最新考前三个月高考数学理科总复习中档大题规范练6不等式选讲
高考数学(理)考前三个月考前抢分必做 中档大题规范练4 含解析
中档大题规范练4 概率与统计1．(2016·北京)A ，B ，C 三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表(单位：小时)：(1)试估计C 班的学生人数；(2)从A 班和C 班抽出的学生中，各随机选取1人，A 班选出的人记为甲，C 班选出的人记为乙．假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率； (3)再从A ，B ，C 三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7,9,8.25(单位：小时)．这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ1，表格中数据的平均数记为μ0，试判断μ0和μ1的大小(结论不要求证明)． 解 (1)C 班学生人数约为100×85＋7＋8＝100×820＝40.(2)设事件A i 为“甲是现有样本中A 班的第i 个人”，i ＝1,2，…，5， 事件C j 为“乙是现有样本中C 班的第j 个人”，j ＝1,2，…，8. 由题意可知P (A i )＝15，i ＝1,2，…，5；P (C j )＝18，j ＝1,2， (8)P (A i C j )＝P (A i )P (C j )＝15×18＝140，i ＝1,2，...，5，j ＝1,2， (8)设事件E 为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”，由题意知， E＝A 1C 1∪A 1C 2∪A 2C 1∪A 2C 2∪A 2C 3∪A 3C 1∪A 3C 2∪A 3C 3∪A 4C 1∪A 4C 2∪A 4C 3∪A 5C 1∪A 5C 2∪A 5C3∪A 5C 4.因此P (E )＝P (A 1C 1)＋P (A 1C 2)＋P (A 2C 1)＋P (A 2C 2)＋P (A 2C 3)＋P (A 3C 1)＋P (A 3C 2)＋P (A 3C 3)＋P (A 4C 1)＋P (A 4C 2)＋P (A 4C 3)＋P (A 5C 1)＋P (A 5C 2)＋P (A 5C 3)＋P (A 5C 4)＝15×140＝38.(3)μ1＜μ0.2．某学校为准备参加市运动会，对本校甲、乙两个田径队中30名跳高运动员进行了测试，并用茎叶图表示出本次测试30人的跳高成绩(单位：cm)．跳高成绩在175 cm 以上(包括175 cm)定义为“合格”，成绩在175 cm 以下定义为“不合格”．鉴于乙队组队晚，跳高成绩相对较弱，为激励乙队队员，学校决定只有乙队中“合格”者才能参加市运动会开幕式旗林队．(1)求甲队队员跳高成绩的中位数；(2)如果将所有的运动员按“合格”与“不合格”分成两个层次，用分层抽样抽取“合格”与“不合格”的人数共5人，则各层应抽取多少人？(3)若从所有“合格”运动员中选取2名，用X 表示所选运动员中甲队能参加市运动会开幕式旗林队的人数，试写出X 的概率分布，并求X 的均值．解 (1)由茎叶图知，甲田径队12名队员的跳高成绩从小到大排列后中间的两个成绩为176、178，故中位数为12(176＋178)＝177.(2)由茎叶图可知，甲、乙两队合格人数为12，不合格人数为18，所以抽取五人，合格人数为530×12＝2，不合格人数为530×18＝3. (3)X ＝0,1,2，P (X ＝0)＝C 24C 212＝111，P (X ＝1)＝C 18C 14C 212＝1633，P (X ＝2)＝C 28C 212＝1433.故X 的概率分布为E (X )＝0×111＋1×1633＋2×1433＝43.3．安排5个大学生到A ，B ，C 三所学校支教，设每个大学生去任何一所学校是等可能的． (1)求5个大学生中恰有2个人去A 校支教的概率；(2)设有大学生去支教的学校的个数为ξ，求ξ的概率分布．解 (1)5个大学生到三所学校支教的所有可能为35＝243(种)，设“恰有2个人去A 校支教”为事件M ， 则有C 25·23＝80(种)， ∴P (M )＝80243.即5个大学生中恰有2个人去A 校支教的概率为80243.(2)由题意得：ξ＝1,2,3,ξ＝1⇒5人去同一所学校，有C 13＝3(种)， ∴P (ξ＝1)＝3243＝181，ξ＝2⇒5人去两所学校，即分为4,1或3,2有C 23·(C 45＋C 35)·A 22＝90(种)，∴P (ξ＝2)＝90243＝3081＝1027，ξ＝3⇒5人去三所学校，即分为3,1,1或2,2,1有(C 35·C 12·12！＋C 25·C 23·12！)·A 33＝150(种)，∴P (ξ＝3)＝150243＝5081.∴ξ 的概率分布为4.甲、乙两人进行定点投篮比赛，在距篮筐3米线内设一点A ，在点A 处投中一球得2分，不中得0分；在距篮筐3米线外设一点B ，在点B 处投中一球得3分，不中得0分，已知甲、乙两人在A 点投中的概率都是12，在B 点投中的概率都是13，且在A ，B 两点处投中与否相互独立，设定甲、乙两人先在A 处各投篮一次，然后在B 处各投篮一次，总得分高者获胜． (1)求甲投篮总得分ξ的概率分布和均值； (2)求甲获胜的概率．解 (1)设“甲在A 点投中”为事件A ，“甲在B 点投中”为事件B ， 根据题意，ξ的可能取值为0,2,3,5，则P (ξ＝0)＝P (A B )＝(1－12)×(1－13)＝13，P (ξ＝2)＝P (A B )＝12×(1－13)＝13，P (ξ＝3)＝P (A B )＝(1－12)×13＝16，P (ξ＝5)＝P (AB )＝12×13＝16.所以ξ的概率分布为E (ξ)＝0×13＋2×13＋3×16＋5×16＝2.(2)同理，乙的总得分η的概率分布为甲获胜包括：甲得2分、3分、5分三种情形，这三种情形之间彼此互斥． 因此，所求事件的概率为P ＝P (ξ＝2)×P (η＝0)＋P (ξ＝3)×P (η<3)＋P (ξ＝5)×P (η<5)＝13×13＋16×(13＋13)＋16×(1－16)＝1336. 5．某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制， 已知所有这些学生的原始成绩均分布在[50,100]内，发布成绩使用等级制各等级划分标准见下表， 规定：A 、B 、C 三级为合格等级，D 为不合格等级.为了解该校高一年级学生身体素质情况， 从中抽取了n 名学生的原始成绩作为样本进行统计， 按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的分组作出频率分布直方图如图1所示， 样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示．(1)求n 和频率分布直方图中x ，y 的值；(2)根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高一学生中任选3人， 求至少有1人成绩是合格等级的概率；(3)在选取的样本中， 从A 、C 两个等级的学生中随机抽取了3名学生进行调研， 记ξ表示所抽取的3名学生中为C 等级的学生人数， 求随机变量ξ的概率分布及均值． 解 (1)n ＝60.012×10＝50，x ＝250×10＝0.004，y ＝1－0.04－0.1－0.12－0.5610＝0.018.(2)成绩是合格等级人数为(1－0.1)×50＝45, 抽取的50人中成绩是合格等级的频率为910，故从该校学生中任选1人， 成绩是合格等级的概率为910，设在该校高一学生中任选3人， 至少有1人成绩是合格等级的事件为A ， 则P (A )＝1－C 03×(1－910)3＝9991 000. (3) 由题意可知C 等级的学生人数为0.18×50＝9，A 等级的学生人数为3, 故ξ的取值为0,1,2,3，则P (ξ＝0)＝C 33C 312＝1220，P (ξ＝1)＝C 19C 23C 312＝27220，P (ξ＝2)＝C 29C 13C 312＝108220＝2755，P (ξ＝3)＝C 39C 312＝84220＝2155，所以ξ的概率分布为E (ξ)＝0×1220＋1×27220＋2×2755＋3×2155＝94.。
2022版考前三个月(全国通用)高考数学理科二轮复习系列——中档大题规范练6 Word版含答案
1.已知函数f (x )＝e x (x 2＋bx ＋c )，且曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋1. (1)求f (x )的解析式； (2)争辩f (x )的单调区间.2.(2021·北京东城区模拟)已知函数f (x )＝12x 2＋2a ln x (a ∈R ).(1)争辩函数f (x )的单调区间；(2)若函数g (x )＝2x ＋f (x )在区间[1,4]上是单调递增函数，求实数a 的取值范围.3.(2021·山东试验中学模拟)设函数f (x )＝x 2＋b ln(x ＋1)，其中b ≠0. (1)求函数f (x )的单调区间；(2)证明：当b ＝1时，对于任意的x 1，x 2∈[1，＋∞)，且x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>52.4.已知函数f (x )＝x 2＋ax (x ≠0，a ∈R ).(1)争辩函数f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f (x )在[2，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围.5.已知函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x .(1)求函数f (x )的极值点；(2)若函数f (x )在区间[2,6]内有极值，求a 的取值范围.6.已知函数f (x )＝ln x －32＋ax，a ∈R .(1)当a ＝1时，求函数f (x )在[4，＋∞)上的最小值； (2)令g (x )＝f (x )＋32－ax.①若方程e 2g (x )＝ln x －f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上有解，求实数a 的取值范围；②若G (k )＝g (k )＋g (k ＋1)，k ≥2，k ∈N *，证明：当n ≥2，n ∈N *时，总有G (2)＋G (3)＋…＋G (n )>43.答案精析中档大题规范练61.解 (1)由于f (x )＝e x (x 2＋bx ＋c )， 所以f ′(x )＝e x [x 2＋(2＋b )x ＋b ＋c ].由于y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋1， 又f ′(0)＝4，所以b ＋c ＝4.又f (0)＝c ＝1，所以b ＝3. 所以f (x )＝e x (x 2＋3x ＋1). (2)由(1)得f (x )＝e x (x 2＋3x ＋1)， 所以f ′(x )＝e x (x 2＋5x ＋4). 令f ′(x )>0，即x 2＋5x ＋4>0， 解得x <－4或x >－1； 令f ′(x )<0，即x 2＋5x ＋4<0， 解得－4<x <－1.综上，f (x )的单调递增区间为(－∞，－4]和[－1，＋∞)，单调递减区间为[－4，－1]. 2.解 (1)由于f (x )＝12x 2＋2a ln x (a ∈R )，所以f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x ＋2a x ＝x 2＋2ax.①当a ≥0时，f ′(x )>0，故f (x )的单调递增区间为(0，＋∞). ②当a <0时，令f ′(x )＝0⇒x 2＋2a ＝0⇒x 2＝－2a ， 解得x ＝－2a 或x ＝－－2a (舍).所以f ′(x )，f (x )随x 的变化状况如下表：由上表可知，函数综上，当a ≥0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)； 当a <0时，f (x )的单调递减区间是(0，－2a ]，单调递增区间是[－2a ，＋∞).(2)由于g (x )＝2x ＋f (x )＝2x ＋12x 2＋2a ln x ，所以g ′(x )＝－2x 2＋x ＋2a x ＝x 3＋2ax －2x 2，由于g (x )＝2x＋f (x )在区间[1,4]上是单调递增函数，所以g ′(x )≥0，即x 3＋2ax －2≥0在区间[1,4]上恒成立，即2a ≥2x －x 2在区间[1,4]上恒成立.设h (x )＝2x－x 2 (x ∈[1,4])，则h ′(x )＝－2x2－2x ＝－⎝⎛⎭⎫2x 2＋2x <0， 所以h (x )在[1,4]上单调递减，则h (x )∈⎣⎡⎦⎤－312，1. 所以2a ≥1，即a ≥12.故实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫12，＋∞.3.(1)解 函数f (x )的定义域为(－1，＋∞)， 求导得f ′(x )＝2x ＋bx ＋1＝2x 2＋2x ＋b x ＋1，令g (x )＝2x 2＋2x ＋b ，①当g (x )＝0在(－1，＋∞)上无解，即b >12时，f (x )在(－1，＋∞)上单调递增.②当g (x )＝0在(－1，＋∞)上有两个不等实根，即2x 2＋2x ＋b ＝0在(－1，＋∞)上有两个不等实根，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－8b >0，g (－1)>0，即0<b <12，f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，－1－1－2b 2上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－1－2b 2，－1＋1－2b 2上单调递减，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1＋1－2b 2，＋∞上单调递增.③当g (x )＝0在(－1，＋∞)上有两个相等的实根，即b ＝12时，f (x )在(－1，＋∞)上单调递增.(2)证明 当b ＝1时，f (x )＝x 2＋ln(x ＋1)，令h (x )＝f (x )－52x ＝x 2＋ln(x ＋1)－52x (x ≥1)，h ′(x )＝2x ＋1x ＋1－52＝(4x ＋3)(x －1)2(x ＋1)，当x ≥1时，h ′(x )≥0，所以函数h (x )在[1，＋∞)上是增函数. 由已知，不妨设1≤x 1<x 2，则h (x 1)<h (x 2)， f (x 1)－52x 1<f (x 2)－52x 2，即f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>52.4.解 (1)当a ＝0时，f (x )＝x 2， 对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f (－x )＝(－x )2＝x 2＝f (x )，∴f (x )为偶函数.当a ≠0时，f (x )＝x 2＋ax (a ≠0，x ≠0)，令x ＝－1，得f (－1)＝1－a . 令x ＝1，得f (1)＝1＋a .∴f (－1)＋f (1)＝2≠0，f (－1)－f (1)＝－2a ≠0， ∴f (－1)≠－f (1)，f (－1)≠f (1).∴函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数. (2)若函数f (x )在[2，＋∞)上为增函数， 则f ′(x )≥0在[2，＋∞)上恒成立， 即2x －ax 2≥0在[2，＋∞)上恒成立，即a ≤2x 3在[2，＋∞)上恒成立， 只需a ≤(2x 3)min ，x ∈[2，＋∞)，∴a ≤16，∴a 的取值范围是(－∞，16]. 5.解 (1)由于f (x )＝12x 2－ax ＋ln x ，所以f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x －a ＋1x ＝x 2－ax ＋1x.令f ′(x )＝0，即x 2－ax ＋1＝0，则Δ＝a 2－4. ①若a 2－4≤0，即－2≤a ≤2时，f ′(x )≥0，所以当－2≤a ≤2时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，无极值点. ②若a 2－4>0，即a <－2或a >2时， 方程x 2－ax ＋1＝0的解为x ＝a ±a 2－42.(ⅰ)当a >2时，0<a －a 2－42<a ＋a 2－42. 所以f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，a －a 2－42和⎣⎢⎡⎭⎪⎫a ＋a 2－42，＋∞，单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －a 2－42，a ＋a 2－42. 所以f (x )的极大值点为a －a 2－42，f (x )的微小值点为a ＋a 2－42. (ⅱ)当a <－2时，a －a 2－42<0，a ＋a 2－42<0. 所以当a <－2时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，无极值点. 综上，当a ≤2时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，无极值点； 当a >2时，f (x )的极大值点为a －a 2－42，f (x )的微小值点为a ＋a 2－42. (2)由于函数f (x )在区间[2,6]内有极值， 所以f ′(x )＝0在区间[2,6]内有解， 所以x 2－ax ＋1＝0在区间[2,6]内有解， 所以a ＝x ＋1x在区间[2,6]内有解.设h (x )＝x ＋1x，对x ∈[2,6]，h ′(x )＝1－1x 2＝x 2－1x2>0，所以h (x )在[2,6]内单调递增.所以h (x )∈⎣⎡⎦⎤52，376.故a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤52，376. 6.解 (1)当a ＝1时，f (x )＝ln x －32＋1x ，当x ∈[4，＋∞)时，f ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x2>0，所以函数f (x )在[4，＋∞)上单调递增，当x ＝4时，f (x )取得最小值f (4)＝ln 4－54.(2)g (x )＝f (x )＋32－ax＝ln x .①由于原方程即e 2ln x ＝32－a x 在⎣⎡⎦⎤12，2上有解，所以x 2＝32－a x 在⎣⎡⎦⎤12，2上有解，所以a ＝－x 3＋32x ，x ∈⎣⎡⎦⎤12，2.令y ＝－x 3＋32x ，x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，则y ′＝－3x 2＋32，x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，由y ′＝0，得x ＝22(舍去－22)，则x ∈⎣⎡⎭⎫12，22时，y ′>0，函数y ＝－x 3＋32x 在⎣⎡⎭⎫12，22上递增，x ∈⎝⎛⎦⎤22，2时，y ′<0，函数y ＝－x 3＋32x 在⎝⎛⎦⎤22，2上递减，所以当x ＝22时，y 取得极大值22. 又x ＝12时，y ＝58，x ＝2时，y ＝－5，所以实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－5，22. ②由于G (k )＝g (k )＋g (k ＋1)＝ln k ＋ln(k ＋1)＝ln k (k ＋1)，k ≥2，k ∈N *.由(1)可知函数f (x )＝ln x －32＋1x ≥f (4)＝ln 4－54>0，即ln x >32－1x 对x ∈[4，＋∞)恒成立，而k (k ＋1)>4，k ≥2，k ∈N *，所以G (k )＝ln k (k ＋1)>32－1k (k ＋1)，k ≥2，k ∈N *恒成立，所以G (2)＋G (3)＋…＋G (n )>32(n －1)－⎝ ⎛⎭⎪⎫12×3＋13×4＋…＋1n (n ＋1)＝32(n －1)－(12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1)＝3(n －1)2－12＋1n ＋1＝3n 2＋1n ＋1－2＝3(n ＋1)2＋1n ＋1－72，n ≥2，n ∈N *恒成立. 又3(n ＋1)2＋1n ＋1－72在[2，＋∞)上递增，且n ＝2时，3(n ＋1)2＋1n ＋1－72＝92＋13－72＝43，所以当n ≥2，n ∈N *时，总有G (2)＋G (3)＋…＋G (n )>43.。
高考数学(理)考前三个月考前抢分必做 中档大题规范练1 含解析
中档大题规范练中档大题规范练1 三角函数1．(2016·浙江)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a cos B .(1)证明：A ＝2B ；(2)若△ABC 的面积S ＝a 24，求角A 的大小． (1)证明 由正弦定理得sin B ＋sin C ＝2sin A cos B ，故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B )＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ，于是sin B ＝sin(A －B )．又A ，B ∈(0，π)，故0＜A －B ＜π，所以B ＝π－(A －B )或B ＝A －B ，因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ，所以A ＝2B .(2)解 由S ＝a 24得12ab sin C ＝a 24， 故有sin B sin C ＝12sin A ＝12sin 2B ＝sin B cos B ， 由sin B ≠0，得sin C ＝cos B .又B ，C ∈(0，π)，所以C ＝π2±B . 当B ＋C ＝π2时，A ＝π2； 当C －B ＝π2时，A ＝π4. 综上，A ＝π2或A ＝π4. 2．(2016·北京)已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx (ω＞0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)求f (x )的单调递增区间．解 (1)f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝2⎝⎛⎭⎫22sin 2ωx ＋22cos 2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4， 由ω＞0，f (x )的最小正周期为π，得2π2ω＝π，解得ω＝1.(2)由(1)得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 令－π2＋2k π≤2x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ， 解得－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π，k ∈Z ， 即f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k ∈Z )． 3．已知函数f (x )＝2cos x (sin x －cos x )＋1，x ∈R .(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)将函数y ＝f (x )的图象向左平移π4个单位后，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )的最大值及取得最大值时x 的集合． 解 (1)f (x )＝2cos x (sin x －cos x )＋1＝sin 2x －cos 2x ＝2sin(2x －π4)， 令2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )， 解得k π－π8≤x ≤k π＋3π8(k ∈Z )， 故函数f (x )的单调递增区间为[k π－π8，k π＋3π8](k ∈Z )． (2)由已知，得g (x )＝2sin(x ＋π4)， ∴当sin(x ＋π4)＝1，即x ＋π4＝2k π＋π2(k ∈Z )， 也即x ＝2k π＋π4(k ∈Z )时，g (x )max ＝ 2. ∴当x ＝2k π＋π4(k ∈Z )时，g (x )的最大值为 2. 4．(2016·四川)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos A a ＋cos B b ＝sin C c. (1)证明：sin A sin B ＝sin C ；(2)若b 2＋c 2－a 2＝65bc ，求tan B . (1)证明 根据正弦定理，可设a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝k (k >0)， 则a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C .代入cos A a ＋cos B b ＝sin C c中，有cos A k sin A ＋cos B k sin B ＝sin C k sin C，变形可得 sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B )．在△ABC 中，由A ＋B ＋C ＝π，有sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ．所以sin A sin B ＝sin C .(2)解 由已知，b 2＋c 2－a 2＝65bc ，根据余弦定理，有 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35. 所以sin A ＝1－cos 2A ＝45. 由(1)知，sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ，所以45sin B ＝45cos B ＋35sin B . 故tan B ＝sin B cos B＝4. 5．已知向量m ＝(3sin x ，cos x )，n ＝(cos x ，cos x )，x ∈R ，设f (x )＝m·n .(1)求函数f (x )的解析式及单调递增区间；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且a ＝1，b ＋c ＝2，f (A )＝1，求△ABC 的面积．解 (1)f (x )＝m·n ＝3sin x cos x ＋cos 2x ＝32sin 2x ＋12cos 2x ＋12＝sin(2x ＋π6)＋12， 由－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ， 可得，－π3＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z ， ∴函数f (x )的单调递增区间为[－π3＋k π，π6＋k π]，k ∈Z . (2)∵f (A )＝1，∴sin(2A ＋π6)＝12， ∵0<A <π，∴π6<2A ＋π6<13π6， ∴2A ＋π6＝5π6，∴A ＝π3. 由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得1＝b 2＋c 2－2bc cos π3＝4－3bc ， ∴bc ＝1，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝34.。
高考数学江苏(理)考前三个月考前抢分必做 中档大题规范练1 Word版含解析
中档大题规范练中档大题规范练1 三角函数1．(2016·浙江)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a cos B .(1)证明：A ＝2B ；(2)若△ABC 的面积S ＝a 24，求角A 的大小． (1)证明 由正弦定理得sin B ＋sin C ＝2sin A cos B ，故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B )＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ，于是sin B ＝sin(A －B )．又A ，B ∈(0，π)，故0＜A －B ＜π，所以B ＝π－(A －B )或B ＝A －B ，因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ，所以A ＝2B .(2)解 由S ＝a 24得12ab sin C ＝a 24， 故有sin B sin C ＝12sin A ＝12sin 2B ＝sin B cos B ， 由sin B ≠0，得sin C ＝cos B .又B ，C ∈(0，π)，所以C ＝π2±B . 当B ＋C ＝π2时，A ＝π2； 当C －B ＝π2时，A ＝π4. 综上，A ＝π2或A ＝π4. 2．(2016·北京)已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx (ω＞0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)求f (x )的单调递增区间．解 (1)f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝2⎝⎛⎭⎫22sin 2ωx ＋22cos 2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4， 由ω＞0，f (x )的最小正周期为π，得2π2ω＝π，解得ω＝1.(2)由(1)得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 令－π2＋2k π≤2x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ， 解得－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π，k ∈Z ， 即f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k ∈Z )． 3．已知函数f (x )＝2cos x (sin x －cos x )＋1，x ∈R .(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)将函数y ＝f (x )的图象向左平移π4个单位后，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )的最大值及取得最大值时x 的集合． 解 (1)f (x )＝2cos x (sin x －cos x )＋1＝sin 2x －cos 2x ＝2sin(2x －π4)， 令2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )， 解得k π－π8≤x ≤k π＋3π8(k ∈Z )， 故函数f (x )的单调递增区间为[k π－π8，k π＋3π8](k ∈Z )． (2)由已知，得g (x )＝2sin(x ＋π4)， ∴当sin(x ＋π4)＝1，即x ＋π4＝2k π＋π2(k ∈Z )， 也即x ＝2k π＋π4(k ∈Z )时，g (x )max ＝ 2. ∴当x ＝2k π＋π4(k ∈Z )时，g (x )的最大值为 2. 4．(2016·四川)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos A a ＋cos B b ＝sin C c. (1)证明：sin A sin B ＝sin C ；(2)若b 2＋c 2－a 2＝65bc ，求tan B . (1)证明 根据正弦定理，可设a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝k (k >0)， 则a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C .代入cos A a ＋cos B b ＝sin C c中，有cos A k sin A ＋cos B k sin B ＝sin C k sin C，变形可得 sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B )．在△ABC 中，由A ＋B ＋C ＝π，有sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ．所以sin A sin B ＝sin C .(2)解 由已知，b 2＋c 2－a 2＝65bc ，根据余弦定理，有 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35. 所以sin A ＝1－cos 2A ＝45. 由(1)知，sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ，所以45sin B ＝45cos B ＋35sin B . 故tan B ＝sin B cos B＝4. 5．已知向量m ＝(3sin x ，cos x )，n ＝(cos x ，cos x )，x ∈R ，设f (x )＝m·n .(1)求函数f (x )的解析式及单调递增区间；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且a ＝1，b ＋c ＝2，f (A )＝1，求△ABC 的面积．解 (1)f (x )＝m·n ＝3sin x cos x ＋cos 2x ＝32sin 2x ＋12cos 2x ＋12＝sin(2x ＋π6)＋12， 由－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ， 可得，－π3＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z ， ∴函数f (x )的单调递增区间为[－π3＋k π，π6＋k π]，k ∈Z . (2)∵f (A )＝1，∴sin(2A ＋π6)＝12， ∵0<A <π，∴π6<2A ＋π6<13π6， ∴2A ＋π6＝5π6，∴A ＝π3. 由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得1＝b 2＋c 2－2bc cos π3＝4－3bc ， ∴bc ＝1，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝34.。
高考理科数学中档大题保分专练18套(经典珍藏解析版)
高考理科数学中档大题保分专练 18 套 目 录
目 录............................................................................................................................... 1 专练一（共 4 道大题）建议用时：40 分钟.................................................................. 2 专练二（共 4 道大题）建议用时：40 分钟.................................................................. 5 专练三（共 4 道大题）建议用时：40 分钟................................................................ 10 专练四（共 4 道大题）建议用时：40 分钟................................................................ 13 专练五（共 4 道大题）建议用时：40 分钟................................................................ 16 专练六（共 4 道大题）建议用时：40 分钟................................................................ 21 专练七（共 4 道大题）建议用时：40 分钟................................................................ 24 专练八（共 4 道大题）建议用时：40 分钟................................................................ 28 专练九（共 4 道大题）建议用时：40 分钟................................................................ 32 专练十（共 4 道大题）建议用时：40 分钟................................................................ 36 专练十一（共 4 道大题）建议用时：40 分钟............................................................ 40 专练十二（共 4 道大题）建议用时：40 分钟............................................................ 44 专练十三（共 4 道大题）建议用时：40 分钟............................................................ 49 专练十四（共 4 道大题）建议用时：40 分钟............................................................ 53 专练十五（共 4 道大题）建议用时：40 分钟..................... 56 专练十六（共 4 道大题）建议用时：40 分钟............................................................ 60 专练十七（共 4 道大题）建议用时：40 分钟............................................................ 63 专练十八（共 4 道大题）建议用时：40 分钟............................................................ 65 独家整理编辑
高考数学二轮复习 中档大题规范练(六)不等式选讲 理
(六)不等式选讲1．(2018·福建省百校模拟)已知函数f (x )＝|x －a |－|x －1|.(1)当a ＝2时，求不等式0<f (x )≤1的解集；(2)若∀x ∈(0，＋∞)，f (x )≤a 2－3，求a 的取值范围．解 (1)当a ＝2时，因为f (x )＝|x －2|－|x －1|≤|(x －2)－(x －1)|＝1，所以f (x )≤1的解集为R ；由f (x )>0，得|x －2|>|x －1|，则|x －2|2>|x －1|2，即x 2－4x ＋4>x 2－2x ＋1，解得x <32. 故不等式0<f (x )≤1的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，32. (2)当a ≤0，x ∈(0，＋∞)时， f (x )＝x －a －|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧1－a ，x ≥1，2x －a －1，0<x <1， 则f (x )max ＝1－a ≤a 2－3， 又a ≤0，所以a ≤－1＋172； 当0<a <1，x ∈[1，＋∞)时，f (x )＝1－a >0>a 2－3，故0<a <1不合题意；当a ≥1，x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝|x －a |－|x －1|≤|(x －a )－(x －1)|＝|a －1|＝a －1，当且仅当0<x ≤1时等号成立，则a 2－3≥a －1，又a ≥1，所以a ≥2.综上，a 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－1＋172∪[2，＋∞)． 2．(2018·滨州、淄博模拟)已知函数f (x )＝|x －2|－|2x ＋1|.(1)解不等式f (x )≤2；(2)若∃b ∈R ，不等式|a ＋b |－|a －b |≥f (x )对∀x ∈R 恒成立，求a 的取值范围．解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3，x ≤－12，1－3x ，－12<x <2，－x －3，x ≥2， 原不等式等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－12，x ＋3≤2或⎩⎪⎨⎪⎧ －12<x <2，1－3x ≤2或⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2，－x －3≤2，解得x ≤－1或－13≤x <2或x ≥2， 综上所述，不等式的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≤－1或x ≥－13. (2)∃b ∈R ，|a ＋b |－|a －b |≥f (x )对∀x ∈R 恒成立等价于(|a ＋b |－|a －b |)max ≥f (x )max .因为|a ＋b |－|a －b |≤|(a ＋b )＋(a －b )|＝2|a |，所以|a ＋b |－|a －b |的最大值为2|a |；当x ≤－12时，f (x )≤52； 当－12<x <2时，－5<f (x )<52； 当x ≥2时，f (x )≤－5，所以f (x )max ＝52， 所以由原不等式恒成立，得2|a |≥52， 解得a ≥54或a ≤－54. 即a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－54∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，＋∞. 3．(2018·咸阳模拟)已知函数f (x )＝|2x ＋1|(x ∈R )．(1)解不等式f (x )≤1；(2)设函数g (x )＝f (x )＋f (x －1)的最小值为m ，且a ＋b ＝m (a ，b >0)，求4a ＋1b的取值范围． 解 (1)由f (x )≤1，即|2x ＋1|≤1，得－1≤2x ＋1≤1，解得x ∈[－1,0]．即不等式的解集为{x |－1≤x ≤0}．(2)g (x )＝f (x )＋f (x －1)＝|2x ＋1|＋|2x －1|≥|2x ＋1－(2x －1)|＝2，当且仅当(2x ＋1)(2x －1)≤0，即－12≤x ≤12时取等号， ∴m ＝2.∴a ＋b ＝2(a ，b >0)，∴4a ＋1b ＝12(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋1b ＝12⎝⎛⎭⎪⎫5＋4b a ＋a b ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋24b a ·a b ＝92， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，b >0，4b a ＝a b ，a ＋b ＝2，即a ＝43，b ＝23时等号成立， 综上，4a ＋1b 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫92，＋∞. 4．(2018·广州模拟)已知函数f (x )＝3|x －a |＋|3x ＋1|，g (x )＝|4x －1|－|x ＋2|.(1)求不等式g (x )<6的解集；(2)若存在x 1，x 2∈R ，使得f (x 1)和g (x 2)互为相反数，求a 的取值范围．解 (1)由题意可得g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ＋3，x ≤－2，－5x －1，－2<x <14，3x －3，x ≥14， 当x ≤－2时，g (x )＝－3x ＋3<6，得x >－1，无解；当－2<x <14时，g (x )＝－5x －1<6，得x >－75， 即－75<x <14；当x ≥14时，g (x )＝3x －3<6，得x <3，即14≤x <3. 综上，g (x )<6的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －75<x <3. (2)因为存在x 1，x 2∈R ，使得f (x 1)＝－g (x 2)成立，所以{y |y ＝f (x )，x ∈R }∩{y |y ＝－g (x )，x ∈R }≠∅，又f (x )＝3|x －a |＋|3x ＋1|≥|(3x －3a )－(3x ＋1)|＝|3a ＋1|，当且仅当(3x －3a )(3x ＋1)≤0时取等号．由(1)可知，g (x )∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－94，＋∞， 则－g (x )∈⎝⎛⎦⎥⎤－∞，94， 所以|3a ＋1|≤94，解得－1312≤a ≤512. 故a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1312，512. 5．(2018·潍坊模拟)已知函数f (x )＝|x ＋4|，不等式f (x )>8－|2x －2|的解集为M .(1)求M ；(2)设a ，b ∈M ，证明：f (ab )>f (2a )－f (－2b )．(1)解 将f (x )＝|x ＋4|代入不等式，整理得|x ＋4|＋|2x －2|>8.①当x ≤－4时，不等式转化为－x －4－2x ＋2>8，解得x <－103，所以x ≤－4； ②当－4<x <1时，不等式转化为x ＋4＋2－2x >8，解得x <－2，所以－4<x <－2；③当x ≥1时，不等式转化为x ＋4＋2x －2>8，解得x >2，所以x >2.综上，M ＝{x |x <－2或x >2}．(2)证明 因为f (2a )－f (－2b )＝|2a ＋4|－|－2b ＋4|≤|2a ＋4＋2b －4|＝|2a ＋2b |， 所以要证f (ab )>f (2a )－f (－2b )，只需证|ab ＋4|>|2a ＋2b |，即证(ab ＋4)2>(2a ＋2b )2，即证a 2b 2＋8ab ＋16>4a 2＋8ab ＋4b 2，即证a 2b 2－4a 2－4b 2＋16>0，即证(a2－4)(b2－4)>0，因为a，b∈M，所以a2>4，b2>4，所以(a2－4)(b2－4)>0成立，所以原不等式成立．。
高考数学(理)考前三个月考前抢分必做 中档大题规范练2 Word版含解析
中档大题规范练2 立体几何与空间向量1．如图，在四棱锥P —ABCD 中，侧面P AD ⊥底面ABCD ，侧棱P A ＝PD ＝2，P A ⊥PD ，底面ABCD 为直角梯形，其中BC ∥AD ，AB ⊥AD ，AB ＝BC ＝1，O 为AD 的中点．(1)求证：PO ⊥平面ABCD ；(2)求B 点到平面PCD 的距离；(3)线段PD 上是否存在一点Q ，使得二面角Q —AC —D 的余弦值为63？若存在，求出PQ QD 的值；若不存在，请说明理由．(1)证明 因为P A ＝PD ＝2，O 为AD 的中点，所以PO ⊥AD ，因为侧面P AD ⊥底面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD .(2)解 以O 为原点，OC ，OD ，OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系O －xyz ，则B (1，－1,0)，C (1,0,0)，D (0,1,0)，P (0,0,1)．PB →＝(1，－1，－1)，设平面PDC 的法向量为u ＝(x ，y ，z )，CP →＝(－1,0,1)，PD →＝(0,1，－1)．则⎩⎪⎨⎪⎧ u ·CP →＝－x ＋z ＝0，u ·PD →＝y －z ＝0，取z ＝1，得u ＝(1,1,1)， B 点到平面PDC 的距离d ＝|BP →·u ||u |＝33. (3)解 假设存在，则设PQ →＝λPD → (0<λ<1)，因为PD →＝(0,1，－1)，所以Q (0，λ，1－λ)，设平面CAQ 的法向量为m ＝(a ，b ，c )，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ·AC →＝0，m ·AQ →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，(λ＋1)b ＋(1－λ)c ＝0， 所以取m ＝(1－λ，λ－1，λ＋1)，平面CAD 的法向量n ＝(0,0,1)，因为二面角Q —AC —D 的余弦值为63， 所以|m·n||m||n |＝63， 所以3λ2－10λ＋3＝0， 所以λ＝13或λ＝3(舍去)，所以PQ QD ＝12. 2．如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ＝2AD ＝2，E 为AB 的中点，F 为D 1E 上的一点，D 1F ＝2FE .(1)证明：平面DFC ⊥平面D 1EC ；(2)求二面角A —DF —C 的大小．(1)证明 以D 为原点，分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则A (1,0,0)，B (1,2,0)，C (0,2,0)，D 1(0,0,2)．∵E 为AB 的中点，∴E 点坐标为(1,1,0)，∵D 1F ＝2FE ，∴D 1F →＝23D 1E →＝23(1,1，－2) ＝(23，23，－43)， DF →＝DD 1→＋D 1F →＝(0,0,2)＋(23，23，－43) ＝(23，23，23)． 设n ＝(x ，y ，z )是平面DFC 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·DF →＝0，n ·DC →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧23x ＋23y ＋23z ＝0，2y ＝0，取x ＝1得平面FDC 的一个法向量n ＝(1,0，－1)．设p ＝(x ，y ，z )是平面ED 1C 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ p ·D 1F →＝0，p ·D 1C →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 23x ＋23y －43z ＝0，2y －2z ＝0，取y ＝1得平面D 1EC 的一个法向量p ＝(1,1,1)．∵n·p ＝(1,0，－1)·(1,1,1)＝0，∴平面DFC ⊥平面D 1EC .(2)解 设q ＝(x ，y ，z )是平面ADF 的法向量，则q ·DF →＝0，q ·DA →＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧23x ＋23y ＋23z ＝0，x ＝0，取y ＝1得平面ADF 的一个法向量q ＝(0,1，－1),设二面角A —DF —C 的平面角为θ，由题中条件可知θ∈(π2，π)， 则cos θ＝－|n·q |n|·|q ||＝－0＋0＋12×2＝－12， ∴二面角A —DF —C 的大小为120°.3．如图所示，在直三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，点D 是BC 的中点．(1)求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值；(2)求平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值．解 (1)以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，D (1,1,0)，A 1(0,0,4)，C 1(0,2,4)，所以A 1B →＝(2,0，－4)，C 1D →＝(1，－1，－4)．因为cos 〈A 1B →，C 1D →〉＝A 1B →·C 1D →|A 1B →||C 1D →|＝1820×18＝31010，所以异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值为31010. (2)设平面ADC 1的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，因为AD →＝(1,1,0)，AC 1→＝(0,2,4)，所以n 1·AD →＝0，n 1·AC 1→＝0，即x ＋y ＝0且y ＋2z ＝0，取z ＝1，得x ＝2，y ＝－2，所以n 1＝(2，－2,1)是平面ADC 1的一个法向量．取平面AA 1B 的一个法向量为n 2＝(0,1,0)，设平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的大小为θ.由|cos θ|＝⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1||n 2|＝29×1＝23， 得sin θ＝53. 因此，平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值为53. 4.如图，在四棱锥P —ABCD 中，平面P AD ⊥底面ABCD ，其中底面ABCD 为等腰梯形，AD ∥BC ，P A ＝AB ＝BC ＝CD ＝2，PD ＝23，P A ⊥PD ，Q 为PD 的中点．(1)证明：CQ ∥平面P AB ；(2)求二面角D —AQ —C 的余弦值．(1)证明 如图所示，取P A 的中点N ，连结QN ，BN .在△P AD 中，PN ＝NA ，PQ ＝QD ，所以QN ∥AD ，且QN ＝12AD . 在△APD 中，P A ＝2，PD ＝23，P A ⊥PD ，所以AD ＝P A 2＋PD 2＝22＋(23)2＝4，而BC ＝2，所以BC ＝12AD . 又BC ∥AD ，所以QN ∥BC ，且QN ＝BC ，故四边形BCQN 为平行四边形，所以BN ∥CQ .又CQ ⊄平面P AB ，BN ⊂平面P AB ，所以CQ ∥平面P AB .(2)解 如图，在平面P AD 内，过点P 作PO ⊥AD 于点O ，连结OB .因为平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，所以PO ⊥平面ABCD .又PO ⊥AD ，AP ⊥PD ，所以PO ＝AP ×PD AD ＝2×234＝3， 故AO ＝AP 2－PO 2＝22－(3)2＝1.在等腰梯形ABCD 中，取AD 的中点M ，连结BM ，又BC ＝2，AD ＝4，AD ∥BC ，所以DM ＝BC ＝2，DM ∥BC ，故四边形BCDM 为平行四边形．所以BM ＝CD ＝AB ＝2.在△ABM 中，AB ＝AM ＝BM ＝2，AO ＝OM ＝1，所以BO ⊥AD .又平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，所以BO ⊥平面P AD .如图，以O 为坐标原点，分别以OB ，OD ，OP 所在直线为x 轴，y轴，z 轴建立空间直角坐标系，则O (0,0,0)，D (0,3,0)，A (0，－1,0)，B (3，0,0)，P (0,0，3)，C (3，2,0)，则AC →＝(3，3,0)．因为Q 为DP 的中点，故Q ⎝⎛⎭⎫0，32，32， 所以AQ →＝⎝⎛⎭⎫0，52，32. 设平面AQC 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ⊥AC →，m ⊥AQ →，可得⎩⎨⎧ m ·AC →＝3x ＋3y ＝0，m ·AQ →＝52y ＋32z ＝0，令y ＝－3，则x ＝3，z ＝5.故平面AQC 的一个法向量为m ＝(3，－3，5)．因为BO ⊥平面P AD ，所以OB →＝(3，0,0)是平面ADQ 的一个法向量．故cos 〈OB →，m 〉＝OB →·m |OB →|·|m |＝333·32＋(－3)2＋52＝337＝33737. 从而可知二面角D —AQ —C 的余弦值为33737. 5．在四棱锥P —ABCD 中，侧面PCD ⊥底面ABCD ，PD ⊥CD ，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ，∠ADC ＝90°，AB ＝AD ＝PD ＝1，CD ＝2.(1)求证：BC ⊥平面PBD ；(2)在线段PC 上是否存在一点Q ，使得二面角Q —BD —P 为45°？若存在，求PQ PC 的值；若不存在，请说明理由． (1)证明 平面PCD ⊥底面ABCD ，PD ⊥CD ，所以PD ⊥平面ABCD ，所以PD ⊥AD .如图，以D 为原点建立空间直角坐标系D －xyz ，则A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,2,0)，P (0,0,1)，DB →＝(1,1,0)，BC →＝(－1,1,0)，所以BC →·DB →＝0，BC ⊥DB ，又由PD ⊥平面ABCD ，可得PD ⊥BC ，因为PD ∩BD ＝D ，所以BC ⊥平面PBD .(2)解 平面PBD 的法向量为BC →＝(－1,1,0)，PC →＝(0,2，－1)，设PQ →＝λPC →，λ∈(0,1)，所以Q (0,2λ，1－λ)，设平面QBD 的法向量为n ＝(a ，b ，c )，DB →＝(1,1,0)，DQ →＝(0,2λ，1－λ)，由n ·DB →＝0，n ·DQ →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，2λb ＋(1－λ)c ＝0， 令b ＝1，所以n ＝(－1,1，2λλ－1)， 所以cos 45°＝|n ·BC →||n ||BC →|＝22 2＋(2λλ－1)2＝22， 注意到λ∈(0,1)，得λ＝2－1，所以在线段PC 上存在一点Q ，使得二面角Q —BD —P 为45°，此时PQ PC＝2－1.。
高考数学总复习 考前三个月 中档大题规范练 6 不等式
6.不等式选讲1.(2017·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1，1]，求a 的取值范围.解 (1)当a ＝1时，不等式f (x )≥g (x )等价于x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0. ①当x <－1时，①式化为x 2－3x －4≤0，无解；当－1≤x ≤1时，①式化为x 2－x －2≤0，从而－1≤x ≤1；当x >1时，①式化为x 2＋x －4≤0，得1<x ≤－1＋172.所以f (x )≥g (x )的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ －1≤x ≤－1＋172.(2)当x ∈[－1，1]时，g (x )＝2，所以f (x )≥g (x )的解集包含[－1，1]等价于当x ∈[－1，1]时，f (x )≥2.又f (x )在[－1，1]上的最小值必为f (－1)与f (1)之一，所以f (－1)≥2且f (1)≥2，得－1≤a ≤1.所以a 的取值范围为[－1，1].2.已知函数f (x )＝||2x －a ||＋x －1， a ∈R .(1)若不等式f (x )≥2－||x －1恒成立，求实数a 的取值范围；(2)当a ＝1时，直线y ＝m 与函数f (x )的图象围成三角形，求m 的取值范围. 解 (1)因为f (x )≥2－||x －1恒成立， 即⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a 2＋|x －1|≥1恒成立，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a2＋|x －1|min ≥1成立， 由⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a 2＋|x －1|≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a 2－x ＋1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a2－1，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪a2－1≥1，解得a ≤0或a ≥4，所以a 的取值范围为(－∞，0]∪[4，＋∞).(2)当a ＝1时， f (x )＝||2x －1||＋x －1＝⎩⎪⎨⎪⎧2－3x ，x ≤12，x ，12＜x ＜1，3x －2，x ≥1，作出f (x )的图象，如图所示.由图象可知，当12＜m ≤1时，直线y ＝m 与函数f (x )的图象围成三角形，故所求m 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1.3.设函数f (x )＝||x ＋2||－x －1.(1)求不等式f (x )>1的解集；(2)若关于x 的不等式f (x )＋4≥||1－2m 有解，求实数m 的取值范围.解 (1)函数f (x )可化为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3，x ≤－2，2x ＋1，－2＜x ＜1，3，x ≥1，当x ≤－2时， f (x )＝－3＜0，不合题意；当－2＜x ＜1时， f (x )＝2x ＋1>1⇒x >0，即0＜x ＜1；当x ≥1时， f (x )＝3>1，即x ≥1.综上，不等式f (x )>1的解集为(0，＋∞).(2)关于x 的不等式f (x )＋4≥||1－2m 有解等价于()f (x )＋4max ≥||1－2m ，由(1)可知，f (x )max ＝3，(也可由||f (x )＝||||x ＋2||－x －1||≤()x ＋2－(x －1)＝3，得f (x )max ＝3)， 即||1－2m ≤7，解得－3≤m ≤4.4.已知f (x )＝||x ＋a ， g (x )＝||x ＋3－x ，记关于x 的不等式f (x )＜g (x )的解集为M .(1)若a －3∈M ，求实数a 的取值范围；(2)若[]－1，1⊆M ，求实数a 的取值范围.解 (1)依题意有||2a －3＜||a －()a －3，若a ≥32，则2a －3＜3，∴32≤a ＜3，若0≤a ＜32，则3－2a ＜3，∴0＜a ＜32，若a ≤0，则3－2a ＜－a －()a －3，无解.综上所述， a 的取值范围为()0，3.(2)由题意可知，当x ∈[]－1，1时，f (x )＜g (x )恒成立，∴||x ＋a ＜3恒成立，即－3－x ＜a ＜3－x ，当x ∈[]－1，1时，－2＜a ＜2.5.已知函数f (x )＝2||x ＋a ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1a ()a ≠0.(1)当a ＝1时，解不等式f (x )＜4；(2)求函数g (x )＝f (x )＋f (－x )的最小值.解 (1)∵ a ＝1，∴原不等式为2||x ＋1||＋x －1＜4，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＜－1，－2x －2－x ＋1＜4或⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x ≤1，2x ＋2－x ＋1＜4或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，2x ＋2＋x －1＜4， ∴－53＜x ＜－1或－1≤x ＜1或∅，∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪⎪⎪⎪－53＜x ＜1.(2)由题意得g (x )＝f (x )＋f (－x )＝2()||x ＋a ＋||x －a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1a ≥2||2a ＋2||a ＝4||a ＋2||a ≥42，当且仅当2||a ＝1||a ，即a ＝±22， 且－22≤x ≤22时，g (x )取最小值4 2.6.已知f (x )＝||x －a ＋||2x ＋1(1)若a ＝1，解不等式f (x )≤3；(2)f (x )≤2a ＋x 在[)a ，＋∞上有解，求a 的取值范围.解 (1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－12，1－x －1－2x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤1，1－x ＋2x ＋1≤3或⎩⎪⎨⎪⎧ x >1，x －1＋2x ＋1≤3，－1≤x ＜－12或－12≤x ≤1或∅，所以原不等式解集为{x |－1≤x ≤1}.(2)因为x ∈[)a ，＋∞，所以f (x )＝||x －a ＋||2x ＋1||＝x －a ＋2x ＋1≤2a ＋x ，推出||2x ＋1≤3a 有解， 所以a ≥0，所以不等式化为2x ＋1≤3a 有解，即2a ＋1≤3a ⇒a ≥1.所以a 的取值范围为[1，＋∞).。
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6.不等式选讲
1.(2017·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|.
(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；
(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1，1]，求a 的取值范围.
解 (1)当a ＝1时，不等式f (x )≥g (x )等价于
x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0. ①
当x <－1时，①式化为x 2－3x －4≤0，无解；
当－1≤x ≤1时，①式化为x 2－x －2≤0，
从而－1≤x ≤1；
当x >1时，①式化为x 2＋x －4≤0，
得1<x ≤－1＋172
. 所以f (x )≥g (x )的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪
－1≤x ≤－1＋172. (2)当x ∈[－1，1]时，g (x )＝2，
所以f (x )≥g (x )的解集包含[－1，1]等价于
当x ∈[－1，1]时，f (x )≥2.
又f (x )在[－1，1]上的最小值必为f (－1)与f (1)之一，
所以f (－1)≥2且f (1)≥2，得－1≤a ≤1.
所以a 的取值范围为[－1，1].
2.已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪2x －a ||＋x －1， a ∈R .
(1)若不等式f (x )≥2－||x －1恒成立，求实数a 的取值范围；
(2)当a ＝1时，直线y ＝m 与函数f (x )的图象围成三角形，求m 的取值范围. 解 (1)因为f (x )≥2－||x －1恒成立，
即⎪⎪⎪⎪
⎪⎪x －a 2＋|x －1|≥1恒成立， 所以⎝ ⎛⎭
⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a 2＋|x －1|min ≥1成立， 由⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a 2＋|x －1|≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a 2－x ＋1＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪a 2－1， 得⎪⎪⎪⎪
⎪⎪a －1≥1， 解得a ≤0或a ≥4，
所以a 的取值范围为(－∞，0]∪[4，＋∞).
(2)当a ＝1时， f (x )＝⎪⎪⎪⎪2x －1||＋x －1＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2－3x ，x ≤12，x ，12＜x ＜1，3x －2，x ≥1，
作出f (x )的图象，如图所示
.
由图象可知，当12
＜m ≤1时，直线y ＝m 与函数f (x )的图象围成三角形， 故所求m 的取值范围为⎝ ⎛⎦
⎥⎤12，1. 3.设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋2||－x －1.
(1)求不等式f (x )>1的解集；
(2)若关于x 的不等式f (x )＋4≥||1－2m 有解，求实数m 的取值范围.
解 (1)函数f (x )可化为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3，x ≤－2，2x ＋1，－2＜x ＜1，
3，x ≥1，
当x ≤－2时， f (x )＝－3＜0，不合题意；
当－2＜x ＜1时， f (x )＝2x ＋1>1⇒x >0，即0＜x ＜1；
当x ≥1时， f (x )＝3>1，即x ≥1.
综上，不等式f (x )>1的解集为(0，＋∞).
(2)关于x 的不等式f (x )＋4≥||1－2m 有解等价于()f (x )＋4max ≥||1－2m ， 由(1)可知，f (x )max ＝3，
(也可由||f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋2||－x －1||≤()x ＋2－(x －1)＝3，得f (x )max ＝3)，
即||1－2m ≤7，
解得－3≤m ≤4.
4.已知f (x )＝||x ＋a ， g (x )＝||x ＋3－x ，记关于x 的不等式f (x )＜g (x )的解集为M .
(1)若a －3∈M ，求实数a 的取值范围；
(2)若[]－1，1⊆M ，求实数a 的取值范围.
解 (1)依题意有||2a －3＜||a －()a －3，
若a ≥32，则2a －3＜3，∴32
≤a ＜3， 若0≤a ＜3，则3－2a ＜3，∴0＜a ＜3， 若a ≤0，则3－2a ＜－a －()a －3，无解.
综上所述， a 的取值范围为()0，3.
(2)由题意可知，当x ∈[]－1，1时，
f (x )＜
g (x )恒成立，
∴||x ＋a ＜3恒成立，
即－3－x ＜a ＜3－x ，
当x ∈[]－1，1时，－2＜a ＜2.
5.已知函数f (x )＝2||x ＋a ＋⎪⎪⎪⎪
⎪⎪x －1a ()a ≠0. (1)当a ＝1时，解不等式f (x )＜4；
(2)求函数g (x )＝f (x )＋f (－x )的最小值.
解 (1)∵ a ＝1，
∴原不等式为2⎪⎪⎪⎪x ＋1||＋x －1＜4，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＜－1，－2x －2－x ＋1＜4
或⎩⎪⎨⎪⎧
－1≤x ≤1，2x ＋2－x ＋1＜4
或⎩
⎪⎨⎪⎧ x >1，2x ＋2＋x －1＜4， ∴－53
＜x ＜－1或－1≤x ＜1或∅， ∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪⎪⎪⎪⎪－53＜x ＜1. (2)由题意得g (x )＝f (x )＋f (－x )
＝2⎝⎛⎭⎫||x ＋a ＋||x －a ＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1a ≥2||2a ＋2||a ＝4||a ＋2||a ≥42，
当且仅当2||a ＝1||a ，即a ＝±22，
且－22≤x ≤22
时，g (x )取最小值4 2. 6.已知f (x )＝||x －a ＋||2x ＋1
(1)若a ＝1，解不等式f (x )≤3；
(2)f (x )≤2a ＋x 在[)a ，＋∞上有解，求a 的取值范围.
解 (1)⎩⎨⎧ x ＜－12，1－x －1－2x ≤3
或⎩⎨⎧ －12
≤x ≤1，1－x ＋2x ＋1≤3
或⎩
⎪⎨⎪⎧
x >1，x －1＋2x ＋1≤3， －1≤x ＜－1或－1≤x ≤1或∅， 所以原不等式解集为{x |－1≤x ≤1}.
(2)因为x ∈[)a ，＋∞，
所以f (x )＝||x －a ＋⎪⎪⎪⎪2x ＋1||＝x －a ＋2x ＋1≤2a ＋x ，推出||2x ＋1≤3a 有解，
所以a ≥0，所以不等式化为2x ＋1≤3a 有解，
即2a ＋1≤3a ⇒a ≥1.
所以a 的取值范围为[1，＋∞).。