2019-2020年高中数学 11.导数在实际生活中的应用导学案
高中数学第一章导数及其应用导数在实际生活中的应用教案苏教版选修
x x x x 6060导数在实际生活中的应用【教学目标】1. 进一步熟练函数的最大值与最小值的求法；⒉ 初步会解有关函数最大值、最小值的实际问题.【教学重点、难点】解有关函数（如边际函数、边际成本）最大值、最小值的实际问题．【教学过程】一、复习引入：导数在实际生活中有着广泛的应用，例如，用料最省、利润最大、效率最高等最优解问题，常常可以归结为函数的最值问题，从而可用导数来解决.利用导数求函数的最值步骤:（1）求)(x f 在(,)a b 内的极值；（2）将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[,]a b 上的最值.二、例题分析：例1、在边长为60cm 的正方形铁片的四角切去相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，当箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？例2、圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？b变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S 时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使其容积有最大值？例3、一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在确定断面尺寸时，希望在断面ABCD 的面积为定值S 时，使得湿周CD BC AB l ++=最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高h 和下底边长b .例4、已知电源的内阻为r ，电动势为E ，当外电阻R 多大时，才能使电功率最大？最大电功率是多少？例5、强度分别为a ，b 的两个光源A ，B 间的距离为d ，试问：在连结两光源的线段AB 上，何处照度最小？试就a =8，b =1，d =3时回答上述问题.（照度与光的强度成正比，与光源距离的平方成反比）例6、在经济学中，生产x 单位产品的成本称为成本函数，记为()C x ，出售x 单位产品的收益称为收益函数，记为()R x ，()()R x C x -称为利润函数，记为()P x ，（1）如果632()100.00351000C x x x x -=-++，那么生产多少单位产品时，边际)(x C '最低？(边际成本：生产规模增加一个单位时成本的增加量)（2）如果()501000C x x =+，产品的单价()1000.01p x x =-，那么怎样定价可使利润最大？三、课堂小结（1）解有关函数最大值、最小值的实际问题，需要分析问题中各个变量之间的关系，找出适当的函数关系式，并确定函数的定义区间；所得结果要符合问题的实际意义．（2）根据问题的实际意义来判断函数最值时，如果函数在此区间上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最值，不必再与端点值比较．（3）相当多有关最值的实际问题用导数方法解决较简单四、课后作业。
2019-2020年高考数学 导数及其应用导学案 新人教版
2019-2020年高考数学 导数及其应用导学案 新人教版一、考纲解读（1）了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）；（2）了解函数在某点取得极值域的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）。
（3）会利用导数解决某些实际问题。
二、知识梳理1、函数的单调性与导数在某个区间（a,b ）内，如果，那么函数在这个区间内_______________；如果，那么函数在这个区间内_____________。
如果，那么函数在这个区间上是__________。
注：函数在（a,b ）内单调递增，则，是在（a,b ）内单调递增的充分不必要条件。
2、函数的极值与导数（1）曲线在极值点处切线的斜率为0，并且，曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正．一般地，当函数 f(x) 在点 x 0 处连续时，判断 f(x 0) 是极大（小）值的方法是：（1）如果在 x 0附近的左侧 f’(x)>0 ，右侧f’(x ) <0 ，那么 f(x 0) 是_________（2）如果在x 0附近的左侧 f’(x) <0 ，右侧f’(x) >0 ，那么f(x 0) 是________注：导数为0的点不一定是极值点3、函数的最值与导数函数f(x)在[a,b]上有最值的条件，如果在区间[a,b]上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有_________________________。
4、生活中的优化问题解决优化问题的基本思路是:优化问题用函数表示的数学问题用导数解决函数问题优化问题答案三、典例精析典例一、函数的单调性与导数例1．设函数f(x)= 3223(1)1, 1.x a x a --+≥其中（Ⅰ）求f(x)的单调区间；（Ⅱ）讨论f(x)的极值。
2019-2020学年高中数学第3章《导数及其应用》导数在实际生活中的应用导学案1苏教版选修1-1
2019-2020学年苏教版数学精品资料高中数学第3章《导数及其应用》导数在实际生活中的应用导学案苏教版选修1-1学习目标1.通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题,体会导数在解决实际问题中的作用.2.在解决具体问题的过程中,体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性.课前预学：问题1:一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.只要利用导数求出函数y=f(x)的所有,再求出端点的函数值,进行比较,就可以得出函数的最大值和最小值.问题2:生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为问题.导数是求函数最大(小)值的有力工具,可以运用导数解决一些生活中的优化问题.问题3:利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各个量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x);(2)求函数的,解方程f'(x)=0;(3)比较函数在区间端点和点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值.问题4:解决生活中的优化问题应当注意的问题确定函数关系式中自变量的区间,一定要考虑实际问题的意义,不符合实际问题的值应舍去.课堂探究：一．利润最大问题某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y=错误！未找到引用源。
+10(x-6)2,其中3<x<6,a为常数.已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克.(1)求a的值;(2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售量价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.三．成本最低问题：如图,某工厂拟建一座平面图为矩形,且面积为200平方米的三级污水处理池,由于地形限制,长、宽都不能超过16米.如果池四周壁建造单价为每米400元,中间两条隔墙建造单价为每米248元,池底建造单价为每平方米80元,无盖.(1)写出总造价y(元)与污水处理池的长x(米)的函数关系式,并指出其定义域;(2)污水处理池的长和宽各为多少时,污水处理池的总造价最低?并求出最低总造价.。
2019-2020学年高中数学 导数在实际生活中的应用2教案 苏教版选修1-1.doc
2019-2020学年高中数学导数在实际生活中的应用2教案苏教版选修1-1教学目标1.通过生活中优化问题的学习，体会导数在解决设计问题中的作用2.通过对实际问题的研究，促进学生分析问题，解决问题的能力重点难点重点：如何建立数学模型来解决实际问题难点：如何建立数学模型来解决实际问题教学过程一.基础知识梳理：1解决实际应用问题时，要把问题中所涉及的几个变量转化函数关系式，这需要通过分析，联想，抽象和转化完成，函数的最值要由极值和端点的函数值确定，当定义域是开区间且函数只有一个极值时，这个极值就是它的最值。
2.实际应用问题的解题程序：○1读题○2建模○3求解○4反馈二、讲解范例：例1：.把长60cm的铁丝围成矩形，当长，宽各为多少时，矩形面积最大？例2：用长为14.8的钢条制作弄个长方体容器的框架，如果所制容器的一边长为0.5，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大值例3在经济学中，生产x 单位产品的成本称为成本函数同，记为C(x)，出售x 单位产品的收益称为收益函数，记为R(x)，R(x)－C(x)称为利润函数，记为P(x)。
（1）、如果C(x)＝10005003.010236++--x x x ，那么生产多少单位产品时，边际)(x C '最低？(边际成本：生产规模增加一个单位时成本的增加量)（2）、如果C(x)=50x ＋10000，产品的单价P ＝100－0.01x ，那么怎样定价，可使利润最大？变式：已知某商品生产成本C 与产量q 的函数关系式为C =100+4q ，价格p 与产量q 的函数关系式为q p 8125-=．求产量q 为何值时，利润L 最大？ 分析：利润L 等于收入R 减去成本C ，而收入R 等于产量乘价格．由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润．解：收入211252588R q p q q q q ⎛⎫=⋅=-=- ⎪⎝⎭， 利润221125(1004)2110088L R C q q q q q ⎛⎫=-=---=-- ⎪⎝⎭(0100)q << 1214L q '=-+ 令0L '=，即12104q -+=，求得唯一的极值点84q = 答：产量为84时，利润L 最大五、课堂作业：1.有一边长分别为8与5的长方形，在各角剪去相同的小正方形，把四边折起作成一个无盖小盒，要使纸盒的容积最大，问剪去的小正方形的边长应为多少？解：（1）正方形边长为x ,则V =（8－2x )·(5－2x )x =2(2x 3－13x 2+20x )(0<x <25) V ′=4(3x 2－13x +10)(0<x <25),V ′=0得x =1 根据实际情况，小盒容积最大是存在的， ∴当x =1时，容积V 取最大值为18.课外作业课本90页3、4 教学反思。
2019-2020学年高中数学 1.4导数在实际生活中的应用学案苏教版选修2-1.doc
2019-2020学年高中数学 1.4导数在实际生活中的应用学案苏教版选修2-11．预习目标通过生活中优化问题的学习，体会导数在解决实际问题中的作用，促进学生全面认识数学的科学价值、应用价值和文化价值．2．预习提纲(1)回顾利用导数求函数最值的方法步骤；回顾将实际问题转化为数学问题的方法(2)阅读课本第35至第38页例题，思考以下问题：①利用导数解决实际问题中的最值的一般步骤： ②利用导数解决实际问题中的最值问题时应注意哪些问题?3．典型例题(1)面积、体积最值问题例1 用长为90cm ，宽为48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成(如图)，问该容器的高为多少时，容器的容积最大?最大容积是多少?分析： 就用容器的高x 作为自变量，建立一个关于高的目标函数，容器的底面是矩形，长宽分别为90－2x ，48－2x ．于是得出体积的函数，再用导数方法求解．解： 设容器的高为x ，容器的体积为V ，则V=(90－2x )(48－2x )x ，(0<x <24)=4x 3－276x 2＋4320x∵V′(x)=12 x 2－552x ＋4320由V′(x)=12 x 2－552x ＋4320=0得x 1=10，x 2=36．又V(0)=0，V(24)=0， 所以当x =10，V 有最大值V(10)=1960(cm 3) ．答：该容器的高为10时，容器的容积最大，最大容积是1960 cm 3．点评： 解决实际问题的关键在于构造目标函数和建立数学模型，把“问题情境”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系抽象成数学问题，在数学领域里寻找适当的方法解决，再返回到实际问题中加以说明．同时注意与实际问题有关的函数的定义域，除实际生活中主要是解决最优化的问题，建立函数模了使解析式有意义外，还要注意到它的实际意义．例2 已知矩形的两个顶点位于x 轴上，另两个顶点位于抛物线y＝4－x 2在x 轴上方的曲线上，求这种矩形中面积最大者的边长．分析： 如图所示，设出AD 的长，进而求出AB 表示出面积S ，然后利用导数求最值．解： 设位于抛物线上的矩形的一个顶点为(x ，y )，且x >0，y >0，则另一个在抛物线上的顶点为(－x ，y )，在x 轴上的两个顶点为(－x ，0)、(x ，0)，其中0< x <2．设矩形的面积为S ，则S ＝2 x (4－x 2)，0< x <2．由S ′(x )＝8－6 x 2＝0，得x ＝332或x ＝－332(舍)， 当0<x <332时，S ′(x )>0；当332<x <2时，S ′(x )<0， 所以当x ＝332是S 在(0，2)上的极值点，即是最大值点， 所以这种矩形中面积最大者的边长为334和38． 点评： 应用题求解，要正确写出目标函数并明确题意所给的变量制约条件，本题的关键是利用抛物线的方程，求出矩形的另一边长．(2)费用最省问题例3 统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (升)关于行驶速度x (千米/小时)的函数解析式可以表示为：3138(0120).12800080y x x x =-+<≤已知甲、乙两地相距100千米．(1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升?(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?分析： 根据距离比速度等于时间，求出全程所用时间，根据单位时间内的耗油量与全程时间的积等于全程耗油量，列出目标函数，转化为利用导数求函数的最小值．解：(1)当40x =时，汽车从甲地到乙地行驶了100 2.540=小时，要耗没313(40408) 2.517.512800080⨯-⨯+⨯=(升)． 答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17．5升． (2)当速度为x 千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了100x 小时，设耗油量为()h x 升，依题意得3213100180015()(8).(0120),1280008012804h x x x x x x x =-+=+-<≤ 332280080()(0120).640640x x h x x x x-'=-=<≤令()0,h x '=得80.x =当(0,80)x ∈时，()0,()h x h x '<是减函数；当(80,120)x ∈时，()0,()h x h x '>是增函数．∴当80x =时，()h x 取到极小值(80)11.25.h = 因为()h x 在(0,120]上只有一个极值，所以它是最小值．答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少为11．25升． 点评： 本题(1)是(2)的铺垫，本题(2)是导数完成的应用性问题，对于这类问题，学生往往忽视了数学语言和普通语言的理解与转换，从而造成了解决应用问题的最大思维障碍，运算不过关，得不到正确的答案，对数学思想方法不理解或理解不透彻，则找不到正确的解题思路，在此还需要我们依据问题本身提供的信息，运用所谓的动态思维，去寻求有利于问题解决的变换途径和方法，并从中进行一番选择．例4 有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线海岸的岸边A 处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km 的B 处，乙厂到海岸的垂足D 与A 相距50 km ，两厂要在此岸边合建一个供水站C ，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a 元和5a 元，问供水站C 建在何处才能使水管费用最省?分析： 本题考查复合函数的导数及导数的应用．适当选定变元，借助图象寻找各条件间的联系，构造相应的函数关系式，建立数学模型，通过求导和其他方法求出最值．解：法一 根据题意，只有点C 在线段AD 上某一适当位置，才能使总的水管费用最省，设C 点距D 点x km ，则AC =(50－x ) km ．又∵BD =40 km ， ∴BC =222240+=+x CD BD ，又设总的水管费用为y 元，依题意，则y =3a (50－x )＋5a 2240+x (0<x <50)．y ′=－3a ＋22405+x ax，令y ′=0，解得x =30．在(0，50)上，y 只有一个极值点，根据实际问题的意义，函数在x =30(km)处取得最小值，此时AC =50－x =20(km)．∴供水站建在A 、D 之间距甲厂20 km 处，可使水管费用最省．法二 设∠BCD =θ，则BC =θsin 40， CD =40cot θ(0<θ<2π)， ∴AC =50－40cot θ．设总的水管费用为f (θ) ，依题意，有f (θ)=3a (50－40⋅cot θ)＋5a θsin 40⋅=150a ＋40a θθsin cos 35-， ∴f ′(θ)=40a θθθθθθθ22sin cos 5340sin )(sin )cos 35(sin )cos 35(-⋅='⋅--⋅'-⋅a ． 令f ′(θ)=0，得cos θ=53．①② ③ ④ ∵0<θ<2π， ∴0<cos θ<1，cos θ在(0，1)上只有一个极值点．根据问题的实际意义，当cos θ=53时，函数取得最小值，此时sin θ=54， ∴cot θ=43． ∴AC =50－40⋅cot θ=20(km) ， 即供水站建在A 、D 之间距甲厂20 km 处，可使水管费用最省．点评： 当要求的最大(小)值的变量y 与几个变量相关时，我们总是先设几个变量中的一个为x ，然后再根据条件x 来表示其他变量，并写出y 的函数表达式f (x )．另外本题的第一种解法中也可以用判别式法求出y 的最小值．而解法二中可以用数形结合的思想求解θθsin cos 35-的最小值，此式化为θθsin cos 353-⨯，对于θθsin cos 35-，视为动点(sin θ，cos θ)与定点(0，53)连成的斜率，利用圆的切线求解． (3)利润最大问题例5 已知某商品生产成本C 与产量q 的函数关系式为C=100＋4q ，价格p 与产量q 的函数关系式为p =25－18q ，求产量q 为何值时，利润L 最大．分析： 利润L 等于收入R 减去成本C ，而收入R 等于产量乘价格，由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润． 解：法一 收入211(25)2588R q p q q q q =⋅=-=-， 利润L=R －C=(21258q -)－(100＋4q ) =218q -＋21 q －100(0<q <200)， 则'L =14q -＋21，令'L =0，即14q -＋21=0，解得q =84． 0<q<84时，'L >0；当84<q <200时，'L <0，∴当q =84时，L 取得最大值．答：产量为84时，利润L 最大． 法二 (同法一)L=218q -＋21 q －100 =18-(2q －168 q ＋842)＋2848－100 =18-(q －84)2＋782， 所以当q =84时，L 取得最大值782．即产量为84时，利润L 最大．点评： 解决本题的关键是根据题意列出函数关系．解法一是利用导数求最值，而解法二是利用配方法求最值，比较这两种方法，解法一运算量比较小，且适用范围广，具有一般性，而解法二的运算量大一些，且仅适用于二次函数求最值．4．自我检测 (1)设正三棱柱的体积为V ，那么其表面积最小时底面边长为 ． (2)内接于半径为R 的半圆的周长最大的矩形的边长为 ．(3)一根长为了12cm 的细铁丝，将其围成一个正四棱柱框架，当正四棱柱框架的容积最大时，底边长为 ．(4)汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程看S 作时间t 的函数，其图像可能是 ．三、课后巩固练习A 组1．将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，当这个正六棱柱窗口的底面边长为 时，其容积最大．2．经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y (千辆/小时)与汽车的平均速度υ(千米/小时)之间的函数关系为：)0(160039202>++=υυυυy ． 若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在的范围是______________．3．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x =______吨．4． 把一个周长为12cm 的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱的底面周长与高的比为 ．5．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm ，要使其体积为最大，则高为 ．6．某种圆柱形饮料罐的容积V 一定，若使它的用料最省，则它的高与底半径分别为 ．7．将长为l 的铁丝剪成两段，各围成长与宽之比为2：1及3：2的矩形，那么这两个矩形面积和的最小值为 ．8． 的体积最大时的半径．9． 某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p 元，则销售量Q (单位：件)与零售价p (单元：元)有如下关系：Q =8300－170p －p 2．问该零售价定为多少时毛利润L 最大?并求最大毛利润．(毛利润=销售收入－进货支出)．B 组10．将边长为1m 正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记2(S =梯形的周长）梯形的面积,则S 的最小值是___________________． 11．半径为r 的圆的面积S (r )＝πr 2，周长C (r )=2πr ，若将r 看作(0，＋∞)上的变量，则(πr 2)`＝2πr ①，①式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R 的球，若将R 看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于①的式子： ②，②式可以用语言叙述为：________________________________．12． 如图，某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为,x y (单位：米)的矩形，上部是斜边长为x 的等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8平方米．(1)求,x y 的关系式，并求x 的取值范围； (2)问,x y 分别为多少时用料最省?13． 2008年奥运会在中国召开，某商场预计2008年从1月起前x 个月，顾客对某种奥运商品的需求总量p (x )件与月份x 的近似关系是)12,(),239)(1(21)(*≤∈-+=x N x x x x x p 且 该商品的进价q (x )元与月份x 的近似关系是)12,(,2150)(*≤∈+=x N x x x q 且．(1)写出今年第x 月的需求量f (x )件与月份x 的函数关系式；(2)该商品每件的售价为185元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，则此商场今年销售该商品的月利润预计最大是多少元?14．有甲、乙两城，甲城位于一直线形河岸，乙城离岸40千米，乙城到岸的垂足与甲城相距50千米，两城在此河边合设一水厂取水，从水厂到甲城和乙城的水管费用分别为每千米500元和700元，问水厂应设在河边的何处，才能使水管费用最省?15．已知一木材的横截面是直径为d 的圆，要把它加工成为最坚固的横截面是矩形的横梁应如何设计?(矩形横梁抗弯强度与其断面长的平方和宽的积成正比)．16． 用长为18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大?最大体积是多少?C 组17．如图，在等腰梯形ABCD 中，底CD=40，腰AD=40，问AB 为多少时，梯形ABCD 的面积最大?并求出最大面积．18．如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r ，短半轴长为r ，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB 是半椭圆的短轴，上底CD 的端点在椭圆上，记2CD x ，梯形面积为S ．(I)求面积S 以x 为自变量的函数式，并写出其定义域；(II)求面积S 的最大值．19．烟囱向周围地区散落烟尘而造成环境污染．已知A ，B 两座烟囱相距3km ，其中A 烟囱喷出的烟尘量是B 烟囱的8倍，经环境检测表明：落在地面某处的烟尘浓度与该处到烟囱的距离的平方成反比，而与烟囱喷出的烟尘量成正比(比例系数为k ， k >0)．若C 处在连接两烟囱的线段AB 上(不包括端点)，若C 处距A 烟囱x km ，C 处的烟尘浓度为y ．(1)写出y 关于x 的函数关系式；(2)是否存在这样的C 处，使该处的烟尘浓度最低?若存在，求出C 处到A 烟囱的距离；若不存在，请说明理由．20．请您设计一个帐篷．它下部的形状是高为1m 的正六棱 柱，上部的形状是侧棱长为3m 的正六棱锥(如右图所示)．试问当帐篷的顶点O 到底面中心1o 的距离为多少时，帐篷的体积最大?21．请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E 、F在AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=x cm(1)若广告商要求包装盒侧面积S （cm 2）最大，试问x应取何值？(2)若广告商要求包装盒容积V （cm 3）最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值。
2019-2020年高二数学导数的实际应用教案
2019-2020年高二数学导数的实际应用教案教学目标：掌握导数在解决实际问题中的应用 教学重点：掌握导数在解决实际问题中的应用． 教学过程 一、复习：利用导数求函数极值和最值的方法 二、引入新课例1在边长为60 cm 的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？ 解法一：设箱底边长为x cm ，则箱高cm ，得箱子容积 ．令 ＝0，解得 x=0（舍去），x=40， 并求得 V(40)=16 000由题意可知，当x 过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值 答：当x=40cm 时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm 3解法二：设箱高为x cm ，则箱底长为(60-2x )cm ，则得箱子容积 ．（后面同解法一，略）由题意可知，当x 过小或过大时箱子容积很小，所以最大值出现在极值点处． 事实上，可导函数、在各自的定义域中都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值例2圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？ 解：设圆柱的高为h ，底半径为R ，则表面积S=2πRh+2πR 2由V=πR 2h ，得，则S(R)= 2πR+ 2πR 2=+2πR 2令 +4πR=0 解得，R=，从而==2即 h=2R因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值 答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S 时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？ 提示：S =2+h =V (R )=R =3221)2(21R SR R R S ππ-=- )=0 R h R Rh R 222622=⇒+=πππ．例3已知某商品生产成本C 与产量q 的函数关系式为C =100+4q ，价格p 与产量q 的函数关系式为．求产量q 为何值时，利润L 最大？分析：利润L 等于收入R 减去成本C ，而收入R 等于产量乘价格．由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润． 解：收入211252588R q p q q q q ⎛⎫=⋅=-=- ⎪⎝⎭， 利润221125(1004)2110088L R C q q q q q ⎛⎫=-=---=-- ⎪⎝⎭令，即，求得唯一的极值点答：产量为84时，利润L 最大小结：本节课学习了导数在解决实际问题中的应用.2019-2020年高二数学导数的概念教案 上教版教学目标与要求：理解导数的概念并会运用概念求导数。
高中数学 11导数在实际生活中的应用导学案
导数在实际生活中的应用【学习任务】1．通过本课的教学，对学生进行函数思想和方法的培养．2．通过本课例题的分析与解答，培养学生的发散思维能力和逐步形成运用导数知识解决实际问题的能力．3．通过解决科技、经济、社会中的某些简单实际问题，体验导数求最大值与最小值的应用．【课前预习】1、挖一个半圆柱形的水池，其池面为圆柱的轴截面，若池面周长为定值2a，则水池的最大容积是【合作探究】例1在边长为60 cm的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？例2用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?例3某造船公司年最高造船量是20艘，已知造船x艘的产值为23R(x)3700x45x10x=+-（万元），成本函数为C(x)460x5000=+（万元）。
又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)f(x1)f(x)=+-。
求：⑴利润函数p(x)及边际利润数Mp(x)；⑵年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？例4某工厂拟建一座平面图（如图所示）为矩形且面积为200m2的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16m.如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元（池壁厚度忽略不计，且池无盖）. （1）写出总造价y（元）与污水处理池长x(m)的函数关系式，并指出其定义域;（2）求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价.【自我检测】1、图1，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器（图2）.当这个正六棱柱容器的底面边长为时，其容积最大.2、某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x（吨）与每吨产品的价格p（元/吨）之间的关系式为：21242005p x=-,且生产x吨的成本为50000200R x=+（元）。
苏教版高中数学选修导数在实际生活中的应用教案
1.4课 题：导数在实际生活中的应用教学目的：1. 进一步熟练函数的最大值与最小值的求法； ⒉初步会解有关函数最大值、最小值的实际问题 教学重点：解有关函数最大值、最小值的实际问题． 教学难点：解有关函数最大值、最小值的实际问题． 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入：1.极大值： 一般地，设函数f(x)在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x 0)，就说f(x 0)是函数f(x)的一个极大值，记作y 极大值=f(x 0)，x 0是极大值点2.极小值：一般地，设函数f(x)在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x 0).就说f(x 0)是函数f(x)的一个极小值，记作y 极小值=f(x 0)，x 0是极小值点3.极大值与极小值统称为极值4. 判别f (x 0)是极大、极小值的方法:若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值5. 求可导函数f (x )的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x ) (2)求方程f ′(x )=0的根(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f (x )在这个根处无极值6.函数的最大值和最小值:在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值．⑴在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值． ⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．⑶函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个7.利用导数求函数的最值步骤:⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值二、讲解范例：例1在边长为60 cm 的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？解法一：设箱底边长为x cm ，则箱高602xh -=cm ，得箱子容积260)(322x x h x x V -== )600(<<x ．23()602x V x x '=- )600(<<x令 23()602x V x x '=-＝0，解得 x=0（舍去），x=40，并求得 V(40)=16 000由题意可知，当x 过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值答：当x=40cm 时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm 3解法二：设箱高为x cm ，则箱底长为(60-2x )cm ，则得箱子容积x x x V 2)260()(-=)300(<<x ．（后面同解法一，略）由题意可知，当x 过小或过大时箱子容积很小，所以最大值出现在极值点处．事实上，可导函数260)(322x x h x x V -==、x x x V 2)260()(-=在各自的定义域中都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值例2圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？解：设圆柱的高为h ，底半径为R ，则表面积x60-2x 60-2x60-2xx60-2x6060_x_x_ 60_ 60xxS=2πRh+2πR 2由V=πR 2h ，得2Vh R π=，则 S(R)= 2πR 2V R π+ 2πR 2=2V R +2πR 2令 22()Vs R R'=-+4πR=0解得，R=32V π，从而h=2V R π=23()2VV ππ=34V π=23V π即 h=2R因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值 答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S 时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？提示：S =2Rh π+22R π⇒h =RR S ππ222-⇒V (R )=R R S ππ222-πR 2=3221)2(21R SR R R S ππ-=- )('R V )=026R S π=⇒ ⇒R h R Rh R 222622=⇒+=πππ．例3在经济学中，生产x 单位产品的成本称为成本函数同，记为C(x)，出售x 单位产品的收益称为收益函数，记为R(x)，R(x)－C(x)称为利润函数，记为P(x)。
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2019-2020年高中数学 11.导数在实际生活中的应用导学案
【学习任务】
1．通过本课的教学，对学生进行函数思想和方法的培养．
2．通过本课例题的分析与解答，培养学生的发散思维能力和逐步形成运用导数知识解决实际问题的能力．
3．通过解决科技、经济、社会中的某些简单实际问题，体验导数求最大值与最小值的应用．【课前预习】
1、挖一个半圆柱形的水池，其池面为圆柱的轴截面，若池面周长为定值2a，则水池的最大
容积是
【合作探究】
例1在边长为60 cm的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？
例2用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?
例3某造船公司年最高造船量是20艘，已知造船艘的产值为（万元），成本函数为（万元）。
又在经济学中，函数的边际函数定义为。
求：
⑴利润函数及边际利润数；
⑵年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？
例4某工厂拟建一座平面图（如图所示）为矩形且面积为200m2 的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16m.如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔
墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元（池壁厚度忽略不计，且池无盖）. （1）写出总造价y （元）与污水处理池长x (m)的函数关系式，并指出其定义域; （2）求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价.
【自我检测】
1、图1，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，
做成一个无盖的正六棱柱容器（图2）.当这个正六棱柱容器的底面边长为 时，其容积最大.
2、某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量（吨）与每吨产品的价格（元/吨）之间的关系式为：,且生产x 吨的成本为（元）。
问该产每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润=收入─成本）
3、一根水平放置的长方体形枕木的安全负荷与它的宽度a 成正比，与它的厚度
d 的平方成正比，与它的长度l 的平方成反比.
（1）将此枕木翻转90°（即宽度变为了厚度），枕木的安全负荷变大吗？为什么？
（2）现有一根横断面为半圆（半圆的半径为R ）的木材，用它来截取成长方形的枕木，其长度即为枕木规定的长度，问如何截取，可使安全负荷最大？
【课堂小结】
通过本课例题的分析与解答，培养学生的发散思维能力和逐步形成运用导数知识解决实际问题的能力．
2019-2020年高中数学 112集合间的基本关系教案 新人教A 版必修1
a d l
一. 教学目标:
1．知识与技能
(1)了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。
(2)理解子集.真子集的概念。
(3)能使用图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用.
二.教学重点.难点
重点：集合间的包含与相等关系，子集与其子集的概念.
难点：难点是属于关系与包含关系的区别．
三.教学思路
(—)创设情景，揭示课题
问题l ：实数有相等.大小关系，如5=5，5＜7，5＞3等等，类比实数之间的关系，你会想到集合之间有什么关系呢？
(二)研探新知
投影问题2：观察下面几个例子，你能发现两个集合间有什么关系了吗？
（1）{1,2,3},{1,2,3,4,5}A B ==；
(2)设A 为国兴中学高一(3)班男生的全体组成的集合，B 为这个班学生的全体组成的集合；
(3)设{|},{|};C x x D x x ==是两条边相等的三角形是等腰三角形
(4).
组织学生充分讨论.交流，使学生发现两个集合所含元素范围存在各种关系，从而类比得出两个集合之间的关系:
①一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为B 的子集.
记作：
读作：A 含于B(或B 包含A).
②如果两个集合所含的元素完全相同，那么我们称这两个集合相等.
教师引导学生类比表示集合间关系的符号与表示两个实数大小关系的等号之间有什么类似之处，强化学生对符号所表示意义的理解。
并指出：为了直观地表示集合间的关系，我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn 图。
如图l 和图2分别是表示问题2中实例1和实例3的Venn 图.
图1 图2
投影问题3：与实数中的结论“若”相类比，在集合中，你能得出什么结论? 教师引导学生通过类比，思考得出结论: 若,,A B B A A B ⊆⊆=且则.
问题4：请同学们举出几个具有包含关系.相等关系的集合实例，并用Venn 图表示. 学生主动发言，教师给予评价.
(三)学生自主学习，阅读理解
然后教师引导学生阅读教材第7页中的相关内容，并思考回答下例问题：
(1)集合A是集合B的真子集的含义是什么?什么叫空集?
(2)集合A是集合B的真子集与集合A是集合B的子集之间有什么区别?
(3)0，{0}与三者之间有什么关系?
(4)包含关系与属于关系正义有什么区别?试结合实例作出解释.
(5)空集是任何集合的子集吗?空集是任何集合的真子集吗?
(6)能否说任何一人集合是它本身的子集，即?
(7)对于集合A，B，C，D，如果AB，BC，那么集合A与C有什么关系?
(四)巩固深化，发展思维
1. 学生在教师的引导启发下完成下列两道例题：
例1．某工厂生产的产品在质量和长度上都合格时，该产品才合格。
若用A表示合格产品，B表示质量合格的产品的集合,C表示长度合格的产品的集合．则下列包含关系哪些成立？
⊆⊆⊆⊆
A B B A A C C A
,,,
试用Venn图表示这三个集合的关系。
例2 写出集合{0，1，2)的所有子集，并指出哪些是它的真子集.
(五)布置作业。