2020年高考模拟河南省南阳一中、漯河、信阳、平顶山一中(3月)高考数学模拟试卷(理科) 含解析
2020年河南省南阳一中、信阳、漯河、平顶山一中四校高考数学模拟试卷(理科)(3月份)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A ＝{a ﹣1，a +1}，B ＝{1，2}，C ＝{2，3}，若A ∩B ＝∅，且A ∩C ≠∅，则a ＝（ ） A ．1或3B ．2或4C ．0D ．4【解答】解：∵集合A ＝{a ﹣1，a +1}，B ＝{1，2}，C ＝{2，3}， A ∩B ＝∅，且A ∩C ≠∅， ∴3∈A ，若a ﹣1＝3，则a ＝4，此时A ＝{3，5}，符合要求；若a +1＝3，则a ＝2，此时A ＝{1，3}，A ∩B ＝{1}，不合题意， ∴a ＝4． 故选：D ．2．（5分）设复数z ＝（a +i ）（1﹣i ）（a ∈R ），则复数z 在复平面内对应的点不可能在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：∵复数z ＝（a +i ）（1﹣i ）（a ∈R ），设复数z 在复平面内对应点的坐标为（x ，y ），则{x =a +1y =1−a ，消去参数a ，得点P 的轨迹方程为x +y ＝2， ∴点P 不可能在第三象限． 故选：C ．3．（5分）已知（2x 2−1x ）n （n ∈N *）的展开式中各项的二项式系数之和为128，则其展开式中x 2的系数为（ ） A ．280B ．﹣280C ．35D ．﹣35【解答】解：由题意，2n ＝128，得n ＝7． ∴（2x 2−1x ）n ＝（2x 2−1x ）7，其二项展开式的通项T r +1=∁7r •（2x 2）7﹣r •（﹣x ﹣1）r ＝（﹣1）r •27﹣r •∁7r •x14﹣3r；由14﹣3r ＝2得r ＝4，∴展开式中含x 2项的系数是（﹣1）423•∁74=280． 故选：A ．4．（5分）记[x ]表示不超过x 的最大整数，已知2a ＝3b ＝6c ，则[a+bc]=（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5【解答】解：由已知可得：alg 2＝clg 6，blg 3＝clh 6，则：a+b c=lg6lg2+lg6lg3=lg2+lg3lg2+lg2+lg3lg3=2+lg3lg2+lg2lg3＞2+2√lg3lg2⋅lg2lg3=4， 又a+b c=2+lg3lg2+lg2lg3＜2+lg4lg2+lg3lg3=2+2+1=5，∴[a+bc]=4， 故选：C ．5．（5分）函数f(x)=2x +xx+1的图象大致为（ ） A ．B ．C ．D ．【解答】解：f(x)=2x +xx+1=2x −1x+1+1的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞）． ∴f ′（x ）＝2x ln 2+1(x+1)2＞0恒成立成立，∴f （x ）在（﹣∞，﹣1），（﹣1，+∞）单调递增，当x ＞x 0时，f ′（x ）＞0，函数单调递增，故排除C ，D ， 当x →﹣∞时，2x →0，x x+1→1，∴f （x ）→1，故排除B ， 故选：A ．6．（5分）元代数学家朱世杰的数学名著《算术启蒙》是中国古代代数学的通论，其中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于“松竹并生”问题的一个程序框图，则计算机输出的结果是（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3【解答】解：模拟程序的运行，可得 第一次执行循环体，可得a ＝64+642=96，b ＝2×27＝54，此时a ＞b ； 第二次执行循环体，可得a ＝96+962=144，b ＝2×54＝108，此时a ＞b ； 第三次执行循环体，可得a ＝144+1442=216，b ＝2×108＝216，此时a ＝b ， 终止循环，输出n 的值为3． 故选：D ．7．（5分）在△ABC 中，D ，E 分别为BC ，AC 边上的点，且BD →=2DC →，若BE →=λAB →+34AD →，则λ＝（ ） A ．−54B ．−43C ．−45D ．−34【解答】解：如图，设AE →=xAC →，且BD →=2DC →，则： BE →=AE →−AB →=xAC →−AB →=x(AD →+DC →)−AB →=x(AD →+12BD →)−AB →=xAD →+x 2(AD →−AB →)−AB →=−(x 2+1)AB →+3x 2AD →，∵BE →=λAB →+34AD →，∴{λ=−(x2+1)3x 2=34，解得λ=−54．故选：A ．8．（5分）设点A 、B 分别在双曲线C ：x 2a −y 2b =1(a ＞0，b ＞0）的两条渐近线l 1、l 2上，且点A 在第一象限，点B 在第四象限，AB ⊥l 1，O 为坐标原点，若|OA |、|AB |、|OB |成等差数列，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．2B ．√52C ．√3D ．√62【解答】解：因为|OA |、|AB |、|OB |成等差数列，所以|OA |+|OB |＝2|AB |，如图所示：设l 1的倾斜角为α，因为OA ⊥AB ，则|OA |＝|OB |cos2α，|AB |＝|OB |sin2α， 于是cos2α+1＝2sin2α，即2cos 2α＝4sin α•cos α得tan α=12，即b a=12，所以离心率e =√c 2a 2=√1+b2a2=√52，故选：B ．9．（5分）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，其中图象最高点和最低点的横坐标分别为π12和7π12，图象在y 轴上的截距为√3．关于函数f （x ）有下列四个结论：①f （x ）的最小正周期为π；②f （x ）的最大值为2；①x =−π6为f （x ）的一个零点；④f(x +π6)为偶函数． 其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：根据函数的图象：T =2(7π12−π12)=π，所以ω＝2． 由于2×π12+φ=π2，解得φ=π3．由f （0）=√3，整理得Asin π3=√3，解得A ＝2． 当x =−π6时，f （−π6）＝2sin （−π3+π3）＝0， 故x =−π6为f （x ）的一个零点． 由于f （x ）＝2sin （2x +π3），所以f （x +π6）＝2sin （2x +π3+π3）＝2sin （2x +2π3）不是偶函数． 故结论①②③正确． 故选：C ．10．（5分）某单位有800名员工，工作之余，工会积极组织员工参与“日行万步”健身活动．经调查统计，得到全体员工近段时间日均健步走步数（单位：千步）的频率分布直方图如图所示．据直方图可以认为，该单位员工日均健步走步数近似服从正态分布，计算得其方差为6.25．由此估计，在这段时间内，该单位员工中日均健步走步数在2千步至4.5千步的人数约为（ ）附：若随机变量Z 服从正态分布N （μ，σ2），则P （μ﹣σ＜Z ＜μ+σ）＝0.6826，P （μ﹣2σ＜Z ＜μ+2σ）＝0.9544，P （μ﹣3σ＜Z ＜μ+3σ）＝0.9974．A．103B．105C．107D．109【解答】解：由频率分布直方图估计其均值μ＝1×0.04+3×0.08+5×0.16+7×0.44+9×0.16+11×0.1+13×0.02＝6.96≈7．设日均健步数为X，则X～N（7，6.25），∵a＝2.5，则μ﹣σ＝4.5，μ﹣2σ＝2，∴P（2≤X≤4.5）=12（0.9544﹣0.6826）＝0.1359，∵800×0.1359≈109．∴日均健步走步数在2千步至4.5千步的人数约为109人．故选：D．11．（5分）小王想在某市一住宅小区买套新房，据了解，该小区有若干栋互相平行的平顶楼房，每栋楼房有15层，每层楼高为3米，顶楼有1米高的隔热层，两楼之间相距60米．小王不想买最前面和最后面的楼房，但希望所买楼层全年每天正午都能晒到太阳，为此，小王查找了有关地理资料，获得如下一些信息：①该市的纬度（地面一点所在球半径与赤道平面所成的角）为北纬36°34'；②正午的太阳直射北回归线（太阳光线与赤道平面所成的角为23°26'）时，物体的影子最短，直射南回归线（太阳光线与赤道平面所成的角为23°26'）时，物体的影子最长，那么小王买房的最低楼层应为（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：依题意：α＝36°34′+23°26′＝60°，则太阳光与地面的夹角为θ＝90°﹣60°＝30°．如图所示：（1）（2）根据题意，得到每栋楼从地面到楼顶的高度为46米．在图（2）中，设AB＝46，BD＝60，∠AEB＝30°，所以在Rt△ABE中，BE=ABtan30°=46√3，在Rt△CDE中，DE＝BE﹣BD＝46√3−60，所以CD＝DE tan30°＝46﹣20√3≈11.36所以中间的楼房距离地面约11.36米的部分，有些天正午不能晒到太阳．所以，小王买房的最底层应为5层，故选：C．12．（5分）如图，在平面四边形ABCD中，AD⊥CD，△ABC是边长为3的正三角形．将该四边形沿对角线AC折成一个大小为120°的二面角D﹣AC﹣B，则四面体ABCD的外接球的表面积为（）A．12πB．13πC．14πD．15π【解答】解：设四面体ABCD的外接球的球心为O点．取AC的中点E，连接BE，上点M为正△ABC的中心，则OM⊥平面ABC．∵AD⊥DC，则点E为△ACD的外心．∴OE⊥平面ACD．∵二面角D﹣AC﹣B的大小为120°，∴∠OEB＝30°．∵△ABC是边长为3的正三角形，则BE=3√32．∴ME=√32．在△OME中，OE=MEcos30°=1．在Rt△AEO中，OA=√(32)2+12=√132．∴四面体ABCD的外接球的表面积S＝4π×(√132)2=13π．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知数列{a n}满足a n+1﹣a n＝2（n∈N*），S n为数列{a n}的前n项和，若a10＝12，则S10＝30．【解答】解：数列{a n}满足a n+1﹣a n＝2（n∈N*），可得数列{a n}为等差数列，公差为d＝2，∵a10＝12，∴a1+18＝12，解得a1＝﹣6，则S10＝﹣60+45×2＝30．故答案为：30．14．（5分）某中学高三年级共有36名教师，将每位教师按1～36编号，其年龄数据如表：编号123456789101112131415161718年龄404840413340454243363138394345393836编号192021222324252627282930313233343536年龄274341373442374442343945384253374939用系统抽样法从这36名教师中抽取一个容量为9的样本，已知在第一组用抽签法抽到的年龄数据为48，则抽取的9名教师年龄的中位数是40．【解答】解：讲36人分成9组，每组4人，因为在第一组抽取的教师年龄为48，其编号为2，在所有样本数据的编号为2，6，10，14，18，22，26，30，34，对应的年龄分别为48，40，36，43，36，37，44，45，37，讲这9个数从小到达排序可得36，36，37，37，40，43，44，45，48，故中位数为40，故答案为：40．15．（5分）若过点A（a，0）的任意一条直线都不与曲线C：y＝xe x相切，则a的取值范围是（﹣4，0）．【解答】解：设点B（x0，x0e x0）为曲线C上任意一点，∵y′＝e x+xe x＝（x+1）e x，则曲线C在点B处的切线方程为y−x0e x0=(x0+1)e x0(x−x0)，根据题意，切线l不经过点A，则关于x0的方程0−x0e x0=(x0+1)e x0(a−x0)，即x02−ax0−a=0无实根．∴△＝a2+4a＜0，解得﹣4＜a＜0．∴a的取值范围是（﹣4，0）．故答案为：（﹣4，0）．16．（5分）在△ABC中，已知顶点A（0，1），顶点B、C在x轴上移动，且|BC|＝2，设点M为△ABC的外接圆圆心，则点M到直线l：2x﹣2y﹣5＝0的距离的最小值为√2．【解答】解：如图，设点M（x，y），取BC的中点D，连结MD，则MD⊥BC，且|BD|＝1，|MD|＝|y|，因为|MA|＝|MB|，则x2+（y﹣1）2＝y2+1，即x2＝2y，则点M到直线l的距离d=|2x−2y−5|2√2=|2x−x2−5|2√2=(x−1)2+42√2，所以当x＝1时，d取最小值√2，故答案为：√2．三、解答题：本大题共7个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且有cos 2A +cos A cos （C ﹣B ）＝sin B sin C ． （Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若△ABC 的内切圆面积为π，当AB →•AC →的值最小时，求△ABC 的面积． 【解答】解：（Ⅰ）因为在△ABC 中有cos 2A +cos A cos （C ﹣B ）＝sin B sin C ， 则cos A [cos A +cos （C ﹣B ）]＝sin B sin C ，所以cos A [﹣cos （C +B ）+cos （C ﹣B ）]＝sin B sin C ， 即2cos A sin B sin C ＝sin B sin C ， 即cos A =12， 又A ∈（0，π）， 故A =π3；（Ⅱ）由△ABC 的内切圆面积为π，由余弦定理得a 2＝b 2+c 2﹣bc ， 由题意可知△ABC 的内切圆半径为1，如图，设圆I 为三角形ABC 的内切圆，D ，E 为切点， 可得AI ＝2，AD ＝AE =√3， 则b +c ﹣a ＝2√3，于是（b +c ﹣2√3）2＝b 2+c 2﹣bc ， 化简得4√3+√3bc ＝4（b +c ）≥8√bc ， 所以bc ≥12或bc ≤43， 又b ＞√3，c ＞√3， 所以bc ≥12，即AB →•AC →=12bc ∈[6，+∞），当且仅当b ＝c 时，AB →•AC →的最小值为6， 此时三角形ABC 的面积：12bc sin A =12×12×sin π3=3√3． 18．（12分）如图，在矩形ABCD 中，点E 为边AD 上的点，点F 为边CD 的中点，AB ＝AE =23AD ，现将△ABE 沿BE 边折至△PBE 位置，且平面PBE ⊥平面BCDE ． （Ⅰ） 求证：平面PBE ⊥平面PEF ； （Ⅱ） 求二面角E ﹣PF ﹣C 的大小．【解答】（I ）证明：在Rt &△DEF 中， ∵ED ＝DF ，∴∠DEF ＝45°，在Rt △ABE 中，∵AE ＝AB ，∴∠AEB ＝45°， ∴∠BEF ＝90°，∴EF ⊥BE ，（3分）∵平面PBE ⊥平面BCDE ，且平面PBE ∩平面BCDE ＝BE ， ∴EF ⊥平面PBE ， ∵EF ⊂平面PEF ，∴平面PBE ⊥平面PEF ．（6分） （II ）解：由题意，不妨设AD ＝3，以D 为原点，以DC 方向为x 轴，以ED 方向为y 轴，以与平面EBCD 向上的法向量同方向为z 轴，建立坐标系．（7分）∵在矩形ABCD 中，点E 为边AD 上的点，点F 为边CD 的中点，AB ＝AE =23AD ， ∴E(0，−1，0)，P(1，−2，√2)，F(1，0，0)，C(2，0，0)， ∴EP →=(1，−1，√2)，CP →=(−1，−2，√2)，FP →=(0，−2，√2)．设平面PEF 和平面PCF 的法向量分别为n 1→=（x 1，y 1，z 1），n 2→=（x 2，y 2，z 2）．由n →1⋅EP →=0及n →1⋅FP →=0，得到{x 1−y 1+√2z 1=0−2y 1+√2z 1=0，∴n 1→=(1，−1，−√2)．又由n 2→•CP →=0及n 2→•FP →=0，得到{−x 2−2y 2+√2z 2=0−2y 2+√2z 2=0，∴n 2→=(0，1，√2)，（9分）|cos ＜n 1，n 2＞|=|0−1−2|1+1+2⋅1+2=√32，（11分）综上所述，二面角E ﹣PF ﹣C 大小为150°．（12分）19．（12分）如图，已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)与圆E ：x 2+y 2−y 2−3=0在第一象限相交于点P ，椭圆C 的左、右焦点F 1，F 2都在圆E 上，且线段PF 1为圆E 的直径． （1）求椭圆C 的方程；（2）设过点M(0，√35)的动直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，证明：OA →⋅OB→为定值，并求出这个定值．【解答】解：（1）在圆E 中，令y ＝0可得x =±√3，所以由题意可得c =√3， 由圆的方程可得圆的半径为74，所以由题意可得PF 1|=72，连接PF 2，因为F 2在圆上，所以PF 2⊥F 1F 2， 又有|F 1F 2|＝2c ＝2√3，则|PF 2|=√|PF 1|2−|F 1F 2|2=√494−12=12， 由题意的定义可得：2a ＝|PF 1|+|PF 2|，可得a ＝2，b 2＝a 2﹣c 2＝1， 所以椭圆的方程为：x 24+y 2＝1；（2）当直线的斜率存在时设l 的斜率为k ，则l 的方程为：y ＝kx +√35，代入椭圆的方程可得：x 2+4（kx +√35）2＝4，即（1+4k 2）x 2+8√35kx −85=0， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=−√35⋅8k 1+4k2，x 1x 2=−85(1+4k 2)，所以OA →⋅OB →=x 1x 2+y 1y 2＝x 1x 2+（kx 1+√35）（kx 2+√35）＝（1+k 2）x 1x 2+√35k （x 1+x 2）+35 =−8(1+k 2)5(1+4k 2)−24k 25(1+4k 2)+35=−8(1+4k 2)5(1+4k 2)+35=−1；当直线l 的斜率不存在时，直线与y 轴重合，此时点A （0，﹣1），B （0，1） ，OA →⋅OB →=−1，综上所述：OA →⋅OB →=−1为定值．20．（12分）已知函数f （x ）＝lnx +12ax 2−2x +32（a ≥0）． （1）讨论函数f （x ）的极值点的个数；（2）若f （x ）有两个极值点x 1，x 2，证明：f （x 1）+f （x 2）＜0． 【解答】（1）解：f′(x)=1x +ax −2=ax 2−2x+1x，x ∈（0，+∞）．①当a ＝0时，f′(x)=−2x+1x． 当x ∈(0，12)时，f '（x ）＞0，所以f （x ）在(0，12)上单调递增； 当x ∈(12，+∞)时，f '（x ）＜0，所以f （x ）在(12，+∞)上单调递减． 即函数f （x ）只有一个极大值点12，无极小值点．②当0＜a ＜1时，△＝4﹣4a ＞0， 令f '（x ）＝0，得x =1±√1−aa． 当x ∈(0，1−√1−a a )∪(1+√1−aa，+∞)时，f '（x ）＞0， 所以f （x ）在(0，1−√1−a a )，(1+√1−aa，+∞)上单调递增； 当x ∈(1−√1−a a ，1+√1−aa)时，f '（x ）＜0， 所以f （x ）在(1−√1−a a ，1+√1−aa)上单调递减． 即函数f （x ）有一个极大值点1−√1−aa，有一个极小值点1+√1−aa．③当a ≥1时，△＝4﹣4a ≤0，此时f '（x ）≥0恒成立， 即f （x ）在（0，+∞）上单调递增，无极值点．综上所述，当a ＝0时，f （x ）有且仅有一个极大值点，即只有1个极值点； 当0＜a ＜1时，f （x ）有一个极大值点和一个极小值点，即有2个极值点； 当a ≥1时，f （x ）没有极值点．（2）证明：由（1）可知，当且仅当0＜a ＜1时，f （x ）有两个极值点x 1，x 2，且x 1，x 2为方程ax 2﹣2x +1＝0的两根， 即x 1+x 2=2a ，x 1x 2=1a，所以f(x 1)+f(x 2)=lnx 1x 2+a 2(x 12+x 22)−2(x 1+x 2)+3=ln 1a+a 2(4a 2−2a )−4a+3=−lna −2a +2．令g(a)=−lna −2a +2，a ∈（0，1）， 则g′(a)=−1a +22=2−a2＞0恒成立， 所以g （a ）在（0，1）上单调递增， 所以g （a ）＜g （1）＝﹣ln 1﹣2+2＝0，即f （x 1）+f （x 2）＜0．21．（12分）湖南省会城市长沙又称星城，是楚文明和湖湘文化的发源地，是国家首批历史文化名城．城内既有岳麓山、橘子洲等人文景观，又有岳麓书院、马王堆汉墓等名胜古迹，每年都有大量游客来长沙参观旅游．为合理配置旅游资源，管理部门对首次来岳麓山景区游览的游客进行了问卷调查，据统计，其中13的人计划只游览岳麓山，另外23的人计划既游览岳麓山又参观马王堆．每位游客若只游览岳麓山，则记1分；若既游览岳麓山又参观马王堆，则记2分．假设每位首次来岳麓山景区游览的游客计划是否参观马王堆相互独立，视频率为概率．（1）从游客中随机抽取3人，记这3人的合计得分为X ，求X 的分布列和数学期望； （2）从游客中随机抽取n 人（n ∈N *），记这n 人的合计得分恰为n +1分的概率为P n ，求P 1+P 2+…+P n ；（3）从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为n 分的概率为a n ，随着抽取人数的无限增加，a n 是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，说明理由． 【解答】解：（1）据题意，每位游客计划不参观马王堆的概率为13，参加马王堆的概率为23，则X 的可能取值为3，4，5，6， P （X ＝3）=(13)3=127， P （X ＝4）=C 31⋅23⋅(13)2=29， P （X ＝5）=C 32⋅(23)2⋅13=49，P （X ＝6）＝（23）3=827， ∴X 的分布列为：X 3 45 6 P1272949827∴EX =3×127+4×29+5×49+6×827=5．（2）∵这n 人的合计得分为n +1分，则其中只有1人计划参观马王堆，∴P n =C n 1⋅23⋅(13)n−1=2n3n ，设S n ＝P 1+P 2+…+P n =23+432+633+⋯+2n 3n ， 则13S n =23+43+63+⋯+2(n−1)3+2n 3，∴两式相减，得：23S n =23+232+233+⋯+23n−2n3n+1=2×13(1−13n )1−13−2n 3n+1=1−2n+33n+1， ∴P 1+P 2+…+P n ＝S n =32（1−2n+33n+1）． （3）在随机抽取的若干人的合计得分为n ﹣1分的基础上再抽取1人， 则这些人的合计得分可能为n 分或n +1分，记“合计得n 分“为事件A ，“合计得n +1分”为事件B ，A 与B 是对立事件， ∵P （A ）＝a n ，P （B ）=23a n−1，∴a n +23a n−1=1，（n ≥2）， 即a n −35=−23(a n−1−35)，（n ≥2）， ∵a 1=13，则数列{a n −35}是首项为−415，公比为−23的等比数列， ∴a n −35=−415（−23）n ﹣1，∴a n =35−415（−23）n ﹣1=35+25⋅(−23)n ， ∵0＜|−23|＜1，则当n →∞时，（−23）n →0，∴a n →35， ∴随着抽取人数的无限增加，a n 趋近于常数35．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在极坐标系中，已知点P 的极坐标为(2，π2)，曲线C 的极坐标方程为ρ=2√5cos θ−1．以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系．（1）求点P 的直角坐标和曲线C 的直角坐标方程；（2）过点P 作斜率为√3的直线l ，交曲线C 于A ，B 两点，求|P A |•|PB |的值． 【解答】解：（1）已知点P 的极坐标为(2，π2)，转换为直角坐标为（0，2）． 曲线C 的极坐标方程为ρ=√5cos θ−1．转换为直角坐标方程为x 2−y 24=1，（2）过点P 作斜率为√3的直线l ，则直线的参数方程为{x =12ty =2+√32t （t 为参数）．把直线的参数方程代入x 2−y 24=1，得到4×(12t)2−(2+√32t)2=4， 即14t 2−2√3t −8=0，所以t 1t 2＝﹣32， 则：|P A |•|PB |＝|t 1t 2|＝32． [选修4-5：不等式选讲] 23．已知函数f （x ）＝|x |﹣2．（1）求不等式f （x ﹣1）+f （x +2）≤1的解集； （2）若|a |＜2，|b |＜2，证明：f （ab ）+2＞2f （a +b ）．【解答】解：（1）由f （x ﹣1）+f （x +2）≤1，得|x ﹣1|+|x +2|≤5．又|x ﹣1|+|x +2|={2x +1，x ≥13，−2≤x ＜1−2x −1，x ＜−2，∴{2x +1≤5x ≥1或﹣2≤x ＜1或{−2x −1≤5x ＜−2，∴﹣3≤x ≤2，∴不等式的解集为[﹣3，2]．（2）要证f （ab ）+2＞2f （a +b ），只需证|ab |＞2（|a +b |﹣2），即证|ab |+4＞2|a +b |． ∵|a |＜2，|b |＜2，∴（|a |﹣2）（|b |﹣2）＞0， ∴|ab |﹣2（|a |+|b |）+4＞0，即|ab |+4＞2（|a |+|b |）． ∵|a |+|b |⩾|a +b |，∴|ab |+4＞2|a +b |， ∴f （ab ）+2＞2f （a +b ）成立．。
2020年河南省六市高考数学一模试卷(文科)(有答案解析)
2020年河南省六市（南阳市、驻马店市、信阳市、漯河市、周口市、三门峡市）高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若复数z满足，则A. B. C. D.2.集合的真子集的个数为A. 7B. 8C. 31D. 323.五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明重要组成部分．古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系．若从5类元素中任选2类元素，则2类元素相生的概率为A. B. C. D.4.已知，设，，，则a，b，c的大小关系是A. B. C. D.5.已知，且，则A. B. C. D.6.设函数，则函数的图象可能为A. B.C. D.7.已知某超市2019年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示，根据该折线图可知，下列说法错误的是A. 该超市2019年的12个月中的7月份的收益最高B. 该超市2019年的12个月中的4月份的收益最低C. 该超市2019年7至12月份的总收益比2019年1至6月份的总收益增长了90万元D. 该超市2019年1至6月份的总收益低于2019年7至12月份的总收益8.已知向量，满足，且，，则向量与的夹角为A. B. C. D.9.程大位是明代著名数学家，他的新编直指算法统宗是中国历史上一部影响巨大的著作．它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展起了重要的作用．卷八中第33问是：“今有三角果一垛，底阔每面七个．问该若干？”如图是解决该问题的程序框图．执行该程序框图，求得该垛果子的总数S为A. 28B. 56C. 84D. 12010.已知点M是抛物线上的一动点，F为抛物线的焦点，A是圆C：上一动点，则的最小值为A. 3B. 4C. 5D. 611.设锐角的三内角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，且，，则a的取值范围为A. B. C. D.12.设，分别为双曲线的左、右焦点，过点作圆的切线与双曲线的左支交于点P，若，则双曲线的离心率为A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.曲线在点处的切线方程是______．14.已知等比数列的前n项和为，若，，则______．15.已知函数，当时，的最小值为，若将函数的图象向右平移个单位后所得函数图象关于y轴对称，则的最小值为______．16.在直三棱柱中，，底面三边长分别为3、5、7，P是上底面所在平面内的动点，若三被锥的外接球表面积为，则满足题意的动点P的轨迹对应图形的面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.党的十九大明确把精准脱贫作为决胜全面建成小康社会必须打好的三大攻战之一，为坚决打赢脱贫攻坚战，某帮扶单位为带助定点扶贫村贫，竖持长贫同扶智相结合，此帮扶单位考察了甲、乙两种不同的农产品加工生产方式，现对两种生产方式的产品质量进行对比，其质量按测试指标可划分为：在区间的为优等品；指标在区间的为合格品，现分别从甲、乙两种不同加工方式产的农产品中，各自随机抽取100件作为样本进行检测，测试指标结果的频数分布表如下：甲种生产方式指标区间频数51520301515乙种生产方式指标区间频数51520302010在用甲种方式生产的产品中，按合格品与优等品用分层物样方式，随机抽出5件产品，求这5件产品中，优等品和合格品各多少件：再从这5件产品中，随机抽出2件，求这2件中恰有1件是优等品的概率．所加工生产的农产品，若是优等品每件可售55元，若是合格品每件可售25元，甲种生产方式每生产一件产品的成本为15元，乙种生产方式每生产一件产出的成本为20元，用样本估计总体比较在甲、乙两种不同生产方式下，该单位要选那种生产方式来帮助该扶贫村来脱贫？18.已知等差数列的公差，其前n项和为，且，，，成等比数列．求数列的通项公式；令，求数列的前n项和．19.如图，在四棱锥中，底面为正方形，为等边三角形，平面平面．证明：平面平面；若，Q为线段的中点，求三棱锥的体积．20.设椭圆C：的左右焦点分别为，，离心率是e，动点在椭圆C上运动．当轴时，，．求椭圆C的方程；延长，分别交椭圆C于点A，B不重合设，，求的最小值．21.已知函数．Ⅰ讨论函数的单调性；Ⅱ令，若对任意的，，恒有成立，求实数k的最大整数．22.心形线是由一个圆上的一个定点，当该圆在绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上滚动时，这个定点的轨迹，因其形状像心形而得名．在极坐标系Ox中，方程表示的曲线就是一条心形线，如图，以极轴Ox所在的直线为x轴，极点O为坐标原点的直角坐标系xOy中，已知曲线的参数方程为为参数．求曲线的极坐标方程；若曲线与相交于A、O、B三点，求线段AB的长23.已知函数．当时，求不等式的解集；若的解集包含，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：，．故选：C．直接利用商的模等于模的商求解．本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是基础题．2.答案：A解析：解：令，则；令，则；令，则；则M中有三个元素，则有7个真子集．故选：A．根据题意，设x取一些值，代入求y值，再求真子集个数．本题考查真子集，集合元素，属于基础题．3.答案：A解析：解：金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系．从5类元素中任选2类元素，基本事件总数，2类元素相生包含的基本事件有5个，则2类元素相生的概率为．故选：A．从5类元素中任选2类元素，基本事件总数，2类元素相生包含的基本事件有5个，由此能求出2类元素相生的概率．本题考查概率的求法及应用，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.答案：B解析：解：，，在R上是减函数，又，且，，．故选：B．根据题意即可得出在R上是减函数，并且可得出，并且，从而可得出a，b，c的大小关系．本题考查了余弦函数的图象，指数函数的单调性，对数的换底公式，对数的运算性质，对数函数的单调性，减函数的定义，考查了计算能力，属于基础题．5.答案：B解析：解：；；又故选：B．通过诱导公式求出的值，进而求出的值，最后求．本题主要考查三角函数中的诱导公式的应用．属基础题．6.答案：B解析：解：函数的定义域为，由，得为偶函数，排除A，C；又，排除D．故选：B．由函数奇偶性的定义判断函数为偶函数，再求出，则答案可求．本题考查函数的图象与图象变换，考查函数奇偶性的应用，是中档题．7.答案：C解析：解：由折线图可知，该超市2019年的12个月中的7月份的收入支出的值最大，所以收益最高，故选项A正确；由折线图可知，该超市2019年的12个月中的4月份的收入支出的值最小，所以收益最低，故选项B正确；由折线图可知，该超市2019年7至12月份的总收益为，2019年1至6月份的总收益为，所以该超市2019年7至12月份的总收益比2019年1至6月份的总收益增长了100万元，故选项C错误，选项D正确；故选：C．根据折线图，即可判定选项A，B正确，计算出2019年7至12月份的总收益和2019年1至6月份的总收益，比较，即可得到选项C错误，选项D正确．本题主要考查了简单的合情推理，是基础题．8.答案：B解析：解：，，，且，，，，且，与的夹角为．故选：B．根据条件即可得出，进而得出，然后即可求出的值，进而可得出与的夹角．本题考查了向量数量积的运算，向量长度的求法，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．9.答案：C解析：解：模拟程序的运行，可得，，执行循环体，，，不满足条件，执行循环体，，，不满足条件，执行循环体，，，不满足条件，执行循环体，，，不满足条件，执行循环体，，，不满足条件，执行循环体，，，不满足条件，执行循环体，，，满足条件，退出循环，输出S的值为84．故选：C．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．10.答案：B解析：【分析】本题考查的知识点：圆外一点到圆的最小距离，抛物线的准线方程，三点共线及相关的运算问题，属于基础题．根据抛物线定义和三角形三边关系可知当三点共线时，的值最小，根据圆的性质可知最小值为；根据抛物线方程和圆的方程可求得，从而得到所求的最值．【解答】解：如图所示，利用抛物线的定义知：，当M、A、P三点共线时，的值最小，即轴，抛物线的准线方程：，此时，又，，所以，即，故选B．11.答案：B解析：解：锐角中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，，，且，．，，，，由正弦定理可得：，可得：，则a的取值范围为故选：B．由题意可得，且，解得B的范围，可得cos B的范围，由正弦定理求得，根据cos B的范围确定出a范围即可．此题考查了正弦定理，二倍角的正弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，解题的关键是确定出B的范围，属于基础题．12.答案：C解析：解：P为双曲线左支上的一点，则由双曲线的定义可得，，由，则，，设切点为M，则，，，为的中位线，则即有即有．故选：C．由双曲线的定义可得，，则，，设切点为M，则，，又，，即有，即可．本题考查双曲线的定义和性质，考查离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．13.答案：解析：解：的导数为，可得在点处的切线斜率为，则在点处的切线方程为，即为．故答案为：．求得函数的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程可得所求切线的方程．本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，正确求导和运用直线方程是解题的关键，属于基础题．14.答案：1解析：解：根据题意，等比数列满足，，则其公比，若，则；，则；变形可得：，解可得；又由，解可得；故答案为：1根据题意，由等比数列前n项和公式可得，；变形可得，解可得q的值，将q的值代入，计算可得答案．本题考查等比数列的前n项和公式以及应用，注意分析q是否为1．15.答案：解析：解：已知函数，当时，的最小值为，，故若将函数的图象向右平移个单位后，得到的图象．根据所得函数图象关于y轴对称，则，，即，令，可得的最小值为，故答案为：．由题意利用函数的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，求得的最小值．本题主要考查函数的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于基础题．16.答案：解析：解：设三被锥的外接球的球心为O，底面ABC的外接圆的圆心为，上底面的外接圆的圆心为，若三被锥的外接球表面积为，则外接球的半径R满足，即，由底面ABC的三边长分别为3、5、7，可设AC的长为7，可得，则，则底面ABC的外接圆的半径，可得球心O到底面ABC的距离，则球心O到底面的距离，在直角三角形中，，由题意可得P在以为圆心，半径为的圆上运动，可得满足题意的动点P的轨迹对应图形的面积为．故答案为：．设三被锥的外接球的球心为O，底面ABC的外接圆的圆心为，球的半径为R，由表面积公式球的R，再由三角形的余弦定理和正弦定理可得底面ABC所在圆的半径r，可得的长，的长，再由勾股定理可得，判断P所在的轨迹为圆，可得其面积．本题考查直三棱柱的定义和性质，以及三棱锥的外接球的定义和面积，考查球的截面的性质，以及解三角形的知识，考查空间想象能力和运算能力、推理能力，属于中档题．17.答案：解：由频数分布表得：甲的优等品率为，合格品率为，抽出的5件产品中优等品有3件，合格品有2件．记3件优等品分别为A，B，C，2件合格品分别为a，b，从中任取2件，抽取方式有AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共10种，设“这2件中恰有1件是优等品的事件”为M，则事件M发生的情况有6种，这2件中恰有1件是优等品的概率．根据样本知甲种生产方式生产100件农产品有80件优等品，20件合格品，设甲种生产方式每生产100件，所获得的利润为元，乙种生产方式每生产100件，所获得的利润为元，元，元，，用样本估计总体知乙种生产方式生产的农产品所获得的较高，该扶贫单位要选择乙生产方式来帮助该扶贫单位来脱贫较好．解析：由频数分布表得甲的优等品率为，合格品率为，由此能过求出这5件产品中，优等品和合格品各多少件．记3件优等品分别为A，B，C，2件合格品分别为a，b，从中任取2件，利用列举法能求出这2件中恰有1件是优等品的概率．根据样本知甲种生产方式生产100件农产品有80件优等品，20件合格品，设甲种生产方式每生产100件，求出所获得的利润为元，乙种生产方式每生产100件，求出所获得的利润为元，由，得到该扶贫单位要选择乙生产方式来帮助该扶贫单位来脱贫较好．本题考查概率的求法，考查最佳生产方式的判断，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18.答案：解：，，化为：．，，成等比数列，，可得，，化为：．联立解得：，．．，数列的前n项和．解析：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式及其性质、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．由，可得，化为：由，，成等比数列，可得，，，化为：联立解得：，即可得出．，利用裂项求和方法、等差数列的求和公式即可得出．19.答案：Ⅰ证明：取PD的中点O，连接AO，为等边三角形，，平面PAD，平面平面，平面平面PCD，平面PCD，平面PCD，，底面ABCD为正方形，，，平面PAD，又平面ABCD，平面平面ABCD；Ⅱ解：由Ⅰ知，平面PCD，到平面PCD的距离．底面ABCD为正方形，，又平面PCD，平面PCD，平面PCD，，B两点到平面PCD的距离相等，均为d，又Q为线段PB的中点，到平面PCD的距离．由Ⅰ知，平面PAD，平面PAD，，．解析：Ⅰ取PD的中点O，连接AO，由已知可得，再由面面垂直的判定可得平面PCD，得到，由底面ABCD为正方形，得，由线面垂直的判定可得平面PAD，则平面平面ABCD；Ⅱ由Ⅰ知，平面PCD，求出A到平面PCD的距离，进一步求得Q到平面PCD的距离，再由Ⅰ知，平面PAD，得，然后利用棱锥体积公式求解．本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．20.答案：解：由题意知当轴时，，知，，，又，所以椭圆的方程为：；由知，设，由得，即，代入椭圆方程得：，又，得，两式相减得：，因为，所以，故；同理可得：，故，当且仅当时取等号，故的最小值为．解析：由轴时，，得c，b的值，再由a，b，c之间的关系求出椭圆的方程；由得：焦点，的坐标，再由，，求出，的值，进而求出之和的值，再由的范围，求出的最小值．考查直线与椭圆的综合应用，属于中难题．21.答案：解：Ⅰ此函数的定义域为，．当时，，在上单调递增，当时，当时，，单调递减，当时，，单调递增．综上所述：当时，在上单调递增；当时，若，单调递减，若，单调递增；Ⅱ由Ⅰ知，恒成立，则只需恒成立，则，即，令，则只需，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，即，则，的最大整数为7．解析：Ⅰ求出函数的定义域为，再求出原函数的导函数，分和两类求解函数的单调区间；Ⅱ由Ⅰ知，把恒成立，转化为恒成立，进一步得到，令，则只需，利用导数求最值，则答案可求．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求最值，考查数学转化思想方法，是中档题．22.答案：解：已知曲线的参数方程为为参数转换为直角坐标方程为，转换为极坐标方程为．由，解得．所以由，解得，解得所以．解析：直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．利用极径的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．23.答案：解：当时，，当时，由得，解得；当时，无解；当时，由得，解得，的解集为：，或；的解集包含等价于在上恒成立，当时，等价于恒成立，而，，，故满足条件的a的取值范围为：．解析：当时，，然后由分别解不等式即可；由条件可得在上恒成立，然后求出和最大值即可．本题考查了绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，考查了转化思想，属中档题．。
2020年3月河南省名校四校联盟(南阳、信阳、漯河、平顶山一中)2020届高三线上联考数学(理)试题及答案解析
绝密★启用前河南省名校四校联盟(南阳、信阳、漯河、平顶山一中)2020届高三年级下学期3月线上联考质量检测数学(理)试题2020年3月注意事项：1.本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答第I 卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3.回答第II 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合A ＝{a －1，a ＋1}，B ＝{1，2}，C ＝{2，3}，若A ∩B ＝∅，且A ∩C ≠∅，则a ＝A.1或3B.2或4C.0D.42.设复数z ＝(a ＋i)(1－i)(a ∈R)，则复数z 在复平面内对应的点不可能在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知(2x 2－1x )(n ∈N *)的展开式中各项的二项式系数之和为128,则其展开式中x 2的系数为 A.280 B.－280 C.35 D.－354.记[x]表示不超过x 的最大整数,已知2a ＝3b ＝6c ,则[a b c +]＝ A.2 B.3 C.4 D.5.5.函数f(x)＝2x ＋1x x +的图象大致为6.元代数学家朱世杰的数学名著《算术启蒙》是中国古代代数学的通论,其中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺,竹长两尺,松日自半,竹日自倍,松竹何日而长等。
下图是源于“松竹并生”问题的一个程序框图,则计算机输出的结果是A.6B.5C.4D.37.在△ABC 中,D,E 分别为BC,AC 边上的点,且2BD DC =u u u r u u u r ,若34BE AB AD λ=+u u u r u u u r u u u r ,则λ＝ A.54- B.43- C.45- D.34- 8.设点A 、B 分别在双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线l 1、l 2上,且点A 在第一象限,点B 在第四象限,AB ⊥l 1,P 为坐标原点,若|OA|、|AB|、|OB|成等差数列,则双曲线C 的离心率为A.2B.52C.3D.629.已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,其中图象最高点和最低点的横坐标分别为12π和712π,图象在y 轴上的截距为3。
2020年河南省漯河市、南阳市、信阳市、周口市、驻马店市、三门峡市高考(理科)数学一模试卷 含解析
2020年高考（理科）数学一模试卷一、选择题（共12小题）1．若复数z满足，则|z|＝（）A．B．C．D．2．集合的真子集的个数为（）A．7B．8C．31D．323．五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明重要组成部分．古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系．若从5类元素中任选2类元素，则2类元素相生的概率为（）A．B．C．D．4．著名的斐波那契数列{a n}：1，1，2，3，5，8，…，满足a1＝a2＝1，a n+2＝a n+1+a n，n∈N*，若，则k＝（）A．2020B．4038C．4039D．40405．已知某超市2019年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示，根据该折线图可知，下列说法错误的是（）A．该超市2019年的12个月中的7月份的收益最高B．该超市2019年的12个月中的4月份的收益最低C．该超市2019年7至12月份的总收益比2019年1至6月份的总收益增长了90万元D．该超市2019年1至6月份的总收益低于2019年7至12月份的总收益6．设函数f（x）＝xln，则函数f（x）的图象可能为（）A．B．C．D．7．设x，y满足约束条件，若z＝﹣3x+2y的最大值为n，则的展开式中x2项的系数为（）A．60B．80C．90D．1208．已知圆锥的高为3，底面半径为，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积与圆锥的体积的比值为（）A．B．C．D．9．已知抛物线的焦点为F，准线为l，P是l上一点，直线PF与抛物线交于A，B两点，若，则|AB|为（）A．B．40C．16D．10．已知P为圆C：（x﹣5）2+y2＝36上任意一点，A（﹣5，0），若线段PA的垂直平分线交直线PC于点Q，则Q点的轨迹方程为（）A．B．C．D．11．已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若S2018＜S2020＜S2019，设b n＝a n a n+1a n+2，则数列的前n项和T n取最大值时n的值为（）A．2020B．2019C．2018D．201712．方程2（x﹣1）sinπx+1＝0在区间[﹣2，4]内的所有解之和等于（）A．4B．6C．8D．10二、填空题13．已知向量，若，则＝．14．设函数，则满足f（x2﹣4）＞f（﹣3x）的x的取值范围为．15．六位同学坐在一排，现让六位同学重新坐，恰有两位同学坐自己原来的位置，则不同的坐法有种（用数字回答）．16．若方程a x＝x（a＞0且a≠1）有两个不等实根，则实数a的取值范围为三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答第2223题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：60分17．如图△ABC中，D为BC的中点，AB＝，AC＝4，AD＝3．（1）求边BC的长；（2）点E在边AB上，若CE是∠BCA的角平分线，求△BCE的面积．18．在四棱椎P﹣ABCD中，四边形ABCD为菱形，PA＝5，，AB＝6，PO⊥AD，O，E分别为AD，AB中点，∠BAD＝60°（1）求证：AC⊥PE；（2）求平面POE与平面PBD所成锐二面角的余弦值．19．设椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，离心率是e，动点P（x0，y0）在椭圆C上运动．当PF2⊥x轴时，x0＝1，y0＝e．（1）求椭圆C的方程；（2）延长PF1，PF2分别交椭圆C于点A，B（A，B不重合）．设＝λ，＝μ，求λ+μ的最小值．20．已知函数f（x）＝xe x﹣ae2x（a∈R）在定义域内有两个不同的极值点．（1）求实数a的取值范围；（2）若f（x）有两个不同的极值点x1，x2，且x1＜x2，若不等式x1+λx2＞0恒成立，求正实数λ的取值范围．21．某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全公司范围内举行一次NCP普查，为此需要抽验1000人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案．方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验1000次．方案②：按k个人一组进行随机分组，把从每组k个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这k个人的血只需检验一次（这时认为每个人的血化验次）；否则，若呈阳性，则需对这k个人的血样再分别进行一次化验，这样，该组k个人的血总共需要化验k+1次．假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为p，且这些人之间的试验反应相互独立．（1）设方案②中，某组k个人的每个人的血化验次数为X，求X的分布列；（2）设p＝0.1，试比较方案②中，k分别取2，3，4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案①，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后结果四舍五入保留整数）（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．心形线是由一个圆上的一个定点，当该圆在绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上滚动时，这个定点的轨迹，因其形状像心形而得名．在极坐标系Ox中，方程ρ＝a（1﹣sinθ（a＞0）表示的曲线C1就是一条心形线，如图，以极轴Ox所在的直线为x轴，极点O为坐标原点的直角坐标系xOy中，已知曲线C2的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C2的极坐标方程；（2）若曲线C1与C2相交于A、O、B三点，求线段AB的长[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+a|+|x﹣2|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥7的解集；（2）若f（x）≤|x﹣4|+|x+2a|的解集包含[0，2]，求a的取值范围．参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z满足，则|z|＝（）A．B．C．D．【分析】直接利用商的模等于模的商求解．解：∵，∴|z|＝||＝．故选：C．2．集合的真子集的个数为（）A．7B．8C．31D．32【分析】根据题意，设x取一些值，代入求y值，再求真子集个数．解：令x＝0，则y＝2；令x＝±1，则y＝；令x＝±2，则y＝0；则M中有三个元素，则有7个真子集．故选：A．3．五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明重要组成部分．古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系．若从5类元素中任选2类元素，则2类元素相生的概率为（）A．B．C．D．【分析】从5类元素中任选2类元素，基本事件总数n＝＝10，2类元素相生包含的基本事件有5个，由此能求出2类元素相生的概率．解：金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系．从5类元素中任选2类元素，基本事件总数n＝＝10，2类元素相生包含的基本事件有5个，则2类元素相生的概率为P＝＝．故选：A．4．著名的斐波那契数列{a n}：1，1，2，3，5，8，…，满足a1＝a2＝1，a n+2＝a n+1+a n，n∈N*，若，则k＝（）A．2020B．4038C．4039D．4040【分析】利用特征根法可求出“斐波那契数列”的通项，利用数列的规律可推导出其前n项和与第k项的关系，进而可得结论．解：根据题意斐波那契数列{a n}中：满足a1＝a2＝1，a n+2＝a n+1+a n，n∈N*，当n为奇数时，a n+1＝a n+a n﹣1＝a n+a n﹣2+a n﹣3＝a n+a n﹣2+a n﹣4+a n﹣6＝…＝a n+a n﹣2+a n﹣4+…+a1+1．则＝1+a3+a5+…+a4039＝a4040．所以k＝4040．故选：D．5．已知某超市2019年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示，根据该折线图可知，下列说法错误的是（）A．该超市2019年的12个月中的7月份的收益最高B．该超市2019年的12个月中的4月份的收益最低C．该超市2019年7至12月份的总收益比2019年1至6月份的总收益增长了90万元D．该超市2019年1至6月份的总收益低于2019年7至12月份的总收益【分析】根据折线图，即可判定选项A，B正确，计算出2019年7至12月份的总收益和2019年1至6月份的总收益，比较，即可得到选项C错误，选项D正确．解：由折线图可知，该超市2019年的12个月中的7月份的收入﹣支出的值最大，所以收益最高，故选项A正确；由折线图可知，该超市2019年的12个月中的4月份的收入﹣支出的值最小，所以收益最低，故选项B正确；由折线图可知，该超市2019年7至12月份的总收益为60+40+30+30+50+30＝240，2019年1至6月份的总收益为20+30+20+10+30+30＝140，所以该超市2019年7至12月份的总收益比2019年1至6月份的总收益增长了100万元，故选项C错误，选项D正确；故选：C．6．设函数f（x）＝xln，则函数f（x）的图象可能为（）A．B．C．D．【分析】由函数奇偶性的定义判断函数为偶函数，再求出f（），则答案可求．解：函数f（x）＝xln的定义域为（﹣1，1），由f（﹣x）＝﹣xln＝xln＝f（x），得f（x）为偶函数，排除A，C；又f（）＝＞0，排除D．故选：B．7．设x，y满足约束条件，若z＝﹣3x+2y的最大值为n，则的展开式中x2项的系数为（）A．60B．80C．90D．120【分析】利用线性规划求解目标函数的最大值n，然后利用二项式定理的通项公式求解即可．解：x，y满足约束条件，表示的可行域如图：z＝﹣3x+2y化为：y＝﹣x+，当直线y＝﹣x+经过可行域的A时，目标函数取得最大值为a，由解得A（﹣1，1），n＝15，则的展开式的通项公式为：＝，展开式中x2项，可得r＝2．系数为：＝80．故选：B．8．已知圆锥的高为3，底面半径为，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积与圆锥的体积的比值为（）A．B．C．D．【分析】设球的半径为R，根据圆锥的几何特征，可得R2＝（R﹣h）2+r2，解出半径，则球的体积可求．由此能求出这个球的体积与圆锥的体积的比值．解：设球的半径为R，∵圆锥的高h＝3，底面圆的半径r＝，∴R2＝（R﹣h）2+r2，即R2＝（R﹣3）2+3，解得：R＝2，故该球的体积V＝＝．圆锥体积为：V′＝＝3π，∴这个球的体积与圆锥的体积的比值为：＝＝．故选：B．9．已知抛物线的焦点为F，准线为l，P是l上一点，直线PF与抛物线交于A，B两点，若，则|AB|为（）A．B．40C．16D．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），由抛物线的定义可知：|AB|＝|AF|+|BF|＝y1+y2+2，由，可得直线AB的斜率为，所以直线AB的方程为：y＝x+1，与椭圆方程联立，利用韦达定理可求出，从而|AB|＝．解：抛物线C的方程为：x2＝4y，焦点F（0，1），准线方程为：y＝﹣1，设A（x1，y1），B（x2，y2），则由抛物线的定义可知：|AB|＝|AF|+|BF|＝y1+y2+2，∵，∴直线AB的斜率为，∴直线AB的方程为：y＝x+1，联立方程，消去x得：3y2﹣10y+3＝0，∴，∴|AB|＝|AF|+|BF|＝y1+y2+2＝，故选：D．10．已知P为圆C：（x﹣5）2+y2＝36上任意一点，A（﹣5，0），若线段PA的垂直平分线交直线PC于点Q，则Q点的轨迹方程为（）A．B．C．D．【分析】由题意可得点Q满足双曲线的定义，且求得a，c的值，再由b2＝c2﹣a2求得b，则点Q的轨迹的方程可求．解：由点Q是线段AP垂直平分线上的点，∴|AQ|＝|PQ|，又∵||QA|﹣|QC||＝|PC|＝6＜|AC|＝10，满足双曲线定义且a＝3，c＝5，∴b＝4，∴轨迹方程：．故选：B．11．已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若S2018＜S2020＜S2019，设b n＝a n a n+1a n+2，则数列的前n项和T n取最大值时n的值为（）A．2020B．2019C．2018D．2017【分析】设等差数列{a n}的公差为d，运用等差数列的性质，可得数列{a n}的公差d＜0，且a1＞0，a2＞0，…，a2019＞0，a2020＜0，…，求得＝＝（﹣），计算可得T n，分析比较，即可得到所求最大值时n的值．解：等差数列{a n}的公差设为d，若S2018＜S2020＜S2019，则S2020﹣S2019＝a2020＜0，S2019﹣S2018＝a2019＞0，S2020﹣S2018＝a2020+a2019＞0，即a2019＞﹣a2020＞0，a2019﹣d＞﹣a2020+d＞0，即a2018＞﹣a2019＞0，可得a2018a2019＞a2020a2021，可得公差d＜0，即数列{a n}递减，且a1＞0，a2＞0，…，a2019＞0，a2020＜0，…，＝＝（﹣），则T n＝（﹣+﹣+…+﹣）＝（﹣），由d＜0，要使T n取最大值，可得（﹣）取得最小值，显然＞0，而a2a3＞a3a4＞…＞a2018a2019＞a2020a2021＜a2021a2022＜…，可得n＝2019时，（﹣）取得最小值，故选：B．12．方程2（x﹣1）sinπx+1＝0在区间[﹣2，4]内的所有解之和等于（）A．4B．6C．8D．10【分析】由方程可得sinπx＝，作出函数图象可得解的个数，根据图象的对称关系即可得出答案．解：由2（x﹣1）sinπx+1＝0，得sinπx＝，作出y＝sinπx与y＝的函数图象如图，由图象可知两函数图象在[﹣2，4]上有8个交点，∵y＝sinπx与y＝的函数图象均关于点（1，0）对称，∴方程2（x﹣1）sinπx+1＝0的解的和为4×2＝8．故选：C．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分13．已知向量，若，则＝10．【分析】根据题意，由向量的数量积与向量垂直的关系可得则•＝﹣8+y＝0，解可得y的值，即可得2+的坐标，进而计算可得答案．解：根据题意，向量，若，则•＝﹣8+y＝0，解可得y＝8；则2+＝（0，10），故|2+|＝10；故答案为：10．14．设函数，则满足f（x2﹣4）＞f（﹣3x）的x的取值范围为（1，+∞）．【分析】由分段函数可得f（x）在R上单调递增，讨论x﹣1＜0，或x﹣1≥0，解不等式即可得到所求解集．解：函数，当x≤0时，f（x）≥2020，可得f（x）在x≤0上单调递增，f（x2﹣4）＞f（﹣3x），可得，即为1＜x，则f（x2﹣4）＞f（﹣3x）的解集为（1，+∞），故答案为：（1，+∞）．15．六位同学坐在一排，现让六位同学重新坐，恰有两位同学坐自己原来的位置，则不同的坐法有135种（用数字回答）．【分析】根据题意，分2步进行分析：①、在六位同学中任选2人，坐自己原来的位置，②、分析剩下4人不坐自己位置的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．解：根据题意，分2步进行分析：①、在六位同学中任选2人，坐自己原来的位置，有C62＝15种情况，②、假设不坐自己位置的4人为A、B、C、D，A不坐自己的位置，有3种坐法，假设A坐在了B的位置，B有3种坐法，剩下C、D，只有一种坐法，则剩下4人不坐自己的位置，有3×3＝9种情况，故恰有两位同学坐自己原来的位置的坐法有15×9＝135种；故答案为：135．16．若方程a x＝x（a＞0且a≠1）有两个不等实根，则实数a的取值范围为（1，e）【分析】由指数函数的值域可得x＞0，对原方程两边取自然对数，分离参数可得lna＝，设f（x）＝，求得导数和单调性、极值和最值，作出y＝f（x）的图象，通过图象可得所求范围．解：由a＞0且a≠1，可得a x＝x＞0，两边取自然对数，可得xlna＝lnx，即lna＝，设f（x）＝，可得f′（x）＝，当x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）递减；当x∈（0，e）时，f′（x）＞0，f（x）递增．可得f（x）在x＝e处取得极大值，且为最大值，当x→+∞，f（x）→0，作出函数f（x）的图象，当0＜lna＜，即1＜a＜e时，y＝lna与y＝f（x）的图象有两个交点，即方程lna＝有两个不等的实根，故答案为：（1，e）．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答第2223题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：60分17．如图△ABC中，D为BC的中点，AB＝，AC＝4，AD＝3．（1）求边BC的长；（2）点E在边AB上，若CE是∠BCA的角平分线，求△BCE的面积．【分析】（1）由题意可得cos∠ADB＝﹣cos∠ADC，由已知利用余弦定理可得：9+BD2﹣52+9+BD2﹣16＝0，进而解得BC的值．（2）由（1）可知△ADC为直角三角形，可求S△ADC＝＝6，S△ABC＝2S△ADC＝12，利用角平分线的性质可得＝，根据S△ABC＝S△BCE+S△ACE可求S△BCE的值．解：（1）因为D在边BC上，所以cos∠ADB＝﹣cos∠ADC，在△ADB和△ACD中，由余弦定理可得：+＝0，因为AB＝2，AC＝4，AD＝3，BD＝DC，所以9+BD2﹣52+9+BD2﹣16＝0，所以BD2＝25，解得BD＝5，所以BC的长为10．（2）由（1）可知△ADC为直角三角形，所以S△ADC＝＝6，S△ABC＝2S△ADC＝12，因为CE是∠BCA的角平分线，所以＝＝＝＝，所以S△ABC＝S△BCE+S△ACE＝S△BCE+S△BCE＝S△BCE＝12，所以S△BCE＝．18．在四棱椎P﹣ABCD中，四边形ABCD为菱形，PA＝5，，AB＝6，PO⊥AD，O，E分别为AD，AB中点，∠BAD＝60°（1）求证：AC⊥PE；（2）求平面POE与平面PBD所成锐二面角的余弦值．【分析】（1）由已知得△ABD为等边三角形，又O是AD的中点，得BO⊥AD，求解三角形证明PO⊥OB，可得PO⊥平面ABCD，得PO⊥AC，结合ABCD是菱形，得OE ∥BD，则AC⊥OE，由线面垂直的判定可得AC⊥平面POE，得AC⊥PE；（2）由题意结合菱形的性质可得OP⊥OA，OP⊥OB，OA⊥OB，以O为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系O﹣xyz，分别求出平面POE的一个法向量与平面PBD的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面POE与平面PBD所成锐二面角的余弦值．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，且∠BAD＝60°，∴△ABD为等边三角形，又∵O是AD的中点，∴BO⊥AD，又∵AB＝6，AO＝3，∴BO＝3．又PO＝4，PB＝，则BO2+PO2＝PB2，∴PO⊥OB，又PO⊥AD，AD∩OB＝O，∴PO⊥平面ABCD，得PO⊥AC．又∵ABCD是菱形，OE∥BD，∴AC⊥OE，又PO∩OE＝O，∴AC⊥平面POE，得AC⊥PE；（2）解：由题意结合菱形的性质可得OP⊥OA，OP⊥OB，OA⊥OB．以O为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系O﹣xyz．则：P（0，0，4），B（0，，0），O（0，0，0），E（，，0），D（﹣3，0，0）．设平面POE的一个法向量为，由，取y＝﹣1，得；设平面PBD的一个法向量为．由，取y1＝4，得．cos＜＞＝．∴平面POE与平面PBD所成锐二面角的余弦值为．19．设椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，离心率是e，动点P（x0，y0）在椭圆C上运动．当PF2⊥x轴时，x0＝1，y0＝e．（1）求椭圆C的方程；（2）延长PF1，PF2分别交椭圆C于点A，B（A，B不重合）．设＝λ，＝μ，求λ+μ的最小值．【分析】（1）由PF2⊥x轴时，x0＝1，y0＝e得c，b的值，再由a，b，c之间的关系求出椭圆的方程；（2）由（1）得：焦点F1，F2的坐标，再由＝λ，＝μ，求出λ，μ的值，进而求出之和的值，再由x02d的范围，求出λ+μ的最小值．解：（1）由题意知当PF2⊥x轴时，x0＝1，y0＝e．知c＝1，＝e＝，∴b＝c＝1，又a2＝b2+c2＝2，所以椭圆的方程为：＝1；（2）由（1）知F1（﹣1，0），F2（1，0）设A（x0，y0），由＝λ得，即，代入椭圆方程得：+（﹣λy0）2＝1，又＝1，得，两式相减得：＝1﹣λ2，因为λ+1≠0，所以2λx0+λ+1＝2（1﹣λ），故；同理可得：，故λ+μ＝+＝，当且仅当x0＝0时取等号，故λ+μ的最小值为．20．已知函数f（x）＝xe x﹣ae2x（a∈R）在定义域内有两个不同的极值点．（1）求实数a的取值范围；（2）若f（x）有两个不同的极值点x1，x2，且x1＜x2，若不等式x1+λx2＞0恒成立，求正实数λ的取值范围．【分析】（1）问题可等价于x+1﹣2ae x＝0有两个不等的实根，令，利用导数研究函数h（x）的性质，可得2a∈（0，1），由此求得实数a的取值范围；（2）显然，x1，x2是方程的两根，依题意，，则，两边取对数得到对一切x1∈（﹣1，0）恒成立，再构造函数，分λ≥1及0＜λ＜1讨论得解．解：（1）由题可知f′（x）＝（x+1）e x﹣2ae2x＝0有两个不等的实根，即x+1﹣2ae x ＝0有两个不等的实根，令，则，∴当x∈（﹣∞，0）时，h′（x）＞0，当x∈（0，+∞）时，h′（x）＜0，∴h（x）在（﹣∞，0）单调递增，在（0，+∞）单调递减，∴h（x）max＝h（0）＝1，又h（﹣1）＝0，x∈（﹣∞，﹣1）时，h（x）＜0，x∈（﹣1，+∞）时，h（x）＞0，∴2a∈（0，1），即；（2）由（1）知，x1，x2是方程的两根，∴﹣1＜x1＜0＜x2，则x1+λx2＞0即为，∵h（x）在（0，+∞）上单减，∴，又h（x2）＝h（x1），∴，即，两边取对数，并整理得，对一切x1∈（﹣1，0）恒成立，设，则当λ≥1时，F′（x）＞0对x∈（﹣1，0）恒成立，∴F（x）在（﹣1，0）上单增，故F（x）＜F（0）＝0恒成立，符合题意；当0＜λ＜1时，λ﹣1∈（﹣1，0），x∈（λ﹣1，0）时，F′（x）＜0，∴F（x）在（λ﹣1，0）上单减，F（x）＞F（0）＝0，不合题意．综上，λ≥1．21．某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全公司范围内举行一次NCP普查，为此需要抽验1000人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案．方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验1000次．方案②：按k个人一组进行随机分组，把从每组k个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这k个人的血只需检验一次（这时认为每个人的血化验次）；否则，若呈阳性，则需对这k个人的血样再分别进行一次化验，这样，该组k个人的血总共需要化验k+1次．假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为p，且这些人之间的试验反应相互独立．（1）设方案②中，某组k个人的每个人的血化验次数为X，求X的分布列；（2）设p＝0.1，试比较方案②中，k分别取2，3，4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案①，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后结果四舍五入保留整数）【分析】（1）设每个人的血呈阴性反应的概率为q，依题意知X的可能取值，计算分布列即可；（2）方案②中计算每个人的平均化验次数E（X），分别求出k＝2、3、4时E（X）的值，比较即可．解：（1）设每个人的血呈阴性反应的概率为q，则q＝1﹣p；所以k个人的混合后呈阴性的概率为q k，呈阳性反应的概率为1﹣q k；依题意知X的可能取值为，1+；所以X的分布列为；X1+P qk1﹣qk（2）方案②中，结合（1）知每个人的平均化验次数为：E（X）＝•q k+（1+）•（1﹣q k）＝﹣q k+1；所以当k＝2时，E（X）＝﹣0.92+1＝0.69，此时1000人需要化验的总次数为690次；当k＝3时，E（X）＝﹣0.93+1≈0.6043，此时1000人需要化验的总次数为604次；当k＝4时，E（X）＝﹣0.94+1＝0.5939，此时1000人需要化验的总次数为594次；即k＝2时化验次数最多，k＝3时化验次数居中，k＝4时化验次数最少；而采用方案①需要化验1000次；所以在这三种分组情况下，相比方案①，k＝4时化验次数最多可以平均减少1000﹣594＝406（次）．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．心形线是由一个圆上的一个定点，当该圆在绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上滚动时，这个定点的轨迹，因其形状像心形而得名．在极坐标系Ox中，方程ρ＝a（1﹣sinθ（a＞0）表示的曲线C1就是一条心形线，如图，以极轴Ox所在的直线为x轴，极点O为坐标原点的直角坐标系xOy中，已知曲线C2的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C2的极坐标方程；（2）若曲线C1与C2相交于A、O、B三点，求线段AB的长【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用极径的应用求出结果．解：已知曲线C2的参数方程为（t为参数）．转换为直角坐标方程为，转换为极坐标方程为（ρ∈R）．（2）由，解得．所以A（）．由，解得，解得B（）．所以|AB|＝．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+a|+|x﹣2|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥7的解集；（2）若f（x）≤|x﹣4|+|x+2a|的解集包含[0，2]，求a的取值范围．【分析】（1）当a＝1时，f（x）＝，然后由f（x）≥7分别解不等式即可；（2）由条件可得|x+a|﹣|x+2a|≤|x﹣4|﹣|x﹣2|在[0，2]上恒成立，然后求出|x+a|﹣|x+2a|和|x﹣4|﹣|x﹣2|最大值即可．解：（1）当a＝1时，f（x）＝，当x≤﹣1时，由f（x）≥7得﹣2x+1≥7，解得x≤﹣3；当﹣1＜x＜2时，f（x）≥7无解；当x≥2时，由f（x）≥7得2x﹣1≥7，解得x≥4，∴f（x）≥7的解集为：{x|x≤﹣3，或x≥4}；（2）f（x）≤|x﹣4|+|x+2a|的解集包含[0，2]等价于|x+a|﹣|x+2a|≤|x﹣4|﹣|x﹣2|在[0，2]上恒成立，当x∈[0，2]时，|x+a|﹣|x+2a|≤|x﹣4|﹣|x﹣2|＝2等价于（|x+a|﹣|x+2a|）max≤2恒成立，而|x+a|﹣|x+2a|≤|（x+a）﹣（x+2a）|＝|a|，∴|a|≤2，∴﹣2≤a≤2，故满足条件的a的取值范围为：[﹣2，2]．。
2020届河南省名校高三3月线上联合考试数学(文)试题(含答案解析)
2020届河南省名校（南阳一中、信阳、漯河、平顶山一中四校）高三3月线上联合考试数学（文）试题一、单选题 1．设2iiz -=，则z 的共轭复数z 在复平面内的对应点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】利用复数的除法的运算法则和共轭复数的定义进行求解即可. 【详解】2(2)12iz i i i i-==--=--，12z i =-+. 故选:B 【点睛】本题考查了复数的除法运算的法则，考查了共轭复数的定义，考查了复数在复平面的位置特征，考查了数学运算能力.2．设集合{}0,1M =，{}|lg 0N x x =≤，则集合M N ⋃=（ ） A ．[]0,1 B ．(]0,1C ．[)0,1D ．(],1-∞【答案】A【解析】根据对数函数的单调性和定义域，结合集合并集的定义进行求解即可. 【详解】由题意得{}0,1M =，(]0,1N =，故[]01M N =U ,. 故选：A 【点睛】本题考查了对数不等式的解法，考查了集合并集的定义，考查了数学运算能力. 3．设0.53a =，0.5log 0.6b =，4cos 5c π=，则（ ） A ．a b c << B ．b c a <<C ．c b a <<D ．c a b <<【答案】C【解析】根据对数函数、指数函数的单调性和三角函数正负性进行求解即可. 【详解】由指数函数的性质可得0.50331a =>=，由对数函数的性质可得0.5log 0.6(0,1)b =∈，根据余弦函数的性质可得4cos 05c π=<，所以c b a <<. 故选：C 【点睛】本题考查了对数式、指数式、三角式的大小判断，考查了指数函数、对数函数的单调性和三角函数的正负性，属于基础题.4．中国古代用算筹来进行记数，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯记数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，其中个位、百位、方位……用纵式表示，十位、千位、十万位……用横式表示，则56846可用算筹表示为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据题意表示出各位上的数字所对应的算筹即可得答案． 【详解】解：根据题意可得，各个数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位用纵式表示；十位，千位，十万位用横式表示，56846∴用算筹表示应为：纵5横6纵8横4纵6，从题目中所给出的信息找出对应算筹表示为B 中的． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查学生的合情推理与演绎推理，属于基础题．5．已知某函数图象如图所示，则图象所对应的函数可能是（ ）A ．||sin ()ex xf x =B ．||2()e x f x x =-C ．||()e ||x f x x =-D ．||2()e 2x f x x =-【答案】D【解析】根据图象所反应的性质，结合四个选项的函数求导数判断单调性，逐一判断即可. 【详解】对于A ：函数||sin ()e x xf x =是奇函数，不满足题意； 对于B ：当0x ≥时，||2'2(e ()2)x xxe f x e x x f x x =-=⇒-=-，令'()2()2x x g x e x g x e -⇒=-=，当ln 2x >时，'()0g x >，()g x 单调递增，当0ln 2x <<时，'()0g x <，()g x 单调递减，因此()g x 的最小值为：(ln 2)22ln 22(1ln 2)0g =-=->，所以()0>g x ，即'()0f x >，()f x 单调递增，不满足题意；对于C ：当0x ≥时，||'()e ||()1x x x f x x e x f x e =-=-⇒=-，当0x ≥时，'()0f x ≥，函数()f x 单调递增，不满足题意；对于D ：函数||2()e 2x f x x =-为偶函数，且当0x ≥时，||2'224()e 2()x x x e f x e x x f x x =-=⇒-=-，令'()4()4x x g x e x g x e -⇒=-=，当ln 4x >时，'()0g x >，()g x 单调递增，当0ln 4x <<时，'()0g x <，()g x 单调递减，因此()g x 的最小值为：(ln 4)24ln 22(12ln 2)0g =-=-<，当x →+∞时，()+g x →∞，当0x →时，()1g x →，因此函数()g x 有两个零点，设为1212,(0ln 4)x x x x <<<，显然当1(0,)x 时，()0>g x ，即'()0f x >，函数()f x单调递增，当12(,)x x 时，()0<g x ，即'()0f x <，函数()f x 单调递减，当2(,)x +∞时，()0>g x ，即'()0f x >，函数()f x 单调递增，满足题意.故选：D 【点睛】本题考查了已知函数的图象判断函数的解析式，考查了偶函数的性质，考查了导数的应用.6．某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，…，599，600，从中抽取60个样本，下面提供随机数表的第4行到第6行：若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第5个样本编号是（ ） A ．522 B ．324C ．535D ．578【答案】A【解析】根据随机数表法的应用，按照已知的要求选出五个三个数字组成编号即可. 【详解】第6行第6列开始的数为808（不合），436，789（不合），535，577，348，994（不合），837（不合），522，则满足条件的5个样本编号为436，535，577，348，522，则第5个编号为522. 故选:A 【点睛】本题考查了随机数表的应用，属于基础题.7．已知sin 630.891︒≈)2cos72cos18︒+︒的近似值为（ ） A ．1.773 B ．1.782C ．1.796D ．1.815【答案】B【解析】运用诱导公式，结合辅助角公式进行求解即可. 【详解】))2cos72cos182sin18cos18︒+︒=︒+︒()2sin 18452sin6320.891 1.782=︒+︒=︒≈⨯=.故选：B【点睛】本题考查了诱导公式，考查了辅助公式，考查了数学运算能力.8．已知向量(1,0)OM =u u u u r ，(0,2)ON =u u u r ，MP tMN =u u u r u u u u r，则当||OP uuu r 取最小值时，实数t =（ ）A ．15B．13C ．12D ．1【答案】A【解析】根据平面向量的加法的几何意义、共线的性质结合平面向量的坐标表示公式求出OP uuu r的坐标，再利用平面向量模的坐标表示公式，结合配方法进行求解即可. 【详解】由MP tMN =u u u r u u u u r()OP OM t ON OM ⇒=+-u u u r u u u u r u u u r u u u u r，得[](1,0)(0,2)(1,0)(1,2)OP t t t =+-=-u u u r，222214||(1)4521555OP t t t t t ⎛⎫=-+=-+=-+⎪⎝⎭u u u r ，则当15t =时，||OP uuu r 有最小值.故选：A 【点睛】本题考查了平面向量的加法的几何意义，考查了平面向量的模的坐标表示公式、加减法、数乘的坐标表示公式，考查了数学运算能力.9．在如图所示的程序框图中，执行所给的程序后，则输出的T 和k 的关系为（ ）A ．7(2)T k =-B ．103T k =-C ．9(2)T k =-D ．81T k =-【答案】B【解析】先判断再进入循环体，直至100T >退出循环体，输出T ，k 的值，进行判断即可. 【详解】根据题中所给的程序框图，在执行完后，可知输出的T ，k 的值分别是127T =，13k =，由四个选项可以发现12710133=⨯-. 故选：B 【点睛】本题考查了程序框图循环结构的输出问题，考查了整数的整除性，属于基础题. 10．抛物线22y px =（0p >）的焦点为F ，半径为3的圆C 过点O 、F ，且与抛物线的准线l 相切，则p 的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．8【答案】C【解析】设出圆的标准方程，求出抛物线的焦点坐标，根据圆的切线的性质进行求解即可. 【详解】依题意，设圆的方程为：22()()9x a y b -+-=，抛物线22y px =（0p >）的焦点,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 已知得2222223,3,23,2a b p a b p a ⎧+=⎪⎪⎪⎛⎫-+=⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪=+⎪⎩，解得4343p =⨯=.故选：C 【点睛】本题考查了圆的切线的性质，考查了待定系数法，考查了数学运算能力. 11．将函数()sin cos f x x x =的图象向右平移ϕ（||2ϕπ<）个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()g x 在区间06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则满足条件的实数ϕ的最小值与最大值的和是（ ） A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π【答案】D【解析】结合二倍角的正弦公式可以化简函数()f x 的解析式，根据平移变换的解析式变化的规律可以求出函数()g x 的解析式，最后根据正弦型函数的单调性进行求解即可. 【详解】1()sin cos sin 22f x x x x ==，将函数()f x 的图象向右平移ϕ个单位长度后得到函数()g x 的图象，则11()sin 2()sin(22)22g x x x ϕϕ=-=-，222222k x k πππϕπ-≤-≤+，可得44k x k πππϕπϕ-+≤≤++，k ∈Z ，即函数()g x 的单调递增区间为,44k k πππϕπϕ⎡⎤-+++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ， 因为()g x 在区间06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则,460,4k k πππϕππϕ⎧++≥⎪⎪⎨⎪-+≤⎪⎩即,12,4k k πϕππϕπ⎧≥--⎪⎪⎨⎪≤-+⎪⎩ 则124k k πππϕπ--≤≤-+，k ∈Z ，令0k =，得124ππϕ-≤≤，满足||2ϕπ<， ϕ的最大值和最小值的和为1246πππ-+=.故选：D 【点睛】本题考查二倍角的正弦公式的应用，考查了正弦型函数的单调性和图象平移的变换特征，考查了数学运算能力.12．已知1F ，2F 是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，点A 是双曲线上第二象限内一点，且直线1AF 与双曲线的一条渐近线by x a=平行，12AF F ∆的周长为9a ，则该双曲线的离心率为（ ） A ．2 BC ．3D．【答案】A【解析】根据双曲线的定义，结合三角形的周长可以求出1AF 和2AF 的表达式，根据线线平行，斜率的关系，结合余弦定理进行求解即可. 【详解】由题意知212AF AF a -=，2192AF AF a c +=-， 解得21122a c AF -=，1722a cAF -=， 直线1AF 与by x a =平行，则12tan b AF F a ∠=，得12cos a AF F c∠=， 222121214cos 22AF c AF a AF F c AF c+-∠==⋅， 化简得22280c ac a +-=，即2280e e +-=，解得2e =. 故选：A 【点睛】本题考查求双曲线的离心率，考查了双曲线的定义的应用，考查了余弦定理的应用，考查了数学运算能力.二、填空题13．已知函数()2()e xf x x ax =+的一个极值点为1，则曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为______. 【答案】320x y +=【解析】对函数进行求导，利用函数的极值的定义可以求出a 的值，最后根据导数的几何意义进行求解即可. 【详解】2()(2)e xx x a a f x ⎡⎤=+++⎣⎦'，由()01f '=，有32a =-， 又切点为(0,0)，3(0)2f '=-,则切线方程为32y x =-，320x y +=.故答案为：320x y += 【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求曲线的切线方程，考查了函数极值的定义，考查了数学运算能力.14．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1352a a +=，2454a a +=，则33S a ______. 【答案】7【解析】结合等比数列的通项公式，由已知条件，可得到两个等式，这两个等式相除可以求出等比数列的公比，进而可以求出首项，最后根据等比数列的通项公式和前n 项和公式进行求解即可. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则21152a a q +=，31154a q a q +=， 两式相除可得2312q q q +=+，解将12q =，12a =，1233331212712S a a a a a ++=++==.故答案为：7 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式和前n 项和公式的应用，考查了数学运算能力. 15．函数()cos 2|sin |f x x x =+（x ∈R ）的最小值为______. 【答案】0【解析】根据余弦的二倍角的公式，应用换元法，根据二次函数的单调性进行求解即可. 【详解】22()2sin |sin |12|sin ||sin |1f x x x x x =-++=-++，令[]|sin |0,1x t =∈，221y t t =-++，[]0,1t ∈，当1t =时，y 取最小值为0.故()f x 的最小值为0. 故答案为：0 【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式，考查了二次函数的单调性，考查了换元法，考查了数学运算能力.16．将一块正方形纸片先按如图1所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形，然后将剩余部分沿虚线折叠并拼成一个体积为3的四棱锥模型，该四棱锥底面是正方形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面中心.将该四棱锥如图2放置，若其正视图为正三角形，则正方形纸片的边长为______.【答案】6【解析】正三角形的边长为x ，根据四棱锥的体积公式，可以求出正三角形的边长，设正方形纸片的边长为a ，又四棱锥的斜高为x ，根据折叠中的不变性进行求解即可. 【详解】四棱锥正视图为正三角形，设正三角形的边长为x 3x ，即四棱锥的高为3x ， 则23133863V x x x ===，3162x =， 设正方形纸片的边长为a ，又四棱锥的斜高为x ，由已知折叠过程可得1222x x a +=，23x a =，则322⎫=⎪⎪⎝⎭6a =. 故答案为：6. 【点睛】本题考查了四棱锥的体积公式，考查了图形折叠的性质，考查了空间想象能力和数学运算能力.三、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和22n S n n =-，数列{}n b 满足24log 3n n b a =+.（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）设14n n n n c b a a +=+，求数列{}n c 的前n 项和n T . 【答案】（1）43n a n =-；2n n b =（2）142241n n n ++-+ 【解析】（1）根据当2n ≥时，1n n n a S S -=-可以求出数列{}n a 的通项公式，再验证当1n =时，首项是否适合；再根据24log 3n n b a =+，结合对数与指数互化公式进行求解即可；（2）化简数列{}n c 的通项公式，利用分组求和的方法，结合等比数列前n 项和、裂项相消法进行求解即可. 【详解】（1）由22n S n n =-，当2n ≥时，143n n n a S S n -=-=-，1n =时，11a =对上式也成立，∴43n a n =-；又24log 3n n b a =+，2log n b n =，2nn b =.（2）1441122(43)(41)4341n n n n n n c b a a n n n n +⎛⎫=+=+=+- ⎪-+-+⎝⎭， ()212111111125594341n n T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭L1114222124141n n n n n +++⎛⎫=-+-=- ⎪++⎝⎭. 【点睛】本题考查了已知数列前n 项和求通项公式，考查了分组求和法，考查了裂项相消法，考查了数学运算能力.18．某企业积极响应国家“科技创新”的号召，大力研发人工智能产品，为了对一批新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据(),i i x y (1,2,3,4,5,6)i =，如下表所示：附：参考公式：()()()1122211ˆn niii ii i nniii i x x y y x y nxybx x xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆ=-ay bx ，参考数据：611806i i y y ===∑，611606i i i x y ==∑，62191i i x ==∑.（1）求p 的值；（2）已知变量x ，y 具有线性相关关系，求产品销量y （件）关于试销单价x （百元）的线性回归方程ˆˆˆy bx a =+（计算结果精确到整数位）；（3）用ˆi y表示用正确的线性回归方程得到的与i x 对应的产品销量的估计值.当销售数据(),i i x y 的残差的绝对值ˆ1i i yy -<时，则将销售数据称为一个“有效数据”.现从这6组销售数据中任取2组，求抽取的2组销售数据都是“有效数据”的概率. 【答案】（1）82p =（2）见解析（3）见解析【解析】（1）根据平均数的定义，结合题中所给的数据进行求解即可；（2）利用平均数的定义，可以求出x 的值，再利用已知所给的数据进行求解即可； （3）根据已知，结合（2）所求的线性回归方程可以求出满足已知的有效数据，最后利用列举法，根据古典概型计算公式进行求解即可. 【详解】（1）由611806i i y y ===∑，得9186787370806p +++++=， 解得82p =. （2）∵1234563.56x +++++==，而611806i i y y ===∑，611606i i i x y ==∑，62191i i x ==∑，∴216066 3.58074ˆ4916 3.517.5b-⨯⨯-==≈--⨯，ˆ80(4) 3.594a =--⨯= 所求的线性回归方程为：ˆ494yx =-+； 或者74ˆ80() 3.59517.5a=--⨯=，所求的线性回归方程为：ˆ495yx =-+ （3）若回归方程为：ˆ494yx =-+时， 当11x =时，1ˆ90y=；当22x =时，2ˆ86y =；当33x =时，3ˆ82y =；当44x =时，4ˆ78y=；当55x =时，5ˆ74y =；当66x =时，6ˆ70y =.满足ˆ1i i y y -<条件的“有效数据”有：(2,86)，(3,82)，(4,78)，(6,70)共4个，记(1,91)A =，(2,86)B =，(3,82)C =，(4,78)D =，(5,73)E =，(6,70)F =，从6组销售数据中任取2组，基本事件有：AB ，AC ，AD ，AE ，AF ，BC ，BD ，BE ，BF ，CD ，CE ，CF ，DE ，DF ，EF ，共15种，抽取的2组销售数据都是“有效数据”的事件有：BC ，BD ，BF ，CD ，CF ，DF ，共6种，所以抽取的2组销售数据都是“有效数据”的概率为62155=. 若回归方程为：ˆ495yx =-+时， 当11x =时，1ˆ91y=；当22x =时，2ˆ87y =；当33x =时，3ˆ83y =；当44x =时，4ˆ79y=；当55x =时，5ˆ75y =；当66x =时，6ˆ71y =.满足ˆ1i i y y -<条件的“有效数据”有：(1,91)，共1个，记(1,91)A =，(2,86)B =，(3,82)C =，(4,78)D =，(5,73)E =，(6,70)F =，从6抽取的2组销售数据都是“有效数据”的事件不存在 所以抽取的2组销售数据都是“有效数据”的概率为0. 【点睛】本题考查了平均数的定义，考查了线性回归方程的求法，考查了古典概型计算公式，考查了数学运算能力.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥平面ABCD ，AD BC =，//AB CD ，120ADC =∠︒，22AB CD ==，直线PB 与平面ABCD 所成的角为45︒，G 是AB 的中点.（1）求证：平面PAC ⊥平面PBC ； （2）求直线PG 与平面PBC 所成角的正切值. 【答案】（1）证明见解析（215【解析】（1）根据已知可以证明出AGCD 为平行四边形，利用平行四边形的性质，结合余弦定理，勾股定理的逆定理，根据线面、面面垂直的判定定理进行证明即可； （2）设E 为BC 中点，连接GE ，PE ，则GE BC ⊥，由（1）中的结论可以证明平面PBC ⊥平面ABC ，从而有GE ⊥平面PBC ，GPE ∠为直线PG 与平面PBC 所成的角，利用锐角的三角函数值定义进行求解即可. 【详解】（1）由已知，//DC AG ，且DC AG =，则AGCD 为平行四边形，AD CG =，又AD BC =，则BC GC =，由120ADC =∠︒知60ABC ∠=︒，则BCG ∆为正三角形，在ABC ∆中，2AB =，112BC BG AB ===， 由余弦定理知，2222cos 3AC AB BC AB BC ABC =+-⨯⨯∠=， 有222AC BC AB +=，AC BC ⊥，又AC PC ⊥，BC PC C ⋂=，则AC ⊥平面PBC ， 而AC ⊂平面PAC ，则平面PAC ⊥平面PBC . （2）设E 为BC 中点，连接GE ，PE ，则GE BC ⊥，因为PC ⊥平面ABCD ，PC ⊂平面PBC ，则平面PBC ⊥平面ABC ， 则GE ⊥平面PBC ，GPE ∠为直线PG 与平面PBC 所成的角， 又直线PB 与平面ABCD 所成的角为45︒，则PC BC =， 又225PE PC EC =+=，3GE =， 所以在Rt PGE ∆中，3152tan 55GE GPE PE ∠===， 即直线PG 与平面PBC 所成角的正切值为15.【点睛】本题考查了证明面面垂直，考查了求线面角的正切值，考查了推理论证能力和数学运算能力.20．已知椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为22，左、右焦点分别为1F 、2F ，M 为椭圆的下顶点，1MF 交椭圆于另一点N 、2MNF ∆的面积163.（1）求椭圆的方程；（2）过点(4,0)P 作直线l 交椭圆于A 、B 两点，点B 关于x 轴的对称点为1B ，问：直线1AB 是否过定点？若是，请求出定点的坐标；若不是，请说明理由.【答案】（1）22184x y +=（2）直线1AB 过定点(2,0)T【解析】（1）根据椭圆离心率的公式和椭圆中,,a b c 的关系，可以判断出12MF F ∆的形状，最后结合椭圆的定义和三角形的面积公式进行求解即可；（2）设出直线1AB 的方程，与椭圆的方程联立，利用根与系数关系，三点共线进行求解即可. 【详解】（1）由椭圆的离心率2c e a ==2a c =，2222b a c c =-=，b c =， ∴12MF F ∆是等腰直角三角形， 又122NF a NF =-， 在2Rt MNF ∆中，()22221NF a a NF =++，即()222223NF a a NF =+-.解得253a NF =，13a NF =，4||3aMN =， ∴2MNF ∆的面积为1416233a S a =⨯⨯=，28a =，24b =，∴椭圆方程为22184x y +=.（2）设()11,A x y ，()122,B x y ，则()22,B x y -，设直线1AB 与x 轴交于点(,0)T t ，直线1AB 的方程为x my t =+（0m ≠），由22,1,84x my t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩有()2222280m y mty t +++-=，()()222(2)4280mt m t ∆=-+->，22480m t -+>， 12222mt y y m +=-+，212282t y y m -=+，由P 、A 、B 三点共线，PA PB k k =，即121244y y x x -=--， 将11x my t =+，22x my t =+代入整理得()()1221440y my t y my t +-++-=， 即()12122(4)0my y t y y +-+=， 从而()222282(4)022m t mt t m m -⎛⎫+--= ⎪++⎝⎭，即(2)0t m -=，解得2t =，此时满足>0∆. 则直线1AB 的方程为2x my =+，故直线1AB 过定点(2,0)T . （其他解法正确同样给分） 【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了椭圆中直线过定点问题，考查了数学运算能力. 21．已知函数||()e 3cos x f x x =-. （1）证明：()20f x +≥；（2）当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，不等式()e 3xf x m n x'-<<恒成立，求实数m 的最大值和n 的最小值.【答案】（1）证明见解析（2）m 的最大值为2π，n 的最小值为1 【解析】（1）当[)0,x ∈+∞时，对函数进行求导，利用导数可以求出函数的最小值，利用奇偶性再进行判断即可；（2）化简()e 3xf x x'-，不等式可以转化为：sin 0x mx ->，sin 0x nx -<，令()sin g x x tx =-，求导，根据t 的不同取值，判断出函数的单调性，最后分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）当[)0,x ∈+∞时，()e 3cos x f x x =-，()e 3sin xf x x '=+，当[)0,x Îp 时，0x e >，则()e 3sin 0xf x x '=+>，当[),x π∈+∞时，3>x e ，则()e 30xf x '≥->，则当[)0,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在[)0,+∞上为增函数，()(0)2f x f ≥=-， 又函数()f x 为偶函数，则对任意x ∈R ，()20f x +≥成立，（2）()e sin 3x f x x x x'-=， 当0x >时，sin xm x>，即为sin 0x mx ->， sin xn x<，即为sin 0x nx -<， 令()sin g x x tx =-，则()cos g x x t '=-， 当0t ≤时，在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上，()0g x '>，()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，()(0)0g x g >=；当1t ≥时，在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上，()0g x '<，()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数，()(0)0g x g <=；当01t <<时，存在唯一的00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00cos 0g x x t '=-=， ()g x 与()0g x '在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的情况如下：()g x 在区间()00,x 上是增函数，()0(0)0g x g >=，进一步，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()sin 0g x x tx =->，当且仅当1022g t ππ⎛⎫=-≥ ⎪⎝⎭， 可得20t π<≤.综上所述，当且仅当2t π≤时，()0>g x 在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立； 当且仅当1t ≥时，()0<g x 在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立， 所以m 的最大值为2π，n 的最小值为1. 【点睛】本题考查了利用导数证明不等式，考查了已知不等式恒成立求参数问题，考查了数学运算能力.22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为20kx y k -+=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos 21ρθ=. （1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）已知点(2,0)T -，直线l 与y 轴正半轴交于点R ，与曲线C 交于A ，B 两点，且||TA ，||TR ，||TB 成等比数列，求直线l 的极坐标方程.【答案】（1）221x y -=（2）cos 2sin 20ρθρθ-+=或cos 2sin 0θρθ-+=【解析】（1）利用余弦的二倍角公式，结合极坐标与直角坐标转化公式进行求解即可； （2）写出直线l 的参数方程，求出||TR 的表达式，将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程中，利用参数的意义，结合等比数列的性质进行求解即可. 【详解】（1）方程2cos 21ρθ=可化为()222cos sin 1ρθθ-=，将cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入上式，得曲线C 的直角坐标方程221x y -=.（2）由直线l 的方程为20kx y k -+=，知直线l 过点(2,0)T -，记直线l 的倾斜角为α，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，设直线l 的参数方程为2cos ,sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数），令0x =，得点R 对应的参数值为2cos α，即2||cos TR α=，把2cos ,sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩代入221x y -=，得22(2cos )(sin )1t t αα-+-=，整理，得()222cos sin 4cos 30tt ααα--+=，则有222222(4cos )12(cos sin )4cos 12sin 48sin 0αααααα∆=--=+=+>. 设A ，B 对应的参数值分别为1t ，2t ， 则12224cos cos sin t t ααα+=-，12223cos sin t t αα=-， 因为||TA ，||TR ，||TB 成等比数列，则2||||||TA TB TR ⋅=，所以22234cos sin cos ααα=-， 所以22234cos sin cos ααα=-或22234cos sin cos ααα=--，解得1tan 2α=或tan α=，l 的普通方程为112y x =+或2y x =+，故l 的极坐标方程为cos 2sin 20ρθρθ-+=cos 2sin 0θρθ-+=. 【点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查了利用参数的意义解决线段有关长度问题，考查了数学运算能力.23．已知函数()2|1||2|f x x x =++-.（1）求函数()f x 的值域；（2）设函数()f x 的最小值为m ，若正实数a ，b ，c 满足a b c m ++=，求证：2222226a b a c b c c b a+++++≥. 【答案】（1）[)3,+∞（2）证明见解析【解析】（1）用绝对值的性质化简函数的解析式变成分段函数解析式的形式，然后分类讨论进行求解即可；（2）由（1）可以求出m 的值，然后利用重要不等式、基本不等式进行证明即可. 【详解】3,1,()2124,12,3, 2.x x f x x x x x x x -<-⎧⎪=++-=+-≤<⎨⎪≥⎩当1x <-时，()3(3,)f x x =-∈+∞； 当12x -≤<时，[)()43,6f x x =+∈； 当2x ≥时，[)()36,f x x =∈+∞. 故()f x 的值域为[)3,+∞.（2）由（1）知函数()f x 的最小值3m =，则3a b c ++=，222222222a b a c b c ab ac bcc b a c b a+++++≥++c b c a a b a b c b c a c b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2()6a b c ≥++=，当且仅当1a b c ===时取等号.或：222222a b a c b c c b a +++++222222b c a c a b a b c a bc ⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2222222()b c a c a b a b c a b c a b c ab c a b c ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++++++-++⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦2()2()2()a b c a b c a b c ≥+++++-++ 2()6a b c =++=，第 21 页 共 21 页 当且仅当1a b c ===时取等号.【点睛】本题考查了求含绝对值函数的最值问题，考查了利用重要不等式和基本不等式证明不等式，考查了数学运算能力和代数式恒等变形能力.。
南阳市2020届高三第三次模拟考试数学试题(文)有答案(已纠错)
南阳市一中2020届第三次模拟考试文科数学试题第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.集合{}{}2|113,|230M x x N x x x =<+<=-->，则()()R R C M C N =A.[](]1,02,3- B. ()()1,02,3- C. ()[)1,02,3- D. ()1,3-2.i 为虚数单位，则201711i i ⎛⎫-= ⎪-⎝⎭A.i -B. 1-C. iD.13.已知{}n a 为公差不为0的等差数列，满足134,,a a a 成等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则3253S S S S --的值为A. -2B. -3C. 2D. 34.如图，小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A. 328π+B.8323π+C. 8163π+ D. 168π+5.设实数,x y 满足约束条件02200y x x y x -≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，若目标函数()0z mx y m =+>的最大值为6，则m 的值为A. 2B. 4C. 8D. 166.已知曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与曲线()()2210y ax a x a =+++≠相切，则a 等于A. 7B. 8C. 9D. 107.《九章算术》是我国古代的数学名著，体现了古代劳动人民的智慧，其中第六章“均输”中，有一竹容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出m 的值为35，则输入a 的值为 A. 4 B. 5 C. 7 D. 118.已知函数()()[]()2cos 0,0,f x x ωϕωϕπ=->∈的部分图象如图所示，若3,22A B ππ⎛⎛ ⎝⎝，则函数()f x 的单调递增区间为 A. 32,2,44k k k z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦ B. 372,2,44k k k z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦C. 3,,88k k k z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦ D. 37,,88k k k z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦9.在区间[]1,3-上随机取一个数x ，若x 满足x m <的概率为0.75，则m = A. 0 B. 1 C. 2 D. 310.使()2log 1x x -<+成立的实数的取值范围是A.(),1-∞B. (),0-∞C.()1,-+∞D.()1,0-11.三棱锥P ABC -的三条侧棱两两垂直，且1PA PB PC ===，则其外接球上的点到平面ABC 的距离的最大值为A.2 B. 6 C. 312.如图，在直角梯形ABCD 中，,//,2,1AB AD AB DC AB AD DC ⊥===,图中圆弧所在圆的圆心为点C,半径为12，且点P 在图中阴影部分（包含边界）运动，若AP xAB yBC =+，其中,x y R ∈，则4x y -的最大值为A. 3+34-3+二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.若单位向量12,e e 的夹角为3π，则向量122e e -与向量1e 的夹角为 .14.过点()2,3P 作圆()2211x y -+=的两条切线，与圆相切于,A B ，则直线AB 的方程为 .15.双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>与抛物线()220y px p =>相交于,a b 两点，直线AB 恰好经过它们的公共焦点F,则双曲线的离心率为 . 16.已知函数()()ln 2x f x x=，关于x 的不等式()()20f x af x +>只有两个整数解，则实数a 的取值范围为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足cos 15.25A AB AC =⋅= （1）求ABC ∆的面积； （2）若tan 2B =，求a 的值.18.（本题满分12分）某蛋糕店每天制作生日蛋糕若干个，每个生日蛋糕的成本为50元，然后以每个100元的价格售出，如果当天卖不完，剩下的蛋糕作垃圾处理，现搜集并整理了100天生日蛋糕的日需求量（单位：个），得到如图所示的柱状图.以100天记录的各需求量的频率作为每天各需求量发生的概率.若蛋糕店一天制作17个生日蛋糕.（1）求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：个n N ∈）的函数关系式；（2）求当天的利润不低于750元的概率.19.（本题满分12分）如图（1）所示，已知四边形SBCD 是由直角SAB ∆和直角梯形ABCD 拼接而成的，其中90SAB SDC ∠=∠=，且点A 为线段SD 的中点，21,AD DC AB SD ===.现将SAB ∆沿AB 进行翻折，使得二面角S AB C --的大小为90，得到图形（2），连接SC ，点,E F 分别在线段,SB SC 上. （1）证明：BD AF ⊥；（2）若三棱锥B AEC -的体积为四棱锥S ABCD -体积的25，求点E 到平面ABCD 的距离.20.（本题满分12分）已知椭圆()2222:10x y P a b a b +=>>的右焦点为()1,0F ，且经过点2,33⎛ ⎝⎭（1）求椭圆P 的方程；（2）已知正方形ABCD 的顶点,A C 在椭圆P 上，顶点,B D 在直线7710x y -+=上，求该正方形ABCD 的面积.21.（本题满分12分）已知0a ≥，函数()()22.x f x x ax e =- （1）当x 为何值时，()f x 取得最小值？并证明你的结论； （2）设()f x 在[]1,1-上是单调函数，求a 的取值范围.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。
2020年高考模拟河南省南阳市高考(文科)数学(3月份)模拟测试试卷 解析版
2020年高考数学模拟试卷（文科）（3月份）一、选择题1．复数（i为虚数单位）的虚部为（）A．B．C．D．2．设集合A＝{x|1≤log2x≤3}，B＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，则A∪B＝（）A．（﹣1，2）B．（﹣1，8]C．[2，4）D．[4，8]3．若样本1+x1，1+x2，1+x3，…，1+x n的平均数是10，方差为2，则对于样本2+2x1，2+2x2，2+2x3，…，2+2x n，下列结论正确的是（）A．平均数为20，方差为4B．平均数为11，方差为4C．平均数为21，方差为8D．平均数为20，方差为84．设a＝20.5，b＝log0.50.6，c＝tan，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．c＜a＜b5．已知向量＝（m，1），＝（3，m﹣2），则m＝3是∥的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件D．充要条件6．函数的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，要得到函数g（x）＝A cosωx的图象，只需将f（x）的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位7．根据最小二乘法由一组样本点（x i，y i）（其中i＝1，2，…，300），求得的回归方程是＝x+，则下列说法正确的是（）A．至少有一个样本点落在回归直线＝x+上B．若所有样本点都在回归直线＝x+上，则变量间的相关系数为1C．对所有的解释变量x i（i＝1，2….300）．bx i+的值一定与y i有误差D．若回归直线＝x+的斜率b＞0，则变量x与y正相关8．已知点M是抛物线x2＝4y上的一动点，F为抛物线的焦点，A是圆C：（x﹣1）2+（y﹣4）2＝1上一动点，则|MA|+|MF|的最小值为（）A．3B．4C．5D．69．某三棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥外接球的表面积为（）A．27πB．28πC．29πD．30π10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a+b＝8，c＝2，（2a﹣b）（a2+b2﹣c2）＝2abc（1﹣2sin2），则△ABC的面积为（）A．B．C．D．11．若x，a，b均为任意实数，且（a+2）2+（b﹣3）2＝1，则（x﹣a）2+（lnx﹣b）2的最小值为（）A．3B．18C．3﹣1D．19﹣612．若函数f（x）＝m﹣x2+2lnx在[]上有两个不同的零点，则实数m的取值范围为（）A．（e，e2﹣2]B．[1]C．（1，4]D．[1，+∞）二、填空题（共4小题）13．甲、乙、丙三人参加会宁一中招聘老师面试，最终只有一人能够被会宁一中录用，得到面试结果后，甲说：“丙被录用了”；乙说：“甲被录用了”；丙说：“我没被录用”．若这三人中仅有一人说法错误，则甲、乙、丙三人被录用的是14．《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是15．已知不等式表示的平面区域为D，若对任意的（x，y）∈D，不等式x﹣2y﹣t≥0恒成立，则实数t的最大值为16．已知点A（0，﹣1）是抛物线x2＝2py的准线上一点，F为抛物线的焦点，P为抛物线上的点，且|PF|＝m|PA|，若双曲线C中心在原点，F是它的一个焦点，且过P点，当m 取最小值时，双曲线C的离心率为．三、解答题（共5小题）17．已知数列{a n}的前n项和为S n，点（a n，S n）在直线y＝2x﹣2上，n∈N*（1）求{a n}的通项公式；（2）若b n＝n+（a n﹣1）log2a n，求数列{b n}的前n项和T n．18．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC＝2，∠ACB＝120°，D为A1B1的中点．（Ⅰ）证明：A1C∥平面BC1D；（Ⅱ）若A1A＝A1C，点A1在平面ABC的射影在AC上，且侧面A1ABB1的面积为，求三棱锥A1﹣BC1D的体积．19．世界军人运动会，简称“军运会”，每四年举办一届，会期7到10天，比赛设有27个大项，参赛规模约100多个国家近10000余人，规模仅次于奥运会，根据各方达成共识，军运会于2019年10月18日至27日在湖北武汉举行，赛期10天，为了军运会顺利召开，特招聘了3万名志愿者．某部门为了了解志愿者的基本情况，调查了其中100名志愿者的年龄，得到了他们年龄的中位数为34岁，年龄在[40，45）岁内的人数为15人，并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图：（1）求m，n的值并估算出志愿者的平均年龄（同一组的数据用该组区间的中点值代表）；（2）这次军运会志愿者主要通过直接到武汉军运会执委会志愿者部现场报名和登录第七届世界军运会官网报名，即现场和网络两种方式报名调查．这100位志愿者的报名方式部分数据如表所示，完善下面的表格，通过计算说明能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“选择哪种报名方式与性别有关系”？男性女性总计现场报名50网络报名31总计50参考公式及数据：，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.050.010.0050.001 k0 3.841 6.6357.87910.82820．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的长轴长为4，直线y＝x被椭圆C截得的线段长为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过椭圆C的右顶点作互相垂直的两条直线l1，l2分别交椭圆C于M，N两点（点M，N不同于椭圆C的右顶点），证明：直线MN过定点（，0）．21．已知函数f（x）＝﹣ax+b在点（e，f（e））处的切线方程为y＝﹣ax+2e．（Ⅰ）求实数b的值；（Ⅱ）若存在x∈[e，e2]，满足f（x）≤+e，求实数a的取值范围．[选做题]请考生在第22～23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣2＝0，点P的极坐标是（，）．（1）求直线l的极坐标方程及点P到直线l的距离；（2）若直线l与曲线C交于M，N两点，求△PMN的面积．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+a|+|x﹣1|．（1）当a＝2时，求不等式f（x）≥x+8的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≤|x﹣5|的解集包含[0，2]，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题）1．复数（i为虚数单位）的虚部为（）A．B．C．D．解：∵＝，∴复数的虚部为﹣．故选：B．2．设集合A＝{x|1≤log2x≤3}，B＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，则A∪B＝（）A．（﹣1，2）B．（﹣1，8]C．[2，4）D．[4，8]解：因为集合A＝{x|1≤log2x≤3}，B＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，所以A＝{x|2≤x≤8}，B＝{x|﹣1＜x＜4}，所以A∪B＝{x|﹣1＜x≤8}＝（﹣1，8]．故选：B．3．若样本1+x1，1+x2，1+x3，…，1+x n的平均数是10，方差为2，则对于样本2+2x1，2+2x2，2+2x3，…，2+2x n，下列结论正确的是（）A．平均数为20，方差为4B．平均数为11，方差为4C．平均数为21，方差为8D．平均数为20，方差为8解：样本1+x1，1+x2，1+x3，…，1+x n的平均数是10，方差为2，则数据x1，x2，x3，…，x n的平均数是9，方差是2；所以样本2+2x1，2+2x2，2+2x3，…，2+2x n的平均数是2+2×9＝20，方差为22×2＝8．故选：D．4．设a＝20.5，b＝log0.50.6，c＝tan，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．c＜a＜b解：a＝20.5＞1，0＜b＝log0.50.6＜1，c＝tan＜0，则c＜b＜a，故选：B．5．已知向量＝（m，1），＝（3，m﹣2），则m＝3是∥的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件D．充要条件解：向量＝（m，1），＝（3，m﹣2），∥，则3＝m（m﹣2），即m2﹣2m﹣3＝0，m＝3或者﹣1，所以m＝3是m＝3或者m＝﹣1的充分不必要条件条件，故选：A．6．函数的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，要得到函数g（x）＝A cosωx的图象，只需将f（x）的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位解：由题意，函数的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，可知周期T＝，那么：ω＝．则f（x）＝A sin（3x+）＝A sin3（x+）要得到g（x）＝A cos3x，即A cos3x＝A sin（3x+）＝A sin3（x+）由题意：可得：f（x）向左平移可得g（x）故选：A．7．根据最小二乘法由一组样本点（x i，y i）（其中i＝1，2，…，300），求得的回归方程是＝x+，则下列说法正确的是（）A．至少有一个样本点落在回归直线＝x+上B．若所有样本点都在回归直线＝x+上，则变量间的相关系数为1C．对所有的解释变量x i（i＝1，2….300）．bx i+的值一定与y i有误差D．若回归直线＝x+的斜率b＞0，则变量x与y正相关解：回归直线必过样本数据中心点，但样本点可能全部不在回归直线上，故A错误；所有样本点都在＝x+上，则变量间的相关系数为±1，故B错误；若所有的样本点都在＝x+上，则bx i+的值与y i相等，故C错误；相关系数r与b符号相同，若＝x+的斜率＞0，则r＞0，样本点应分布从左到右应该是上升的，则变量x与y正相关，故D正确．故选：D．8．已知点M是抛物线x2＝4y上的一动点，F为抛物线的焦点，A是圆C：（x﹣1）2+（y ﹣4）2＝1上一动点，则|MA|+|MF|的最小值为（）A．3B．4C．5D．6解：如图所示，利用抛物线的定义知：MP＝MF，当M、A、P三点共线时，|MA|+|MF|的值最小，即：CM⊥x轴，CM所在的直线方程为：x＝1与x2＝4y建立方程组解得：M（1，）|CM|＝4﹣，点M到圆C的最小距离为|CM|﹣|AC|＝3，抛物线的准线方程y＝﹣1，则|MA|+|MF|的值最小值为3+1＝4．故选：B．9．某三棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥外接球的表面积为（）A．27πB．28πC．29πD．30π解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥，P﹣BCD，ABCD为矩形，AB＝4，BC＝3，PA＝2．该几何体外接球的半径为PC＝＝．∴该几何体外接球表面积为S＝4π×＝29π．故选：C．10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a+b＝8，c＝2，（2a﹣b）（a2+b2﹣c2）＝2abc（1﹣2sin2），则△ABC的面积为（）A．B．C．D．解：依题意，（2a﹣b）（a2+b2﹣c2）＝2abc cos B，即，故（2a﹣b）•cos C＝c cos B，故2a cos C＝b cos C+c cos B，即2sin A cos C＝sin B cos C+sin C cos B＝sin A，因为sin A≠0，故；由余弦定理，c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝（a+b）2﹣3ab，即28＝64﹣3ab，即3ab＝36，则ab＝12，则△ABC的面积＝．故选：C．11．若x，a，b均为任意实数，且（a+2）2+（b﹣3）2＝1，则（x﹣a）2+（lnx﹣b）2的最小值为（）A．3B．18C．3﹣1D．19﹣6解：（a+2）2+（b﹣3）2＝1，可得（a，b）在（﹣2，3）为圆心，1为半径r的圆上，（x﹣a）2+（lnx﹣b）2表示点（a，b）与点（x，lnx）的距离的平方，设过切点（m，lnm）的切线与过（﹣2，3）的法线垂直，可得•＝﹣1，即有lnm+m2+2m＝3，由f（m）＝lnm+m2+2m在m＞0递增，且f（1）＝3，可得切点为（1，0），圆心与切点的距离为d＝＝3，可得（x﹣a）2+（lnx﹣b）2的最小值为（3﹣1）2＝19﹣6，故选：D．12．若函数f（x）＝m﹣x2+2lnx在[]上有两个不同的零点，则实数m的取值范围为（）A．（e，e2﹣2]B．[1]C．（1，4]D．[1，+∞）解：令f（x）＝0可得m＝x2﹣2lnx，令g（x）＝x2﹣2lnx，则g′（x）＝2x﹣＝．∴当≤x≤1时，g′（x）≤0，当1＜x≤e时，g′（x）＞0，∴g（x）在[，1]上单调递减，在（1，e]上单调递增，∴当x＝1时，g（x）取得极小值g（1）＝1，又g（）＝+4，g（e）＝e2﹣2，∴g（）＜g（e），∵m＝g（x）有两解，∴1＜m≤+4．故选：C．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．甲、乙、丙三人参加会宁一中招聘老师面试，最终只有一人能够被会宁一中录用，得到面试结果后，甲说：“丙被录用了”；乙说：“甲被录用了”；丙说：“我没被录用”．若这三人中仅有一人说法错误，则甲、乙、丙三人被录用的是甲解：假设甲说的是真话，即丙被录用，则乙说的是假话，丙说的是假话，不成立；假设甲说的是假话，即丙没有被录用，则丙说的是真话，若乙说的是真话，即甲被录用，成立，故甲被录用；若乙被录用，则甲和乙的说法都错误，不成立．故答案为：甲．14．《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”其大意：现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是解：∵直角三角形两直角边长分别为5步和12步，∴斜边长为13步，设内切圆的半径为r，则r（5+12+13）＝×12×5，∴r＝2，∴内切圆的面积为：4π，则豆子落在其内切圆外的概率是：＝，故答案为：．15．已知不等式表示的平面区域为D，若对任意的（x，y）∈D，不等式x﹣2y﹣t≥0恒成立，则实数t的最大值为﹣5解：由已知不等式组对应的可行域如图中阴影部分所示：可求得A（3，4），B（0，1），C（1，0）．当直线z＝x﹣2y经过点A（3，4），时，直线的纵截距最大，z最小∴z min＝3﹣2×4＝﹣5，∴t≤﹣5．故答案为：﹣5．16．已知点A（0，﹣1）是抛物线x2＝2py的准线上一点，F为抛物线的焦点，P为抛物线上的点，且|PF|＝m|PA|，若双曲线C中心在原点，F是它的一个焦点，且过P点，当m 取最小值时，双曲线C的离心率为+1．解：点A（0，﹣1）是抛物线C：x2＝2py（p＞0）准线上的一点，可得p＝2，抛物线的标准方程为x2＝4y，则抛物线的焦点为F（0，1），准线方程为y＝﹣1，过P作准线的垂线，垂足为N，则由地物线的定义可得|PN|＝|PF|，∵|PF|＝m|PA|，则，设PA的倾斜角为α，则sinα＝m，当m取得最小值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，设直线PA的方程为y＝kx﹣1，代入x2＝4y，可得x2＝4（kx﹣1）即x2﹣4kx+4＝0，∴△＝16k2﹣16＝0，∴k＝±1，∴P（2，1），∴双曲线的实轴长为，∴双曲线的离心率为．故答案为：+1．三、解答题（共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知数列{a n}的前n项和为S n，点（a n，S n）在直线y＝2x﹣2上，n∈N*（1）求{a n}的通项公式；（2）若b n＝n+（a n﹣1）log2a n，求数列{b n}的前n项和T n．解：（1）数列{a n}的前n项和为S n，点（a n，S n）在直线y＝2x﹣2上，n∈N*所以：S n＝2a n﹣2①，当n＝1时，a1＝2a1﹣2，解得：a1＝2．当n≥2时，S n﹣1＝2a n﹣1﹣2②，①﹣②得：a n＝2a n﹣2a n﹣1，整理得：，故：数列的通项公式为：（首项符合通项）．故：．（2）b n＝n+（a n﹣1）log2a n，＝n•2n，所以①，②，①﹣②得：，整理得：．18．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC＝2，∠ACB＝120°，D为A1B1的中点．（Ⅰ）证明：A1C∥平面BC1D；（Ⅱ）若A1A＝A1C，点A1在平面ABC的射影在AC上，且侧面A1ABB1的面积为，求三棱锥A1﹣BC1D的体积．【解答】（Ⅰ）证明：连接B1C交BC1于点E，连接DE．则E为B1C的中点，又D为A1B1的中点，∴DE∥A1C，又DE⊂平面BC1D，A1C⊄平面BC1D，∴A1C∥平面BC1D．（Ⅱ）解：过点A1作A1O⊥平面ABC，垂足为O，则O在AC上，∵A1A＝A1C，∴O为AC的中点．过点O作OF⊥AB于点F，连接A1F．∵A1O⊥平面ABC，∴A1O⊥AB，又A1O∩OF＝O，A1D⊂平面A1OF，OF⊂平面A1OF，∴AB⊥平面A1OF，∴A1F⊥AB．∴侧面A1ABB1的面积为AB•A1F＝2，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝120°，∴AB＝2，∴A1F＝1，又AO＝AC＝1，∠BAC＝30°，∴OF＝，AF＝，设A1O＝h，则AA1＝，由AA12＝AF2+A1F2可得h2+1＝，解得h＝．∴＝＝＝＝．19．世界军人运动会，简称“军运会”，每四年举办一届，会期7到10天，比赛设有27个大项，参赛规模约100多个国家近10000余人，规模仅次于奥运会，根据各方达成共识，军运会于2019年10月18日至27日在湖北武汉举行，赛期10天，为了军运会顺利召开，特招聘了3万名志愿者．某部门为了了解志愿者的基本情况，调查了其中100名志愿者的年龄，得到了他们年龄的中位数为34岁，年龄在[40，45）岁内的人数为15人，并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图：（1）求m，n的值并估算出志愿者的平均年龄（同一组的数据用该组区间的中点值代表）；（2）这次军运会志愿者主要通过直接到武汉军运会执委会志愿者部现场报名和登录第七届世界军运会官网报名，即现场和网络两种方式报名调查．这100位志愿者的报名方式部分数据如表所示，完善下面的表格，通过计算说明能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“选择哪种报名方式与性别有关系”？男性女性总计现场报名50网络报名31总计50参考公式及数据：，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.050.010.0050.001k0 3.841 6.6357.87910.828解：（1）根据题意，∵志愿者年龄在[40，45）内的人数为15人，∴志愿者年龄在[40，45）内的频率为：；由频率分布直方图得：（0.020+2m+4n+0.010）×5+0.15＝1，化简得：m+2n＝0.07．①由中位数为34可得：0.020×5+2m×5+2n×（34﹣30）＝0.5，化简得：5m+4n＝0.2，②由①②解得：m＝0.020，n＝0.025．志愿者的平均年龄为（22.5×0.020+27.5×0.040+32.5×0.050+37.5×0.050+42.5×0.030+47.5×0.010）×5＝34（岁）．（2）根据题意得到列联表：男性女性总计现场报名193150网络报名311950总计5050100∴，∴不能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为选择哪种报名方式与性别有关系．20．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的长轴长为4，直线y＝x被椭圆C截得的线段长为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过椭圆C的右顶点作互相垂直的两条直线l1，l2分别交椭圆C于M，N两点（点M，N不同于椭圆C的右顶点），证明：直线MN过定点（，0）．解：（1）设直线y＝x与椭圆交于P，Q两点，不妨设P点在第一象限，又|PQ|＝．∴点P（，），∴，即，又2a＝4，∴a＝2，b＝1，∴椭圆C的标准方程为：；（2）显然直线l1，l2的斜率存在且不为0，设直线l1的方程为：x＝my+2，则直线l2的方程为：x＝﹣+2，联立方程，消去x得：（m2+4）y2+4my＝0，∴，∴，∴M（，），同理可得N（，），当m≠±1时，，∴直线MN的方程为：y+＝，整理得：y＝＝，∴直线MN过定点（，0），当m＝±1时，直线MN的方程为：x＝，直线也过点（，0），综上所述，直线MN过定点（，0）．21．已知函数f（x）＝﹣ax+b在点（e，f（e））处的切线方程为y＝﹣ax+2e．（Ⅰ）求实数b的值；（Ⅱ）若存在x∈[e，e2]，满足f（x）≤+e，求实数a的取值范围．解：（Ⅰ）f（x）＝﹣ax+b，x∈（0，1）∪（1，+∞），求导，f′（x）＝﹣a，则函数f（x）在点（e，f（e））处切线方程y﹣（e﹣ex+b）＝﹣a（x﹣e），即y＝﹣ax+e+b，由函数f（x）在（e，f（e））处的切线方程为y＝﹣ax+2e，比较可得b＝e，实数b的值e；（Ⅱ）由f（x）≤+e，即﹣ax+e≤+e，则a≥﹣在[e，e2]，上有解，设h（x）＝﹣，x∈[e，e2]，求导h′（x）＝﹣＝＝，令p（x）＝lnx﹣2，∴x在[e，e2]时，p′（x）＝﹣＝＜0，则函数p（x）在[e，e2]上单调递减，∴p（x）＜p（e）＝lne﹣2＜0，则h′（x）＜0，及h（x）在区间[e，e2]单调递减，h（x）≥h（e2）＝﹣＝﹣，∴实数a的取值范围[﹣，+∞）．[选做题]请考生在第22～23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣2＝0，点P的极坐标是（，）．（1）求直线l的极坐标方程及点P到直线l的距离；（2）若直线l与曲线C交于M，N两点，求△PMN的面积．【解答】解（1）由消去t，得到y＝，则ρsinθ＝ρcosθ，∴θ＝，所以直线l的极坐标方程为θ＝（ρ∈R）．点P（，）到直线l的距离为d＝×sin（﹣）＝×＝．（2）由，得，ρ2﹣ρ﹣2＝0所以ρ1+ρ2＝1，ρ1ρ2＝﹣2所以，|MN|＝|ρ1﹣ρ2|＝＝3则△PMN的面积为．S△PMN＝|MN|×d＝×＝．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+a|+|x﹣1|．（1）当a＝2时，求不等式f（x）≥x+8的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≤|x﹣5|的解集包含[0，2]，求实数a的取值范围．解：（1）当a＝2时，函数f（x）＝|x+2|+|x﹣1|＝，不等式f（x）≥x+8等价于或或；解得x≥7，或x≤﹣3；所以不等式f（x）≥x+8的解集为（﹣∞，﹣3]∪[7，+∞）；（2）不等式f（x）≤|x﹣5|的解集包含[0，2]，即|x+a|+|x﹣1|≤|x﹣5|在x∈[0，2]上恒成立，当x∈[0，1]时，不等式化为|x+a|+1﹣x≤5﹣x，即|x+a|≤4，解得﹣4≤x+a≤4，即﹣4﹣a≤x≤4﹣a；所以，解得﹣4≤a≤3；当x∈（1，2]时，不等式化为|x+a|+x﹣1≤5﹣x，即|x+a|≤6﹣2x，解得2x﹣6≤x+a≤6﹣2x，即对任意x∈（1，2]恒成立；所以，解得﹣4≤a≤0；综上知，实数a的取值范围是﹣4≤a≤0．。
2020年河南省南阳一中、信阳、漯河、平顶山一中四校高考数学模拟试卷(理科)(3月份)
2020年河南省南阳一中、信阳、漯河、平顶山一中四校高考数学模拟试卷（理科）（3月份）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合{1A a =-，1}a +，{1B =，2}，{2C =，3}，若A B =∅I ，且A C ≠∅I ，则(a = ) A ．1或3B ．2或4C ．0D ．42．（5分）设复数()(1)()z a i i a R =+-∈，则复数z 在复平面内对应的点不可能在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（5分）已知2*1(2)()n x n N x-∈的展开式中各项的二项式系数之和为128，则其展开式中2x 的系数为( ) A ．280B ．280-C ．35D ．35- 4．（5分）记[]x 表示不超过x 的最大整数，已知236a b c ==，则[](a bc+= ) A ．2B ．3C ．4D ．55．（5分）函数()21x xf x x =++的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．6．（5分）元代数学家朱世杰的数学名著《算术启蒙》是中国古代代数学的通论，其中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于“松竹并生”问题的一个程序框图，则计算机输出的结果是( )A ．6B ．5C ．4D ．37．（5分）在ABC ∆中，D ，E 分别为BC ，AC 边上的点，且2BD DC =u u u r u u u r ，若34BE AB AD λ=+u u u r u u u r u u u r，则(λ= ) A ．54-B ．43-C ．45-D ．34-8．（5分）设点A 、B 分别在双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线1l 、2l 上，且点A 在第一象限，点B 在第四象限，1AB l ⊥，O 为坐标原点，若||OA 、||AB 、||OB 成等差数列，则双曲线C 的离心率为( ) A ．2B ．5 C ．3 D ．6 9．（5分）已知函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，0)ϕπ<<的部分图象如图所示，其中图象最高点和最低点的横坐标分别为12π和712π，图象在y 轴上的截距为3．关于函数()f x 有下列四个结论：①()f x 的最小正周期为π；②()f x 的最大值为2；①6x π=-为()f x 的一个零点；④()6f x π+为偶函数． 其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．410．（5分）某单位有800名员工，工作之余，工会积极组织员工参与“日行万步”健身活动．经调查统计，得到全体员工近段时间日均健步走步数（单位：千步）的频率分布直方图如图所示．据直方图可以认为，该单位员工日均健步走步数近似服从正态分布，计算得其方差为6.25．由此估计，在这段时间内，该单位员工中日均健步走步数在2千步至4.5千步的人数约为( )附：若随机变量Z 服从正态分布2(,)N μσ，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，(22)0.9544P Z μσμσ-<<+=，(33)0.9974P Z μσμσ-<<+=．A ．103B ．105C ．107D ．10911．（5分）小王想在某市一住宅小区买套新房，据了解，该小区有若干栋互相平行的平顶楼房，每栋楼房有15层，每层楼高为3米，顶楼有1米高的隔热层，两楼之间相距60米．小王不想买最前面和最后面的楼房，但希望所买楼层全年每天正午都能晒到太阳，为此，小王查找了有关地理资料，获得如下一些信息：①该市的纬度（地面一点所在球半径与赤道平面所成的角）为北纬3634'︒；②正午的太阳直射北回归线（太阳光线与赤道平面所成的角为2326)'︒时，物体的影子最短，直射南回归线（太阳光线与赤道平面所成的角为2326)'︒时，物体的影子最长，那么小王买房的最低楼层应为( ) A ．3B ．4C ．5D ．612．（5分）如图，在平面四边形ABCD 中，AD CD ⊥，ABC ∆是边长为3的正三角形．将该四边形沿对角线AC 折成一个大小为120︒的二面角D AC B --，则四面体ABCD 的外接球的表面积为( )A ．12πB ．13πC ．14πD ．15π二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知数列{}n a 满足*12()n n a a n N +-=∈，n S 为数列{}n a 的前n 项和，若1012a =，则10S = ．14．（5分）某中学高三年级共有36名教师，将每位教师按1~36编号，其年龄数据如表： 编12345678910 11 12 13 14 15 16 17 18号年龄404840413340454243363138394345393836编号192021222324252627282930313233343536年龄274341373442374442343945384253374939用系统抽样法从这36名教师中抽取一个容量为9的样本，已知在第一组用抽签法抽到的年龄数据为48，则抽取的9名教师年龄的中位数是．15．（5分）若过点(,0)A a的任意一条直线都不与曲线:xC y xe=相切，则a的取值范围是．16．（5分）在ABC∆中，已知顶点(0,1)A，顶点B、C在x轴上移动，且||2BC=，设点M为ABC∆的外接圆圆心，则点M到直线:2250l x y--=的距离的最小值为．三、解答题：本大题共7个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）在ABC∆中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且有2cos cos cos()sin sinA A CB B C+-=．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若ABC∆的内切圆面积为π，当AB ACu u u r u u u rg的值最小时，求ABC∆的面积．18．（12分）如图，在矩形ABCD中，点E为边AD上的点，点F为边CD的中点，23AB AE AD==，现将ABE∆沿BE边折至PBE∆位置，且平面PBE⊥平面BCDE．（Ⅰ）求证：平面PBE⊥平面PEF；（Ⅱ）求二面角E PF C--的大小．19．（12分）如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>与圆22:302yE x y +--=在第一象限相交于点P ，椭圆C 的左、右焦点1F ，2F 都在圆E 上，且线段1PF 为圆E 的直径． （1）求椭圆C 的方程；（2）设过点3(0,)5M 的动直线1与椭圆C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，证明：OA OBu u u r u u u r g 为定值，并求出这个定值．20．（12分）已知函数213()2(0)22f x lnx ax x a =+-+…．（1）讨论函数()f x 的极值点的个数；（2）若()f x 有两个极值点1x ，2x ，证明：12()()0f x f x +<．21．（12分）湖南省会城市长沙又称星城，是楚文明和湖湘文化的发源地，是国家首批历史文化名城．城内既有岳麓山、橘子洲等人文景观，又有岳麓书院、马王堆汉墓等名胜古迹，每年都有大量游客来长沙参观旅游．为合理配置旅游资源，管理部门对首次来岳麓山景区游览的游客进行了问卷调查，据统计，其中13的人计划只游览岳麓山，另外23的人计划既游览岳麓山又参观马王堆．每位游客若只游览岳麓山，则记1分；若既游览岳麓山又参观马王堆，则记2分．假设每位首次来岳麓山景区游览的游客计划是否参观马王堆相互独立，视频率为概率．（1）从游客中随机抽取3人，记这3人的合计得分为X ，求X 的分布列和数学期望； （2）从游客中随机抽取n 人*()n N ∈，记这n 人的合计得分恰为1n +分的概率为n P ，求12n P P P ++⋯+；（3）从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为n 分的概率为n a ，随着抽取人数的无限增加，n a 是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，说明理由． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在极坐标系中，已知点P 的极坐标为(2,)2π，曲线C 的极坐标方程为ρ=．以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系． （1）求点P 的直角坐标和曲线C 的直角坐标方程；（2）过点P l ，交曲线C 于A ，B 两点，求||||PA PB g 的值． [选修4-5：不等式选讲] 23．已知函数()||2f x x =-．（1）求不等式(1)(2)1f x f x -++…的解集；（2）若||2a <，||2b <，证明：()22()f ab f a b +>+．2020年河南省南阳一中、信阳、漯河、平顶山一中四校高考数学模拟试卷（理科）（3月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合{1A a =-，1}a +，{1B =，2}，{2C =，3}，若A B =∅I ，且A C ≠∅I ，则(a = ) A ．1或3B ．2或4C ．0D ．4【解答】解：Q 集合{1A a =-，1}a +，{1B =，2}，{2C =，3}， A B =∅I ，且A C ≠∅I ，3A ∴∈，若13a -=，则4a =，此时{3A =，5}，符合要求；若13a +=，则2a =，此时{1A =，3}，{1}A B =I ，不合题意，4a ∴=．故选：D ．2．（5分）设复数()(1)()z a i i a R =+-∈，则复数z 在复平面内对应的点不可能在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：Q 复数()(1)()z a i i a R =+-∈，设复数z 在复平面内对应点的坐标为(,)x y ， 则11x a y a =+⎧⎨=-⎩，消去参数a ，得点P 的轨迹方程为2x y +=，∴点P 不可能在第三象限．故选：C ．3．（5分）已知2*1(2)()n x n N x-∈的展开式中各项的二项式系数之和为128，则其展开式中2x 的系数为( ) A ．280B ．280-C ．35D ．35-【解答】解：由题意，2128n =，得7n =． 22711(2)(2)n x x x x∴-=-，其二项展开式的通项2717143177(2)()(1)2rr r r r r r r T x x x ----+=-=-gg g g g 痧； 由1432r -=得4r =，∴展开式中含2x 项的系数是4(1)2-347280=g ð．故选：A ．4．（5分）记[]x 表示不超过x 的最大整数，已知236a b c ==，则[](a bc+= ) A ．2B ．3C ．4D ．5【解答】解：由已知可得：26alg clg =，36blg clh =，则：6623233232222423232323a b lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg c lg lg lg lg lg lg lg lg +++=+=+=++>+=g ， 又32432222152323a b lg lg lg lg c lg lg lg lg +=++<++=++=， ∴[]4a bc+=， 故选：C ．5．（5分）函数()21x xf x x =++的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．【解答】解：1()22111x x x f x x x =+=-+++的定义域为(-∞，1)(1--⋃，)+∞． 21()220(1)x f x ln x ∴'=+>+恒成立成立，()f x ∴在(,1)-∞-，(1,)-+∞单调递增，当0x x >时，()0f x '>，函数单调递增，故排除C ，D ， 当x →-∞时，20x →，11xx →+，()1f x ∴→，故排除B ，故选：A ．6．（5分）元代数学家朱世杰的数学名著《算术启蒙》是中国古代代数学的通论，其中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于“松竹并生”问题的一个程序框图，则计算机输出的结果是( )A ．6B ．5C ．4D ．3【解答】解：模拟程序的运行，可得 第一次执行循环体，可得6464962a =+=，22754b =⨯=，此时a b >； 第二次执行循环体，可得96961442a =+=，254108b =⨯=，此时a b >； 第三次执行循环体，可得1441442162a =+=，2108216b =⨯=，此时a b =， 终止循环，输出n 的值为3． 故选：D ．7．（5分）在ABC ∆中，D ，E 分别为BC ，AC 边上的点，且2BD DC =u u u r u u u r ，若34BE AB AD λ=+u u u r u u u r u u u r，则(λ= ) A ．54-B ．43-C ．45-D ．34-【解答】解：如图，设AE xAC =u u u r u u u r ，且2BD DC =u u u r u u u r，则：BE AE AB =-u u u r u u u r u u u rxAC AB =-u u u r u u u r()x AD DC AB =+-u u u r u u u r u u u r1()2x AD BD AB =+-u u u r u u u r u u u r()2x xAD AD AB AB =+--u u u r u u u r u u u r u u u r3(1)22xx AB AD =-++u u u r u u u r ，Q34 BE AB ADλ=+u uu r u u u r u u u r，∴(1)23324xxλ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得54λ=-．故选：A．8．（5分）设点A、B分别在双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>的两条渐近线1l、2l上，且点A在第一象限，点B在第四象限，1AB l⊥，O为坐标原点，若||OA、||AB、||OB成等差数列，则双曲线C的离心率为()A．2B．5C．3D．6【解答】解：因为||OA、||AB、||OB成等差数列，所以||||2||OA OB AB+=，如图所示：设1l的倾斜角为α，因为OA AB⊥，则||||cos2OA OBα=，||||sin2AB OBα=，于是cos212sin2αα+=，即22cos4sin cosααα=g得1tan2α=，即12ba=，所以离心率222251c bea a==+=故选：B．9．（5分）已知函数()sin()(0f x A x Aωϕ=+>，0ω>，0)ϕπ<<的部分图象如图所示，其中图象最高点和最低点的横坐标分别为12π和712π，图象在y3()f x 有下列四个结论：①()f x 的最小正周期为π；②()f x 的最大值为2；①6x π=-为()f x 的一个零点；④()6f x π+为偶函数． 其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：根据函数的图象：72()1212T πππ=-=，所以2ω=． 由于2122ππϕ⨯+=，解得3πϕ=．由(0)3f =sin 33A π2A =．当6x π=-时，()2sin()0633f πππ-=-+=， 故6x π=-为()f x 的一个零点．由于()2sin(2)3f x x π=+，所以2()2sin(2)2sin(2)6333f x x x ππππ+=++=+不是偶函数．故结论①②③正确． 故选：C ．10．（5分）某单位有800名员工，工作之余，工会积极组织员工参与“日行万步”健身活动．经调查统计，得到全体员工近段时间日均健步走步数（单位：千步）的频率分布直方图如图所示．据直方图可以认为，该单位员工日均健步走步数近似服从正态分布，计算得其方差为6.25．由此估计，在这段时间内，该单位员工中日均健步走步数在2千步至4.5千步的人数约为( )附：若随机变量Z 服从正态分布2(,)N μσ，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，(22)0.9544P Z μσμσ-<<+=，(33)0.9974P Z μσμσ-<<+=．A ．103B ．105C ．107D ．109 【解答】解：由频率分布直方图估计其均值10.0430.0850.1670.4490.16110.1130.02 6.967μ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈．设日均健步数为X ，则~(7,6.25)X N ，2.5a =Q ，则 4.5μσ-=，22μσ-=，1(2 4.5)(0.95440.6826)0.13592P X ∴=-=剟，8000.1359109⨯≈Q ．∴日均健步走步数在2千步至4.5千步的人数约为109人．故选：D ．11．（5分）小王想在某市一住宅小区买套新房，据了解，该小区有若干栋互相平行的平顶楼房，每栋楼房有15层，每层楼高为3米，顶楼有1米高的隔热层，两楼之间相距60米．小王不想买最前面和最后面的楼房，但希望所买楼层全年每天正午都能晒到太阳，为此，小王查找了有关地理资料，获得如下一些信息：①该市的纬度（地面一点所在球半径与赤道平面所成的角）为北纬3634'︒；②正午的太阳直射北回归线（太阳光线与赤道平面所成的角为2326)'︒时，物体的影子最短，直射南回归线（太阳光线与赤道平面所成的角为2326)'︒时，物体的影子最长，那么小王买房的最低楼层应为( ) A ．3B ．4C ．5D ．6【解答】解：依题意：3634232660α=︒'+︒'=︒，则太阳光与地面的夹角为906030θ=︒-︒=︒． 如图所示：（1）（2）根据题意，得到每栋楼从地面到楼顶的高度为46米． 在图（2）中，设46AB =，60BD =，30AEB ∠=︒， 所以在Rt ABE ∆中，463tan30ABBE ==︒，在Rt CDE ∆中，46360DE BE BD =-=-， 所以tan304620311.36CD DE =︒=-≈所以中间的楼房距离地面约11.36米的部分，有些天正午不能晒到太阳． 所以，小王买房的最底层应为5层， 故选：C ．12．（5分）如图，在平面四边形ABCD 中，AD CD ⊥，ABC ∆是边长为3的正三角形．将该四边形沿对角线AC 折成一个大小为120︒的二面角D AC B --，则四面体ABCD 的外接球的表面积为( )A ．12πB ．13πC ．14πD ．15π【解答】解：设四面体ABCD 的外接球的球心为O 点．取AC 的中点E ，连接BE ，上点M 为正ABC ∆的中心，则OM ⊥平面ABC ．AD DC ⊥Q ，则点E 为ACD ∆的外心．OE ∴⊥平面ACD ．Q 二面角D AC B --的大小为120︒，30OEB ∴∠=︒．ABC ∆Q 是边长为3的正三角形，则33BE =3ME ∴=． 在OME ∆中，1cos30MEOE ==︒．在Rt AEO ∆中，22313()12OA =+=．∴四面体ABCD 的外接球的表面积2134()13S ππ=⨯=． 故选：B ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知数列{}n a 满足*12()n n a a n N +-=∈，n S 为数列{}n a 的前n 项和，若1012a =，则10S = 30 ．【解答】解：数列{}n a 满足*12()n n a a n N +-=∈，可得数列{}n a 为等差数列，公差为2d =， 1012a =Q ，11812a ∴+=，解得16a =-，则106045230S =-+⨯=． 故答案为：30．14．（5分）某中学高三年级共有36名教师，将每位教师按1~36编号，其年龄数据如表： 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18年龄 40 48 40 41 33 40 45 42 43 36 31 38 39 43 45 39 38 36编号 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36年龄27 43 41 37 34 42 37 44 42 34 39 45 38 42 53 37 49 39用系统抽样法从这36名教师中抽取一个容量为9的样本，已知在第一组用抽签法抽到的年龄数据为48，则抽取的9名教师年龄的中位数是 40 ．【解答】解：讲36人分成9组，每组4人，因为在第一组抽取的教师年龄为48，其编号为2，在所有样本数据的编号为2，6，10，14，18，22，26，30，34，对应的年龄分别为48，40，36，43，36，37，44，45，37，讲这9个数从小到达排序可得36，36，37，37，40，43，44，45，48，故中位数为40， 故答案为：40．15．（5分）若过点(,0)A a 的任意一条直线都不与曲线:x C y xe =相切，则a 的取值范围是(4,0)- ．【解答】解：设点000(,)x B x x e 为曲线C 上任意一点，(1)x x x y e xe x e '=+=+Q ，则曲线C 在点B 处的切线方程为00000(1)()x x y x e x e x x -=+-，根据题意，切线l 不经过点A ，则关于0x 的方程000000(1)()x x x e x e a x -=+-， 即2000x ax a --=无实根．∴△240a a =+<，解得40a -<<．a ∴的取值范围是(4,0)-．故答案为：(4,0)-．16．（5分）在ABC ∆中，已知顶点(0,1)A ，顶点B 、C 在x 轴上移动，且||2BC =，设点M为ABC ∆的外接圆圆心，则点M 到直线:2250l x y --=【解答】解：如图，设点(,)M x y ，取BC 的中点D ，连结MD ，则MD BC ⊥，且||1BD =，||||MD y =，因为||||MA MB =，则222(1)1x y y +-=+，即22x y =， 则点M 到直线l 的距离22d ===所以当1x =时，d三、解答题：本大题共7个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且有2cos cos cos()sin sin A A C B B C +-=．（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若ABC ∆的内切圆面积为π，当AB AC u u u r u u u rg 的值最小时，求ABC ∆的面积．【解答】解：（Ⅰ）因为在ABC ∆中有2cos cos cos()sin sin A A C B B C +-=， 则cos [cos cos()]sin sin A A C B B C +-=， 所以cos [cos()cos()]sin sin A C B C B B C -++-=， 即2cos sin sin sin sin A B C B C =， 即1cos 2A =， 又(0,)A π∈， 故3A π=；（Ⅱ）由ABC ∆的内切圆面积为π，由余弦定理得222a b c bc =+-，由题意可知ABC ∆的内切圆半径为1，如图，设圆I 为三角形ABC 的内切圆，D ，E 为切点， 可得2AI =，3AD AE ==， 则23b c a +-=，于是222(23)b c b c bc +-=+-， 化简得4334()8bc b c bc +=+…， 所以12bc …或43bc „， 又3b >，3c >， 所以12bc …，即1[62AB AC bc =∈u u u r u u u r g ，)+∞，当且仅当b c =时，AB AC u u u r u u u rg 的最小值为6，此时三角形ABC 的面积：11sin 12sin 33223bc A π=⨯⨯=．18．（12分）如图，在矩形ABCD 中，点E 为边AD 上的点，点F 为边CD 的中点，23AB AE AD ==，现将ABE ∆沿BE 边折至PBE ∆位置，且平面PBE ⊥平面BCDE ． （Ⅰ） 求证：平面PBE ⊥平面PEF ； （Ⅱ） 求二面角E PF C --的大小．【解答】()I 证明：在Rt &DEF ∆中，ED DF =Q ，45DEF ∴∠=︒，在Rt ABE ∆中，AE AB =Q ，45AEB ∴∠=︒， 90BEF ∴∠=︒，EF BE ∴⊥，（3分） Q 平面PBE ⊥平面BCDE ，且平面PBE ⋂平面BCDE BE =，EF ∴⊥平面PBE ，EF ⊂Q 平面PEF ，∴平面PBE ⊥平面PEF ．（6分）()II 解：由题意，不妨设3AD =，以D 为原点，以DC 方向为x 轴，以ED 方向为y 轴，以与平面EBCD 向上的法向量同方向为z 轴，建立坐标系．（7分）Q 在矩形ABCD 中，点E 为边AD 上的点，点F 为边CD 的中点，23AB AE AD ==，∴(0,1,0),(1,2,2),(1,0,0),(2,0,0)E P F C --，∴(1,1,2),(1,2,2),(0,2,2)EP CP FP =-=--=-u u u r u u u r u u u r．设平面PEF 和平面PCF 的法向量分别为11(n x =u u r ，1y ，1)z ，22(n x =u u r，2y ，2)z ． 由10n EP =u u u r r g 及10n FP =u u u r r g ， 得到1111120220x y z y z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，∴1(1,1,2)n =--u u r ．又由20n CP =u u r u u u r g 及20n FP =u u r u u u rg ，得到22222220220x y z y z ⎧--+=⎪⎨-+=⎪⎩，∴2(0,1,2)n =u u r ，（9分）123|cos ,|11212n n <>==+++g ，（11分）综上所述，二面角E PF C --大小为150︒．（12分）19．（12分）如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>与圆22:302yE x y +--=在第一象限相交于点P ，椭圆C 的左、右焦点1F ，2F 都在圆E 上，且线段1PF 为圆E 的直径． （1）求椭圆C 的方程；（2）设过点3)5M 的动直线1与椭圆C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，证明：OA OB u u u r u u u r g为定值，并求出这个定值．【解答】解：（1）在圆E 中，令0y =可得3x =，所以由题意可得3c ， 由圆的方程可得圆的半径为74，所以由题意可得17|2PF =，连接2PF ，因为2F 在圆上，所以212PF F F ⊥， 又有12||23F F c ==，则221212491||||||1242PF PF F F -=-=， 由题意的定义可得：122||||a PF PF =+，可得2a =，2221b a c =-=，所以椭圆的方程为：2214x y +=；（2）当直线的斜率存在时设l 的斜率为k ，则l 的方程为：35y kx =+得： 2234()45x kx +=，即2238(14)8055k x kx ++-=， 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则12238514kx x k +=+g ，12285(14)x x k =-+， 所以21212121212123333()()(1)()5555OA OB x x y y x x kx kx k x x k x x =+=++=+++u u u r u u u r g22228(1)2435(14)5(14)5k k k k +=--+++228(14)315(14)5k k +=-+=-+； 当直线l 的斜率不存在时，直线与y 轴重合，此时点(1,0)A -，(1,0)B ，1OA OB =-u u u r u u u rg， 综上所述：1OA OB =-u u u r u u u rg为定值．20．（12分）已知函数213()2(0)22f x lnx ax x a =+-+…．（1）讨论函数()f x 的极值点的个数；（2）若()f x 有两个极值点1x ，2x ，证明：12()()0f x f x +<．【解答】（1）解：2121()2ax x f x ax x x -+'=+-=，(0,)x ∈+∞．①当0a =时，21()x f x x -+'=．当1(0,)2x ∈时，()0f x '>，所以()f x 在1(0,)2上单调递增；当1(,)2x ∈+∞时，()0f x '<，所以()f x 在1(,)2+∞上单调递减．即函数()f x 只有一个极大值点12，无极小值点． ②当01a <<时，△440a =->， 令()0f x '=，得11ax ±-= 当1111()a ax --+-∈+∞U 时，()0f x '>， 所以()f x 在11)a --，11()a+-+∞上单调递增； 当1111(a ax --+-∈时，()0f x '<，所以()f x 在1111(a a--+-上单调递减．即函数()f x 11a --11a+- ③当1a …时，△440a =-„，此时()0f x '…恒成立， 即()f x 在(0,)+∞上单调递增，无极值点．综上所述，当0a =时，()f x 有且仅有一个极大值点，即只有1个极值点； 当01a <<时，()f x 有一个极大值点和一个极小值点，即有2个极值点；当1a …时，()f x 没有极值点．（2）证明：由（1）可知，当且仅当01a <<时，()f x 有两个极值点1x ，2x ，且1x ，2x 为方程2210ax x -+=的两根， 即122x x a +=，121x x a=， 所以2212121212214242()()()2()3()3222a a f x f x lnx x x x x x ln lna a a a a a+=++-++=+--+=--+．令2()2g a lna a=--+，(0,1)a ∈， 则22122()0ag a a a a-'=-+=>恒成立，所以g （a ）在(0,1)上单调递增， 所以g （a ）g <（1）1220ln =--+=， 即12()()0f x f x +<．21．（12分）湖南省会城市长沙又称星城，是楚文明和湖湘文化的发源地，是国家首批历史文化名城．城内既有岳麓山、橘子洲等人文景观，又有岳麓书院、马王堆汉墓等名胜古迹，每年都有大量游客来长沙参观旅游．为合理配置旅游资源，管理部门对首次来岳麓山景区游览的游客进行了问卷调查，据统计，其中13的人计划只游览岳麓山，另外23的人计划既游览岳麓山又参观马王堆．每位游客若只游览岳麓山，则记1分；若既游览岳麓山又参观马王堆，则记2分．假设每位首次来岳麓山景区游览的游客计划是否参观马王堆相互独立，视频率为概率．（1）从游客中随机抽取3人，记这3人的合计得分为X ，求X 的分布列和数学期望； （2）从游客中随机抽取n 人*()n N ∈，记这n 人的合计得分恰为1n +分的概率为n P ，求12n P P P ++⋯+；（3）从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为n 分的概率为n a ，随着抽取人数的无限增加，n a 是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，说明理由． 【解答】解：（1）据题意，每位游客计划不参观马王堆的概率为13，参加马王堆的概率为23，则X 的可能取值为3，4，5，6， 311(3)()327P X ===， 123212(4)()339P X C ===g g ，223214(5)()339P X C ===g g ，328(6)()327P X ===， X ∴的分布列为：124834565279927EX ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=． （2）Q 这n 人的合计得分为1n +分，则其中只有1人计划参观马王堆， 11212()333n n n n n P C -∴==g g ，设122324623333n n n nS P P P =++⋯+=+++⋯+， 则234112462(1)2333333n nn n nS +-=+++⋯++， ∴两式相减，得：2311111(1)222222223332113333333313n n n n n n n n n S +++-+=+++⋯+-=⨯-=--， 121323(1)23n n n n P P P S ++∴++⋯+==-． （3）在随机抽取的若干人的合计得分为1n -分的基础上再抽取1人， 则这些人的合计得分可能为n 分或1n +分，记“合计得n 分“为事件A ，“合计得1n +分”为事件B ，A 与B 是对立事件， P Q （A ）n a =，P （B ）123n a -=，1213n n a a -∴+=，(2)n …， 即1323()535n n a a --=--，(2)n …，Q 113a =，则数列3{}5n a -是首项为415-，公比为23-的等比数列，∴1342()5153n n a --=--，1342322()()5153553n nn a -∴=--=+-g ，20||13<-<Q ，则当n →∞时，2()03n -→，35n a ∴→，∴随着抽取人数的无限增加，n a 趋近于常数35．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在极坐标系中，已知点P 的极坐标为(2,)2π，曲线C的极坐标方程为ρ=．以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系． （1）求点P 的直角坐标和曲线C 的直角坐标方程；（2）过点Pl ，交曲线C 于A ，B 两点，求||||PA PB g 的值．【解答】解：（1）已知点P 的极坐标为(2,)2π，转换为直角坐标为(0,2)．曲线C的极坐标方程为ρ=．转换为直角坐标方程为2214y x -=，（2）过点Pl，则直线的参数方程为12(2x t t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数）． 把直线的参数方程代入2214y x -=，得到2214()(2)42t ⨯-=，即21804t --=， 所以1232t t =-，则：12||||||32PA PB t t ==g ． [选修4-5：不等式选讲] 23．已知函数()||2f x x =-．（1）求不等式(1)(2)1f x f x -++„的解集；（2）若||2a <，||2b <，证明：()22()f ab f a b +>+．【解答】解：（1）由(1)(2)1f x f x -++„，得|1||2|5x x -++„． 又21,1|1||2|3,2121,2x x x x x x x +⎧⎪-++=-<⎨⎪--<-⎩…„，∴2151x x +⎧⎨⎩„…或21x -<„或2152x x --⎧⎨<-⎩„，32x ∴-剟，∴不等式的解集为[3-，2]．（2）要证()22()f ab f a b +>+，只需证||2(||2)ab a b >+-，即证||42||ab a b +>+．||2a <Q ，||2b <，(||2)(||2)0a b ∴-->，||2(||||)40ab a b ∴-++>，即||42(||||)ab a b +>+．||||||a b a b ++Q …，||42||ab a b ∴+>+， ()22()f ab f a b ∴+>+成立．。
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2020年高考模拟高考数学模拟试卷（理科）（3月份）一、选择题1．设集合A＝{a﹣1，a+1}，B＝{1，2}，C＝{2，3}，若A∩B＝∅，且A∩C≠∅，则a＝（）A．1或3B．2或4C．0D．42．设复数z＝（a+i）（1﹣i）（a∈R），则复数z在复平面内对应的点不可能在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知的展开式中各项的二项式系数之和为128，则其展开式中x2的系数为（）A．280B．﹣280C．35D．﹣354．记[x]表示不超过x的最大整数，已知2a＝3b＝6c，则＝（）A．2B．3C．4D．55．函数的图象大致为（）A．B．C．D．6．元代数学家朱世杰的数学名著《算术启蒙》是中国古代代数学的通论，其中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于“松竹并生”问题的一个程序框图，则计算机输出的结果是（）A．6B．5C．4D．37．在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上的点，且，若，则λ＝（）A．B．﹣C．﹣D．﹣8．设点A、B分别在双曲线C：）的两条渐近线l1、l2上，且点A在第一象限，点B在第四象限，AB⊥l1，O为坐标原点，若|OA|、|AB|、|OB|成等差数列，则双曲线C的离心率为（）A．2B．C．D．9．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，其中图象最高点和最低点的横坐标分别为和，图象在y轴上的截距为．关于函数f（x）有下列四个结论：①f（x）的最小正周期为π；②f（x）的最大值为2；①为f（x）的一个零点；④为偶函数．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．410．某单位有800名员工，工作之余，工会积极组织员工参与“日行万步”健身活动．经调查统计，得到全体员工近段时间日均健步走步数（单位：千步）的频率分布直方图如图所示．据直方图可以认为，该单位员工日均健步走步数近似服从正态分布，计算得其方差为6.25．由此估计，在这段时间内，该单位员工中日均健步走步数在2千步至4.5千步的人数约为（）附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.6826，P （μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）＝0.9974．A．103B．105C．107D．10911．小王想在某市一住宅小区买套新房，据了解，该小区有若干栋互相平行的平顶楼房，每栋楼房有15层，每层楼高为3米，顶楼有1米高的隔热层，两楼之间相距60米．小王不想买最前面和最后面的楼房，但希望所买楼层全年每天正午都能晒到太阳，为此，小王查找了有关地理资料，获得如下一些信息：①该市的纬度（地面一点所在球半径与赤道平面所成的角）为北纬36°34'；②正午的太阳直射北回归线（太阳光线与赤道平面所成的角为23°26'）时，物体的影子最短，直射南回归线（太阳光线与赤道平面所成的角为23°26'）时，物体的影子最长，那么小王买房的最低楼层应为（）A．3B．4C．5D．612．如图，在平面四边形ABCD中，AD⊥CD，△ABC是边长为3的正三角形．将该四边形沿对角线AC折成一个大小为120°的二面角D﹣AC﹣B，则四面体ABCD的外接球的表面积为（）A．12πB．13πC．14πD．15π二、填空题13．已知数列{a n}满足a n+1﹣a n＝2（n∈N*），S n为数列{a n}的前n项和，若a10＝12，则S10＝．14．某中学高三年级共有36名教师，将每位教师按1～36编号，其年龄数据如表：编号123456789101112131415161718年龄404840413340454243363138394345393836编号192021222324252627282930313233343536年龄274341373442374442343945384253374939用系统抽样法从这36名教师中抽取一个容量为9的样本，已知在第一组用抽签法抽到的年龄数据为48，则抽取的9名教师年龄的中位数是．15．若过点A（a，0）的任意一条直线都不与曲线C：y＝xe x相切，则a的取值范围是．16．在△ABC中，已知顶点A（0，1），顶点B、C在x轴上移动，且|BC|＝2，设点M为△ABC的外接圆圆心，则点M到直线l：2x﹣2y﹣5＝0的距离的最小值为．三、解答题：共7个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且有cos2A+cos A cos（C﹣B）＝sin B sin C．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若△ABC的内切圆面积为π，当•的值最小时，求△ABC的面积．18．如图，在矩形ABCD中，点E为边AD上的点，点F为边CD的中点，AB＝AE＝，现将△ABE沿BE边折至△PBE位置，且平面PBE⊥平面BCDE．（Ⅰ）求证：平面PBE⊥平面PEF；（Ⅱ）求二面角E﹣PF﹣C的大小．19．如图，已知椭圆与圆E：在第一象限相交于点P，椭圆C的左、右焦点F1，F2都在圆E上，且线段PF1为圆E的直径．（1）求椭圆C的方程；（2）设过点的动直线1与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，证明：为定值，并求出这个定值．20．已知函数f（x）＝lnx+（a≥0）．（1）讨论函数f（x）的极值点的个数；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）＜0．21．湖南省会城市长沙又称星城，是楚文明和湖湘文化的发源地，是国家首批历史文化名城．城内既有岳麓山、橘子洲等人文景观，又有岳麓书院、马王堆汉墓等名胜古迹，每年都有大量游客来长沙参观旅游．为合理配置旅游资源，管理部门对首次来岳麓山景区游览的游客进行了问卷调查，据统计，其中的人计划只游览岳麓山，另外的人计划既游览岳麓山又参观马王堆．每位游客若只游览岳麓山，则记1分；若既游览岳麓山又参观马王堆，则记2分．假设每位首次来岳麓山景区游览的游客计划是否参观马王堆相互独立，视频率为概率．（1）从游客中随机抽取3人，记这3人的合计得分为X，求X的分布列和数学期望；（2）从游客中随机抽取n人（n∈N*），记这n人的合计得分恰为n+1分的概率为P n，求P1+P2+…+P n；（3）从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为n分的概率为a n，随着抽取人数的无限增加，a n是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，说明理由．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系中，已知点P的极坐标为，曲线C的极坐标方程为ρ＝．以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系．（1）求点P的直角坐标和曲线C的直角坐标方程；（2）过点P作斜率为的直线l，交曲线C于A，B两点，求|PA|•|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x|﹣2．（1）求不等式f（x﹣1）+f（x+2）≤1的解集；（2）若|a|＜2，|b|＜2，证明：f（ab）+2＞2f（a+b）．参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A＝{a﹣1，a+1}，B＝{1，2}，C＝{2，3}，若A∩B＝∅，且A∩C≠∅，则a＝（）A．1或3B．2或4C．0D．4【分析】推导出3∈A，若a﹣1＝3，则a＝4，此时A＝{3，5}，符合要求；若a+1＝3，则a＝2，此时A＝{1，3}，A∩B＝{1}，不合题意，由此能求出a．解：∵集合A＝{a﹣1，a+1}，B＝{1，2}，C＝{2，3}，A∩B＝∅，且A∩C≠∅，∴3∈A，若a﹣1＝3，则a＝4，此时A＝{3，5}，符合要求；若a+1＝3，则a＝2，此时A＝{1，3}，A∩B＝{1}，不合题意，∴a＝4．故选：D．2．设复数z＝（a+i）（1﹣i）（a∈R），则复数z在复平面内对应的点不可能在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】设复数z在复平面内对应点的坐标为（x，y），则，消去参数a，得点P的轨迹方程得答案．解：∵复数z＝（a+i）（1﹣i）（a∈R），设复数z在复平面内对应点的坐标为（x，y），则，消去参数a，得点P的轨迹方程为x+y＝2，∴点P不可能在第三象限．故选：C．3．已知的展开式中各项的二项式系数之和为128，则其展开式中x2的系数为（）A．280B．﹣280C．35D．﹣35【分析】由已知求得n，写出二项展开式的通项，由x的指数为2得r，则答案可求．解：由题意，2n＝128，得n＝7．∴（2x2﹣）n＝（2x2﹣）7，其二项展开式的通项T r+1＝•（2x2）7﹣r•（﹣x﹣1）r＝（﹣1）r•27﹣r••x14﹣3r；由14﹣3r＝2得r＝4，∴展开式中含x2项的系数是（﹣1）423•＝280．故选：A．4．记[x]表示不超过x的最大整数，已知2a＝3b＝6c，则＝（）A．2B．3C．4D．5【分析】由已知可得：alg2＝clg6，blg3＝clh6，再利用对数的运算性质得到4＜＜5，从而求出的值．解：由已知可得：alg2＝clg6，blg3＝clh6，则：＝2+，又，∴＝4，故选：C．5．函数的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据导数和单调性的关系，判断函数的单调性，再判断函数的变化趋势，即可得到答案解：＝2x﹣+1的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞）．∴f′（x）＝2x ln2+＞0恒成立成立，∴f（x）在（﹣∞，﹣1），（﹣1，+∞）单调递增，当x＞x0时，f′（x）＞0，函数单调递增，故排除C，D，当x→﹣∞时，2x→0，→1，∴f（x）→1，故排除B，故选：A．6．元代数学家朱世杰的数学名著《算术启蒙》是中国古代代数学的通论，其中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于“松竹并生”问题的一个程序框图，则计算机输出的结果是（）A．6B．5C．4D．3【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算a，b的值并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：模拟程序的运行，可得第一次执行循环体，可得a＝64+＝96，b＝2×27＝54，此时a＞b；第二次执行循环体，可得a＝96+＝144，b＝2×54＝108，此时a＞b；第三次执行循环体，可得a＝144+＝216，b＝2×108＝216，此时a＝b，终止循环，输出n的值为3．故选：D．7．在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上的点，且，若，则λ＝（）A．B．﹣C．﹣D．﹣【分析】可设，然后根据向量减法、加法的几何意义，以及向量的数乘运算即可得出，从而根据平面向量基本定理即可得出，解出λ即可．解：如图，设，且，则：＝＝＝＝＝，∵，∴，解得．故选：A．8．设点A、B分别在双曲线C：）的两条渐近线l1、l2上，且点A在第一象限，点B在第四象限，AB⊥l1，O为坐标原点，若|OA|、|AB|、|OB|成等差数列，则双曲线C的离心率为（）A．2B．C．D．【分析】由题意可得OA，AB用OB及l1的倾斜角的三角函数值表示，再由等差数列的性质可得，进而可得a，b的关系，求出双曲线的离心率．解：因为|OA|、|AB|、|OB|成等差数列，所以|OA|+|OB|＝2|AB|，如图所示：设l1的倾斜角为α，因为OA⊥AB，则|OA|＝|OB|cos2α，|AB|＝|OB|sin2α，于是cos2α+1＝2sin2α，即2cos2α＝4sinα•cosα得tanα＝，即＝，所以离心率e＝＝＝，故选：B．9．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，其中图象最高点和最低点的横坐标分别为和，图象在y轴上的截距为．关于函数f（x）有下列四个结论：①f（x）的最小正周期为π；②f（x）的最大值为2；①为f（x）的一个零点；④为偶函数．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】首先利用函数的图象求出函数的关系式，进一步求出函数的周期，最值和对奇偶性进行判定．解：根据函数的图象：，所以ω＝2．由于φ＝，解得φ＝．由f（0）＝，整理得，解得A＝2．当x＝﹣时，f（﹣）＝2sin（）＝0，故为f（x）的一个零点．由于f（x）＝2sin（2x+），所以f（x+）＝2sin（2x+）＝2sin（2x+）不是偶函数．故结论①②③正确．故选：C．10．某单位有800名员工，工作之余，工会积极组织员工参与“日行万步”健身活动．经调查统计，得到全体员工近段时间日均健步走步数（单位：千步）的频率分布直方图如图所示．据直方图可以认为，该单位员工日均健步走步数近似服从正态分布，计算得其方差为6.25．由此估计，在这段时间内，该单位员工中日均健步走步数在2千步至4.5千步的人数约为（）附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.6826，P （μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）＝0.9974．A．103B．105C．107D．109【分析】由频率分布直方图估计其均值μ，可得P（2≤X≤4.5），乘以800得答案．解：由频率分布直方图估计其均值μ＝1×0.04+3×0.08+5×0.16+7×0.44+9×0.16+11×0.1+13×0.02＝6.96≈7．设日均健步数为X，则X～N（7，6.25），∵a＝2.5，则μ﹣σ＝4.5，μ﹣2σ＝2，∴P（2≤X≤4.5）＝（0.9544﹣0.6826）＝0.1359，∵800×0.1359≈109．∴日均健步走步数在2千步至4.5千步的人数约为109人．故选：D．11．小王想在某市一住宅小区买套新房，据了解，该小区有若干栋互相平行的平顶楼房，每栋楼房有15层，每层楼高为3米，顶楼有1米高的隔热层，两楼之间相距60米．小王不想买最前面和最后面的楼房，但希望所买楼层全年每天正午都能晒到太阳，为此，小王查找了有关地理资料，获得如下一些信息：①该市的纬度（地面一点所在球半径与赤道平面所成的角）为北纬36°34'；②正午的太阳直射北回归线（太阳光线与赤道平面所成的角为23°26'）时，物体的影子最短，直射南回归线（太阳光线与赤道平面所成的角为23°26'）时，物体的影子最长，那么小王买房的最低楼层应为（）A．3B．4C．5D．6【分析】直接利用解三角形知识的应用求出结果．解：依题意：α＝36°34′+23°26′＝60°，则太阳光与地面的夹角为θ＝90°﹣60°＝30°．如图所示：（1）（2）根据题意，得到每栋楼从地面到楼顶的高度为46米．在图（2）中，设AB＝46，BD＝60，∠AEB＝30°，所以在Rt△ABE中，BE＝，在Rt△CDE中，DE＝BE﹣BD＝46，所以CD＝DE tan30°＝46﹣20≈11.36所以中间的楼房距离地面约11.36米的部分，有些天正午不能晒到太阳．所以，小王买房的最底层应为5层，故选：C．12．如图，在平面四边形ABCD中，AD⊥CD，△ABC是边长为3的正三角形．将该四边形沿对角线AC折成一个大小为120°的二面角D﹣AC﹣B，则四面体ABCD的外接球的表面积为（）A．12πB．13πC．14πD．15π【分析】设四面体ABCD的外接球的球心为O点．取AC的中点E，连接BE，上点M 为正△ABC的中心，则OM⊥平面ABC．由AD⊥DC，则点E为△ACD的外心．可得OE⊥平面ACD．根据二面角D﹣AC﹣B的大小为120°，可得∠OEB＝30°．利用直角三角形的比较关系即可得出．解：设四面体ABCD的外接球的球心为O点．取AC的中点E，连接BE，上点M为正△ABC的中心，则OM⊥平面ABC．∵AD⊥DC，则点E为△ACD的外心．∴OE⊥平面ACD．∵二面角D﹣AC﹣B的大小为120°，∴∠OEB＝30°．∵△ABC是边长为3的正三角形，则BE＝．∴ME＝．在△OME中，OE＝＝1．在Rt△AEO中，OA＝＝．∴四面体ABCD的外接球的表面积S＝4π×＝13π．故选：B．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13．已知数列{a n}满足a n+1﹣a n＝2（n∈N*），S n为数列{a n}的前n项和，若a10＝12，则S10＝30．【分析】数列{a n}满足a n+1﹣a n＝2（n∈N*），可得数列{a n}为等差数列，公差为d＝2，利用通项公式求和公式即可得出．解：数列{a n}满足a n+1﹣a n＝2（n∈N*），可得数列{a n}为等差数列，公差为d＝2，∵a10＝12，∴a1+18＝12，解得a1＝﹣6，则S10＝﹣60+45×2＝30．故答案为：30．14．某中学高三年级共有36名教师，将每位教师按1～36编号，其年龄数据如表：编号123456789101112131415161718年龄404840413340454243363138394345393836编号192021222324252627282930313233343536年龄274341373442374442343945384253374939用系统抽样法从这36名教师中抽取一个容量为9的样本，已知在第一组用抽签法抽到的年龄数据为48，则抽取的9名教师年龄的中位数是40．【分析】先求出所有抽到的教师的编号，再求出所有的年龄，根据中位数的定义即可求出．解：讲36人分成9组，每组4人，因为在第一组抽取的教师年龄为48，其编号为2，在所有样本数据的编号为2，6，10，14，18，22，26，30，34，对应的年龄分别为48，40，36，43，36，37，44，45，37，讲这9个数从小到达排序可得36，36，37，37，40，43，44，45，48，故中位数为40，故答案为：40．15．若过点A（a，0）的任意一条直线都不与曲线C：y＝xe x相切，则a的取值范围是（﹣4，0）．【分析】设切点B（），利用导数写出过切点的切线方程，把A的坐标代入，化为关于x0的一元二次方程，由判别式小于0求解a的取值范围．解：设点B（）为曲线C上任意一点，∵y′＝e x+xe x＝（x+1）e x，则曲线C在点B处的切线方程为，根据题意，切线l不经过点A，则关于x0的方程，即无实根．∴△＝a2+4a＜0，解得﹣4＜a＜0．∴a的取值范围是（﹣4，0）．故答案为：（﹣4，0）．16．在△ABC中，已知顶点A（0，1），顶点B、C在x轴上移动，且|BC|＝2，设点M为△ABC的外接圆圆心，则点M到直线l：2x﹣2y﹣5＝0的距离的最小值为．【分析】设点M（x，y），取BC的中点D，连结MD，则MD⊥BC，且|BD|＝1，||MD|＝|y|，根据外接圆性质可求出点M的运动轨迹，结合点到直线的距离公式转化为二次函数求最值问题即可．解：如图，设点M（x，y），取BC的中点D，连结MD，则MD⊥BC，且|BD|＝1，|MD|＝|y|，因为|MA|＝|MB|，则x2+（y﹣1）2＝y2+1，即x2＝2y，则点M到直线l的距离d＝＝＝，所以当x＝1时，d取最小值，故答案为：．三、解答题：共7个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且有cos2A+cos A cos（C﹣B）＝sin B sin C．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若△ABC的内切圆面积为π，当•的值最小时，求△ABC的面积．【分析】（Ⅰ）直接利用正弦定理和三角函数关系式的恒等变换求出A的值．（Ⅱ）利用余弦定理，向量的数量积，基本不等式和三角形的面积公式求出结果．解：（Ⅰ）因为在△ABC中有cos2A+cos A cos（C﹣B）＝sin B sin C，则cos A[cos A+cos（C﹣B）]＝sin B sin C，所以cos A[﹣cos（C+B）+cos（C﹣B）]＝sin B sin C，即2cos A sin B sin C＝sin B sin C，即cos A＝，又A∈（0，π），故A＝；（Ⅱ）由△ABC的内切圆面积为π，由余弦定理得a2＝b2+c2﹣bc，由题意可知△ABC的内切圆半径为1，如图，设圆I为三角形ABC的内切圆，D，E为切点，可得AI＝2，AD＝AE＝，则b+c﹣a＝2，于是（b+c﹣2）2＝b2+c2﹣bc，化简得4+bc＝4（b+c）≥8，所以bc≥12或bc≤，又b＞，c＞，所以bc≥12，即•＝bc∈[6，+∞），当且仅当b＝c时，•的最小值为6，此时三角形ABC的面积：bc sin A＝×12×sin＝3．18．如图，在矩形ABCD中，点E为边AD上的点，点F为边CD的中点，AB＝AE＝，现将△ABE沿BE边折至△PBE位置，且平面PBE⊥平面BCDE．（Ⅰ）求证：平面PBE⊥平面PEF；（Ⅱ）求二面角E﹣PF﹣C的大小．【分析】（I）由题设条件推导出EF⊥BE，从而得到EF⊥平面PBE，由此能证明平面PBE⊥平面PEF．（II）设AD＝3，以D为原点，以DC方向为x轴，以ED方向为y轴，以与平面EBCD 向上的法向量同方向为z轴，建立坐标系，利用向量法能求出二面角E﹣PF﹣C的大小．【解答】（I）证明：在Rt&△DEF中，∵ED＝DF，∴∠DEF＝45°，在Rt△ABE中，∵AE＝AB，∴∠AEB＝45°，∴∠BEF＝90°，∴EF⊥BE，∵平面PBE⊥平面BCDE，且平面PBE∩平面BCDE＝BE，∴EF⊥平面PBE，∵EF⊂平面PEF，∴平面PBE⊥平面PEF．（II）解：由题意，不妨设AD＝3，以D为原点，以DC方向为x轴，以ED方向为y轴，以与平面EBCD向上的法向量同方向为z轴，建立坐标系．∵在矩形ABCD中，点E为边AD上的点，点F为边CD的中点，AB＝AE＝，∴，∴．设平面PEF和平面PCF的法向量分别为＝（x1，y1，z1），＝（x2，y2，z2）．由及，得到，∴＝．又由•及•，得到，∴＝，，综上所述，二面角E﹣PF﹣C大小为150°．19．如图，已知椭圆与圆E：在第一象限相交于点P，椭圆C的左、右焦点F1，F2都在圆E上，且线段PF1为圆E的直径．（1）求椭圆C的方程；（2）设过点的动直线1与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，证明：为定值，并求出这个定值．【分析】（1）由圆的方程可得与x轴的交点坐标即椭圆的焦点坐标，和圆的半径，由题意可得PF1的值，再由存在求出PF2，再由椭圆的定义可得椭圆的方程；（2）分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论，设直线的方程与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出数量积的值为定值．解：（1）在圆E中，令y＝0可得x＝，所以由题意可得c＝，由圆的方程可得圆的半径为，所以由题意可得PF1|＝，连接PF2，因为F2在圆上，所以PF2⊥F1F2，又有|F1F2|＝2c＝2，则|PF1|＝＝＝，由题意的定义可得：2a＝|PF1|+|PF2|，可得a＝2，b2＝a2﹣c2＝1，所以椭圆的方程为：+y2＝1；（2）当直线的斜率存在时设l的斜率为k，则l的方程为：y＝kx+，代入椭圆的方程可得：x2+4（kx+）2＝4，即（1+4k2）x2+8kx﹣＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣，所以＝x1x2+y1y2＝x1x2+（kx1+）（kx2+）＝（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+＝﹣﹣+＝﹣+＝﹣1；当直线l的斜率不存在时，直线与y轴重合，此时点A（﹣1，0），B（1，0），＝﹣1，综上所述：＝﹣1为定值．20．已知函数f（x）＝lnx+（a≥0）．（1）讨论函数f（x）的极值点的个数；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）＜0．【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性，极值的关系对a进行分类讨论即可求解；（2）结合（1）的讨论及极值存在条件，把所要求解的结论转化为利用函数的性质求解．【解答】（1）解：＝，x∈（0，+∞）．①当a＝0时，．当时，f'（x）＞0，所以f（x）在上单调递增；当时，f'（x）＜0，所以f（x）在上单调递减．即函数f（x）只有一个极大值点，无极小值点．②当0＜a＜1时，△＝4﹣4a＞0，令f'（x）＝0，得．当时，f'（x）＞0，所以f（x）在，上单调递增；当时，f'（x）＜0，所以f（x）在上单调递减．即函数f（x）有一个极大值点，有一个极小值点．③当a≥1时，△＝4﹣4a≤0，此时f'（x）≥0恒成立，即f（x）在（0，+∞）上单调递增，无极值点．综上所述，当a＝0时，f（x）有且仅有一个极大值点，即只有1个极值点；当0＜a＜1时，f（x）有一个极大值点和一个极小值点，即有2个极值点；当a≥1时，f（x）没有极值点．（2）证明：由（1）可知，当且仅当0＜a＜1时，f（x）有两个极值点x1，x2，且x1，x2为方程ax2﹣2x+1＝0的两根，即，，所以＝＝．令，a∈（0，1），则恒成立，所以g（a）在（0，1）上单调递增，所以g（a）＜g（1）＝﹣ln1﹣2+2＝0，即f（x1）+f（x2）＜0．21．湖南省会城市长沙又称星城，是楚文明和湖湘文化的发源地，是国家首批历史文化名城．城内既有岳麓山、橘子洲等人文景观，又有岳麓书院、马王堆汉墓等名胜古迹，每年都有大量游客来长沙参观旅游．为合理配置旅游资源，管理部门对首次来岳麓山景区游览的游客进行了问卷调查，据统计，其中的人计划只游览岳麓山，另外的人计划既游览岳麓山又参观马王堆．每位游客若只游览岳麓山，则记1分；若既游览岳麓山又参观马王堆，则记2分．假设每位首次来岳麓山景区游览的游客计划是否参观马王堆相互独立，视频率为概率．（1）从游客中随机抽取3人，记这3人的合计得分为X，求X的分布列和数学期望；（2）从游客中随机抽取n人（n∈N*），记这n人的合计得分恰为n+1分的概率为P n，求P1+P2+…+P n；（3）从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为n分的概率为a n，随着抽取人数的无限增加，a n是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，说明理由．【分析】（1）据题意，每位游客计划不参观马王堆的概率为，参加马王堆的概率为，X的可能取值为3，4，5，6，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．（2）这n人的合计得分为n+1分，则其中只有1人计划参观马王堆，从而P n＝＝，设S n＝P1+P2+…+P n＝+，利用错位相减法能求出P1+P2+…+P n．（3）在随机抽取的若干人的合计得分为n﹣1分的基础上再抽取1人，则这些人的合计得分可能为n分或n+1分，记“合计得n分“为事件A，“合计得n+1分”为事件B，A与B是对立事件，推导出＝﹣（﹣）n﹣1，由此能求出随着抽取人数的无限增加，a n趋近于常数．解：（1）据题意，每位游客计划不参观马王堆的概率为，参加马王堆的概率为，则X的可能取值为3，4，5，6，P（X＝3）＝＝，P（X＝4）＝＝，P（X＝5）＝＝，P（X＝6）＝（）3＝，∴X的分布列为：X3456P∴EX＝＝5．（2）∵这n人的合计得分为n+1分，则其中只有1人计划参观马王堆，∴P n＝＝，设S n＝P1+P2+…+P n＝+，则＝+…++，∴两式相减，得：＝﹣＝2×﹣＝1﹣，∴P1+P2+…+P n＝S n＝（1﹣）．（3）在随机抽取的若干人的合计得分为n﹣1分的基础上再抽取1人，则这些人的合计得分可能为n分或n+1分，记“合计得n分“为事件A，“合计得n+1分”为事件B，A与B是对立事件，∵P（A）＝a n，P（B）＝，∴a n+，（n≥2），即，（n≥2），∵，则数列{}是首项为﹣，公比为﹣的等比数列，∴＝﹣（﹣）n﹣1，∴a n＝﹣（﹣）n﹣1＝，∵0＜|﹣|＜1，则当n→∞时，（﹣）n→0，∴a n→，∴随着抽取人数的无限增加，a n趋近于常数．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系中，已知点P的极坐标为，曲线C的极坐标方程为ρ＝．以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系．（1）求点P的直角坐标和曲线C的直角坐标方程；（2）过点P作斜率为的直线l，交曲线C于A，B两点，求|PA|•|PB|的值．【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换．（2）利用一元二次方程根和系数的关系的应用求出结果．解：（1）已知点P的极坐标为，转换为直角坐标为（0，2）．曲线C的极坐标方程为ρ＝．转换为直角坐标方程为，（2）过点P作斜率为的直线l，则直线的参数方程为（t为参数）．把直线的参数方程代入，得到4×，即，所以t1t2＝﹣32，则：|PA|•|PB|＝|t1t2|＝32．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x|﹣2．（1）求不等式f（x﹣1）+f（x+2）≤1的解集；（2）若|a|＜2，|b|＜2，证明：f（ab）+2＞2f（a+b）．【分析】（1）根据f（x﹣1）+f（x+2）≤1，可得|x﹣1|+|x+2|≤5，然后利用零点分段法解不等式即可；（2）要证f（ab）+2＞2f（a+b），即证|ab|+4＞2|a+b|，利用不等式的基本性质和基本不等式，可得到|ab|+4＞2|a+b|，从而证明不等式成立．解：（1）由f（x﹣1）+f（x+2）≤1，得|x﹣1|+|x+2|≤5．又|x﹣1|+|x+2|＝，∴或﹣2≤x＜1或，∴﹣3≤x≤2，∴不等式的解集为[﹣3，2]．（2）要证f（ab）+2＞2f（a+b），只需证|ab|＞2（|a+b|﹣2），即证|ab|+4＞2|a+b|．∵|a|＜2，|b|＜2，∴（|a|﹣2）（|b|﹣2）＞0，∴|ab|﹣2（|a|+|b|）+4＞0，即|ab|+4＞2（|a|+|b|）．∵|a|+|b|⩾|a+b|，∴|ab|+4＞2|a+b|，∴f（ab）+2＞2f（a+b）成立．。