乔海燕_qhy_graph2道路与回路

(2) 如果v1,v2,…,vp是一条基本道路，p<n, 则可以扩展这条道路：
(a) v1,vp存在{v1,…,vp}之外的邻接点，可以立即扩展；(b)
存在圈外的结点与圈上某结点邻接，所以，这样的圈可以扩
v1,vp仅与{v1,…,vp}邻接，则存在包含这些点的圈。 由连通性，
展成更长的基本道路，直至p=n.
第二章 道路与回路
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2.1 道路与回路
[有向道路] 有向图G=(V, A) 中，一条有向道路指的是一个首尾
相接的弧的有限非空序列
P = a1 a2 …… ak (k1) 其中 viV ( i =0.. k ), ajA ( j =1..k )
且
aj= <vj1, vj> ( j=1.. k )
2.2 连通性
[可达性] 对于有向图G=(V, A)中，若从 vi 到 vj 存在一条路，则
称从 vi 到 vj 是可达的，或称 vi 可达 vj 。 对无向图 G=(V, E)，结点间的可达性是对称的。
[连通性] 对于无向图G=(V, E)，任意两点之间可达时，称G为 连通的（连通图）。

G中的一个极大连通子图称为G的一个连通分支。
矩阵元素处理次序： p11， p12， p13， p14，
p21， p22， …… p31，…… p41，……
， p44，
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2.2 道路矩阵及Warshall算法
如： p11 = p11 (p1i pi1) = p11 (p11 p11) = 0
p12 = p12 (p1i pi2) = p12 (p11 p12) = 1
阵元素值域为 {0,1}，定义运算：
(A B)ij =aij bij (A B)ij = (aik bkj )
k=1 n
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2.2 道路矩阵的计算
[定义] A(k) = A(k1) A ( k2 )，A(1) = A
注意 A(k) 与Ak 的区别
[定理2-12] 设 Ann 是图G的邻接矩阵，若从vi 到vj存在
[定理2-8] 若G=(V, E)是一个Hamilton图，SV且S，
则 G的子图GS的连通分支数 W(GS) |S|
[证明] 记G中H-回路为C，C中包含了G中所有顶点。 考察CS：每从C中去除属于S的一个顶点，连通分 支数至多增加1（第一次以及当该顶点处于边缘时 操作不会增加连通分支数），故 W(CS) |S|
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2.4 Hamilton 道路
[Hamilton路] 若连通图 G=(V, E) 中存在一条初级道路
（无重复顶点）经过G中每个顶点一次，则称该道
路为G中的一条Hamilton路。存在Hamilton回路 （圈）的图称 为Hamilton图。 Hamilton路经过图的所有顶点一次且仅仅一次。 引入记号：G =(V, E)，SV。从G中去除S中的顶 点及其关联边得到的G的子图记为GS。
0 0 A= 1 1
1 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 0
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2.2 道路矩阵及Warshall算法
(1) i =1
0 0 P= 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0
j =1,2,3,4
增量方向
i =1
P=(pij)nn，其中 pij =
1 若vi 到vj可达 0 其他
称P为图G的道路矩阵（或可达矩阵）。
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2.2 道路矩阵
[算法] 求给定图G的道路矩阵P
设A为G的邻接矩阵，B=A+A2+A3+…+An1，由[定
理2-11]， bij表示由vi至vj ，长度为1或2或…或 n1 的路径数目，即为由vi至vj的全部路径总和。令 pij =
长度为 l 的路，则 [A(l)]ij = 1，否则 [A(l)]ij = 0。
[证明] 对 l 作归纳；或直接引用[定理2-11]。
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2.2 道路矩阵及Warshall算法
[Warshall算法] 设 A nn是图G的邻接矩阵，求G的道路矩阵P。
1. P A
2. for i=1 to n do 3. for j=1 to n do 4. 5. for k=1 to n do pjk pjk (pji pik)
注意定理中对图的连通性的假定；


Euler回路经过图的所有边一次且仅仅一次。
定理对非简单图也成立； 定理的证明过程给出了为一个Euler图构造Euler回路的构造
算法。
[定理2-7] 设连通图G=(V, E)中恰有2个顶点度为奇数，则G存在 Euler道路。 [证明] 连接两个奇度数结点形成Euler图，再删除该边即可。
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2.2 图上的搜索
[广度优先BFS]从u出发，首先检查其所有的 直接后继是否等于ｖ；然后依次检查这些 后继的直接后继，直到找到ｖ或者没有可 遍历顶点。
练习：编写一个使用深度优先或者广度优先 搜索判定两个点之间是否有道路的程序。
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2.3 Euler 回路
[Euler回路] 若连通图 G=(V, E) 中存在一条简单回路

一个图总是由一些连通分支构成的。 G的连通分支数，记
为W(G)。 6
2.2 有向图的连通性
[强连通性]对于有向图G=(V, A)，如果任意两 点之间相互可达，则称G为强连通的. [弱 连通性]对于有向图G=(V, A), 若不考虑弧的 方向后得到的无向图是连通的，则称有向图 G是弱连通的。
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2.2 连通的判定
（无重复边）经过G的所有边，则称该回路为G中
的一条Euler回路。存在Euler回路的图称为Euler图。 [定理2-6-1] 设有连通图G=(V, E)，则下述命题等价： (1) G是一个Euler图； (2) G的每一个顶点的度是偶数； [证明]（见戴一奇教材 p16定理2.3.1）
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2.3 Euler 回路
[定理2-5] G=(V, E)，n=|V|，若对任意 u, v V 且 uv， 都有：Deg(u) + Deg(v)反证法) 设G可分为不连通的两部分G1=(V1, E1)
和G2=(V2, E2)，选取 uV1, vV2 则 Deg(u) <= |V1|1， Deg(v) < |V2|-1， 故 Deg(u) + Deg(v) <= |V1|+ |V2|-2 = n-2，与 Deg(u) + Deg(v) n1 矛盾。
v0 和vk分别称为P的起点和终点，k称为P的长度。在简单图 中，也可记作 P = ( v0 ， v1 ，v2 ，…，vk ) 或
v0 v1 v2 …… vp
2
2.1 简单道路与圈
[简单道路] 若对任意的ij有ai aj ，称之为简单有向道
路。(没有重复边的路径)
[回路] 若 v0 = vn ，称之为封闭的。简单封闭有向道路 （闭迹）称为有向回路。 [初级道路]若对任意的ij有 vi vj ，称之为初级道路/ 基本道路。
1 若bij >0
0 其他
可求得G的道路矩阵 P。 算法复杂度 O(n4)
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2.2 道路矩阵的计算
道路矩阵可以通过二值矩阵的逻辑运算求得。
[定义] 二值元素的逻辑运算：
0 0=0，0 1=1 0=1，1 1=1 0 0=0，0 1=1 0=0，1 1=1
[定义] 二值矩阵的逻辑运算。设有矩阵A = (aij)，B = (bij)，矩
[例] 下图不存在Hamilton圈。
给图的相邻顶点标以A，B，则Hamilton圈包含 相同个数的A,B.
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2.４ Hamilton 道路
[定理2-9] 简单图 G=(V, E)，n=|V|，若对任一对不相邻
顶点 u, vV, uv，有deg(u) + deg(v) n1，则G中
存在一条Hamilton路。 [证明] (见戴一奇教材p18定理2.4.1) 梗概: (1) G是连通的；
p13 = p13 (p1i pi3) = p13 (p11 p13) = 0
…………
结果为
0 0 P= 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0
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2.2 图上的搜索
可以使用搜索的方法判断从一个顶点u到另一 个顶点v是否有路径。 [深度优先DFS]从顶点u出发检查其后继u1是 否ｖ，如果不是，则从u1开始进行深度优先 搜索；如果没有后继,则回溯，直至找到ｖ 或者没有可搜索的顶点。
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2.3 Euler 回路
[有向图的Euler回路] 若有向连通图 G=(V, A) 中存在
一条简单有向回路经过G的所有弧，则称该回路为
G中的一条Euler回路，称该图为Euler有向图。 [定理2-6-2] 设连通有向图G=(V, A)，则下述命题等价： (1) G是一个Euler有向图； (2) G的每一个顶点的入度等于出度； [证明]（略）
初始：pij表示有无长度 为1 的直达路径
计算复杂度 O(n3)
第i次外层循环结束时： pjk表示有中间通过 {v1,v2,…,vi}的路径。
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2.2 道路矩阵及Warshall算法
[例] 图G的邻接矩阵A如右，
使用Warshall算法求G的道
路矩阵P。 [ 解 ] P A
0 0 P= 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0
而G可视为向C中添加边构成，故W(GS) W(CS)
所以 W(GS) |S|
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2.４ Hamilton 图
[例 ] 图 G
6 7 1 2 5 8 3 4