1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
合集下载
2020版人教A数学必修2：1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
的底面积 S= 1 ×4×2=4,棱锥的高 h=4,所以棱锥的体积 V= 1 ×4×4= 16 .
2
3
3
故选 B.
[备用例2] 1.如图,一个底面半径为2的圆柱被一平面所截,截得的几何体的最短和 最长母线长分别为2和3,求该几何体的体积.
解:用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱,如图,则圆柱 的体积为π×22×5=20π,故所求几何体的体积为10π.
2.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图, 则此几何体的体积为( B )
(A)6 (B)9 (C)12 (D)18 解析:由三视图可知该几何体为底面是斜边为 6 的等腰直角三角形,高为 3 的 三棱锥,其体积为 1 × 1 ×6×3×3=9.
32
3.(2018·天津河西区高一期中)一个几何体的三视图如图所示,则该几何
体的体积为
.
解析:几何体上部是圆锥,下部是圆柱,所以几何体的体积为π·12×4+ 1 × 3
22π×2= 20π . 3
答案: 20π 3
4.(2018·杭州高一期中)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积
是
;表面积是
.
解析:由题意几何体是棱长为 2 的正方体,挖去一底面半径为 1,高为 1 的圆锥,
π rl+π
r2
. .
圆台
上底面面积:S上底= 下底面面积:S下底=
π r′2 . π r2 .
侧面积:S侧= π l(r+r′) .
表面积:S= π (r′2+r2+r′l+rl) .
2.柱体、锥体、台体的体积公式 柱体的体积公式 V=Sh(S 为底面面积,h 为高);
1.3.1柱体、椎体、台体的表面积与体积
S侧面积 = πrl S表面积 = πr2 + πrl = πr(r + l)
参照圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧面展 开图是什么 ．
2r'
r 是扇环
S侧面积 = π(r' + r)l S表面积 = π(r'2 + r 2 + r'l + rl)
圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式的关系:
h
正棱柱的侧面展开图
侧面展开
h' h'
正棱锥的侧面展开图
棱台的侧面展开图是什么?如何计算它的表面积?
侧面展开
h' h'
正棱台的侧面展开图
O
l
2 rl
r O 2 r
圆柱的侧面展开图是矩形
S侧面积 = 2πrl
S表面积 = 2πr2 + 2πrl = 2πr(r + l)
2r
l
rO
圆锥的侧面展开图是扇形
h
h
D
S
E OS
C
A
B
V锥体＝
1 3
Sh
S
S
h
h
S S
V台体
=
1(S + 3
SS + S)h
V圆台
=
1π(r2 3
+
rr+r2 )h
柱体、锥体、台体的体积公式的关系.
上底扩大
上底缩小
V = Sh S = S
V = 1(S + 3
SS + S)h
S = 0 V = 1 Sh 3
例3.已知长方体的三个面的面积分别为 2, 3, 6, 求长方体的对角线长。
参照圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧面展 开图是什么 ．
2r'
r 是扇环
S侧面积 = π(r' + r)l S表面积 = π(r'2 + r 2 + r'l + rl)
圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式的关系:
h
正棱柱的侧面展开图
侧面展开
h' h'
正棱锥的侧面展开图
棱台的侧面展开图是什么?如何计算它的表面积?
侧面展开
h' h'
正棱台的侧面展开图
O
l
2 rl
r O 2 r
圆柱的侧面展开图是矩形
S侧面积 = 2πrl
S表面积 = 2πr2 + 2πrl = 2πr(r + l)
2r
l
rO
圆锥的侧面展开图是扇形
h
h
D
S
E OS
C
A
B
V锥体＝
1 3
Sh
S
S
h
h
S S
V台体
=
1(S + 3
SS + S)h
V圆台
=
1π(r2 3
+
rr+r2 )h
柱体、锥体、台体的体积公式的关系.
上底扩大
上底缩小
V = Sh S = S
V = 1(S + 3
SS + S)h
S = 0 V = 1 Sh 3
例3.已知长方体的三个面的面积分别为 2, 3, 6, 求长方体的对角线长。
柱锥台表面积及体积
S侧= rl
S表= r 2 rl
S表 (r12 r12 r1 r2 )l
an'y S侧 (r1 r提升
an'y
学习新知
巩固新知
总结提升
解：一个花盆需要涂漆的面积为： S= （ 10+5） 10+ 52 - 12 =150 +25 - =174 cm2
an'y
3 2 2 6 1 6 3 cm3 4
4
cm3
学习新知
巩固新知
总结提升
2 cm
96 cm
2
an'y
a 6
3
学习新知
巩固新知
总结提升
知识总结：
an'y
思想方法总结：“分割思想”、“补体思想 ”及“等价转化思想”．
100个花盆需要油漆： 1 100 174 100=174 ml 10000
an'y
学习新知
巩固新知
总结提升
an'y
学习新知
巩固新知
总结提升
解：正六棱柱的体积 V1 =S底 h 圆柱的体积 1 2 V2 =S底 h = （ ）1= cm3 2 4 所以螺帽的体积为 V V1 V2 6 3
圆台
S侧 (r1 r2 )l
r'0
圆锥
S侧 rl
预习落实
学习新知
巩固新知
总结提升
柱体 简单几何 体的体积 锥体
V柱 =Sh
1 V锥 = Sh 3 1 V台 = （S+ S S' +S’ )h 3
一底面为零
台体
柱体,椎体,台体的表面积与体积
rO
r
O
S锥r(rl)
r' r
r' 0
S台 (r2r2rlr)l
柱体，椎体，台体的表面积与体积
柱体，椎体，台体的表面积与体积
典型例题
例2 如图，一个圆台形花盆盆口直径20 cm，盆
底直径为15cm，底部渗水圆孔直径为1.5 cm，盆壁长
15cm．那么花盆的表面积约是多少平方厘米（ 取
3.14，结果精确到1 cm 2 ）？
螺帽个数：5.8×1000÷（7.8×2.956）≈252 答：这堆螺帽大约有252个。
柱体，椎体，台体的表面积与体积
柱体，椎体，台体的表面积与体积
练习：课本P28 3,4
柱体，椎体，台体的表面积与体积
*
柱体，椎体，台体的表面积与体积
1．用舟轻快、风吹衣的飘逸来表现自 己归居 田园的 轻松愉 快，形 象而富 有情趣 ，表现 了作者 乘舟返 家途中 轻松愉 快的心 情。 2．“问征夫以前路，恨晨光之熹微”中 的“问” 和“恨” 表达了 作者对 前途的 迷茫之 情。
柱体，椎体，台体的表面积与体积
问题解决
古埃及所有金字塔中最大的一座，是第四王朝法老 胡夫的金字塔。这座大金字塔原高146.59米，这 座金字塔的底面呈正方形，每边长230多米，绕金 字塔一周，差不多要走一公里的路程。如果垒成金 字塔的石头每块1.12立方米，大约需要多少块？
解：V 1Sh12302 146.59 33
2584870.33
nV2307919.942307920 1.12
答：大约要230792* 0块。
柱体，椎体，台体的表面积与体积
柱体，椎体，台体的表面积与体积
台体体积
柱体，椎体，台体的表面积与体积
高中数学1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
(3)柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系
(4)求台体的体积转化为求锥体的体积.根据台体的定义进行“补形”, 还原为锥体,采用“大锥体”减去“小锥体”的方法求台体的体积.
【题型探究】 类型一 柱体、锥体、台体的表面积 【典例】1.(2015·陕西高考)一个几何体的三视图如图所示,则该几 何体的表面积为 ( )
2
四个侧面的面积和为(2+8+5×2)×10=200.
所以四棱柱的表面积为S=40+200=240.
【方法技巧】空间几何体的表面积的求法技巧 (1)多面体的表面积是各个面的面积之和. (2)组合体的表面积应注意重合部分的处理. (3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面,计算侧面积时需要将这个曲面展 为平面图形计算,而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.
2.旋转体的侧面积与表面积的求解 (1)求圆柱、圆锥、圆台的侧面积或表面积时,可直接使用公式.但像 圆台的表面积公式比较复杂,不要求记忆,因此,表面积的求解方法是 最重要的. (2)在计算圆柱、圆锥、圆台的侧面积时,应根据条件计算旋转体的母 线长和底面圆的半径长. (3)这些公式的推导方法向我们提示了立体几何问题的解题思路,主要 通过空间观念等有关知识,将立体几何问题转化为平面几何问题.
Байду номын сангаас
积S1=πr2=π,侧面积S2=2×2+12 ·2πr·2=2π+4,所以此几何体的
表面积S=S1+S2=π+2π+4=3π+4.
2.选D.由已知得l=2r,
S侧 S底
＝
rl r 2
＝
l r
＝2.
3.选D.几何体为直四棱柱,其高为10,底面是上底为2,下底为8,高为4的
21-22版：1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积(创新设计)
中心，则该圆柱的体积为________. 解析 由题意知圆柱的高恰为四棱锥的高的一半，圆柱的底面直径恰为四棱
锥的底面正方形对角线的一半.因为四棱锥的底面正方形的边长为 2，所以底
面正方形对角线长为 2，所以圆柱的底面半径为12.又因为四棱锥的侧棱长均为 5，所以四棱锥的高为 （ 5）2－12＝2，所以圆柱的高为 1.所以圆柱的体
∵S△A1D1E＝21EA1·A1D1＝41a2， 又三棱锥 F－A1D1E 的高为 CD＝a，
∴V 三棱锥 F－A1D1E＝13×a×14a2＝112a3，∴V 三棱锥 A1－D1EF＝112a3.
20
课前预习
课堂互动
课堂反馈
方向2 割补法求体积
【例3—2】 如图所示，已知ABCDA1B1C1D1是棱长为a的正方体，
7
课前预习
课堂互动
课堂反馈
@《创新设计》
【预习评价】
1.若长方体的长、宽、高分别为3 cm，4 cm，5 cm，则长方体的体积为( )
A.27 cm3 B.60 cm3 C.64 cm3
D.125 cm3
解析 V长方体＝3×4×5＝60(cm3). 答案 B
8
课前预习
课堂互动
课堂反馈
@《创新设计》
25
课前预习
课堂互动
课堂反馈
@《创新设计》
A.90π
B.63π
C.42π D.36π
解 析 (1) 如 图 所 示 的 正 方 体 ABCDA1B1C1D1 的 棱 长 为 4 ， 去 掉 四 棱 柱 MQD1A1NPC1B1(其底面是一个上底为 2，下底为 4，高为 2 的直角梯形)所得的几 何体为题中三视图对应的几何体，故所求几何体的体积为 43－12×(2＋4)×2×4
高一数学必修2课件：1-3-1-1 柱体、锥体、台体的表面积
先求△SBC的面积，过点S作SD⊥BC，交BC于点D，如图 所示．
因为BC＝a，SD＝ SB2－BD2 ＝ a2－a22＝ 23a， 所以S△SBC＝12BC·SD＝12a× 23a＝ 43a2. 因此，四面体S－ABC的表面积S＝4× 43a2＝ 3a2.
(2)如上图所示，圆锥的底面半径r＝a2，母线长l＝a，则其 表面积为S表＝πr(r＋l)＝π×a2(a2＋a)＝34πa2.
B．2
3 C.2
1 D.2
[答案] A
[分析] 如图所示，设O1、O分别为棱台上、下底面中 心，M1、M分别为B1C1、BC的中点，连接O1M1、OM，则 M1M为斜高．
过M1作M1H⊥OM于H点，则M1H＝OO1， S侧＝4×12(1＋2)·M1M， S上底＋S下底＝5. 由已知得2(1＋2)·M1M＝5， ∴M1M＝56. 在Rt△M1HM中，MH＝OM－O1M1＝12. ∴M1H＝O1O＝ M1M2－MH2 ＝ 562－122＝23.
学法指导 必须由三视图准确地还原几何体，再根据定 义或公式求出几何体的表面积．
[例4] 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图1， 则其表面积等于________．
[答案] 6＋2 3
[解析] 通过三视图还原三棱柱直观图如图2，通过正视
图可以得出该三棱柱底面边长为2，侧棱长为1，三个侧面为
矩形，上下底面为正三角形，∴S表＝3×(2×1)＋2×
43×22
＝6＋2 3.
(2011·安徽高考)一个空间几何体的三视图如下图所示，则 该几何体的表面积为( )
A．48 C．48＋8 17
B．32＋8 17 D．80
[答案] C
[解析] 由三视图可知该几何体是底面为等腰梯形的直棱
因为BC＝a，SD＝ SB2－BD2 ＝ a2－a22＝ 23a， 所以S△SBC＝12BC·SD＝12a× 23a＝ 43a2. 因此，四面体S－ABC的表面积S＝4× 43a2＝ 3a2.
(2)如上图所示，圆锥的底面半径r＝a2，母线长l＝a，则其 表面积为S表＝πr(r＋l)＝π×a2(a2＋a)＝34πa2.
B．2
3 C.2
1 D.2
[答案] A
[分析] 如图所示，设O1、O分别为棱台上、下底面中 心，M1、M分别为B1C1、BC的中点，连接O1M1、OM，则 M1M为斜高．
过M1作M1H⊥OM于H点，则M1H＝OO1， S侧＝4×12(1＋2)·M1M， S上底＋S下底＝5. 由已知得2(1＋2)·M1M＝5， ∴M1M＝56. 在Rt△M1HM中，MH＝OM－O1M1＝12. ∴M1H＝O1O＝ M1M2－MH2 ＝ 562－122＝23.
学法指导 必须由三视图准确地还原几何体，再根据定 义或公式求出几何体的表面积．
[例4] 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图1， 则其表面积等于________．
[答案] 6＋2 3
[解析] 通过三视图还原三棱柱直观图如图2，通过正视
图可以得出该三棱柱底面边长为2，侧棱长为1，三个侧面为
矩形，上下底面为正三角形，∴S表＝3×(2×1)＋2×
43×22
＝6＋2 3.
(2011·安徽高考)一个空间几何体的三视图如下图所示，则 该几何体的表面积为( )
A．48 C．48＋8 17
B．32＋8 17 D．80
[答案] C
[解析] 由三视图可知该几何体是底面为等腰梯形的直棱
1.3_柱体、椎体、台体的表面积与体积
B
例6、已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距 离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的 体积、表面积。
在Rt OOA中, OA2 OO2 OA2 ,
R2 ( R 2 2 3 2 ) ( ) , 2 3
4 R . 3
4 4 4 3 256 3 V R ( ) ; 3 3 3 81
B
B
B B
如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么 它的体积是 V三棱锥＝ 1 Sh
A’
A’
3
A’
2
B’
3
B’
C’
1
A C C
C
B B
1 3
V1＝V2＝V3＝
V三棱柱
三棱锥的体积
V三棱锥＝
1 3
Sh
S是三棱锥的底面积， h是高
锥体体积
经过探究得知，棱锥也是同底等高的棱柱体积
1 ．即棱锥的体积： 的 3
R2 l 2
= (R 2 l 2 ) = R 2 l 2 r
l
R
r2
o
o
设球的半径为R,截面半径为r,平 面与截面的距离为 那么 r = 因此 S圆 =
圆环面积 S圆环 = R 2 l 2
R l
2
2
= (R 2 l 2 ) = R 2 l 2 r
Q 解： 正方体内接于球 球的直径等于正方体的体对角线长A ( 2 R )2 3a2 R
2 2
3 2
D B O
C
a
4 3
S 4 R 3 a 且V R
3
3 2
a A1
3
D1
C1 B1
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
如图，一个圆台形花盆盆口直径为 20 cm，盆底直径为15 cm，底部渗水 圆孔直径为1.5 cm，盆壁长15 cm． 那么花盆的表面积约是多少平方厘米？
练习 2. 一个圆台，上、下底面半径分别为 10、20，母线与底面的夹角为60°， 求圆台的表面积.
练习 2. 一个圆台，上、下底面半径分别为 10、20，母线与底面的夹角为60°， 求圆台的表面积
参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想 象圆台的侧面展开图是什么?
2r ' 2r
r ' O'
l
r
O
圆台的侧面展开图是扇环
圆台的表面积
参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想 象圆台的侧面展开图是什么?
2r ' 2r
r ' O'
l
r
O
2 2
圆台的侧面展开图是扇环
S圆台表面积 ( r r r l rl )
1.3.1 柱体、锥体、台体 的表面积与体积
复习引入
在初中已经学过正方体和长方体
的表面积，你知道正方体和长方体的
展开图的面积与其表面积的关系吗？
讲授新课 探究
棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面
图形围成的几何体，它们的展开图是什
么？如何计算它们的表面积？
棱柱的展开图
正六棱柱的侧面展开图是什么？ 如何计算它的表面积？
S a A B D C
练习 1.粉碎机的上料斗是正四棱台形(上、下 底面是正方形，侧面为全等的等腰梯形)， 它的上、下底面边长分别为 80mm、440mm，高是200mm， 计算制造这样一个下料斗所需铁板的面积.
圆柱的表面积
r O
O
2r
圆柱的侧面展开图是矩形
圆柱的表面积
r O
O
2r
圆柱的侧面展开图是矩形
棱台的展开图
正四棱台的侧面展开图是什么？ 如何计算它的表面积？
侧面展开
正棱台的侧面展开图
h'
h'
棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面 图形围成的几何体，它们的侧面展开图 还是平面图形，计算它们的表面积就是 计算它的各个侧面面积和底面面积之和．
已知棱长为a，各面均为等边三角形
的四面体S-ABC，求它的表面积．
S圆柱表面积 2r 2rl 2r ( r l )
2
圆锥的表面积
2r l
r O
圆锥的侧面展开图是扇形
圆锥的表面积
2r l
r O
圆锥的侧面展开图是扇形
S圆锥表面积 r rl r ( r l )
2
圆台的表面积
参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想 象圆台的侧面展开图是什么?
练习 3. 已知底面为正方形，侧棱长均是边长 为5的正三角形的四棱锥S-ABCD，求 其表面积. 4. 若一个圆锥的轴截面是等边三角形， 其面积为 3 ，求这个圆锥的表面积. 5. 面积为2的菱形，绕其一边旋转一周 所得几何体的表面积是多少？
棱柱的展开图
正六棱柱的侧面展开图是什么？ 如何计算它的表面积？ a h
正棱柱的侧面展开图
棱锥的展开图
正五棱锥的侧面展开图是什么？ 如何计算它的表面积？
棱锥的展开图
正五棱锥的侧面展开图是什么？ 如何计算它的表面积？
侧面展开 h'
h' 正棱锥的侧面展开图
棱台的展开图
正四棱台的侧面展开图是什么？ 如何计算它的表面积？