数学题型复习题型八二次函数综合题类型二与面积有关的问题练习

类型二与面积有关的问题1. 如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c的图象与x轴的一个交点为B(5，0)，另一个交点为A，且与y轴交于点C(0，5)．(1)求直线BC与抛物线的解析式；(2)若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；(3)在(2)的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，△ABN的面积为S2，且S1＝6S2，求点P的坐标．第1题图2. (2018原创)如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝12x 2－2x －6与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 左侧)，与y 轴交于点T ，抛物线顶点为C . (1)求四边形OTCB 的面积；(2)如图②，抛物线的对称轴与x 轴交于点D ，线段EF 与PQ 长度均为2，线段EF 在线段DB 上运动，线段PQ 在y 轴上运动，EE ′，FF ′分别垂直于x 轴，交抛物线于点E ′，F ′，交BC 于点M ，N .请求出ME ′＋NF ′的最大值，并求当ME ′＋NF ′值最大时，四边形PNMQ 周长的最小值；(3)如图③，连接AT ，将△OAT 沿x 轴向右平移得到△O ′A ′T ′，当T ′与直线BC 的距离为55时，求△O ′A ′T ′与△BCD 的重叠部分面积．第2题图3. (2018原创)如图①，二次函数y ＝12x 2－12x ＋m 的图象交x 轴于B 、C 两点，一次函数y＝ax ＋b 的图象过点B ，与抛物线相交于另一点A (4，3)． (1)求m 的值及一次函数的解析式；(2)若点P 为抛物线上的一个动点，且在直线AB 下方，过P 作PQ ∥x 轴，且PQ ＝4(点Q 在点P 右侧)，以PQ 为一边作矩形PQEF ，且点E 在直线AB 上；点M 是抛物线上另一个动点，且4S △BCM ＝5S 矩形PQEF .当矩形PQEF 的周长最大时，求点P 和点M 的坐标；(3)如图②，在(2)的结论下，连接AP 、BP ，设QE 交x 轴于点D ，现将矩形PQEF 沿射线DB 以每秒1个单位长度的速度平移，当点D 到达点B 时停止．记平移时间为t ，平移后的矩形PQEF 为P ′Q ′E ′F ′，且Q ′E ′分别交直线AB 、x 轴于点N 、D ′，设矩形P ′Q ′E ′F ′与△ABP 的重叠部分面积为S .当NA ＝58ND ′时，求S 的值．第3题图4. (2017重庆八中二模)如图，抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点D ，C 关于抛物线的对称轴对称，直线AD 与y 轴相交于点E .(1)求直线AD 的解析式；(2)如图①，直线AD 上方的抛物线上有一点F ，过点F 作FG ⊥AD 于点G ，作FH 平行于x 轴交直线AD 于点H ，求△FGH 周长的最大值；(3)如图②，点M 是抛物线的顶点，点P 是y 轴上一动点，点Q 是坐标平面内一点，四边形APQM 是以PM 为对角线的平行四边形．点Q ′与点Q 关于直线AM 对称，连接MQ ，PQ .当△PMQ ′与▱APQM 重合部分的面积是▱APQM 面积的14时，求▱APQM 的面积．第4题图答案1. 解：(1)设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b ，把点B (5，0)和点C (0，5)代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧5k ＋b ＝0b ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1b ＝5，∴直线BC 的解析式是y ＝－x ＋5，把点B (5，0)和点C (0，5)代入y ＝x 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧25＋5b ＋c ＝0c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－6c ＝5，∴抛物线的解析式是：y ＝x 2－6x ＋5. (2)设M (x , x 2－6x ＋5)，N (x ，－x ＋5)，MN ＝(－x ＋5)－(x 2－6x ＋5)＝－x 2＋5x＝－(x －52)2＋254(1＜x ＜5)，∵－1＜0，∴抛物线开口向下，MN 有最大值， 当x ＝52时，MN 最大值＝254.(3)如解图，设NM 交x 轴于点E ，在直线y ＝－x ＋5中，当x ＝52时，y ＝－x ＋5＝52，第1题解图∴当MN 最大时，N (52，52)，即NE ＝52，在抛物线y ＝x 2－6x ＋5中，当y ＝0时，x 2－6x ＋5＝0，解得x 1＝1，x 2＝5，∴A (1，0)，B (5，0)， ∴AB ＝5－1＝4，根据题意，S 2＝12AB ·EN ＝12×4×52＝5，∴S 1＝6S 2＝30，BC ＝52＋52＝52，∴▱CBPQ 的边BC 上的高h ＝S 1BC ＝3052＝32， 点P 在x 轴下方，则过点C 作CK ⊥PQ 所在直线l ，垂足为K ，如解图，则CK 的长为32， 直线l 交y 轴于点H ，根据题意，由于OC ＝OB ，则△CKH 是等腰直角三角形， ∴CH ＝2CK ＝6，∴OH ＝CH －OC ＝6－5＝1，即H (0，－1)， ∵l ∥BC ，且与y 轴交点纵坐标为－1， ∴直线l 的解析式是y ＝－x －1.列方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2－6x ＋5y ＝－x －1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2y 1＝－3，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝3y 2＝－4，∴点P 的坐标为：(2，－3)或(3，－4)． 2. 解：(1)如解图①，连接OC ， ∵y ＝12x 2－2x －6＝12(x －2)2－8，∴抛物线的顶点坐标为C (2，－8)，对称轴为x ＝2， 令y ＝0，即12x 2－2x －6＝0，解得x 1＝－2，x 2＝6， ∴A (－2，0)，B (6，0)，∴OT ＝6，OB ＝6，∴S 四边形OTCB ＝S △OTC ＋S △OBC ＝12×6×2＋12×6×8＝30.第2题解图①(2)如解图②，设E (m ，0)， ∴F (m ＋2，0)， ∵B (6，0)，C (2，－8)， ∴直线BC 解析式为y ＝2x －12， ∵EE ′⊥x 轴，FF ′⊥x 轴，∴M (m ，2m －12)，E ′(m ，12m 2－2m －6)，N (m ＋2，2m －8)，F ′(m ＋2，12m 2－8)，∴ME ′＝－12m 2＋4m －6，NF ′＝－12m 2＋2m ，∴ME ′＋NF ′＝－12m 2＋4m －6－12m 2＋2m ＝－(m －3)2＋3，∴当m ＝3时，ME ′＋NF ′有最大值，最大值为3， ∴E (3，0)，F (5，0)， ∴M (3，－6)，N (5，－2)， ∴MN ＝25，C 四边形PNMQ ＝PN ＋MN ＋PQ ＋QM ， MN 与PQ 的长度不变，∴当PN ＋QM 的值最小时，四边形PNMQ 周长最小， 如解图②，将点M 向上平移2个单位，对应点为G ， ∴G (3，－4)，第2题解图②作点G 关于y 轴的对称点G ′，连接NG ′，NG ′与y 轴的交点为P ，则G ′(－3，－4)， 此时PG ＋PN 的值最小，即PN ＋QM ＝G ′N 的值最小， ∴G ′N ＝217，∴C 四边形PNMQ 最小值＝217＋25＋2. (3)∵C (2，－8)，B (6，0)， ∴BC ＝45，BD ＝4，CD ＝8.如解图③，连接TT ′，并延长交BC 于点R ，过T ′作T ′S ⊥BC 于点S ，第2题解图③∵T ′到BC 的距离为55，∴T ′S ＝55， 易证△T ′RS ∽△CBD ，∴T ′R CB ＝T ′SCD，∴T ′R ＝T′S·CB CD ＝12.∵TT ′∥x 轴， ∴R (3，－6)，∴T ′1(52，－6)，T ′2(72，－6)，①如解图④，当T ′在BC 的左侧时，即T ′(52，－6)在△BCD 内部，第2题解图④设A ′T ′与CD 的交点为G ，∴△A ′O ′T ′与△BCD 重叠部分为四边形GDO ′T ′， 则△A ′GD ∽△A ′T ′O ′， ∴O ′(52，0)，∴A ′D ＝32，∴GD T ′O ′＝A ′DA ′O ′， ∴GD ＝92，∴DO ′＝12，∴S 重叠＝(GD ＋T ′O ′)×12×12＝218；②如解图⑤，当T ′在BC 的右侧时，即T ′(72，－6)在△BCD 外部，设A ′T ′与CD ，BC分别交于J ，K 两点，T ′O ′与直线BC 交于点H . ∴O ′(72，0)，A ′(32，0)，H (72，－5)，第2题解图⑤∴直线A ′T ′的解析式为y ＝－3x ＋92，当x ＝2时，y ＝－6＋92＝－32.∴点J (2，－32)，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －12y ＝－3x ＋92， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3310y ＝－275， ∴点K (3310，－275)，∴S 重叠＝S △BCD －S △CJK －S △BHO ′＝12BD ·CD －12JC ·(3310－2)－12BO ′·O ′H＝12×4×8－12×(8－32)×(3310－2)－12×(6－72)×5 ＝16－16940－254＝22140，∴重叠面积为218或22140.3. 解：(1)∵点A (4，3)在二次函数y ＝12x 2－12x ＋m 的图象上，∴12×16－12×4＋m ＝3，解得m ＝－3， 则二次函数的解析式为y ＝12x 2－12x －3，令y ＝0，得12x 2－12x －3＝0，解得x 1＝－2，x 2＝3，则点B 的坐标为(－2，0)，点C 的坐标为(3，0)， ∵A (4，3)，B (－2，0)在一次函数y ＝ax ＋b 的图象上，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋b ＝3－2a ＋b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12b ＝1， ∴一次函数的解析式为y ＝12x ＋1.(2)∵矩形PQEF 的周长＝2(PQ ＋EQ )＝8＋2EQ ，要使周长最大，EQ 边长最大即可． 设P (p ，12p 2－12p －3)，－2＜p ＜4，∴Q (p ＋4，12p 2－12p －3)，E (p ＋4，12p ＋3)，∴EQ ＝12p ＋3－(12p 2－12p －3)＝－12(p －1)2＋132，∴当p ＝1时，EQ 取最大值132，则点P 的坐标为(1，－3)， 此时S ▱PQEF ＝4×132＝26，设△BCM 中BC 边上对应的高为h ，由4S △BCM ＝5S 矩形PQEF ， 得4×12·BC ·h ＝5×26，∵BC ＝5，∴h ＝13.设M 点的横坐标为x ，依题意有⎪⎪⎪⎪⎪⎪12x 2－12x －3＝13，解得x ＝1±1292，则点M 的坐标为(1＋1292，13)或(1－1292，13)．∴综上，点P 坐标为(1，－3)点M 坐标为(1＋1292，13)或(1－1292，13)．(3)①当点N 在线段AE 上时，如解图①，有DD ′＝t ，OD ′＝5－t ，D ′(5－t ，0)，N (5－t ，－12t ＋72)，过点A 作AH ⊥ND ′，第3题解图①∴AH ∥x 轴，∴NH ＝－12t ＋72－3＝－12t ＋12，设直线y ＝12x ＋1与y 轴交于点R ，则R (0，1)，∴OR ＝1，BR ＝5，∴sin ∠RBO ＝15.∵AH ∥x 轴，∴∠NAH ＝∠RBO ，∴sin ∠NAH ＝15，∴NH NA ＝15， ∴NA ＝5(－12t ＋12)．由NA ＝58ND ′， ∴5(－12t ＋12)＝58(－12t ＋72)，解得t ＝17.设直线BP 的解析式为y ＝kx ＋b ′，过点B (－2，0)，P (1，－3)，则⎩⎪⎨⎪⎧－2k ＋b′＝0k ＋b′＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1b′＝－2，∴直线BP 的解析式为y ＝－x －2，若直线BP 与P ′F ′相交于点I ， 则点I 的坐标为(67，－207)；若直线AB 与P ′F ′相交于点J ，与PF 相交于点K ，则点J 的坐标为(67，107)，点K 的坐标为(1，32)，∴IJ ＝307，KP ＝92，∴重叠部分的面积S ＝S 四边形KPIJ ＋S △AKP ＝12×(307＋92)×17＋12×92×(4－1)＝72398；②如解图②，当点N 在AB 线段上时，有DD ′＝t ，OD ′＝5－t .第3题解图②D ′(5－t ，0)，N (5－t ，－12t ＋72)，过点A 作AH ⊥ND ′， ∴AH ∥x 轴，∴NH ＝3－(－12t ＋72)＝12t －12.∵AH ∥x 轴，∴∠NAH ＝∠RBO ，∴sin ∠NAH ＝sin ∠RBO ＝15，∴NH NA ＝15， ∴NA ＝5(12t －12)，∵NA ＝58ND ′， ∴5(12t －12)＝58(－12t ＋72)，解得t ＝53，∴则直线BP ：y ＝－x －2与P ′F ′的交点I 的坐标为(－23，－43)，直线AB ：y ＝12x ＋1与P ′F ′的交点J 的坐标为(－23，23)，∴IJ ＝2，且PK ＝92，N 点的坐标为(103，83)，设直线AP 的解析式为y ＝k ′x ＋d ， ∵过点A (4，3)，P (1，－3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4k ′＋d ＝3k′＋d ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ′＝2d ＝－5， 则直线AP 解析式为y ＝2x －5，设它与Q ′E ′相交于点M ，则M 的坐标为(103，53)，∴NM ＝83－53＝1，∴重叠部分的面积S ＝S 四边形JKPI ＋S 四边形NMPK ＝12×(2＋92)×53＋12×(92＋1)×(103－1)＝716∴综上所述，重叠的部分面积大小为72398或716.4. 解：(1)令－x 2＋2x ＋3＝0， 解得x 1＝－1，x 2＝3， ∴A (－1，0)，B (3，0)， 令x ＝0，则y ＝3，∴C (0，3)，∵点D ，C 关于抛物线的对称轴x ＝1对称，∴D (2，3)， 设直线AD 的解析式为y ＝kx ＋b .将点A (－1，0)，D (2，3)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝02k ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1b ＝1，∴直线AD 的解析式为y ＝x ＋1. (2)设点F (x ，－x 2＋2x ＋3)， ∵FH ∥x 轴，∴H (－x 2＋2x ＋2，－x 2＋2x ＋3)， ∴FH ＝－x 2＋2x ＋2－x ＝－(x －12)2＋94，∵－1＜x ＜2，∴当x ＝12时，FH 取最大值94，由直线AD 的解析式为：y ＝x ＋1，易知∠DAB ＝45°. 又∵FH ∥x 轴，∴∠FHG ＝∠DAB ＝45°，∴FG ＝GH ＝22×94＝928， ∵△FHG 为等腰直角三角形，∴△FGH 周长的最大值为928×2＋94＝9＋924.(3)①当P 点在AM 下方时，如解图①，设P (0，p )，易知M (1，4)，从而Q (2，4＋p )， ∵△PMQ ′与▱APQM 重合部分的面积是▱APQM 面积的14，∴PQ ′必过AM 的中点N (0，2)，∴可知Q ′在y 轴上，易知QQ ′的中点T 的横坐标为1，又∵点T 必在直线AM 上，故T (1，4)，从而T 、M 重合，故▱APQM 是矩形，∵易求得直线AM 的解析式为：y ＝2x ＋2，而MQ ⊥AM ， ∴可求得直线QQ ′的解析式为：y ＝－12x ＋92，∴4＋p ＝－12×2＋92，∴解得p ＝－12，∴PN ＝52，∴S ▱APQM ＝2S △AMP ＝4S △ANP ＝4×12·PN ·AO ＝4×12×52×1＝5；第4题解图①②当P 点在AM 上方时，如解图②，第4题解图②设P (0，p )，易知M (1，4)，从而Q (2，4＋p )， ∵△PMQ ′与▱APQM 重合部分的面积是▱APQM 面积的14，∴PQ ′必过QM 的中点R (32，4＋p2)，易求得直线QQ ′的解析式为y ＝－12x ＋p ＋5，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋2y ＝－12x ＋p ＋5， 解得：x ＝6＋2p 5，y ＝22＋4p 5，∴H (6＋2p 5，22＋4p 5)，∵H 为QQ ′的中点，故易得Q ′(2＋4p 5，24＋3p 5)，由点P (0，p )，R (32，4＋p 2)易得直线PR 的解析式为y ＝(83－p3)x ＋p ，将Q ′(2＋4p 5，24＋3p 5)代入到y ＝(83－p 3)x ＋p 得：24＋3p 5＝(83－p 3)×2＋4p5＋p ，整理得：p 2－9p ＋14＝0，解得：p 1＝7，p 2＝2(与AM 中点N 重合，舍去)， ∴P (0，7)，∴PN ＝5，∴S ▱APQM ＝2S △AMP ＝2×12×PN ×|x M －x A |＝2×12×5×2＝10.综上所述，▱APQM 面积为5或10.。