八年级数学下册 9_3 二次根式的乘法与除法学习要点素材 (新版)青岛版
青岛初中数学八下《9.3二次根式的乘法与除法》word教案
练ห้องสมุดไป่ตู้练：
（1） （2）
1、化简：（1） =；（2） =；
（3） ；(x＞0)（4） =
2、下列计算正确的是（）
A、 B、
C、 D、
3、下列计算正确的是（）
A、 B、 C、 D、
（1） （2）
（3） （4）（
已知a＞0，b＞0,且满足 ，求 的值。
教案序号
课时
1
课型
新授
课题
9.3二次根式的乘法与除法
重点、难点
能熟练进行二次根式的乘除混合运算
教学目标
1、能熟练地利用二次根式的乘法法则与除法法则进行二次根式的乘除运算；
2、能熟练进行二次根式的乘除混合运算。
教学
准备
无
教学过程
教学环节
教材处理
师生
活动
二次备课
自学检测
精讲点拨
课堂巩固
二次反馈
拓展提升
课堂小结
利用二次根式的乘法法则与除法法则计算：（写好计算过程）
（1） （2） （3） （4） 反思：1、在进行二次根式的乘除运算时，一般先利用计算，再将运算结果化成。与二次根式的加减法运算的区别是什么？
2、对于上面的各题，你还有其它不同的解法吗？小组间交流后展示。
自学指导二：观察算式： ，应该如何进行计算？（思考尝试后进行展示）
自评归纳：这节课你学会了哪些知识？你完成了本节课的学习任务了吗？
板书设计
9.3二次根式的乘法与除法
例题
练习
教学反思
青岛版数学八年级下册课件-9.3 二次根式的乘法和除法
练
习
5 3 10
4 15 2 3
（4）
2
3 3 3 2 3
2 1
6 6 -6 3 -9 2 9
例题讲解
例3计算： （ 1 ）（2 7） (2 - 7 ) （2）
6- 3
2
2
（2）
6- 3
6 - 2
2
6 3
3
2
6-6 2 3 9-6 2
例1、计算： （1） 5 20
(1 ) 5
1 （2） 2 2 5 6
5 × 20 100
48 （3） 3
=10
5 （4） 5
·
20
1 1 1 10 3 （2） 2 2 5 2 5 2 10 6 6 3 3
(3 ) 48 3 48 3
16
4 ;
5 （4） 5
练
2.计算：
习
53
（ 1 ）（ 8 11 ） (8 - 11) （2） 1-
3
2
42 3
小
1.
结
乘法运算律和乘法公式有二次根式的乘法中仍适用.
2. 二次根式相乘除，一定要将最终结果化成最简二次根式.
积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根.
a b ab (a≥0,b≥0)
算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根
3、商的算术平方的性质：
a b
a （ａ≥０，ｂ＞０） b
商的算术平方根等于被除式的算术平方根 除以除式的算术平方根 4、逆运算
a b
a b
( a≥０，ｂ＞０)
八年级数学下册 9.3 二次根式的乘法与除法课堂在线素材 (新版)青岛版
二次根式的乘法与除法课堂在线一、课程目标1．使学生理解积的算术平方根的性质，会利用这一性质化简二次根式；掌握商的算术平方根的性质，能利用性质进行二次根式的化简与运算；会进行简单的二次根式的除法运算；2．掌握二次根式的乘法法则，会进行简单的二次根式的乘法运算；3．使能联系几何课中学习的勾股定理解决实际问题；利用二次根式的除法公式进行化简与计算的能力；4．了解比较二次根式的大小的方法；通过学习积的算术平方根，培养逻辑思维能力；5．通过综合应用勾股定理等知识，培养实际应用能力；6．通过积的算术平方根与二次根式的乘法的学习，渗透公式的简单性，统一性的数学美；7．通过二次根式公式的引入过程，渗透从特殊到一般的归纳方法，提高归纳总结能力；二、知识结构：三、重、难点重点是利用积的算术平方根的性质进行二次根式的计算和化简.积的算术平方根的性质是本节的中心内容，化简和运算都是围绕其进行的，而运用此性质计算化简又是二次根式的化简和混合运算的基础.二次根式的计算和化简通常与如勾股定理等几何方面的知识综合在一起.商的二次根式的性质及利用性质进行二次根式的化简与运算.商的算术平方根的性质是本节的主线，掌握性质在二次根使得化简和运算的运用是关键.难点是二次根式的乘法与积的算术平方根的关系及应用.积的算术平方根在应用时既要强调这部分题目中的字母为正数，但又要注意防止产生字母只表示正数的片面认识.要认识到积的算术平方根性质与根式的乘法公式是互为逆运算的关系。
综合应用性质或乘法公式时要注意题目中的条件一定要满足.二次根式的除法与商的算术平方根的关系及应用.二次根式的除法与乘法既有联系又有区别，强调根式除法结果的一般形式，避免分母上含有根号.由于分母有理化难度和复杂性大，要理解分母有理化的意义及计算结果形式.四、知识要点1、积的算术平方根一般地，有(a≥0，b≥0)．积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积．要注意a≥0、b≥0的条件，因为只有a、b都是非负数公式才能成立，这里要启发学生为什么必须a≥0、b≥0．在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示正数，下面启发学生从运算顺序看，等号左边是将非负数a、b先做乘法求积，再开方求积的算术平方根，等号右边是先分别求a、b的两因数的算术平方根，然后再求两个算术平方根的积．根据这个性质可以对二次根式进行恒等变形，或将有的因式适当改变移到根号外边，或将根号外边的非负因式平方后移到根号内．2、商的算术平方根一般地，有（a≥0，b＞0）商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根．从运算顺序看，等号左边是将非负数a除以正数b求商，再开方求商的算术平方根，等号右边是先分别求被除数、除数的算术平方根，然后再求两个算术平方根的商，根据商的算术平方根的性质可以进行简单的二次根式的化简与运算．。
青岛版(新)数学八年级下册 9.3二次根式的乘法与除法
青岛版（新）数学八年级下册 9.3二次根式的乘法与除法1. 二次根式的乘法在数学中，我们经常会遇到涉及二次根式的乘法运算。
二次根式是指形如√a的数，其中a为一个非负实数。
当我们需要计算二次根式的乘法时，有一些简化的方法可以帮助我们更快地得到结果。
1.1 同底数的二次根式相乘当两个二次根式具有相同的底数时，我们可以将其合并为一个二次根式。
例如，对于√2和√3，它们的底数都是2，我们可以将它们相乘得到√(2*3) = √6。
1.2 不同底数的二次根式相乘当两个二次根式具有不同的底数时，我们可以使用乘法的分配律来计算结果。
例如，计算√2 * √3，我们可以将其拆分为(√2)(√3) = √(23) = √6。
1.3 化简二次根式的乘法在乘法的过程中，我们通常会尝试将结果进一步化简。
例如，计算√2 * √8，我们可以将8拆分为24，进而得到(√2)(√24) = √(22*4) = √16 = 4。
2. 二次根式的除法与二次根式的乘法类似，二次根式的除法也是我们需要熟练掌握的数学运算。
2.1 同底数的二次根式相除当两个二次根式具有相同的底数时，我们可以将其合并为一个二次根式，然后进行相除操作。
例如，计算√6 / √2，我们可以合并为√(6/2) = √3。
2.2 不同底数的二次根式相除当两个二次根式具有不同的底数时，我们可以使用除法的定义来计算。
例如，计算√6 / √3，我们可以将其表示为(√6) / (√3)，然后通过有理化的方法进行计算。
具体而言，我们可以将分子和分母同时乘以√3，得到(√6 * √3) / (√3 * √3) = √18 / 3 = (√9 * √2) / 3 = 3√2 / 3 = √2。
2.3 化简二次根式的除法在除法的过程中，我们也可以尝试将结果进一步化简。
例如，计算√16 / √2，我们可以将16拆分为28，进而得到(√28) / √2 = (√2)(8/√2) = (√2)4 =4√2。
青岛版八年级数学下册9.二次根式的乘法与除法混合运算教学课件
（1） （6 12+2 6）；
解：（1） 6( 12+2 6) = 6 12+2 ( 6)2 = 62 2 26 = 6 2 12.
（2）（ 15- 75） 3.
（2）( 15- 75) 3
= ( 15- 75) 1 3
= 15 75 33
= 5 25 = 5 5.
5 3 10
2 1
3.用字母表示出单项式乘多项式、多项式乘多项式 及乘法公式。
a(b c) = ab ac (a b)(m n) = am an bm bn (a b)(a b) = a2 b2 (a b)2 = a2 2ab b2 (a b)2 = a2 2ab b2
例2 计算：
2.化简：(4 15)2013(4 15)2014
分析：运用完全平方公式，可得 (4 15)(4 15) =1 ，又联想到 幂的运算性质(ab)2=a2b2 ,逆用此公式即可快速求解.
解： (4 15)2013(4 15)2014 = (4 15)2013(4 5)2013(4 15)
2013
= (4 15)(4 15) (4 15) = 12013 (4 15) = 4 15.
1. 乘法运算律和乘法公式在二次根式的运算中 仍适用.
2. 二次根式相乘除，一定要将最终结果化成最简 二次根式.
必做题:课本P128 综合练习 6题 选做题:课本P128 综合练习 8题
9.3 二次根式的乘法与除法（2）
1、会进行简单的二次根式的混合运算。
2、混合运算中实数的运算律、整式的四则 运算法则、运算顺序以及乘法公式的应用。
1. 二次根式的乘法和除法法则:
a · b = ab (a ≥ 0,b ≥ 0),
春青岛版数学八下9.3《二次根式的乘除》(第1课时)-课件
9
1.
二次根式的乘法和除法法则:
2.二次根式相乘除法，先按照法则进行运算，如果积或商中含有二次根式，要将它化成最简二次根式.
课堂小结
我们，还在路上……
You made my day!
阅读使人充实；会谈使人敏捷；写作与笔记使人精确；史鉴使人明智；诗歌使人巧慧；数学使人精细；博物使人深沉； 伦理使人庄重；逻辑与修辞使人善辩。
Hale Waihona Puke 4．等式成立的条件是（ ）
A、x≠5 B、x≥3C、x≥3且x≠5 D、x>5
5．下列等式中成立的是（ ）
A、
B、
C、
D、
B
B
A
D
C
2．计算：（1） = ；（2） = ；（3） = ；（4） = ；（5） = ； （6） = 。
复习提问
(a≥0,b≥0)
2、逆运算：
3、商的算术平方的性质：
商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根
4、逆运算
（ａ≥０，ｂ＞０）
算术平方根的商等于商的算术平方根
二次根式相乘除，先按照法则进行运算，如果积或商中含有二次根式，要将它化成最简二次根式.
=10
1.计算：
2
-3
例题讲解
例 计算:
解：
2.计算：
1．如果， 那么（ ）A、x≥0 B、x≥10 C、0≤x≤10 D、x为全体实数2．下列各式计算正确的是（ ）A、 B、 C、 D、3．下列式子中不成立的是（ ）A、 B、 C、 D、
二次根式的乘除法
第9章 二次根式
学习目标：
1、了解二次根式的乘除法法则，会运用法则化简二次根式。2、会根据法则进行二次根式的运算，进一步提高学生的运算能力。 3、学会独立思考并能与同学交流。
青岛版八年级数学《二次根式及其性质》知识点与复习知识点总结
青岛版八年级数学《二次根式及其性质》知识点与复习知识
点总结
知识积累的越多，掌握的就会越熟练，大学网初中频道为大家编辑了二次根式及其性质知识点与复习，希望对大家有帮助。
【主要内容】
本单元是在学习了平方根和算术平方根的意义的基础上，引入一个符号“
的式子叫二次根式，其中
是一个非负数时，
②
④
(3)二次根式的除法：
不能写成
与
与
与
与
是二次根式，则一定有
时，必有
时，
的算术平方根，因此有
写成
表示
，
和
中的
中的
无意义.
5、简化二次根式的被开方数，主要有两个途径：
(1)因式的内移：因式内移时，若
.
(2)因式外移时，若被开数中字母取值范围未指明时，则要进行讨论.即：，则有
，则有。
最新青岛版初中数学八年级下册《9.3二次根式的乘法与除法》精品教案
教案序号课时1课型新授课 题 9.3二次根式的乘法与除法重点、难点能熟练进行二次根式的乘除混合运算教学目标 1、能熟练地利用二次根式的乘法法则与除法法则进行二次根式的乘除运算； 2、能熟练进行二次根式的乘除混合运算。
教学 准备 无教学过程教学环节 教材处理师生 活动二次备课自学检测精讲点拨课堂巩固利用二次根式的乘法法则与除法法则计算：（写好计算过程）（1）105⋅ （2）a a 6223⋅（3）372（4）b b 3462÷反思：1、在进行二次根式的乘除运算时，一般先利用计算，再将运算结果化成 。
与二次根式的加减法运算的区别是什么？2、对于上面的各题，你还有其它不同的解法吗？小组间交流后展示。
自学指导二：观察算式：623⋅÷，应该如何进行计算？（思考尝试后进行展示）反思：二次根式的混合运算顺序跟以前所学的有理数的混合运算顺序一样，即：练一练：（1）521312321⋅÷ （2）12225341⋅÷1、化简：（1）a a 1824⋅= ；（2）xyb yb x 30103⋅= ；（3）=yx x 3273 ；(x ＞0) （4）a a ÷43=2、下列计算正确的是（ ）二次反馈拓展提升课堂小结A、565352=⋅B、653525=⋅C、665352=⋅D、305352=⋅3、下列计算正确的是（）A、416±=B、12223=-C、4624=÷D、2632=⋅（1）227818⨯÷（2）847)73228(+⨯+-（3）xxx836212739⋅+-（4）（48)832(3xxy÷-已知a＞0，b＞0,且满足)5(3)(babbaa+=+，求abbaabba+++-32的值。
自评归纳：这节课你学会了哪些知识？你完成了本节课的学习任务了吗？板书设计9.3二次根式的乘法与除法例题练习教学反思。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
二次根式的乘法与除法学习要点
二次根式的乘法和除法学习二次根式加减的基础.那么如何才能熟练掌握二次根式乘除法的运算呢？笔者以为应注意掌握以下几个问题：
一、正确理解二次根式乘法的意义
＝4，所以，
a ≥0，
b ≥0).观察这一式子的左边和右边，得出等号的左边是两个二次根式相乘，等号右边是得到的积仍是二次根式.由此二次根式的乘法就是把被开方数的积作为积的被开方数.
利用二次根式乘法的这个法则应注意：（1）要注意a ≥0、b ≥0的条件，因为只有a 、b 都是非负数公式才能成立.（2）从运算顺序看，等号左边是先分别求a 、b 的两因数的算术平方根，然后再求两个算术平方根的积，等号右边是将非负数a 、b 先做乘法求积，再开
方求积的算术平方根.（3）a ≥0，b ≥0)可以推广到三个二次根式、四个二次根式等相乘的情况.（4）根据这个性质可以对二次根式进行恒等变形，或将有的因式适当改变移到根号外边，或将根号外边的非负因式平方后移到根号内.
例1 计算：（12
（3；（4.
分析 利用二次根式的乘法法则，对于第（3）小题，应视x +2y 为一个整体.
解 （1＝
（2；
（3＝(x +2y
（4＝6x 2y 2. 说明 在进行二次根式乘法的过程中，应注意不能随便丢掉负号，其结果一定要化简.
例2 计算：（12）3
2分析 第（1）小题的被开方数都是小数，先将被开方数进行因数分解，第（2）小题 的根号外都含有数字因数，可以仿照单项式的乘法.
解 （1 1.2.
（2）×
3232152152 说明 对于二次根式的被开方数或式中，若满足两个相同因数或因式即移到根号外面来，从而达到化简的目的.
a ≥0，
b ≥0)的反向运用
a ≥0，b
a ≥0，
b ≥0).利用这个公式，同样可以达到化简二次根式的目的.
例3 化简：（1（2（3（4.
分析 2000可以通过分解因数，对于第（4）小题可以利用平方差公式使之转化成乘积的形式，再运用公式.
解（135；
（236；
（3＝
（4＝9×5＝45. 说明 通过求解可以看出，如果一个二次根式的被开方数中有的因式(或因数)能开得尽方，可以逆向运用二次根式乘法的法则，将这些因式(或因数)开出来，从而将二次根式化简.
三、熟练掌握二次根式除法的意义
2，2，
=a ≥0，b ＞0). 观察这一式子的左边和右边，从运算顺序
看，等号左边是先分别求被除数、除数的算术平方根，然后再求两个算术平方根的商，等号右边是将非负数a除以正数b求商，再开方求商的算术平方根.利用二次根式这一除法法则可以进行简单的二次根式的化简与运算.值得注意的是二次根式除法的法则中a≥0，b＞0，这是因为当b＝0时，分母为0，没有意义.
(a≥0，b＞0)，同样可以利用这一公式化简二次根式.
例4 计算：（12
分析=.
解（1
（2 3.
说明注意本例中第（2）小题的书写格式，以便降低求解的难度.
例5 化简：（1；（23
分析.
解（1＝8
7
；
（2
2
5
3
x
y
；
（3
＝
0.311
0.610
⨯
⨯
＝
11
20
.
说明如果被开方数是带分数，在运算时，一般先化成假分数.，在进行第（3）小题的运算时，也可以先对被开方数的分子与分母同时扩大100倍，从而化小数为整数.
通过上述两道例题的化简与运算，我们知道二次根式的除法，有两种基本方法：①把除
a≥0，b＞0).
四、正确理解最简二次根式的意义
有关二次根式的化简与运算的结果一般化成最简单的式子，即结果要化成最简二次根式.
最简二次根式必须满足：一是被开方数不含有分母；二是被开方数不含有开得尽方的因数或因式，二者缺一不可.
例6 计算：（12
分析第（1）小题先做括号里的，第（2）小题先做乘法，再做除法.
解（1
；
（2
说明通过本题的运算，我们能从中体会到如何化去分母中含有根号的因数或因式.。