第九部分 解析几何(1)
第九章 解析几何
第九章解析几何全国卷5年考情图解高考命题规律把握1.高考在本章一般命制1～2道小题，1道解答题，分值占20～24分．2.对直线方程、圆及圆锥曲线的概念和性质的考查一般以选择题或填空题为主，重在考查学生的双基掌握能力．3.对直线与圆锥曲线的位置关系的考查，常以压轴题的形式出现，其命题形式常与向量结合，重在考查圆锥曲线的几何性质，另外定值问题、最值问题及探索性问题依然是考查的热点问题．4.本章内容集中体现了两大数学思想：函数与方程思想及数形结合思想，且常与向量、三角函数、不等式、导数等知识交汇命题，体现了综合与创新.第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程1．直线的倾斜角❶(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，它的倾斜角为0.(3)范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)．2．斜率公式(1)定义式：直线l的倾斜角为k＝tanα.(2)坐标式：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)❷在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝y2－y1.x2－x1 3．直线方程的5种形式名称方程适用条件点斜式y －y 0＝k (x －x 0)不含垂直于x 轴的直线斜截式y ＝kx ＋b 不含垂直于x 轴的直线两点式y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1不含直线x ＝x 1(x 1≠x 2)和直线y ＝y 1(y 1≠y 2)截距式x a ＋y b＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式❸Ax ＋By ＋C ＝0，A 2＋B 2≠0平面内所有直线平面直角坐标系中每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等．即直线与倾斜角是多对一的映射关系．如果y2＝y 1，x 2≠x 1，则直线与x 轴平行或重合，斜率等于0；如果y 2≠y 1，x 2＝x 1，则直线与x 轴垂直，倾斜角等于90°，斜率不存在．斜率与倾斜角的关系(1)当直线不垂直于x 轴时，直线的斜率和直线的倾斜角为一一对应关系．(2)当直线l 的倾斜角α∈0α越大，直线l 的斜率越大；当αα越大，直线l 的斜率越大．(3)所有的直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率．(4)已知倾斜角α的范围，求斜率k 的范围，实质是求k ＝tan α的值域；已知斜率k 的范围，求倾斜角α的范围，实质是在0借助正切函数图象来解决此类问题．(1)把直线Ax ＋By ＋C ＝0(ABC ≠0)化为下面的形式：①化为截距式：Ax ＋By ＝－C ，即x －C A ＋y －C B＝1.②化为斜截式：y ＝－A B x －CB.k ＝－A B ，则点斜式为y ＝－AB (x－0)．(2)在一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不全为0)中，若A ＝0，则y ＝－CB ，它表示一条与y 轴垂直的直线；若B ＝0，则x ＝－CA，它表示一条与x 轴垂直的直线.[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．()(2)过点M(a，b)，N(b，a)(a≠b)的直线的倾斜角是45°.()(3)直线的倾斜角越大，斜率k就越大．()(4)经过点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示．()(5)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x －x1)(y2－y1)表示．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√二、选填题1．若直线x＝2的倾斜角为α，则α的值为()A．0 B.π4C.π2D．不存在解析：选C因为直线x＝2垂直于x轴，所以倾斜角α为π2 .2．直线3x－y＋a＝0的倾斜角为()A.π6B.π3C.5π6D.2π3解析：选B设直线的倾斜角为α，则tanα＝3，∵α∈[0，π)，∴α＝π3 .3．如果A·C＜0，且B·C＜0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过() A．第一象限 B.第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选C∵A·C＜0，B·C＜0，Ax＋By＋C＝0，∴y＝－ABx－CB，∴A·B＞0，－CB＞0，∴－AB＜0，∴直线Ax＋By＋C＝0经过第一、二、四象限，故选C.4．若过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m＝________.解析：由k＝4－mm＋2＝1，得m＝1.答案：15．过点P(2，－3)，倾斜角为45°的直线方程为_____________．解析：由点斜式得直线方程为y －(－3)＝tan 45°(x－2)，即x －y －5＝0.答案：x －y －5＝0考点一直线的倾斜角与斜率[师生共研过关][典例精析](1)直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的范围是()A ．[0，π) B.0，π4∪3π4，πC.0，π4D.0，π4∪π2，π(2)已知直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是________．[解析](1)设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α，又－sin α∈[－1,1]，θ∈[0，π)，所以0≤θ≤π4或3π4≤θ＜π.(2)如图，因为k AP ＝1－02－1＝1，k BP ＝3－00－1＝－3，所以直线l 的斜率k ∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)．[答案](1)B(2)(－∞，－3]∪[1，＋∞)[解题技法]斜率取值范围的2种求法数形结合法作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定函数图象法根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可[过关训练]1.若图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则()A ．k 1＜k 2＜k 3 B.k 3＜k 1＜k 2C ．k 3＜k 2＜k 1D ．k 1＜k 3＜k 2解析：选D直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1＜0.直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2＞α3，所以0＜k 3＜k 2，因此k 1＜k 3＜k 2.故选D.2．已知点(－1,2)l ：ax －y ＋1＝0(a ≠0)的同侧，则直线l 倾斜角的取值范围是________．解析：点(－1,2)l ：ax －y ＋1＝0同侧的充要条件是(－a －2＋＋＞0，解得－3＜a ＜－1，即直线l 的斜率的范围是(－3，－1)，故其倾斜角的取值范围是考点二直线的方程[师生共研过关][典例精析](1)求过点A (1,3)，斜率是直线y ＝－4x 的斜率的13的直线方程．(2)求经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程．[解](1)设所求直线的斜率为k ，依题意k ＝－4×13＝－43.又直线经过点A (1,3)，因此所求直线方程为y －3＝－43(x －1)，即4x ＋3y －13＝0.(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为x 2a ＋ya＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a ＝－12，所以直线方程为x ＋2y ＋1＝0；当直线过原点时，设直线方程为y ＝kx ，则－5k ＝2，解得k ＝－25，所以直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0.故所求直线方程为2x ＋5y ＝0或x ＋2y ＋1＝0.[解题技法]求直线方程的方法(1)直接法：根据已知条件，选择恰当形式的直线方程，求出方程中的系数，写出直线方程；(2)待定系数法：先根据已知条件恰当设出直线的方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)解得系数，最后代入设出的直线方程．[提醒](1)选择直线方程时，应注意分类讨论思想的应用，选用点斜式或斜截式时，先分类讨论直线的斜率是否存在；选用截距式时，先分类讨论在两坐标轴上的截距是否存在或是否为0.(2)求直线方程时，如果没有特别要求，求出的直线方程应化为一般式Ax ＋By ＋C ＝0，且A ≥0.[过关训练]求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P (4,1)，且在两坐标轴上的截距相等．(2)经过点A (－1，－3)，倾斜角等于直线y ＝3x 的倾斜角的2倍．(3)经过点B (3,4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．解：(1)设直线l 在x 轴，y 轴上的截距均为a ，若a ＝0，即l 过点(0,0)和(4,1)，所以l 的方程为y ＝14x ，即x －4y ＝0.若a ≠0，设l 的方程为x a ＋ya ＝1，因为l 过点(4,1)，所以4a ＋1a ＝1，所以a ＝5，所以l 的方程为x ＋y －5＝0.综上可知，所求直线的方程为x －4y ＝0或x ＋y －5＝0.(2)由已知设直线y ＝3x 的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α.因为tan α＝3，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－34.又直线经过点A (－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0.(3)由题意可知，所求直线的斜率为±1.又过点(3,4)，由点斜式得y －4＝±(x －3)．故所求直线的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y －7＝0.考点三直线方程的综合问题[师生共研过关][典例精析](1)(2019·成都模拟)已知直线l 过点M (2,1)，且分别与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 面积最小时，直线l 的方程为__________________．(2)已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，若0＜a ＜2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a ＝________.[解析](1)设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)(k ＜0)，则－1k，B (0,1－2k )，S △AOB＝12(1－2k ＝124＋(－4k )≥12(4＋4)＝4，当且仅当－4k ＝－1k ，即k ＝－12时，等号成立．故直线l 的方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.(2)直线l 1可写成a (x －2)＝2(y －2)，直线l 2可写成2(x －2)＝a 2(2－y )，所以直线l 1，l 2恒过定点P (2,2)，直线l 1的纵截距为2－a ，直线l 2的横截距为a 2＋2，所以四边形的面积S＝12×2×(2－a )＋12×2×(a 2＋2)＝a 2－a ＋4＋154，故当a ＝12时，四边形的面积最小．[答案](1)x ＋2y －4＝0(2)12[解题技法]与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题．先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．(2)求直线方程．弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程．(3)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．[过关训练]1．已知直线(a －1)x ＋y －a －3＝0(a ＞1)，当此直线在x 轴，y 轴上的截距和最小时，实数a 的值是()A ．1 B.2C ．2D ．3解析：选D 当x ＝0时，y ＝a ＋3，当y ＝0时，x ＝a ＋3a －1，令t ＝a ＋3＋a ＋3a －1＝5＋(a －1)＋4a －1.因为a ＞1，所以a －1＞0.所以t ≥5＋2(a －1)·4a －1＝9.当且仅当a －1＝4a －1，即a ＝3时，等号成立．故选D.2．过点P (4,1)作直线l 分别交x 轴，y 轴正半轴于A ，B 两点，O 为坐标原点．(1)当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程．(2)当|OA |＋|OB |取最小值时，求直线l 的方程．解：设直线l ：x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)，因为直线l 经过点P (4,1)，所以4a ＋1b ＝1.(1)4a ＋1b＝1≥24a ·1b ＝4ab，所以ab ≥16，当且仅当a ＝8，b ＝2时等号成立，所以当a ＝8，b ＝2时，△AOB 的面积最小，此时直线l 的方程为x 8＋y2＝1，即x ＋4y －8＝0.(2)因为4a ＋1b＝1，a ＞0，b ＞0，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b 5＋a b ＋4ba ≥5＋2a b ·4ba＝9，当且仅当a ＝6，b ＝3时等号成立，所以当|OA |＋|OB |取最小值时，直线l 的方程为x 6＋y3＝1，即x ＋2y －6＝0.[课时跟踪检测]一、题点全面练1．在同一平面直角坐标系中，直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0有可能是()解析：选B由题意l 1：y ＝－ax －b ，l 2：y ＝－bx －a ，当a ＞0，b ＞0时，－a ＜0，－b ＜0.选项B 符合．2．(2019·惠州质检)直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率k 的取值范围是()11C ．(－∞，－1)D ．(－∞，－1)解析：选D设直线l 的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)，直线在x 轴上的截距为1－2k .令－3＜1－2k ＜3，解不等式得k ＜－1或k ＞12.3．在等腰三角形MON 中，MO ＝MN ，点O (0,0)，M (－1,3)，点N 在x 轴的负半轴上，则直线MN 的方程为()A ．3x －y －6＝0 B.3x ＋y ＋6＝0C ．3x －y ＋6＝0D ．3x ＋y －6＝0解析：选C因为MO ＝MN ，所以直线MN 的斜率与直线MO 的斜率互为相反数，所以k MN ＝－k MO ＝3，所以直线MN 的方程为y －3＝3(x ＋1)，即3x －y ＋6＝0，选C.4．若直线x －2y ＋b ＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是()A ．[－2,2] B.(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．[－2,0)∪(0,2]D ．(－∞，＋∞)解析：选C令x ＝0，得y ＝b 2，令y ＝0，得x ＝－b ，所以所求三角形面积为12|b2||－b |＝14b 2，且b ≠0，因为14b 2≤1，所以b 2≤4，所以b 的取值范围是[－2,0)∪(0,2]．5．已知函数f (x )＝a sin x －b cos x (a ≠0，b ≠0)，若ax －by ＋c ＝0的倾斜角为()A.π4B.π3C.2π3D.3π4解析：选D由ff函数f (x )的图象关于x ＝π4对称，所以f (0)＝f所以－b ＝a ，则直线ax －by ＋c ＝0的斜率为k ＝ab ＝－1，又直线倾斜角的取值范围为[0，π)，所以该直线的倾斜角为3π4，故选D.6．设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________．解析：b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1,0)和点B (1,0)时，b 分别取得最小值－2和最大值2.∴b 的取值范围是[－2,2]．答案：[－2,2]7．已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线l 0：x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为__________________．解析：由题意可设直线l 0，l 的倾斜角分别为α，2α，因为直线l 0：x －2y －2＝0的斜率为12，则tan α＝12，所以直线l 的斜率k ＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×1211＝43，所以由点斜式可得直线l 的方程为y －0＝43(x －1)，即4x －3y －4＝0.答案：4x －3y －4＝08.如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1，0)的直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，则直线AB 的方程为____________________________．解析：由题意可得k OA ＝tan 45°＝1，k OB ＝tan(180°－30°)＝－33，所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x .设A (m ，m )，B (－3n ，n )，所以AB 的中点由点C 在直线y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得＝12·m －3n2，＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3，3)．又P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32，所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)，即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.答案：(3＋3)x －2y －3－3＝09．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)；(2)斜率为16.解：(1)由题意知，直线l 存在斜率．设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k－3,3k ＋4，由已知，得(3k ＋±6，解得k 1＝－23或k 2＝－83.故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0.(2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程为y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ，由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1.∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.10．已知△ABC 的三个顶点分别为A (－3,0)，B (2,1)，C (－2,3)，求：(1)BC 边所在直线的方程；(2)BC 边上中线AD 所在直线的方程；(3)BC 边的垂直平分线DE 所在直线的方程．解：(1)因为直线BC 经过B (2,1)和C (－2,3)两点，由两点式得BC 的方程为y －13－1＝x －2－2－2，即x ＋2y －4＝0.(2)设BC 边的中点D 的坐标为(x ，y )，则x ＝2－22＝0，y ＝1＋32＝2.BC 边的中线AD 经过A (－3,0)，D (0,2)两点，由截距式得AD 所在直线的方程为x －3＋y2＝1，即2x －3y ＋6＝0.(3)由(1)知，直线BC 的斜率k 1＝－12，则BC 的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2.由(2)知，点D 的坐标为(0,2)．由点斜式得直线DE 的方程为y －2＝2(x －0)，即2x －y ＋2＝0.二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1．已知两点M (2，－3)，N (－3，－2)，直线l 过点P (1,1)且与线段MN 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是()A ．(－∞，－4]∪34，＋∞B.－4，34C.34，4D.－34，4解析：选A 如图所示，∵k PN ＝1－(－2)1－(－3)＝34，k PM ＝1－(－3)1－2＝－4，∴要使直线l 与线段MN 相交，当l 的倾斜角小于90°时，k ≥k PN ；当l 的倾斜角大于90°时，k ≤k PM ，∴k ≥34或k ≤－4.2．直线l 过点(－2,2)且与x 轴、y 轴分别交于点(a,0)，(0，b )，若|a |＝|b |，则直线l 的方程为________________．解析：若a ＝b ＝0，则直线l 过(0,0)与(－2,2)两点，直线l 的斜率k ＝－1，直线l 的方程为y ＝－x ，即x ＋y ＝0.若a ≠0，b ≠0，设直线l 的方程为x a ＋yb ＝1，＋2b ＝1，|b |，＝－4，＝4，此时，直线l 的方程为x －y ＋4＝0.答案：x ＋y ＝0或x －y ＋4＝03．过点(－10,10)且在x 轴上的截距是在y 轴上截距的4倍的直线的方程为________________．解析：当直线经过原点时，此时直线的方程为x ＋y ＝0，满足题意．当直线不经过原点时，设直线方程为x 4a ＋y a ＝1，把点(－10,10)代入可得a ＝152，故直线方程为x 30＋2y15＝1，即x ＋4y －30＝0.综上所述，所求直线方程为x ＋y ＝0或x ＋4y －30＝0.答案：x ＋y ＝0或x ＋4y －30＝0(二)交汇专练——融会巧迁移4．[与同角三角函数基本关系式交汇]若θ是直线l 的倾斜角，且sin θ＋cos θ＝55，则l 的斜率为()A ．－12B.－12或－2C.12或2D ．－2解析：选D∵sin θ＋cos θ＝55，①∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝15，∴2sin θcos θ＝－45，∴(sin θ－cos θ)2＝95，易知sin θ＞0，cos θ＜0，∴sin θ－cos θ＝355，②θ＝255，θ＝－55，∴tan θ＝－2，即l 的斜率为－2.5．[与不等式交汇]已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )．(1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．解：(1)证明：直线l 的方程可化为y ＝k (x ＋2)＋1，故无论k 取何值，直线l 总过定点(－2,1)．(2)直线l 的方程为y ＝kx ＋2k ＋1，则直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1，要使直线l≥0，＋2k ≥0，解得k ≥0，故k 的取值范围是[0，＋∞).(3)依题意，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2kk ，在y 轴上的截距为1＋2k ，∴－1＋2kk，B (0,1＋2k )．又－1＋2kk＜0且1＋2k ＞0，∴k ＞0.故S ＝12|OA ||OB |＝12×1＋2k k×(1＋2k )k＋1k＋≥12(4＋4)＝4，当且仅当4k＝1k，即k＝12时，取等号．故S的最小值为4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.第二节两条直线的位置关系1．两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行：①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.两条直线平行时，不要忘记它们的斜率有可能不存在的情况.(2)两条直线垂直：①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况. 2．两条直线的交点的求法直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组1x＋B1y＋C1＝0，2x＋B2y＋C2＝0的解．3．三种距离公式(1)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点之间的距离：|P1P2|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.(2)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离：d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2.应用点到直线的距离公式时，直线方程必须是一般式(3)平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间距离：d＝|C1－C2| A2＋B2.两平行线的距离公式中，两直线方程的一般式中x，y的系数要对应相等[熟记常用结论]1．过定点P(x0，y0)的直线系方程：A(x－x0)＋B(y－y0)＝0(A2＋B2≠0)，还可以表示为y－y0＝k(x－x0)和x＝x0.2．平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)．3．垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Bx－Ay＋λ＝0.4．过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程：A1x＋B1y ＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)和A2x＋B2y＋C2＝0.5．点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)．6．点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．7．点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x,2b－y)．8．点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x,2b－y)．9．点(x，y)关于直线x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，关于直线x－y＝k的对称点为(k＋y，x－k)．[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.()(2)如果直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.()(3)若两直线方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．()(4)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为|kx0＋b|1＋k2.()(5)两平行直线2x－y＋1＝0,4x－2y＋1＝0间的距离是0.()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×二、选填题1．两条直线l1：2x＋y－1＝0和l2：x－2y＋4＝0的交点为()－2 5，－2 5，－解析：选Bx＋y－1＝0，－2y＋4＝0，＝－25，＝95，－25，2．若直线ax＋2y－1＝0与直线2x－3y－1＝0垂直，则a的值为() A．－3 B.－43C．2D．3解析：选D直线ax ＋2y －1＝0的斜率k 1＝－a 2，直线2x －3y －1＝0的斜率k 2＝23，因为两直线垂直，所以－a 2×23＝－1，解得a ＝3.3．已知直线l 1：x ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋y －1＝0，则l 1，l 2之间的距离为()A ．1 B.2C.3D ．2解析：选B 由题意可知l 1与l 2平行，故l 1与l 2之间的距离d ＝|1－(－1)|2＝2，故选B.4．已知点(a,2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a ＝________.解析：由题意得，|a －2＋3|12＋(－1)2＝1，∴|a ＋1|＝2，∵a ＞0，∴a ＝2－1.答案：2－15．已知坐标平面内两点A (x ，2－x )和________．解析：由题意可得两点间的距离d ≥12，即最小值为12.答案：12考点一两条直线的平行与垂直[师生共研过关][典例精析](1)已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，则k 的值是()A ．1或3B ．1或5C ．3或5D ．1或2(2)已知点O (0,0)，A (0，b )，B (a ，a 3)，若△OAB 为直角三角形，则必有()A ．b ＝a3B.(b －a 3－a 30C ．b ＝a 3＋1aD ．|b －a 3|＋|b －a 3－1a |＝0(3)已知直线l 1：mx ＋y ＋4＝0和直线l 2：(m ＋2)x －ny ＋1＝0(m ＞0，n ＞0)互相垂直，则mn的取值范围为________．[解析](1)由两直线平行得，当k －3＝0时，两直线的方程分别为y ＝－1和y ＝32，显然两直线平行．当k －3≠0时，由k －32(k －3)＝4－k －2≠13，可得k ＝5.综上，k 的值是3或5.(2)若以O 为直角顶点，则B 在x 轴上，则a 必为0，此时O ，B 重合，不符合题意；若∠A ＝π2，则b ＝a 3≠0.若∠B ＝π2，根据垂直关系可知a 2·a 3－b a ＝－1，所以a (a 3－b )＝－1，即b －a 3－1a＝0.以上两种情况皆有可能，故只有B 满足条件．(3)因为l 1⊥l 2，所以m (m ＋2)＋1×(－n )＝0，得n ＝m 2＋2m ，因为m ＞0，所以mn ＝m m 2＋2m＝1m ＋2，则0＜1m ＋2＜12，故mn 的取值范围为[答案](1)C(2)B[解题技法]1．已知两直线的斜率存在，判断两直线平行或垂直的方法(1)两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等；(2)两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于－1.[提醒]当直线斜率不确定时，要注意斜率不存在的情况．2．由一般式确定两直线位置关系的方法直线方程l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0(A 21＋B 21≠0)l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 22＋B 22≠0)l 1与l 2平行的充要条件A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2(A 2B 2C 2≠0)l 1与l 2垂直的充要条件A 1A 2＋B 1B 2＝0l 1与l 2相交的充要条件A 1A 2≠B 1B 2(A 2B 2≠0)l 1与l 2重合的充要条件A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2(A 2B 2C 2≠0)[提醒]在判断两直线的位置关系时，比例式A 1A 2与B 1B 2，C 1C 2在解答选择题、填空题时，建议多用比例式来解答．[过关训练]1．设不同直线l 1：2x －my －1＝0，l 2：(m －1)x －y ＋1＝0，则“m ＝2”是“l 1∥l 2”的()A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C当m ＝2时，易知两直线平行，即充分性成立．当l 1∥l 2时，显然m ≠0，从而有2m＝m －1，解得m ＝2或m ＝－1，但当m ＝－1时，两直线重合，不符合要求，故必要性成立，故选C.2．已知直线4x ＋my －6＝0与直线5x －2y ＋n ＝0垂直，垂足为(t,1)，则n 的值为()A ．7 B.9C ．11D ．－7解析：选A由直线4x ＋my －6＝0与直线5x －2y ＋n ＝0垂直得，20－2m ＝0，即m＝10.直线4x ＋10y －6＝0过点(t,1)，所以4t ＋10－6＝0，即t ＝－1.点(－1,1)又在直线5x －2y ＋n ＝0上，所以－5－2＋n ＝0，即n ＝7.考点二两直线的交点及距离问题[师生共研过关][典例精析](1)已知直线y ＝kx ＋2k ＋1与直线y ＝－12x ＋2的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是________．(2)若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|P Q |的最小值为________．[解析](1)＝kx ＋2k ＋1，＝－12x ＋2，＝2－4k 2k ＋1，＝6k ＋12k ＋10，0，解得－16＜k ＜12.(2)因为36＝48≠－125，所以两直线平行，将直线3x ＋4y －12＝0化为6x ＋8y －24＝0，由题意可知|P Q |的最小值为这两条平行直线间的距离，即|－24－5|62＋82＝2910，所以|P Q |的最小值为2910.[答案]－16，(2)2910[解题技法]距离问题的常见题型及解题策略(1)求两点间的距离关键是确定两点的坐标，然后代入公式即可，一般用来判断三角形的形状等．(2)解决与点到直线的距离有关的问题应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线的距离求直线方程，一般考虑待定斜率法，此时必须讨论斜率是否存在．(3)求两条平行线间的距离要先将直线方程中x ，y 的对应项系数转化成相等的形式，再利用距离公式求解．也可以转化成点到直线的距离问题．[过关训练]1．(2019·太原模拟)若直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋ny ＋5＝0相交于同一点，则点(m ，n )与原点之间的距离的最小值为()A.5B.6C ．23D ．25解析：选A＝2x ，＋y ＝3，解得x ＝1，y ＝2.把(1,2)代入mx ＋ny ＋5＝0，可得m ＋2n＋5＝0，∴m ＝－5－2n .∴点(m ，n )与原点之间的距离d ＝m 2＋n 2＝(5＋2n )2＋n 2＝5(n ＋2)2＋5≥5，当n ＝－2，m ＝－1时取等号．∴点(m ，n )与原点之间的距离的最小值为5，故选A.2．(2019·厦门模拟)若两平行直线3x －2y －1＝0,6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，则实数c 的值是________．解析：依题意知，63＝a －2≠c －1，解得a ＝－4，c ≠－2，即直线6x ＋ay ＋c ＝0可化为3x －2y ＋c 2＝0，又两平行线之间的距离为21313，所以|c2＋1|32＋(－2)2＝21313，解得c ＝2或－6.答案：2或－63．已知A (4，－3)，B (2，－1)和直线l ：4x ＋3y －2＝0，若在坐标平面内存在一点P ，使|PA |＝|PB |，且点P 到直线l 的距离为2，则P 点坐标为______________________．解析：设点P 的坐标为(a ，b )．∵A (4，－3)，B (2，－1)，∴线段AB 的中点M 的坐标为(3，－2)．而AB 所在直线的斜率k AB ＝－3＋14－2＝－1，∴线段AB 的垂直平分线方程为y ＋2＝x －3，即x －y －5＝0.∵点P (a ，b )在直线x －y －5＝0上，∴a －b －5＝0.①又点P (a ，b )到直线l ：4x ＋3y －2＝0的距离为2，∴|4a ＋3b －2|42＋32＝2，即4a＋3b －2＝±10，②＝1，＝－4＝277，＝－87.∴所求点P 的坐标为(1，－4)答案：(1，－4)考点三对称问题[全析考法过关][考法全析]考法(一)点关于点的对称[例1]过点P (0,1)作直线l 使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为____________________．[解析]设直线l 1与直线l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上，把B 点坐标代入直线l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上，所以由两点式得直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.[答案]x ＋4y －4＝0[解题技法]点关于点对称的求解方法若点M (x 1，y 1)和点N (x ，y )关于点P (a ，b )对称，＝2a －x 1，＝2b －y 1，进而求解．考法(二)点关于线的对称[例2]在等腰直角三角形ABC 中，|AB |＝|AC |＝4，点P 是边AB 上异于A ，B 的一点．光线从点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P (如图)．若光线Q R 经过△ABC 的重心，则AP 的长度为()A ．2B ．1C.83D.43[解析]以AB 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可知B (4,0)，C (0,4)，A (0，0)，则直线BC 的方程为x ＋y －4＝0，设P (t,0)(0＜t ＜4)，由对称知识可得点P 关于BC 所在直线的对称点P 1的坐标为(4,4－t )，点P 关于y 轴的对称点P 2的坐标为(－t,0)，根据反射定律可知P 1P 2所在直线就是光线R Q 所在直线．由P 1，P 2两点坐标可得P 1P 2所在直线的方程为y ＝4－t4＋t·(x ＋t )，设△ABC 的重心为G ，易知因为重心GR Q 上，所以有43＝即3t 2－4t ＝0.所以t ＝0或t ＝43，因为0＜t ＜4，所以t ＝43，即|AP |＝43，故选D.[答案]D[解题技法]点关于直线对称的解题方法若两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称，则由方程组C ＝0，1，可得到点P 1关于直线l 对称的点P 2的坐标(x 2，y 2)(其中B ≠0，x 1≠x 2)．考法(三)线关于点的对称[例3]已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)，则直线l 关于点A 对称的直线m 的方程为________________．[解析]在直线l 上取两点B (1,1)，C (10,7)，B ，C 两点关于点A 的对称点为B ′(－3，－5)，C ′(－12，－11)，所以直线m 的方程为y ＋11－5＋11＝x ＋12－3＋12，即2x －3y －9＝0.[答案]2x －3y －9＝0[解题技法]1．线关于点对称的求解方法(1)在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；(2)求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．2．线关于点对称的实质“线关于点的对称”其实质就是“点关于点的对称”，只要在直线上取两个点，求出其对称点的坐标即可，可统称为“中心对称”．[过关训练]1．已知直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是(－4,2)，(3,1)，则点C的坐标为()A．(－2,4) B.(－2，－4)C．(2,4)D．(2，－4)解析：选C设A(－4,2)关于直线y＝2x的对称点为(x，y)，2＝－1，2×－4＋x2，＝4，＝－2，∴BC所在直线方程为y－1＝－2－14－3(x－3)，即3x＋y－10＝0.联立x＋y－10＝0，＝2x，＝2，＝4，则C(2,4)．2．已知入射光线经过点M(－3,4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．解析：设点M(－3,4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′，＝－1，－b＋42＋3＝0，＝1，＝0.即M′(1,0)．又反射光线经过点N(2,6)，所以所求直线的方程为y－06－0＝x－12－1，即6x－y－6＝0.答案：6x－y－6＝03．设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为3，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程是________________．解析：由|PA|＝|PB|知点P在AB的垂直平分线上．由点P的横坐标为3，且PA的方程为x－y＋1＝0，得P(3，4)．直线PA，PB关于直线x＝3对称，直线PA上的点(0,1)关于直线x＝3的对称点(6,1)在直线PB上，所以直线PB的方程为y－41－4＝x－36－3x＋y－7＝0.答案：x＋y－7＝0[课时跟踪检测]一、题点全面练1．若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2过定点()A．(0,4)B．(0,2)C．(－2,4)D．(4，－2)解析：选B由题知直线l1过定点(4,0)，则由条件可知，直线l2所过定点关于(2,1)对称的点为(4,0)，故可知直线l2所过定点为(0,2)，故选B.2．若点P在直线3x＋y－5＝0上，且P到直线x－y－1＝0的距离为2，则点P的坐标为()A．(1,2) B.(2,1)C．(1,2)或(2，－1)D．(2,1)或(－1,2)解析：选C设P(x,5－3x)，则d＝|x－5＋3x－1|12＋(－1)2＝2，化简得|4x－6|＝2，即4x－6＝±2，解得x＝1或x＝2，故P(1，2)或(2，－1)．3．已知直线l的倾斜角为3π4，直线l1经过点A(3,2)和B(a，－1)，且直线l与l1平行，则实数a的值为()A．0 B.1C．6D．0或6解析：选C由直线l的倾斜角为3π4得l的斜率为－1，因为直线l与l1平行，所以l1的斜率为－1.又直线l1经过点A(3,2)和B(a，－1)，所以l1的斜率为33－a，故33－a＝－1，解得a＝6.4．(2018·北京东城区期末)如果平面直角坐标系内的两点A(a－1，a＋1)，B(a，a)关于直线l对称，那么直线l的方程为()A．x－y＋1＝0 B.x＋y＋1＝0C．x－y－1＝0D．x＋y－1＝0解析：选A因为直线AB的斜率为a＋1－aa－1－a＝－1，所以直线l的斜率为1.设直线l的方程为y ＝x ＋b ，由题意知直线l2a ＋12＝2a －12＋b ，解得b ＝1，所以直线l 的方程为y ＝x ＋1，即x －y ＋1＝0.故选A.5．已知点P (－2,0)和直线l ：(1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y －(2＋5λ)＝0(λ∈R )，则点P 到直线l 的距离d 的最大值为()A ．23 B.10C.14D ．215解析：选B由(1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y －(2＋5λ)＝0，得(x ＋y －2)＋λ(3x＋2y －5)＝0，此方程是过直线x ＋y －2＝0和3x ＋2y －5＝0交点的直线系方程．＋y －2＝0，x ＋2y －5＝0，可知两直线的交点为Q (1,1)，故直线l 恒过定点Q (1,1)，如图所示，可知d ＝|PH |≤|P Q |＝10，即d 的最大值为10.6．已知直线l 1：ax ＋y －1＝0，直线l 2：x －y －3＝0，若直线l 1的倾斜角为π4，则a ＝________；若l 1⊥l 2，则a ＝________；若l 1∥l 2，则两平行直线间的距离为________．解析：若直线l 1的倾斜角为π4，则－a ＝k ＝tan π4＝1，故a ＝－1；若l 1⊥l 2，则a ×1＋1×(－1)＝0，故a ＝1；若l 1∥l 2，则a ＝－1，l 1：x －y ＋1＝0，两平行直线间的距离d ＝|1－(－3)|2＝2 2.答案：－11227．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m ，n )重合，则m ＋n ＝________.解析：由题意可知，纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y ＝2x －3，它也是点(7,3)与点(m ，n )连线的中垂线，2×7＋m2－3，＝－12，＝35，＝315，故m ＋n ＝345.答案：3458．以点A (4,1)，B (1,5)，C (－3,2)，D (0，－2)为顶点的四边形ABCD 的面积为________．解析：因为k AB ＝5－11－4＝－43，k DC ＝2－(－2)－3－0＝－43.k AD ＝－2－10－4＝34，k BC ＝2－5－3－1＝34.则k AB ＝k DC ，k AD ＝k BC ，所以四边形ABCD 为平行四边形．又k AD ·k AB ＝－1，即AD ⊥AB ，故四边形ABCD 为矩形．故S 四边形ABCD ＝|AB |·|AD |＝(1－4)2＋(5－1)2×(0－4)2＋(－2－1)2＝25.答案：259．正方形的中心为点C (－1,0)，一条边所在的直线方程是x ＋3y －5＝0，求其他三边所在直线的方程．解：点C 到直线x ＋3y －5＝0的距离d ＝|－1－5|1＋9＝3105.设与x ＋3y －5＝0平行的一边所在直线的方程是x ＋3y ＋m ＝0(m ≠－5)，则点C 到直线x ＋3y ＋m ＝0的距离d ＝|－1＋m |1＋9＝3105，解得m ＝－5(舍去)或m ＝7，所以与x ＋3y －5＝0平行的边所在直线的方程是x ＋3y ＋7＝0.设与x ＋3y －5＝0垂直的边所在直线的方程是3x －y ＋n ＝0，则点C 到直线3x －y ＋n ＝0的距离d ＝|－3＋n |9＋1＝3105，解得n ＝－3或n ＝9，所以与x ＋3y －5＝0垂直的两边所在直线的方程分别是3x －y －3＝0和3x －y ＋9＝0.10．已知点P (2，－1)．(1)求过点P 且与原点的距离为2的直线l 的方程；(2)求过点P 且与原点的距离最大的直线l 的方程，并求出最大距离；(3)是否存在过点P 且与原点的距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．解：(1)过点P 的直线l 与原点的距离为2，而点P 的坐标为(2，－1)，显然，过点P (2，－1)且垂直于x 轴的直线满足条件，此时l 的斜率不存在，其方程为x ＝2.若斜率存在，设l 的方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0.由已知得|－2k －1|k 2＋1＝2，解得k ＝34.此时直线l 的方程为3x －4y －10＝0.综上可得直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.(2)作图可得过点P 与原点O 的距离最大的直线是过点P 且与PO 垂直的直线，如图．由l ⊥OP ，得k l ·k OP ＝－1，因为k OP ＝－12，所以k l ＝－1k OP＝2.由直线方程的点斜式得y ＋1＝2(x －2)，即2x －y －5＝0.所以直线2x －y －5＝0是过点P 且与原点O 的距离最大的直线，最大距离为|－5|5＝ 5.(3)由(2)可知，过点P 不存在到原点的距离超过5的直线，因此不存在过点P 且到原点的距离为6的直线．二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1．(2019·青岛模拟)直线x ＋a 2y ＋6＝0和(a －2)x ＋3ay ＋2a ＝0无公共点，则a 的值为()A ．3或－1 B.0或3C ．0或－1D ．－1或0或3解析：选C两直线无公共点，即两直线平行．当a ＝0时，这两条直线分别为x ＋6＝0和x ＝0，无公共点；当a ≠0时，由－1a 2＝－a －23a ，解得a ＝3或a ＝－1.若a ＝3，这两条直线分别为x ＋9y ＋6＝0，x ＋9y ＋6＝0，两直线重合，有无数个公共点，不符合题意，舍去；若a ＝－1，这两条直线分别为x ＋y ＋6＝0和3x ＋3y ＋2＝0，两直线平行，无公共点．综上，a ＝0或a ＝－1.2．已知A (1,2)，B (3,1)两点到直线l 的距离分别是2，5－2，则满足条件的直线l 共有()A ．1条 B.2条C ．3条D ．4条解析：选C当A ，B 两点位于直线l 的同一侧时，一定存在这样的直线l ，且有两条．又|AB |＝(3－1)2＋(1－2)2＝5，而点A 到直线l 与点B 到直线l 的距离之和为2＋5－2＝5，所以当A ，B 两点位于直线l 的两侧时，存在一条满足条件的直线．综上可知满足条件的直线共有3条．故选C.3．l 1，l 2是分别经过A (1,1)，B (0，－1)两点的两条平行直线，当l 1，l 2间的距离最大时，。
2019版高考数学大一轮复习人教B版全国通用文档：第九章平面解析几何9.1 Word版含答案
§9.1 直线的方程最新考纲考情考向分析1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素．2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、截距式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.以考查直线方程的求法为主，直线的斜率、倾斜角也是考查的重点．题型主要在解答题中与圆、圆锥曲线等知识交汇出现，有时也会在选择、填空题中出现.1．平面直角坐标系中的基本公式 (1)两点的距离公式：已知平面直角坐标系中的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则d (A ，B )＝|AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. (2)中点公式：已知平面直角坐标系中的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，点M (x ，y )是线段AB 的中点，则x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22.2．直线的倾斜角(1)定义：x 轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角，我们规定，与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角．(2)倾斜角的范围：[0°，180°)． 3．直线的斜率(1)定义：通常，我们把直线y ＝kx ＋b 中的系数k 叫做这条直线的斜率，垂直于x 轴的直线，人们常说它的斜率不存在；(2)计算公式：若由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)确定的直线不垂直于x 轴，则k ＝y 2－y 1x 2－x 1 (x 1≠x 2)．若直线的倾斜角为θ⎝⎛⎭⎫θ≠π2，则k ＝tan_θ. 4．直线方程的五种形式名称 方程 适用范围 点斜式 y －y 0＝k (x －x 0) 不含直线x ＝x 0 斜截式 y ＝kx ＋b 不含垂直于x 轴的直线 两点式 y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1不含直线x ＝x 1 (x 1≠x 2)和直线y ＝y 1 (y 1≠y 2)截距式 x a ＋y b＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)平面直角坐标系内的直线都适用题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．( √ ) (2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．( × ) (3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．( × ) (4)若直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.( × ) (5)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．( × )(6)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．( √ ) 题组二 教材改编2．若过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( ) A ．1 B ．4 C ．1或3 D ．1或4答案 A。
2020高考全国一轮数学理科 第九章 解析几何
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二解答题
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!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 第九章"解析几何
第&)讲"圆的方程
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二解答题 )# 已知圆0 截& 轴 所 得 的 弦 长 为 !"圆 心 0 到 直 线<'$&
&# !"#$漳州质检若点:$$"&%在直线$/&&-%"上"则 $!/&!的最小值是""""(
二解答题 '# 已知点:#$!",%":!$&-".%和!$&#"!%"求过点! 且与点
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北师大版2021版高考数学(理)一轮复习 第九章平面解析几何第1讲直线的倾斜角与斜率、直线的方程练习含答案
北师大版2021版高考数学（理）一轮复习第九章平面解析几何第1讲直线的倾斜角与斜率、直线的方程练习[基础题组练]1．倾斜角为120°，在x 轴上的截距为－1的直线方程是( ) A.3x －y ＋1＝0 B ．3x －y －3＝0 C.3x ＋y －3＝0D ．3x ＋y ＋3＝0解析：选D.由于倾斜角为120°，故斜率k ＝－ 3.又直线过点(－1，0)，所以方程为y ＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋3＝0.2．直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a ，b ，c 应满足( ) A ．ab >0，bc <0 B ．ab >0，bc >0 C ．ab <0，bc >0D ．ab <0，bc <0解析：选A.由于直线ax ＋by ＋c ＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y ＝－a b x －c b .易知－a b <0且－c b>0，故ab >0，bc <0.3．两直线x m －y n ＝a 与x n －y m＝a (其中a 为不为零的常数)的图象可能是( )解析：选B.直线方程x m －y n ＝a 可化为y ＝n m x －na ，直线x n －y m ＝a 可化为y ＝m nx －ma ，由此可知两条直线的斜率同号．4．直线x －2y ＋b ＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是( ) A ．[－2，2] B ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) C ．[－2，0)∪(0，2]D ．(－∞，＋∞)解析：选C.令x ＝0，得y ＝b2，令y ＝0，得x ＝－b ，所以所求三角形的面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 2|－b |＝14b 2，且b ≠0，14b 2≤1，所以b 2≤4，所以b 的取值范围是[－2，0)∪(0，2]．5．若直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1，1)，则该直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为( ) A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选C.因为直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1，1)， 所以a ＋b ＝ab ，即1a ＋1b＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋1b＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·ab＝4， 当且仅当a ＝b ＝2时上式等号成立．所以直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为4.6.直线l 经过点A (1，2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率k 的取值范围是________． 解析：设直线的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)，直线在x 轴上的截距为1－2k.令－3＜1－2k ＜3，解不等式得k ＜－1或k ＞12.答案：k ＜－1或k >127．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是________． 解析：由题意可知a ≠0.当x ＝0时，y ＝a ＋2. 当y ＝0时，x ＝a ＋2a. 所以a ＋2a＝a ＋2， 解得a ＝－2或a ＝1. 答案：－2或18．设点A (－1，0)，B (1，0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________． 解析：b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1，0)和点B (1，0)时，b 分别取得最小值和最大值． 所以b 的取值范围是[－2，2]． 答案：[－2，2]9．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程： (1)过定点A (－3，4)；(2)斜率为16.解：(1)设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k－3，3k ＋4，由已知，得(3k ＋4)×⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ＋3＝±6，解得k 1＝－23或k 2＝－83. 故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0.(2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程是y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ，由已知，得|－6b ·b |＝6， 所以b ＝±1.所以直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.10．已知射线l 1：y ＝4x (x ≥0)和点P (6，4)，试在l 1上求一点Q 使得PQ 所在直线l 和l 1以及直线y ＝0在第一象限围成的面积达到最小值，并写出此时直线l 的方程．解：设点Q 坐标为(a ，4a )，PQ 与x 轴正半轴相交于M 点． 由题意可得a ＞1，否则不能围成一个三角形．PQ 所在的直线方程为：y －4＝4a －4a －6(x －6)， 令y ＝0，x ＝5a a －1， 因为a ＞1，所以S △OQM ＝12×4a ×5aa －1，则S △OQM ＝10a 2a －1＝10⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－2a ＋1＋2a －2＋1a －1＝10⎣⎢⎡⎦⎥⎤（a －1）＋1a －1＋2≥40， 当且仅当(a －1)2＝1时取等号． 所以a ＝2时，Q 点坐标为(2，8)， 所以此时直线l 的方程为：x ＋y －10＝0.[综合题组练]1．若直线l ：kx －y ＋2＋4k ＝0(k ∈R )交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，则当△AOB 的面积取最小值时直线l 的方程为( )A ．x －2y ＋4＝0B ．x －2y ＋8＝0C ．2x －y ＋4＝0D ．2x －y ＋8＝0解析：选B.由l 的方程，得A ⎝⎛⎭⎪⎫－2＋4k k，0，B (0，2＋4k )．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－2＋4k k <0，2＋4k >0，解得k >0.因为S ＝12|OA |·|OB |＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋4k k ·|2＋4k |＝12·（2＋4k ）2k ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫16k ＋4k ＋16≥12(2×8＋16)＝16，当且仅当16k ＝4k ，即k ＝12时等号成立．此时l 的方程为x －2y ＋8＝0.2．在等腰三角形MON 中，MO ＝MN ，点O (0，0)，M (－1，3)，点N 在x 轴的负半轴上，则直线MN 的方程为( )A ．3x －y －6＝0B ．3x ＋y ＋6＝0C ．3x －y ＋6＝0D ．3x ＋y －6＝0解析：选C.因为MO ＝MN ，所以直线MN 的斜率与直线MO 的斜率互为相反数，所以k MN ＝－k MO ＝3，所以直线MN 的方程为y －3＝3(x ＋1)，即3x －y ＋6＝0，选C.3．已知动直线l ：ax ＋by ＋c －2＝0(a ＞0，c ＞0)恒过点P (1，m )且点Q (4，0)到动直线l 的最大距离为3，则12a ＋2c的最小值为( )A.92 B ．94 C ．1D ．9解析：选B.因为动直线l ：ax ＋by ＋c －2＝0(a ＞0，c ＞0)恒过点P (1，m )，所以a ＋bm ＋c －2＝0，又点Q (4，0)到动直线l 的最大距离为3，所以（4－1）2＋（－m ）2＝3，解得m ＝0，所以a ＋c ＝2，则12a＋2c ＝12(a ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋2c ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋c 2a ＋2a c ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋2c 2a ·2a c ＝94，当且仅当c ＝2a ＝43时取等号，故选B.4．已知直线l ：x －my ＋3m ＝0上存在点M 满足与两点A (－1，0)，B (1，0)连线的斜率k MA 与k MB 之积为3，则实数m 的取值范围是____________．解析：设M (x ，y )，由k MA ·k MB ＝3，得y x ＋1·yx －1＝3，即y 2＝3x 2－3.联立⎩⎨⎧x －my ＋3m ＝0，y 2＝3x 2－3，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1m 2－3x 2＋23m x ＋6＝0. 要使直线l ：x －my ＋3m ＝0上存在点M 满足与两点A (－1，0)，B (1，0)连线的斜率k MA 与k MB 之积为3，则Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23m 2－24⎝ ⎛⎭⎪⎫1m 2－3≥0，即m 2≥16.所以实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－66∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫66，＋∞. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－66∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫66，＋∞ 5.如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1，0)作直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．解：由题意可得k OA ＝tan 45°＝1，k OB ＝tan(180°－30°)＝－33， 所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )， 所以AB 的中点C ⎝⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，由点C 在直线y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3，3)． 又P (1，0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32，所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)，即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0. 6．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值，并求此时直线l 的方程．解：(1)证明：直线l 的方程可化为k (x ＋2)＋(1－y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，1－y ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1，所以无论k 取何值，直线l 总过定点(－2，1)．(2)直线方程可化为y ＝kx ＋1＋2k ，当k ≠0时，要使直线不经过第四象限，则有⎩⎪⎨⎪⎧k ≥0，1＋2k ≥0，解得k ≥0；当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意． 综上，k 的取值范围是k ≥0.(3)依题意得A ⎝⎛⎭⎪⎫－1＋2k k，0，B (0，1＋2k )， 且⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k <0，1＋2k >0， 解得k >0.所以S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1＋2k k ·|1＋2k |＝12·（1＋2k ）2k ＝12⎝⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12×(2×2＋4)＝4，“＝”成立的条件是4k ＝1k ，此时k ＝12，所以S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.。
九解析几何
第九章⎪⎪⎪解析几何 第一节 直线与方程突破点(一) 直线的倾斜角与斜率、两直线的位置关系1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(2)范围：直线l 倾斜角的范围是[0，π)． 2．斜率公式(1)定义式：直线l 的倾斜角为α≠π2，则斜率k ＝tan_α.(2)两点式：P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上，且x 1≠x 2，则l 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1. 3．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行：①对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. ②当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. (2)两条直线垂直：①如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l 1⊥l2.12.在分析直线的倾斜角和斜率的关系时，要根据正切函数k ＝tan α的单调性，如图所示：本节主要包括3个知识点：1.直线的倾斜角与斜率、两直线的位置关系； 2．直线的方程；3.直线的交点、距离与对称问题.当α取值在⎣⎡⎭⎫0，π2内，由0增大到π2⎝⎛⎭⎫α≠π2时，k 由0增大并趋向于正无穷大；当α取值在⎝⎛⎭⎫π2，π内，由π2⎝⎛⎭⎫α≠π2增大到π(α≠π)时，k 由负无穷大增大并趋近于0.解决此类问题，常采用数形结合思想．[例1] (1)直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( ) A ．[0，π) B.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π C.⎣⎡⎦⎤0，π4 D.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎫π2，π (2)已知线段PQ 两端点的坐标分别为P (－1,1)和Q (2,2)，若直线l ：x ＋my ＋m ＝0与线段PQ 有交点，则实数m 的取值范围是________．[解析] (1)因为直线x sin α＋y ＋2＝0的斜率k ＝－sin α，又－1≤sin α≤1，所以－1≤k ≤1.设直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角为θ，所以－1≤tan θ≤1，而θ∈[0，π)，故倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. (2)如图所示，直线l ：x ＋my ＋m ＝0过定点A (0，－1)，当m ≠0时，k QA ＝32，k PA ＝－2，k l ＝－1m .∴－1m ≤－2或－1m ≥32.解得0<m ≤12或－23≤m <0；当m ＝0时，直线l 的方程为x ＝0，与线段PQ 有交点． ∴实数m 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－23，12. [答案] (1)B (2)⎣⎡⎦⎤－23，12 [易错提醒]直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分⎣⎡⎭⎫0，π2与⎝⎛⎭⎫π2，π两种情况讨论．由正切函数图象可以看出，当α∈⎣⎡⎭⎫0，π2时，斜率k ∈[0，＋∞)；当α＝π2时，斜率不存在；当α∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，斜率k ∈(－∞，0)．两直线的位置关系(1)已知两直线的斜率存在①两直线平行⇔两直线的斜率相等且坐标轴上的截距不相等；②两直线垂直⇔两直线的斜率之积为－1. (2)已知两直线的斜率不存在若两直线的斜率不存在，当两直线在x 轴上的截距不相等时，两直线平行；否则两直线重合．(3)已知两直线的一般方程设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0，l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.该方法可避免对斜率是否存在进行讨论．[例2] (1)若直线ax ＋2y －6＝0与x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0平行，则a ＝________. (2)已知经过点A (－2,0)和点B (1,3a )的直线l 1与经过点P (0，－1)和点Q (a ，－2a )的直线l 2互相垂直，则实数a 的值为________．[解析] (1)因为两直线平行，所以有a (a －1)－2＝0，且2(a 2－1)＋6(a －1)≠0，即a 2－a －2＝0，且a 2＋3a －4≠0，解得a ＝2或a ＝－1.(2)l 1的斜率k 1＝3a －01－(－2)＝a .当a ≠0时，l 2的斜率k 2＝－2a －(－1)a －0＝1－2aa .因为l 1⊥l 2，所以k 1k 2＝－1，即a ·1－2aa＝－1，解得a ＝1.当a ＝0时，P (0，－1)，Q (0,0)，这时直线l 2为y 轴，A (－2，0)，B (1,0)，直线l 1为x 轴，显然l 1⊥l 2.综上可知，实数a 的值为1或0. [答案] (1)2或－1 (2)1或0 [易错提醒]当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件．能力练通 抓应用体验的“得”与“失”1.[考点一]直线2x cos α－y －3＝0(α∈[π6，π3])的倾斜角的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤π6，π3B.⎣⎡⎦⎤π4，π3C.⎣⎡⎦⎤π4，π2D.⎣⎡⎦⎤π4，2π3解析：选B 直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α， 因为α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3， 所以12≤cos α≤32，因此k ＝2·cos α∈[1， 3 ]．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1， 3 ]． 又θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π3， 即倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤π4，π3.2.[考点一]直线l ：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是( ) A.33B. 3 C ．－ 3D ．－33解析：选A 设直线l 的斜率为k ，则k ＝－sin 30°cos 150°＝33.3.[考点二]若直线l 1：mx －y －2＝0与直线l 2：(2－m )x －y ＋1＝0互相平行，则实数m 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：选C ∵直线l 1：mx －y －2＝0与直线l 2：(2－m )x －y ＋1＝0互相平行，∴⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋(2－m )＝0，m ＋2(2－m )≠0，解得m ＝1.故选C. 4.[考点二]已知直线l 1：2ax ＋(a ＋1)y ＋1＝0，l 2：(a ＋1)x ＋(a －1)y ＝0，若l 1⊥l 2，则a ＝( )A ．2或12B.13或－1 C.13D ．－1解析：选B 因为直线l 1：2ax ＋(a ＋1)y ＋1＝0，l 2：(a ＋1)x ＋(a －1)y ＝0，l 1⊥l 2，所以2a (a ＋1)＋(a ＋1)(a －1)＝0，解得a ＝13或a ＝－1.故选B.5.[考点一]直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________．解析：如图，∵k AP ＝1－02－1＝1，k BP ＝3－00－1＝－3，∴k ∈(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞)． 答案：(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞)6.[考点二](2016·苏北四市一模)已知a ，b 为正数，且直线ax ＋by －6＝0与直线2x ＋(b －3)y ＋5＝0平行，则2a ＋3b 的最小值为________．解析：由两直线平行可得，a (b －3)－2b ＝0， 即2b ＋3a ＝ab ，2a ＋3b ＝1.又a ，b 为正数，所以2a ＋3b ＝(2a ＋3b )·⎝⎛⎭⎫2a ＋3b ＝13＋6a b ＋6b a≥13＋2 6a b ·6ba ＝25，当且仅当a ＝b ＝5时取等号， 故2a ＋3b 的最小值为25. 答案：25突破点(二) 直线的方程基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 直线方程的五种形式＋B 2≠0考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”求直线方程[例1] (1)求过点A (1,3)，斜率是直线y ＝－4x 的斜率的13的直线方程．(2)求经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程． (3)求过A (2,1)，B (m,3)两点的直线l 的方程．[解] (1)设所求直线的斜率为k ，依题意k ＝－4×13＝－43.又直线经过点A (1,3)，因此所求直线方程为y －3＝－43(x －1)，即4x ＋3y －13＝0.(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为x 2a ＋ya ＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a ＝－12，所以直线方程为x ＋2y ＋1＝0；当直线过原点时，设直线方程为y ＝kx ，则－5k ＝2，解得k ＝－25，所以直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0.故所求直线方程为2x ＋5y ＝0或x ＋2y ＋1＝0. (3)①当m ＝2时，直线l 的方程为x ＝2； ②当m ≠2时，直线l 的方程为y －13－1＝x －2m －2，即2x －(m －2)y ＋m －6＝0.因为m ＝2时，代入方程2x －(m －2)y ＋m －6＝0，即为x ＝2， 所以直线l 的方程为2x －(m －2)y ＋m －6＝0. [易错提醒](1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应先判断截距是否为零)．与直线方程有关的最值问题[例2] 过点(1)当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程． (2)当|OA |＋|OB |取最小值时，求直线l 的方程． [解] 设直线l ：x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)， 因为直线l 经过点P (4,1)，所以4a ＋1b ＝1.(1)4a ＋1b＝1≥2 4a ·1b ＝4ab， 所以ab ≥16，当且仅当a ＝8，b ＝2时等号成立，所以当a ＝8，b ＝2时，S △AOB ＝12ab 最小，此时直线l 的方程为x 8＋y 2＝1，即x ＋4y －8＝0.(2)因为4a ＋1b ＝1，a >0，b >0，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫4a ＋1b ＝5＋a b ＋4b a≥5＋2 a b ·4ba ＝9，当且仅当a ＝6，b ＝3时等号成立，所以当|OA |＋|OB |取最小值时，直线l 的方程为x ＋2y －6＝0. [方法技巧]1．给定条件求直线方程的思路(1)考虑问题的特殊情况，如斜率不存在的情况，截距等于零的情况． (2)在一般情况下准确选定直线方程的形式，用待定系数法求出直线方程． (3)重视直线方程一般形式的应用，因为它具有广泛的适用性． 2．与直线有关的最值问题的解题思路 (1)借助直线方程，用y 表示x 或用x 表示y . (2)将问题转化成关于x (或y )的函数． (3)利用函数的单调性或基本不等式求最值．能力练通 抓应用体验的“得”与“失” 1.[考点一]倾斜角为135°，在y 轴上的截距为－1的直线方程是( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x －y －1＝0 C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋1＝0解析：选D 直线的斜率为k ＝tan 135°＝－1，所以直线方程为y ＝－x －1，即x ＋y ＋1＝0.2.[考点一]已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线l 0：x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为( )A ．4x －3y －3＝0B ．3x －4y －3＝0C ．3x －4y －4＝0D ．4x －3y －4＝0解析：选D 由题意可设直线l 0，l 的倾斜角分别为α，2α， 因为直线l 0：x －2y －2＝0的斜率为12，则tan α＝12，所以直线l 的斜率k ＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43，所以由点斜式可得直线l 的方程为y －0＝43(x －1)，即4x －3y －4＝0.3.[考点二]若直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)，则该直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选C ∵直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)， ∴a ＋b ＝ab ，即1a ＋1b ＝1， ∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋ab ≥2＋2b a ·a b ＝4，当且仅当a ＝b ＝2时上式等号成立．∴直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为4.4.[考点二]若ab >0，且A (a,0)，B (0，b )，C (－2，－2)三点共线，则ab 的最小值为________． 解析：根据A (a,0)，B (0，b )确定直线的方程为x a ＋yb ＝1，又C (－2，－2)在该直线上，故－2a ＋－2b ＝1，所以－2(a ＋b )＝ab .又ab >0，故a <0，b <0.根据基本不等式ab ＝－2(a ＋b )≥4ab ，从而ab ≤0(舍去)或ab ≥4，故ab ≥16，当且仅当a ＝b ＝－4时取等号．即ab 的最小值为16.答案：165.[考点一]△ABC 的三个顶点分别为A (－3,0)，B (2,1)，C (－2,3)，求： (1)BC 边所在直线的方程；(2)BC 边上中线AD 所在直线的方程； (3)BC 边的垂直平分线DE 所在直线的方程． 解：(1)因为直线BC 经过B (2,1)和C (－2,3)两点，由两点式得BC 的方程为y －13－1＝x －2－2－2，即x ＋2y －4＝0.(2)设BC 边的中点D 的坐标为(x ，y )， 则x ＝2－22＝0，y ＝1＋32＝2.BC 边的中线AD 过点A (－3,0)，D (0,2)两点， 由截距式得AD 所在直线的方程为x －3＋y2＝1，即2x －3y ＋6＝0.(3)由(1)知，直线BC 的斜率k 1＝－12，则BC 的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2. 由(2)知，点D 的坐标为(0,2)．由点斜式得直线DE 的方程为y －2＝2(x －0)， 即2x －y ＋2＝0.突破点(三) 直线的交点、距离与对称问题1．两条直线的交点2．三种距离[例1] (1)当0<k <12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限(2)已知直线l 经过点P (3,1)，且被两条平行直线l 1：x ＋y ＋1＝0和l 2：x ＋y ＋6＝0截得的线段长为5，则直线l 的方程为________．[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＝k －1，ky －x ＝2k得⎩⎨⎧x ＝kk －1，y ＝2k －1k －1.又∵0<k <12，∴x ＝kk －1<0，y ＝2k －1k －1>0，故直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在第二象限．(2)若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x ＝3，此时与l 1，l 2的交点分别为A ′(3，－4)，B ′(3，－9)，截得的线段A ′B ′的长|A ′B ′|＝|－4＋9|＝5，符合题意．若直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为y ＝k (x －3)＋1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k (x －3)＋1，x ＋y ＋1＝0，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －2k ＋1，－4k －1k ＋1，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －3)＋1，x ＋y ＋6＝0，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －7k ＋1，－9k －1k ＋1. 由|AB |＝5，得⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －2k ＋1－3k －7k ＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k －1k ＋1＋9k －1k ＋12＝52.解得k ＝0，即所求的直线方程为y ＝1.综上可知，所求直线l 的方程为x ＝3或y ＝1. [答案] (1)B (2)x ＝3或y ＝1 [方法技巧]1．两直线交点的求法求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程联立组成的方程组，得到的方程组的解，即交点的坐标．2．求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程．距离问题[例2] (1)若P ，Q ＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为( )A.95B.185C.2910D.295(2)已知A (4，－3)，B (2，－1)和直线l ：4x ＋3y －2＝0，若在坐标平面内存在一点P ，使|PA |＝|PB |，且点P 到直线l 的距离为2，则P 点坐标为________．[解析] (1)因为36＝48≠－125，所以两直线平行，将直线3x ＋4y －12＝0化为6x ＋8y －24＝0，由题意可知|PQ |的最小值为这两条平行直线间的距离， 即|－24－5|62＋82＝2910，所以|PQ |的最小值为2910.(2)设点P 的坐标为(a ，b )． ∵A (4，－3)，B (2，－1)，∴线段AB 的中点M 的坐标为(3，－2)． 而AB 的斜率k AB ＝－3＋14－2＝－1，∴线段AB 的垂直平分线方程为y ＋2＝x －3， 即x －y －5＝0.∵点P (a ，b )在直线x －y －5＝0上，∴a －b －5＝0.① 又点P (a ，b )到直线l ：4x ＋3y －2＝0的距离为2， ∴|4a ＋3b －2|42＋32＝2，即4a ＋3b －2＝±10，②由①②联立可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4或⎩⎨⎧a ＝277，b ＝－87.∴所求点P 的坐标为(1，－4)或⎝⎛⎭⎫277，－87. [答案] (1)C (2)(1，－4)或⎝⎛⎭⎫277，－87 [易错提醒](1)点P (x 0，y 0)到直线x ＝a 的距离d ＝|x 0－a |，到直线y ＝b 的距离d ＝|y 0－b |； (2)利用两平行线间的距离公式要先把两直线方程中x ，y 的系数化为相等．对称问题1．(1)点关于点对称：若点M (x 1，y 1)及N (x ，y )关于P (a ，b )对称，则由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a －x 1，y ＝2b －y 1，进而求解．(2)直线关于点的对称，主要求解方法是：①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程． 2．轴对称问题的两种类型及求解方法 (1)点关于直线的对称：若两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＋B ⎝⎛⎭⎫y 1＋y 22＋C ＝0，y 2－y 1x 2－x 1·⎝⎛⎭⎫－A B ＝－1，可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标(x 2，y 2)(其中B ≠0，x 1≠x 2)．(2)直线关于直线的对称：①若直线与对称轴平行，则在直线上取一点，求出该点关于轴的对称点，然后用点斜式求解．②若直线与对称轴相交，则先求出交点，然后再取直线上一点，求该点关于轴的对称点，最后由两点式求解．[例3] (1)点P (3,2)关于点Q (1,4)的对称点M 为( ) A ．(1,6) B ．(6,1) C ．(1，－6)D ．(－1,6)(2)直线2x －y ＋3＝0关于直线x －y ＋2＝0对称的直线方程是( ) A ．x －2y ＋3＝0 B ．x －2y －3＝0 C ．x ＋2y ＋1＝0D ．x ＋2y －1＝0(3)已知入射光线经过点M (－3,4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．[解析](1)设M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧3＋x2＝1，2＋y 2＝4，∴x ＝－1，y ＝6， ∴M (－1,6)．(2)设所求直线上任意一点P (x ，y )，则P 关于x －y ＋2＝0的对称点为P ′(x 0，y 0)，由⎩⎨⎧x ＋x 02－y ＋y 02＋2＝0，x －x 0＝－(y －y 0)，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y －2，y 0＝x ＋2，由点P ′(x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上， ∴2(y －2)－(x ＋2)＋3＝0， 即x －2y ＋3＝0.(3)设点M (－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，所以⎩⎨⎧b －4a －(－3)·1＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0.又反射光线经过点N (2,6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x －y －6＝0.[答案] (1)D (2)A (3)6x －y －6＝0 [方法技巧]解决两类对称问题的关键点解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式，而解决轴对称问题，一般是转化为求对称点的问题，在求对称点时，关键是抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解．能力练通 抓应用体验的“得”与“失”1.[考点三](2016·东城期末)如果平面直角坐标系内的两点A (a －1，a ＋1)，B (a ，a )关于直线l 对称，那么直线l 的方程为( )A ．x －y ＋1＝0B ．x ＋y ＋1＝0C ．x －y －1＝0D ．x ＋y －1＝0解析：选A 因为直线AB 的斜率为a ＋1－a a －1－a ＝－1，所以直线l 的斜率为1，设直线l 的方程为y ＝x ＋b ，由题意知直线l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －12，2a ＋12，所以2a ＋12＝2a －12＋b ，解得b ＝1，所以直线l 的方程为y ＝x ＋1，即x －y ＋1＝0.选A.2.[考点二]若直线l 1：x －2y ＋m ＝0(m >0)与直线l 2：x ＋ny －3＝0之间的距离是5，则m＋n ＝( )A ．0B ．1C ．－1D ．2解析：选A ∵直线l 1：x －2y ＋m ＝0(m >0)与直线l 2：x ＋ny －3＝0之间的距离为5，∴⎩⎨⎧n ＝－2，|m ＋3|5＝5，∴n ＝－2，m ＝2(负值舍去)．∴m ＋n ＝0.3.[考点一]已知定点A (1,0)，点B 在直线x －y ＝0上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫12，12B.⎝⎛⎭⎫22，22C.⎝⎛⎭⎫32，32D.⎝⎛⎭⎫52，52 解析：选A 因为定点A (1,0)，点B 在直线x －y ＝0上运动，所以当线段AB 最短时，直线AB 和直线x －y ＝0垂直，设直线AB 的方程为x ＋y ＋m ＝0，将A 点代入，解得m ＝－1，所以直线AB 的方程为x ＋y －1＝0，它与x －y ＝0联立解得x ＝12，y ＝12，所以B 的坐标是⎝⎛⎭⎫12，12.4.[考点三]若m >0，n >0，点(－m ，n )关于直线x ＋y －1＝0的对称点在直线x －y ＋2＝0上，那么1m ＋4n的最小值等于________．解析：由题意知(－m ，n )关于直线x ＋y －1＝0的对称点为(1－n,1＋m )．则1－n －(1＋m )＋2＝0，即m ＋n ＝2.于是1m ＋4n ＝12(m ＋n )⎝⎛⎭⎫1m ＋4n ＝12×⎝⎛⎭⎫5＋n m ＋4m n ≥12×(5＋2×2)＝92，当且仅当m ＝23，n ＝43时等号成立．答案：925.[考点一]经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程为________________．解析：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，即P (0,2)．∵l ⊥l 3，直线l 3的斜率为34，∴直线l 的斜率k 1＝－43，∴直线l 的方程为y －2＝－43x ，即4x ＋3y －6＝0. 答案：4x ＋3y －6＝0 6.[考点二]已知点P (2，－1)．(1)求过点P 且与原点的距离为2的直线l 的方程．(2)求过点P 且与原点的距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过点P 且与原点的距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．解：(1)过点P 的直线l 与原点的距离为2，而点P 的坐标为(2，－1)，显然，过P (2，－1)且垂直于x 轴的直线满足条件，此时l 的斜率不存在，其方程为x ＝2.若斜率存在，设l 的方程为y ＋1＝k (x －2)， 即kx －y －2k －1＝0. 由已知得|－2k －1|k 2＋1＝2，解得k ＝34.此时l 的方程为3x －4y －10＝0.综上，可得直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.(2)作图可得过点P 与原点O 的距离最大的直线是过点P 且与PO垂直的直线，如图．由l ⊥OP ，得k l k OP ＝－1，因为k OP ＝－12，所以k l ＝－1k OP ＝2.由直线方程的点斜式得y ＋1＝2(x －2)， 即2x －y －5＝0.所以直线2x －y －5＝0是过点P 且与原点O 的距离最大的直线，最大距离为|－5|5＝ 5.(3)由(2)可知，过点P 不存在到原点的距离超过5的直线，因此不存在过点P 且到原点的距离为6的直线.[全国卷5年真题集中演练——明规律]1.(2016·全国甲卷)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )A ．－43B ．－34C. 3 D ．2解析：选A 因为圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离d ＝|a ＋4－1|a 2＋1＝1，解得a ＝－43.2．(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知点A (－1,0)，B (1,0)，C (0,1)，直线y ＝ax ＋b (a >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( )A ．(0,1) B.⎝⎛⎭⎫1－22，12 C.⎝⎛⎦⎤1－22，13 D.⎣⎡⎭⎫13，12解析：选B 法一：(1)当直线y ＝ax ＋b 与AB ，BC 相交时，如图①所示．易求得：x M ＝－b a ，y N ＝a ＋b a ＋1.由已知条件得：⎝⎛⎭⎫1＋b a ·a ＋b a ＋1＝1，∴a ＝b 21－2b .∵点M 在线段OA 上，∴－1<－ba <0，∴0<b <a .∵点N在线段BC 上，∴0<a ＋ba ＋1<1，∴b <1.由⎩⎪⎨⎪⎧b 21－2b >b ，b 21－2b>0，b >0，解得13<b <12.(2)当直线y ＝ax ＋b 与AC ，BC 相交时，如图②所示．设MC ＝m ，NC ＝n ，则S △MCN ＝12mn ＝12，∴mn ＝1.显然，0<n <2，∴m ＝1n >22.又0<m ≤2且m ≠n .∴22<m ≤2且m ≠1.设D 到AC ，BC 的距离为t ，则t m ＝DN MN ，t n ＝DM MN ，∴t m ＋t n ＝DN MN ＋DMMN ＝1.∴t ＝mn m ＋n ，∴1t ＝1m ＋1n ＝1m ＋m .而f (m )＝m ＋1m ⎝⎛⎭⎫22<m ≤2且m ≠1的值域为⎝⎛⎦⎤2，322，即2<1t ≤322，∴23≤t ＜12.∵b ＝1－CD ＝1－2t ，∴1－22＜b ≤13.综合(1)、(2)可得：1－22<b <12.法二：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y ＝ax ＋b 消去x ，得y ＝a ＋b a ＋1，当a ＞0时，直线y ＝ax ＋b 与x 轴交于点⎝⎛⎭⎫－b a ，0，结合图形知12×a ＋b a ＋1×⎝⎛⎭⎫1＋b a ＝12，化简得(a ＋b )2＝a (a ＋1)，则a ＝b 21－2b.∵a ＞0，∴b 21－2b＞0，解得b ＜12.考虑极限位置，即a ＝0，此时易得b ＝1－22，故答案为B.[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考[练基础小题——强化运算能力]1．直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是( ) A.π6 B.π3 C.2π3D.5π6解析：选D 由直线的方程得直线的斜率为k ＝－33，设倾斜角为α，则tan α＝－33，所以α＝5π6.2．若方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则参数m 满足的条件是( )A ．m ≠－32B ．m ≠0C ．m ≠0且m ≠1D ．m ≠1解析：选D 由⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －3＝0，m 2－m ＝0，解得m ＝1，故m ≠1时方程表示一条直线．3．过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝0解析：选A 依题意，设所求的直线方程为x －2y ＋a ＝0，由于点(1,0)在所求直线上，则1＋a ＝0，即a ＝－1，则所求的直线方程为x －2y －1＝0.4．已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是( ) A.1710 B.175C ．8D ．2解析：选D ∵63＝m 4≠14－3，∴m ＝8，直线6x ＋8y ＋14＝0可化为3x ＋4y ＋7＝0，两平行线之间的距离d ＝|－3－7|32＋42＝2.5．若三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋2y ＋5＝0相交于同一点，则m 的值为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ，x ＋y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.所以点(1,2)满足方程mx ＋2y ＋5＝0，即m ×1＋2×2＋5＝0，所以m ＝－9.答案：－9[练常考题点——检验高考能力]一、选择题1．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．－2或－1D ．－2或1解析：选D 由题意可知a ≠0.当x ＝0时，y ＝a ＋2.当y ＝0时，x ＝a ＋2a .故a ＋2a ＝a ＋2，解得a ＝－2或a ＝1.2．直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a ，b ，c 应满足( ) A ．ab ＞0，bc ＜0 B ．ab ＞0，bc ＞0 C ．ab ＜0，bc ＞0D ．ab ＜0，bc ＜0解析：选A 由于直线ax ＋by ＋c ＝0同时经过第一、第二、第四象限，所以直线斜率存在，将方程变形为y ＝－a b x －c b .易知－a b ＜0且－cb ＞0，故ab ＞0，bc ＜0.3．两直线x m －y n ＝a 与x n －ym ＝a (其中a 是不为零的常数)的图象可能是( )解析：选B 直线方程x m －y n ＝a 可化为y ＝n m x －na ，直线x n －y m ＝a 可化为y ＝mn x －ma ，由此可知两条直线的斜率同号，故选B.4．若动点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)分别在直线l 1：x －y －5＝0，l 2：x －y －15＝0上移动，则P 1P 2的中点P 到原点的距离的最小值是( )A.522 B ．5 2 C.1522D ．15 2解析：选B 由题意得P 1P 2的中点P 的轨迹方程是x －y －10＝0，则原点到直线x －y －10＝0的距离为d ＝|－10|2＝52，即P 到原点距离的最小值为5 2. 5．已知A ，B 两点分别在两条互相垂直的直线2x －y ＝0和x ＋ay ＝0上，且AB 线段的中点为P ⎝⎛⎭⎫0，10a ，则线段AB 的长为( ) A ．11 B ．10 C ．9D ．8解析：选B依题意，a ＝2，P (0,5)，设A (x,2x )，B (－2y ，y )，故⎩⎪⎨⎪⎧x －2y2＝0，2x ＋y 2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝2，所以A (4,8)，B (－4,2)，∴|AB |＝(4＋4)2＋(8－2)2＝10. 6．设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为3，且|PA |＝|PB |，若直线PA 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是( )A ．x ＋y －5＝0B ．2x －y －1＝0C ．x －2y ＋4＝0D ．x ＋y －7＝0解析：选D 由|PA |＝|PB |知点P 在AB 的垂直平分线上．由点P 的横坐标为3，且PA 的方程为x －y ＋1＝0，得P (3，4)．直线PA ，PB 关于直线x ＝3对称，直线PA 上的点(0,1)关于直线x ＝3的对称点(6,1)在直线PB 上，所以直线PB 的方程为x ＋y －7＝0.二、填空题7．已知直线l 1：y ＝2x ＋3，直线l 2与l 1关于直线y ＝－x 对称，则直线l 2的斜率为________． 解析：因为l 1，l 2关于直线y ＝－x 对称，所以l 2的方程为－x ＝－2y ＋3，即y ＝12x ＋32，即直线l 2的斜率为12.答案：128．已知l 1，l 2是分别经过A (1,1)，B (0，－1)两点的两条平行直线，当l 1，l 2间的距离最大时，则直线l 1的方程是__________________．解析：当直线AB 与l 1，l 2垂直时，l 1，l 2间的距离最大．因为A (1,1)，B (0，－1)，所以k AB ＝－1－10－1＝2，所以两平行直线的斜率为k ＝－12，所以直线l 1的方程是y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.答案：x ＋2y －3＝09．设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________． 解析：b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1，0)和点B (1,0)时，b 分别取得最小值和最大值．∴b 的取值范围是[－2,2]．答案：[－2,2]10.如图，已知A (－2,0)，B (2,0)，C (0,2)，E (－1,0)，F (1,0)，一束光线从F 点出发射到BC 上的D 点，经BC 反射后，再经AC 反射，落到线段AE 上(不含端点)，则直线FD 的斜率的取值范围为________．解析：从特殊位置考虑．如图，∵点A (－2,0)关于直线BC ：x ＋y ＝2的对称点为A 1(2,4)， ∴kA 1F ＝4.又点E (－1,0)关于直线AC ：y ＝x ＋2的对称点为E 1(－2，1)，点E 1(－2,1)关于直线BC ：x ＋y ＝2的对称点为E 2(1,4)，此时直线E 2F 的斜率不存在，∴k FD >kA 1F ，即k FD ∈(4，＋∞)．答案：(4，＋∞) 三、解答题11．正方形的中心为点C (－1,0)，一条边所在的直线方程是x ＋3y －5＝0，求其他三边所在直线的方程．解：点C 到直线x ＋3y －5＝0的距离d ＝|－1－5|1＋9＝3105.设与x ＋3y －5＝0平行的一边所在直线的方程是x ＋3y ＋m ＝0(m ≠－5)， 则点C 到直线x ＋3y ＋m ＝0的距离d ＝|－1＋m |1＋9＝3105，解得m ＝－5(舍去)或m ＝7，所以与x ＋3y －5＝0平行的边所在直线的方程是x ＋3y ＋7＝0. 设与x ＋3y －5＝0垂直的边所在直线的方程是3x －y ＋n ＝0， 则点C 到直线3x －y ＋n ＝0的距离d ＝|－3＋n |1＋9＝3105，解得n ＝－3或n ＝9，所以与x ＋3y －5＝0垂直的两边所在直线的方程分别是3x －y －3＝0和3x －y ＋9＝0. 12．已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值．(1)l 1⊥l 2，且l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等． 解：(1)由已知可得l 2的斜率存在， ∴k 2＝1－a .若k 2＝0，则1－a ＝0，a ＝1. ∵l 1⊥l 2，直线l 1的斜率k 1必不存在，∴b ＝0.又∵l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋4＝0，即a ＝43(矛盾)，∴此种情况不存在，∴k 2≠0，即k 1，k 2都存在． ∵k 2＝1－a ，k 1＝ab ，l 1⊥l 2，∴k 1k 2＝－1， 即ab (1－a )＝－1.① 又∵l 1过点(－3，－1)， ∴－3a ＋b ＋4＝0.②由①②联立，解得a ＝2，b ＝2. (2)∵l 2的斜率存在，l 1∥l 2，∴直线l 1的斜率存在，k 1＝k 2，即ab ＝1－a .③ 又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，且l 1∥l 2， ∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b ＝b .④联立③④，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝2.∴a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.第二节 圆的方程突破点(一) 圆的方程1．圆的定义及方程点M (x 0，y 0)，圆的标准方程(x －a )2＋(y －b)2＝r 2.1．(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．(2)待定系数法：①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值．2．确定圆心位置的三种方法(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上． (2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上． (3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线．本节主要包括2个知识点： 1.圆的方程；2.与圆的方程有关的综合问题.[例1] (1)已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则圆C 的方程为________________．(2)已知圆心在直线y ＝－4x 上，且圆与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)，则该圆的方程是________________．(3)经过三点(2，－1)，(5,0)，(6,1)的圆的一般方程为________________． [解析] (1)依题意，设圆心坐标为C (a,0)， 则|CA |＝|CB |， 即(a －5)2＋(0－1)2＝(a －1)2＋(0－3)2，则a ＝2.故圆心为(2,0)，半径为10， 所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10.(2)过切点且与x ＋y －1＝0垂直的直线为y ＋2＝x －3，与y ＝－4x 联立可求得圆心为(1，－4)．所以半径r ＝(3－1)2＋(－2＋4)2＝22， 故所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.(3)设所求圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 则⎩⎪⎨⎪⎧22＋(－1)2＋2D －E ＋F ＝0，52＋02＋5D ＋0＋F ＝0，62＋12＋6D ＋E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝－8，F ＝－5，故所求圆的一般方程为x 2＋y 2－4x －8y －5＝0.[答案] (1)(x －2)2＋y 2＝10 (2)(x －1)2＋(y ＋4)2＝8 (3)x 2＋y 2－4x －8y －5＝0 [方法技巧]1．确定圆的方程必须有三个独立条件不论圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母(a ，b ，r 或D ，E ，F )的值需要确定，因此需要三个独立的条件．利用待定系数法得到关于a ，b ，r (或D ，E ，F )的三个方程组成的方程组，解之得到待定字母系数的值，从而确定圆的方程．2．几何法在圆中的应用在一些问题中借助平面几何中关于圆的知识可以简化计算，如已知一个圆经过两点时，其圆心一定在这两点连线的垂直平分线上，解题时要注意平面几何知识的应用．3．A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，以AB 为直径的圆的方程为(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.与圆有关的对称问题1．圆关于直径所在的直线对称． 2．圆关于点对称(1)求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置． (2)两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点． 3．圆关于直线对称(1)求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置． (2)两圆关于某条直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线．[例2] 已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为( )A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1D ．(x －2)2＋(y －2)2＝1[解析] 圆C 1的圆心坐标为(－1,1)，半径为1， 设圆C 2的圆心坐标为(a ，b )，由题意得⎩⎨⎧a －12－b ＋12－1＝0，b －1a ＋1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2，所以圆C 2的圆心坐标为(2，－2)，又两圆的半径相等，故圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1. [答案] B能力练通 抓应用体验的“得”与“失”1.[考点一]已知点A (－1，3)，B (1，－3)，则以线段AB 为直径的圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2＝2 B ．x 2＋y 2＝ 2 C ．x 2＋y 2＝1D ．x 2＋y 2＝4解析：选D 由题意知，AB 的中点为(0,0)， 即所求圆的圆心坐标为(0,0)， 设圆的方程为x 2＋y 2＝r 2， 因为|AB |＝[1－(－1)]2＋(－3－3)2＝4，所以圆的半径为2， 所以圆的方程为x 2＋y 2＝4.2.[考点一]若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A ．(x －2)2＋()y －12＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1D.()x －32＋(y －1)2＝1解析：选A 由于圆心在第一象限且与x 轴相切，故设圆心为(a,1)(a >0)，又由圆与直线4x －3y ＝0相切可得|4a －3|5＝1，解得a ＝2，故圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1.3.[考点二]已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R)对称，则ab 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，14B.⎝⎛⎭⎫0，14 C.⎝⎛⎭⎫－14，0 D.⎣⎡⎭⎫－14，＋∞ 解析：选A 将圆的方程化成标准形式得(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，若圆关于已知直线对称，则圆心(－1,2)在直线上，代入整理得a ＋b ＝1，故ab ＝a (1－a )＝－⎝⎛⎭⎫a －122＋14≤14，故选A. 4.[考点二]若圆C 的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为________．解析：根据题意得，点(1,0)关于直线y ＝x 对称的点(0,1)为圆心，又半径r ＝1，所以圆C 的标准方程为x 2＋(y －1)2＝1.答案：x 2＋(y －1)2＝15.[考点二]若圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝9上的相异两点P ，Q 关于直线kx ＋2y －4＝0对称，则k 的值为________．解析：圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴．已知圆的圆心为(－1,3)，由题设知，直线kx ＋2y －4＝0过圆心，则k ×(－1)＋2×3－4＝0，解得k ＝2.答案：26.[考点一]求圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的方程．解：设点C为圆心，因为点C在直线x－2y－3＝0上，所以可设点C的坐标为(2a＋3，a)．又该圆经过A，B两点，所以|CA|＝|CB|，即(2a＋3－2)2＋(a＋3)2＝(2a＋3＋2)2＋(a＋5)2，解得a＝－2，所以圆心C的坐标为(－1，－2)，半径r＝10.故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.突破点(二)与圆的方程有关的综合问题圆的方程是高中数学的一个重要知识点，高考中，除了圆的方程的求法外，圆的方程与其他知识的综合问题也是高考考查的热点，常涉及轨迹问题和最值问题.解决此类问题的关键是数形结合思想的运用.考点贯通抓高考命题的“形”与“神”与圆有关的轨迹问题[例1]已知圆22Q为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．[解](1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设PQ的中点为N(x，y)．在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.[方法技巧] 求与圆有关的轨迹问题的四种方法助数形结合思想求解．与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：(1)形如μ＝y －bx －a的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题． (2)形如t ＝ax ＋by 的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题，也可用三角代换求解． (3)形如m ＝(x －a )2＋(y －b )2的最值问题，可转化为动点与定点的距离的平方的最值问题．[例2] 已知M (m ，n )为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点． (1)求m ＋2n 的最大值； (2)求n －3m ＋2的最大值和最小值． [解] (1)法一：因为x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0的圆心C (2，7)，半径r ＝22， 设m ＋2n ＝t ，将m ＋2n ＝t 看成直线方程， 因为该直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离d ＝|1×2＋2×7－t |12＋22≤22，解上式得：16－210≤t ≤16＋210， 所以m ＋2n 的最大值为16＋210.法二：由x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0，得(x －2)2＋(y －7)2＝8. 因为点M (m ，n )为圆上任意一点，故可设⎩⎪⎨⎪⎧m －2＝22cos θ，n －7＝22sin θ，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2＋22cos θn ＝7＋22sin θ∴m ＋2n ＝2＋22cos θ＋2(7＋22sin θ) ＝16＋22cos θ＋42sin θ ＝16＋8＋32sin(θ＋φ)＝16＋210sin(θ＋φ)，⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝12故m ＋2n 的最大值为16＋210. (2)记点Q (－2,3)．因为n －3m ＋2表示直线MQ 的斜率，设直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＋3＝0，则n －3m ＋2＝k .由直线MQ 与圆C 有公共点， 所以|2k －7＋2k ＋3|k 2＋1≤2 2.可得2－3≤k ≤2＋3，所以n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3.1.[考点一]设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM ，ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹．解：如图，设P (x ，y )，N (x0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 2，y 2，线段MN 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－32，y 0＋42.因为平行四边形的对角线互相平分，所以x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4.又点N (x ＋3，y －4)在圆x 2＋y 2＝4上， 所以(x ＋3)2＋(y －4)2＝4.所以点P 的轨迹是以(－3,4)为圆心，2为半径的圆，因为O ，M ，P 三点不共线，所以应除去两点⎝⎛⎭⎫－95，125和⎝⎛⎭⎫－215，285. 2.[考点二]已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0， (1)求yx 的最大值和最小值； (2)求y －x 的最大值和最小值； (3)求x 2＋y 2的最大值和最小值．解：原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆． (1)yx 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率， 所以设yx ＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝ 3，解得k ＝±3. 所以yx的最大值为3，最小值为－ 3.(2)y －x 可看成是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距．当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝3，解得b ＝－2±6.所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6. (3)x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方．由平面几何知识知，x 2＋y 2在原点和圆心的连线与圆的两个交点A ，B 处分别取得最小值，最大值．因为圆心到原点的距离为(2－0)2＋(0－0)2＝2，所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43， x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3.[全国卷5年真题集中演练——明规律] 1.(2015·新课标全国卷Ⅱ)过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，。
全国通用近年高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第9节第1课时直线与圆锥曲线学案理新人教B版(20
（全国通用版）2019版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第9节第1课时直线与圆锥曲线学案理新人教B版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（全国通用版）2019版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第9节第1课时直线与圆锥曲线学案理新人教B版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第1课时直线与圆锥曲线最新考纲 1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法;2。
了解圆锥曲线的简单应用；3。
理解数形结合的思想。
知识梳理1.直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0（A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0,消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y）的一元方程，即错误!消去y,得ax2＋bx＋c＝0.(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则：Δ＞0⇔直线与圆锥曲线C相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切；Δ＜0⇔直线与圆锥曲线C相离。
（2）当a＝0，b≠0时,即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时,若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线,则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合.2.圆锥曲线的弦长设斜率为k（k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B（x2,y2），则｜AB|＝错误!｜x1－x2|＝1＋k2·错误!＝错误!·|y1－y2|＝错误!·错误!。
近年高考数学一轮复习第九章平面解析几何第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程夯基提能作业本文(202
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第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程A组基础题组1.直线l:xsin 30°+ycos 150°+1=0的斜率是( )A。
B。
C.- D.-2.已知直线l过点(1，0），且倾斜角为直线l0:x—2y—2=0的倾斜角的2倍，则直线l的方程为( ）A.4x-3y-3=0 B。
3x-4y-3=0C。
3x-4y—4=0 D.4x—3y-4=03。
已知直线l：ax+y—2—a=0在x轴和y轴上的截距相等,则a的值是（)A.1 B。
-1 C.-2或-1 D。
—2或14.直线ax+by+c=0同时要经过第一、第二、第四象限，则a,b，c应满足（）A。
ab>0,bc〈0 B.ab>0,bc>0C.ab〈0，bc〉0D.ab〈0，bc<05.(2016北京顺义一模）已知点P(2，—1）为圆(x-1)2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程为( ）A.x—y—3=0B.2x+y—3=0C。
x+y—1=0 D。
2x—y-5=06.过点M(3，-4），且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为。
高考数学第九章 平面解析几何
第九章平面解析几何第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程1．直线的倾斜角(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2)范围：直线l倾斜角的取值范围是0°≤α<180°.2．斜率公式(1)直线l的倾斜角为α≠90°，则斜率k＝tan_α.(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝y2－y1x2－x1.3．直线方程的五种形式1．若直线l的倾斜角为60°，则该直线的斜率为________．解析：因为tan 60°＝3，所以该直线的斜率为 3.答案： 32．过点(0,1)，且倾斜角为45°的直线方程是________．解析：因为直线的斜率k＝tan 45°＝1，所以由已知及直线的点斜式方程，得y－1＝x －0，即y＝x＋1.答案：y＝x＋13．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a＝________.解析：令x ＝0，则l 在y 轴的截距为2＋a ；令y ＝0，得直线l 在x 轴上的截距为1＋2a .依题意2＋a ＝1＋2a ，解得a ＝1或a ＝－2.答案：1或－24．已知a ≠0，直线ax ＋my －5m ＝0过点(－2,1)，则此直线的斜率为________． 解析：因为直线ax ＋my －5m ＝0过点(－2,1)，所以－2a ＋m －5m ＝0，得a ＝－2m ，所以直线方程为－2mx ＋my －5m ＝0.又a ≠0，所以m ≠0，所以直线方程－2mx ＋my －5m ＝0可化为－2x ＋y －5＝0，即y ＝2x ＋5，故此直线的斜率为2.答案：21．利用两点式计算斜率时易忽视x 1＝x 2时斜率k 不存在的情况．2．用直线的点斜式求方程时，在斜率k 不明确的情况下，注意分k 存在与不存在讨论，否则会造成失误．3．直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件，当截距为0时可用点斜式． 4．由一般式Ax ＋By ＋C ＝0确定斜率k 时易忽视判断B 是否为0，当B ＝0时，k 不存在；当B ≠0时，k ＝－AB .[小题纠偏]1．下列有关直线l ：x ＋my －1＝0的说法： ①直线l 的斜率为－m ； ②直线l 的斜率为－1m ；③直线l 过定点(0,1)； ④直线l 过定点(1,0)．其中正确的说法是________(填序号)．解析：直线l ：x ＋my －1＝0可变为my ＝－(x －1)．当m ≠0时，直线l 的方程又可变为y ＝－1m (x －1)，其斜率为－1m ，过定点(1,0)；当m ＝0时，直线l 的方程又可变为x ＝1，其斜率不存在，过点(1,0)．所以①②不正确，④正确．又将点(0,1)代入直线方程得m －1＝0，故只有当m ＝1时直线才会过点(0,1)，即③不正确．答案：④2．过点M (3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为________．解析：①若直线过原点，则k ＝－43，所以y ＝－43x ，即4x ＋3y ＝0.②若直线不过原点．设x a ＋ya ＝1，即x ＋y ＝a .则a ＝3＋(－4)＝－1， 所以直线的方程为x ＋y ＋1＝0. 答案：4x ＋3y ＝0或x ＋y ＋1＝0考点一 直线的倾斜角与斜率(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．直线x ＝π3的倾斜角等于________．解析：直线x ＝π3，知倾斜角为π2.答案：π22．(2016·南通调研)关于直线的倾斜角和斜率，有下列说法： ①两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等； ②平行于x 轴的直线的倾斜角为0°或180°；③若直线过点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)，则该直线的斜率为y 1－y 2x 1－x 2. 其中正确说法的个数为________．解析：若两直线的倾斜角均为90°，则它们的斜率都不存在，所以①不正确．直线倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°，所以平行于x 轴的直线的倾斜角为0°，不可能是180°，所以②不正确．当x 1＝x 2时，过点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)的直线的斜率不存在；当x 1≠x 2时，过点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)的直线的斜率才为y 1－y 2x 1－x 2，所以③不正确．答案：03．已知线段PQ 两端点的坐标分别为P (－1,1)和Q (2,2)，若直线l ：x ＋my ＋m ＝0与线段PQ 有交点，则实数m 的取值范围是________．解析：如图所示，直线l ：x ＋my ＋m ＝0过定点A (0，－1)，当m ≠0时，k QA ＝32，k PA ＝－2，k l ＝－1m .∴－1m ≤－2或－1m ≥32.解得0<m ≤12或－23≤m <0；当m ＝0时，直线l 的方程为x ＝0，与线段PQ 有交点． ∴实数m 的取值范围为－23≤m ≤12.答案：⎣⎡⎦⎤－23，12 [谨记通法]求倾斜角的取值范围的2个步骤及1个注意点(1)2个步骤：①求出斜率k ＝tan α的取值范围；②利用三角函数的单调性，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围． (2)1个注意点：求倾斜角时要注意斜率是否存在．考点二 直线方程(重点保分型考点——师生共研)[典例引领](1)求过点A (1,3)，斜率是直线y ＝－4x 的斜率的13的直线方程．(2)求经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程． 解：(1)设所求直线的斜率为k ，依题意k ＝－4×13＝－43.又直线经过点A (1,3)，因此所求直线方程为y －3＝－43(x －1)，即4x ＋3y －13＝0.(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为x 2a ＋ya ＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a ＝－12，所以直线方程为x ＋2y ＋1＝0；当直线过原点时，设直线方程为y ＝kx ，则－5k ＝2，解得k ＝－25，所以直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0.故所求直线方程为2x ＋5y ＝0或x ＋2y ＋1＝0.[由题悟法]直线方程求法中2个注意点(1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零)．[即时应用]已知直线l 过(2,1)，(m,3)两点，则直线l 的方程为______________． 解析：①当m ＝2时，直线l 的方程为x ＝2； ②当m ≠2时，直线l 的方程为y －13－1＝x －2m －2，即2x －(m －2)y ＋m －6＝0.因为m ＝2时，代入方程2x －(m －2)y ＋m －6＝0，即为x ＝2， 所以直线l 的方程为2x －(m －2)y ＋m －6＝0. 答案：2x －(m －2)y ＋m －6＝0考点三 直线方程的综合应用(常考常新型考点——多角探明)[命题分析]直线方程的综合应用是常考内容之一，它与函数、导数、不等式、圆相结合，命题多为客观题．常见的命题角度有：(1)与基本不等式相结合的最值问题； (2)与导数几何意义相结合的问题； (3)与圆相结合求直线方程问题．[题点全练]角度一：与基本不等式相结合的最值问题1．(2015·福建高考改编)若直线x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1,1)，则a ＋b 的最小值等于________．解析：将(1,1)代入直线x a ＋y b ＝1得1a ＋1b ＝1，a >0，b >0，故a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋ab ≥2＋2＝4，等号当且仅当a ＝b 时取到，故a ＋b 的最小值为4.答案：4角度二：与导数的几何意义相结合的问题2．(2016·苏州模拟)设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为________． 解析：由题意知y ′＝2x ＋2，设P (x 0，y 0)， 则k ＝2x 0＋2.因为曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，π4，则0≤k ≤1，即0≤2x 0＋2≤1，故－1≤x 0≤－12.答案：⎣⎡⎦⎤－1，－12 角度三：与圆相结合求直线方程问题3．在平面直角坐标系xOy 中，设A 是半圆O ：x 2＋y 2＝2(x ≥0)上一点，直线OA 的倾斜角为45°，过点A 作x 轴的垂线，垂足为H ，过H 作OA 的平行线交半圆于点B ，则直线AB 的方程是________________．解析：直线OA 的方程为y ＝x ，代入半圆方程得A (1,1)， ∴H (1,0)，直线HB 的方程为y ＝x －1，代入半圆方程得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32，－1＋32.所以直线AB 的方程为y －1－1＋32－1＝x －11＋32－1，即3x ＋y －3－1＝0. 答案：3x ＋y －3－1＝0[方法归纳]处理直线方程综合应用的2大策略(1)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”．(2)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是________． 解析：由直线的方程得直线的斜率为k ＝－33，设倾斜角为α，则tan α＝－33，所以α＝5π6. 答案：5π62．直线l ：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是________． 解析：设直线l 的斜率为k ，则k ＝－sin 30°cos 150°＝33.答案：333．倾斜角为135°，在y 轴上的截距为－1的直线方程是________．解析：直线的斜率为k ＝tan 135°＝－1，所以直线方程为y ＝－x －1，即x ＋y ＋1＝0. 答案：x ＋y ＋1＝04．若直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，而α∈⎣⎡⎦⎤π6，π4∪⎣⎡⎭⎫2π3，π，则k 的取值范围是__________．解析：∵k ＝tan α，α∈⎣⎡⎦⎤π6，π4∪⎣⎡⎭⎫2π3，π ∴－3≤k <0或33≤k ≤1. 答案：[－3，0)∪⎣⎡⎦⎤33，1 5．如果A ·C <0，且B ·C <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不经过第________象限． 解析：由题意知A ·B ·C ≠0，直线方程变形为y ＝－A B x －CB .∵A ·C <0，B ·C <0，∴A ·B >0，∴其斜率k ＝－A B <0，又y 轴上的截距b ＝－CB>0.∴直线过第一、二、四象限，不经过第三象限．答案：三二保高考，全练题型做到高考达标1．(2016·常州一中月考)已知直线l 的斜率为k ，倾斜角为θ，若30°<θ<90°，则实数k 的取值范围是________．解析：因为30°<θ<90°，所以斜率k >0，且斜率k 随着θ的增大而增大，所以k >33. 答案：⎝⎛⎭⎫33，＋∞2．(2016·南京学情调研)直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是________． 解析：依题意，直线的斜率k ＝－1a 2＋1∈[)－1，0，因此其倾斜角的取值范围是⎣⎡⎭⎫3π4，π. 答案：⎣⎡⎭⎫3π4，π 3．若k ∈R ，直线kx －y －2k －1＝0恒过一个定点，则这个定点的坐标为________． 解析：y ＋1＝k (x －2)是直线的点斜式方程，故它所经过的定点为(2，－1)． 答案：(2，－1)4．已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线l 0：x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为________．解析：由题意可设直线l 0，l 的倾斜角分别为α，2α， 因为直线l 0：x －2y －2＝0的斜率为12，则tan α＝12，所以直线l 的斜率k ＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43，所以由点斜式可得直线l 的方程为y －0＝43(x －1)，即4x －3y －4＝0. 答案：4x －3y －4＝05．直线l 1：(2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5＝0的斜率与直线l 2：x －y ＋1＝0的斜率相同，则m 等于________．解析：由题意知m ≠±2，直线l 1的斜率为2m 2－5m ＋2m 2－4，直线l 2的斜率为1，则2m 2－5m ＋2m 2－4＝1，即m 2－5m ＋6＝0，解得m ＝2或3(m ＝2不合题意，舍去)，故m ＝3.答案：36．直线l ：(a －2)x ＋(a ＋1)y ＋6＝0，则直线l 恒过定点________． 解析：直线l 的方程变形为a (x ＋y )－2x ＋y ＋6＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，－2x ＋y ＋6＝0，解得x ＝2，y ＝－2， 所以直线l 恒过定点(2，－2)． 答案：(2，－2)7．一条直线经过点A (2，－3)，并且它的倾斜角等于直线y ＝13x 的倾斜角的2倍，则这条直线的一般式方程是________．解析：∵直线y ＝13x 的倾斜角为30°， 所以所求直线的倾斜角为60°， 即斜率k ＝tan 60°＝ 3. 又该直线过点A (2，－3)，故所求直线为y －(－3)＝3(x －2)， 即3x －y －33＝0. 答案：3x －y －33＝08．(2016·盐城调研)若直线l ：x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)经过点(1,2)，则直线l 在x 轴和y 轴上的截距之和的最小值是________．解析：由直线l ：x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)可知直线在x 轴上的截距为a ，直线在y 轴上的截距为b .求直线在x 轴和y 轴上的截距之和的最小值，即求a ＋b 的最小值．由直线经过点(1,2)得1a ＋2b ＝1.于是a ＋b ＝(a ＋b )×⎝⎛⎭⎫1a ＋2b ＝3＋b a ＋2a b ，因为b a ＋2a b ≥2b a ·2a b ＝22(当且仅当b a＝2ab 时取等号)，所以a ＋b ≥3＋2 2.答案：3＋2 29．已知A (1，－2)，B (5,6)，直线l 经过AB 的中点M ，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程．解：法一：设直线l 在x 轴，y 轴上的截距均为a . 由题意得M (3,2)．若a ＝0，即l 过点(0,0)和(3,2)， ∴直线l 的方程为y ＝23x ，即2x －3y ＝0.若a ≠0，设直线l 的方程为x a ＋ya ＝1， ∵直线l 过点(3,2)，∴3a ＋2a＝1，解得a ＝5， 此时直线l 的方程为x 5＋y5＝1，即x ＋y －5＝0.综上所述，直线l 的方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0.法二：由题意知M (3,2)，所求直线l 的斜率k 存在且k ≠0，则直线l 的方程为y －2＝k (x －3)，令y ＝0，得x ＝3－2k ；令x ＝0，得y ＝2－3k .∴3－2k ＝2－3k ，解得k ＝－1或k ＝23，∴直线l 的方程为y －2＝－(x －3)或y －2＝23(x －3)，即x ＋y －5＝0或2x －3y ＝0.10．过点A (1,4)引一条直线l ，它与x 轴，y 轴的正半轴的交点分别为(a,0)和(0，b )，当a ＋b 最小时，求直线l 的方程．解：法一：由题意，设直线l ：y －4＝k (x －1)，由于k <0， 则a ＝1－4k，b ＝4－k .∴a ＋b ＝5＋⎝⎛⎭⎫－4k －k ≥5＋4＝9. 当且仅当k ＝－2时，取“＝”． 故得l 的方程为y ＝－2x ＋6. 法二：设l ：x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)，由于l 经过点A (1,4)，∴1a ＋4b＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫1a ＋4b ＝5＋4a b ＋b a≥9， 当且仅当4a b ＝ba 时，即b ＝2a 时，取“＝”，即a ＝3，b ＝6. ∴所求直线 l 的方程为x 3＋y6＝1，即y ＝－2x ＋6.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知曲线y ＝1e x＋1，则曲线的切线中斜率最小的直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为________．解析：y ′＝－e x(e x ＋1)2＝－1e x ＋1ex ＋2，因为e x >0，所以e x＋1e x ≥2e x ·1e x ＝2当且仅当e x ＝1ex ，即x ＝0时取等号，所以e x ＋1e x ＋2≥4，故y ′＝－1e x＋1e x ＋2≥－14(当且仅当x ＝0时取等号)．所以当x ＝0时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为⎝⎛⎭⎫0，12，切线的方程为y －12＝－14(x －0)，即x ＋4y －2＝0.该切线在x 轴上的截距为2，在y 轴上的截距为12，所以该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积S ＝12×2×12＝12.答案：122．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R)． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．解：(1)证明：直线l 的方程可化为y ＝k (x ＋2)＋1，故无论k 取何值，直线l 总过定点(－2,1)．(2)直线l 的方程为y ＝kx ＋2k ＋1，则直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1，要使直线l 不经过第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧k ≥0，1＋2k ≥0，解得k 的取值范围是[)0，＋∞. (3)依题意，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2k k ，在y 轴上的截距为1＋2k ，∴A ⎝⎛⎭⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )．又－1＋2kk <0且1＋2k >0，∴k >0.故S ＝12|OA ||OB |＝12×1＋2k k ×(1＋2k )＝12⎝⎛⎭⎫4k ＋1k ＋4≥12(4＋4)＝4， 当且仅当4k ＝1k ，即k ＝12时，取等号．故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x －2y＋4＝0.第二节 两直线的位置关系1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行：①对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. ②当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. (2)两条直线垂直：①如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l 1⊥l 2. 2．两条直线的交点的求法直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解． 3．距离1．已知过点A (－2，m )和B (m,4)的直线与斜率为－2的直线平行，则实数m 的值是________．解析：由题意可知k AB ＝4－mm ＋2＝－2，所以m ＝－8.答案：－82．已知直线l ：y ＝3x ＋3，那么直线x －y －2＝0关于直线l 对称的直线方程为__________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2＝0，3x －y ＋3＝0，得交点坐标P ⎝⎛⎭⎫－52，－92.又直线x －y －2＝0上的点Q (2,0)关于直线l 的对称点为Q ′⎝⎛⎭⎫－175，95，故所求直线(即PQ ′)的方程为y ＋9295＋92＝x ＋52－175＋52，即7x ＋y ＋22＝0.答案：7x ＋y ＋22＝03．与直线y ＝－3x ＋1平行，且在x 轴上的截距为－3的直线l 的方程为________． 解析：由题意，知直线l 的斜率为－3，且在x 轴上的截距为－3，所以直线l 的方程为y －0＝－3[x －(－3)]，即3x ＋y ＋9＝0 .答案：3x ＋y ＋9＝01．在判断两条直线的位置关系时，易忽视斜率是否存在，两条直线都有斜率可根据条件进行判断，若无斜率，要单独考虑．2．运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的x ，y 的系数分别相等这一条件盲目套用公式导致出错．[小题纠偏]1．已知p ：直线l 1：x －y －1＝0与直线l 2：x ＋ay －2＝0平行，q ：a ＝－1，则p 是q 的________条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)．解析：由于直线l 1：x －y －1＝0与直线l 2：x ＋ay －2＝0平行的充要条件是1×a －(－1)×1＝0，即a ＝－1.答案：充要2．已知直线l 1：(t ＋2)x ＋(1－t )y ＝1与l 2：(t －1)x ＋(2t ＋3)y ＋2＝0互相垂直，则t 的值为________．解析：①若l 1的斜率不存在，此时t ＝1，l 1的方程为x ＝13，l 2的方程为y ＝－25，显然l 1⊥l 2，符合条件；若l 2的斜率不存在，此时t ＝－32，易知l 1与l 2不垂直．②当l 1，l 2的斜率都存在时，直线l 1的斜率k 1＝－t ＋21－t ，直线l 2的斜率k 2＝－t －12t ＋3，∵l 1⊥l 2，∴k 1·k 2＝－1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－t ＋21－t ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－t －12t ＋3＝－1，所以t ＝－1.综上可知t ＝－1或t ＝1. 答案：－1或1考点一 两条直线的位置关系(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．(2016·金陵中学模拟)若直线ax ＋2y ＋1＝0与直线x ＋y －2＝0互相垂直，那么a 的值等于________．解析：由a ·1＋2·1＝0得a ＝－2. 答案：－22．(2016·金华十校模拟)“直线ax －y ＝0与直线x －ay ＝1平行”是“a ＝1”成立的________条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)．解析：由直线ax －y ＝0与x －ay ＝1平行得a 2＝1，即a ＝±1，所以“直线ax －y ＝0与x －ay ＝1平行”是“a ＝1”的必要不充分条件．答案：必要不充分3．(2016·启东调研)已知直线l 1：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，l 2：ax ＋by －4＝0，求满足下列条件的a ，b 的值．(1)l 1⊥l 2，且l 1过点(1,1)；(2)l 1∥l 2，且l 2在第一象限内与两坐标轴围成的三角形的面积为2. 解：(1)∵l 1⊥l 2， ∴a (a －1)＋b ＝0.① 又l 1过点(1,1)， ∴a ＋b ＝0.②由①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2.当a ＝0，b ＝0时不合题意，舍去． ∴a ＝2，b ＝－2.(2)∵l 1∥l 2，∴a －b (a －1)＝0，③由题意，知a >0，b >0，直线l 2与两坐标轴的交点坐标分别为⎝⎛⎭⎫4a ，0，⎝⎛⎭⎫0，4b . 则12×4a ×4b ＝2，得ab ＝4，④ 由③④，得a ＝2，b ＝2.[谨记通法]由一般式确定两直线位置关系的方法在判断两直线位置关系时，比例式A 1A 2与B 1B 2，C 1C 2的关系容易记住，在解答填空题时，建议多用比例式来解答．考点二 距离问题(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]已知A (4，－3)，B (2，－1)和直线l ：4x ＋3y －2＝0，在坐标平面内求一点P ，使|PA |＝|PB |，且点P 到直线l 的距离为2.解：设点P 的坐标为(a ，b )．∵A (4，－3)，B (2，－1)，∴线段AB 的中点M 的坐标为(3，－2)． 而AB 的斜率k AB ＝－3＋14－2＝－1，∴线段AB 的垂直平分线方程为y ＋2＝x －3， 即x －y －5＝0.∵点P (a ，b )在直线x －y －5＝0上，∴a －b －5＝0.① 又点P (a ，b )到直线l ：4x ＋3y －2＝0的距离为2，∴|4a ＋3b －2|5＝2，即4a ＋3b －2＝±10，②由①②联立可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4或⎩⎨⎧a ＝277，b ＝－87.∴所求点P 的坐标为(1，－4)或⎝⎛⎭⎫277，－87. [由题悟法] 处理距离问题的2大策略(1)点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求．注意直线方程为一般式． (2)动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在两定点所在线段的垂直平分线上，从而计算简便，如本例中|PA |＝|PB |这一条件的转化处理．[即时应用](2016·苏州检测)已知三条直线2x －y －3＝0,4x －3y －5＝0和ax ＋y －3a ＋1＝0相交于同一点P .(1)求点P 的坐标和a 的值；(2)求过点(－2,3)且与点P 的距离为25的直线方程．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －3＝0，4x －3y －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，所以点P 的坐标为(2,1)．将点P 的坐标(2,1)代入直线ax ＋y －3a ＋1＝0，可得a ＝2.(2)设所求直线为l ，当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－2，此时点P 与直线l 的距离为4，不合题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的斜率为k ， 则直线l 的方程为y －3＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＋3＝0.点P 到直线l 的距离d ＝|2k －1＋2k ＋3|k 2＋1＝25，解得k ＝2，所以直线l 的方程为2x －y ＋7＝0.考点三 对称问题(常考常新型考点——多角探明)[命题分析]对称问题是高考常考内容之一，也是考查学生转化能力的一种常见题型． 常见的命题角度有： (1)点关于点对称； (2)点关于线对称； (3)线关于线对称； (4)对称问题的应用．[题点全练]角度一：点关于点的对称问题1．(2016·苏北四市调研)点P (3,2)关于点Q (1,4)的对称点M 的坐标为________． 解析：设M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧3＋x2＝1，2＋y 2＝4，∴x ＝－1，y ＝6， ∴M (－1,6)． 答案：(－1,6)角度二：点关于线的对称问题2．已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)，则点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标为________．解析：设A ′(x ，y )，由已知得⎩⎨⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－3313，y ＝413，故A ′⎝⎛⎭⎫－3313，413. 答案：A ′⎝⎛⎭⎫－3313，413 角度三：线关于线的对称问题3．直线2x －y ＋3＝0关于直线x －y ＋2＝0对称的直线方程是________________．解析：设所求直线上任意一点P (x ，y )，则P 关于x －y ＋2＝0的对称点为P ′(x 0，y 0)，由⎩⎨⎧x ＋x 02－y ＋y 02＋2＝0，x －x 0＝－(y －y 0)，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y －2，y 0＝x ＋2， 由点P ′(x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上， ∴2(y －2)－(x ＋2)＋3＝0， 即x －2y ＋3＝0. 答案：x －2y ＋3＝0 角度四：对称问题的应用4．(2016·淮安一调)已知入射光线经过点M (－3,4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．解析：设点M (－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，所以⎩⎨⎧b －4a －(－3)·1＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0.又反射光线经过点N (2,6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x －y －6＝0. 答案：6x －y －6＝0[方法归纳]1．中心对称问题的2个类型及求解方法 (1)点关于点对称：若点M (x 1，y 1)及N (x ，y )关于P (a ，b )对称，则由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a －x 1，y ＝2b －y 1，进而求解．(2)直线关于点的对称，主要求解方法是：①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程． 2．轴对称问题的2个类型及求解方法 (1)点关于直线的对称：若两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＋B ⎝⎛⎭⎫y 1＋y 22＋C ＝0，y 2－y 1x 2－x 1·⎝⎛⎭⎫－A B ＝－1，可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标(x 2，y 2)(其中B ≠0，x 1≠x 2)． (2)直线关于直线的对称：一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2015·盐城二模)若直线y ＝kx ＋1与直线2x ＋y －4＝0垂直，则k ＝________. 解析：因为直线2x ＋y －4＝0的斜率为－2， 故由条件得k ＝12.答案：122．已知点A (－3，－4)，B (6,3)到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则实数a 的值为________．解析：由题意及点到直线的距离公式得|－3a －4＋1|a 2＋1＝|6a ＋3＋1|a 2＋1，解得a ＝－13或－79.答案：－13或－793．已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是________． 解析：因为直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，所以3m －24＝0，解得m＝8，故直线6x ＋my ＋14＝0可化为3x ＋4y ＋7＝0，所以两平行直线间的距离是d ＝|－3－7|32＋42＝2.答案：24．(2016·宿迁模拟)直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是________． 解析：设所求直线上任一点(x ，y )，则它关于直线x ＝1的对称点(2－x ，y )在直线x －2y ＋1＝0上，即2－x －2y ＋1＝0，化简得x ＋2y －3＝0.答案：x ＋2y －3＝05．已知点P (4，a )到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是________． 解析：由题意得，点P 到直线的距离为|4×4－3×a －1|5＝|15－3a |5.又|15－3a |5≤3，即|15－3a |≤15，解得0≤a ≤10，所以a 的取值范围是[0,10]．答案：[0,10]二保高考，全练题型做到高考达标1．(2015·苏州二模)已知直线l 1：(3＋a )x ＋4y ＝5－3a 和直线l 2：2x ＋(5＋a )y ＝8平行，则a ＝________.解析：由题意可得a ≠－5，所以3＋a 2＝45＋a ≠5－3a 8，解得a ＝－7(a ＝－1舍去)．答案：－72．(2016·南京一中检测)P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上的任意一点，则PQ 的最小值为________．解析：因为36＝48≠－125，所以两直线平行，根据平面几何的知识，得PQ 的最小值为这两条平行直线间的距离．在直线3x ＋4y －12＝0上取一点(4,0)，此点到另一直线6x ＋8y ＋5＝0的距离为|6×4＋8×0＋5|62＋82＝2910，所以PQ 的最小值为2910.答案：29103．(2015·苏北四市调研)已知直线l 1：ax ＋(3－a )y ＋1＝0，l 2：2x －y ＝0.若l 1⊥l 2，则实数a 的值为________．解析：由2×a ＋(3－a )×(－1)＝0，解得a ＝1. 答案：14．(2016·天一中学检测)已知直线l ：x －y －1＝0，l 1：2x －y －2＝0.若直线l 2与l 1关于l 对称，则l 2的方程是________．解析：因为l 1与l 2关于l 对称，所以l 1上任一点关于l 的对称点都在l 2上，故l 与l 1的交点(1,0)在l 2上．又易知(0，－2)为l 1上一点，设它关于l 的对称点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋02－y －22－1＝0，y ＋2x ×1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，即(1,0)，(－1，－1)为l 2上两点，可得l 2的方程为x －2y －1＝0. 答案：x －2y －1＝05．已知定点A (1,0)，点B 在直线x －y ＝0上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标是________．解析：因为定点A (1,0)，点B 在直线x －y ＝0上运动，所以当线段AB 最短时，直线AB 和直线x －y ＝0垂直，AB 的方程为y ＋x －1＝0，它与x －y ＝0联立解得x ＝12，y ＝12，所以B 的坐标是⎝⎛⎭⎫12，12.答案：⎝⎛⎭⎫12，126．(2016·无锡调研)已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2,2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为________．解析：依题意，设直线l ：y －4＝k (x －3)， 即kx －y ＋4－3k ＝0，则有|－5k ＋2|k 2＋1＝|k ＋6|k 2＋1，因此－5k ＋2＝k ＋6，或－5k ＋2＝－(k ＋6)， 解得k ＝－23或k ＝2，故直线l 的方程为2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0. 答案：2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝07. 设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为3，且|PA |＝|PB |，若直线PA 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是________________．解析：由|PA |＝|PB |知点P 在AB 的垂直平分线上．由点P 的横坐标为3，且PA 的方程为x －y ＋1＝0，得P (3，4)．直线PA ，PB 关于直线x ＝3对称，直线PA 上的点(0,1)关于直线x ＝3的对称点(6,1)在直线PB 上，∴直线PB 的方程为x ＋y －7＝0.答案：x ＋y －7＝08．(2016·江苏五星级学校联考)已知点P (x ，y )到A (0,4)和B (－2,0)的距离相等，则2x ＋4y 的最小值为________．解析：由题意得，点P 在线段AB 的中垂线上，则易得x ＋2y ＝3，∴2x ＋4y ≥22x ·4y ＝22x ＋2y ＝42，当且仅当x ＝2y ＝32时等号成立，故2x ＋4y 的最小值为4 2.答案：4 29．已知光线从点A (－4，－2)射出，到直线y ＝x 上的B 点后被直线y ＝x 反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射光线恰好过点D (－1,6)，求BC 所在的直线方程．解：作出草图，如图所示，设A 关于直线y ＝x 的对称点为A ′，D 关于y 轴的对称点为D ′， 则易得A ′(－2，－4)，D ′(1,6)．由入射角等于反射角可得A ′D ′所在直线经过点B 与C . 故BC 所在的直线方程为y －6－4－6＝x －1－2－1，即10x －3y ＋8＝0. 10．已知直线l ：(2a ＋b )x ＋(a ＋b )y ＋a －b ＝0及点P (3,4)． (1)证明直线l 过某定点，并求该定点的坐标． (2)当点P 到直线l 的距离最大时，求直线l 的方程． 解：(1)证明：直线l 的方程可化为a (2x ＋y ＋1)＋b (x ＋y －1)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋1＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3， ∴直线l 恒过定点(－2,3)．(2)设直线l 恒过定点A (－2,3)，当直线l 垂直于直线PA 时，点P 到直线l 的距离最大．又直线PA 的斜率k PA ＝4－33＋2＝15，∴直线l 的斜率k l ＝－5.故直线l 的方程为y －3＝－5(x ＋2)，即5x ＋y ＋7＝0.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2016·湖北七市三联)设两条直线的方程分别为x ＋y ＋a ＝0，x ＋y ＋b ＝0，已知a ，b 是方程x 2＋x ＋c ＝0的两个实根，且0≤c ≤18，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是________．解析：依题意得|a －b |＝(a ＋b )2－4ab ＝1－4c ，当0≤c ≤18时，22≤|a －b |＝1－4c≤1.因为两条直线间的距离等于|a －b |2，所以两条直线间的距离的最大值与最小值分别是22，12. 答案：22，122．(2016·徐州一中检测)已知平面上一点M (5,0)，若直线上存在点P 使PM ＝4，则称该直线为“切割型直线”．下列直线中是“切割型直线”的是________(填序号)．①y ＝x ＋1；②y ＝2；③y ＝43x ；④y ＝2x ＋1.解析：设点M 到所给直线的距离为d ，①d ＝|5＋1|12＋(－1)2＝32>4，故直线上不存在点P 到点M 的距离等于4，不是“切割型直线”；②d ＝2<4，所以在直线上可以找到两个不同的点P ，使之到点M 的距离等于4，是“切割型直线”；③d ＝|4×5－0|(－3)2＋42＝4，所以直线上存在一点P ，使之到点M 的距离等于4，是“切割型直线”；④d ＝|2×5＋1|22＋(－1)2＝1155>4，故直线上不存在点P ，使之到点M 的距离等于4，不是“切割型直线”．故填②③.答案：②③3．已知直线l 1：x ＋a 2y ＋1＝0和直线l 2：(a 2＋1)x －by ＋3＝0(a ，b ∈R)． (1)若l 1∥l 2，求b 的取值范围； (2)若l 1⊥l 2，求|ab |的最小值．解：(1)因为l 1∥l 2，所以－b －(a 2＋1)a 2＝0， 即b ＝－a 2(a 2＋1)＝－a 4－a 2＝－⎝⎛⎭⎫a 2＋122＋14， 因为a 2≥0，所以b ≤0.又因为a 2＋1≠3，所以b ≠－6.故b 的取值范围是(－∞，－6)∪(－6,0]．(2)因为l 1⊥l 2，所以(a 2＋1)－a 2b ＝0，显然a ≠0，所以ab ＝a ＋1a ，|ab |＝⎪⎪⎪⎪a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝±1时等号成立，因此|ab |的最小值为2.第三节 圆的方程1．圆的定义及方程点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系： (1)若M (x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2. (2)若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2. (3)若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2. [小题体验]1．(教材习题改编)圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是________． 解析：由(x －2)2＋(y ＋3)2＝13，知圆心坐标为(2，－3)． 答案：(2，－3)2．圆心在y 轴上且通过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是________． 解析：设圆心为(0，b )，半径为r ，则r ＝|b |， ∴圆的方程为x 2＋(y －b )2＝b 2. ∵点(3,1)在圆上，∴9＋(1－b )2＝b 2，解得b ＝5. ∴圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0. 答案：x 2＋y 2－10y ＝03．(教材习题改编)已知圆心为C 的圆过点A (1,1)，B (2，－2)且圆心C 在直线l ：x －y＋1＝0上，则圆的标准方程为________________________．答案：(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝254．若点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 的取值范围是________． 解析：因为点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，所以(1－a )2＋(1＋a )2＜4. 即a 2＜1，故－1＜a ＜1. 答案：(－1,1)对于方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆时易忽视D 2＋E 2－4F ＞0这一成立条件． [小题纠偏]1．方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆的充要条件是________． 解析：由(4m )2＋4－4×5m ＞0，得m ＜14或m ＞1.答案：m ∈⎝⎛⎭⎫－∞，14∪(1，＋∞) 2．方程x 2＋y 2＋ax －2ay ＋2a 2＋3a ＝0表示的图形是半径为r (r >0)的圆，则该圆圆心位于第________象限．解析：因为方程x 2＋y 2＋ax －2ay ＋2a 2＋3a ＝0表示的图形是半径为r 的圆，所以a 2＋(－2a )2－4(2a 2＋3a )＝－3a 2－12a >0，即a (a ＋4)<0，所以－4<a <0.又该圆圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－a2，a ，显然圆心位于第四象限．答案：四考点一 圆的方程(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．(易错题)(2015·镇江调研)若圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，且与y 轴相切，则圆C 的方程为________．解析：由题意知圆C 的半径为2，且圆心坐标可设为(2，b )，因此有(2－1)2＋(b －0)2＝2，解得b ＝±3，从而圆C 的方程为(x －2)2＋(y ±3)2＝4.答案：(x －2)2＋(y ±3)2＝42．(2016·徐州模拟)若圆C 的半径为1，点C 与点(2,0)关于点(1,0)对称，则圆C 的标准方程为________．解析：因为点C 与点(2,0)关于点(1,0)对称，故由中点坐标公式可得C (0,0)，所以所求圆的标准方程为x 2＋y 2＝1.答案：x 2＋y 2＝13．(2015·全国卷Ⅱ改编)已知三点A (1,0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为________．解析：设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋D ＋F ＝0，3＋3E ＋F ＝0，7＋2D ＋3E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝－433，F ＝1.∴△ABC 外接圆的圆心为⎝⎛⎭⎫1，233，故△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为 12＋⎝⎛⎭⎫2332＝213.答案：213[谨记通法]1．求圆的方程的2种方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． (2)待定系数法：①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值．2．确定圆心位置的3种方法(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上，如“题组练透”第1题． (3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线．[提醒] 解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质． 考点二 与圆有关的最值问题(常考常新型考点——多角探明)[命题分析]与圆有关的最值问题也是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想． 常见的命题角度有： (1)斜率型最值问题； (2)截距型最值问题； (3)距离型最值问题； (4)建立目标函数求最值问题．[题点全练]角度一：斜率型最值问题1．(2016·苏州模拟)已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，求yx 的最大值和最小值． 解：原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3， 表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆． yx 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率， 所以设yx＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时(如图)，斜率k 取最大值或最小值， 此时|2k －0|k 2＋1＝3， 解得k ＝±3.所以yx 的最大值为3，最小值为－ 3. 角度二：截距型最值问题2．在[角度一]条件下求y －x 的最大值和最小值．解：y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，如图所示，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝3，解得b ＝－2±6.所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.角度三：距离型最值问题3．在[角度一]条件下求x 2＋y 2的最大值和最小值．。
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第 - 1 - 页 共 13 页 101314766.doc第九部分 直线、圆和圆锥曲线【考点把握（历年试题）】 第一考点：距离公式及直线相关200705、在y 轴上有一点P 与点A(12,5)的距离为13，则P 点的坐标为（ ） A 、（0，10）或（10，0） B 、（0， 0）或（10，0） C 、（0，10） D 、（0， 0）或（0，10）200720、过点P （2，1）且与直线x-y-1=0垂直的直线方程是 200813、已知点A （1，5），B （-3，1），线段AB 的垂直平分线方程是（ ） A 、x-y+4=0 B 、x-y-4=0 C 、x+y+2=0 D 、x+y-2=0200820、已知两直线4x+2y-5=0和ax-y+1=0所成的角是45度，则a= 200906、过抛物线y 2=4x 的焦点且倾角为30度的直线方程是（ ） A 、)1(33-=x y B 、)2(33-=x y C 、)1(3-=x y D 、)2(3-=x y 200912、圆x 2+y 2=1上的点到直线3x+4y-25=0的最大距离是 A 、5 B 、25 C 、6 D 、26201005、若点P(x, y)在直线x+y-4=0，O 为坐标原点，则|OP|的最小值是（ ） A 、10 B 、22 C 、24 D 、2第二考点：圆与直线200708、以点A （-5，4）为圆心且与x 轴相切的圆的标准方程为（ ） A 、16)4()5(22=-++y x B 、16)4()5(22=++-y x C 、25)4()5(22=-++y x D 、25)4()5(22=++-y x 200807、方程03222=--+x y x 表示的曲线是 A 、以（-1，0）为圆心，半径为2的圆 B 、以（1，0）为圆心，半径为2的圆第 - 2 - 页 共 13 页 101314766.docC 、以（-1，0）为圆心，半径为4的圆D 、以（1，0）为圆心，半径为4的圆201015、以抛物线y 2=20x 的焦点为圆心，且与双曲线191622=-x y 的渐近线相切的圆的方程为（ ）A 、091022=+++x y xB 、091022=+-+x y xC 、0161022=+-+x y xD 、091022=--+x y x2011、21、直线l 在y 轴上的截距是5，并且与圆522=+y x 相切，则此直线方程为第二考点：圆与直线 第二考点：圆与直线 第二考点：圆与直线A 、B 、C 、D 、 A 、B 、C 、D 、 A 、B 、C 、D 、 A 、B 、C 、D 、（一）直线方程1、倾斜角：倾斜角的范围 。
2、直线的斜率：①当直线与 轴垂直时，即倾斜角= 时，直线无斜率。
②当倾斜角为α时，且α≠90°时，斜率k=③经过两点P 1（x 1,y 1）,P 2(x 2,y 2),且 ≠ 时，斜率k= 。
2、直线方程①点斜式：直线的斜率为k,且经过点（x 1,y 1），则直线方程为： ②斜截式：直线的斜率为k,直线在y 轴上的截距为b 。
第 - 3 - 页 共 13 页 101314766.doc则直线方程为：③两点式，经过两点P 1（x 1,y 1）,P 2(x 2,y 2), 则直线方程为： ④截距式：直线在x 、y 轴的截距分别为a 、b, 则直线方程为： ⑤直线方程的一般式： （ ≠0） 3、直线的位置关系 ①两条直线的平行关系A 、当没有斜率时：2211:;:x x l x x l ==，则21//l l 。
B 、当斜率真存在时：212211//;:l l b ，x k l b x k y l 若+=+=则有 ②两条直线的垂直关系A 、当其中一条直线没有斜率时：1211:;:y y l x x l ==则B 、当斜率真存在时212211;:l l b ，x k l b x k y l ⊥+=+=若则有 ③夹角公式：④两点之间的距离公式: ⑤点到直线的距离公式： ⑥两平行线间的距离公式： （二）曲线方程1、求曲线方程的步骤① ； ② ； ③ ； ④ ； ⑤ ； （三）圆的方程1、圆的标准方程： ；圆心坐标为 。
2、圆的一般方程： ；圆心： ；半径： 。
3、圆的参数方程： ；圆心： ；半径： 。
（四）椭圆1、椭圆的定义：平面内与两个定点F 1，F 2 等于常数2a(2a>| F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆，其中F 1，F 2叫做 。
2、椭圆的标准方程与几何性质第 - 4 - 页 共 13 页 101314766.doc标准方程)0(12222>>=+b a b y a x )0(12222>>=+b a bx a y 图形性质 焦点焦距范围对称性顶点离心率轴 准线方程（五）双曲线 1、双曲线的定义：平面内与两个定点F 1，F 2 等于常数2a(2a>| F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线，其中F 1，F 2叫做 。
2、双曲线的标准方程与几何性质 标准方程 )0,0(12222>>=-b a b y a x )0,0(12222>>=-b a b x a y图形性质 焦点 焦距范围对称性顶点离心率轴第 - 5 - 页 共 13 页 101314766.doc准线方程 渐近线（六）抛物线方程1、抛物线的定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹方程叫做抛物线。
标准方程 图形性质 范围 准线方程焦点 轴 顶点 离心率（七）圆锥曲线的第二定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离之比是一个常数e,1、当0<e<1时，叫做2、当e>1时，叫做 3当e=0时，叫做 （八）相关练习1、设直线的斜率为k,且333<<-k ，指出直线的倾斜角的范围。
2、若直线x=1的倾斜角为α，求α。
3、若两直线平行，则这两条直线的斜率k 1和k 2的关系是 。
4、直线l 的倾斜角为α，且α∈[0°，135°]，求斜率的取值范围。
5、若直线AB 的斜率为2，将直线AB 绕A 点按A 点顺时针方向旋转45°后，求所得直线的斜率。
6、直线AB 的斜率为3，直线CD 的倾斜角是直线AB 的2倍，求直线CD 的斜率。
7、已知点A （-2，3），B （3，2）过点P （0，-2）的直线l 与线段AB 有公共点，求直线l 的斜率k 的取值范围。
第 - 6 - 页 共 13 页 101314766.doc8、求证：点A （-2，3），B （7，6），C （4，5）在一直线上。
9、已知直线l 上两点A （-4，1），B （x,-3），且直线l 的倾斜角为135°，求x 的值。
10、过点P （-1，2）的直线l 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，且P 为AB 的中点，则直线AB 的中点，求直线AB 的斜率。
11、已知点P ，点Q 在x 轴上，若直线PQ 的倾斜角为150°，求Q 点的坐标。
12、直线l 过点P （2，-3），倾斜角比直线y=2x-1的倾斜角大45°，求l 。
13、经过点P （-3，4）作直线l,与两坐标轴围成的三角形面积为3，求l 。
14、求斜率为43，且与两坐标轴围成的三角形的周长为12的直线方程。
15、若ac<0,bc<0,则直线ax+by+c=0不经过哪一个象限。
16、已知直线l 过点P （3，2），且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点。
求△OAB 的面积最小时l 的方程。
17、求经过定点P （-3，1），并且在两坐标轴上截距相等的直线l 的方程。
18、已知两点A （3，0），B （0，4）动点P （x,y ）在线段AB 上运动，求xy 的最大值。
19、求过点P （0，1）的直线，使它夹在两已知直线0103:082:21=+-=-+y x l y x l 和间的线段被P 点平分。
20、不论m 为何实数，直线(m-1)x-y+2m+1=0恒过什么定点。
21、已知直线l 的斜率为6，且被两坐标轴所截得的线段长为37，求直线l 。
22、若直线036:0653:21=++=-+my x l y x l 和平行，求m 的值。
23、已知直线01)3(42:04)3()2(:221=--+=+-++y m x l y m m x m l 和，如果这两条直线平行，求m 的值。
24、求与直线3x-4y+7=0平行，且在两坐标轴上截距之和为1的直线的方程。
25、已知直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0,且在y 轴上的截距为31，求m,n 。
26、若过点A （2，a ），B ，（3，b ）的直线与直线y=x+m 平行，求|AB|的长度。
27、求过点M （-2，1）且与点A （-1，2），B （3，0）距离相等的直线方程。
28、△ABC 的三边AB ，BC ，CA 的中点分别为D （6，5），E （1，3），F （2，8），求△ABC 三边所在直线的方程。
29、直线02)32()1(:03)1()2(:21=+++-=--++y a x a l y a x a l 和垂直，求a 。
30、已知直线l ：y=121-x 。
（1）求点P （3，4）关于l 的对称点；（2）求l 关于点（2，3）对称的直线的方程。
第 - 7 - 页 共 13 页 101314766.doc31、求过点P （2，-1）且与l ：5x-2y+3=0的夹角为45度的直线的方程。
32、求与直线3x-4y-7=0、12x-5y+6=0夹角相等，且过点（4，5）的直线方程。
33、直线l 与直线2x+y-7=0的夹角为45度，求l 的斜率。
34、已知直线023:07:21=-+=+-y x l y mx l 和的夹角是3∏，求m 的值。
35、在两坐标轴上截距相等，且与点A （3，1）的距离为2的直线方程是什么。
36、求经过两点A （-1，4）、B （3，2）且圆心在y 轴上的圆的方程。
37、若直线y=kx-2与圆(x-3)2+y 2=1恒有两个交点，求实数k 的取值范围。
38、若P （2，-1）为圆(x-1)2+y 2=25的弦AB 的中点，求直线AB 的方程。
39、自圆x 2+y 2=4上的点A （2，0）引此圆的弦AB ，求弦AB 的中点轨迹方程。
40、直线x+2y+1=0被圆(x-2)2+（y-1）2=25，所截得弦长等于多少。
41、以点（-1，2）为圆心，与直线4x+3y-35相切的圆的方程是什么。
42、过点C （-1，1）和D （1，3），圆心在x 轴上的圆的方程是什么。