第2章正弦交流电路1
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电工电子技术-第2章 正弦交流电路
区别与一般复数，相量的头顶上一般加符号“·”。 例：正弦量i=14.1sin(ωt+36.9°)A的最大值相量表示为：
•
I m = 14.1∠36.9°A
其有效值相量为：I• = 10∠36.9°A
由于一个电路中各正弦量都是同频率的，所以相量只需 对应正弦量的两要素即可。即模值对应正弦量的最大值或 有效值，幅角对应正弦量的初相。
i u u、i 即时对应！ R
电流、电压的瞬时值表达式
设 i Im sin t u、i 同相！
则 u ImR sin t Um sin t
u、i最大值或有效值之间符
合欧姆定律的数量关系。
Um ImR
或
U IR
•
相量关系式
•
I
U
U0
U
0 I0
RRR
相量图
U
I
（2）电阻元件上的功率关系
3
C -4
D
D 3 j4 第四象限 D 5 arctan 4
3
上式中的j 称为旋转因子，一个复数乘以j相当于在复
平面上逆时针旋转90°；除以j相当于在复平面上顺时针
旋转90°。
※数学课程中旋转因子是用i表示的，电学中为了区别 于电流而改为j。
正弦量的相量表示法
与正弦量相对应的复数形式的电压和电流称为相量。为
乘、除时用极坐标形式比较方便。
在复数运算当中，一定要根据复数所在象
限正确写出幅角的值。如：
+j
B4
A
A 3 j4 第一象限 A 553.1arctan 4 3
B 3 j4 第二象限 B 5180 arctan 4
-3 0
3
+1
3
•
I m = 14.1∠36.9°A
其有效值相量为：I• = 10∠36.9°A
由于一个电路中各正弦量都是同频率的，所以相量只需 对应正弦量的两要素即可。即模值对应正弦量的最大值或 有效值，幅角对应正弦量的初相。
i u u、i 即时对应！ R
电流、电压的瞬时值表达式
设 i Im sin t u、i 同相！
则 u ImR sin t Um sin t
u、i最大值或有效值之间符
合欧姆定律的数量关系。
Um ImR
或
U IR
•
相量关系式
•
I
U
U0
U
0 I0
RRR
相量图
U
I
（2）电阻元件上的功率关系
3
C -4
D
D 3 j4 第四象限 D 5 arctan 4
3
上式中的j 称为旋转因子，一个复数乘以j相当于在复
平面上逆时针旋转90°；除以j相当于在复平面上顺时针
旋转90°。
※数学课程中旋转因子是用i表示的，电学中为了区别 于电流而改为j。
正弦量的相量表示法
与正弦量相对应的复数形式的电压和电流称为相量。为
乘、除时用极坐标形式比较方便。
在复数运算当中，一定要根据复数所在象
限正确写出幅角的值。如：
+j
B4
A
A 3 j4 第一象限 A 553.1arctan 4 3
B 3 j4 第二象限 B 5180 arctan 4
-3 0
3
+1
3
电工电子技术第2章
第2章 正弦交流电路
在交流电路中，因各电流和电压多 +j A 为同一频率的正弦量，故可用有向线段 b r 来表示正弦量的最大值(有效值) Im 、 ψ Um(I、U)和初相ψ ，称为正弦量的相量。 O a +1 在正弦量的大写字母上打“•”表示，如 图2-5 有向线段的表示正弦量 幅值电流、电压相量用 I m、 m表示，有 U • U 效值电流、电压相量用 I 、 表示。将电 U • 路中各电压、电流的相量画在同一坐标 φ I ψ 中，这样的图形称为相量图。 ψ 同频率的u和i可用图2-6相量图表示。 图2-6 u和i的相量图 即 超前 Iφ°，I或 U滞后φ°。 U
第2章 正弦交流电路
2.1
正弦交流电的基本概念
正弦交流电压和电流的大小和方向都按正弦规律 作周期性变化，波形如图2-1a。
u U m s in ( t u ) i I m s in ( t i )
(2-1)
为便于分析，在电路中电压参考方向用“+”、“–” 标出，电流参考方向用实线箭头表示；电压、电流实 际方向用虚线箭头表示如图2-1b、c所示
第2章 正弦交流电路
u Im O φ Ψu Ψi i Um
u
i
t
T
图2-2 u和i相位不等的正弦量波形图
当φ=0º 时，称u、I同相；当φ=180º 时，称u比i反相； 当φ=±90º 时，称u与i正交 。 u i u i
u i
ui
u
i
t
u
i
O a) 同相
t O
b) 反相
O c)正交
t
图2-3 正弦量的同相、反相和正交
第2章 正弦交流电路
正弦交流电路(1)
U 4
U 2 U1 U 2 U 3 U 4 U 5 U 6 0 U1
U 5
U 6
例： i1 6 2 sin(t 30)
i2 8 2 sin(t 60)
求i=i1+i2
i
解： I1 630 5.196 j3
i1 i2
I2 8 60 4 j6.928
I I1 I2 (5.196 j3) (4 j6.928) 9.296 j3.928 10 23.1A
２、旋转矢量 Aej ωt
设A＝ρej θ 则： Aej ωt＝ ρej θej ωt＝ρej（θ＋ ωt）
二、正弦量的几种表示方法
• 正弦量具有幅值、频率及初相位三个基 本特征量，表示一个正弦量就要将这三 要素表示出来。
• 表示一个正弦量可以多种方式，这也正 是分析和计算交流电路的工具。
u １、三角函数表示法：
一、电压电流关系
1 、L中的瞬时电流与电压
基本关系式： u L di dt
i uL
设 i 2 I sin t
则 u L di 2 I L cos t
dt
2 U sin( t 90 )
结论（a） 电感电压、电流有效值的关系为：
UL =ωLIL （b） 电感电压超前电流90°即Ψu =Ψi+90°
反映交变快慢的量
角频率
反映大小的量 X m 正弦量的幅值
反映初始值的量
0 初相位
四、正弦量的三要素
１、周期 T (s) 正弦量完整变化一周所需要的时间
频率 f (Hz) 正弦量在单位时间内变化的周数
角频率 (Rad s ) 正弦量单位时间内变化的弧度数
周期与频率的关系： f 1
T
第2章正弦交流电-2.2单一元件正弦交流电路
③由于电压的初相为45°，而电流的初相为−45º，故电压和电流的 相量图如图所示。 1 U I ＝— 1 ×100×10=500（var） ④Q＝UI＝— m m 2 2
相量图
2.2单一元件正弦交流电路电阻 Nhomakorabea路电感电路
电容电路
1 电容元件
（1）电容参数C
q q＝Cu 或 C＝— u 电容量的单位是F（法[拉]）。 具有参数C的电路元件称电容元件，简称电容。
相量图
③电压、电流的相量图如图所示。
2.2单一元件正弦交流电路
电阻电路
电感电路
电容电路
1 电感元件
（1） 电感参数L
Ψ Ψ=LI 或 L＝— I
电感元件
式中，磁链与电流的比值L叫做线圈的电感量，电感量的单位为H（亨[利]）。 具有L参数的电路元件称电感元件，简称电感。 空心线圈的电感量是一个常数，与通过的电流大小无关，这种电感叫做线性电感。线性 电感的大小只与线圈的形状、尺寸、匝数有关。一般而言，线圈直径的截面积越大，匝数越 密，电感量越大。
p>0，吸收能量
p<0，释放能量
2.2单一元件正弦交流电路
电阻电路
电感电路
电容电路
2 电感交流电路
例题：已知加在L＝10mH电感线圈两端的正弦交流电压u＝100sin(1000t+45º)V，求：①感抗XL； ②线圈中的电流最大值Im和线圈中的电流i；③作电路中电压与电流的相量图；④无功功率Q。 解：①感抗XL＝ωL＝1000×10×10−3＝10Ω Um 100V ②Im＝—＝ ———＝10（A） XL 10Ω φi＝φu−90º＝45º−90º＝−45º i＝10sin(1000t−45º)（A）
电工第2章 正弦交流电路
函数(cos)。 1.正弦量数学表达式
图2-2 正弦交流电波形图
2.1 正弦交流电量及基本概念
(1)最大值 又称为幅值，是正弦量的最大值，用带右下标m的大写 字母表示，如Im、Um、Em分别表示正弦电流、正弦电压、正弦电动 势的最大值。 (2)角频率ω 在单位时间内正弦量所经历的电角度，用ω表示，其单 位为弧度每秒(rad/s)。正弦交流电变化一次所需的时间，称为周期T， 其单位为秒（s），正弦量在单位时间内变化的次数，称为频率f， 其单位为赫[兹](Hz)。
图2-9 纯电阻电路
2.3 单一参数元件的正弦交流电路
(2) 有效值关系 由电流与电压的幅值关系Im= Um /R，两端同除 以 ，可得它们的有效值关系为U=IR (3) 相量关系 因为电流i和电压u均为同频率的正弦量。 相量形式为 2.电阻元件的功率 (1) 瞬时功率 在关联参考方向下，电阻元件的 瞬时功率(用小写字母p表示)：
图2-4 两正弦量的同相与反相
2.1 正弦交流电量及基本概念
例2.1 已知正弦量u=220sin(314t + 30°)V， 试求正弦量的三要素、有效值及变化周期。 解：对照式(2-1)，可知三要素：
2.1 正弦交流电量及基本概念
例2.2 已知正弦电压u和正弦电流i1、i2的瞬时表达式为u = 310sin(ωt -45°)V，，i2=28.2sin(ωt +45°)A，试以电压u为参考量重新写出u和 电流i1、i2的瞬时值表达式。 解：以电压u为参考量， 则电压u的表达式为 由于i1、i2与u的相位差为
2.2 正弦交流电的相量表示方法
2.2.2 正弦量的相量表示法 正弦量和相量是一一对应关系（注意：正弦量和相量不是相等
关系！）。在复平面中，例如相量可用长度为 ，与实轴正向的夹 角为ψ的矢量表示。这种表示相量的图形称为相量图。如图2-7所示
图2-2 正弦交流电波形图
2.1 正弦交流电量及基本概念
(1)最大值 又称为幅值，是正弦量的最大值，用带右下标m的大写 字母表示，如Im、Um、Em分别表示正弦电流、正弦电压、正弦电动 势的最大值。 (2)角频率ω 在单位时间内正弦量所经历的电角度，用ω表示，其单 位为弧度每秒(rad/s)。正弦交流电变化一次所需的时间，称为周期T， 其单位为秒（s），正弦量在单位时间内变化的次数，称为频率f， 其单位为赫[兹](Hz)。
图2-9 纯电阻电路
2.3 单一参数元件的正弦交流电路
(2) 有效值关系 由电流与电压的幅值关系Im= Um /R，两端同除 以 ，可得它们的有效值关系为U=IR (3) 相量关系 因为电流i和电压u均为同频率的正弦量。 相量形式为 2.电阻元件的功率 (1) 瞬时功率 在关联参考方向下，电阻元件的 瞬时功率(用小写字母p表示)：
图2-4 两正弦量的同相与反相
2.1 正弦交流电量及基本概念
例2.1 已知正弦量u=220sin(314t + 30°)V， 试求正弦量的三要素、有效值及变化周期。 解：对照式(2-1)，可知三要素：
2.1 正弦交流电量及基本概念
例2.2 已知正弦电压u和正弦电流i1、i2的瞬时表达式为u = 310sin(ωt -45°)V，，i2=28.2sin(ωt +45°)A，试以电压u为参考量重新写出u和 电流i1、i2的瞬时值表达式。 解：以电压u为参考量， 则电压u的表达式为 由于i1、i2与u的相位差为
2.2 正弦交流电的相量表示方法
2.2.2 正弦量的相量表示法 正弦量和相量是一一对应关系（注意：正弦量和相量不是相等
关系！）。在复平面中，例如相量可用长度为 ，与实轴正向的夹 角为ψ的矢量表示。这种表示相量的图形称为相量图。如图2-7所示
第二章：正弦稳态交流电路
相量的图形，称为相量图。
第2章 正弦稳态交流电路
[例] 若 i1= I1 msin( t+ i1) i2= I2 msin( t+ i2)，
电
画相量图
j •
相
路 分析：根据i1、i2的振幅、初相， I2m
•量
与 可直接画出其相量图。
i2
I1m 图
电 小结：
i1
1
0
子 只有正弦周期量才能用相量表示； 技
第一篇 电路分析
电
第2章 正弦稳态交流电路
路
与 主要内容：
电
子 ➢正弦量的相量表示及相量图
技 ➢简单正弦交流电路分析
术
第2章 正弦稳态交流电路
第一节 正弦稳态交流电路的基本概念
电
正弦交流电路是指含有正弦电源(激励)，且电路各部分
路 所产生的电压电流(响应)均按正弦规律变化的电路。
与 一、正弦量
电
在电路中常见到随时间变化的电压和电流。 如下图所示：
与
例如: i Im sin t
i Im sin( t )
电
t =0时，i0 0
i0 Im sin 不等于零
i 子
i
技
0
t
0
t
术 （2）初相位
t=0 时的相位角称为初相角或初相，规定：
若计时时刻不同，则正弦量初相位不同。
（3）相位差
同频率正弦量的相位角之差
电 或是初相角之差，用 表示。
u
Z R j( X L XC ) 30 j(79.8 - 39.8)
(30 j40) 5053.1o
–
+ u–R
u+–L uC+
第2章(正弦交流电路)
i u
P>0
充电 储存 能量
i
u
放电
i u
p
放电
P<0
释放 能量
充电
(1-41)
无功功率Q：电容瞬时功率所能达到的最大值。用
以衡量电容电路中能量交换的规模。
因为：
p = i u = -2UI sinwt· coswt =-UI· sin2wt
所以：
Q =-UI=-I2 XC =-U2/XC
Q
的单位： 乏、千乏(var、kvar) 电容性无功功率取负值 电感性无功功率取正值
t
i1 i1
j1 = j 2
i1 与 i2 同相
Dj=j1-j20
t
j1
j2
i1
i1 超前于 i2
i2
j1 j2
t
Dj=j1-j20
i1 滞后于 i2
(1-9)
3、正弦量的有效值
最大值 瞬时值
i = Im sin (wt + j )
但是，在工程应用中常用有效值表示交流电
的大小。常用交流电表指示的电压、电流读数，
i
u
P
i
u
释放 能量
i
u
i
u
+
P >0
储存 能量
P <0
+
P >0
P <0
wt
(1-35)
无功功率Q：电感瞬时功率所能达到的最大值。用 以衡量电感电路中能量交换的规模。
因为：
p = i u = 2UI sinwt· coswt =UI· sin2wt
所以：
Q =UI=I2 XL =U2/XL
第2章_正弦交流电路
ψ
+
90
°
- jA
- jA = 1 - 90° × r ψ = r ψ − 90°
三. 正弦量的相量表示法 相量：表示正弦量的复数。 相量：表示正弦量的复数。
相量表示方法: 相量表示方法: 设正弦量: 设正弦量: i = I msin( ω t + ψi )
大写字母上打点， 大写字母上打点，表示相量 模 =正弦量的最大值 & 最大值相量 Im = Imejψi = Im ψi 辐角= 辐角=正弦量的初相角 有效值相量
i1 i3 i2
i2 =
2 I 2 sin ( ω t + ψ 2 ), 求 i3 = i1 + i2
结论： 同频正弦量运算后仍得到同频的正弦量。 结论：●同频正弦量运算后仍得到同频的正弦量。 直接进行正弦量的运算很繁琐。 ●直接进行正弦量的运算很繁琐。 解决办法：把正弦量用相量（复数）表示， 解决办法：把正弦量用相量（复数）表示，先进行复数 运算，求出相量解， 运算，求出相量解，再根据相量解写出正弦量瞬时值表 达式。这种分析方法称为相量法。 达式。这种分析方法称为相量法 相量法。
正弦量的波形
i
Im
ψ
ωt
i = I m sin(ω t + ψ )
幅值（最大值） I m ： 幅值（最大值） 角频率（弧度/ ω ： 角频率（弧度/秒）
特征量: 特征量:
ψ ： 初相角
2.1.1 正弦量的三要素
1. 幅度(最大值)： 幅度(最大值) 最大的瞬时值，对确定的正弦量而言是一个常 最大的瞬时值， 量。最大值必须用带下标m的大写字母表示。 最大值必须用带下标m的大写字母表示。 如：Um、Im。
超前i （1）ϕ >0， u超前 ， 超前 滞后u 或i滞后 滞后
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i1 与 i 同相位 2
1 2
i1 领先于 i2
1 2 0
i1
2
1
i2
t
i1 落后于 i2
第2章 正弦交流电路
在
第2章 正弦交流电路
在
2.3 电阻元件、电感元件与电容元件
2.3.1 电阻元件 R （常用单位：、k 、M ） i 线
i
u R
性 电 阻 非 线 性 电 阻
i 2U C sin(t 90 )
1. 频率相同
2. 相位相差 90° （u 落后
i
90° ）
u
i
I
UC
90
t
U
U
u 2U sin t
i 2U C sin(t 90 )
I
1 I 3. 有效值 I U C 或 U C
定义：
1 XC C
关系：f=1/T
中国电力标准频率：50 Hz 美国：60 Hz 角频率 ：每秒正弦量转过的弧度 （一个周期的弧度为2 ）
2 2f T
(单位：rad/s)
例
已知：f=50 Hz, 求 T和
解：T=1/f=1/50=0.02s=20ms
2f 2 3.14 50 314rad / s
2 2
p u i Ri u / R
小写
p u i Ri u / R
2 2
i
u
ωt
结论：
1.
2.
p
p 0 （耗能元件） p 随时间变化
ωt
3.
p 与 u 2、i 2 成比例
2. 平均功率（有功功率）P：一个周期内的平均值
i
u
R
i u
2 I sin t 2 U sin t
设：
i 2I sin t
u 2 I L sin( t 90 )
2 U sin( t 90 )
1. 频率相同
2. 相位相差 90° （u 领先
i
90 °）
u
i
90
t
IL
U
I
I
u 2 I L sin( t 90 )
2 U sin( t 90 )
第二章
正弦交流电路
第2章 正弦交流电路
在生产及日常生活中，正弦交流电应 用最广泛，它的电压或电流随时间按正弦 规律变化。 交流发电机所产生的电动势大都是正 弦交流电，很多仪器产生的也是正弦信号 。所以，分析研究正弦交流电路具有重要 的实用意义。
第2章 正弦交流电路
正弦交流电之所以得到广泛应用： 首先是因为它容易产生，并且可以利用变压器改变电压， 便于输送和使用。 正弦交流电还具有这样的特点：首先，同频率的正弦量之 和或差仍为同一频率的正弦量。正弦对时间的导数或积分也仍 为同一频率的正弦量。这样，电路各部分的电压和电流波形相 同，这在电工技术上具有重大意义。 其次，正弦交流电变化较平滑，在正常情况下不会引起过 电压而破坏电气设备的绝缘，而非正弦周期交流电中包含有高 次谐波，这些高次谐波往往不利于电气设备的运行。
2.1.2 幅值和有效值:
瞬时值—正弦量任意瞬间的值（用i、u、e表示）
幅 值—瞬时值之中的最大值（用Im、Um、Em表示）
关系：
i Imsinω t
有效值—交流电“i ”的大小等效于直流电“I ”的
热效应。 热效应相当
i Rdt I RT
T 2 0 2
有效值则为：
I 1 T 2 i dt T 0 1 T 2 2 I sin tdt m T 0
U为直流电压时, 以上电路等效为
L短路 U
C断路 R2
L短路
C断路
3-6 电容元件的交流电路
i u
设： u
则： C 基本关系式:
du iC dt
2U sin t
du iC 2UC cos t dt 2U C sin(t 90 )
电容电路中电流、电压的关系
u 2U sin t
I
电感电路中欧姆定律的相量形式
I j X U L
其中含有幅度和相位信息
U
领先！ U
I
u、i 相位不一致 ！
u iL ？
关于感抗的讨论
感抗（XL =ωL ）是频率的函数， 表示电感电路中电
压、电流有效值之间的关系，且只对正弦波有效。
XL
UL I X L
ω
R
结论：纯电感不消耗能量，只和电源进行能量
交换（能量的吞吐）。
3. 无功功率 Q
Q 的定义：电感瞬时功率所能达到的最大值。用 以衡量电感电路中能量交换的规模。
p i u UI sin 2t
Q U I I XL U
2 2
XL
Q 的单位：乏、千乏 (var、kvar)
电感中电流、电压的关系
容抗（Ω ）
则：
U I XC
4. 相ห้องสมุดไป่ตู้关系
u 2U sin t
i 2U C sin(t 90 ) U0 设： U I I90 U C90
I
U 1 则： 90 C I
U
1 X U I 90 jI C C
无源元件小结
理想元件的特性 （u 与 i 的关系）
R
L
C
u R i
di uL dt
du iC dt
实际元件的特性可以用若干理想元件来表示 例： 电感线圈 L ：电感量
R：导线电阻
C：线间分布电容 参数的影响和电路的工作条件有关。
注意 L、C 在不同电路中的作用
R1 U L R2
C
R1
第2章 正弦交流电路
正弦交流电路中的物理现象比直流电路复杂，除 了电阻耗能之外，还有电容和电感中储能的变化。
第2章 正弦交流量的三要素
在直流电路中，电压、电流的大小和方向都 不随时间变化；而在日常生活和生产实践中大量 使用的交流电，其电压、电流的大小和方向均随 时间按正弦规律作周期性变化。
2.1 正弦交流电的三要素:
3. 有效值
定义：
U IL
X L L
U I XL
感抗（Ω ）
则：
4. 相量关系
i 2I sin t u 2 U sin( t 90 )
设：
I I0 U U90 I L90
U
U U 则： 90 L90 I I j 90 I L e ( jX ) U I L
Ru
u i u
伏 - 安 特性
i const
Ru
i const
2-4 电阻元件的交流电路
根据 欧姆定律
u
i
R
u iR
设 u 2 U sin t
u U 则 i 2 sin t 2 I sin t R R
电阻电路中电流、电压的关系
u 2 U sin t u U i 2 sin t 2 I sin t R R
电容电路中欧姆定律的相量形式
I j X U C
电容和结构参数的关系
i u C
介电 常数 极板 面积
C
s
d
不变)
板间 距离
线性电容: C=Const (
非线性电容: C = Const (
不为常数)
电容的储能
电容是一种储能元件, 储存的电场能量为：
1 2 Wc 0 uidt 0 cudu c u 2
t u
dq du （i C ） dt dt
u
i
i
t
i u u i u i
u
p
+
可逆的 能量转换 过程
P <0
+
P >0
P <0
P >0
储存 能量
释放 能量
t
2. 平均功率 P （有功功率）
p i u UI sin 2t
1 T P p dt T 0 1 T U I sin (2t ) dt 0 T 0
u U m sin 2ft 310 sin( 100 0.1 )
0
2.1.3 初相角和相位差:
：正弦波的相位角或相位 （t ）
： t = 0 时的相位，称为初相位或初相角。
i
t
两个同频率正弦量间的相位差φ ( 初相角)
i1
2
1
i2
t
i1 I m1 sin t
交流电的概念 如果电流或电压每经过一定时间 （T ）就重复变 化一次，则此种电流 、电压称为周期性交流电流或 电压。如正弦波、方波、三角波、锯齿波 等。
记做： u(t) = u(t + T )
u
u t
T T
t
正弦交流电路
如果在电路中电动势的大小与方向均随时间按 正弦规律变化，由此产生的电流、电压大小和方向 也是正弦的，这样的电路称为正弦交流电路。 正弦交流电的优越性： 便于传输； 便于运算；
解: 采用有效值相量。
3.3.3 电容元件 C
i
单位电压下存储的电荷 （单位：F, F, pF）
u
++ ++ +q
-- --
-q
q C
u
+
电容符号
_
无极性 有极性
电容上电流、电压的关系
i
u