，根据余弦定理，可得222331413232294AD⎛⎫=+-⨯⨯⨯=⎪⎝⎭，所以AD=．二、填空题14．【解析】()2sin cos 2sin cos b C A A C +=-，()()cos 2sin cos sin cos 2sin 2sin b A C A A C A C B ∴=-+=-+=-，则2sin cos b B A -=，结合正弦定理得2cos sin a A A -==，即tan A =，2π3A ∠=，由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==-，化简得22122b c bc bc +=-≥，故4bc ≤，11sin 422ABC S bc A =≤⨯=△15．【答案】9【解析】由题意可知，ABC ABD BCD S S S =+△△△，由角平分线性质和三角形面积公式得111sin1201sin601sin60222ac a c ︒=⨯⨯︒+⨯⨯︒，化简得ac a c =+，111a c+=，因此()11444559c a a c a c a c a c ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当23c a ==时取等号，则4a c +的最小值为9．16．【答案】⎝⎦【解析】∵ABC △中A ，B ，C 成等差数列，∴π3B =．由正弦定理得2sin sin sin sin 3a cb A C B ====，∴2sin a A =，2sinc C =，∴12πsin sin sin 23ABC S ac B A C A A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭△21331cos2sin sin cos sin22242AA A A A A A A ⎫-+==+⎪⎪⎝⎭3πsin2246A A A ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， ∵ABC △为锐角三角形，∴π022ππ032A A <<<-<⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得ππ62A <<．∴ππ5π2666A <-<，∴1πsin 2126A ⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭π26A ⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭，故ABC △面积的取值范围是⎝⎦．。