七年级下册证明题知识点

中线定理
1.三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线。

2.任何三角形都有三条中线，而且这三条中线都在三角形的内部，并交于一点
3.由定义可知，三角形的中线是一条线段。

4.由于三角形有三条边，所以一个三角形有三条中线。

且三条中线交于一点。

这点称为三角形的重心。

5.每条三角形中线分得的两个三角形面积相等。

角平分线定理
1.角平分线的定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。

2.三角形的角平分线定义：三角形顶点到其内角的角平分线交对边的点连的一条线段，叫三角形的角平分线。

【注】三角形的角平分线不是角的平分线，是线段。

角的平分线是射线。

3.拓展：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等！(即内心)
■定理1：在角平分线上的任意一点到这个角的两边距离相等。

■逆定理：在一个角的内部（包括顶点），且到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。

■定理2：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例，
如：在△ABC中，BD平分∠ABC，则AD：DC=AB：BC
注：定理2的逆命题也成立，
垂直平分线定理
经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）
1.垂直平分线垂直且平分其所在线段。

2.垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。

3.如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。

逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

4.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心（circumcenter），并且这一点到三个顶点的距离相等。

（此时以外心为圆心，外心到顶点的长度为半径，所作的圆为此三角形的外接圆。

）
编辑本段逆定理
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

如图：直线MN即为线段AB的垂直平分线。

注意：要证明一条线为一个线段的垂直平分线，应证明两个点到这条线段的距离相等且这两个点都在要求证的直线上才可以证明
通常来说，垂直平分线会与全等三角形来使用。

垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。

巧记方法：点到线段两端距离相等。

可以通过全等三角形证明。

内角和及外角定理：
三角形内角和定理：三角形的内角和等为180°
推论1 直角三角形的两个锐角互余
推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和
推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
三角形的内角和是外角和的一半。

三角形内角和等于三内角之和
注意：等量代换的运用
等腰三角形的性质：
1、三线合一 ( 等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线相互重合。

)
2、等角对等边（如果一个三角形，有两个内角相等，那么它一定有两条边相等。

）
3、等边对等角（在同一三角形中，如果两个角相等，即对应的边也相等。

）
等边三角形：
1.三线合一（三边都符合）
2.等腰三角形有一个角为60度则为等边三角形
3.等边等角
直角三角形：
如果一个三角形是直角三角形,那么这个三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

逆命题1：如果一个三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形，且这条边为直角三角形的斜边。

三角形全等证明：
一共有四种可注的理由：
1.公共边；
2.已知；
3.已证；
4.公共角；
在同一平面内能够完全重合（大小，形状都相等的三角形）的两个三角形称为全等三角形（congruent triangles），
当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。

(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边。

(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角。

(3)有公共边的，公共边一定是对应边。

(4)有公共角的，角一定是对应角。

(5)有对顶角的，对顶角一定是对应角。

全等三角形的变幻规律
判定
1．三边对应相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”)，这一条是三角形具有稳定性的原因。

2．两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简称SAS或“边角边”)。

3．两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(简称ASA或“角边角”)。

4．两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(简称AAS或“角角边”)。

5．直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(简称HL或“斜边，直角边”)。

SSS，SAS，ASA，AAS，HL均可作为判定三角形全等的定理。

2.。