湖南省湘潭市2019届高三下学期第二次模拟考试数学(理)试题 含解析
湖南省湘潭市2019届高三下学期第二次模拟考试理科综合试题
湘潭市2019年高三第二次模拟考试试卷理科综合注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。
用2B型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。
2．选择题每小题选出答案后，用2B型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
可能用到的相对原子质量：H1 C 12 N 14 O 16 Na 23 Fe 56 Pd 106第I卷（选择题共126分）一、选择题：本题共13小题，每小题6分。
在毎小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列有关细胞及其结构的叙述，正确的是A．菠菜根尖细胞的增殖需要中心体的参与B．没有光合色素的细胞不可能将无机物合成有机物C．溶酶体内合成的水解酶可用于分解衰老的细胞器D．哺乳动物成熟红细胞中的血红蛋白是由核糖体合成的2．下列叙述正确的是A．降低栝化能是指降低了分子从常态转变为容易发生化学反应的活跃状态所需的能量B．无氧呼吸的两个阶段都释放出能量C．真核细胞中基因的遗传一定遵循孟尔遗传规律，原核细胞中的一定不遵循D．细胞中有氧呼吸的第二阶段，丙酸和水在线粒体携质中彻底分解成CO2和［H］3．下列关于细胞的物质跨膜运输的叙述，正确的是A．动作电位产生时，神经细胞才进行Na＋、K+的跨膜运输B．酵母菌无氧呼吸的终产物是通过自由扩散的方式运出细胞的C．细胞通过主动运输方式吸收物质的速率与细胞呼吸强度始终呈正相关D．浆细胞合成、分泌抗体的过程依常膜的流动性即可完成，不消耗能量4．右图为生物学中整体与部分的概念关系图。
2019年湖南省湘潭市高考数学一模试卷(理科)
A．（0，4）
B．（4，9）
C．（﹣1，4）
D．（﹣1，9）
【考点】1E：交集及其运算． 菁优网版权所有
【专题】37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．
【分析】求出 A 中不等式的解集，找出 A 与 B 的交集即可．
【解答】解：由 A 中不等式变形得：（x+1）（x﹣4）＜0，
解得：﹣1＜x＜4，即 A＝（﹣1，4），
作出可行域如图，
的几何意义为可行域内的动点与定点 P（6，6）连线的斜率，
由图可得， 的最大值为
＝3．
故选：D． 【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． 6．（5 分）某几何体的三视图如图所示（其中俯视图中的曲线是圆弧），则该几何体的表面 积为（ ）
A．4π+6
B．6π+6
B． ﹣y2＝1
C． ﹣ ＝1
D． ﹣ ＝1
5．（5 分）若 x，y 满足约束条件
，则 的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．3
6．（5 分）某几何体的三视图如图所示（其中俯视图中的曲线是圆弧），则该几何体的表面 积为（ ）
A．4π+6
B．6π+6
C．4π+3
7．（5 分）设 a＝log36，b＝log520，则 log215＝（ ）
每月完成合格 [26，28） 产品的件数 （单位：百件）
[28，30）
[30，32）
[32，34）
[34，36]
频数
10
45
35
6
4
男员工人数
7
23
18
1
1
（1）其中每月完成合格产品的件数不少于 3200 件的员工被评为“生产能手”由以上统
2019-2020学年湖南省湘潭市示范性普通高级中学高三数学理月考试卷含解析
2019-2020学年湖南省湘潭市示范性普通高级中学高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知向量为单位向量，且它们的夹角为，则A. B. C. D.参考答案：A2. 设、分别为双曲线的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为A． B． C． D．参考答案：D3. 已知a，b∈R，则“|b|+a＜0”是“b2＜a2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；不等式的解法及应用；简易逻辑．【分析】|b|+a＜0?|b|＜﹣a，可知﹣a＞0，于是|b|+a＜0?b2＜a2，反之不成立．【解答】解：|b|+a＜0?|b|＜﹣a，可知﹣a＞0，因此|b|+a＜0?b2＜a2，反之不成立，例如取b=1，a=2．∴“|b|+a＜0”是“b2＜a2”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4. 在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如下面的频率分布直方图所示．若该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h～120km/h，试估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有A．辆 B．辆C．辆 D．辆参考答案：D考点：频率分布表与直方图以正常速度通过该处的汽车频率为：所以以正常速度通过该处的汽车约有：辆5. 执行如图2所示的程序框图，则输出的的值是A．8 B．6 C．4 D．3 参考答案：A；.故选A．6. 是虚数单位，复数等于（） A． B． C． D．-参考答案：A略7. 已知向量a = (1,—1)，b = (2,x).若a ·b = 1,则x =(A) —1 (B) — (C) (D)1参考答案：D8. 《算数书》是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也. 又以高乘之，三十六成一. 该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式. 它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3. 那么，近似公式相当于将圆锥体积公式中的近似取为（）A． B．C．D．参考答案：B设圆锥底面圆的半径为，高为，则，所以.故选B 9. 过抛物线y2=4x的焦点F且斜率为的直线交抛物线于A，B两点（x A＞x B），则=（）A．B．C．3 D．2参考答案：D【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】设出A、B坐标，利用抛物线焦半径公式求出|AB|，结合抛物线的性质x1x2=2，求出x1=2，x2=，然后求比值即可．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则斜率为，sinα=|AB|=x1+x2+p=，∴x1+x2==，又x1x2=2可得x1=2，x2=，∴==2．故选D．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，抛物线的简单性质，特别是焦点弦问题，解题时要善于运用抛物线的定义解决问题．10. 等差数列{a n}中，是一个与n无关的常数，则该常数的可能值的集合为（）A．{1} B．C．D．参考答案：B由题意得，因为数列是等差数列，所以设数列的通项公式为，则，所以，因为是一个与无关的常数，所以或，所以可能是或，故选B.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在区间[0，1]上随机取两个数m，n，则关于函数f（x）＝－nx＋1在[1，＋∞）上为增函数的概率为______．参考答案：略12. 集合的子集个数为．参考答案：13. 比较大小：参考答案：解析：设，则，得即，显然，则14. 设公比不为1的等比数列{a n}满足a1a2a3=﹣，且a2，a4，a3成等差数列，则数列{a n}的前4项和为．参考答案：【考点】等比数列的前n项和．【分析】设等比数列{a n}的公比为q，根据a2，a4，a3成等差数列，可得=a2+a2q，q≠1，解得q．再利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a2，a4，a3成等差数列，∴2a4=a2+a3，∴=a2+a2q，化为：2q2﹣q﹣1=0，q≠1，解得q=﹣．∵，∴ =﹣，解得a1=1．则数列{a n}的前4项和==．故答案为：．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15. 已知幂函数f(x)＝k·xα的图像过点，则k＋α＝________.参考答案：16. 函数的图象为C,如下结论中正确的是， (写出所有正确结论的编号).①图象C关于直线对称;②图象C关于点对称;③函数)内是增函数;④由的图象向右平移个单位长度可以得到图象C.参考答案：①②③略17. 已知等差数列的前项和为，若，则等于___________ 参考答案：84略三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2019年湖南高考模拟第二次教学质量检测数学试题(理数)
2019年湖南高考模拟第二次教学质量检测数学（理工农医类）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合M={-1,0,1}，N={x|x 2≤x}，则M ∩N=A.{0}B.{0,1}C.{-1,1}D.{-1,0,0}2.命题“若α=4π，则tan α=1”的逆否命题是 A.若α≠4π，则tan α≠1 B. 若α=4π，则tan α≠1 C. 若tan α≠1，则α≠4π D. 若tan α≠1，则α=4π 3.某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是4.设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i ，y i ）（i=1，2，…，n ），用最小二乘法建立的回归方程为y =0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是A.y 与x 具有正的线性相关关系B.回归直线过样本点的中心（x ，y ）C.若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD.若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重比为58.79kg 5. 已知双曲线C ：22x a -22y b=1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C 的方程为 A 220x -25y =1 B 25x -220y =1 C 280x -220y =1 D 220x -280y =1 6. 函数f （x ）=sinx-cos(x+6π)的值域为A [ -2 ,2]BC [-1,1 ]D , 7. 在△ABC 中，AB=2 AC=3 AB ·=A B C D8 ，已知两条直线l1 ：y=m 和l2 ：y=821m+(m＞0)，l1与函数y=|log2x|的图像从左至右相交于点A，B ，l2 与函数y= y=|log2x|的图像从左至右相交于C,D 记线段AC和BD在X轴上的投影长度分别为a ,b ,当m 变化时，ba的最小值为A B C D二，填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上（一）选做题（请考生在第9.10 11三题中人选两题作答案，如果全做，则按前两题记分）9. 在直角坐标系xOy 中，已知曲线C1：x=t+1 (t为参数)与曲线C2 ：x=asin θY= 1-2t y=3cos θ(θ为参数，a＞0 ) 有一个公共点在X轴上，则a 等于————10.不等式|2x+1|-2|x-1|>0的解集为_______.11.如图2，过点P的直线与圆O相交于A，B两点.若PA=1，AB=2，PO=3，则圆O的半径等于_______(二)必做题（12~16题）12.已知复数z=（3+i）2(i为虚数单位)，则|z|=_____.13.()6的二项展开式中的常数项为。
精品解析：【市级联考】湖南省湘潭市2019届高三下学期第二次模拟考试数学(理)试题(解析版)
2019年高三第二次模拟考试试卷数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求再求即可【详解】因为，，所以，.故选：D【点睛】本题考查集合的运算，熟记并集与补集的定义，准确计算是关键，是基础题2.已知复数，则复数在复平面内对应点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先化简z,再求即可【详解】因为，所以，对应点的坐标为.故选：A【点睛】本题考查复数的运算及几何意义，熟记定义，准确计算是关键，是基础题3.若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为（）A. 2B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先求渐近线的斜率，再求e即可【详解】依题意可得，则，所以.故选：C【点睛】本题考查双曲线的几何性质，渐近线，熟记性质，准确计算是关键，是基础题4.高铁、扫码支付、共享单车、网购并称中国“新四大发明”，近日对全国100个城市的共享单车和扫码支付的使用人数进行大数据分析，其中共享单车使用的人数分别为，它们的平均数为，方差为；其中扫码支付使用的人数分别为，，，，，它们的平均数为，方差为，则，分别为（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】由样本数据的平均数和方差的公式，化简、运算，即可求解，得到答案.【详解】由平均数的计算公式，可得数据的平均数为数据的平均数为：，数据的方差为，数据的方差为：故选C.【点睛】本题主要考查了样本数据的平均数和方差的计算与应用，其中解答中熟记样本数据的平均数和方差的计算公式，合理化简与计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5.已知变量满足约束条件，则的最小值为（）A. 9B. 8C. 7D. 6【答案】D【解析】【分析】先画出可行域，再结合z的几何意义，数形结合求解即可【详解】作出可行区域（如图阴影所示），化直线为,可知当直线经过点A取得最小值,此时解得A，∴的最小值为6故选：D【点睛】本题考查线性规划，数形结合思想，准确作图，熟练计算是关键，是基础题6.已知数列为等比数列，首项，数列满足，且，则（）A. 8B. 16C. 32D. 64【解析】【分析】先确定为等差数列，由等差的性质得进而求得的通项公式和的通项公式，则可求【详解】由题意知为等差数列，因为，所以，因为，所以公差，则，即，故，于是.故选：C【点睛】本题考查等差与等比的通项公式，等差与等比数列性质，熟记公式与性质，准确计算是关键，是基础题7.已知是函数的极值点，则（）A. B. 1 C. D. 2【答案】B【解析】【分析】对函数求导，利用已知条件求得a,得到导函数，由极值点的定义求解即可【详解】，由，得.又，当x> 0<x<故是函数的极值点，故成立故选：B【点睛】本题考查极值的定义，熟练计算是关键，注意检验，是基础题8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【解析】【分析】由三视图得出该几何体是一个底面半径为1，高为4的圆柱挖掉右上半圆柱而形成的几何体，在利用体积公式求解，即可得到答案.【详解】由三视图可知，该几何体是一个底面半径为1，高为4的圆柱挖掉右上半圆柱而形成的几何体，故该几何体的体积为，故选A.【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解.9.已知，则的值域为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】化为利用二次函数求值域即可【详解】因为，所以，由，得，所以.故选：B【点睛】本题考查二倍角公式，二次型函数求值域，熟记公式，准确计算是关键，是基础题10.2002年在北京召开的国际数学家大会的会标是以我国古代数学家的弦图为基础设计的.弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）.设其中直角三角形中较小的锐角为，且，如果在弦图内随机抛掷1000米黑芝麻（大小差别忽略不计），则落在小正方形内的黑芝麻数大约为（）A. 350B. 300C. 250D. 200【答案】D【解析】【分析】由二倍角的正切公式推导出，设大正方形为ABCD，小正方形为EFGH边长为a，由tanθ，得大正方形边长为2a,利用大小正方形的面积比能求出落在小正方形内的黑芝麻数【详解】由，得，设大正方形为ABCD，小正方形为EFGH，且，由，得，，则，.落在小正方形内的黑芝麻数大约为.故选：D【点睛】本题考查三角函数的实际应用，二倍角的正切公式，直角三角形计算，熟记公式，准确计算是关键，是基础题11.已知函数，若实数满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题,得为奇函数且单调递增，化为利用单调性求解即可【详解】由题，可知则为奇函数又,当x>0,故在单调递增，又为奇函数且连续，故在R上单调递增，所以可化为，∴，所以的取值范围是.故选：A【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性，考查抽象不等式的解法，熟练运用函数性质是关键，是中档题12.直线与抛物线C：交于A，B两点，直线，且l与C相切，切点为P，记的面积为S，则的最小值为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设出坐标，联立直线方程与抛物线方程，利用弦长公式求得，再由点到直线的距离公式求得到的距离，得到的面积为，作差后利用导数求最值．【详解】设，，联立，得则，则由，得设，则，则点到直线的距离从而．令当时，；当时，故，即的最小值为本题正确选项：【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系的应用，考查利用导数求最值的问题．解决圆锥曲线中的面积类最值问题，通常采用构造函数关系的方式，然后结合导数或者利用函数值域的方法来求解最值.第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知，若的展开式中的系数比x的系数大30，则______．【答案】2【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，求得的值．【详解】展开式通项为：且的展开式中的系数比的系数大，即：解得：（舍去）或本题正确结果：【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．14.已知两个单位向量和的夹角为，则在方向上的投影为__________．【答案】【解析】【分析】运用向量数量积的定义和性质，先求的值，再利用向量的投影公式，计算即可得到所求值．【详解】因为，所以在方向上的投影为.故答案为【点睛】本题考查向量的投影，数量积运算，数量积定义，熟记公式，准确计算是关键，是基础题15.已知函数的图像在点处的切线与直线垂直，若数列的前项和为，则__________．【答案】【解析】【分析】利用导数的几何意义求a，然后通过数列{}的通项公式，利用裂项法进行求和即可求出．【详解】由题意知，则，，故，，故，. 故答案为【点睛】本题考查数列求和，切线的应用，熟记求和基本方法，准确计算是关键，是基础题16.如图，在长方体中，，，点在棱上，当取得最小值时，，则棱的长为__________.【答案】【解析】【分析】把长方形展开到长方形所在平面，利用三点共线时取得最小值，利用勾股定理列方程组，解方程组求得的值.【详解】把长方形展开到长方形所在平面，如图，当，，在同一条直线上时，取得最小值，此时，令，，，则，得.【点睛】本小题主要考查空间中的最短距离问题，考查化归与转化的数学思想方法，考查空间想象能力，属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分17.在中，内角，，的对边分别为，，，且.（1）求；（2）若，的面积为，求的周长.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据余弦定理直接求解可得，进而可得；（2）由正弦定理角化边可得，再利用面积公式得，再利用余弦定理求解即可.【详解】（1）因为，所以，所以，从而.（2）因为，所以，即.因为的面积为，所以，即，解得，所以，，的周长为.【点睛】本题主要考查了正余弦定理及面积公式求解三角形，属于基础题.18.如图，四棱锥的底面是直角梯形，，，和是两个边长为2的正三角形，，为的中点，为的中点.（1）证明：平面.（2）在线段上是否存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由.【答案】（1）见解析；（2）当时，直线与平面所成角的正弦值为.【解析】【分析】（1）设为的中点，连接，，证明OE为三角形BPF的中位线，得即可证明（2）证明平面，由，过分别作，的平行线，分别以它们作为轴，以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，求平面的法向量，假设线段上存在一点，设，得，由直线与平面所成角的正弦值为列的方程求解即可【详解】（1）证明：设为的中点，连接，，则.∵，，，∴四边形为正方形.∵为的中点，∴为，的交点，∴为的中点，即OE为三角形BPF的中位线∴.∵平面，平面，∴平面.（2）∵，为的中点，∴.∵，∴，∴，.在中，，∴.又∵，∴平面.又因为，所以过分别作，的平行线，分别以它们作为轴，以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，.假设线段上存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为.设，则，即.设平面的一个法向量为，则，即.取，得平面的一个法向量为.设直线与平面所成角为，令，得，化简并整理得，解得（舍去），或.所以，当时，直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查线面平行的判定，空间向量求线面角，空间想象力和推理能力，准确计算是关键，是中档题19.唐三彩是中国古代陶瓷烧制工艺的珍品，它吸取了中国国画、雕塑等工艺美术的特点，在中国文化中占有重要的历史地位，在陶瓷史上留下了浓墨重彩的一笔.唐三彩的生产至今已有1300多年的历史，制作工艺十分复杂，而且优质品检验异常严格，检验方案是：先从烧制的这批唐三彩中任取 3件作检验，这3件唐三彩中优质品的件数记为.如果，再从这批唐三彩中任取3件作检验，若都为优质品，则这批唐三彩通过检验；如果，再从这批唐三彩中任取1件作检验，若为优质品，则这批唐三彩通过检验；其他情况下，这批唐三彩都不能通过检验.假设这批唐三彩的优质品概率为，即取出的每件唐三彩是优质品的概率都为，且各件唐三彩是否为优质品相互独立.（1）求这批唐三彩通过优质品检验的概率；（2）已知每件唐三彩的检验费用为100元，且抽取的每件唐三彩都需要检验，对这批唐三彩作质量检验所需的总费用记为元，求的分布列及数学期望.【答案】（1）.（2）见解析.【解析】【分析】（1）分两种情况研究唐三彩通过检验的概率相加即可求解（2）先列出可能的取值，再分别求概率列出分布列求解即可【详解】（1）设第一次取出的3件唐三彩中恰有2件优质品为事件，第一次取出的3件唐三彩全是优质品为事件，第二次取出的3件唐三彩都是优质品为事件，第二次取出的1件唐三彩是优质品为事件，这批唐三彩通过检验为事件，依题意有，所以.（2）可能的取值为300，400，600，，，.所以的分布列为300 400 600.【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列，概率加法公式，理解题意准确计算是关键，是基础题20.设是圆上的任意一点，是过点且与轴垂直的直线，是直线与轴的交点，点在直线上，且满足.当点在圆上运动时，记点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）已知点，过的直线交曲线于两点，交直线于点.判定直线的斜率是否依次构成等差数列？并说明理由.【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）设点，，由条件的线段比例可得，，代入圆的方程中即可得解；（2）设直线的方程为，与椭圆联立得得，设，，由，结合韦达定理代入求解即可.【详解】（1）设点，，因为，点在直线上，所以，.①因为点在圆：上运动，所以.②将①式代入②式，得曲线的方程为.（2）由题意可知的斜率存在，设直线的方程为，令，得的坐标为.由，得.设，，则有，.③记直线，，的斜率分别为，，，从而，，.因为直线的方程为，所以，，所以.④把③代入④，得.又，所以，故直线，，的斜率成等差数列.【点睛】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系，斜率的坐标表示，设而不求的数学思想，考查了计算能力，属于中档题.21.设函数，.（1）证明：.（2）若恒成立，求的取值范围；（3）证明：当时，.【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析.【解析】【分析】（1）令函数，证明其最小值大于等于0即可（2）原题转化为恒成立，令，求导求其最小值即可；（3）由（1），令，得，裂项相消求和得即可【详解】（1）证明：令函数，，，所以为单调递增函数，，故.（2），即为，令，即恒成立，，令，即，得.当，即时，在上单调递增，，所以当时，在上恒成立；当，即时，在上单调递增，在上单调递减，所以，所以不恒成立.综上所述：的取值范围为.（3）证明：由（1）知，令，，，，即，故有，，…，上述各式相加可得.因为，，，所以.【点睛】本题考查导数与函数的最值，利用导数求解恒成立问题，利用导数证明不等式，分类讨论思想，分析求解能力，第三问关键是利用（1）令,裂项求和，是中档题（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），其中，.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程.（1）求曲线和曲线的直角坐标方程；（2）已知曲线与曲线交于两点，点，求的取值范围.【答案】（1）曲线的普通方程，其中，；曲线的直角坐标方程.（2）【解析】【分析】（1）根据参数方程与普通方程的互化，可得曲线的普通方程；根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可得曲线的直角坐标方程.（2）将直线的参数方程代入曲线，利用韦达定理和参数的几何意义，即可求解，得到答案.【详解】（1）曲线的普通方程，其中，；曲线的直角坐标方程.（2）将代入，化简得，因为，所以.设两点对应的参数分别为，，则有，，，所以的取值范围是.【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线参数方程的应用，其中解答中熟记参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及合理利用直线参数方程参数的几何意义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力属于基础题.23.已知函数.（1）解不等式；（2）若，，.证明：.【答案】（1）.（2）见证明【解析】【分析】（1）根据不等式，分类讨论，即可求解不等式的解集，得到答案.（2）转化为证明，根据，即可得到证明.【详解】（1）由题意，函数当时，由，解得；当时，不成立；当时，由，解得.所以原不等式的解集为.（2）证明：要证，即证.因为，，所以，所以.故所证不等式成立.【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的求解，以及不等式的证明问题，其中解答中熟记含绝对值的不等式的求解方法，以及合理转化不等式的证明是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.。
湖南省2019届高三下期模拟考试数学试题理科
湖南省2019届高三模拟考试数学试卷(理科)时 量:120分钟 满 分: 150分项是符合题目要求的1.设21{|320},{|()4}2xM x x x N x =++<=≤，则MN =（ ）A.{|2}x x ≥-B.{|1}x x >-C.{|1}x x <-D.{|2}x x ≤- 2. 在等差数列{}n a 中，若1594a a a π++=，则28tan()a a +=（ ）A.3C.1D.1- 3.已知函数2log (1)()1(1)xx f x x x ≥⎧=⎨-<⎩，它的反函数为1()y f x -=，则 1(2)f --= ( )A.3-B.1-C.14D.2 4.已知直线m ,n 和平面α，那么m ∥n 的一个必要但非充分条件是( ) A. m ∥α,n ∥α B. m ⊥α,n ⊥α C. m ∥α且n ⊂α D. m ,n 与α成等角5.已知直线αsin :1x y l =和直线c x y l +=2:2，则直线1l 与2l （ ） A. 通过平移可以重合 B. 不可能垂直C. 可能与x 轴围成等腰直角三角形D. 通过1l 上某一点旋转可以重合 6.下列四个命题中，不正确．．．的是( ) A. 若函数()f x 在0x x =处连续，则)(lim )(lim 0x f x f x x x x -+→→=B. 若函数()f x 、()g x 满足lim[()()]0x f x g x →∞-=，则lim ()lim ()x x f x g x →∞→∞=C. 函数()f x =239x x +-的不连续点是x =3和x =3- D. 2111lim1=--→x x x 7．过函数294---=x x y 的图象的对称中心，且和抛物线y 2=8x 有且只有一个公共点的直线的条数共有（ ）A.1条B. 2条C. 3条D.不存在8．在ABC ∆中，已知9,sin cos sin ,6ABC AB AC B A C S ∆⋅==⋅=，P 为线段AB 上的一点，且11,||||CA CB CP x y x y CA CB =⋅+⋅+则的最小值为（ ）A.76B.712C.712+D.76+二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.把答案填在题中横线上. 9．若2()(sin cos )f x a x x =++是奇函数，则a = _______________.10．设1,0≠>a a ，函数)32(log )(2+-=x x x f a 有最小值，则不等式0)1(log >-x a 的解集为 .11. 从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校 招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图, 若某高校A 专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生能 报A 专业的人数为_________.12. 设地球的半径为R ，某人计划从北纬︒30、东经︒100的A 地到 南极去，则理论上最短路程长是 ．13. 若双曲线18222=-by x 的一条准线与抛物线x y 82=的准线重合，则双曲线的离心率为 ．14. 已知函数()f x 满足()12f =，()()()111f x f x f x ++=-，则()3f 的值为 ，)2009()3()2()1(f f f f的值为 ．15 设a ∈R ，函数1,0,())1,0.a x x f x x a x ⎧-+<⎪=-->(1) 当a =2时，函数()f x 的单调减区间为 ；(2) 若对任何x ∈R ，且0x ≠，都有()1f x x >-，则a 的取值范围为 .三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16．（本小题满分12分）已知函数()sin cos f x x x =+，()f x '是()f x 的导函数。
2019年高三第二次模拟考试数学理试题 含答案
2019年高三第二次模拟考试数学理试题含答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共1 50分．考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目"与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．第1卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第1I卷j_}=I O．5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上作答．若在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收同．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共1 O小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数（其中i为虚数单位），则复数z在坐标平面内对应的点在A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知，则a，b ，c的大小关系是A．c<a<b B．c<b<a C．a<b<c D．b<a<c3．将函数图像上所有的点向左平行移动个单位长度，再把图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象的解析式为A．B．c．D．4．“m<0”是“函数存在零点"的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件5．若空间几何体的三视图如图所示，则该几何体体积为A．B．C．D．86．下列四个判断：①某校高三（1）班和高三（2）班的人数分别是m，n，某次测试教学平均分别是a，b，则这两个班的数学平均分别为；②从总体抽取的样本（1，2，5），（2，3，1），（3，3，6），（4，3，9），（5，4，4），则回归直线必过点（3，3，6）；③已知服从正态分布N （1，22），且=0.3，则其中正确的个数有A．0个B．1个C．2个D．3个7．将5名学生分到A，B，C三个宿舍，每个宿舍至少1人至多2人，其中学生甲不到A宿舍的不同分法有A．18种B．36种C．48种D．60种8．已知点M（a，b）（a>0，b>0）是圆C：x2+y2=1内任意一点，点P（x，y）是圆上任意一点，则实数ax+by一1A ．一定是负数B ．一定等于0C ．一定是正数D ．可能为正数也可能为负数9．等差数列的前n 项和为，公差为d ，已知，则下列结论正确的是A ．B ．C ．D ．10．如图，在等腰梯形ABCD 中，AB//CD ，且AB=2CD ，设∠DAB=，∈（0，），以A ，B 为焦点且过点D 的双曲线的离心率为e 1，以C ，D 为焦点且过点A 的椭圆的离心率为e 2，设的大致图像是第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题上作答，答案无效．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．曲线与坐标轴所围成押科形面积是 .12．已知集合}032|{},22,2|{22≤-+=≤≤-+==x x x B x x x y y A ，在集合A 中任意取一个元素a ，则a ∈B 的概率是 .13．执行如图所示的程序框图，若输入a 的值为2，则输出的p 值是 .14．观察下面两个推理过程及结论：（1）若锐角A ，B ，C 满足A+B+C=，以角A ，B ，C 分别为内角构造一个三角形，依据正弦定理和余弦定理可得到等式：A CBC B A cos sin sin 2sin sin sin 222-+= （2）若锐角A ，B ，C 满足A+B+C=，则=，以角分别为内角构造一个三角形，依据正弦定理和余弦定理可以得到的等式：2s i 2c o 2c o s 22c o s 2c o s 2c o s 222A C B C B A -+= 则：若锐角A ，B ，C 满足A+B+C=，类比上面推理方法，可以得到一个等式是 .三、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按做的第一题评阅计分，本题共5分。
2019届高三下学期高三第二次模拟联考数学(理)试题—含答案
2019届高三下学期高三第二次模拟联考数学（理）试题—含答案2019学年度第二学期高三第二次模拟联考数学（理科）试卷年级班级姓名学号注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚。
3.请将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域书写的答案无效。
4.作图题可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破弄皱，不准使用涂改液、修正带。
第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1.已知，则（）A.{1,2}B.{1,2,3}C.{0,1,2}D.{1,2,3,4,}2.设复数满足，则复数所对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.如下图的茎叶图为某次10名学生100米跑步的成绩（s），由茎叶图可知这次成绩的平均数，中位数，众数分别为()A．51.95260B．525460C．51.95360D．5253624.已知随机变量服从正态分布，且，，等于（）A.0.2B．C．D．5.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5,2，则输出的n等于()A．4B．2C．3D．56.太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图案，它形象化地表达了阴阳轮转、相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化、相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆被的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．7.若函数y＝a|x|(a>0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数y＝loga|x|的图象大致是()ABCD8.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．B.C.D.9.设x，y满足约束条件，则的最大值为A.B.C.-3D.310.将函数的图象，向右平移个单位长度，再把纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数，则下列说法正确的是（）A．函数的最小正周期为B．是函数的一条对称轴C．函数在区间上单调递增D．函数在区间上的最小值为11.定义平面上两条相交直线的夹角为：两条相交直线交成的不超过的正角．已知双曲线：，当其离心率时，对应双曲线的渐近线的夹角的取值范围为（）A．B．C．D．12.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x－1)＝f(x＋1)，且当x∈[－1，1]时，，则()A．B．C．D．第Ⅱ卷二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。
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2019年高三第二次模拟考试试卷数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求再求即可【详解】因为，，所以，.故选：D【点睛】本题考查集合的运算，熟记并集与补集的定义，准确计算是关键，是基础题2.已知复数，则复数在复平面内对应点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先化简z,再求即可【详解】因为，所以，对应点的坐标为.故选：A【点睛】本题考查复数的运算及几何意义，熟记定义，准确计算是关键，是基础题3.若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为（）A. 2B.C.D.【解析】【分析】先求渐近线的斜率，再求e即可【详解】依题意可得，则，所以.故选：C【点睛】本题考查双曲线的几何性质，渐近线，熟记性质，准确计算是关键，是基础题4.高铁、扫码支付、共享单车、网购并称中国“新四大发明”，近日对全国100个城市的共享单车和扫码支付的使用人数进行大数据分析，其中共享单车使用的人数分别为，它们的平均数为，方差为；其中扫码支付使用的人数分别为，，，，，它们的平均数为，方差为，则，分别为（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】由样本数据的平均数和方差的公式，化简、运算，即可求解，得到答案.【详解】由平均数的计算公式，可得数据的平均数为数据的平均数为：，数据的方差为，数据的方差为：故选C.【点睛】本题主要考查了样本数据的平均数和方差的计算与应用，其中解答中熟记样本数据的平均数和方差的计算公式，合理化简与计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5.已知变量满足约束条件，则的最小值为（）A. 9B. 8C. 7D. 6【解析】【分析】先画出可行域，再结合z的几何意义，数形结合求解即可【详解】作出可行区域（如图阴影所示），化直线为,可知当直线经过点A取得最小值,此时解得A，∴的最小值为6故选：D【点睛】本题考查线性规划，数形结合思想，准确作图，熟练计算是关键，是基础题6.已知数列为等比数列，首项，数列满足，且，则（）A. 8B. 16C. 32D. 64【答案】C【解析】【分析】先确定为等差数列，由等差的性质得进而求得的通项公式和的通项公式，则可求【详解】由题意知为等差数列，因为，所以，因为，所以公差，则，即，故，于是.故选：C【点睛】本题考查等差与等比的通项公式，等差与等比数列性质，熟记公式与性质，准确计算是关键，是基础题 7.已知是函数的极值点，则（ ） A. B. 1C.D. 2【答案】B 【解析】 【分析】对函数求导，利用已知条件求得a,得到导函数，由极值点的定义求解即可【详解】，由，得.又，当x>0<x<故是函数的极值点，故成立故选：B【点睛】本题考查极值的定义，熟练计算是关键，注意检验，是基础题 8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D.【答案】A 【解析】 【分析】由三视图得出该几何体是一个底面半径为1，高为4的圆柱挖掉右上半圆柱而形成的几何体，在利用体积公式求解，即可得到答案.【详解】由三视图可知，该几何体是一个底面半径为1，高为4的圆柱挖掉右上半圆柱而形成的几何体，故该几何体的体积为，故选A.【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解.9.已知，则的值域为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】化为利用二次函数求值域即可【详解】因为，所以，由，得，所以.故选：B【点睛】本题考查二倍角公式，二次型函数求值域，熟记公式，准确计算是关键，是基础题10.2002年在北京召开的国际数学家大会的会标是以我国古代数学家的弦图为基础设计的.弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）.设其中直角三角形中较小的锐角为，且，如果在弦图内随机抛掷1000米黑芝麻（大小差别忽略不计），则落在小正方形内的黑芝麻数大约为（）A. 350B. 300C. 250D. 200【答案】D【解析】【分析】由二倍角的正切公式推导出，设大正方形为ABCD，小正方形为EFGH边长为a，由tanθ，得大正方形边长为2a,利用大小正方形的面积比能求出落在小正方形内的黑芝麻数【详解】由，得，设大正方形为ABCD，小正方形为EFGH，且，由，得，，则，.落在小正方形内的黑芝麻数大约为.故选：D【点睛】本题考查三角函数的实际应用，二倍角的正切公式，直角三角形计算，熟记公式，准确计算是关键，是基础题11.已知函数，若实数满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题,得为奇函数且单调递增，化为利用单调性求解即可【详解】由题，可知则为奇函数又,当x>0,故在单调递增，又为奇函数且连续，故在R上单调递增，所以可化为，∴，所以的取值范围是.故选：A【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性，考查抽象不等式的解法，熟练运用函数性质是关键，是中档题12.直线与抛物线C：交于A，B两点，直线，且l与C相切，切点为P，记的面积为S，则的最小值为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设出坐标，联立直线方程与抛物线方程，利用弦长公式求得，再由点到直线的距离公式求得到的距离，得到的面积为，作差后利用导数求最值．【详解】设，，联立，得则，则由，得设，则，则点到直线的距离从而．令当时，；当时，故，即的最小值为本题正确选项：【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系的应用，考查利用导数求最值的问题．解决圆锥曲线中的面积类最值问题，通常采用构造函数关系的方式，然后结合导数或者利用函数值域的方法来求解最值.第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知，若的展开式中的系数比x的系数大30，则______．【答案】2【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，求得的值．【详解】展开式通项为：且的展开式中的系数比的系数大，即：解得：（舍去）或本题正确结果：【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．14.已知两个单位向量和的夹角为，则在方向上的投影为__________．【答案】【解析】【分析】运用向量数量积的定义和性质，先求的值，再利用向量的投影公式，计算即可得到所求值．【详解】因为，所以在方向上的投影为.故答案为【点睛】本题考查向量的投影，数量积运算，数量积定义，熟记公式，准确计算是关键，是基础题15.已知函数的图像在点处的切线与直线垂直，若数列的前项和为，则__________．【答案】【解析】【分析】利用导数的几何意义求a，然后通过数列{}的通项公式，利用裂项法进行求和即可求出．【详解】由题意知，则，，故，，故，.故答案为【点睛】本题考查数列求和，切线的应用，熟记求和基本方法，准确计算是关键，是基础题16.如图，在长方体中，，，点在棱上，当取得最小值时，，则棱的长为__________.【答案】【解析】【分析】把长方形展开到长方形所在平面，利用三点共线时取得最小值，利用勾股定理列方程组，解方程组求得的值.【详解】把长方形展开到长方形所在平面，如图，当，，在同一条直线上时，取得最小值，此时，令，，，则，得.【点睛】本小题主要考查空间中的最短距离问题，考查化归与转化的数学思想方法，考查空间想象能力，属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分17.在中，内角，，的对边分别为，，，且.（1）求；（2）若，的面积为，求的周长.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据余弦定理直接求解可得，进而可得；（2）由正弦定理角化边可得，再利用面积公式得，再利用余弦定理求解即可.【详解】（1）因为，所以，所以，从而.（2）因为，所以，即.因为的面积为，所以，即，解得，所以，，的周长为.【点睛】本题主要考查了正余弦定理及面积公式求解三角形，属于基础题.18.如图，四棱锥的底面是直角梯形，，，和是两个边长为2的正三角形，，为的中点，为的中点.（1）证明：平面.（2）在线段上是否存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由.【答案】（1）见解析；（2）当时，直线与平面所成角的正弦值为.【解析】【分析】（1）设为的中点，连接，，证明OE为三角形BPF的中位线，得即可证明（2）证明平面，由，过分别作，的平行线，分别以它们作为轴，以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，求平面的法向量，假设线段上存在一点，设，得，由直线与平面所成角的正弦值为列的方程求解即可【详解】（1）证明：设为的中点，连接，，则.∵，，，∴四边形为正方形.∵为的中点，∴为，的交点，∴为的中点，即OE为三角形BPF的中位线∴.∵平面，平面，∴平面.（2）∵，为的中点，∴.∵，∴，∴，.在中，，∴.又∵，∴平面.又因为，所以过分别作，的平行线，分别以它们作为轴，以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，.假设线段上存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为.设，则，即.设平面的一个法向量为，则，即.取，得平面的一个法向量为.设直线与平面所成角为，令，得，化简并整理得，解得（舍去），或.所以，当时，直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查线面平行的判定，空间向量求线面角，空间想象力和推理能力，准确计算是关键，是中档题19.唐三彩是中国古代陶瓷烧制工艺的珍品，它吸取了中国国画、雕塑等工艺美术的特点，在中国文化中占有重要的历史地位，在陶瓷史上留下了浓墨重彩的一笔.唐三彩的生产至今已有1300多年的历史，制作工艺十分复杂，而且优质品检验异常严格，检验方案是：先从烧制的这批唐三彩中任取 3件作检验，这3件唐三彩中优质品的件数记为.如果，再从这批唐三彩中任取3件作检验，若都为优质品，则这批唐三彩通过检验；如果，再从这批唐三彩中任取1件作检验，若为优质品，则这批唐三彩通过检验；其他情况下，这批唐三彩都不能通过检验.假设这批唐三彩的优质品概率为，即取出的每件唐三彩是优质品的概率都为，且各件唐三彩是否为优质品相互独立. （1）求这批唐三彩通过优质品检验的概率；（2）已知每件唐三彩的检验费用为100元，且抽取的每件唐三彩都需要检验，对这批唐三彩作质量检验所需的总费用记为元，求的分布列及数学期望.【答案】（1）.（2）见解析.【解析】【分析】（1）分两种情况研究唐三彩通过检验的概率相加即可求解（2）先列出可能的取值，再分别求概率列出分布列求解即可【详解】（1）设第一次取出的3件唐三彩中恰有2件优质品为事件，第一次取出的3件唐三彩全是优质品为事件，第二次取出的3件唐三彩都是优质品为事件，第二次取出的1件唐三彩是优质品为事件，这批唐三彩通过检验为事件，依题意有，所以.（2）可能的取值为300，400，600，，，.所以的分布列为.【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列，概率加法公式，理解题意准确计算是关键，是基础题20.设是圆上的任意一点，是过点且与轴垂直的直线，是直线与轴的交点，点在直线上，且满足.当点在圆上运动时，记点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）已知点，过的直线交曲线于两点，交直线于点.判定直线的斜率是否依次构成等差数列？并说明理由.【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）设点，，由条件的线段比例可得，，代入圆的方程中即可得解；（2）设直线的方程为，与椭圆联立得得，设，，由，结合韦达定理代入求解即可. 【详解】（1）设点，，因为，点在直线上，所以，.①因为点在圆：上运动，所以.②将①式代入②式，得曲线的方程为.（2）由题意可知的斜率存在，设直线的方程为，令，得的坐标为.由，得.设，，则有，.③记直线，，的斜率分别为，，，从而，，.因为直线的方程为，所以，，所以.④把③代入④，得.又，所以，故直线，，的斜率成等差数列.【点睛】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系，斜率的坐标表示，设而不求的数学思想，考查了计算能力，属于中档题.21.设函数，.（1）证明：.（2）若恒成立，求的取值范围；（3）证明：当时，.【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析.【解析】【分析】（1）令函数，证明其最小值大于等于0即可（2）原题转化为恒成立，令，求导求其最小值即可；（3）由（1），令，得，裂项相消求和得即可【详解】（1）证明：令函数，，，所以为单调递增函数，，故.（2），即为，令，即恒成立，，令，即，得.当，即时，在上单调递增，，所以当时，在上恒成立；当，即时，在上单调递增，在上单调递减，所以，所以不恒成立.综上所述：的取值范围为.（3）证明：由（1）知，令，，，，即，故有，，…，上述各式相加可得.因为，，，所以.【点睛】本题考查导数与函数的最值，利用导数求解恒成立问题，利用导数证明不等式，分类讨论思想，分析求解能力，第三问关键是利用（1）令,裂项求和，是中档题（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），其中，.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程.（1）求曲线和曲线的直角坐标方程；（2）已知曲线与曲线交于两点，点，求的取值范围.【答案】（1）曲线的普通方程，其中，；曲线的直角坐标方程.（2）【解析】【分析】（1）根据参数方程与普通方程的互化，可得曲线的普通方程；根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可得曲线的直角坐标方程.（2）将直线的参数方程代入曲线，利用韦达定理和参数的几何意义，即可求解，得到答案. 【详解】（1）曲线的普通方程，其中，；曲线的直角坐标方程.（2）将代入，化简得，因为，所以.设两点对应的参数分别为，，则有，，，所以的取值范围是.【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线参数方程的应用，其中解答中熟记参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及合理利用直线参数方程参数的几何意义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力属于基础题.23.已知函数.（1）解不等式；（2）若，，.证明：.【答案】（1）.（2）见证明【解析】【分析】（1）根据不等式，分类讨论，即可求解不等式的解集，得到答案.（2）转化为证明，根据，即可得到证明.【详解】（1）由题意，函数当时，由，解得；当时，不成立；当时，由，解得.所以原不等式的解集为.（2）证明：要证，即证.因为，，所以，所以.故所证不等式成立.【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的求解，以及不等式的证明问题，其中解答中熟记含绝对值的不等式的求解方法，以及合理转化不等式的证明是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.。