第3章 时域分析1
合集下载
第三章线性系统的时域分析典型输入信号
eT
T
c(t )
1
t2
Tt
T 2 (1
t
eT
)
2
§3 二阶系统的时域分析
二阶系统的定义：用二阶微分方程描述的系统 微分方程的标准形式：
d 2 c(t ) dt 2
2 n
dc(t) dt
n 2 c(t )
n 2 r (t )
—阻尼比，n —无阻尼自振频率。
传递函数及方框图
d 1 2
cos d t p )
0
- n (cos d t p
1 2
sin d t )
d (-sin d t p
d 1 2
cos d t p )
0
sin d t p 0, d t p 0, ,2 ,3 .......
R(s) Ts 1
1 TS 1
一．单 位 阶 跃 响 应
r(t) 1(t) R(s) 1 s
C(s) (s)R(s) 1 1 1 T Ts 1 s s Ts 1
t
c(t) 1 e T
说明:
1.可以用时间常数去度量系统输出量的数值
t t
T时, c(t) 1 e1 0.632 3T时, c(t) 0.95 95%
好 等 于c(), 令N m , 得 2
n
N
1 2 t s arctg
1 2
2
将t s
1
n
ln
1 代入,并取整数得
1- 2
N N(
1- 2 2
ln
1
T
c(t )
1
t2
Tt
T 2 (1
t
eT
)
2
§3 二阶系统的时域分析
二阶系统的定义：用二阶微分方程描述的系统 微分方程的标准形式：
d 2 c(t ) dt 2
2 n
dc(t) dt
n 2 c(t )
n 2 r (t )
—阻尼比，n —无阻尼自振频率。
传递函数及方框图
d 1 2
cos d t p )
0
- n (cos d t p
1 2
sin d t )
d (-sin d t p
d 1 2
cos d t p )
0
sin d t p 0, d t p 0, ,2 ,3 .......
R(s) Ts 1
1 TS 1
一．单 位 阶 跃 响 应
r(t) 1(t) R(s) 1 s
C(s) (s)R(s) 1 1 1 T Ts 1 s s Ts 1
t
c(t) 1 e T
说明:
1.可以用时间常数去度量系统输出量的数值
t t
T时, c(t) 1 e1 0.632 3T时, c(t) 0.95 95%
好 等 于c(), 令N m , 得 2
n
N
1 2 t s arctg
1 2
2
将t s
1
n
ln
1 代入,并取整数得
1- 2
N N(
1- 2 2
ln
1
自控第三章 时域分析法
wdtp = nЛ
欠阻尼二阶系统的性能指标
第一次峰值 : n=1 所以: tp=Л / wd 峰值时间定性分析 wn↗→wd= wn(1-ζ 2)1/2 ↗→tp ↘ ζ ↘→wd= wn(1-ζ 2)1/2 ↗→tp ↘
峰值时间越小, 快速性越好.
欠阻尼二阶系统的性能指标
3. 超调量σ % h（tp）- h（∞） σ % = ————————— *100% h（∞） 由h(t)求出h(tp)和h(∞), 代入定义式即得.
三、一阶系统的单位脉冲响应
K（S）= G（S）R（S） = 1 /（TS+1） k（t）= L
-1
[ K（S）]
= e-t/T/T
T越小 → 响应的持续时间越短 → 快速性越好。
四、三种响应之间的关系
δ (t) = d/dt [u(t)] = d2/dt2 [r(t)] k(t) = d/dt [h(t)] = d2/dt2 [Ct(t)]
欠阻尼二阶系统的性能指标
h(tp)=1-(1-ζ 2)-1/2e–ζ =1-(1-ζ 2)-1/2e–ζ =1+(1-ζ =1+(1-ζ =1+ h(∞) = 1 σ% = e
2 1/2
Wntp Wntp
sin(wdtp+θ ) sin(Л +θ )
2
)-1/2e–ζ Wntp sinθ 2 )-1/2e–ζ Wntp w (1-ζ 2)1/2/w n n
eSS= 1 - h（∞）= 0
一阶系统在单位阶跃输入下的稳态误差为0。
二、一阶系统的单位斜坡响应
Ct(S)= G(S)R(S)
= 1/[(TS+1)S2] Ct(t)= L-1[Ct(S)] = t - T + e-t/T 稳态误差 : eSS= T 一阶系统在单位斜坡输入下的稳态误差为T。它只能通过 减小时间常数T来减小，而不能最终消除。
欠阻尼二阶系统的性能指标
第一次峰值 : n=1 所以: tp=Л / wd 峰值时间定性分析 wn↗→wd= wn(1-ζ 2)1/2 ↗→tp ↘ ζ ↘→wd= wn(1-ζ 2)1/2 ↗→tp ↘
峰值时间越小, 快速性越好.
欠阻尼二阶系统的性能指标
3. 超调量σ % h（tp）- h（∞） σ % = ————————— *100% h（∞） 由h(t)求出h(tp)和h(∞), 代入定义式即得.
三、一阶系统的单位脉冲响应
K（S）= G（S）R（S） = 1 /（TS+1） k（t）= L
-1
[ K（S）]
= e-t/T/T
T越小 → 响应的持续时间越短 → 快速性越好。
四、三种响应之间的关系
δ (t) = d/dt [u(t)] = d2/dt2 [r(t)] k(t) = d/dt [h(t)] = d2/dt2 [Ct(t)]
欠阻尼二阶系统的性能指标
h(tp)=1-(1-ζ 2)-1/2e–ζ =1-(1-ζ 2)-1/2e–ζ =1+(1-ζ =1+(1-ζ =1+ h(∞) = 1 σ% = e
2 1/2
Wntp Wntp
sin(wdtp+θ ) sin(Л +θ )
2
)-1/2e–ζ Wntp sinθ 2 )-1/2e–ζ Wntp w (1-ζ 2)1/2/w n n
eSS= 1 - h（∞）= 0
一阶系统在单位阶跃输入下的稳态误差为0。
二、一阶系统的单位斜坡响应
Ct(S)= G(S)R(S)
= 1/[(TS+1)S2] Ct(t)= L-1[Ct(S)] = t - T + e-t/T 稳态误差 : eSS= T 一阶系统在单位斜坡输入下的稳态误差为T。它只能通过 减小时间常数T来减小，而不能最终消除。
第三章_时域分析方法
第3章时域分析法基本要求3－1 时域分析基础3－2 一、二阶系统分析与计算3－3 系统稳定性分析3－4 稳态误差分析计算返回主目录基本要求1熟练掌握一、二阶系统的数学模型和阶跃响应的特点。
熟练计算性能指标和结构参数，特别是一阶系统和典型欠阻尼二阶系统动态性能的计算方法。
2了解一阶系统的脉冲响应和斜坡响应的特点。
3正确理解系统稳定性的概念，能熟练运用稳定性判据判定系统的稳定性并进行有关的参数计算、分析。
4正确理解稳态误差的概念，明确终值定理的应用条件。
5熟练掌握计算稳态误差的方法。
6掌握系统的型次和静态误差系数的概念。
控制系统的数学模型是分析、研究和设计控制系统的基础，经典控制论中三种分析（时域，根轨迹，频域）、研究和设计控制系统的方法，都是建立在这个基础上的。
3－1 时域分析基础一、时域分析法的特点它根据系统微分方程，通过拉氏变换，直接求出系统的时间响应。
依据响应的表达式及时间响应曲线来分析系统控制性能，并找出系统结构、参数与这些性能之间的关系。
这是一种直接方法，而且比较准确，可以提供系统时间响应的全部信息。
二、典型初始状态，典型外作用1. 典型初始状态通常规定控制系统的初始状态为零状态。
即在外作用加于系统之前，被控量及其各阶导数相对于平衡工作点的增量为零，系统处于相对平衡状态。
2. 典型外作用①单位阶跃函数1(t)tf(t)⎩⎨⎧<≥==0t 00t 1)t (1)t (f 其拉氏变换为：s 1dt e 1)s (F )]t (f [L 0st===⎰∞-其数学表达式为：t②单位斜坡函数0t 0t 0t)t (1t )t (f <≥⎩⎨⎧=.=其拉氏变换为：2sts 1dt e t )s (F )]t (f [L ===⎰∞-f(t)其数学表达式为：③单位脉冲函数000)()(=≠⎩⎨⎧∞==t t t t f d 其数学表达式为：其拉氏变换为：1)()]([==s F t f L ⎰+∞∞-=1)(dt t d 定义：图中1代表了脉冲强度。
《信号与系统》第三章 离散系统的时域分析
解 ： h(k)满足h(k) – h(k –1) – 2h(k –2)=δ(k) –δ(k –2) 令只有δ(k)作用时，系统的单位序列响应h1(k) , 它满足 h1(k) – h1(k –1) – 2h1(k –2)=δ(k) 根据线性时不变性，
h(k) = h1(k) – h1(k – 2) =[(1/3)(– 1)k + (2/3)(2)k]ε(k) – [(1/3)(– 1)k –2 + (2/3)(2)k–2]ε(k – 2)
f (i)h(k i) ai (i)bki (k i)
i
i
当i < 0,ε(i) = 0；当i > k时，ε(k - i) = 0
1
a
k
1
yzs
(k
)
k i0
aibk
i
(k
)
bk
k i0
a b
i
(k
)
bk
bk
b 1 a
b (k 1)
注：ε(k)*ε(k) = (k+1)ε(k)
当ik时ki0???????????????iikiiikbiaikhif?????????????????????????????????????????????????bakbbabababkbabkbakykkkkiikkiikizs111100??注
《信号与系统》 第三章 离散系统的时域分析
λ n + an-1λn– 1 + … + a0 = 0 其根λi( i = 1，2，…，n)称为差分方程的特征根。 齐次解的形式取决于特征根。
参看教材第87页 表3-1。
2. 特解yp(k): 特解的函数形式与激励的函数形式有关
h(k) = h1(k) – h1(k – 2) =[(1/3)(– 1)k + (2/3)(2)k]ε(k) – [(1/3)(– 1)k –2 + (2/3)(2)k–2]ε(k – 2)
f (i)h(k i) ai (i)bki (k i)
i
i
当i < 0,ε(i) = 0；当i > k时，ε(k - i) = 0
1
a
k
1
yzs
(k
)
k i0
aibk
i
(k
)
bk
k i0
a b
i
(k
)
bk
bk
b 1 a
b (k 1)
注：ε(k)*ε(k) = (k+1)ε(k)
当ik时ki0???????????????iikiiikbiaikhif?????????????????????????????????????????????????bakbbabababkbabkbakykkkkiikkiikizs111100??注
《信号与系统》 第三章 离散系统的时域分析
λ n + an-1λn– 1 + … + a0 = 0 其根λi( i = 1，2，…，n)称为差分方程的特征根。 齐次解的形式取决于特征根。
参看教材第87页 表3-1。
2. 特解yp(k): 特解的函数形式与激励的函数形式有关
自动控制原理自学课件 第三章 控制系统的时域分析—1引言及一阶系统时域分析
稳态过程：系统在典型信号作用下，时间t趋于无穷（较大）时 ，系统的输出状态。研究系统的稳态特性，以确定输出信号对 输入信号跟踪（伺服、复现）能力。稳态过程又称稳态响应， 其稳态性能用稳态误差描述。
稳定性指标（收敛、发散）
稳定是控制系统能够工作的首要条件，只有动态过程收 敛 (响应衰减)，研究动态性能与稳态性能才有意义。
1 是积分 Ts
C(s)
一阶系统的结构图
系统的传递函数为
C (s) 1 (s) R (s) Ts 1
1 C (s) (s) R(s) R(s) Ts 1
dc ( t ) T c(t ) r (t ) d (t )
在零初始条件下，利用拉氏反变换或直接求 解微分方程，可以求得一阶系统在典型输入信号 作用下的输出响应。
99.3% 5T
95%
t r 2.20T t s 3T (5%误差带）
0
T 图
2T
3T
4T
t
指 数 响应曲线
t s 4T (2%误差带） t p 和％?
1 1 1 T T C(s) 2 2 Ts 1 s s s s 1 T t t
T c ( t ) t T Te t T (1 e 式中，t-T为稳态分量， T
c(t p ) c() c ( )
100%
td 、tr和tp评价系统的响应速度；
ts同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。 % 评价系统的阻尼程度和振荡最大峰值。
6振荡次数
c c
c c
振荡次数N反映了控制系统的阻尼特性，是指输出量 c(t)进入稳态前，穿越稳态值c（）次数的一半。
当初始条件为零时，一阶系统单位阶跃响应的变 化曲线是一条单调上升的指数曲线,式中的1为稳
第三章-线性系统的时域分析法(简)剖析
的时间。
2）峰值时间tp: 响应从零上升到第一个峰值所需时间。
3）调节时间ts: 响应到达并保持在允许误差范围（终值的
±2%或±5%）内所需的时间。
4）最大超调量σ%： 响应的最大峰值与终值之差，并除以终值，
通常用百分数表示：
% c(t p ) c() 100%
c()
动态性能指标定义1
超调量 % h(tp ) - h() 100%
2、稳态性能指标 通常用系统在阶跃、斜坡、加速度函数作用
下的稳态误差来描述稳态性能；
稳态误差用来衡量系统的控制精度或抗扰动 能力；
稳态误差反映系统复现输入信号的最终精度。
ess
lim e(t)
t
3.2 一阶系统的时域分析
可用一阶微分方程描述其动态过程的系统，称为一阶系统
一、一阶系统的数学模型
R
+
例2：
可见： 1）右半平面无根； 2）虚根： 5s2 25 0, s1.2 j 5 3）其余根：
s4,5 1 j2
s3 1
注意：此时系统不为稳定系统，而是临界稳定系统
例 系统结构图如右， (1)确定使系统稳定的参数(K,x) 的范围; (2)当x2时，确定使全部极点均位于s=-1之左的K值范围。
3.5 线性系统的稳定性分析
要点介绍
1、熟悉系统稳定性的定义； 2、熟练掌握判断系统稳定性的方法； 3、熟练掌握根据稳定性要求确定系统参数的方法。
3.5 线性系统的稳定性分析
一、 稳定性的基本概念
1、稳定性的定义
控制系统在外部扰动作用下偏离其原来的 平衡状态，当扰动消失后，系统仍能自动恢复到 原来的初始平衡状态的性能。 注意：
0
K 9.12
2）峰值时间tp: 响应从零上升到第一个峰值所需时间。
3）调节时间ts: 响应到达并保持在允许误差范围（终值的
±2%或±5%）内所需的时间。
4）最大超调量σ%： 响应的最大峰值与终值之差，并除以终值，
通常用百分数表示：
% c(t p ) c() 100%
c()
动态性能指标定义1
超调量 % h(tp ) - h() 100%
2、稳态性能指标 通常用系统在阶跃、斜坡、加速度函数作用
下的稳态误差来描述稳态性能；
稳态误差用来衡量系统的控制精度或抗扰动 能力；
稳态误差反映系统复现输入信号的最终精度。
ess
lim e(t)
t
3.2 一阶系统的时域分析
可用一阶微分方程描述其动态过程的系统，称为一阶系统
一、一阶系统的数学模型
R
+
例2：
可见： 1）右半平面无根； 2）虚根： 5s2 25 0, s1.2 j 5 3）其余根：
s4,5 1 j2
s3 1
注意：此时系统不为稳定系统，而是临界稳定系统
例 系统结构图如右， (1)确定使系统稳定的参数(K,x) 的范围; (2)当x2时，确定使全部极点均位于s=-1之左的K值范围。
3.5 线性系统的稳定性分析
要点介绍
1、熟悉系统稳定性的定义； 2、熟练掌握判断系统稳定性的方法； 3、熟练掌握根据稳定性要求确定系统参数的方法。
3.5 线性系统的稳定性分析
一、 稳定性的基本概念
1、稳定性的定义
控制系统在外部扰动作用下偏离其原来的 平衡状态，当扰动消失后，系统仍能自动恢复到 原来的初始平衡状态的性能。 注意：
0
K 9.12
方晓柯自动控制原理电子教案第三章时域分析法
12 n
若取=2%得ts: ≥
12 n
当阻尼比 <0.8时，近似取为:
ts
3
n
ts
4
n
(=5 %)
( =2%)
当 一定时，以为自变量，对 求极值，可得当 =0.707时，
取得极小值，即系统的响应速度最快。
设计二阶系统时，一般取＝0.707作为最佳阻尼比。
5.振荡次数 N
振荡次数N是在0≤t≤ts时间间隔内，系统的单位阶跃曲线c(t)
(5)控制系统中各元件的参数在系统工作过程中可能产生变化。
因此，对于一个实际系统，只知道系统是稳定的还不够，还要了 了解系统的稳定程度，即系统必须具有稳定性储备。系统离开临 界稳定状态的程度，反映了系统稳定的程度。
3.4.2 稳定的条件
线性定常系统的微分方程：
a0
d nct
dt n
a1
d n1c t
d
1 2 (s n )2 d 2
c(t) 1 ent
1
1 2
s in(d t
arctg
1 2
)
系 统 的 响 应 由 稳 C(t) 态分量和动态分 量两部分组成， 稳态分量的值等 于1，动态分量是
一个随时间t的增
长而衰减的振荡 过程。
c(t) 1 ent
1
1 2
s in(d t
arctg
1 2
)
2.临界阻尼状态（=1）
Cs
n 2
n 2
s(s 2 2n s n 2 ) s(s 2 2n s n 2 )
n 2 s(s n )2
A1 s
A2
s n
(s
A3
n
)2
new第三章离散时间系统的时域分析
3. 举例 • 例1 已知 x(n)=(n),y(-1)=0, 用迭代法解方程：
y(n) ay(n 1) x(n)
• 解：y(0)=ay(-1)+1=1 • y(1)=ay(0)+0=a • y(2)=ay(1)+0=a2 • • y(n)=ay(n-1)+0=an • y(n)=ay(n-1)+0=anu(n)
n y(n) 0.45(0.9) u(n) 0.5u(n) 自由响应 强迫响应
• 零输入响应和零状态响应
用边界条件求系数
C1
5
1
, C2
n
5
1
最终解
1 1 5 1 1 5 y ( n) 5 2 5 2
n
例3 求 y(n)+6y(n-1)+12y(n-2)+8y(n-3)=x(n) 的齐次解 • 解(有重根)
差分方程特解的形式 • • • • • • • • • 激励 x(n) 特解 yp(n)的形式 A(常数) C(常数) An C1n+C2 nk C1 nk+ C2 nk-1++ Ck+1 nkan an(C1 nk+ C2 nk-1++ Ck+1 ) sin(bn)或 C1sin(bn)+C2cos(bn) con(bn) an [sin(bn)或 an[C1sin(bn)+C2cos(bn)] cos(bn)]
– 常系数线性差分方程(递归关系式) – 后向(或右移) 差分方程;前向(或左移) 差分方程
例2 已知离散时间系统如图示，写出 系统的差分方程。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
t, f (t ) { 0, t0 t0
跟踪随动信 号的能力
t t 0
1 L[t 1(t )] 2 s
单位匀加速信号
1 t2 , f (t ) 2 , 0 t0 t0
系统机动跟 踪能力
1 2 1 L[ t 1(t )] 3 2 s
1 2 t 2
0
1 1 A B C D 1 T T2 T2 C ( s ) ( s) R( s ) ( ) TS 1 s 3 s 3 s 2 s s 1 s 3 s 2 s s 1 T T
1 c(t ) t 2 Tt 2
1 t T 2 (1 e T )
2. 二阶系统的阶跃响应
过阻尼运动 >1 1 c(t ) L [C (s)]
1 1 e T2 T1 1
1 t T1
j
s 平面
s1
1 e T1 T2 1
1 t T2
s2 0
>1
c(t)
过阻尼响应是单调增的,没 有超调量,系统稳态误差为零;
1(t)
过阻尼阶跃响应的初始斜率 为零;
阻尼比不同取值时特征根在s平面上的位置
2. 二阶系统的阶跃响应
欠阻尼运动 0<<1 s1, 2 n jn 1
阻尼 角
s1 j
2
n
-n s2
d
s 平面
阻尼振荡 频率
ห้องสมุดไป่ตู้
0
d n 1 2
arctan
1 2
arccos arcsin 1 2
所以系统的时间常数T为:
1 T K
系统的阶跃响应:
1 t s 3T 3 K
1 t s 4T 4 K
K 1
R (s) + -
K
1 s
C(s)
3s
4s
误差±5%
误差±2%
带前置放大器的一阶系统
K 1
1(t)
c(t)
K=4 K=1 t
调节时间如果要小于1秒,那么:
R (s) + -
2 n s( s 2 n )
C(s)
R(s) + -
K s(Ts 1)
C(s)
开环传函 闭环传函
n 2 K Go (s) s(s 2 n ) s(Ts 1)
n 2 K GC ( s) 2 2 2 Ts s K s 2 n s n
nt
(cos d t
1 2
sin d t )
1
1 1 2
ent ( 1 2 cosd t sin d t )
1
1 1
2
ent sin(d t )
时间响应:
c(t ) L [C ( s)] 1 e
1 nt
c(t) 1(t)
c(t ) L [C(s)] 1 e dc (t ) 2 n t n te dt
调节时间:
1
nt
(1 nt )
t 0 ts
二阶临阻尼阶跃响应
ts
5
n
2. 二阶系统的阶跃响应
过阻尼运动 >1
n 1 C ( s) Gc ( s) R( s) 2 s s 2 n s n 2
t T
t T Te
t 0
t
1 s3
1 2 2 t Tt T (1 e T ) t 0 2
等价关系：系统对输入信号导数的响应，就等于系 统对该输入信号响应的导数；统对输入信号积分的 响应，就等于系统对该输入信号响应的积分。
§3.3 二阶系统时域分析
1.二阶系统的数学模型
1 t T
1 1 Ts 1 s
c(t) 1(t)
斜率 1/T
t 0 T
性能指标
快速性
c(t ) L1[C( s)] 1 e
1 t T
c(t ) 1 e
c(t) 1(t) 0.865 0.632
1 t T
t T
0.632
过渡过程时间：
斜率 1/T 0.95 0.982
t s 3T ±5% t s 4T ±2%
平稳性
t 0 T 2T 3T 4T
准确性
例 一阶系统如图所示,K=1,计算调节时ts 。如果要实 现ts≤1秒,确定前置放大器增益K 。
R (s) + K
1 s
C(s)
带前置放大器的一阶系统
解： 系统的闭环传递函数:
1 K 1 1 s Gs 1 1 Ts 1 1 K s 1 s K
超调量 Mp
调节时间ts
稳 态 性 能 指 标
稳 态 误 差 ess
tr,tp,ts
平稳性:Mp 准确性:ess
§3.2
一阶系统分析
R r(t) C c(t)
1.系统的表达
d[c(t )] T c(t ) r (t ) dt
R(s)
C ( s) 1 G ( s) R( s) Ts 1
(t 0)
e(t ) r (t ) c(t )
1 t Tt T 2 (1 e T )
上式表明，跟踪误差随时间推移而增大， 直至无限大。因此，一阶系统不能实现对 加速度输入函数的跟踪。
小结
一阶系统只有一个系统特征参数,即时间常数T; 在脉冲扰动下,一阶系统可以实现自动调节 , C ( s) 1 G ( s) ; 将扰动影响尽快衰减 R( s) Ts 1 一阶系统可以跟踪阶跃信号,使系统输出在调节 时间内达到稳态值;
三种响应之间的关系
C pulse (t )
积分
Cstep (t )
积分
Cslop (t )
脉冲响应 微分
阶跃响应 微分
斜坡响应
3.控制系统的性能指标(Performance Index)
性能指标：是在分析一个控制系统的时候，评价
统性能好坏标准的定量指标。
性 能 指 标
动态性能指标
稳态性能指标
(1) 动态性能指标定义1
闭环特征方程为
s 2n s n 0
2 2
闭环特征方程的根为
s1,2 n n 1
2
阻尼比
无阻尼振荡 角频率
s1,2 n n
j s 平面
2
1
s1
s1 s2 0
s1 s2
s2
>1
=1
s1 s2
s1
0< <1
s2
=0
<0
一阶系统可以跟踪斜坡信号,实现有差跟踪，但是 不能消除跟踪误差。
表3-2一阶系统对典型输入信号的响应
输入信号 时域 微 分 输入信号 频域 输出响应
1 T e T
t
传递 函数 微 分
1 TS 1
(t )
1
1 s
1 s2
(t 0)
1(t) t
1 2 t 2
1 e
t T
t0
1 1
1 T T c(t ) L [C (s)] L [ 2 ] t T Te s s s 1 T
可以有差跟踪斜坡信号， 减小T 可减小差值，但是不能消除跟踪误差。
5 一阶系统的单位加速度响应
1 2 r (t ) t 2
1 R( s ) 3 s
1 ( s) Ts 1
1
R( cs (t)=1 )
1 T t 0 T 2T 3T 4T
对于脉冲扰动信号，具有自动调节能力
4.一阶系统的斜坡响应
1 R( s) 2 s
c(t) 2T T 0 -T t T 2T 3T
1 t T
ess
1 1 C ( s) G ( s) R( s) 2 Ts 1 s 1 T T 2 s s s 1 T
超调量σ% = A 100% B
A
峰值时间tp 延迟 时间td 上 升 时间tr
B
调节时间ts
(1) 动态性能指标定义2
调节时间 ts 上升时间tr
以阶跃输入作用下系统的输出衡量系统的优劣
c(t) Mp
1(t)
t 0
tr tp
ts
快速性:
动 态 性 能 指 标
上升时间tr
峰值时间tp
t 0 ts 二阶过阻尼阶跃响应
讨论
>1时,过阻尼系统时间响应的调节时间ts最长,稳定慢 欠阻尼系统随着阻尼比的逐渐减小，系统
的阶跃响应的速度逐渐加快，但振荡加剧。 =1时,临阻尼系统时间响应没有超调量,响应速度比过
(t)
t 0
1.基本实验信号
• 理想单位脉冲信号
, (t ) 0,
t 0 t0
L[ (t )] 1
1.基本实验信号
• 单位阶跃信号
跟踪恒值信 号的能力
1, f (t ) { 0,
t0 t0
1 0
1(t ) t
1 L[1(t )] s
1.基本实验信号
单位斜坡信号
阶跃响应:
n 2 1 C( s) Gc ( s) R( s) 2 2 s 2 n s n s
1 s n n 2 2 s ( s n ) d ( s n ) 2 d 2
所以: c(t ) L
1
[C ( s)] 1 e
第三章 控制系统的时域分析
目的
跟踪随动信 号的能力
t t 0
1 L[t 1(t )] 2 s
单位匀加速信号
1 t2 , f (t ) 2 , 0 t0 t0
系统机动跟 踪能力
1 2 1 L[ t 1(t )] 3 2 s
1 2 t 2
0
1 1 A B C D 1 T T2 T2 C ( s ) ( s) R( s ) ( ) TS 1 s 3 s 3 s 2 s s 1 s 3 s 2 s s 1 T T
1 c(t ) t 2 Tt 2
1 t T 2 (1 e T )
2. 二阶系统的阶跃响应
过阻尼运动 >1 1 c(t ) L [C (s)]
1 1 e T2 T1 1
1 t T1
j
s 平面
s1
1 e T1 T2 1
1 t T2
s2 0
>1
c(t)
过阻尼响应是单调增的,没 有超调量,系统稳态误差为零;
1(t)
过阻尼阶跃响应的初始斜率 为零;
阻尼比不同取值时特征根在s平面上的位置
2. 二阶系统的阶跃响应
欠阻尼运动 0<<1 s1, 2 n jn 1
阻尼 角
s1 j
2
n
-n s2
d
s 平面
阻尼振荡 频率
ห้องสมุดไป่ตู้
0
d n 1 2
arctan
1 2
arccos arcsin 1 2
所以系统的时间常数T为:
1 T K
系统的阶跃响应:
1 t s 3T 3 K
1 t s 4T 4 K
K 1
R (s) + -
K
1 s
C(s)
3s
4s
误差±5%
误差±2%
带前置放大器的一阶系统
K 1
1(t)
c(t)
K=4 K=1 t
调节时间如果要小于1秒,那么:
R (s) + -
2 n s( s 2 n )
C(s)
R(s) + -
K s(Ts 1)
C(s)
开环传函 闭环传函
n 2 K Go (s) s(s 2 n ) s(Ts 1)
n 2 K GC ( s) 2 2 2 Ts s K s 2 n s n
nt
(cos d t
1 2
sin d t )
1
1 1 2
ent ( 1 2 cosd t sin d t )
1
1 1
2
ent sin(d t )
时间响应:
c(t ) L [C ( s)] 1 e
1 nt
c(t) 1(t)
c(t ) L [C(s)] 1 e dc (t ) 2 n t n te dt
调节时间:
1
nt
(1 nt )
t 0 ts
二阶临阻尼阶跃响应
ts
5
n
2. 二阶系统的阶跃响应
过阻尼运动 >1
n 1 C ( s) Gc ( s) R( s) 2 s s 2 n s n 2
t T
t T Te
t 0
t
1 s3
1 2 2 t Tt T (1 e T ) t 0 2
等价关系：系统对输入信号导数的响应，就等于系 统对该输入信号响应的导数；统对输入信号积分的 响应，就等于系统对该输入信号响应的积分。
§3.3 二阶系统时域分析
1.二阶系统的数学模型
1 t T
1 1 Ts 1 s
c(t) 1(t)
斜率 1/T
t 0 T
性能指标
快速性
c(t ) L1[C( s)] 1 e
1 t T
c(t ) 1 e
c(t) 1(t) 0.865 0.632
1 t T
t T
0.632
过渡过程时间：
斜率 1/T 0.95 0.982
t s 3T ±5% t s 4T ±2%
平稳性
t 0 T 2T 3T 4T
准确性
例 一阶系统如图所示,K=1,计算调节时ts 。如果要实 现ts≤1秒,确定前置放大器增益K 。
R (s) + K
1 s
C(s)
带前置放大器的一阶系统
解： 系统的闭环传递函数:
1 K 1 1 s Gs 1 1 Ts 1 1 K s 1 s K
超调量 Mp
调节时间ts
稳 态 性 能 指 标
稳 态 误 差 ess
tr,tp,ts
平稳性:Mp 准确性:ess
§3.2
一阶系统分析
R r(t) C c(t)
1.系统的表达
d[c(t )] T c(t ) r (t ) dt
R(s)
C ( s) 1 G ( s) R( s) Ts 1
(t 0)
e(t ) r (t ) c(t )
1 t Tt T 2 (1 e T )
上式表明，跟踪误差随时间推移而增大， 直至无限大。因此，一阶系统不能实现对 加速度输入函数的跟踪。
小结
一阶系统只有一个系统特征参数,即时间常数T; 在脉冲扰动下,一阶系统可以实现自动调节 , C ( s) 1 G ( s) ; 将扰动影响尽快衰减 R( s) Ts 1 一阶系统可以跟踪阶跃信号,使系统输出在调节 时间内达到稳态值;
三种响应之间的关系
C pulse (t )
积分
Cstep (t )
积分
Cslop (t )
脉冲响应 微分
阶跃响应 微分
斜坡响应
3.控制系统的性能指标(Performance Index)
性能指标：是在分析一个控制系统的时候，评价
统性能好坏标准的定量指标。
性 能 指 标
动态性能指标
稳态性能指标
(1) 动态性能指标定义1
闭环特征方程为
s 2n s n 0
2 2
闭环特征方程的根为
s1,2 n n 1
2
阻尼比
无阻尼振荡 角频率
s1,2 n n
j s 平面
2
1
s1
s1 s2 0
s1 s2
s2
>1
=1
s1 s2
s1
0< <1
s2
=0
<0
一阶系统可以跟踪斜坡信号,实现有差跟踪，但是 不能消除跟踪误差。
表3-2一阶系统对典型输入信号的响应
输入信号 时域 微 分 输入信号 频域 输出响应
1 T e T
t
传递 函数 微 分
1 TS 1
(t )
1
1 s
1 s2
(t 0)
1(t) t
1 2 t 2
1 e
t T
t0
1 1
1 T T c(t ) L [C (s)] L [ 2 ] t T Te s s s 1 T
可以有差跟踪斜坡信号， 减小T 可减小差值，但是不能消除跟踪误差。
5 一阶系统的单位加速度响应
1 2 r (t ) t 2
1 R( s ) 3 s
1 ( s) Ts 1
1
R( cs (t)=1 )
1 T t 0 T 2T 3T 4T
对于脉冲扰动信号，具有自动调节能力
4.一阶系统的斜坡响应
1 R( s) 2 s
c(t) 2T T 0 -T t T 2T 3T
1 t T
ess
1 1 C ( s) G ( s) R( s) 2 Ts 1 s 1 T T 2 s s s 1 T
超调量σ% = A 100% B
A
峰值时间tp 延迟 时间td 上 升 时间tr
B
调节时间ts
(1) 动态性能指标定义2
调节时间 ts 上升时间tr
以阶跃输入作用下系统的输出衡量系统的优劣
c(t) Mp
1(t)
t 0
tr tp
ts
快速性:
动 态 性 能 指 标
上升时间tr
峰值时间tp
t 0 ts 二阶过阻尼阶跃响应
讨论
>1时,过阻尼系统时间响应的调节时间ts最长,稳定慢 欠阻尼系统随着阻尼比的逐渐减小，系统
的阶跃响应的速度逐渐加快，但振荡加剧。 =1时,临阻尼系统时间响应没有超调量,响应速度比过
(t)
t 0
1.基本实验信号
• 理想单位脉冲信号
, (t ) 0,
t 0 t0
L[ (t )] 1
1.基本实验信号
• 单位阶跃信号
跟踪恒值信 号的能力
1, f (t ) { 0,
t0 t0
1 0
1(t ) t
1 L[1(t )] s
1.基本实验信号
单位斜坡信号
阶跃响应:
n 2 1 C( s) Gc ( s) R( s) 2 2 s 2 n s n s
1 s n n 2 2 s ( s n ) d ( s n ) 2 d 2
所以: c(t ) L
1
[C ( s)] 1 e
第三章 控制系统的时域分析
目的