内蒙古包头市高一数学下学期期末考试试题 文
内蒙古包头市高一下学期数学期末试卷(A卷)
内蒙古包头市高一下学期数学期末试卷（A卷)姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）已知全集U=R，设函数的定义域为集合M，集合，则等于（）A .B .C .D .2. （2分）(2017·泉州模拟) 已知实数x，y满足约束条件 z=x+y，则满足z≥1的点（x，y）所构成的区域面积等于（）A .B .C .D . 13. （2分）在△ABC中，已知sinB=2cosCsinA，则△ABC的形状是（）A . 等边三角形B . 等腰直角三角形C . 等腰三角形D . 直角三角形4. （2分） (2016高三上·呼和浩特期中) 放射性元素一般都有一个半衰期（剩留量为最初质量的一半所需的时间）．已知一种放射性元素的质量按每年10%衰减，那么这种放射性元素的半衰期是（）年（精确到0.1，已知lg2=0.3010，lg3=0.4771）．A . 5.2B . 6.6C . 7.1D . 8.35. （2分）(2020·厦门模拟) 中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家、天文学家张隧（法号：一行）为编制《大衍历》发明了一种近似计算的方法——二次插值算法（又称一行算法，牛顿也创造了此算法，但是比我国张隧晚了上千年）：对于函数在处的函数值分别为，则在区间上可以用二次函数来近似代替，其中 .若令，，，请依据上述算法，估算的近似值是（）A .B .C .D .6. （2分）(2019·河南模拟) 函数的大致图象为（）A .B .C .D .7. （2分）(2012·江西理) 在中，，则的周长为（）A .B .C .D .8. （2分） (2019高二下·鹤岗月考) 函数的单调递减区间为（）A .B .C .D .9. （2分） (2016高三上·成都期中) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 = ，则cosB=（）A . ﹣B .C . ﹣D .10. （2分）(2020·厦门模拟) 已知是正项等比数列的前n项和，，则的最小值为（）．A . 10B . 5C .D .二、双空题 (共4题；共4分)11. （1分）(2020·徐州模拟) 已知x＞1，y＞1，xy＝10，则的最小值是________．12. （1分） (2016高二上·济南期中) 已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若S7=7，S15=75，则数列的前20项和为________．13. （1分） (2020高一下·奉化期中) 若，，则 ________，________．14. （1分）(2020·福建模拟) 已知双曲线的左焦点为，、为双曲线上关于原点对称的两点，的中点为，的中点为，的中点为，若，且直线的斜率为，则 ________，双曲线的离心率为________．三、填空题 (共3题；共3分)15. （1分）(2019·天河模拟) 设定义在R上的函数满足，当时，，则 ________．16. （1分）已知平面向量与的夹角θ∈[60°，120°]，且||=||=3，若=+，则||的取值范围是________17. （1分）(2017·日照模拟) 已知向量 =（m，1）， =（4﹣n，2），m＞0，n＞0，若∥ ，则+ 的最小值________．四、解答题 (共5题；共50分)18. （10分） (2018高一上·阜城月考)（1）求经过点，且与直线平行的直线的斜截式方程；（2）求经过点，且与直线垂直的直线的一般方程.19. （10分） (2017高一下·株洲期中) 在平行四边形ABCD中，E，G分别是BC，DC上的点且 =3 ，=3 ，DE与BG交于点O．（1）求| |：| |；（2）若平行四边形ABCD的面积为21，求△BOC的面积．20. （10分）已知函数f（x）=sin2x﹣2a（sinx+cosx）+a2 ，（1）当a=2时，求函数f（x）的最小值；（2）若函数f（x）的最小值为g（a），无论a为何值g（a）≥m恒成立，求m的取值范围．21. （10分） (2016高三上·宝安模拟) 已知等差数列{an}的首项a1=3，且公差d≠0，其前n项和为Sn ，且a1 ， a4 ， a13分别是等比数列{bn}的b2 ， b3 ， b4 ．（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；（2）证明．22. （10分） (2019高一上·重庆月考) 已知函数是奇函数.（1）求实数的值;（2）设函数 ,是否存在非零实数 ,使得方程恰好有两个解?若存在,求出的取值范围;若不存在,说明理由.参考答案一、单选题 (共10题；共20分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：二、双空题 (共4题；共4分)答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：三、填空题 (共3题；共3分)答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：答案：17-1、考点：解析：四、解答题 (共5题；共50分)答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：。
2019-2020学年内蒙古包头市高一下学期期末考试数学试题(解析版)
2019-2020学年内蒙古包头市高一下学期期末考试数学试题一、单选题1．与直线3450x y -+=关于坐标原点对称的直线方程为（ ） A ．3450x y +-= B ．3450x y ++= C ．3450x y -+= D ．3450x y --=【答案】D【解析】设出所求对称直线上的点的坐标，求出关于原点的对称点坐标，代入已知直线方程，即可. 【详解】设所求对称直线上任意一点的坐标为(),x y ，则关于原点对称点的坐标为(),x y --，该点在已知的直线上，则3450x y -++=，即3450x y --=. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了直线关于点对称问题，考查运算能力，属于基础题. 2．下列命题为真命题的是（ ） A ．若0a b >>，则22ac bc > B ．若0a b >>，则22a b > C ．若0a b <<，则22a ab b << D ．若0a b <<，则11a b< 【答案】B【解析】取特殊值判断,,A C D 选项，根据不等式的性质判断B 选项. 【详解】解：A 中，2c =0时，22ac bc =； B 中，0a b >>，由性质7可得22a b >；C 中，令2,1a b =-=-，则224,2,1a ab b ===，显然22a ab b >>；D 中，令2,1a b =-=-，则111,12a b =-=-，显然11a b>. 故选：B 【点睛】本题主要考查了由已知条件判断所给不等式是否成立，属于基础题.3．用斜二测画法画水平放置的平面图形直观图时，下列结论中正确的个数是（ ） ①平行的线段在直观图中仍然平行；②相等的线段在直观图中仍然相等； ③相等的角在直观图中仍然相等；④正方形在直观图中仍然是正方形 A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】根据斜二侧画法的基本概念和作图原则，对每一个选项进行判断，即可得到结果． 【详解】对于①，平行的线段在直观图中仍然是平行线段，所以①正确；对于②，相等的线段在直观图中不一定相等， 如平行于x 轴的线段，长度不变，平行于y 轴的线段，变为原来的12，所以②错误； 对于③，相等的角在直观图中不一定相等， 如直角坐标系内两个相邻的直角，在斜二测画法内是45︒和135︒，所以③错误；对于④，正方形在直观图中不是正方形，是平行四边形，所以④错误； 综上，正确的命题序号是①，共1个． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了斜二侧画法的基本概念和作图原则，是基础题．4．点(,)P x y 在直线20x y +-=上，O 是坐标原点，则||OP 的最小值是（ ） A ．1 BC ．2D．【答案】B【解析】利用点到直线的距离公式，求出原点到直线20x y +-=的距离，即为OP 的最小值. 【详解】原点到直线20x y +-===. 故选：B. 【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式的运用，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 5．已知{}n a 为等比数列，下面结论中正确的是（ ）A ．若13a a =，则12a a =B ．若21a a >，则32a a >C ．1322a a a +≥D ．2221322a a a +≥【答案】D【解析】利用等比数列的通项公式和性质，结合基本不等式，逐项进行判断即可． 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，若13a a =，则211a a q =，∴21q =，∴1q =±，∴12a a =或12a a =-，故A 不正确； 若21a a >，则11a q a >，所以2111321()q q a a a a a q q a --==-，当0q >时，32a a >；当0q <时，32a a <，故B 不成立.若130,0a a >>，则1232a a a +≥==，当且仅当13a a =，即1q =±时取等号；若130,0a a <<，则[]13132()()2a a a a a =+-+-≤==-，当且仅当13a a -=-，即1q =±时取等号，故C 不正确； 因为2222221322((2))a a a a q a q +=+≥，当且仅当2222()()aa q q=，即1q =±时取等号，故D 正确. 故选：D ． 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式、等比数列的性质、基本不等式等知识的综合应用，解题的关键是灵活利用基本不等式和等比数列的性质．6．在△ABC 中，sin :sin :sin 7:3:5A B C =，那么这个三角形的最大角是（ ） A ．π2B ．2π3C ．4π5D ．5π6【答案】B【解析】由正弦定理，可得::7:3:5a b c =，设()7,3,50a k b k c k k ===>，易知该三角形的最大角是角A ，由余弦定理，可求出cos A ，进而可求出角A . 【详解】由正弦定理，::sin :sin :sin 7:3:5a b c A B C ==， 设()7,3,50a k b k c k k ===>， 显然该三角形的最大角是角A ，由余弦定理，可得222222925491cos 22352b c a k k k A bc k k +-+-===-⨯⨯，因为()0,πA ∈，所以2π3A =. 故选：B. 【点睛】本题考查正弦、余弦定理在解三角形中的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 7．某几何体的三视图如图所示，该几何体由一平面将正方体截去一部分后所得，则截去几何体的体积与剩余几何体的体积比值为（ ）A ．13B ．14C ．15D ．16【答案】C【解析】如图，正方体截去三棱锥D ABC -后，所得图形为三视图所对应的几何体，设正方体的棱长为()0a a >，求出正方体的体积为V ，及三棱锥D ABC -的体积，从而可求出截去几何体的体积与剩余几何体的体积的比值. 【详解】如下图，正方体截去三棱锥D ABC -后，所得图形为三视图所对应的几何体，设正方体的棱长为()0a a >，则正方体的体积为3V a =， 三棱锥D ABC -的体积为3111326V a a a a '=⨯⨯⨯=，则截去几何体的体积与剩余几何体的体积比值为333116156aV V V a a '=='--. 故选：C. 【点睛】本题考查三视图，考查几何体的体积，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于基础题.8．已知在正方体1111ABCD A B C D -中，,P Q 分别为111,A B CC 的中点，则异面直线1B C和PQ 所成的角为（ ）A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 【答案】A【解析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出异面直线所成的角. 【详解】解：如图所示建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2， 则()0,2,0C ，()12,2,2B ，()2,1,2P ，()0,2,1Q()2,1,1PQ ∴=--，()12,0,2CB =设异面直线1B C 和PQ 所成的角为θ，则(11cos 2PQ CB PQ CB θ⋅===⋅- 0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦6πθ∴=故选：A【点睛】本题考查利用空间向量法解决立体几何问题，属于中档题.9．已知点(4,0)A -，(3,1)B -，若直线2y kx =+与线段AB 恒有公共点，则k 的取值范围是（ ） A ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．1,[1,)2⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦ D ．1(,1],2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】作出图形，直线2y kx =+恒过定点()0,2C ，求出AC 、BC 的斜率，由直线2y kx =+与线段AB 恒有公共点，可求出k 的取值范围. 【详解】直线2y kx =+恒过定点()0,2C ， 直线AC 的斜率()1201042k -==--，直线BC 的斜率()221103k --==--，当12k ≥或1k ≤-时，直线2y kx =+与线段AB 恒有公共点.故选：D. 【点睛】本题考查直线的斜率公式的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中等题． 10．已知01a <<，01b <<，则22222222(1)(1)(1)(1)a b a b a b a b +++-+-++-+-的最小值为（ ）A ．2B ．22C ．23D ．4【答案】B【解析】根据两点之间的距离公式，令()()()()0,0,0,1,1,0,1,1,(,)P A B a C b O ，可得22222222(1)(1)(1)(1),,,a b PO a b PC a b PA a b PB+=+-=-+=-+-=，做出草图，再根据三角形的性质，即可求出结果． 【详解】如图，令()()()()0,0,0,1,1,0,1,1,(,)P A B a C b O ，则22222222(1)(1)(1)(1)a b PO a b PC a b PA a b PB +=+-=-+=-+-=可得22222222(1)(1)(1)(1)a b a b a b a b +++--+-+-PO PC PA PB =+++，又在PAC 中，PA PC AC +>，在POB 中，PO PB OB +>22PO PC PA PB AC OB +++>+=当P 是AC 与OB 的交点时，=22PO PC PA PB AC OB ++++= 所以22PO PC PA PB AC OB +++≥+=22222222(1)(1)(1)(1)a b a b a b a b +++--+-+-2 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了两点间距离公式的应用，函数最值得几何意义，考查了转化思想、数形结合思想，属于中档题．11．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若三棱锥A BCD -为鳖臑，AB ⊥平面BCD ，2AB BC ==，22BD =，且三棱锥A BCD -的四个顶点都在一个正方体的顶点上，则该正方体的表面积为（ ） A ．12 B ．18C ．24D ．36【答案】C【解析】根据题意作出四个面都为直角三角形的三棱锥A BCD -，并根据该三棱锥的特点，作出满足题意的正方体，由此可知DC 为该正方体的一条棱，再根据题中所给数据，即可求出结果. 【详解】由于在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，且四个面都为直角三角形，作出三棱锥A BCD -，如下图所示：其中DC BC ⊥，DC AC ⊥，又AC BC C =，所以DC ⊥平面ABC ；又因为三棱锥A BCD -四个面都为直角三角形且四个顶点都在一个正方体的顶点上， 所以该正方体如下图所示，可知DC 为正方体的一条棱；又2AB BC ==，22BD =， 所以在Rt BCD 中，22842DC BD BC =-+=-=;该正方体的表面积为26224⨯=. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了线面垂直关系，同时考查了对三棱锥的认识和空间想象能力，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．12．已知函数()y f x =满足()(1)1f x f x +-=，若数列{}n a 满足121(0)(1)n n a f f f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则数列{}n a 的前10项和为（ ） A ．652 B ．33C ．672D ．34【答案】A【解析】根据()(1)1f x f x +-=，并结合倒序相加法可求出12n n a +=，再利用等差数列求和公式得到答案. 【详解】函数()y f x =满足()(1)1f x f x +-=，121(0)(1)n n a f f f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭①，121(1)(0)n n n a f f f f f n n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭②，由①+②可得21n a n =+，12n n a +∴=， 所以数列{}n a 是首项为1，公差为12的等差数列，其前10项和为10110165222+⎛⎫+ ⎪⎝⎭=.故选：A. 【点睛】本题考查了函数的性质，考查倒序相加法求和，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，属于中档题.二、填空题13．已知实数x ，y 满足101x y x y y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =+的最小值为________.【答案】3-【解析】画出不等式组所对应的可行域，当目标函数2z x y =+过点P 时，z 取得最小值，求解即可.【详解】画出不等式组所对应的可行域，如下图阴影部分，当目标函数2z x y =+过点P 时，z 取得最小值， 联立01x y y -=⎧⎨=-⎩，解得1x y ==-，即()1,1P --，所以2z x y =+的最小值为()1213-+-=-. 故答案为：3-. 【点睛】本题考查线性规划，考查学生的计算求解能力，属于基础题.14．若关于x 的方程2(1)0mx m x m +-+=没有实数根，则实数m 的取值范围是 .【答案】1(,1)(,)3-∞-⋃+∞ 【解析】试题分析：若,则,有实数根,故,由题设,即,解之得或,故应填1(,1)(,)3-∞-⋃+∞.【考点】二次不等式及解法．15．《莱因德纸草书》（RhindPapyrus ）是世界上最古老的数学著作之一.书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使得每个人所得成等差数列，且较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最大的1份为________. 【答案】1153【解析】设每个人所得由少到多为1a ，2a ，3a ，4a ，5a ，公差为d ，从而可得()1134512754551010021a d a d a a a a a ⨯⎧+=+=⎪⎪⎨⎪++=+⎪⎩，进而求出5a 即可. 【详解】设每个人所得由少到多为1a ，2a ，3a ，4a ，5a ，公差为d ， 由题意，()1134512754551010021a d a d a a a a a ⨯⎧+=+=⎪⎪⎨⎪++=+⎪⎩，即()1111112204723d d a d a a a a d a d +=⎧⎨++=+++++⎩， 整理得11220112a d a d +=⎧⎨=⎩，解得153556a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 所以最大的1份为5155511544363a a d =+=+⨯=. 故答案为：1153. 【点睛】 本题考查等差数列的性质，考查学生的计算求解能力，属于基础题.三、双空题16．设三棱锥S ABC -的底面和侧面都是全等的正三角形，P 是棱SA 的中点.记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P AC B --的平面角为γ，则α，β，γ中最大的是_________，最小的是________.【答案】α β【解析】作出线线角α，线面角β，二面角γ，根据它们的正弦值，比较出它们的大小关系.【详解】作//PD CA 交SC 于D ，由于AB BC CA ==，SA SB SC ==，所以S ABC -为正三棱锥，由对称性知BD PB =，取PD 中点E ，连接BE ，作EH ⊥平面ABC ，交平面ABC 于H ，连接BH ， 作PF ⊥平面ABC ，交平面ABC 于F ，连接BF ，作PG AC ⊥，交AC 于G ，连接GF ，所以BE PD ⊥，由于//PD AC ，所以BPD α=∠，由于PF ⊥平面ABC ，所以PBF β=∠，由于PG AC ⊥，PF ⊥平面ABC ，所以PGF γ=∠，222sin BE EH BH EH EH BP BP BP BPα+==>=， 因为//PD CA ，E 在PD 上，EH ⊥平面ABC 于H ，PF ⊥平面ABC 于F ， 所以EH PF =.所以sin PF EH BP BPβ==.所以sin sin αβ>， 由于,αβ都是锐角，所以αβ>，由于P 在SA 上，由对称性PB CP =，而CP PG >，则sin sin PF PF PF PG CP BPγβ=>==，由于γ也是锐角，所以γβ>， 由PB BG <,222sin BE EH BH EH EH PF BP BP BP BP BP α+==>==sin PF PG γ>=，所以αγ 综上所述，三个角中的最小角是β，最大角是α.故答案为：①α；②β.【点睛】本小题主要考查线线角、线面角、二面角的概念，考查数形结合的数学思想方法，考查空间想象能力，属于中档题.四、解答题17．已知0x y >>，0z >，求证：（1）z z x y<； （2）()()()8x y x z y z xyz +++>.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）由0x y >>，可得11y x >，结合0z >，可得z z x y<；（2）由0x >，0y >，0z >，利用基本不等式可得x y +≥，x z +≥，y z +≥，三个式子相乘，进而可证明结论成立.【详解】证明：（1）因为0x y >>，所以0xy >，10xy>， 于是11x y xy xy ⋅>⋅，即11y x>， 由0z >，得z z x y <.（2）因为0x >，0y >，0z >，所以x y +≥x z +≥，y z +≥，所以()()()8x y x z y z xyz +++≥=，当且仅当x y z ==时，等号同时成立，因为x y >，所以上式中等号不能同时取得. 所以()()()8x y x z y z xyz +++>.【点睛】本题考查不等式的证明，考查不等式的性质、基本不等式的应用，考查学生的推理能力，属于基础题.18．已知4sin 5α，π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos 5β=-，β是第三象限角. （1）求cos()αβ+的值；（2）求tan()αβ-的值.【答案】（1）25；（2）2 【解析】（1）求出cos α及sin β，进而利用cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-，可求出答案；（2）由sin tan cos ααα=，sin tan cos βββ=，并结合tan tan tan()1tan tan αβαβαβ--=+，可求出答案.【详解】 由4sin 5α，π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得3cos 5α===-，由cos β=，β是第三象限角，得sin β===. （1）cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-34555525⎛⎛⎫⎛⎫=-⨯--⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. （2）由sin tan s 43co ααα==-，sin tan 2cos βββ==， 得42tan tan 3tan()241tan tan 123αβαβαβ----===+⎛⎫+⨯- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系的运用，考查两角和与差的余弦、正切公式的运用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.19．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2a =，b =2B A =. （1）求sin A ；（2）求△ABC 的面积.【答案】（1（2【解析】（1）由正弦定理可得2sin A ==cos A ，进而可求出sin A ； （2）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，可求出c ，进而由△ABC 的面积1sin 2ABC S bc A =，可求出答案. 【详解】（1）由正弦定理，sin sin a b A B=，即2sin A ==因为0πA <<，所以sin 0A >，所以22cos A =，即cos A =.所以sin 4A ===.（2）由余弦定理，2222cos a b c bc A =+-，即2222c c =+-， 整理得22520c c -+=，解得2c =或12c =. 当2c =时，a c =，得A C =，又2B A =，故π4A C ==，π2B =，所以b ==b = 当12c =时，经检验符合题意.所以△ABC 的面积111sin 222416ABC Sbc A ==⨯=. 【点睛】 本题考查正弦、余弦定理在解三角形中的应用，考查三角形的面积，考查学生的计算求解能力，属于中档题.20．已知(3,0)A -，(1,0)B ，(0,3)C ，试求点D 的坐标，使四边形ABCD 为等腰梯形.【答案】(2,3)-或163,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】设所求点D 坐标为(,)x y ，若//AB CD ，则||||BC AD =，可求出,x y ；若//AD BC ，则|||AB CD=∣，可求出,x y ，即可得出点D 坐标. 【详解】设所求点D 坐标为(,)x y .①若//AB CD ，||||BC AD =，则3y =⎧= 解得23x y =-⎧⎨=⎩或43x y =-⎧⎨=⎩， 当23x y =-⎧⎨=⎩时，经验证AB CD ≠，符合题意； 当43x y =-⎧⎨=⎩时，4AB ==，4CD ==，AB CD =，不符合题意，舍去；②若//AD BC ，|||AB CD =∣，则030301y x --⎧=⎪+-=，解得16535x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或43x y =-⎧⎨=⎩， 当16535x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，经验证AD BC ≠，符合题意； 当43x y =-⎧⎨=⎩时，AD ==BC ==AD BC =，不符合题意，舍去. 综上，所求点D 的坐标为(2,3)-，或163,55⎛⎫-⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查等腰梯形的性质，考查平行线的性质，考查两点间距离公式的运用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.21．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且424S S =，221n n a a =+.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列12-⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n a 的前n 项和n T . 【答案】（1）21n a n =-；（2）12362n n n T -+=- 【解析】（1）设{}n a 的公差为d ，由424S S =，221n n a a =+，可得()1111143442(21)22(1)1d a a a d a n d a n d ⨯⎧+=++⎪⎨⎪+-=+-+⎩，即可求出1a ，d ，进而可求出{}n a 的通项公式； （2）由112122n n n a n ---=，进而可利用错位相减法求出该数列的前n 项和. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由424S S =，221n n a a =+， 则()1111143442(21)22(1)1d a a a d a n d a n d ⨯⎧+=++⎪⎨⎪+-=+-+⎩，即1121d a a d =⎧⎨=-⎩， 解得11a =，2d =.所以21n a n =-.（2）由112122n n n a n ---=， 则2313572112222n n n T --=+++++①， 23111352321222222n n n n n T ---=+++++②， ①-②得，2221111111212123222231222222212n n n n n n n n n T --⎛⎫- ⎪--+⎝⎭=++++-=+-=--. 故12362n n n T -+=-. 【点睛】本题考查等差数列的性质，考查利用错位相减法求数列的前n 项和，考查学生的计算求解能力，属于中档题.22．如图，长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是正方形，点E 在棱1AA 上，1B E EC ⊥.（1）证明：1B E ⊥平面EBC ；（2）若点E 为棱1AA 的中点，2AB =.①求四棱锥11E BB C C -的体积；②求直线1EC 与平面11BB C C 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）①163；②33. 【解析】（1）由BC ⊥平面11ABB A ，可得1BC B E ⊥，结合1B E EC ⊥，可证明1B E ⊥平面EBC ；（2）①由1B E ⊥平面EBC ，可得1B E BE ⊥，进而可证明11ABE A B E ≌，可知11A B E ABE ∠=∠，从而111145A B E A EB ︒∠=∠=，由AB ⊥平面11BB C C ，可知E 到平面11BB C C 的距离d AB =，进而可求出四棱锥11E BB C C -的体积;②先证明EF ⊥平面11BB C C ，从而可得1EF FC ⊥，即1EC F ∠为直线1EC 与平面11BB C C 所成的角，求解即可.【详解】（1）证明：由长方体1111ABCD A B C D -，可知BC ⊥平面11ABB A .∵1B E ⊂平面11ABB A ，∴1BC B E ⊥.∵1B E EC ⊥，BC EC C =，且,BC EC ⊂平面EBC ，∴1B E ⊥平面EBC .（2）①∵1B E ⊥平面EBC ，且BE ⊂平面EBC ，∴1B E BE ⊥，即190BEB ︒∠=，∵1190AEB A EB AEB ABE ︒∠+∠=∠+∠=，∴11A EB ABE ∠=∠，又111111AE EA AB A B BAE B A E =⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴11ABE A B E ≌， ∴11A B E ABE ∠=∠，则111145A B E A EB ︒∠=∠=，∴1112A E A B ==.在长方体1111ABCD A B C D -中，1//AA 平面11BB C C ，1E AA ∈，AB ⊥平面11BB C C . ∴E 到平面11BB C C 的距离2d AB ==，∴四棱锥11E BB C C -的体积11624233V =⨯⨯⨯=. ②取F 为棱1BB 的中点，连接EF 、1C F ，则//EF AB .由题意知AB ⊥平面11BB C C ，所以EF ⊥平面11BB C C ，∵1FC ⊂平面11BB C C ，∴1EF FC ⊥，∴1EC F ∠为直线1EC 与平面11BB C C 所成的角.在11Rt A B E中，112B E A E =， 在11Rt EB C中，1EC ===于是11sin 3EF EC F EC ∠===. 所以直线1EC 与平面11BB C C所成的角的正弦值为3.【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查四棱锥体积的求法，考查线面角的求法，考查学生的计算求解能力，属于中档题.。
2021-2022学年内蒙古包头市高一下学期期末考试数学试题(解析版)
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．若实数 ， 满足约束条件 则 的最小值是．
〖解析〗依题意，画出可行域（如图示），
则对于目标函数 ，
当直线经过 时， 取到最小值， ．
〖答案〗1
14．已知直线 平面 ，直线 平面 ，则下列四个命题：
① ；
② ；
③ ；
④ ．
其中正确命题的序号是．
所以直线 的方程为 ，即 ，
（2）当直线 斜率存在时，设 方程为 ，即 ，
由 ，解得 ，直线 方程为 ，
当直线 斜率不存在时， 的方程为 ，原点到 的距离为2，
C． D． 或
〖解析〗当直线过原点时，斜率等于 ，故直线的方程为 ，即 ，
当直线不过原点时，设直线的方程为： ，把 代入直线的方程得： ，
故求得的直线方程为： ，
综上，满足条件的直线方程为 或 ．
〖答案〗
9．已知 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，则下列说法中错误的
是
A．若 ，则 一定是等边三角形
则 ， ， ，故选项 不成立．
，
，
故 ．
〖答案〗
11．圆锥顶点为 ， 和 是两条互相垂直的母线， 与底面所成的角大小为 ，若 ，则该圆锥的体积为
A． B． C． D．
〖解析〗如图所示：
由已知得 为等腰直角三角形，又 ，所以 ，
又 与底面所成的角大小为 ，所以圆锥的高为 ，
圆锥的底面半径为 ，
所以该圆锥的体积为 ．
〖答案〗
12．若一个三角形三边长成公差为2的等差数列，且最大角为 ，则这个三角形的面积为
A．24B． C． D．
〖解析〗由题意可设，三条边长分别为 ， ， ，
2020-2021学年内蒙古包头市高一(下)期末数学试卷(附详解)
2020-2021学年内蒙古包头市高一（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 若a >b ，则下列不等式成立的是( )A. |a|>|b|B. 2a >2bC. a 2>b 2D. 1a <1b2. 直线√6√2=1的倾斜角大小为( )A. π6B. π3C. 2π3D. 5π63. 设α、β、γ是三个不同平面，l 是一条直线，下列各组条件中可以推出α//β的有( )①l ⊥α，l ⊥β；②l//α，l//β；③α//γ，β//γ；④α⊥γ，β⊥γ．A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④4. 已知α∈(0,2π)，且5sinα=6sin α2，则tan α2=( )A. −43B. −34C. 34D. 435. 若直线(a +2)x +(1−a)y −3=0与直线(a −1)x +(2a −3)y +2=0互相垂直．则a 的值为( )A. 1B. −1C. ±1D. −326. 若x ，y 满足约束条件{x +y <3x −y <−13x +y >1，则z =2x +y 的取值范围是( )A. (1,2)B. (1,3)C. (1,4)D. (2,4)7. 若直线ax +y −1=0与连接A(2,3)，B(−3,2)的线段总有公共点，则a 的取值范围是( )A. [−1,13] B. (−∞,−1]∪[13,+∞) C. [−13,1]D. (−∞,−13]∪[1,+∞)8. 已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图，侧视图均是由三角形与半圆构成，视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为( )A. 2π3+12B. 4π3+16C. √2π3+12D. √2π6+169.在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos2C2=a+b2a，则△ABC的形状是()A. 直角三角形B. 等边三角形C. 等腰三角形D. 等腰直角三角形10.已知三棱锥A−BCD的四个顶点都在球O的球面上，若AB⊥平面BCD，∠CBD=90°,CD=4,AB=2√3，则球O的表面积为()A. 28πB. 30πC. 32πD. 36π11.已知锐角α，β满足α+β=π6，则1sinαcosβ+9cosαsinβ的最小值为()A. 34B. 32C. 30D. 2812.记S n为等比数列{a n}的前n项和．若S5=8，a12+a22+a32+a42+a52=32，则a1+a3+a5=()A. 4B. 5C. 6D. 7二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知tan(45°−α)=3，则tan2α=______．14.已知a n=lg n+1n(n∈N∗)，若数列{a n}的前n项和S n=1，则n=______．15.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2BC，E为棱AB的中点，直线D1E与底面ABCD所成角为45°，则异面直线D1E与BC所成角的大小为______．16.在锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若2bsinA=√3a，则cosA+cosB+cosC的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知△ABC的顶点A(2,6)，B(4,2)，C(−2,0)．(1)求AB边所在直线的方程；(2)求△ABC的面积．18.在△ABC中，AC=√10，CD平分∠ACB交AB于点D，已知CD=√2，∠BDC=π．4(1)求AD；(2)求BD．BC19.如图，在四棱锥P−ABCD中，已知底面ABCD是菱形，且对角线AC与BD相交于点O．(1)若PB=PD，求证：平面PBD⊥平面PAC；(2)设点E为BC的中点，在棱PC上是否存在点F，使得PB//平面AEF？请说明理由．20.如图，已知直线l1//l2，A为l1，l2之间的定点，并且A到l1，l2的距离分别为3，4，点B，C分别是直线l1，l2上的动点，使得AB⊥AC.过点A作直线DE⊥l1，交l1于点D，交l2于点E，设∠ACE=θ．(1)求△ABC的面积S△ABC关于θ的解析式f(θ)；(2)求f(θ)的最小值及取得最小值时θ的值．21.已知定义在R上的函数f(x)=x2−x+k，其中k为常数．(1)求解关于x的不等式f(x)<kx的解集；(2)若f(2)是f(a)与f(b)的等差中项，求a+b的取值范围．22.记S n为数列{a n}的前n项和．已知a n>0,a n2+2a n=4S n+3．(1)求a n及S n；(2)记b n=1，数列{b n}的前n项和为T n，是否存在正整数m，n(m<n)，使得a n⋅a n+15T1,T m,T n成等比数列？若存在，求出所有满足条件的m，n；若不存在，请说明理3由．答案和解析1.【答案】B【解析】解：当a=1，b=−2时，|a|<|b|，故选项A不成立；由指数函数的单调性知，2a>2b，故选项B正确；当a=1，b=−2时，a2<b2，故选项C不成立；当a=1，b=−2时，1a >1b，故选项D不成立；故选：B．利用不等式的性质对选项A、C、D依次判断，利用指数函数的单调性判断选项B即可．本题考查了不等式的性质及指数函数单调性的应用，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：直线√6√2=1的斜率为k=−1√61√2=−√33，即tanθ=−√33，又倾斜角θ的取值范围是[0,π]，所以θ=5π6．故选：D．根据直线的斜率与倾斜角的关系，计算即可．本题考查了直线的斜率与倾斜角的应用问题，是基础题．3.【答案】A【解析】解：由α、β、γ是三个不同平面，l是一条直线，得：对于①，l⊥α，l⊥β，由面面平行的判定定理得α//β；对于②，由l//α，l//β，得α与β相交或平行；对于③，α//γ，β//γ，由面面平行的判定定理得α//β；对于④，由α⊥γ，β⊥γ，得α与β平行或相交．∴可以推出α//β的有①③．故选：A．利用面面平行的判定定理直接求解．本题考查两个平面的位置关系的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题．4.【答案】D【解析】解：∵α∈(0,2π)，∴α2∈(0,π)，sinα2>0，∵5sinα=6sinα2，可得10sinα2cosα2=6sinα2，可得5cosα2=3，即cosα2=35>0，∴α2∈(0,π2)，∴tanα2=√1cos2α−1=√1(35)2−1=43．故选：D．由已知可求范围α2∈(0,π)，利用二倍角的正弦函数公式化简可求cosα2=35>0，可求范围α2∈(0,π2)，根据同角三角函数基本关系式可求tanα2的值．本题主要考查了二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：由题意，∵直线(a+2)x+(1−a)y−3=0与(a−1)x+(2a+3)y+2=0互相垂直∴(a+2)(a−1)+(1−a)(2a+3)=0∴(a−1)(a+2−2a−3)=0∴(a−1)(a+1)=0∴a=1，或a=−1故选：C．根据两条直线垂直的充要条件可得：(a+2)(a−1)+(1−a)(2a+3)=0，从而可求a 的值本题以直线为载体，考查两条直线的垂直关系，解题的关键是利用两条直线垂直的充要条件．6.【答案】C【解析】解：存在实数x，y满足约束条件{x+y<3x−y<−1 3x+y>1，则直线2x+y=z与前三个不等式表示的平面区域(如图中阴影部分所示)有交点，由图易知，A(1,2)，C(0,1)，故z<2×1+2=4，z>2×0+1=1，所以1<z<4，所以z的取值范围为(1,4)．故选：C．由题意，画出可行域，根据条件结合图象求出z的范围即可．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合思想，属于中档题．7.【答案】B【解析】解：直线ax+y−1=0经过定点P(0,1)，k PA=3−12−0=1，k PB=2−1−3−0=−13，直线ax+y−1=0与连接A(2,3)，B(−3,2)的线段总有公共点，则−a≥1，或−a≤−13，解得a≤−1，或a≥13．则a的取值范围是(−∞,−1]∪[13,+∞)，故选：B．利用斜率的计算公式及其意义即可得出．本题考查了斜率的计算公式及其意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：由三视图知，原几何体是一个三棱锥和一个半球的组合体，其中三棱锥的一个侧棱垂直于底面等腰直角三角形，且高为1，底面等腰直角三角形的腰为1，球的直径为√2半径为√22∴原几何体的体积为V=13×12×1×1×1+12×43×π×(√22)3=√2π6+16．故选D．先把三视图还原成原几何体，再根据三视图中的长度关系得到原几何体的棱长，从而求得原几何体的体积．本题考查三视图，要求能根据三视图还原成原几何体，并能找到原几何体的棱长及其中的垂直平行关系．属简单题9.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了二倍角的余弦函数公式，余弦定理，勾股定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．利用二倍角的余弦函数公式化简已知等式可得cosC=ba，由余弦定理整理可得a2=b2+c2，根据勾股定理即可判断三角形的形状．【解答】解：∵cos2C2=a+b2a=1+cosC2，∴可得a+b=a+acosC，可得：cosC=ba，∴由余弦定理可得：cosC=a2+b2−c22ab =ba，整理可得：a2=b2+c2，∴△ABC为直角三角形．故选：A．10.【答案】A【解析】解：如图，由已知可得，BA、BC、BD两两相互垂直，则三棱锥A−BCD的外接球即为以BA、BC、BD为过同一顶点的三条侧棱的长方体的外接球，长方体的对角线长为√AB2+BC2+BD2=√AB2+CD2=√(2√3)2+42=2√7．则外接球的半径R=√7，外接球的表面积S=4π×(√7)2=28π．故选：A．由题意画出图形，可知三棱锥A−BCD的外接球即为以BA、BC、BD为过同一顶点的三条侧棱的长方体的外接球，求出外接球的半径，代入球的表面积公式得答案．本题考查多面体外接球表面积的求法，训练了分割补形法，是中档题．11.【答案】B【解析】解：∵α+β=π6，∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=sin π6=12，设x =sinαcosβ，y =cosαsinβ，则x +y =12， ∵α、β均为锐角， ∴x >0，y >0， ∴1sinαcosβ+9cosαsinβ=1x+9y=2(x +y)(1x+9y)=2(10+9x y+yx)≥2×(10+2√9xy ⋅yx )=32，当且仅当9xy =yx ，即xy =13，即x =18，y =38时，等号成立． ∴1sinαcosβ+9cosαsinβ的最小值为32． 故选：B ．根据正弦的两角和公式可知sinαcosβ+cosαsinβ=12，设x =sinαcosβ，y =cosαsinβ，则x +y =12，且x >0，y >0，此时有1sinαcosβ+9cosαsinβ=1x +9y =2(x +y)(1x +9y )=2(10+9x y+yx)，再结合基本不等式的性质即可得解．本题考查三角函数的最值问题，运用换元法，将原问题转化为基本不等式中常见的最值问题，考查学生的转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．12.【答案】C【解析】解：根据题意，设等比数列{a n }的公比为q ，若q =1，S 5=8，则a 1=85，a 12+a 22+a 32+a 42+a 52=5×6425≠32， 故q ≠1， 则S 5=a 1(1−q 5)1−q=8，a 12+a 22+a 32+a 42+a 52=a 12(1−q 10)1−q 2=32，②②①可得：a 1(1+q 5)1+q=4，则有a 1−a 2+a 3−a 4+a 5=4，③ 而S 5=a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=8，④ 联立③④，可得a 1+a 3+a 5=6； 故选：C ．根据题意，设等比数列{a n }的公比为q ，分析q ≠1，由等比数列的前n 项和公式，分析可得a1(1+q 5)1+q=4，由此可得a1−a2+a3−a4+a5=4，与S5=a1+a2+a3+a4+ a5=8联立可得答案．本题考查等比数列的求和，注意等比数列前n项和公式的形式，属于基础题．13.【答案】43【解析】解：因为tan(45°−α)=1−tanα1+tanα=3，所以tanα=−12，则tan2α=2tanα1−tan2α=2×121−(12)2=43．故答案为：43．由已知利用两角差的正切公式可求tanα的值，进而根据二倍角的正切公式即可求解．本题主要考查了两角差的正切公式，二倍角的正切公式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．14.【答案】9【解析】解：数列{a n}满足a n=lg n+1n(n∈N∗)，整理得：a n=lg(n+1)−lgn，所以：S n=a1+a2+...+a n=lg2−lg1+lg3−lg2+...+lg(n+1)−lgn=lg(n+ 1)=1，即n+1=10，整理得：n=9．故答案为：9．直接利用数列的递推关系和裂项相消法的应用求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的求和，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．15.【答案】60°【解析】解：取CD中点F，连结DE，EF，∵长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2BC，E为AB的中点，∴EF//BC，且EF=BC，设BC=1，则AB=2，EF=1，DE=√2，∵直线D1E与底面ABCD成45°角，DD1⊥平面ABCD，∴∠DED1是直线D1E与底面ABCD所成角，∴∠DED1=45°，∴DD1=DE=√2，∴D1E=√2+2=2，D1F=√2+1=√3，∵EF//BC，∴∠D1EF是异面直线D1E与BC所成角(或所成角的补角)，∵cos∠D1EF=D1E2+EF2−D1F22⋅D1E⋅EF =4+1−32×2×1=12，∴∠D1EF=60°，∴异面直线D1E与BC所成角的大小为60°．故答案为：60°．取CD中点F，连结DE，EF，则EF//BC，且EF=BC，设BC=1，推导出∠DED1是直线D1E与底面ABCD所成角，∠DED1=45°，由EF//BC，得∠D1EF是异面直线D1E与BC 所成角(或所成角的补角)，由此能求出异面直线D1E与BC所成角的大小．本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．16.【答案】(√3+12,3 2 ]【解析】解：由正弦定理及2bsinA=√3a，知2sinAsinB=√3sinA，因为sinA≠0，所以sinB=√32，因为锐角三角形ABC，所以B=π3，{0<A<π20<C=2π3−A<π2，解得π6<A<π2，所以cosA+cosB+cosC=cosA+cosπ3+cos(2π3−A)=cosA+cosπ3+cos2π3cosA+sin2π3sinA=12cosA+√32sinA+12=sin(A+π6)+12，因为π6<A<π2，所以π3<A+π6<2π3，所以sin(A+π6)∈(√32,1]，sin(A+π6)+12∈(√3+12,32]，所以cosA+cosB+cosC的取值范围为(√3+12,3 2 ].故答案为：(√3+12,3 2 ].利用正弦定理化边为角，可求得B的大小，由锐角三角形ABC，可确定A的范围，再结合两角差的余弦公式、辅助角公式对所求式子进行化简，然后由正弦函数的图象与性质，即可得解．本题考查解三角形与三角函数的综合，熟练掌握正弦定理，两角差的余弦公式，辅助角公式，以及正弦函数的图象与性质等是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)k AB=6−22−4=−2，∴AB边所在直线的方程为：y−6=−2(x−2)，化为：2x+y−10=0．(2)|AB|=√(2−4)2+(6−2)2=2√5，点C到直线AB的距离d=|2×(−2)+0−10|√22+12=14√5，∴△ABC的面积S=12|AB|⋅d=12×2√5×14√5=14．【解析】本题考查点斜式直线方程、两点之间的距离公式、点到直线距离公式、三角形面积计算公式，属于基础题．(1)利用点斜式即可得出．(2)利用两点之间的距离公式可得|AB|，利用点到直线距离公式可得点C到直线AB的距离d，即可得出△ABC的面积S．18.【答案】解：(1)设AD=m，∠ADC=π−∠BDC=π−π4=3π4，所以，在△ADC中，由余弦定理可得：m2+CD2−2m⋅CD⋅cos3π4=AC2，即m2+2−2√2m⋅(−√22)=10，解得m=2，即AD=2．(2)在△BDC，△ADC中，由正弦定理可得：BDBC =sin∠DCBsin∠BDC=sin∠DCAsin∠ADC=ADAC=2√10=√105．【解析】(1)设AD=m，在△ADC中，由余弦定理可得AD的值；(2)在△BDC，△ADC中，由正弦定理即可求解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，考查了数形结合思想的应用，属于基础题．19.【答案】解：(1)证明：连接PO，因为底面ABCD为菱形，所有BD⊥AC，BO=DO，又因为PB=PD，所以BD⊥PO，又因为PO∩AC=O，且AC，PO⊂平面PAC，又BD⊥平面PAC，因为BD⊂平面PBD，所以平面PAC⊥平面PBD；(2)棱PC上存在点F，使得PB//平面AEF，证明如下：取PC的中点F，连接AF，EF．因为E是BC的中点，所以EF//PB，因为PB⊄平面AEF，所以PB//平面AEF．【解析】(1)连接PO，由题意利用线面垂直的判定可证BD⊥平面PAC，进而根据面面垂直的判定即可证明平面PAC⊥平面PBD；(2)取PC的中点F，连接AF，EF，由E是BC的中点，可得EF//PB，进而根据线面平行的判定即可证明PB//平面AEF．本题主要考查空间平面与平面的垂直的判定与性质和空间直线与平面的平行的判定与性质，主要考查学生对于空间几何的定理的掌握与应用，属于中档题．20.【答案】解：(1)过A作l1、l2的垂线，分别交l1、l2于D、E，则AD=3，AE=4，设∠ACE=θ，则Rt△ACF中，AC=AEsinθ=4snθ，Rt△ABD中，∠BAD=θ，可得AB=ADcosθ=3cosθ，∴△ABC面积为f(θ)=12AB⋅AC=6sinθcosθ=12sin2θ，θ∈(0,π2)，(2)∵θ∈(0,π2)，∴当且仅当θ=π4时，sin2θ=1达到最大值1，此时△ABC面积f(θ)有最小值12，【解析】由直角三角形中三角函数的定义，算出AC，AB，从而得到△ABC面积，利用正弦函数的有界性，可得θ=π4时△ABC面积有最小值12．此题考查了直角三角形中锐角三角函数定义，正弦函数的定义域及值域及二倍角的正弦函数公式，利用了数形结合的思想，属于中档题．21.【答案】解：(1)由f(x)<kx，可得x2−x+k<kx，即(x−k)(x−1)<0，当k=1时，不等式的解集为⌀；当k<1时，不等式的解集为(−∞,k)∪(1,+∞)；当k>1时，不等式的解集为(−∞,1)∪(k,+∞)．(2)若f(2)是f(a)与f(b)的等差中项，则2(2+k)=(a2−a+k)+(b2−b+k)，整理得a2+b2−(a+b)=4，∴4=a2+b2−(a+b)=(a+b)2−(a+b)−2ab≥(a+b)2−(a+b)−2(a+b2)2，解得−2≤a+b≤4，所以a+b的取值范围为[−2,4]．【解析】(1)对k分类讨论，利用一元二次不等式的解法可得结论；(2)由等差中项的性质可得关于a，b的等式，再利用基本不等式即可得结论本题主要考查一元二次不等式的解法，等差中项的性质，基本不等式的运用，属于中档题．22.【答案】解：(1)n=1时，a12+2a1=4a1+3，a1>0，解得a1=3．∵a n>0,a n2+2a n=4S n+3．∴n≥2时，a n−12+2a n−1=4S n−1+3，相减可得：a n2+2a n−(a n−12+2a n−1)=4a n，化为：(a n+a n−1)(a n−a n−1−2)=0，又a n>0，∴a n−a n−1=2，∴数列{a n}为等差数列，公差为2，首项为3．∴a n=3+2(n−1)=2n+1，S n=n(3+2n+1)2=n2+2n．(2)b n=1a n⋅a n+1=1(2n+1)(2n+3)=12(12n+1−12n+3)，∴数列{b n}的前n项和为T n=12(13−15+15−17+⋯…+12n+1−12n+3)=12(13−12n+3)=n3(2n+3)．假设存在正整数m，n(m<n)，使得53T1,T m,T n成等比数列，则m 29(2m+3)2=53×115×n3(2n+3)，化为：(2+3m )2=3(2+3n)，m=2时，494=6+9n，n不为整数，等号不成立；m=3时，左边=9，由于n≥4，∴右边≤3×(2+34)<9，等号不成立；m=4时，左边=12116=7+916，由于n=5，∴右边=3×(2+35)=7+45，等号不成立；n≥6时，右边≤3×(2+36)=7.5，等号不成立；同理可得：m=5时，没有满足条件的m，n；m=6时，n=36，满足条件；m≥7时，左边≤28949<6，右边>3×2=6，没有满足条件的m，n．综上可得：只有存在一组正整数m=6，n=36，使得53T1,T m,T n成等比数列．【解析】(1)n=1时，a12+2a1=4a1+3，a1>0，解得a1．a n>0,a n2+2a n=4S n+3，n≥2时，a n−12+2a n−1=4S n−1+3，相减化简并且利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出结论．(2)b n=1a n⋅a n+1=12(12n+1−12n+3)，利用裂项求和可得数列{b n}的前n项和为T n，假设存在正整数m，n(m<n)，使得53T1,T m,T n成等比数列，可得：T m2=53T1⋅T n，代入通过分类讨论，利用数列的单调性即可得出结论．本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式及求和公式、数列的单调性、裂项求和方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
内蒙古包头市数学高一下学期文数期末考试试卷
内蒙古包头市数学高一下学期文数期末考试试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 13 题；共 25 分)1. （2 分） (2019 高三上·广东月考) 设集合 （），集合，则A. B. C. D. 2. （2 分） 下列函数中，在区间（1，+∞）上为增函数的是（ ） A . y=2x﹣1B . y= C . y=﹣（x﹣1）2D . y=log （x﹣1）3. （2 分） 下表是 x 与 y 之间的一组数据，则 y 关于 x 的线性回归直线必过点（ ）x0123y1357A.B.C.D.第1页共9页4. （2 分） 程序框图如图所示：如果输入 x=5，则输出结果为（ ）A . 325 B . 109 C . 973 D . 295 5. （2 分） 函数的一个单调增区间是（ ）A.B.C.D.6. （2 分） 以下命题正确的是（ ）A . α，β 都是第一象限角，若 cosα＞cosβ，则 sinα＞sinβB . α，β 都是第二象限角，若 sinα＞sinβ，则 tanα＞tanβC . α，β 都是第三象限角，若 cosα＞cosβ，则 sinα＞sinβD . α，β 都是第四象限角，若 sinα＞sinβ，则 tanα＞tanβ7. （2 分） 下列关系正确的是（ ）A . 0∉N第2页共9页B . 0 =0 C . cos0.75°＞cos0.7D . lge＞（lge）2＞lg8. （2 分） 在△ABC 中，D 为 BC 边上的点， = + ， 则 的最大值为（ ） A.1B.C.D.9. （2 分） (2017·深圳模拟) 已知函数 =f（x2），且 x1≠x2 ， 则 f（x1+x2）=（ ）的图象如图所示，若 f（x1）A.1B.C.D.210. （2 分） 已知等比数列 中，公比 若 则A . 最小值-4第3页共9页有（ ）B . 最大值-4 C . 最小值 12 D . 最大值 1211. （2 分） (2017 高三上·四川月考) 已知等差数列 的公差，且 ， ， 成等比数列，若， 为数列 的前 项和，则A.B.的最小值为（ ）C.D.12. （2 分） (2017 高二上·大连期末) 若函数不等式恒成立，则 a 的取值范围是（ ）A . [﹣1，0]B . [﹣1，+∞）C . [0，3]D . [3，+∞）在内任取两个实数 p，q，且 p≠q，13. （1 分） (2017·南开模拟) 若 a＞0，b＞0，且 2a+b=1，则 2二、 填空题 (共 3 题；共 3 分)﹣4a2﹣b2 的最大值是________．14. （1 分） (2018·山东模拟) 已知向量 ________．，，若，则实数15. （1 分） (2017·闵行模拟) 已知无穷数列{an}，a1=1，a2=2，对任意 n∈N* ， 有 an+2=an ， 数列{bn}满足 bn+1﹣bn=an（n∈N*），若数列中的任意一项都在该数列中重复出现无数次，则满足要求的 b1 的值为第4页共9页________ 16. （1 分） (2016 高一下·江阴期中) 若点（1，3）和（﹣4，﹣2）在直线 2x+y+m=0 的两侧，则 m 的取值范围是________三、 解答题 (共 5 题；共 40 分)17. （5 分） (2017 高一上·密云期末) 已知向量，．（Ⅰ）若 ， 共线，求 x 的值；（Ⅱ）若 ⊥ ，求 x 的值；（Ⅲ）当 x=2 时，求 与夹角 θ 的余弦值．18. （10 分） (2017 高二上·汕头月考) 设 是数列 的前 项和，已知.（1） 求数列 的通项公式；（2） 令，求数列 的前 项和 .19. （10 分） (2019 高二上·林芝期中) 设数列 ．的前 项和为（1） 求数列 和 的通项公式；， 为等比数列，且，（2） 设，求数列 的前 项和 ．20. （10 分） (2020·华安模拟) 已知 .的内角 ､ ､ 所对的边分别为 ， ， ，且（1） 若，角，求角 的值；（2） 若，，求 ， 的值.21. （5 分） (2017 高一上·长春期中) 定义在[﹣3，3]上的增函数 f（x）满足 f（﹣x）=﹣f（x），且 f（m+1） +f（2m﹣1）＞0，求实数 m 的范围．第5页共9页一、 单选题 (共 13 题；共 25 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、 13-1、二、 填空题 (共 3 题；共 3 分)14-1、 15-1、参考答案第6页共9页16-1、三、 解答题 (共 5 题；共 40 分)17-1、18-1、 18-2、第7页共9页19-1、 19-2、 20-1、20-2、第8页共9页21-1、第9页共9页。
内蒙古包头市高一下学期数学期末考试试卷
内蒙古包头市高一下学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分） (2016高二上·惠城期中) 如图是计算1+ + +…+ 的值的一个程序框图，其中判断框内应填的是（）A . i＞10B . i＜10C . i＞20D . i＜202. （2分） (2019高二上·会宁期中) 在中，，则（）A .B .C .D .3. （2分）某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车.某天需运往A地至少72吨的货物，派用的每辆车虚满载且只运送一次.拍用的每吨甲型卡车虚配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车虚配1名工人，运送一次可得利润350元.该公司合理计划党团派用两类卡车的车辆数，可得最大利润（）A . 4650元B . 4700元C . 4900元D . 5000元4. （2分）从6名男同学，3名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为（）A .B .C .D .5. （2分） (2018高二下·凯里期末) 某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念，制定节能减排的目标，先调查了用电量（单位：度）与气温（单位：℃）之间的关系，随机选取了4天的用电量与当天气温，并制作了以照表：（单位：）171410-1（单位：度）24343864由表中数据得线性回归方程：，则由此估计：当气温为时，用电量约为（）A . 56度B . 62度C . 64度D . 68度6. （2分） (2018高二下·辽宁期末) 已知 ,则（）A .B .C .D .7. （2分） (2018高一下·虎林期末) 在数列中， =1，，则的值为（）A . 512B . 256C . 2048D . 10248. （2分）如果不等式x2＜|x﹣1|+a的解集是区间（﹣3，3）的子集，则实数a的取值范围是（）A . （﹣∞，7）B . （﹣∞，7]C . （﹣∞，5）D . （﹣∞，5]二、填空题 (共6题；共7分)9. （2分）某小组共有8名同学，其中男生6人，女生2人，现从中按性别用分层抽样方法从中抽取4人参加社区志愿者服务，则男生抽取________ 人；女生抽取________人．10. （1分）(2020·西安模拟) 设的内角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，若，，，则 ________.11. （1分）设函数y=f(x)在区间[0,1]上的图象是连续不断的一条曲线,且恒有0≤f(x)≤1,可以用随机模拟方法近似计算由曲线y=f(x)及直线x=0,x=1,y=0所围成部分的面积S.先产生两组(每组N个)0~1区间上的均匀随机数x1,x2,…,xN和y1,y2,…,yN,由此得到N个点(xi,yi)(i=1,2,…,N).再数出其中满足yi≤f(xi)(i=1,2,…,N)的点数N1,那么由随机模拟方法可得S的近似值为________.12. （1分）(2018·济南模拟) 已知函数，且，则的最小值为________.13. （1分）设Sn为数列{an}的前n项和，且a1=， an+1=2Sn﹣2n ，则a8=________14. （1分）设函数f（x）= ，若对x＞0恒有xf（x）+a＞0成立，则实数a的取值范围是________．三、解答题 (共8题；共60分)15. （5分）在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2csinA．（1）求角C的值；（2）若c=，且S△ABC=，求a+b的值．16. （10分） (2018高二上·石嘴山月考) 已知数列是首项公比的等比数列，是首项为1公差的等差数列.（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前项和 .17. （10分）(2017·腾冲模拟) 根据微信同程旅游的调查统计显示，参与网上购票的1000位购票者的年龄（单位：岁）情况如图所示．（1）已知中间三个年龄段的网上购票人数成等差数列，求a，b的值；（2）为鼓励大家网上购票，该平台常采用购票就发放酒店入住代金券的方法进行促销，具体做法如下：年龄在[30，50）岁的每人发放20元，其余年龄段的每人发放50元，先按发放代金券的金额采用分层抽样的方式从参与调查的1000位网上购票者中抽取5人，并在这5人中随机抽取3人进行回访调查，求此3人获得代金券的金额总和为90元的概率．18. （5分） (2017高一下·新乡期中) 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， asinB+bcosA=c．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若a=2 c，S△ABC=2 ，求b．19. （5分）已知不等式x2﹣3x+t＜0的解集为{x|1＜x＜m，x∈R}，求t，m的值．20. （10分）(2017·黄冈模拟) 数列{an}中，a1=2，（n∈N*）．（1）证明数列是等比数列，并求数列{an}的通项公式；（2）设，若数列{bn}的前n项和是Tn，求证：．21. （5分）在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=acosB．（Ⅰ）求角B；（Ⅱ）若b=2，求ac的最大值．22. （10分） (2017高一下·玉田期中) 设数列{an}的前n项和为Sn ，已知S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N* ．（1）求通项公式an；（2）求数列{|an﹣n﹣2|}的前n项和．参考答案一、选择题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共6题；共7分)9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、三、解答题 (共8题；共60分)15-1、16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、19-1、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、。
2024届内蒙古包头市第一中学数学高一下期末考试模拟试题含解析
2024届内蒙古包头市第一中学数学高一下期末考试模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知直线过点()1,2-且与直线2340x y -+=垂直，则该直线方程为（） A ．3210x y +-= B ．2310x y C ．3210x y ++=D ．2310x y2．已知球面上有,,A B C 三点，如果||||||23AB AC BC ===，且球心到平面ABC 的距离为1，则该球的体积为 （ ） A ．203π B ．2053π C ．1553π D ．1053π 3．已知实数x ，y 满足1x >，1y >，且1ln 4x ，14，ln y 成等比数列，则xy 有（ ）A ．最大值eB ．最大值eC ．最小值eD ．最小值e4．点(1,2)P -到直线kx y k 0--=（k ∈R ）的距离的最大值为 A ．22 B ．2C ．2D ．325．将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是（ ） A ．B ．C ．D ．6．若集合{}2123A =-，，，，{}2B x x n n N ==∈，，则A B =（ ）A ．{}2-B ．{}2C ．{}22-，D ．∅7．如图是正方体的展开图，则在这个正方体中：①AF 与CN 平行； ②BM 与AN 是异面直线； ③AF 与BM 成60°角； ④BN 与DE 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是 A ．①②③B ．②④C ．③④D ．②③④8．与圆22:(2)(2)1C x y ++-=关于直线10x y -+=对称的圆的方程为（ ） A ．22(1)(1)1x y -++= B ．22(1)(1)1x y +++= C ．22(1)(1)1x y -+-=D ．22(1)(1)1x y ++-=9．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，39S =，636S =，则8a =（ ） A ．21B ．15C ．12D ．910．已知1sin,sin ,sin ,222a x x b x ωωω⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中0>ω，若函数1()2f x a b =⋅-在区间(,2)ππ内有零点，则实数ω的取值可能是（ ）A ．18B ．14C ．12D ．34二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
内蒙古包头市2021-2021学年高一下学期期末考试数学试题 Word版含解析
故选：D．
【点睛】本题考查了等比数列的通项公式、等比数列的性质、基本不等式等知识的综合应用，解题的关键是灵活利用基本不等式和等比数列的性质．
6.在△ 中， ，那么这个三角形的最大角是（）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由正弦定理，可得 ，设 ，易知该三角形的最大角是角 ，由余弦定理，可求出 ，进而可求出角 .
A.1B. C.2D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用点到直线的距离公式，求出原点到直线 的距离，即为 的最小值.
【详解】原点到直线 的距离为 .
故选：B.
【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式的运用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.
5.已知 为等比数列，下面结论中正确的是（）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
3.回答非选择题时，将答案写在答题卡的规定区域内，写在本试卷上无效.
4.考试结束后，将答题卡交回.
第I卷
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.）
1.与直线 关于坐标原点对称的直线方程为（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
设出所求对称直线上的点的坐标，求出关于原点的对称点坐标，代入已知直线方程，即可.
2021-2021学年度第二学期高一年级期末教学质量检测试卷
数学
注意事项：
1.考生答卷前，务必将自己的姓名、座位号写在答题卡上.将条形码粘贴在规定区域.本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2.做选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2016-2017学年第二学期期末考试
高一文科数学试卷
一．选择题(本大题共12小题，每道题只有一个正确答案，每小题5分，共60分）
1．若，，则一定有（）
A． B． C． D．
2．过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（）
A．x-2y-1=0 B．x-2y+1=0
C．2x+y-2=0 D．x+2y-1=0
a的各项都是正数，且=16，则=（）
3. 公比为2的等比数列{}
n
A．1 B．2 C．4 D．8
4.的内角的对边分别是，若，，，则（）
A. B. C. D.
5. 已知函数的最小正周期为,为了得到函数
的图象,只要将的图象( )
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
6.已知等比数列{}中，各项都是正数，且，成等差数列，则
( )
A. B. C. D
7. 直线的倾斜角的取值范围是( )
A. B. C. D.
8. 设△ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 若, 则△ABC
的形状为（ ） A.直角三角形 B.锐角三角形 C. 钝角三角形 D.不确定
9.如图所示，已知M (1,0)，N (－1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段MN 相交，则b 的取值范围是( )
A ．[－2,2]
B ．[－1,1]
C ．[－
12，1
2
] D ．[0,2] 10. 对一切实数x 关于x 的不等式2
0a x a x
-+>恒成立，
则实
数a 的取值范围为（ ）
A ．1
[,1]2
B ．[－1,1]
C ．1+2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，
D ．1+2⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭
，
11.已知数列
的前项和为
，
，
，,则
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12. 已知函数(其中为常数).
当
时,
的最大值为,则的值为（ ）
A ． D ．3
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分）
13. 在中，内角A,B,C 所对应的边分别为，若，则的
值为 . 14. 若三点
,
,
在同一直线上,则实数等于 。
15. 已知数列满足，，则这个数列的一个通项公
式 . 16. 不等式的解集是 .
三．解答题（每道题写出必要的演算过程、证明过程、或文字说明，共70分） 17.（本题10分）
（1）已知直线l
过点P （2,1）且与直线1
l
：y=x+1垂直，求直线l
的方程；
（2）当a 为何值时，直线1
l
：y=-x+2a 与直线
2
l
：y=
2
2)(a
x+2平行？
18.（本题12分）若不等式的解集为
或
，求关于x 的不等
式的解集．
19.（本题12分）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知.
（1）求的值；
（2）若cosB=，ABC 的周长为5，求b 的值
20. （本题12分）数列的前项和为
，且
是
和的等差中项，等差数列
满
足
，.
（1）求数列
、
的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，证明：
21. （本题12分）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
（Ⅰ）求B的大小；
（Ⅱ）求的取值范围。
22.（本题12分）在数列中，，．
（Ⅰ）设．证明：数列是等差数列；
（Ⅱ）求数列的前项和．
包33中2016-2017学年第一学期期末考试
高一文科数学答案
一．选择题（每题5分，12题，共60分）
1-12：BAABA;ADAAC;BA
二．填空题（每题5分，4题，共20分）
13. 7
2
； 14. -9； 15.
1
n n
a ； 16.
三、解答题（本题6小题，17题10分，18-22每题12分，共70分）
17.（1）x+y-3=0;(2)a=-1;
18、
19. 【解析】(1)由正弦定理得所以
=,即…………2分；
,…………4分；
即有,即,所以=2.…………6分；(2)由(1)知=2,所以有,即c=2a,……7分；又因为的周长为5,所以b=5-3a,…………8分；由余弦定理得：，即
，…………10分；
解得a=1，所以b=2.……………………12分；
20、（1）∵是和的等差中项，∴
当时，，∴
当时，，
∴，即……………………………… 3分
∴数列是以为首项，为公比的等比数列，∴，……………………………………………………5分
设的公差为，，，∴∴……………………………………………… 6分（2）……………… 8分∴………… 10分
∵,∴………………………………………… 11分. 所以，…………………………………………12分；
21. （1）B=300；（2）………12分
22、解:（Ⅰ）且n∈N*），,
即(,且N*),所以，数列是等差数列,公差,首项，
于是．
（Ⅱ）①
②
高一文科数学答案
选择题（每题5分，12题，共60分）
1-12：BAABA;ADAAC;BA
填空题（每题5分，4题，共20分）
13. ； 14. -9； 15. ； 16.
三、解答题（本题6小题，17题10分，18-22每题12分，共70分）
17.（1）x+y-3=0;(2)a=-1;
18、
19. 【解析】(1)由正弦定理得所以
=,即…………2分；
,…………4分；
即有,即,所以=2.…………6分；(2)由(1)知=2,所以有,即c=2a,……7分；又因为的周长为5,所以b=5-3a,…………8分；由余弦定理得：，即
，…………10分；
解得a=1，所以b=2.……………………12分；
20、（1）∵是和的等差中项，∴
当时，，∴
当时，，
∴，即……………………………… 3分
∴数列是以为首项，为公比的等比数列，
∴，……………………………………………………5分
设的公差为，，，∴
∴……………………………………………… 6分
（2）……………… 8分
∴………… 10分
∵,∴………………………………………… 11分. 所以，…………………………………………12分；
21. （1）B=300；（2）………12分
22、解:（Ⅰ）且n∈N*），,
即(,且N*),所以，数列是等差数列,公差,首项，
于是．
（Ⅱ）①
②。