自动控制原理第三章时域分析法
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自动控制原理第三章
➢ 0 1 特征根： s1,2 n jn 1 2
Xc (s)
1 s
s2
n2 2ns n2
1 s
s2
s 2n 2ns n2
1
s 2n
s (s n )2 (n 1 2 )2
其阶跃输入下的暂态响应：
xc (t) 1
e nt
1 2
sin(n
1 2 t ) , arctan
WB (s)
X c (s) X r (s)
(1
1 K)s
1
1 Ts 1
式中：T 1 k , 称为时间常数。
3.2.2 单位阶跃响应函数：
X r (s) 1 s
11
Xc
(s)
Ts
1
s
,
xc (t)
L1[ 1 Ts 1
1] s
L1[ 1 s
s
1
1
]
1
t
eT
T
xc (t ) xss xtt
2
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6 0.4 0.2
0 0
246
nt
8 10 12
⒊ 当 1时，特征方程有一对相等的负实根，称为临界阻尼
系统，系统的阶跃响应为非振荡过程。
➢当 1 时，
阶跃响应曲线为：
xc
(s)
1 s
s2
n2 2n s
n2
n2 s(s n )2
1 1 n s s n (s n )2
1 )( s
T1
1 T2
)
式中
T1
1 a
n (
1
2
1)
精品文档-自动控制原理及其应用(第二版)温希东-第3章
能够用一阶微分方程描述的系统称为一阶系统，它的典型 形式是一阶惯性环节，即
(3-9)
第3章 时 域 分 析 法
20
1. 一阶系统的单位阶跃响应 当r(t)=1(t)时，有
第3章 时 域 分 析 法
对上式进行拉氏反变换，得
根据式(3-10)，可得出表 3-1 所列数据。
21 (3-10)
第3章 时 域 分 析 法
第3章 时 域 分 析 法
63
图 3-14 二阶系统单位阶跃响应包络线
第3章 时 域 分 析 法
第3章 时 域 分 析 法
57
2) 求峰值时间tp 由峰值时间tp的定义知，tp为c(t)响应超过其终值到达第 一个峰值所需的时间。
由式(3-14)和式(3-19)得
(3-21)
第3章 时 域 分 析 法
58
根据数学求极值概念，令
即
第3章 时 域 分 析 法
59
因为
所以
由此可得, ωdtp=π, 则 (3-22)
28
3.3 二阶系统的动态响应
用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。从物理上讲， 二阶系统总包含两个储能元件，能量在两个元件之间交换，从 而引起系统具有往复的振荡趋势。当阻尼不够充分大时，系统 呈现出振荡的特性，这样的二阶系统也称为二阶振荡环节。
第3章 时 域 分 析 法
29
二阶系统的典型传递函数为
当r(t)=1(t)时，有
则
第3章 时 域 分 析 法
44
对上式进行拉氏反变换，可得
(3-17)
其响应曲线如图 3-10所示，系统为无阻尼等幅振荡。该种情况 实际系统不能用。
第3章 时 域 分 析 法
45
《自动控制原理》第三章自动控制系统的时域分析和性能指标
i1 n
]
epjt
j
(spj)
j1
j1
limc(t) 0的充要条件是 p j具有负实部
t
二.劳斯(Routh)稳定判据
闭环特征方程
a nsn a n 1 sn 1 a 1 s a 0 0
必要条件
ai0. ai0
劳斯表
sn s n1 s n2
| | |
a a n
n2
a a n 1
n3
b1 b2
或：系统的全部闭环极点都在复数平面的虚轴上左半部。
m
设闭环的传递函数：
(s)
c(s) R(s)
k (s zi )
i 1 n
(s p j )
P j 称为闭环特征方程的根或极点 j1
n
(s pj ) 0 称为闭环特征方程
j1
若R(s)=1,则C(s)= s m
k (szi)
n
c(t)L1[c(s)]L1[
t 3、峰值时间 p
误差带
4 、最大超调量
%
C C ( )
% max
100 %
C ( )
ts
5 、调节时间
ts
(
0 . 05
0
.
02
)
6、振荡次N数
e e 7、稳态误差 ss
1C()(对单位阶跃) 输入
ss
第三节 一阶系统的动态性能指标
一.一阶系统的瞬态响应
R(s) -
K0 T 0S 1
s5 | 1 3 2
s4 | 1 3 2
s3 | 4 6
s2
|
3 2
2
s1
|
2 3
s0 | 2
自动控制原理-第3章-时域分析法
系统响应达到峰值所需要的时间。
调节时间
系统响应从峰值回到稳态值所需的时间。
振荡频率
系统阻尼振荡的频率，反映系统的动态性能。
系统的阶跃响应与脉冲响应
阶跃响应
系统对阶跃输入信号的响应，反映系 统的动态性能和稳态性能。
脉冲响应
系统对脉冲输入信号的响应，用于衡 量系统的冲激响应能力和动态性能。
03
一阶系统时域分析
01
单位阶跃响应是指系统在单位阶跃函数作为输入时的
输出响应。
计算方法
02 通过将单位阶跃函数作为输入，代入一阶系统的传递
函数中，求出系统的输出。
特点
03
一阶系统的单位阶跃响应是等值振荡的，其最大值为1，
达到最大值的时间为T，且在时间T后逐渐趋于0。
一阶系统的单位脉冲响应
定义
单位脉冲响应是指系统在单 位脉冲函数作为输入时的输
无法揭示系统结构特性
时域分析法主要关注系统的动态行为和响应，难以揭示系统的结构特 性和稳定性。
对初值条件敏感
时域分析法的结果对系统的初值条件较为敏感，初值条件的微小变化 可能导致计算结果的较大偏差。
感谢您的观看
THANKS
计算简便
时域分析法通常采用数值积分方法进 行计算，计算过程相对简单，易于实 现。
时域分析法的缺点
数值稳定性问题
对于某些系统，时域分析法可能存在数值稳定性问题，例如数值积分 方法的误差累积可能导致计算结果失真。
计算量大
对于高阶系统和复杂系统，时域分析法需要进行大量的数值积分计算， 计算量较大，效率较低。
自动控制原理-第3章-时域 分析法
目录
• 时域分析法概述 • 时域分析的基本概念 • 一阶系统时域分析 • 二阶系统时域分析 • 高阶系统时域分析 • 时域分析法的优缺点
调节时间
系统响应从峰值回到稳态值所需的时间。
振荡频率
系统阻尼振荡的频率，反映系统的动态性能。
系统的阶跃响应与脉冲响应
阶跃响应
系统对阶跃输入信号的响应，反映系 统的动态性能和稳态性能。
脉冲响应
系统对脉冲输入信号的响应，用于衡 量系统的冲激响应能力和动态性能。
03
一阶系统时域分析
01
单位阶跃响应是指系统在单位阶跃函数作为输入时的
输出响应。
计算方法
02 通过将单位阶跃函数作为输入，代入一阶系统的传递
函数中，求出系统的输出。
特点
03
一阶系统的单位阶跃响应是等值振荡的，其最大值为1，
达到最大值的时间为T，且在时间T后逐渐趋于0。
一阶系统的单位脉冲响应
定义
单位脉冲响应是指系统在单 位脉冲函数作为输入时的输
无法揭示系统结构特性
时域分析法主要关注系统的动态行为和响应，难以揭示系统的结构特 性和稳定性。
对初值条件敏感
时域分析法的结果对系统的初值条件较为敏感，初值条件的微小变化 可能导致计算结果的较大偏差。
感谢您的观看
THANKS
计算简便
时域分析法通常采用数值积分方法进 行计算，计算过程相对简单，易于实 现。
时域分析法的缺点
数值稳定性问题
对于某些系统，时域分析法可能存在数值稳定性问题，例如数值积分 方法的误差累积可能导致计算结果失真。
计算量大
对于高阶系统和复杂系统，时域分析法需要进行大量的数值积分计算， 计算量较大，效率较低。
自动控制原理-第3章-时域 分析法
目录
• 时域分析法概述 • 时域分析的基本概念 • 一阶系统时域分析 • 二阶系统时域分析 • 高阶系统时域分析 • 时域分析法的优缺点
自动控制原理-第3章
响应曲线如图3-2所示。图中
为输出的稳态值。
第三章 线性系统的时域分析 法
图 3-2 动态性能指标
第三章 线性系统的时域分析 法
动态性能指标通常有以下几种:
延迟时间td: 指响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时间
上升时间tr: 若阶跃响应不超过稳态值, 上升时间指响应曲线从 稳态值的10%上升到90%所需的时间; 对于有振荡的系统, 上升时 间定义为响应从零第一次上升到稳态值所需的时间。上升时间越 短, 响应速度越快。
可由下式确定: (3.8)
振荡次数N: 在0≤t≤ts内, 阶跃响应曲线穿越稳态值c(∞)次 一半称为振荡次数。
上述动态性能指标中, 常用的指标有tr、ts和σp。上升时间tr 价系统的响应速度; σp评价系统的运行平稳性或阻尼程度; ts是同
时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。 应当指出, 除简单的一 、二阶系统外, 要精确给出这些指标的解析表达式是很困难的。
中可以看出, 随着阻尼比ζ的减小, 阶跃响应的振荡程度加剧。 ζ =0时是等幅振荡, ζ≥1时是无振荡的单调上升曲线, 其中临界阻尼 对应的过渡过程时间最短。 在欠阻尼的状态下, 当0.4＜ζ＜0.8时过
渡过程时间比临界阻尼时更短, 而且振荡也不严重。 因此在 控制工程中, 除了那些不允许产生超调和振荡的情况外, 通常都希
第三章 线性系统的时域分析法 4. 脉冲函数 脉冲函数(见图3-1(d))的时域表达式为
(3.4)
式中,h称为脉冲宽度, 脉冲的面积为1。若对脉冲的宽度取趋于 零的极限, 则有
(3.5) 及
(3.6)
称此函数为理想脉冲函数, 又称δ函数(见图3-1(e))。
第三章 线性系统的时域分析 法
自动控制原理第3章
本方法是分析系统的最早、也是最基本的分析 方法，时域分析法直覌、物理概念清晰。
2
一、典型的输入信号
1、阶跃信号 数学表达式
r(t) A t 0
拉氏变换式
R(s) A s
当A=1时，称为单位阶跃信号！
r(t) 1
2.斜坡信号 数学表达式
r(t)
R(s) 1 s
At t 0 0 t0
3
典型的输入信号
y(tr ) 1
经整理得
tr
n
1
2
25
二阶系统分析
t tp
2、超调量 ：
暂态过程中被控量的最大值超过稳态值的百分数。
即
%
y(t
P ) y y
100
%
峰值时间 t t p
在 t 时t p刻对 求y导t，令其等于零，经整理得
tp 1 2n
将其代入超调量公式得
% e 1 2 100%
r(t)
A 0t 0 t0 t
拉氏变换式 R(s) A
5
典型的输入信号
当A=1时， 称为单位理想脉冲信号
r(t) (t) R(s) 1
5、正弦信号 数学表达式
r(t) Asin t t 0
拉氏变换式
R(s)
A s2 2
6
二、时域性能指标
以单位阶跃信号输入时，系统输出的一些特征值来表示。
系统对输入信号微分（积分）的响应，就等于该输入 信号响应的微分（积分）。
例3-1(解释)
14
第三节 二阶系统分析 一、二阶系统
用二阶微分方程描述的系统。 二、二阶系统典型的数学模型
先看例：位置跟踪系统
15
二阶系统分析 系统结构图：
2
一、典型的输入信号
1、阶跃信号 数学表达式
r(t) A t 0
拉氏变换式
R(s) A s
当A=1时，称为单位阶跃信号！
r(t) 1
2.斜坡信号 数学表达式
r(t)
R(s) 1 s
At t 0 0 t0
3
典型的输入信号
y(tr ) 1
经整理得
tr
n
1
2
25
二阶系统分析
t tp
2、超调量 ：
暂态过程中被控量的最大值超过稳态值的百分数。
即
%
y(t
P ) y y
100
%
峰值时间 t t p
在 t 时t p刻对 求y导t，令其等于零，经整理得
tp 1 2n
将其代入超调量公式得
% e 1 2 100%
r(t)
A 0t 0 t0 t
拉氏变换式 R(s) A
5
典型的输入信号
当A=1时， 称为单位理想脉冲信号
r(t) (t) R(s) 1
5、正弦信号 数学表达式
r(t) Asin t t 0
拉氏变换式
R(s)
A s2 2
6
二、时域性能指标
以单位阶跃信号输入时，系统输出的一些特征值来表示。
系统对输入信号微分（积分）的响应，就等于该输入 信号响应的微分（积分）。
例3-1(解释)
14
第三节 二阶系统分析 一、二阶系统
用二阶微分方程描述的系统。 二、二阶系统典型的数学模型
先看例：位置跟踪系统
15
二阶系统分析 系统结构图：
自动控制原理第三章一控制系统的时域分析
第三章 控制系统的时域分析 法
第三章 控制系统的时域分析法
第一节 第二节 第三节 第四节
二阶系统的瞬态响应及性能指标 增加零极点对二阶系统响应的影响 反馈控制系统的稳态误差 劳斯-霍尔维茨稳定性判据
第一节 二阶系统的瞬态响应及性能指标
瞬态响应，是指系统的输出从输入信号r(t)作用时刻起， 到稳定状态为止，随时间变化的过程。分析系统的瞬态响应， 可以考查系统的稳定性和过渡过程的性能。分析系统的瞬态 响应，有以下方法：
一般对有振荡的系统常用“(3)”，对无振荡的系统常用“(1)”。
4. 峰值时间tp——响应曲线到达第一个峰值所需的时间，定义 为峰值时间。
5. 调整时间ts——响应曲线从零开始到进入稳态值的 95%~105%（或98%~102%）误差带时所需要的时间，定 义为调整时间。
图3-6 单位阶跃响应
返回
对于恒值控制系统，它的主要任务是维持恒值输出，扰
这时瞬态响应的性能指标有：
1。最大超调量sp——响应曲线偏离稳态值的最大值，
常以百分比表示，即
最大百分比超调量sp＝ c(t p ) c() 100%
c()
最大超调量说明系统的相对稳定性。
2。延滞时间td——响应曲线到达稳态值50%所需的时间，
称为延滞时间。
图3-6
3. 上升时间tr——它有几种定义： (1) 响应曲线从稳态值的10%到90%所需时间； (2) 响应曲线从稳态值的5%到95%所需时间； (3) 响应曲线从零开始至第一次到达稳态值所需的时间。
响应，所以脉冲响应和传递函数一样，都可以用来描述系统
的特征。
wn 1 2
e w nt
s in(w n
1 2t)
1
e ( 2 1)wnt
第三章 控制系统的时域分析法
第一节 第二节 第三节 第四节
二阶系统的瞬态响应及性能指标 增加零极点对二阶系统响应的影响 反馈控制系统的稳态误差 劳斯-霍尔维茨稳定性判据
第一节 二阶系统的瞬态响应及性能指标
瞬态响应，是指系统的输出从输入信号r(t)作用时刻起， 到稳定状态为止，随时间变化的过程。分析系统的瞬态响应， 可以考查系统的稳定性和过渡过程的性能。分析系统的瞬态 响应，有以下方法：
一般对有振荡的系统常用“(3)”，对无振荡的系统常用“(1)”。
4. 峰值时间tp——响应曲线到达第一个峰值所需的时间，定义 为峰值时间。
5. 调整时间ts——响应曲线从零开始到进入稳态值的 95%~105%（或98%~102%）误差带时所需要的时间，定 义为调整时间。
图3-6 单位阶跃响应
返回
对于恒值控制系统，它的主要任务是维持恒值输出，扰
这时瞬态响应的性能指标有：
1。最大超调量sp——响应曲线偏离稳态值的最大值，
常以百分比表示，即
最大百分比超调量sp＝ c(t p ) c() 100%
c()
最大超调量说明系统的相对稳定性。
2。延滞时间td——响应曲线到达稳态值50%所需的时间，
称为延滞时间。
图3-6
3. 上升时间tr——它有几种定义： (1) 响应曲线从稳态值的10%到90%所需时间； (2) 响应曲线从稳态值的5%到95%所需时间； (3) 响应曲线从零开始至第一次到达稳态值所需的时间。
响应，所以脉冲响应和传递函数一样，都可以用来描述系统
的特征。
wn 1 2
e w nt
s in(w n
1 2t)
1
e ( 2 1)wnt
第三章 自动控制系统的时域分析(1)《自动控制原理与系统》
第二节 一阶系统的动态响应
凡是以一阶微分方程作为运动方程的控制系统，成为一阶系统
一、一阶系统的数学模型
一阶系统的时域微分方程为
T dc (t ) c(t ) r (t ) dt
式中c（t）和r（t）分别为系统的输出、输入量；T为时间 常数，具有时间“秒”的量纲，此外时间常数T也是表征系 统惯性的一个主要参数，所以一阶系统也称为惯性环节 在初始条件为零时两边取拉氏变换，可得其闭环传递函数为
)] T
这里，输入信号t是输出量的期望值。上式还表明，一阶系统在 跟踪单位斜波输入信号时，输出量与输入量存在跟踪误差，其 稳态误差值与系统的“T”的值相等。一阶系统在跟踪斜波输入 信号，所带来的原理上的位置误差，只能通过减小时间常数T来 降低，而不能最终消除它
第三章 自动控制系统的时域分析
4.单位冲激响应 单位脉冲函数是单位阶跃函数的一阶 导数。因此其单位脉冲响应是单位阶 跃响应的一阶导数
r(t)＝A sinωt
周期性输入信号
第三章 自动控制系统的时域分析
二、动态过程与稳态过程
在典型输入信号作用下，任何一个控制系统的时间响应都是由 动态过程和稳态过程组成 1.动态过程
又称为过渡过程或暂态过程，是指系统从初始状态到接近最终 状态的响应过程。 2.稳态过程
稳态过程是指时间t趋于无穷时的系统输出状态。
第三章 自动控制系统的时域分析
第三节 二阶系统的动态响应
凡是由二阶微分方程描述的系统，称为二阶系统。在控制工程 中的许多系统都是二阶系统，如电学系统、力学系统等。即使 是高阶系统，在简化系统分析的情况下有许多也可以近似成二 阶系统。因此，二阶系统的性能分析在自动控制系统分析中有 非常重要的地位。
一、二阶系统的数学模型
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延迟时间td(Delay time):响应曲线第一次 到达终值一半所需的时间。
▪ 二.峰值时间tp (Time of peak value )
响应曲线超过稳态值h(∞)达到第一个峰值 所需的时间。
▪ 三.调节时间ts
在稳态值h(∞)附近取一误差带，通常取
5%h(), 2%h()
响应曲线开始进入并保持在误差带内所需 的最小时间，称为调节时间。
ts越小，说明系统从一个平衡状态过渡到 另一个平衡状态所需的时间越短。
▪ 四.超调量σ%
响应曲线超出稳态值的最大偏差与稳态值 之比。即
% h(t p ) h() 100%
h()
超调量表示系统响应过冲的程度，超调量 大，不仅使系统中的各个元件处于恶劣的 工作条件下，而且使调节时间加长。 ▪ 五.振荡次数N 在调节时间以内，响应曲线穿越其稳态值 次数的一半。
110000%%
峰峰值值时时间间ttpp BB
上上 升升 时时间间ttrr
调调节节时时间间tsts
tt
动态性能指标定义2
h(t)
调节时间 ts
上升时间tr
t
h(t)
1.0 0.5 td
0 tr tp ts
误差带5%或2%
h()
▪ 一.上升时间tr (Rising time)
响应曲线从零首次上升到稳态值h(∞)所需 的时间，称为上升时间。对于响应曲线无 振荡的系统，tr是响应曲线从稳态值的10% 上升到90 %所需的时间。
kt
解Hale Waihona Puke 系统的闭环传递函数(s) 100 / s 1/ kt
1
100 s
kt
0.01s 1 kt
当kt
0.1时, (s)
10 0.1s 1
显然时间常数T 0.1秒.
因此调节时间为ts 3T 0.3秒，
如果要求ts
0.1秒, ts
3T
3
0.01 kt
0.1,
故kt 0.3
一阶系统单位脉冲响应
单位斜坡响应曲线如图所示：
c(t)
r(t)=t
T T
引入误差的概念：0
t
当时间t趋于无穷时，系统单位阶跃响应的实
际稳态值与给定值之差。即：
e h h()
ss
0
一阶系统单位斜坡响应存在稳态误差 ess=t-(t-T)=T 从曲线上可知，一阶系统单位斜坡响应达到 稳态时具有和输入相同的斜率，只要在时间 上滞后T,这就存在着ess=T的稳态误差。
对C(s)进行拉氏反变换 h(t) 1 et /T t T , h(T ) 0.632 t 2T , h(2T ) 0.865 t 3T , h(3T ) 0.950 t 4T , h(4T ) 0.982
% 0没有超调，非周期响应，
惯性环节亦称非周期环节。
1t
c(t) 1 e T
与此对应，性能指标分为动态性能指标和稳态性能 指标
▪ 控制系统的时域性能指标，是根据系统在 单位阶跃函数作用下的时间响应——单位 阶跃响应确定的，通常以h（t）表示。
实际应用的控制系统，多数具有阻尼振荡 的阶跃响应，如图3-1所示：
动态性能指标定义1
hh((tt))
AA
超超调调量量σσ%%==
AA BB
曲线
C(t)
1 1/T斜率
0.632
h(t) 1 et/T
0
T
t
t 3T (5%误差带) s
ts 4T (2%误差带)
T越小，系统的快速性越好。
例1.一阶系统的结构图如图所示，若kt=0.1, 试求系统的调节时间ts。如果要求ts 0.1 秒。试求反馈系数应取多大？
R(s)
-
100/s
C(s)
第三章 时域分析法
3-1 控制系统的时域指标 3-2 一阶系统的时间响应 3-3 二阶系统分析 3-4 控制系统的稳定性和代数判据 3-5 稳态误差的分析和计算
3-1 控制系统的时域指标
所谓时域分析法，就是在时间域内研究控制系统性能 的方法，它是通过拉氏变换直接求解系统的微分方程， 得到系统的时间响应，然后根据响应表达式和响应曲 线分析系统的动态性能和稳态性能。
闭环传递函数：（s） C(s) 1
R(s) Ts 1
结构图和闭环极点分布图为：
j
R(s)
-
k/s
C(s)
-1/T 0
T表征系统惯性大小的重要参数。
二.一阶系统的单位阶跃响应 当r(t) 1(t)时，R(s) 1 ,
s
则C(s) (s) R(s) 1 1 1 T
Ts 1 s s Ts 1
tr,tp和ts表示控制系统反映输入信号的快速 性，而σ%和N反映系统动态过程的平稳性。 即系统的阻尼程度。其中ts和σ%是最重要 的两个动态性能的指标。
3-2 一阶系统的时间响应
一.一阶系统的数学模型
微分方程为：T dc(t) c(t) r(t),T为时间常数。 dt
开环传递函数：G(s) 1 k , k 1 为开环增益 Ts s T
三.一阶系统的单位斜坡响应 R(t) t, R(s) 1
s2
C(s) (s) R(s) 1 1 1 T T 2
Ts 1 s 2 s 2 s Ts 1 拉氏反变换，单位斜坡响应为
C (t) (t T ) Tet/T (t 0) t
其中t T为稳态分量，Tet/T为暂态分量。
动态和稳态过程
1、典型输入信号：单位阶跃、单位斜坡、单位脉 冲、单位加速度、正弦等
2、系统的时间响应，由动态过程和稳态过程两部分 组成
3、动态过程（过渡过程或瞬态过程）：系统在典 型信号作用下，系统输出量从初始状态到最终状态 的过程。
4、稳态过程：系统在典型信号作用下，当时间t趋 向无穷时，系统输出量的表现形式。
c(0) 0,c() 1
c(t)
1
1t
eT
T
t 0 T 2T 3T 4T 5T … ∞
c(t) 0 0.63 0.86 0.950 0.98 0.99
1
25
2
3
c(0) 1 T
特点： （1）初始斜率为1/T； （2）无超调 （3）稳态误差ess=0 。
性能指标： （1）延迟时间：td=0.69T （2） 上升时间：tr=2.20T （3）调节时间：ts=3T (△=0.05)
r(t) (t) R(s) 1
C(s) (s)R(s) 1 1/T Ts 1 s 1/ T
c(t)
1
1t
e T (t
0)
T
c(t)
1
c(t ) 1 e t/T
T
T
初始斜率为 1T 2 0.368/T
0.135/T 0.05/T 0.018/T
0
T 2T 3T 4T
t
单位脉冲响应曲线
▪ 二.峰值时间tp (Time of peak value )
响应曲线超过稳态值h(∞)达到第一个峰值 所需的时间。
▪ 三.调节时间ts
在稳态值h(∞)附近取一误差带，通常取
5%h(), 2%h()
响应曲线开始进入并保持在误差带内所需 的最小时间，称为调节时间。
ts越小，说明系统从一个平衡状态过渡到 另一个平衡状态所需的时间越短。
▪ 四.超调量σ%
响应曲线超出稳态值的最大偏差与稳态值 之比。即
% h(t p ) h() 100%
h()
超调量表示系统响应过冲的程度，超调量 大，不仅使系统中的各个元件处于恶劣的 工作条件下，而且使调节时间加长。 ▪ 五.振荡次数N 在调节时间以内，响应曲线穿越其稳态值 次数的一半。
110000%%
峰峰值值时时间间ttpp BB
上上 升升 时时间间ttrr
调调节节时时间间tsts
tt
动态性能指标定义2
h(t)
调节时间 ts
上升时间tr
t
h(t)
1.0 0.5 td
0 tr tp ts
误差带5%或2%
h()
▪ 一.上升时间tr (Rising time)
响应曲线从零首次上升到稳态值h(∞)所需 的时间，称为上升时间。对于响应曲线无 振荡的系统，tr是响应曲线从稳态值的10% 上升到90 %所需的时间。
kt
解Hale Waihona Puke 系统的闭环传递函数(s) 100 / s 1/ kt
1
100 s
kt
0.01s 1 kt
当kt
0.1时, (s)
10 0.1s 1
显然时间常数T 0.1秒.
因此调节时间为ts 3T 0.3秒，
如果要求ts
0.1秒, ts
3T
3
0.01 kt
0.1,
故kt 0.3
一阶系统单位脉冲响应
单位斜坡响应曲线如图所示：
c(t)
r(t)=t
T T
引入误差的概念：0
t
当时间t趋于无穷时，系统单位阶跃响应的实
际稳态值与给定值之差。即：
e h h()
ss
0
一阶系统单位斜坡响应存在稳态误差 ess=t-(t-T)=T 从曲线上可知，一阶系统单位斜坡响应达到 稳态时具有和输入相同的斜率，只要在时间 上滞后T,这就存在着ess=T的稳态误差。
对C(s)进行拉氏反变换 h(t) 1 et /T t T , h(T ) 0.632 t 2T , h(2T ) 0.865 t 3T , h(3T ) 0.950 t 4T , h(4T ) 0.982
% 0没有超调，非周期响应，
惯性环节亦称非周期环节。
1t
c(t) 1 e T
与此对应，性能指标分为动态性能指标和稳态性能 指标
▪ 控制系统的时域性能指标，是根据系统在 单位阶跃函数作用下的时间响应——单位 阶跃响应确定的，通常以h（t）表示。
实际应用的控制系统，多数具有阻尼振荡 的阶跃响应，如图3-1所示：
动态性能指标定义1
hh((tt))
AA
超超调调量量σσ%%==
AA BB
曲线
C(t)
1 1/T斜率
0.632
h(t) 1 et/T
0
T
t
t 3T (5%误差带) s
ts 4T (2%误差带)
T越小，系统的快速性越好。
例1.一阶系统的结构图如图所示，若kt=0.1, 试求系统的调节时间ts。如果要求ts 0.1 秒。试求反馈系数应取多大？
R(s)
-
100/s
C(s)
第三章 时域分析法
3-1 控制系统的时域指标 3-2 一阶系统的时间响应 3-3 二阶系统分析 3-4 控制系统的稳定性和代数判据 3-5 稳态误差的分析和计算
3-1 控制系统的时域指标
所谓时域分析法，就是在时间域内研究控制系统性能 的方法，它是通过拉氏变换直接求解系统的微分方程， 得到系统的时间响应，然后根据响应表达式和响应曲 线分析系统的动态性能和稳态性能。
闭环传递函数：（s） C(s) 1
R(s) Ts 1
结构图和闭环极点分布图为：
j
R(s)
-
k/s
C(s)
-1/T 0
T表征系统惯性大小的重要参数。
二.一阶系统的单位阶跃响应 当r(t) 1(t)时，R(s) 1 ,
s
则C(s) (s) R(s) 1 1 1 T
Ts 1 s s Ts 1
tr,tp和ts表示控制系统反映输入信号的快速 性，而σ%和N反映系统动态过程的平稳性。 即系统的阻尼程度。其中ts和σ%是最重要 的两个动态性能的指标。
3-2 一阶系统的时间响应
一.一阶系统的数学模型
微分方程为：T dc(t) c(t) r(t),T为时间常数。 dt
开环传递函数：G(s) 1 k , k 1 为开环增益 Ts s T
三.一阶系统的单位斜坡响应 R(t) t, R(s) 1
s2
C(s) (s) R(s) 1 1 1 T T 2
Ts 1 s 2 s 2 s Ts 1 拉氏反变换，单位斜坡响应为
C (t) (t T ) Tet/T (t 0) t
其中t T为稳态分量，Tet/T为暂态分量。
动态和稳态过程
1、典型输入信号：单位阶跃、单位斜坡、单位脉 冲、单位加速度、正弦等
2、系统的时间响应，由动态过程和稳态过程两部分 组成
3、动态过程（过渡过程或瞬态过程）：系统在典 型信号作用下，系统输出量从初始状态到最终状态 的过程。
4、稳态过程：系统在典型信号作用下，当时间t趋 向无穷时，系统输出量的表现形式。
c(0) 0,c() 1
c(t)
1
1t
eT
T
t 0 T 2T 3T 4T 5T … ∞
c(t) 0 0.63 0.86 0.950 0.98 0.99
1
25
2
3
c(0) 1 T
特点： （1）初始斜率为1/T； （2）无超调 （3）稳态误差ess=0 。
性能指标： （1）延迟时间：td=0.69T （2） 上升时间：tr=2.20T （3）调节时间：ts=3T (△=0.05)
r(t) (t) R(s) 1
C(s) (s)R(s) 1 1/T Ts 1 s 1/ T
c(t)
1
1t
e T (t
0)
T
c(t)
1
c(t ) 1 e t/T
T
T
初始斜率为 1T 2 0.368/T
0.135/T 0.05/T 0.018/T
0
T 2T 3T 4T
t
单位脉冲响应曲线