高考数学一轮复习理科习题：第十二篇 系列4选讲(选修4-44-5) 第2节 不等式选讲 Word版含解析

第2节不等式选讲
【选题明细表】
1.(2018·全国Ⅲ卷)设函数f(x)=|2x+1|+|x-1|.
(1)画出y=f(x)的图象;
(2)当x∈[0,+∞)时,f(x)≤ax+b,求a+b的最小值.
解
y=f(x)的图象如图所示.
(2)由(1)知,y=f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2,且各部分所在直线斜率的最大值为3,故当且仅当a≥3且b≥2时,f(x)≤ax+b在[0,+∞)上恒成立,因此a+b的最小值为5.
2.(2016·全国Ⅲ卷)已知函数f(x)=|2x-a|+a.
(1)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集;
(2)设函数g(x)=|2x-1|,当x∈R时,f(x)+g(x)≥3,求a的取值范围. 解:(1)当a=2时,f(x)=|2x-2|+2.
解不等式|2x-2|+2≤6得-1≤x≤3.
因此f(x)≤6的解集为{x|-1≤x≤3}.
(2)当x∈R时,
f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x|
≥|2x-a+1-2x|+a
=|1-a|+a,
当,所以当x∈R时,f(x)+g(x)≥3等价于|1-a|+a≥3.(*)
当a≤1时,(*)等价于1-a+a≥3,无解.
当a>1时,(*)等价于a-1+a≥3,解得a≥2.
所以a的取值范围是[2,+∞).
3.(2018·西安市一模)已知函数f(x)=|2x-1|,x∈R.
(1)解不等式f(x)<|x|+1;
(2)若对于x,y∈R,有|x-y-1|≤求证:f(x)<1.
(1)解:不等式f(x)<|x|+1,等价于|2x-1|<|x|+1.
当x≤0,不等式可化为-2x+1<-x+1,
即x>0,不成立;
当0≤x≤不等式可化为-2x+1<x+1,
即x>0,所以0<x
当不等式可化为2x-1<x+1,
即x<2,所以
故不等式f(x)<|x|+1的解集为(0,2).
(2)证明:因为|x-y-1|≤
所以f(x)=|2x-1|=|2(x-y-1)+(2y+1)|≤|2(x-y-1)|+|2y+1|≤2×
4.(2018·吉林白山市二模)已知函数f(x)=|x-m|-1.
(1)若不等式f(x)≤2的解集为{x|-1≤x≤5},求实数m的值;
(2)在(1)的条件下,若f(x)+f(x+5)≥t-2对一切实数x恒成立,求实数t的取值范围.
解:(1)由f(x)≤2得,|x-m|≤3,
解得m-3≤x≤m+3.
又已知不等式f(x)≤2的解集为{x|-1≤x≤5},
m=2.
(2)当m=2时,f(x)=|x-2|-1.
由于f(x)+f(x+5)≥t-2对一切实数x恒成立,
则|x-2|+|x+3|-2≥t-2对一切实数x恒成立,
即|x-2|+|x+3|≥t对一切实数x恒成立.
设g(x)=|x-2|+|x+3|,
于是
所以当x<-3时,g(x)>5;当-3≤x≤2时,g(x)=5;当x>2时,g(x)>5. 综上可得,g(x)的最小值为5,所以t≤5,即t的取值范围为(-∞,5].。