2018年全国中考数学真题汇编：圆的有关性质

圆的有关性质一、选择题1．（2018•山东枣庄•3 分）如图，AB是⊙O的直径，弦 CD交 AB于点 P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，则 CD的长为（）A．B．2 C．2 D．8【分析】作 OH⊥CD于 H，连结 OC，如图，根据垂径定理由 OH⊥CD得到 HC=HD，再利用 AP=2，BP=6可计算出半径 OA=4，则 OP=OA﹣AP=2，接着在 Rt△OPH中根据含 30度的直角三角形的性质计算出 OH= OP=1，然后在 Rt△OHC中利用勾股定理计算出 CH= ，所以 CD=2CH=2 ．【解答】解：作 OH⊥CD于 H，连结 OC，如图，∵OH⊥CD，∴HC=HD，∵AP=2，BP=6，∴AB=8，∴OA=4，∴OP=OA﹣AP=2，在 Rt△OPH中，∵∠OPH=30°，∴∠POH=60°，∴OH= OP=1，在 Rt△OHC中，∵OC=4，OH=1，∴CH= = ，∴CD=2CH=2 ．故选：C．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理以及含 30度的直角三角形的性质．2．（2018•四川凉州•3 分）如图，⊙O 是△ABC的外接圆，已知∠ABO=50°，则∠ACB 的大小为（）A．40° B．30° C．45° D．50°【分析】首先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠AOB 的度数，再利用圆周角与圆心角的关系求出∠ACB 的度数．【解答】解：△AOB 中，OA=OB，∠ABO=50°，∴∠AOB=180°﹣2∠ABO=80°，∴∠ACB= ∠AOB=40°，故选：A．【点评】本题主要考查了圆周角定理的应用，涉及到的知识点还有：等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．3. （2018•山东菏泽•3分）如图，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC=32°，则∠OBA的度数是（）A．64° B．58° C．32° D．26°【考点】M5：圆周角定理；KD：全等三角形的判定与性质．【分析】根据垂径定理，可得= ，∠OEB=90°，根据圆周角定理，可得∠3，根据直角三角形的性质，可得答案．【解答】解：如图，由 OC⊥AB，得= ，∠OEB=90°．∴∠2=∠3．∵∠2=2∠1=2×32°=64°．∴∠3=64°，在 Rt△OBE中，∠OEB=90°，∴∠B=90°﹣∠3=90°﹣64°=26°，故选：D．【点评】本题考查了圆周角定理，利用垂径定理得出= ，∠OEB=90°是解题关键，又利用了圆周角定理．4. （2018•江苏盐城•3分）如图，为的直径，是的弦，，则的度数为（）A. B. C. D.7.【答案】C【考点】圆周角定理【解析】【解答】解：∵，∠ADC与∠B所对的弧相同，∴∠B=∠ADC=35°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB=90°-∠B=55°，故答案为：C【分析】由同弧所对的圆周角相等可知∠B=∠ADC=35°；而由圆周角的推论不难得知∠ACB=90°，则由∠CAB=90°-∠B即可求得。

5．（2018·湖北省宜昌·3分）如图，直线 AB是⊙O的切线，C为切点，OD∥AB交⊙O于点 D，点 E在⊙O 上，连接 OC，EC，ED，则∠CED的度数为（）A．30° B．35° C．40° D．45°【分析】由切线的性质知∠OCB=90°，再根据平行线的性质得∠COD=90°，最后由圆周角定理可得答案．【解答】解：∵直线 AB是⊙O的切线，C为切点，∴∠OCB=90°，∵OD∥AB，∴∠COD=90°，∴∠CED= ∠COD=45°，故选：D．【点评】本题主要考查切线的性质，解题的关键是掌握圆的切线垂直于经过切点的半径及圆周角定理．6．（2018·湖北省武汉·3分）如图，在⊙O中，点 C在优弧上，将弧沿 BC折叠后刚好经过 AB的中点 D．若⊙O的半径为，AB=4，则 BC的长是（）A．B．C．D．【分析】连接 OD、AC、DC、OB、OC，作 CE⊥AB 于 E，OF⊥CE 于 F，如图，利用垂径定理得到 OD⊥AB，则AD=BD= AB=2，于是根据勾股定理可计算出 OD=1，再利用折叠的性质可判断弧 AC和弧 CD所在的圆为等圆，则根据圆周角定理得到= ，所以 AC=DC，利用等腰三角形的性质得 AE=DE=1，接着证明四边形 ODEF 为正方形得到 OF=EF=1，然后计算出 CF后得到 CE=BE=3，于是得到 BC=3 ．【解答】解：连接 OD、AC、DC、OB、OC，作 CE⊥AB于 E，OF⊥CE于 F，如图，∵D为 AB的中点，∴OD⊥AB，∴AD=BD= AB=2，在 Rt△OBD中，OD= =1，∵将弧沿 BC折叠后刚好经过 AB的中点 D．∴弧 AC和弧 CD所在的圆为等圆，∴= ，∴AC=DC，∴AE=DE=1，易得四边形 ODEF为正方形，∴OF=EF=1，在 Rt△OCF中，CF= =2，∴CE=CF+EF=2+1=3，而 BE=BD+DE=2+1=3，∴BC=3 ．故选：B．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理和垂径定理．7.（2018·山东青岛·3分）如图，点 A、B、C、D在⊙O上，∠AOC=140°，点 B是的中点，则∠D的度数是（）A．70° B．55° C．35.5° D．35°【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOB= ∠AOC，再根据圆周角定理解答．【解答】解：连接 OB，∵点 B是的中点，∴∠AOB= ∠AOC=70°，由圆周角定理得，∠D= ∠AOB=35°，故选：D．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．8.（2018·山东威海·3分）如图，⊙O的半径为 5，AB为弦，点 C 为的中点，若∠ABC=30°，则弦 AB 的长为（）A．B．5 C．D．5【分析】连接 OC、OA，利用圆周角定理得出∠AOC=60°，再利用垂径定理得出 AB即可．【解答】解：连接 OC、OA，∵∠ABC=30°，∴∠AOC=60°，∵AB为弦，点 C为的中点，∴OC⊥AB，在 Rt△OAE中，AE= ，∴AB= ，故选：D．【点评】此题考查圆周角定理，关键是利用圆周角定理得出∠AOC=60°．9. （2018•甘肃白银，定西，武威•3分）如图，过点，，，点是轴下方上的一点，连接，，则的度数是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】连接 CD，根据圆周角定理可知∠OBD=∠OCD,根据锐角三角形函数即可求出∠OCD的度数.【解答】连接 CD，∵∠OBD与∠OCD是同弧所对的圆周角，∴∠OBD=∠OCD.∵∴故选 B.【点评】考查圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等是解题的关键.10. （2018·四川自贡·4分）如图，若△ABC内接于半径为 R的⊙O，且∠A=60°，连接 OB、OC，则边 BC的长为（）A．B．C．D．【分析】延长 BO交圆于 D，连接 CD，则∠BCD=90°，∠D=∠A=60°；又 BD=2R，根据锐角三角函数的定义得 BC= R．【解答】解：延长 BO交⊙O于 D，连接 CD，则∠BCD=90°，∠D=∠A=60°，∴∠CBD=30°，∵BD=2R，∴DC=R，∴BC= R，故选：D．【点评】此题综合运用了圆周角定理、直角三角形30°角的性质、勾股定理，注意：作直径构造直角三角形是解决本题的关键．11 （2018·台湾·分）如图，坐标平面上，A、B两点分别为圆 P与 x轴、y轴的交点，有一直线 L通过 P点且与 AB垂直，C点为 L与 y轴的交点．若 A、B、C的坐标分别为（a，0），（0，4），（0，﹣5），其中a＜0，则 a的值为何？（）A．﹣2 B．﹣2 C．﹣8 D．﹣7【分析】连接 AC，根据线段垂直平分线的性质得到 AC=BC，根据勾股定理求出 OA，得到答案．【解答】解：连接 AC，由题意得，BC=OB+OC=9，∵直线 L通过 P点且与 AB垂直，∴直线 L是线段 AB的垂直平分线，∴AC=BC=9，在 Rt△AOC中，AO= =2 ，∵a＜0，∴a=﹣2 ，故选：A．【点评】本题考查的是垂径定理、坐标与图形的性质以及勾股定理，掌握垂径定理的推论是解题的关键．12．（2018·浙江临安·3 分）如图，⊙O 的半径 OA=6，以 A 为圆心，OA 为半径的弧交⊙O 于 B、C 点，则BC=（）A．B．C．D．【考点】垂径定理和勾股定理【分析】根据垂径定理先求 BC一半的长，再求 BC的长．【解答】解：设 OA与 BC相交于 D点．∵AB=OA=OB=6∴△OAB是等边三角形．又根据垂径定理可得，OA平分 BC，利用勾股定理可得 BD= =3所以 BC=6 ．故选：A．【点评】本题的关键是利用垂径定理和勾股定理．13.（2018·浙江衢州·3分）如图，点 A，B，C在⊙O上，∠ACB=35°，则∠AOB的度数是（）A．75° B．70° C．65° D．35°【考点】圆周角定理【分析】直接根据圆周角定理求解．【解答】解：∵∠ACB=35°，∴∠AOB=2∠ACB=70°．故选 B．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．14 （2018·浙江衢州·3分）如图，AC是⊙O的直径，弦 BD⊥AO于 E，连接 BC，过点 O作 OF⊥BC于 F，若 BD=8cm，AE=2cm，则 OF的长度是（）A．3cm B．cm C．2.5cm D．cm【考点】垂径定理【分析】根据垂径定理得出 OE的长，进而利用勾股定理得出 BC的长，再利用相似三角形的判定和性质解答即可．【解答】解：连接 OB，∵AC是⊙O的直径，弦 BD⊥AO于 E，BD=8cm，AE=2cm．在 Rt△OEB中，OE2+BE2=OB2，即 OE2+42=（OE+2）2解得：OE=3，∴OB=3+2=5，∴EC=5+3=8．在 Rt△EBC中，BC= ．∵OF⊥BC，∴∠OFC=∠CEB=90°．∵∠C=∠C，∴△OFC∽△BEC，∴，即，解得：OF= ．故选 D．【点评】本题考查了垂径定理，关键是根据垂径定理得出OE的长．15. （2018·广东深圳·3 分）如图，一把直尺，的直角三角板和光盘如图摆放，为角与直尺交点，,则光盘的直径是( )A.3B.C.D.【答案】D【考点】切线的性质，锐角三角函数的定义，切线长定理【解析】【解答】解：设光盘切直角三角形斜边于点 C ，连接OC 、 OB 、 OA （如图）,∵∠DAC=60°,∴∠BAC=120°.又∵AB、AC为圆O的切线，∴AC=AB，∠BAO=∠CAO=60°,在Rt△AOB中，∵AB=3,∴tan∠BAO= ,∴OB=AB×tan∠60°=3 ，∴光盘的直径为6 .故答案为：D.【分析】设光盘切直角三角形斜边于点 C，连接 OC、OB、OA（如图）,根据邻补角定义得∠BAC=120°，又由切线长定理 AC=AB，∠BAO=∠CAO=60°；在 Rt△AOB中，根据正切定义得 tan∠BAO= ,代入数值即可得半径 OB长，由直径是半径的 2倍即可得出答案.16.（2018·广东广州·3分）如图，AB是圆 O的弦，OC⊥AB，交圆 O于点 C，连接 OA，OB，BC，若∠ABC=20°，则∠AOB的度数是（）A.40°B.50°C.70°D.80°【答案】D【考点】垂径定理，圆周角定理【解析】【解答】解：∵∠ABC=20°,∴∠AOC=40°,又∵OC⊥AB，∴OC平分∠AOB，∴∠AOB=2∠AOC=80°.故答案为：D.【分析】根据同弧所对的圆心角等于圆周角的两倍得∠AOC度数，再由垂径定理得 OC平分∠AOB，由角平分线定义得∠AOB=2∠AOC.17．（2018年四川省南充市）如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上的一点，∠OAC=32°，则∠B的度数是（）A．58° B．60° C．64° D．68°【考点】M5：圆周角定理．【分析】根据半径相等，得出 OC=OA，进而得出∠C=32°，利用直径和圆周角定理解答即可．【解答】解：∵OA=OC，∴∠C=∠OAC=32°，∵BC 是直径，∴∠B=90°﹣32°=58°，故选：A ．【点评】此题考查了圆周角的性质与等腰三角形的性质．此题比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用．二.填空题1. （2018·广东·3分）同圆中，已知弧 AB 所对的圆心角是 100°，则弧 AB 所对的圆周角是 50° ．【分析】直接利用圆周角定理求解．【解答】解：弧 AB 所对的圆心角是 100°，则弧 AB 所对的圆周角为 50°．故答案为 50°．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．2. （2018·广东·3分）如图，矩形 ABCD 中，BC=4，CD=2，以 AD 为直径的半圆 O 与 BC 相切于点 E ，连接BD ，则阴影部分的面积为 π ．（结果保留 π ）【分析】连接 OE ，如图，利用切线的性质得 OD=2，OE ⊥BC ，易得四边形 OECD 为正方形，先利用扇形面积公式，利用 S 正方形 OECD ﹣S 扇形 EOD 计算由弧 DE 、线段 EC 、CD 所围成的面积，然后利用三角形的面积减去刚才计算的面积即可得到阴影部分的面积．【解答】解：连接 OE ，如图，∵以 AD 为直径的半圆 O 与 BC 相切于点 E ，∴OD=2，OE ⊥BC ，易得四边形 OECD 为正方形，∴由弧 DE 、线段 EC 、CD 所围成的面积=S 正方形 OECD ﹣S扇形 EOD =22﹣ =4﹣π ，∴阴影部分的面积= ×2×4﹣（4﹣π ）=π ．故答案为 π ．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了矩形的性质和扇形的面积公式．3.（2018•湖北黄冈•3 分）如图，△ABC 内接于⊙O，AB 为⊙O 的直径，∠CAB=60°，弦 AD 平分∠CAB，若AD=6，则 AC=___________.（第 11题图）【考点】圆，角平分线，30°角所对的直角边等于的一半，勾股定理.【分析】连结 BD，根据 30°角所对的直角边等于的一半，易得出BD=AC=12AB；再通过勾股定理可求得AB的长，从而得出 AC的长。