04Hermite插值算法分析和算法的改进
hermitage插值法
hermitage插值法【实用版】目录1.概述 Hermite 插值法2.Hermite 插值法的基本原理3.Hermite 插值法的应用实例4.Hermite 插值法的优点与局限性正文1.概述 Hermite 插值法Hermite 插值法是一种基于分段多项式的插值方法，用于在给定区间内对已知数据点进行插值。
它是一种三次样条插值法，可以提供比其他低阶插值方法更精确的结果。
Hermite 插值法的名称来自于法国数学家Charles Hermite，他在 19 世纪末开发了这种方法。
2.Hermite 插值法的基本原理Hermite 插值法的基本思想是使用一个三次多项式来表示给定数据点之间的函数。
该多项式可以写成：f(x) = a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3其中，a0、a1、a2 和 a3 是待定系数，需要通过给定的数据点来确定。
为了找到这些系数，Hermite 插值法使用了三个约束条件：（1）插值多项式在区间的端点处取到给定的函数值，即：f(x0) = a0 + a1x0 + a2x0^2 + a3x0^3 = y0f(x1) = a0 + a1x1 + a2x1^2 + a3x1^3 = y1（2）插值多项式在区间的中点处取到区间的平均值，即：f((x0 + x1) / 2) = (f(x0) + f(x1)) / 2（3）插值多项式的一阶导数在区间的中点处等于给定函数在该点的导数值，即：f"(((x0 + x1) / 2)) = (f"(x1) - f"(x0)) / (x1 - x0)通过解这组线性方程组，可以得到插值多项式的系数 a0、a1、a2 和a3。
一旦得到这些系数，就可以用插值多项式来近似表示给定函数在给定区间内的行为。
3.Hermite 插值法的应用实例Hermite 插值法广泛应用于数值分析、工程计算和计算机图形学等领域。
例如，在计算机图形学中，Hermite 插值法可以用来在给定控制点之间生成平滑的贝塞尔曲线。
课程设计---Hermite 插值法的程序设计及应用
课程设计说明书题目：Hermite 插值法的程序设计及应用学生姓名：学院：班级：指导教师：2012年 1月 5日摘要Hermite 插值是数值分析中的一个重要内容，在相同的节点下得到比拉格朗日插值更高次的插值多项式，而且，相应的曲线在部分节点处也更光滑.在我们所学课程中，只给出了当所有节点处一阶导数均已知时的Hermite 插值.但在实际应用中，并不是所有节点处的一阶导数都是已知的.为此，通过查阅文献、学习总结，给出了更具一般性的Hermite 插值公式.已有的Hermite 插值公式成为本文所得结果的一个特例.本次课程设计，对Hermite 插值法进行了总结,包括Hermit插值法的理论推导，不同情形下的例，以及在解决实际问题中的应用.同时也给出了Hermite插值公式的Matlab算法.关键词Hermite 插值；Matlab 实现；数值分析引言 (1)第一章 Hermite插值 (2)§1.1 Hermite插值的概念 (2)§1.2 Hermite插值简单情形 (3)§1.2.1简单情形解的存在性 (3)§1.2.2 简单情形解的存在唯一性 (5)§1.2.3插值余项 (5)§1.3 Hermite插值其他情形................................ . (5)第二章 Hermite插值的Matlab实现 (9)§2.1 导数完全情形Hermite插值的Matlab实现................... ..9 §2.2导数不完全情形Hermite插值的Matlab实现.. (10)§2.3 Hermite插值在实际问题中的应用 (13)参考文献 (15)附录A (16)附录B (17)附录C (19)在实际工作中, 人们得到的一些数据通常是一些不连续的点, 在土木工程、流体力学、经济学和空气动力学等学科中经常要遇到这样的问题. 此时, 这些数据如果不加以处理, 就难以发现其内在的规律性. 如果用户想得到这些分散点外的其他数值, 就必须运用这些已知的点进行插值.因此，对近似公式的构造产生了插值问题.在实际问题中，两个变量的关系)(x f y =经常要靠实验和观测来获得，而在通常的情况下只能得到)(x f 在有限个点上的值.,,1,0),(n i x f y i ==人们希望找到)(x f 的一个近似函数)(x y φ=，使得i i y x =)(φ，.,,1,0n i = ○1 此时，)(x f 称为被插值函数，点n i x x x ,,,0 称为插值结点，)(x φ称为插值函数，○1为插值条件. 常用的插值法有Lagrange 插值、Newton 插值、最近邻插值、Hermite 插值和三次样条插值插值法等. Lagrange 插值在向量X 区域内的插值较准确, 但向量X 区域之外则不太准确.Newton 插值仅适用于等距节点下的牛顿向前(后) 插值. 最近邻插值是最简便的插值, 在这种算法中, 每一个插值输出像素的值就是在输入图像中与其最临近的采样点的值, 当图像中包含像素之间灰度级变化的细微结构时, 最近邻插值法会在图像中产生人工的痕迹. 最近邻插值的特点是简单、快速, 缺点是误差较大; 三次样条插值一阶和二阶连续可导, 插值曲线光滑, 插值效果比较好, 应用较广Newton 插值和Lagrange 插值虽然构造比较简单,但都存在插值曲线在节点处有尖点、不光滑、插值多项式在节点处不可导等缺点.为了保证插值多项式)(x p n 能更好地逼近)(x f , 对)(x p n 增加一些约束条件, 例如要求)(x p n 在某些结点处与)(x f 的微商相等, 这样就产生了切触插值问题.切触插值即为Hermite 插值.它与被插函数一般有更高的密合度.本课程设计主要对Hermite 插值法进行总结，对其一般情况，特殊情况进行更进一步的学习，尽量实现其在Matlab 及C++上的程序运行.第一章 Hermite 插值实际问题中应用较广为Newton 插值和Lagrange 插值，虽然这辆种插值法构造比较简单, 但都存在插值曲线在节点处有尖点、不光滑、插值多项式在节点处不可导等缺点.为了克这些缺点，我们引入了Hermite 插值.§1.1 Hermite 插值的概念定义1.1 许多实际插值问题中，为使插值函数能更好地和原来的函数重合，不但要求二者在节点上函数值相等，而且还要求相切，对应的导数值也相等，甚至要求高阶导数也相等.这类插值称作切触插值，或埃尔米特(Hermite)插值.该定义给出了Hermite 插值的概念，由此得出Hermite 插值的几何意义，如图1.1.定义1.2 满足上述要求的插值多项式是埃尔米特插值多项式.记为H (x ). 定义1.3 求一个次数不大于1++r n 的代数多项式 H(x) ,满足:).(,,2,1),()(.,,2,1),()(n r r i x f x H n i x f x H i i i i ≤='='== （1-1） 则（1-1）为Hermite 插值条件.定义1.4 令 ),(22y x ),(33y x ),(44y x),(11y x),(00y x xy图1.1 Hermite 插值多项式的几何意义含义.)()()()()(00∑∑=='+=rk k k n k k k x f x x f x x H βα (1-2)其中，),,1,0)(x (),,1,0)((k n k n k x k ==βα和都是1++r n 次待定多项式并且它们满足如下条件：⎩⎨⎧=01)(i k x α k i k i ≠= .,,1,0,n k i = .,,1,0,,,1,0,0)('r i n k x i k ===α⎩⎨⎧='01)(i k x β k i k i ≠= .,,1,0,r k i = .,,1,0,,,1,0,0)(n i r k x i k ===β称（1-2）为Hermite 插值公式.解决Hermite 插值问题，就是在给定结点处函数值与导数值的基础上根据插值公式构造Hermite 插值多项式，并根据已知条件解出多项式系数.§1.2 Hermite 插值简单情形已知函数表： x0x 1x 2x … m x … n x )(x f0y 1y 2y … m y … n y )(x f ' 0'y 1'y 2'y … m y ' … n y '求一个插值多项式,使其满足条件数表.由于数表中包含22+n 个条件,所以能够确定次数不大于12+n 的代数多项式 )(12x H n +.此情形为导数个数与函数值个数相等的情形,即 Hermite 插值问题的最简单也是最常用情形.1.2.1简单情形解的存在性由于Hermite 插值公式（1-2）已给出，接下来只需构造出)(x k α及)(x k β，即认为其存在.在此简介Lagrange-Hermite 插值法构造插值多项式.Step1 构造)(x k α（n k ,,1,0 =）由条件)(0)(')(k i x x i k i k ≠==αα知),,,1,0(k i r i x i ≠= 是)(x k α的二重零点.已知Lagrange 插值基函数)(x l k 是n 次多项式，且具有性质⎩⎨⎧=≠==i k i k x l ki i k ,1,0)(δ， 则2n 次多项式[]2)(x k k 也具有性质[]ki i k x l δ=2)(，而[]2)(x l k 的一阶导数在)(k i x i ≠处的值[]()0)()(2)(2='='i k i k i k x l x l x l 所以当k i ≠时，i x 也都是[]2)(x k k的两重零点.注意到)(x h k 是12+n 次多项式，而[]2)(x l k 是n 2次多项式，因此可设),,2,1,0)(()()(2n k x l b ax x k k =+=α其中b a ,为待定常数.显然k i ≠时满足0)(')(==i k i k x x αα，现只要求出b a ,满足k i =时，满足0)(',1)(==k k k k x x αα即可.由此得到确定b a ,的两个方程：)(2)())(()(2)(1)()()()(22=+'=++'='=+=+=a x l x al b ax x l x l x b ax x l b ax x k k k k k k k k k k k k k k k k k αα解出 k k kk k x x l b x l a ⋅'+='-=)(21)(2 于是[])())((21)(2x l x x x l x k k k kk -'-=α. Step2 构造)(x k β ),,1,0(n k =由条件)(0)(')(k i x x i k i k ≠==ββ知),,,1,0(k i r i x i ≠= 是)(x k β的二重零点.因此可设)(x k β也含因子)(2x l k ，又0)(=k k x β，所以)(x k β还含有因式)(k x x -,因此设)()()(2x l x x A x k k k -=β，其中A 为待定常数.显然)(x k β是12+n 次多项式，且当k i ≠时满足0)(')(==i k i k x x αα，由,1)(='k kx β可确定A 如下： 1)()(2)()()(2=='⋅⋅-+='A x l x l x x A x Al x k kk k k k k k k β所以 )()()(2x l x x x k k k -=β.到此为止，Hermite 插值问题的解)(12x H n +为[],)()()())((21)(2020k k nk k k kn k k k k f x l x x f x l x x x l x H '-+-'-=∑∑== 特别地，当=n 1时，满足113003113003)(,)(,)(,)(y x H y x H y x H y x H '=''='==的三阶Hermite 插值多项式为+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎥⎦⎤⎢⎣⎡'-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=21010000103)(21)(x x x x y x x y x x x x x H 2010111101)(21⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎥⎦⎤⎢⎣⎡'-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+x x x x y x x y x x x x .§1.2.2 简单情形解的存在唯一性为了简便理解，下面用流程图来说明解的存在唯一性.详见附录A.§1.2.3 插值余项定理 1.1 设)(x f 在包含1+n 个插值结点的最小区间[b a ,]上22+n 次连续可微，则存在与x 有关的ξ，b a <<ξ，使得),()!22()()()(222x w n f x H x f n +=-+ξ 其中∏=-=n0j )()(j x x x w .由此可得到三阶Hermite 插值多项式的误差为：,)()(!4)()()()(212043x x x x f x H x f x R --=-=ξ ξ在0x 与1x 之间.§1.3 Hermite 插值其他情形已知函数表：x 0x1x … m x … n x y0y 1y … m y … n yy ' 0y ' 1y ' … m y '求一个插值多项式,使其满足条件数表.该问题中，导数个数与函数值个数不相等.我们称之为Hermite 插值中其他情形.在此简介Newton-Hermite 插值法构造插值多项式.先分析插值条件的个数：2++m n 个，那么，所构造的多项式的次数一般不能超1++m n .于是，按牛顿差值的思想，可设);())(()(),()()()(1011n n n m n x x x x x x x x x P x N x H ---=+=++ ωω其中，)(x N n 为n 次牛顿差值多项式;)(x P m 为待定的次数不超过m 次的多项式. 显然：n i x f x N x H i i n i ,,2,1,0),()()( ===为确定)(x P m ，对)(x H 求导：)()()()()()(11x x P x x P x N x H n m n m n++'+'+'='ωω 根据插值条件)()(i i x f x H '='，有)()()()()()()()()(111i n i m i ni n i m i n i m i n i x x P x N x x P x x P x N x H +++'+'='+'+'='ωωω 得到m i x x N x f x P i ni n i i m ,,2,1,0,)()()()(1 =''-'=+ω 于是，把求)(x P m 的问题转化为又一个插值问题已知)(x P m 的函数表 x1x 2x … m x )(x P m )(1x P m )(2x P m … )(m m x P确定一个次数不超过m 的插值多项式)(x L m ，使其满足)()(i m i m x P x L =. 根据牛顿差值公式.)())(](,,[)](,[)()(10000100----++-+=m m m m m m x x x x x x x x P x x x x P x P x P将上式带回，即得到满足条件;,,2,1,0),()(;,,2,1,0),()(m k x f x H n k x f x H k k k k ='='==的Newton-Hermite 插值多项式.例1.1 已知函数表： x 0x1x y 0y1y y ' 0'y求一个插值多项式H (x )，使其满足条件：),()(),()(),()(001100x f x H x f x H x f x H '='==该问题中，导数个数与函数值个数不相等.我们称之为Hermite 插值中其他情形.在此简介Newton-Hermite 插值法构造插值多项式.先由函数表xx 0 x 1 yy 0 y 1作线性插值，即为 []()01001,)()(x x x x f x f x P -+= 再注意到H (x )与P 1 (x )在节点x 0, x 1上函数值相同，即：11110010)()()()(y x P x H y x P x H ====于是，它们的差可以设为 ))(()()(101x x x x K x P x H --=-其中K 为待定常数，上式又可记为：))(()()(101x x x x K x P x H --+= (1-3)为确定K ,对上式求导：)()()(101x x x x K x P x H -+-+'='令x = x 0，代入上式，并且注意到插值条件00)(y x H '='得： []010*******)(,)()()(y x x K x x f x x K x P x H '=-+=-+'='于是有[]01010x x y x x f K -'--=将上式代入（1-3）得[]))(()()(10010101x x x x x x y x x f x P x H ---'--+=[][]))(()(,)(10010100100x x x x x x y x x f x x x x f x f ---'--+-+= (1-4)可以验证（1-4）所确定的H (x )确实满足插值条件（1-1）.同时也可以看到，构造牛顿——埃米尔特插值多项式，完全采用牛顿插值的构造思想.最后，也可以把（1-4）式整理成拉格朗日形式：1001112010001101010)()(y x x xx x x y xx x x y xx x x x x x x x x x H '-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----+-=插值余项为()()120)3(2!3)()(x x x x f X R --=ξ， ξ在0x 与1x 之间.第二章 Hermite 插值的Matlab 实现§2.1 导数完全情形Hermite 插值的Matlab 实现在实际应用中，应用最广也是最简单的Hermite 插值情形即为导数完全的情况下，Hermite 插值多项式的拟合.我们首先讨论该情形下的Matlab 程序.在给出程序之前，我们首先给出该公式所应用的Hermite 插值公式. 定理2.1 设在节点b x x x a n ≤<<≤≤ 21上，,)(,)(j j j j y x f y x f '='=,其中n j ≤≤1，则函数)(x f 在结点处n x x x ,,,21 处的Hermite 插值多项式为∑=+--=ni i i i i i i y y y a x x h x y 1])2)([()(其中 ∑∏≠=≠=-=--=nij j ji i nij j ji j i x x a x x x x h 1211;)(.该定理的证明详见文献.该情形下对应的Matlab 程序及流程图详见附录B . 为验证该程序的正确性与有效性，下面给出例2.1. 例2.1 设有如下数据表:x0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5)sin(x y = 0 0.4794 0.8145 0.9975 0.9093 0.5985 0.1411 -0.3508 )cos(x y =' 1 0.8776 0.5403 0.0707 -0.4161 -0.8011 -0.9900 -0.9365在Matlab 工作台输入如下命令：>> x0=[0,0.5,1,1.5,2,2.5,3,3.5];y0=[0,0.4794,0.8415,0.9975,0.9093,0.5985,0.1411,- 0.3508]; y1=[1,0.8776,0.5403,0.0707,-0.4161,-0.8011,-0.9900,-0.9365]; x=x0;y=hermite(x0,y0,y1,x); yplot(x,y) y2=sin(x); hold onplot(x,y2,'*r') 则输出结点处的插值：y =0 0.4794 0.8415 0.9975 0.9093 0.5985 0.1411 -0.3508)sin(x y =的Hermite 插值多项式的拟合图像如图：§2.2导数不完全情形Hermite 插值的Matlab 实现在实际应用中，并不是所有节点处的一阶导数都是已知的，为此，我们给出了更具一般性的Hermite 插值公式及其算法实现，已有的Hermite 插值公式成为本文所得结果的一个特例.在此首先给出求解Hermite 插值问题的一般性公式。
cubichermite4算法
cubichermite4算法Cubichermite4算法是一种用于计算Hermite插值曲线的算法。
Hermite插值是一种通过已知点的函数值和导数值来构造插值函数的方法,可以在提供平滑插值的同时，尽可能减小插值误差。
Cubichermite4算法是Hermite插值的一种具体实现算法，通过给定的点和导数来找到插值函数的系数，从而得到平滑的曲线。
Cubichermite4算法的基本思想是利用四个相邻点的函数值和导数来计算出一个二次多项式，然后将每个相邻的二次多项式连接起来，构成一个具有连续函数值和导数的三次样条函数。
给定一系列已知的点和单侧导数，我们可以根据这些点和导数来计算出每个分段的三次样条多项式的系数。
例如，对于第i段的三次多项式，我们可以通过以下公式计算系数：h(i) = x(i+1) - x(i) #第i段的宽度delta(i) = (y(i+1) - y(i)) / h(i) #第i段的斜率a(i) = h(i) / 6b(i) = h(i+1) / 6c(i) = (h(i) + h(i+1)) / 3d(i) = (delta(i+1) - delta(i)) / (h(i) + h(i+1))其中，x(i)和y(i)分别表示第i个点的横坐标和纵坐标。
接下来，我们可以根据以上计算出的系数，构造出每个分段上的三次多项式。
对于第i段的三次多项式，表示为Pi(x) = a(i) *(x(i+1) - x)^3 + b(i) * (x - x(i))^3 + c(i) * (x(i+1) - x) +d(i) * (x - x(i))，其中x(i) <= x <= x(i+1)。
将所有的三次多项式连接起来，构造出整个曲线。
对于给定的x 值，我们可以根据x所在的段，通过插值得到对应的y值。
Cubichermite4算法的主要优点是能够保证函数值和导数的连续性，从而可以得到平滑的插值曲线。
ch2-4Hermite插值
则Hermite插值多项式为：
H ( x ) hi ( x ) yi H i ( x ) y'i
i 0
n
Hermite插值多项式的构造
hi ( x )在x j ( j i )处的函数值与导数值均 为0，
故可设 : hi ( x ) [a b( x xi )] [l i ( x )]2
这里li(x)为拉格朗日插值基函数
把 hi ( xi ) 1 h'i ( xi ) 0 (i 0,1,, n) 代入得
hi ( xi ) b l ( xi ) 2[a b( x xi )]l i ( xi )l i ( xi ) a 1; b 2al i ( xi ) 0
2. Hermite插值的基本定理；
3. Hermite插值多项式的构造 4.分段三次Hermite插值； 5.一般插值问题。
对x x1 1有：h0 (1) 0, h1 (1) 1, H 0 (1) 0,
(0) 0可设 由条件h0 (0) 1, h0 (1) 0, h0 h0 ( x ) (ax b)( x 1)
(0) 0, 得b a 1 利用h0 (0) 1, h0 所以h0 ( x ) ( x 1)( x 1) 1 x
( x i ) y i ( i 0,1,2,...n) '( xi ) y
' i
( i 0,1,2,...n)
保持插值曲线在节点处有切线（光滑）， 使插值函数和被插函数的密和程度更好 。
二、 Hermite插值问题的提法
设函数f(x) 在区间[ a, b] 上有 n+1个互异节点 a=x0<x1<x2<……<xn=b , 定义在[a,b]上函数f(x) 在节点上满足: f(xi) = yi, f ' (xi)=y ' i, i=0,1,2……n 求一个次数不高于2n+1次的插值多项式H(x)
Hermite_插值法
, x0]
lim
xi x0
f [x0, x1,
,
xn ]
1 n!
f
(n) ( x0 )
重节点Newton插值
在 Newton 插值公式中，令 xi x0 , i = 1, … , n, 则
Nn( x) f ( x0 ) f [ x0 , x1]( x x0 )
f ( x0 ) f '( x0 )( x x0 )
( x1 x0 )( x1 x2 )
三点三次Hermite 插值
余项公式
由于 x0 , x1 , x2 是 R(x) 的零点，且 x1 是二重零点，故可设 R( x) f ( x) P( x) k( x)( x x0 )( x x1 )2 ( x x2 )
与 Lagrange 插值余项公式的推导过程类似，可得
x
x0
)
x x0
x1 x1
2
1(
x)
(
x
x1
)
x x1
x0 x0
两点三次Hermite 插值
满足插值条件
P(x0) = f(x0) = y0，P’(x0) = f’(x0) = m0 P(x1) = f(x1) = y1，P’(x1) = f’(x1) = m1
的三次 Hermite 插值多项式为
三点三次Hermite 插值
三点三次 Hermite 插值
插值节点：x0 , x1 , x2
插值条件：P(xi) = f(xi)，i = 0, 1, 2，P’(x1) = f’(x1) 设 P( x) f ( x0 ) f [x0, x1]( x x0 )
f [ x0, x1, x2]( x x0 )( x x1) A( x x0 )( x x1 )( x x2 ) 将 P’(x1) = f’(x1) 代入可得 A f '( x1 ) f [ x0 , x1] f [ x0, x1, x2]( x1 x0 )
基于降阶法的hermite插值多项式求解方法
基于降阶法的hermite插值多项式求解方法基于降阶法的Hermite插值多项式求解方法是一种数值分析方法，用于求解函数在给定点的值。
该方法的基本思想是将高阶多项式转化为低阶多项式，从而简化计算过程。
具体步骤如下：1. 定义插值点：选择一组已知的插值点 $(x_0, y_0), (x_1, y_1), \ldots, (x_n, y_n)$，其中 $x_0 < x_1 < \ldots < x_n$。
2. 构造降阶多项式：对于 $i = 0, 1, \ldots, n$，定义 $p_i(x) = (x - x_i)\cdot q_i(x)$，其中 $q_i(x)$ 是 $(n-1)$ 阶多项式。
3. 求解 $q_i(x)$：对于 $i = 0, 1, \ldots, n$，求解 $(n-1)$ 阶方程$q_i(x_j) = \delta_{ij}$，其中 $\delta_{ij}$ 是 Kronecker delta 函数。
4. 求解 $p_i(x)$：对于 $i = 0, 1, \ldots, n$，求解 $(n+1)$ 阶方程$p_i(x_j) = y_j$。
5. 计算插值多项式：最终的插值多项式为 $H(x) = \sum_{i=0}^{n} p_i(x)\cdot \varphi_i(x)$，其中 $\varphi_i(x) = \frac{(x - x_0)(x - x_1) \cdots (x - x_{i-1})(x - x_{i+1}) \cdots (x - x_n)}{(x_i - x_0)(x_i - x_1) \cdots (x_i - x_{i-1})(x_i - x_{i+1}) \cdots (x_i - x_n)}$。
通过以上步骤，可以求解出满足给定插值条件的 Hermite 插值多项式。
在实际应用中，可以根据具体问题选择合适的插值点，并利用该方法进行数值计算。
hermite插值法 python -回复
hermite插值法python -回复Hermite插值法是一种常用的数值方法，用于通过给定数据点的函数值和导数值，来构造一个通过这些点的插值函数。
这种插值方法非常重要，因为它可以用于近似复杂函数、在有限的数据点上进行多项式插值。
在本文中，我们将详细介绍Hermite插值法的原理、实现和应用。
我们将一步一步回答下面的问题，以帮助你理解这个主题：1. Hermite插值法的原理是什么？2. 如何实现Hermite插值法？3. Hermite插值法有哪些应用场景？首先，让我们来了解Hermite插值法的原理。
1. Hermite插值法的原理：Hermite插值法是将给定的数据点表示为n个插值多项式的线性组合。
每个插值多项式表示一个数据点的值和导数值。
通过将这些多项式相加，我们可以获得一个整体的插值函数。
具体来说，给定数据点(x0, y0, m0), (x1, y1, m1), ... , (xn, yn, mn)，其中yi是函数在xi处的函数值，mi是函数在xi处的导数值，我们需要构造一个插值函数f(x)。
插值函数f(x)可以通过以下步骤来计算：a. 计算插值多项式h0(x)、h1(x)、...、hn(x)，这些多项式与数据点的位置相对应。
b. 计算插值多项式的导数q0(x)、q1(x)、...、qn(x)，这些导数是通过给定函数值和导数值来确定的。
c. 计算插值多项式与导数的线性组合p0(x)f0(x) + p1(x)f1(x) + ... + pn(x)fn(x)，这里fi(x)是数据点(xi, yi)上的插值多项式。
最终，插值函数f(x)可以由上述线性组合得到。
2. 如何实现Hermite插值法：在Python中，可以使用NumPy库来实现Hermite插值法。
NumPy 提供了许多对数组和数值计算的支持，特别适用于数值插值。
下面是实现Hermite插值法的步骤：a. 导入NumPy库：import numpy as npb. 定义数据点的函数值和导数值：x = np.array([x0, x1, ..., xn])，y = np.array([y0, y1, ..., yn])，m = np.array([m0, m1, ..., mn])c. 定义插值多项式的导数：q = (y[1:] - y[:-1]) / (x[1:] - x[:-1])d. 定义插值多项式的系数：p = (q[1:] - q[:-1]) / (x[2:] - x[:-2])e. 定义插值多项式的值：f = np.poly1d([0])f. 循环计算插值多项式的值：for i in range(len(x)-1):f += np.poly1d([p[i], q[i], y[i]])(x) * ((x >= x[i]) & (x <=x[i+1]))g. 返回插值函数f(x)：return f上述代码实现了Hermite插值法，并返回了插值函数。
第三章 插值法 Hermite插值
, H3 ( xk1 ) yk1 , H'3 ( xk1 ) mk1
H3(x) 存在且唯一，表达式为
f '( x) mk
(5.8)
mk 1
H3 ( x) ykk ( x) yk1 k1( x) mk k ( x) mk1k1( x) (5.9)
其中
k ( x)
(1
2
x xk xk1 xk
则可令 j (x) A(x xj )(x x0)2(x x1)2 (x xj1)2(x xj1)2 (x xn )2
又由 j ( x j ) 1 ，则有 1 j ( xj ) A(xj x0)2(xj x1)2 ( xj xj1)2( xj xj1)2 (xj xn )2
lj
n1
xj)
i0
xj
xi
i j
(x x j )l
nx
(x)
x i 0
i j
j
)l
2 j
(
x
)；
2 j
(
x)；
xi xi
余项公式为:
R3( x)
f (x) H3(x)
f
(4) (
4!
)
(
x
xk
)2
(
x
xk 1
)2
x x0 x1 x2
例 已知 y f (x) 函数表及导数表 f ( x) y0 y1 y2
f ( x)
f1
求次数不超过3的多项式 P3 ( x) 使满足插值条件：
分析
P3 ( p'3
xi ) ( x1
yi ,(i ) f '1
0,1,2)
已知 ( x0 , y0 ), ( x1, y1 ), ( x2 , y2 ) 三点，由牛顿插值多项式，
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安徽工程科技学院2008届本科
毕业设计（论文）选题审批表
系别：应用数理系
课题名称
Hermite插值算法分析和算法的改进
课题类型
论文式课题
适用专业
数学与应用数学
指导教师
周金明
专业职务
助教
核批学生数
1
课题完成形式
论文形式
本课题性质、主要内容及意义：
实际问题中不但要求在节点上函数值相等，而且还要求它的导数值也相等（即要求在节点上具有一阶光滑度），甚至要求高阶导数也相等，满足这种要求的插值多项式就是埃尔米特（Her出改进的算法，具有一定的实用价值。
专业审查意见：
专业负责人（签字）：
年月日
系审查意见：
签章
年月日
备注：
说明：1、表中“课题类型”是指模拟课题、实践课题、科研、论文式课题，由指导教师按类填写。
2、本表用钢笔填写或用计算机打印，字迹须清晰。
3、本表须报教务处备案。教研室、系各留一份。