2017-2018年福建省福州市闽侯一中高三(上)期中数学试卷及参考答案(文科)

2017-2018学年福建省福州市闽侯一中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）1．（5分）已知集合A={x∈R|log（x﹣2）≥﹣1}，B={x∈R|≥1}，则A∩B=（）A．[﹣1，3）B．[﹣1，3]C．∅D．（2，3）2．（5分）已知=b+i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．33．（5分）方程ln（x+1）﹣=0，（x＞0）的根存在的大致区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，e） D．（3，4）4．（5分）函数y=1+x+的部分图象大致为（）A． B．C．D．5．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3a=2b，则的值为（）A．﹣ B．C．1 D．6．（5分）张苍是战国末期曾在荀子的门下学习，与李斯、韩非等人是同门师兄弟．他在《九章算术》卷中“盈不足”中有如下问题（改编）：“今有垣厚卅尺，两鼠对穿．小鼠日一尺，大鼠日八尺．小鼠日自倍，大鼠日自半，问几何日相逢？”其大意是：今有墙厚30尺，两只老鼠从墙的两边分别打洞穿墙．小老鼠第一天打1尺，以后每天加倍；大老鼠第一天打8尺，以后每天减半，问几天后两只老鼠相遇？（）A．2B．3 C．2 D．47．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．180 B．200 C．220 D．2408．（5分）已知sinα=﹣（α∈[，2π]），若=2，则tan（α+β）=（）A．B．C．﹣D．﹣9．（5分）已知定义域为R的函数y=f（x）在[0，7]上有1和6两个零点，且y=f （x+2）与y=f（x+7）都是偶函数，则y=f（x）在[0，2017]上的零点个数至少有（）个．A．403 B．807 C．806 D．40210．（5分）已知定义在R上的函数满足：f（x）=，且f（x+2）=f（x），g（x）=，则方程f（x）=g（x）在区间[﹣7，3]上的所有实数根之和为（）A．﹣9 B．﹣10 C．﹣11 D．﹣1211．（5分）已知命题p：∀x∈R，不等式ax2+2x+1＜0的解集为空集，命题q：f（x）=（2a﹣5）x在R上满足f′（x）＜0，若命题p∧¬q是真命题，则实数a的取值范围是（）A．[，3]B．[3，+∞）C．[2，3]D．[2，]∪[3，+∞）12．（5分）已知O是平面上一定点，动点P满足：=+λ（），λ∈[0，+∞），则P一定经过△ABC的（）A．重心B．内心C．垂心D．外心二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上．），y0）处的切线方程为y=2x+1，则13．（5分）曲线y=f（x）在点（x=．14．（5分）如果实数x、y满足，若直线y=k（x﹣1）将可行域分成面积相等的两部分，则实数k的值为．15．（5分）已知四面体S﹣ABC中，SA=SB=2，且SA⊥SB，BC=，AC=，则该四面体的外接球的表面积为．16．（5分）给出下列四个关于数列命题：（1）若{a n}是等差数列，则三点（10，）、（100，）、（110，）共线；（2）若{a n}是等比数列，则S m、S2m﹣S m、S3m﹣S2m（m∈N*）也是等比数列；（3）等比数列{a n}的前项n和为S n，若对任意的n∈N*，点（n，S n）均在函数的图象y=b x+r（b≠0，b≠1，b，r均为常数）上，则r的值为1．﹣a n}为数列{a n}的“差数列”，若a1=2，{a n}（4）对于数列{a n}，定义数列{a n+1的“差数列”的通项为2n，则数列{a n}的前n项和S n=2n+1﹣2其中正确命题的有．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知数列{a n}的首项为a1=1，且a n+1=2（a n+1）（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若，求数列的前n项和T n．18．（12分）△ABC中，D是BC边的中点，AB=3，AC=，AD=（1）求BC边的长；（2）求△ABC的面积．19．（12分）已知函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x﹣．（Ⅰ）求函数f（x）的对称轴方程；（Ⅱ）将函数f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，然后再向左平移个单位，得到函数g（x）的图象．若a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，a=2，c=4，且g（B）=0，求b的值．20．（12分）如图1，矩形ABCD中，AB=12，AD=6，E、F分别为CD、AB边上的点，且DE=3，BF=4，将△BCE沿BE折起至△PBE位置（如图2所示），连结AP、PF，其中．（Ⅰ）求证：PF⊥平面ABED；（Ⅱ）在线段PA上是否存在点Q使得FQ∥平面PBE？若存在，求出点Q的位置；若不存在，请说明理由．（Ⅲ）求点A到平面PBE的距离．21．（12分）已知函数f（x）=ax2﹣1﹣lnx，其中a∈R．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）≥x对x∈（1，+∞）成立，求实数a的取值范围．本题有（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为为参数），在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为．（1）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）设直线l与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P是圆C上任一点，求A，B 两点的极坐标和△PAB面积的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|x﹣b|的最小值为4．（1）求a+b的值；（2）求的最小值．2017-2018学年福建省福州市闽侯一中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）1．（5分）已知集合A={x∈R|log（x﹣2）≥﹣1}，B={x∈R|≥1}，则A∩B=（）A．[﹣1，3）B．[﹣1，3]C．∅D．（2，3）【解答】解：由A中不等式变形得：log（x﹣2）≥﹣1=log2，即0＜x﹣2＜2，解得2＜x＜4，∴A=（﹣2，4），由B中不等式变形得：≥1，即≥0，即（x+1）（x﹣3）≤0，且x﹣3≠0，解得﹣1≤x≤3，即B=[﹣1，3），则A∩B=（2，3），故选：D．2．（5分）已知=b+i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．3【解答】解：由得a+2i=bi﹣1，所以由复数相等的意义知a=﹣1，b=2，所以a+b=1另解：由得﹣ai+2=b+i（a，b∈R），则﹣a=1，b=2，a+b=1．故选：B．3．（5分）方程ln（x+1）﹣=0，（x＞0）的根存在的大致区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，e） D．（3，4）【解答】解：由题意设函数f（x）=ln（x+1）﹣，并且f（0）→﹣∞，f（1）=ln2﹣2＜0；f（2）=ln3﹣1＞0，f（e）=ln（e+1）﹣＞0，f（3）=ln4﹣＞0，f（4）=ln5﹣＞0，根据方程根的存在性定理可知，方程ln（x+1）﹣=0，（x＞0）的根存在的大致区间是（1，2）；故选：B．4．（5分）函数y=1+x+的部分图象大致为（）A． B．C．D．【解答】解：函数y=1+x+，可知：f（x）=x+是奇函数，所以函数的图象关于原点对称，则函数y=1+x+的图象关于（0，1）对称，当x→0+，f（x）＞0，排除A、C，当x=π时，y=1+π，排除B．故选：D．5．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3a=2b，则的值为（）A．﹣ B．C．1 D．【解答】解：∵3a=2b，∴b=，根据正弦定理可得===，故选：D．6．（5分）张苍是战国末期曾在荀子的门下学习，与李斯、韩非等人是同门师兄弟．他在《九章算术》卷中“盈不足”中有如下问题（改编）：“今有垣厚卅尺，两鼠对穿．小鼠日一尺，大鼠日八尺．小鼠日自倍，大鼠日自半，问几何日相逢？”其大意是：今有墙厚30尺，两只老鼠从墙的两边分别打洞穿墙．小老鼠第一天打1尺，以后每天加倍；大老鼠第一天打8尺，以后每天减半，问几天后两只老鼠相遇？（）A．2B．3 C．2 D．4【解答】解：根据题意，设大老鼠每天打洞的尺寸为数列{a n}，小老鼠每天打洞的尺寸为数列{b n}，设第n天后，两只老鼠相遇，又由小老鼠第一天打1尺，以后每天加倍；则数列{b n}为首项为1，公比为2的等比数列，大老鼠第一天打8尺，以后每天减半，数列{a n}为首项为8，公比为的等比数列，则有+≥30，（n∈N）解可得：n≥4，故选：D．7．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．180 B．200 C．220 D．240【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个横放的直四棱柱，高为10；其底面是一个等腰梯形，上下边分别为2，8，高为4．=2××（2+8）×4+2×5×10+2×10+8×10=240．∴S表面积故选：D．8．（5分）已知sinα=﹣（α∈[，2π]），若=2，则tan（α+β）=（）A．B．C．﹣D．﹣【解答】解：∵sinα=﹣（α∈[，2π]），∴cosα==，∴tanα==﹣，∵==sinα+cosα•tanβ═﹣+tanβ=2，∴tanβ=，则tan（α+β）===，故选：A．9．（5分）已知定义域为R的函数y=f（x）在[0，7]上有1和6两个零点，且y=f （x+2）与y=f（x+7）都是偶函数，则y=f（x）在[0，2017]上的零点个数至少有（）个．A．403 B．807 C．806 D．402【解答】解：∵y=f（x+2）与y=f（x+7）都是偶函数，f（x）关于x=2和x=7对称．∴f（x+2）=f（7+x），即5是函数f（x）的一个周期．∴定义域为R的函数y=f（x）在[0，7]上有1和6两个零点，可知3也是函数的零点，f（x）=0的根为5n+1或5n+3的形式．∴0≤5n+1≤2017，解得﹣0.2≤n≤403.2，共404个0≤5n+3≤2017，解得﹣0.6≤n≤402.8，共403个故函数y=f（x）在[0，2017]上的零点个数为807个，故选：B．10．（5分）已知定义在R上的函数满足：f（x）=，且f（x+2）=f（x），g（x）=，则方程f（x）=g（x）在区间[﹣7，3]上的所有实数根之和为（）A．﹣9 B．﹣10 C．﹣11 D．﹣12【解答】解：∵f（x）=，且f（x+2）=f（x），∴f（x﹣2）﹣2=又g（x）=，则g（x）=2，∴，当x≠2k﹣1，k∈Z时，上述两个函数都是关于（﹣2，2）对称，；由图象可得：方程f（x）=g（x）在区间[﹣7，3]上的实根有5个，x1满足﹣7＜x1＜﹣6，x2满足﹣5＜x2＜﹣4，x3=﹣3，x4满足0＜x4＜1，x2+x4=﹣4，x5满足2＜x5＜3，x1+x5=﹣4∴方程f（x）=g（x）在区间[﹣7，3]上的所有实根之和为﹣11．故选：C．11．（5分）已知命题p：∀x∈R，不等式ax2+2x+1＜0的解集为空集，命题q：f（x）=（2a﹣5）x在R上满足f′（x）＜0，若命题p∧¬q是真命题，则实数a的取值范围是（）A．[，3]B．[3，+∞）C．[2，3]D．[2，]∪[3，+∞）【解答】解：命题p：∀x∈R，不等式ax2+2x+1＜0的解集为空集，a=0时，不满足题意．a≠0，必须满足：，解得a≥2．命题q：f（x）=（2a﹣5）x在R上满足f′（x）＜0，可得函数f（x）在R上单调递减，∴0＜2a﹣5＜1，解得．若命题p∧¬q是真命题，∴p为真命题，q为假命题．∴．解得或a≥3．则实数a的取值范围是[3，+∞）∪．故选：D．12．（5分）已知O是平面上一定点，动点P满足：=+λ（），λ∈[0，+∞），则P一定经过△ABC的（）A．重心B．内心C．垂心D．外心【解答】解：根据正弦定理可得|AB|•sinB=|AC|•sinC，∵=﹣=λ（），∴•=λ（）•=λ（+）=λ（﹣+）=0，∴⊥，即点P在BC边的高上，即点P的轨迹经过△ABC的垂心．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上．），y0）处的切线方程为y=2x+1，则13．（5分）曲线y=f（x）在点（x=4．【解答】解：∵曲线y=f（x）在点（x0，y0）处的切线方程为y=2x+1，∴k=f′（x0）=2，∴=2=2f′（x 0）=2×2=4，故答案为：414．（5分）如果实数x、y满足，若直线y=k（x﹣1）将可行域分成面积相等的两部分，则实数k的值为﹣3．【解答】解：作出不等式组对应平面区如图（三角形ABC部分）：∵直线y=k（x﹣1）过定点C（1，0），∴C点也在平面区域ABC内，要使直线y=k（x﹣1）将可行域分成面积相等的两部分，则直线y=k（x﹣1）必过线段AB的中点D．由，解得，即B（1，4），由，解得，即A（﹣1，2），∴AB的中点D（），即D（0，3），将D的坐标代入直线y=k（x﹣1）得3=﹣k，解得k=﹣3，故答案为：﹣315．（5分）已知四面体S﹣ABC中，SA=SB=2，且SA⊥SB，BC=，AC=，则该四面体的外接球的表面积为8π．【解答】解：由于SA=SB=2，且SA⊥SB，BC=，AC=，则AB=SA=2，由AB2=AC2+BC2，则AC⊥BC，取AB的中点O，连接OS，OC，则OA=OB=OC=OS=，则该四面体的外接球的球心为O，则球的表面积为S=4πr2=4π×（）2=8π．故答案为：8π．16．（5分）给出下列四个关于数列命题：（1）若{a n}是等差数列，则三点（10，）、（100，）、（110，）共线；（2）若{a n}是等比数列，则S m、S2m﹣S m、S3m﹣S2m（m∈N*）也是等比数列；（3）等比数列{a n}的前项n和为S n，若对任意的n∈N*，点（n，S n）均在函数的图象y=b x+r（b≠0，b≠1，b，r均为常数）上，则r的值为1．﹣a n}为数列{a n}的“差数列”，若a1=2，{a n}（4）对于数列{a n}，定义数列{a n+1的“差数列”的通项为2n，则数列{a n}的前n项和S n=2n+1﹣2其中正确命题的有（1）（4）．【解答】解：（1）若{a n}是等差数列，则其前n项和为S n=An2+Bn，=An+B，则数列为等差数列，因此三点（10，）、（100，）、（110，）共线，正确；（2）若{a n}是等比数列，则S m、S2m﹣S m、S3m﹣S2m（m∈N*）也是等比数列，不正确，例如等比数列{（﹣1）n}，取m=2，则S2=0；（3）等比数列{a n}的前项n和为S n，若对任意的n∈N*，点（n，S n）均在函数的图象y=b x+r（b≠0，b≠1，b，r均为常数）上，∴S n=b n+r，n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=b n+r﹣（b n﹣1+r=b n﹣1（b﹣1）≠0．n=1时，a1=S1=b+r，对于上式也成立，则b+r=b﹣1，解得r=﹣1，因此不正确．﹣a n}为数列{a n}的“差数列”，若a1=2，{a n}（4）对于数列{a n}，定义数列{a n+1的“差数列”的通项为2n，则a n﹣a n=2n，则n≥2时，a n=2n﹣1+2n﹣2+…+2+2=+1+1=2n，n=1时也成立．数列{a n}的前n项和S n==2n+1﹣2，因此正确．其中正确命题的有（1）（4）．故答案为：（1）（4）．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知数列{a n}的首项为a1=1，且a n+1=2（a n+1）（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若，求数列的前n项和T n．【解答】解：（1）数列{a n}的首项为a1=1，且a n+1=2（a n+1）（n∈N*）．+2=2（a n+2），则：a n+1所以：{a n+2}是以3为首项，2为公比的等比数列．则：，解得：．（2）由于=n，则：=，所以：+…+，解得：．18．（12分）△ABC中，D是BC边的中点，AB=3，AC=，AD=（1）求BC边的长；（2）求△ABC的面积．【解答】解：（1）△ABC中，D是BC边的中点，AB=3，AC=，AD=设BC=2x，则：BD=CD=x，利用余弦定理得：①，②①+②得：22=2x2+14，解得：x=2．所以：BC=4．（2）由（1）得：，所以：sinB=．=3．19．（12分）已知函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x﹣．（Ⅰ）求函数f（x）的对称轴方程；（Ⅱ）将函数f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，然后再向左平移个单位，得到函数g（x）的图象．若a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，a=2，c=4，且g（B）=0，求b的值．【解答】解：（Ⅰ）函数=，令，解得，所以函数f（x）的对称轴方程为．（Ⅱ）函数f（x）的图象各点纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，再向左平移个单位，得到函数的图象，所以函数．又△ABC中，g（B）=0，所以，又，所以，则．由余弦定理可知，，所以．20．（12分）如图1，矩形ABCD中，AB=12，AD=6，E、F分别为CD、AB边上的点，且DE=3，BF=4，将△BCE沿BE折起至△PBE位置（如图2所示），连结AP、PF，其中．（Ⅰ）求证：PF⊥平面ABED；（Ⅱ）在线段PA上是否存在点Q使得FQ∥平面PBE？若存在，求出点Q的位置；若不存在，请说明理由．（Ⅲ）求点A到平面PBE的距离．【解答】（本题满分14分）解：（Ⅰ）连结EF，由翻折不变性可知，PB=BC=6，PE=CE=9，在△PBF中，PF2+BF2=20+16=36=PB2，所以PF⊥BF…（2分）在图1中，利用勾股定理，得，在△PEF中，EF2+PF2=61+20=81=PE2，∴PF⊥EF…（4分）又∵BF∩EF=F，BF⊂平面ABED，EF⊂平面ABED，∴PF⊥平面ABED．…（6分）（Ⅱ）当Q为PA的三等分点（靠近P）时，FQ∥平面PBE．证明如下：∵，，∴FQ∥BP…（8分）又∵FQ不包含于平面PBE，PB⊂平面PBE，∴FQ∥平面PBE．…（10分）（Ⅲ）由（Ⅰ）知PF⊥平面ABED，∴PF为三棱锥P﹣ABE的高．…（11分）设点A到平面PBE的距离为h，=V P﹣ABE，…（12分）由等体积法得V A﹣PBE即，又，，∴，即点A到平面PBE的距离为．…（14分）21．（12分）已知函数f（x）=ax2﹣1﹣lnx，其中a∈R．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）≥x对x∈（1，+∞）成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）=ax2﹣1﹣lnx的导数为f′（x）=2ax﹣=，当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）为减函数；当a＞0时，f′（x）=0可得x=，当0＜x＜时，f′（x）＜0；当x＞时，f′（x）＞0．可得f（x）在（0，）为减函数，在（，+∞）为增函数，综上可得，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）为减函数；当a＞0时，f（x）在（0，）为减函数，在（，+∞）为增函数；（2）f（x）≥x对x∈（1，+∞）成立，可得ax2≥1+x+lnx，当x＞1时，a≥++，令g（x）=++，g′（x）=﹣﹣+=，当x≥1时，﹣1﹣x﹣2lnx＜0，即g′（x）＜0，g（x）在[1，+∞）递减，可得a≥g（1）=2，则a的取值范围是[2，+∞）．本题有（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为为参数），在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为．（1）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）设直线l与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P是圆C上任一点，求A，B 两点的极坐标和△PAB面积的最小值．【解答】解：（1）由消去参数t，得（x+5）2+（y﹣3）2=2，所以圆C的普通方程为（x+5）2+（y﹣3）2=2．由，得ρcosθ﹣ρsinθ=﹣2，所以直线l的直角坐标方程为x﹣y+2=0；（2）直线l与x轴，y轴的交点为A（﹣2，0），B（0，2），化为极坐标为，设P点的坐标为，则P点到直线l的距离为，∴，又，所以△PAB 面积的最小值是．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|x﹣b|的最小值为4．（1）求a+b的值；（2）求的最小值．【解答】解：（1）因为|x+a|+|x﹣b|≥|x﹣b﹣x﹣a|=|﹣a﹣b|=|a+b|，所以f（x）≥|a+b|，当且仅当（x+a）（x﹣b）≤0时，等号成立，又a＞0，b＞0，所以|a+b|=a+b，所以f（x）的最小值为a+b，所以a+b=4．（2）由（1）知a+b=4，b=4﹣a，，当且仅当时，的最小值为．第21页（共21页）。