2017届中考数学一轮复习课后作业二次函数与其他函数方程关系

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2017中考数学复习----二次函数综合题

2017中考数学复习----二次函数综合题1．如图，在△ABC中，∠BAC=90，BC∥x轴，抛物线y=ax2﹣2ax+3经过△ABC的三个顶点，并且与x轴交于点D、E，点A为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）连接CD，在抛物线的对称轴上是否存在一点P使△PCD为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B 两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）在第三象限内、F为抛物线上一点，以A、E、F为顶点的三角形面积为4，求点F的坐标；（3）连接B、C，点P是线段，AB上一点，作PQ平行于x轴交线段BC于点Q，过P作PM ⊥x轴于M，过Q作QN⊥x轴于N，求矩形PQNM面积的最大值和P点的坐标．2．如图，抛物线y=x2+bx﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．（1）求抛物线的函数关系式及顶点D的坐标；（2）若点M是抛物线对称轴上的一个动点，求CM+AM的最小值．4．在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣x﹣2的顶点为点D，与直线y=kx在第一象限内交于点A，且点A的横坐标为4；直线OA与抛物线的对称轴交于点C．（1）求△AOD的面积；（2）若点F为线段OA上一点，过点F作EF∥CD交抛物线于点E，求线段EF的最大值及此时点E坐标；（3）如图2，点P为该抛物线在第四象限部分上一点，且∠POA=45°，求出点P的坐标．5．如图，已知抛物线L1：y1=x2，平移后经过点A（﹣1，0），B（4，0）得到抛物线L2，与y轴交于点C．（1）求抛物线L2的解析式；（2）判断△ABC的形状，并说明理由；（3）点P为抛物线L2上的动点，过点P作PD⊥x轴，与抛物线L1交于点D，是否存在PD=2OC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．7．如图，已知抛物线与x轴交于A （﹣4，0）和B（1，0）两点，与y轴交于C点．（1）求此抛物线的解析式；（2）若P为抛物线上A、C两点间的一个动点，过P作y轴的平行线，交AC于Q点，当P点运动到什么位置时，线段PQ的长最大，并求此时P点的坐标．6．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为P（1，﹣4），在x轴上截得的线段AB长为4个单位，OA＜OB，抛物线与y轴交于点C．（1）求这个函数解析式；（2）试确定以B、C、P为顶点的三角形的形状；（3）已知在对称轴上存在一点F使得△ACF周长最小，请写出F点的坐标．8．如图，抛物线y=﹣x2+ax+8（a≠0）于x轴从左到右交于点A，B于y轴交于点C于直线y=kx+b 交于点c和点D（m，5），tan∠DCO=1。

2017年中考数学备考专题复习二次函数的应用含解析

二次函数的应用一、单选题（共12题；共24分）1、（2016•天津）已知二次函数y=（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（）A、1或﹣5B、﹣1或5C、1或﹣3D、1或32、（2016•滨州）在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移3个单位长度，然后绕原点选择180°得到抛物线y=x2+5x+6，则原抛物线的解析式是（）A、y=﹣（x﹣）2﹣B、y=﹣（x+ ）2﹣C、y=﹣（x﹣）2﹣D、y=﹣（x+ ）2+3、（2016•宁波）已知函数y=ax2﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（）A、当a=1时，函数图象过点（﹣1，1）B、当a=﹣2时，函数图象与x轴没有交点C、若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小D、若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大4、（2016•黄石）以x为自变量的二次函数y=x2﹣2（b﹣2）x+b2﹣1的图象不经过第三象限，则实数b的取值范围是（）A 、b≥B、b≥1或b≤﹣1C、b≥2D、1≤b≤25、某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为（）A、y=60（300+20x）B、y=（60﹣x）（300+20x）C、y=300（60﹣20x）D、y=（60﹣x）（300﹣20x）6、（2016•达州）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：①abc＞0②4a+2b+c＞0③4ac﹣b2＜8a④ ＜a＜⑤b＞c．其中含所有正确结论的选项是（）A、①③B、①③④C、②④⑤D、①③④⑤7、（2016•眉山）若抛物线y=x2﹣2x+3不动，将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移一个单位，再沿铅直方向向上平移三个单位，则原抛物线图象的解析式应变为（）A、y=（x﹣2）2+3B、y=（x﹣2）2+5C、y=x2﹣1D、y=x2+48、（2016•张家界）在同一平面直角坐标系中，函数y=ax+b与y=ax2﹣bx的图象可能是（）A 、B 、C 、D 、9、（2016•常德）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b＜0；②c＞0；③a+c ＜b；④b2﹣4ac＞0，其中正确的个数是（）A、1B、2C、3D、410、（2016•呼和浩特）已知a≥2，m2﹣2am+2=0，n2﹣2an+2=0，则（m﹣1）2+（n﹣1）2的最小值是（）A、6B、3C、﹣3D、011、（2016•攀枝花）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1和3，则下列结论正确的是（）A、2a﹣b=0B、a+b+c＞0C、3a﹣c=0D、当a= 时，△ABD是等腰直角三角形12、（2016•安顺）某校校园内有一个大正方形花坛，如图甲所示，它由四个边长为3米的小正方形组成，且每个小正方形的种植方案相同．其中的一个小正方形ABCD如图乙所示，DG=1米，AE=AF=x 米，在五边形EFBCG区域上种植花卉，则大正方形花坛种植花卉的面积y与x的函数图象大致是（）A 、B 、C 、D 、二、填空题（共5题；共5分）13、（2016•河南）已知A（0，3），B（2，3）是抛物线y=﹣x2+bx+c上两点，该抛物线的顶点坐标是________．14、（2016•丹东）某公司今年4月份营业额为60万元，6月份营业额达到100万元，设该公司5、6两个月营业额的月均增长率为x，则可列方程为________．15、（2016•大庆）直线y=kx+b与抛物线y= x2交于A（x1， y1）、B（x2， y2）两点，当OA⊥OB时，直线AB恒过一个定点，该定点坐标为________．16、（2016•内江）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，且P=|2a+b|+|3b﹣2c|，Q=|2a﹣b|﹣|3b+2c|，则P，Q的大小关系是________．17、（2016•十堰）已知关于x的二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（1，0），且y1＜0＜y2，对于以下结论：①abc＞0；②a+3b+2c≤0；③对于自变量x的任意一个取值，都有x2+x≥﹣；④在﹣2＜x＜﹣1中存在一个实数x0，使得x0=﹣，其中结论错误的是________ （只填写序号）．三、综合题（共5题；共65分）18、（2016•淮安）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与坐标轴交于A、B、C三点，其中点A的坐标为（0，8），点B的坐标为（﹣4，0）．(1)求该二次函数的表达式及点C的坐标；(2)点D的坐标为（0，4），点F为该二次函数在第一象限内图象上的动点，连接CD、CF，以CD、CF为邻边作平行四边形CDEF，设平行四边形CDEF的面积为S．①求S的最大值；②在点F的运动过程中，当点E落在该二次函数图象上时，请直接写出此时S的值．19、（2016•义乌）课本中有一个例题：有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为6m，如何设计这个窗户，使透光面积最大？这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35m时，透光面积最大值约为1.05m2．我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2，材料总长仍为6m，利用图3，解答下列问题：(1)若AB为1m，求此时窗户的透光面积？(2)与课本中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明．20、（2016•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx经过两点A（﹣1，1），B （2，2）．过点B作BC∥x轴，交抛物线于点C，交y轴于点D．(1)求此抛物线对应的函数表达式及点C的坐标；(2)若抛物线上存在点M，使得△BCM的面积为，求出点M的坐标；(3)连接OA、OB、OC、AC，在坐标平面内，求使得△AOC与△OBN相似（边OA与边OB对应）的点N 的坐标．21、（2016•扬州）如图1，二次函数y=ax2+bx的图象过点A（﹣1，3），顶点B的横坐标为1．(1)求这个二次函数的表达式；(2)点P在该二次函数的图象上，点Q在x轴上，若以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标；(3)如图3，一次函数y=kx（k＞0）的图象与该二次函数的图象交于O、C两点，点T为该二次函数图象上位于直线OC下方的动点，过点T作直线TM⊥OC，垂足为点M，且M在线段OC上（不与O、C重合），过点T作直线TN∥y轴交OC于点N．若在点T运动的过程中，为常数，试确定k的值．22、（12分）（2016•重庆）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+ x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为点E．(1)判断△ABC的形状，并说明理由；(2)经过B，C两点的直线交抛物线的对称轴于点D，点P为直线BC上方抛物线上的一动点，当△PCD 的面积最大时，Q从点P出发，先沿适当的路径运动到抛物线的对称轴上点M处，再沿垂直于抛物线对称轴的方向运动到y轴上的点N处，最后沿适当的路径运动到点A处停止．当点Q的运动路径最短时，求点N的坐标及点Q经过的最短路径的长；(3)如图2，平移抛物线，使抛物线的顶点E在射线AE上移动，点E平移后的对应点为点E′，点A的对应点为点A′，将△AOC绕点O顺时针旋转至△A1OC1的位置，点A，C的对应点分别为点A1，C1，且点A1恰好落在AC上，连接C1A′，C1E′，△A′C1E′是否能为等腰三角形？若能，请求出所有符合条件的点E′的坐标；若不能，请说明理由．答案解析部分一、单选题【答案】B【考点】二次函数的最值【解析】【解答】解：∵当x＞h时，y随x的增大而增大，当x＜h时，y随x的增大而减小，∴①若h＜1≤x≤3，x=1时，y取得最小值5，可得：（1﹣h）2+1=5，解得：h=﹣1或h=3（舍）；②若1≤x≤3＜h，当x=3时，y取得最小值5，可得：（3﹣h）2+1=5，解得：h=5或h=1（舍）．综上，h的值为﹣1或5，故选：B．【分析】本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键．由解析式可知该函数在x=h时取得最小值1、x＞h时，y随x的增大而增大、当x＜h时，y 随x的增大而减小，根据1≤x≤3时，函数的最小值为5可分如下两种情况：①若h＜1≤x≤3，x=1时，y取得最小值5；②若1≤x≤3＜h，当x=3时，y取得最小值5，分别列出关于h的方程求解即可．【答案】A【考点】二次函数图象与几何变换【解析】【解答】解：∵抛物线的解析式为：y=x2+5x+6，∴绕原点选择180°变为，y=﹣x2+5x﹣6，即y=﹣（x﹣）2+ ，∴向下平移3个单位长度的解析式为y=﹣（x﹣）2+ ﹣3=﹣（x﹣）2﹣．故选A．【分析】先求出绕原点旋转180°的抛物线解析式，求出向下平移3个单位长度的解析式即可．本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数的图象旋转及平移的法则是解答此题的关键．【答案】D【考点】二次函数的图象，二次函数的性质【解析】【解答】解：A、∵当a=1，x=﹣1时，y=1+2﹣1=2，∴函数图象不经过点（﹣1，1），故错误；B、当a=﹣2时，∵△=42﹣4×（﹣2）×（﹣1）=8＞0，∴函数图象与x轴有两个交点，故错误；C、∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，∴若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而增大，故错误；D、∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，∴若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大，故正确；故选D．【分析】把a=1，x=﹣1代入y=ax2﹣2ax﹣1，于是得到函数图象不经过点（﹣1，1），根据△=8＞0，得到函数图象与x轴有两个交点，根据抛物线的对称轴为直线x=﹣=1判断二次函数的增减性．本题考查的是二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．【答案】A【考点】二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系【解析】【解答】解：∵二次函数y=x2﹣2（b﹣2）x+b2﹣1的图象不经过第三象限，∴抛物线在x轴的上方或在x轴的下方经过一、二、四象限，当抛物线在x轴的上方时，∵二次项系数a=1，∴抛物线开口方向向上，∴b2﹣1≥0，△=[2（b﹣2）]2﹣4（b2﹣1）≤0，解得b≥ ；当抛物线在x轴的下方经过一、二、四象限时，设抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x1， x2，∴x1+x2=2（b﹣2）≥0，b2﹣1≥0，∴△=[2（b﹣2）]2﹣4（b2﹣1）＞0，①b﹣2＞0，②b2﹣1＞0，③由①得b＜，由②得b＞2，∴此种情况不存在，∴b≥ ，故选A．【分析】由于二次函数y=x2﹣2（b﹣2）x+b2﹣1的图象不经过第三象限，所以抛物线在x轴的上方或在x轴的下方经过一、二、四象限，根据二次项系数知道抛物线开口方向向上，由此可以确定抛物线与x轴有无交点，抛物线与y轴的交点的位置，由此即可得出关于b的不等式组，解不等式组即可求解．此题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是会根据图象的位置得到关于b 的不等式组解决问题．【答案】B【考点】根据实际问题列二次函数关系式【解析】【解答】解：降价x元，则售价为（60﹣x）元，销售量为（300+20x）件，根据题意得，y=（60﹣x）（300+20x），故选：B．【分析】根据降价x元，则售价为（60﹣x）元，销售量为（300+20x）件，由题意可得等量关系：总销售额为y=销量×售价，根据等量关系列出函数解析式即可．【答案】D【考点】二次函数的性质【解析】【解答】解：①∵函数开口方向向上，∴a＞0；∵对称轴在原点左侧∴ab异号，∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，∴c＜0，∴abc＞0，故①正确；②∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x=﹣1，∴图象与x轴的另一个交点为（3，0），∴当x=2时，y＜0，∴4a+2b+c＜0，故②错误；③∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），∴当x=﹣1时，y=（﹣1）2a+b×（﹣1）+c=0，∴a﹣b+c=0，即a=b﹣c，c=b﹣a，∵对称轴为直线x=1∴ =1，即b=﹣2a，∴c=b﹣a=（﹣2a）﹣a=﹣3a，∴4ac﹣b2=4•a•（﹣3a）﹣（﹣2a）2=﹣16a2＜0∵8a＞0∴4ac﹣b2＜8a故③正确④∵图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，∴﹣2＜c＜﹣1∴﹣2＜﹣3a＜﹣1，∴ ＞a＞；故④正确⑤∵a＞0，∴b﹣c＞0，即b＞c；故⑤正确；故选：D．【分析】根据对称轴为直线x=1及图象开口向下可判断出a、b、c的符号，从而判断①；根据对称轴得到函数图象经过（3，0），则得②的判断；根据图象经过（﹣1，0）可得到a、b、c之间的关系，从而对②⑤作判断；从图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间可以判断c的大小得出④的正误．主要考查图象与二次函数系数之间的关系．解题关键是注意掌握数形结合思想的应用．【答案】C【考点】二次函数图象与几何变换【解析】【解答】解：将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移一个单位，再沿铅直方向向上平移三个单位，这个相当于把抛物线向左平移有关单位，再向下平移3个单位，∵y=（x﹣1）2+2，∴原抛物线图象的解析式应变为y=（x﹣1+1）2+2﹣3=x2﹣1，故答案为C．【分析】思想判定出抛物线的平移规律，根据左加右减，上加下减的规律即可解决问题．本题考查二次函数图象的平移，解题的关键是理解坐标系的平移和抛物线的平移是反方向的，记住左加右减，上加下减的规律，属于中考常考题型．【答案】C【考点】一次函数的图象，二次函数的图象【解析】【解答】解：A、对于直线y=ax+b来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y=ax2﹣bx来说，对称轴x= ＞0，应在y轴的右侧，故不合题意，图形错误；B、对于直线y=ax+b来说，由图象可以判断，a＜0，b＞0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，对称轴x= ＜0，应在y轴的左侧，故不合题意，图形错误；C、对于直线y=ax+b来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，图象开口向上，对称轴x= ＞0，应在y轴的右侧，故符合题意；D、对于直线y=ax+b来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，图象开口向下，a＜0，故不合题意，图形错误；故选：C．【分析】首先根据图形中给出的一次函数图象确定a、b的符号，进而运用二次函数的性质判断图形中给出的二次函数的图象是否符合题意，根据选项逐一讨论解析，即可解决问题．此主要考查了一次函数、二次函数图象的性质及其应用问题；解题的方法是首先根据其中一次函数图象确定a、b的符号，进而判断另一个函数的图象是否符合题意；解题的关键是灵活运用一次函数、二次函数图象的性质来分析、判断、解答．【答案】C【考点】二次函数图象与系数的关系【解析】【解答】解：∵二次函数的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴，∴a＜0，c＞0，故②正确；∵0＜﹣＜1，∴b＞0，故①错误；当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，∴a+c＜b，故③正确；∵二次函数与x轴有两个交点，∴△=b2﹣4ac＞0，故④正确正确的有3个，故选：C．【分析】由二次函数的开口方向，对称轴0＜x＜1，以及二次函数与y的交点在x轴的上方，与x 轴有两个交点等条件来判断各结论的正误即可．此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．【答案】A【考点】根与系数的关系，二次函数的最值【解析】【解答】解：∵m2﹣2am+2=0，n2﹣2an+2=0，∴m，n是关于x的方程x2﹣2ax+2=0的两个根，∴m+n=2a，mn=2，∴（m﹣1）2+（n﹣1）2=m2﹣2m+1+n2﹣2n+1=（m+n）2﹣2mn﹣2（m+n）+2=4a2﹣4﹣4a+2=4（a﹣）2﹣3，∵a≥2，∴当a=2时，（m﹣1）2+（n﹣1）2有最小值，∴（m﹣1）2+（n﹣1）2的最小值=4（a﹣）2+3=4（2﹣）2﹣3=6，故选A．【分析】根据已知条件得到m，n是关于x的方程x2﹣2ax+2=0的两个根，根据根与系数的关系得到m+n=2a，mn=2，于是得到4（a﹣）2﹣3，当a=2时，（m﹣1）2+（n﹣1）2有最小值，代入即可得到结论．本题考查了根与系数的关系，二次函数的最值，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．【答案】D【考点】二次函数图象与系数的关系【解析】【解答】解：∵抛物线与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1，3，∴抛物线的对称轴为直线x=1，则﹣=1，∴2a+b=0，∴选项A错误；∴当自变量取1时，对应的函数图象在x轴下方，∴x=1时，y＜0，则a+b+c＜0，∴选项B错误；∵A点坐标为（﹣1，0），∴a﹣b+c=0，而b=﹣2a，∴a+2a+c=0，∴3a+c=0，∴选项C错误；当a= ，则b=﹣1，c=﹣，对称轴x=1与x轴的交点为E，如图，∴抛物线的解析式为y= x2﹣x﹣，把x=1代入得y= ﹣1﹣=﹣2，∴D点坐标为（1，﹣2），∴AE=2，BE=2，DE=2，∴△ADE和△BDE都为等腰直角三角形，∴△ADB为等腰直角三角形，∴选项D正确．故选D．【分析】由于抛物线与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1，3，得到对称轴为直线x=1，则﹣=1，即2a+b=0，得出，选项A错误；当x=1时，y＜0，得出a+b+c＜0，得出选项B错误；当x=﹣1时，y=0，即a﹣b+c=0，而b=﹣2a，可得到a与c的关系，得出选项C错误；由a= ，则b=﹣1，c=﹣，对称轴x=1与x轴的交点为E，先求出顶点D的坐标，由三角形边的关系得出△ADE和△BDE都为等腰直角三角形，得出选项D正确；即可得出结论．本题考查了二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数的关系：当a＞0，抛物线开口向上；抛物线的对称轴为直线x=﹣；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）．【答案】A【考点】二次函数的图象，二次函数的应用【解析】【解答】解：S△AEF = AE×AF= x2， S△DEG = DG×DE= ×1×（3﹣x）= ，S五边形EFBCG=S正方形ABCD﹣S△AEF﹣S△DEG=9﹣x2﹣=﹣x2+ x+ ，则y=4×（﹣x2+ x+ ）=﹣2x2+2x+30，∵AE＜AD，∴x＜3，综上可得：y=﹣2x2+2x+30（0＜x＜3）．故选：A【分析】先求出△AEF和△DEG的面积，然后可得到五边形EFBCG的面积，继而可得y与x的函数关系式．本题考查了动点问题的函数图象，解答本题的关键是求出y与x的函数关系式，对于有些题目可以不用求出函数关系式，根据走势或者特殊点的值进行判断．二、填空题【答案】（1，4）【考点】二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征【解析】【解答】解：∵A（0，3），B（2，3）是抛物线y=﹣x2+bx+c上两点，∴代入得：，解得：b=2，c=3，∴y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，顶点坐标为（1，4），故答案为：（1，4）．【分析】把A、B的坐标代入函数解析式，即可得出方程组，求出方程组的解，即可得出解析式，化成顶点式即可．本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征的应用，能求出函数的解析式是解此题的关键．【答案】60（1+x）2=100【考点】一元二次方程的应用，根据实际问题列二次函数关系式【解析】【解答】解：设平均每月的增长率为x，根据题意可得：60（1+x）2=100．故答案为：60（1+x）2=100．【分析】本题考查的是一个增长率问题，关键是知道4月份的钱数和增长两个月后6月份的钱数，列出方程．设平均每月的增长率为x，根据4月份的营业额为60万元，6月份的营业额为100万元，分别表示出5，6月的营业额，即可列出方程．【答案】（0，4）【考点】二次函数的性质，一次函数的性质【解析】【解答】解：∵直线y=kx+b与抛物线y= x2交于A（x1， y1）、B（x2， y2）两点，∴kx+b= ，化简，得 x2﹣4kx﹣4b=0，∴x1+x2=4k，x1x2=﹣4b，又∵OA⊥OB，∴ ，解得，b=4，即直线y=kx+4，故直线恒过顶点（0，4），故答案为：（0，4）．【分析】根据直线y=kx+b与抛物线y= x2交于A（x1， y1）、B（x2， y2）两点，可以联立在一起，得到关于x的一元二次方程，从而可以得到两个之和与两根之积，再根据OA⊥OB，可以求得b的值，从而可以得到直线AB恒过的定点的坐标．本题考查二次函数的性质、一次函数的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，知道两条直线垂直时，它们解析式中的k 的乘积为﹣1．【答案】P＞Q【考点】二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系【解析】【解答】解：∵抛物线的开口向下，∴a＜0，∵﹣＞0，∴b＞0，∴2a﹣b＜0，∵﹣=1，∴b+2a=0，x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0．∴﹣b﹣b+c＜0，∴3b﹣2c＞0，∵抛物线与y轴的正半轴相交，∴c＞0，∴3b+2c＞0，∴p=3b﹣2c，Q=b﹣2a﹣3b﹣2c=﹣2a﹣2b﹣2c，∴Q﹣P=﹣2a﹣2b﹣2c﹣3b+2c=﹣2a﹣5b=﹣4b＜0∴P＞Q，故答案为：P＞Q．【分析】由函数图象可以得出a＜0，b＞0，c＞0，当x=1时，y=a+b+c＞0，x=﹣1时，y=a﹣b+c ＜0，由对称轴得出2a+b=0，通过确定绝对值中的数的符号后去掉绝对值再化简就可以求出P、Q 的值．本题考查了二次函数的图象与系数的关系，去绝对值，二次函数的性质．熟记二次函数的性质是解题的关键．【答案】②【考点】二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征【解析】【解答】解：由题意二次函数图象如图所示，∴a＜0．b＜0，c＞0，∴abc＞0，故①正确．∵a+b+c=0，∴c=﹣a﹣b，∴a+3b+2c=a+3b﹣2a﹣2b=b﹣a，又∵x=﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，∴b﹣a＜c，∵c＞O，∴b﹣a可以是正数，∴a+3b+2c≤0，故②错误．故答案为②．∵函数y′= x2+x= （x2+ x）= （x+ ）2﹣，∵ ＞0，∴函数y′有最小值﹣，∴ x2+x≥﹣，故③正确．∵y=ax2+bx+c的图象经过点（1，0），∴a+b+c=0，∴c=﹣a﹣b，令y=0则ax2+bx﹣a﹣b=0，设它的两个根为x1， 1，∵x1•1= =﹣，∴x1=﹣，∵﹣2＜x1＜x2，∴在﹣2＜x＜﹣1中存在一个实数x0，使得x0=﹣，故④正确，【分析】①正确．画出函数图象即可判断．②错误．因为a+b+c=0，所以a+3b+2c=a+3b﹣2a﹣2b=b﹣a，又a﹣b+c＞0，所以b﹣a＜c，故b﹣a可以是正数，由此可以周长判断．③正确．利用函数y′= x2+x= （x2+ x）= （x+ ）2﹣，根据函数的最值问题即可解决．④令y=0则ax2+bx﹣a﹣b=0，设它的两个根为x1， 1，则x1•1= =﹣，求出x1即可解决问题．本题考查二次函数的图象与系数的关系、二次函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是灵活应用二次函数的性质解决问题，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考填空题中的压轴题．三、综合题【答案】（1）解：把A（0，8），B（﹣4，0）代入y=﹣x2+bx+c得，解得，所以抛物线的解析式为y=﹣x2+x+8；当y=0时，﹣x2+x+8=0，解得x1=﹣4，x2=8，所以C点坐标为（8，0）（2）解：①连结OF，如图，设F（t，﹣t2+t+8），∵S四边形OCFD=S△CDF+S△OCD=S△ODF+S△OCF，∴S△CDF=S△ODF+S△OCF﹣S△OCD = •4•t + •8•（﹣t2+t+8）﹣•4•8=﹣t2+6t+16=﹣（t﹣3）2+25，当t=3时，△CDF的面积有最大值，最大值为25，∵四边形CDEF为平行四边形，∴S的最大值为50；②∵四边形CDEF为平行四边形，∴CD∥EF，CD=EF，∵点C向左平移8个单位，再向上平移4个单位得到点D，∴点F向左平移8个单位，再向上平移4个单位得到点E，即E（t﹣8，﹣t2+t+12），∵E（t﹣8，﹣t2+t+12）在抛物线上，∴﹣（t﹣8）2+t﹣8+8=﹣t2+t+12，解得t=7，当t=7时，S△CDF=﹣（7﹣3）2+25=9，∴此时S=2S△CDF=18．【考点】待定系数法求二次函数解析式，与二次函数有关的动态几何问题【解析】【分析】（1）把A点和B点坐标代入y=﹣x2+bx+c得到关于b、c的方程组，然后解方程组求出b、c即可得到抛物线的解析式；然后计算函数值为0时对应的自变量的值即可得到C点坐标（2）①连结OF，如图，设F（t，﹣t2+t+8），利用S四边形OCFD=S△CDF+S△OCD=S△ODF+S△OCF，利用三角形面积公式得到S△CDF=﹣t2+6t+16，再利用二次函数的性质得到△CDF的面积有最大值，然后根据平行四边形的性质可得S的最大值；②由于四边形CDEF为平行四边形，则CD∥EF，CD=EF，利用C点和D的坐标特征可判断点C向左平移8个单位，再向上平移4个单位得到点D，则点F向左平移8个单位，再向上平移4个单位得到点E，即E（t﹣8，﹣t2+t+12），然后把E（t﹣8，﹣t2+t+12）代入抛物线解析式得到关于t的方程，再解方程求出t后计算△CDF的面积，从而得到S的值．本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和平行四边形的性质；会利用待定系数法求二次函数解析式；理解坐标与图形性质，掌握点平移的坐标规律．【答案】（1）解：由已知可得：AD= ，则S=1× m2（2）解：设AB=xm，则AD=3﹣m，∵ ，∴ ，设窗户面积为S，由已知得：，当x= m时，且x= m在的范围内，，∴与课本中的例题比较，现在窗户透光面积的最大值变大【考点】二次函数的应用【解析】【分析】此题考查二次函数的应用，关键是利用二次函数的最值解答．（1）根据矩形和正方形的周长进行解答即可；（2）设AB为xcm，利用二次函数的最值解答即可．【答案】（1）解：把A（﹣1，1），B（2，2）代入y=ax2+bx得：，解得，故抛物线的函数表达式为y= x2﹣x，∵BC∥x轴，设C（x0， 2）．∴ x02﹣x0=2，解得：x0=﹣或x0=2，∵x0＜0，∴C（﹣，2）（2）解：设△BCM边BC上的高为h，∵BC= ，∴S△BCM = •h= ，∴h=2，点M即为抛物线上到BC的距离为2的点，∴M的纵坐标为0或4，令y= x2﹣x=0，解得：x1=0，x2= ，∴M1（0，0），M2（，0），令y= x2﹣x=4，解得：x3= ，x4=，∴M3（，0），M4（，4），综上所述：M点的坐标为：（0，0），（，0），（，0），（，4）（3）解：∵A（﹣1，1），B（2，2），C（﹣，2），D（0，2），∴OB=2 ，OA= ，OC= ，∴∠AOD=∠BOD=45°，tan∠COD= ，①如图1，当△AOC∽△BON时，，∠AOC=∠BON，∴ON=2OC=5，过N作NE⊥x轴于E，∵∠COD=45°﹣∠AOC=45°﹣∠BON=∠NOE，在Rt△NOE 中，tan∠NOE=tan∠COD= ，∴OE=4，NE=3，∴N（4，3）同理可得N（3，4）；②如图2，当△AOC∽△OBN时，，∠AOC=∠OBN，∴BN=2OC=5，过B作BG⊥x轴于G，过N作x轴的平行线交BG的延长线于F，∴NF⊥BF，∵∠COD=45°﹣∠AOC=45°﹣∠OBN=∠NBF，∴tan∠NBF=tan∠COD= ，∴BF=4，NF=3，∴N（﹣1，﹣2），同理N（﹣2，﹣1），综上所述：使得△AOC与△OBN相似（边OA与边OB对应）的点N的坐标是（4，3），（3，4），（﹣1，﹣2），（﹣2，﹣1）．【考点】二次函数的性质，相似三角形的性质，与二次函数有关的动态几何问题【解析】【分析】（1）把A（﹣1，1），B（2，2）代入y=ax2+bx求得抛物线的函数表达式为y= x2﹣x，由于BC∥x轴，设C（x0， 2）．于是得到方程x02﹣x0=2，即可得到结论；（2）设△BCM边BC上的高为h，根据已知条件得到h=2，点M即为抛物线上到BC的距离为2的点，于是得到M的纵坐标为0或4，令y= x2﹣x=0，或令y= x2﹣x=4，解方程即可得到结论；（3）解直角三角形得到OB=2 ，OA= ，OC= ，∠AOD=∠BOD=45°，tan∠COD= ①如图1，当△AOC∽△BON时，求得ON=2OC=5，过N作NE⊥x轴于E，根据三角函数的定义得到OE=4，NE=3，于是得到结果；②如图2，根据相似三角形的性质得到BN=2OC=5，过B作BG⊥x轴于G，过N作x 轴的平行线交BG的延长线于F解直角三角形得到BF=4，NF=3于是得到结论．本题主要考查的是二次函数与相似三角形的综合应用，难度较大，解答本题需要同学们熟练掌握二次函数和相似三角形的相关性质．【答案】（1）解：∵二次函数y=ax2+bx的图象过点A（﹣1，3），顶点B的横坐标为1，则有解得∴二次函数y=x2﹣2x（2）解：由（1）得，B（1，﹣1），∵A（﹣1，3），∴直线AB解析式为y=﹣2x+1，AB=2 ，设点Q（m，0），P（n，n2﹣2n）∵以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，①当AB为对角线时，根据中点坐标公式得，则有，解得或∴P（1+ ，2）和（1﹣，2）②当AB为边时，根据中点坐标公式得解得或∴P（1+ ，4）或（1﹣，4）．（3）解：设T（m，m2﹣2m），∵TM⊥OC，∴可以设直线TM为y=﹣x+b，则m2﹣2m=﹣m+b，b=m2﹣2m+ ，由解得，∴OM= = ，ON=m• ，∴ = ，∴k= 时，= ．∴当k= 时，点T运动的过程中，为常数．本题考查二次函数综合题，平行四边形的判定和性质，中点坐标公式等知识，解题【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数与一次函数的交点问题【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题（2）①当AB为对角线时，根据中点坐标公式，列出方程组解决问题．②当AB为边时，根据中点坐标公式列出方程组解决问题．（3）设T（m，m2﹣2m），由TM⊥OC，可以设直线TM为y=﹣x+b，则m2﹣2m=﹣m+b，b=m2﹣2m+ ，求出点M、N坐标，求出OM、ON，根据列出等式，即可解决问题．本题的关键是利用参数，方程组解决问题，学会转化的思想，属于中考压轴题．【答案】（1）解：△ABC为直角三角形，当y=0时，即﹣x2+ x+3=0，∴x1=﹣，x2=3∴A（﹣，0），B（3 ，0），∴O A= ，OB=3 ，当x=0时，y=3，∴C（0，3），∴OC=3，根据勾股定理得，AC2=OB2+OC2=12，BC2=OB2+OC2=36，∴AC2+BC2=48，∵AB2=[3 ﹣（﹣）]2=48，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形（2）解：如图，∵B（3 ，0），C（0，3），∴直线BC解析式为y=﹣x+3，过点P作∥y轴，设P（a，﹣a2+ a+3），∴G（a，﹣a+3），∴PG=﹣a2+ a，设点D的横坐标为x D， C点的横坐标为x C，S△PCD = ×（x D﹣x C）×PG=﹣（a﹣）2+ ，∵0＜a＜3 ，∴当a= 时，S△PCD最大，此时点P（，），将点P向左平移个单位至P′，连接AP′，交y轴于点N，过点N作MN⊥抛物线对称轴于点M，连接PM，点Q沿P→M→N→A，运动，所走的路径最短，即最短路径的长为PM+MN+NA的长，∴P（，）∴P′（，），∵点A（﹣，0），∴直线AP′的解析式为y= x+ ，当x=0时，y= ，∴N（0，），过点P′作P′H⊥x轴于点H，∴AH= ，P′H= ，AP′= ，∴点Q运动得最短路径长为PM+MN+AN= + = ；（3）解：在Rt△AOC中，∵tan∠OAC= = ，∴∠OAC=60°，∵OA=OA1，∴△OAA1为等边三角形，∴∠AOA1=60°，∴∠BOC1=30°，∵OC1=OC=3，∴C1（，），∵点A（﹣，0），E（，4），∴AE=2 ，∴A′E′=AE=2 ，∵直线AE的解析式为y= x+2，设点E′（a，a+2），∴A′（a﹣2 ，﹣2）∴C1E′2=（a﹣2 ）2+（+2﹣）2= a2﹣a+7，C1A′2=（a﹣2 ﹣）2+（﹣2﹣）2= a2﹣a+49，①若C1A′=C1E′，则C1A′2=C1E′2即：a2﹣a+7= a2﹣a+49，∴a= ，∴E′（，5），②若A′C1=A′E′，∴A′C12=A′E′2即：a2﹣a+49=28，∴a1= ，a2= ，∴E′（，7+ ），或（，7﹣），③若E′A′=E′C1，∴E′A′2=E′C12即：a2﹣a+7=28，∴a1= ，a2= （舍），∴E′（，3+ ），即，符合条件的点E′（，5），（，7+ ），或（，7﹣），（，3+ ）【考点】二次函数的最值，勾股定理的逆定理，与二次函数有关的动态几何问题【解析】【分析】（1）先求出抛物线与x轴和y轴的交点坐标，再用勾股定理的逆定理判断出△ABC 是直角三角形；（2）先求出S△PCD最大时，点P（，），然后判断出所走的路径最短，即最短路径的长为PM+MN+NA的长，计算即可；（3）△A′C1E′是等腰三角形，分三种情况分别建立方程计算即可．此题是二次函数综合题，主要考查了函数极值的确定方法，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，解本题的关键是分类讨论，也是解本题的难点．。

中考数学总复习《二次函数图像与系数的关系》练习题及答案

中考数学总复习《二次函数图像与系数的关系》练习题及答案班级:___________姓名：___________考号：_____________一、单选题1．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：①a+b+c＜0；②a-b+c＞1；③abc＞0；④4a-2b+c＜0；⑤c-a＞1其中所有正确结论的序号是()A．①②B．①③④C．①②③⑤D．①②③④⑤2．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列结论中正确的是（）A．ac＞0B．b＞0C．a+c＜0D．a+b+c＝03．如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为(﹣1，0)，其部分图象如图所示．下列结论：①abc＜0；②3a+c=0；③当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3；④方程ax2+bx+c﹣3=0有两个不相等的实数根；⑤点(﹣2，y1)，(2，y2)都在抛物线上，则有y1＜0＜y2．其中结论正确的个数是()．A．1个B．2个C．3个D．4个4．在平面直角坐标系xOy中，开口向下的抛物线y＝ax2＋bx＋c的一部分图象如图所示，它与x轴交于A(1，0)，与y轴交于点B(0，3)，则a的取值范围是（）A．a＜0B．－3＜a＜0C．a<−32D．−92<a<−325．在同一坐标系内，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+8x+b的图象可能是A．B．C．D．6．已知b＜0时，二次函数y=ax2+bx+a2-1的图象如下列四个图之一所示．根据图象分析，a的值等于()A．－2B．－1C．1D．27．对于二次函数y=﹣（x+1）2﹣3，下列结论正确的是（）A．函数图象的顶点坐标是（﹣1，﹣3）B．当x＞﹣1时，y随x的增大而增大C．当x=﹣1时，y有最小值为﹣3D．图象的对称轴是直线x=18．二次函数y=ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如表：x…-5-4-3-2-10…y…40-2-204…A．抛物线的开口向下B．当时，y随x的增大而增大C．二次函数的最小值是D．抛物线的对称轴是直线9．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A．a＞0B．当x≥1时，y随x的增大而增大C．c＜0D．当﹣1＜x＜3时，y＞010．如图，在同一平面直角坐标系中，函数y=ax+2(a≠0)与y=−ax2−2x(a≠0)的图象可能是（）．A．B．C．D．11．已知二次函数y=﹣（x+k）2+h，当x＞﹣2时，y随x的增大而减小，则函数中k的取值范围是（）A．k≥﹣2B．k≤﹣2C．k≥2D．k≤212．已知：二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图，则下列答案正确的是（）A．a＞0，b＞0，c＞0，△＜0B．a＜0，b＞0，c＜0，△＞0C．a＞0，b＜0，c＜0，△＞0D．a＜0，b＜0，c＞0，△＜0二、填空题13．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图（虚线部分为对称轴），给出以下6个结论：①abc＞0；②a﹣b+c＞0；③4a+2b+c＞0；④2a＜3b；⑤x＜1时，y随x的增大而增大；⑥a+b＜m（am+b）（m为实数且m≠1）其中正确的结论有（填上所有正确结论的序号）14．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则由此可得a0，b0，c 0.（填“<”或“>”）15．老师给出一个二次函数，甲，乙，丙三位同学各指出这个函数的一个性质：甲：函数的图象经过第一、二、四象限；乙：当x＜2时，y随x的增大而减小．丙：函数的图象与坐标轴只有两个交点．已知这三位同学叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数．16．如果抛物线y＝（m﹣1）x2有最低点，那么m的取值范围为．17．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（-1，0），（3，0）．对于下列命题：①b-2a=0；②abc＜0；③a-2b+4c＜0；④8a+c＞0．其中正确的有。

精选江西省2017年中考数学第一部分考点研究第三章函数课时15二次函数与系数abc的关系平移与方程不等式的关

第三章函数课时15 二次函数(与系数a 、b 、c 的关系，平移，与方程、不等式的关系) (建议时间：45分钟分值：45分)评分标准：选择题和填空题每小题3分．1.(2016山西)将抛物线y ＝x 2－4x －4向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的函数表达式为( )A ．y ＝(x ＋1)2－13 B ．y ＝(x －5)2－3 C ．y ＝(x －5)2－13 D ．y ＝(x ＋1)2－32. 已知直线y ＝mx ＋n 和抛物线y ＝ax 2＋bx ＋C 在同一坐标系中的位置如图所示，且抛物线与x 轴交于点(－1，0)、(2，0)，抛物线与直线交点的横坐标为1和－32，那么不等式mx ＋n <ax 2＋bx ＋c <0的解集是( )A.1<x <2B. x <－32或x >1C. －32<x <2 D.－1<x <2第2题图第4题图3. 抛物线y ＝2x 2－22x ＋1与坐标轴的交点个数是( ) A. 0B. 1 C. 2 D. 34. (2016常德)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，下列结论：①b <0；②c >0；③a ＋c <b ；④b 2－4ac >0，其中正确的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 45. 若二次函数y ＝ax 2－2ax ＋c 的图象经过点(－1，0)，则方程ax 2－2ax ＋c ＝0的解为( ) A.x 1＝－3，x 2＝－1 B. x 1＝1，x 2＝3 C. x 1＝－1，x 2＝3 D. x 1＝－3，x 2＝16. (2016陕西)已知抛物线y ＝－x 2－2x ＋3与x 轴交于A 、B 两点，将这条抛物线的顶点记为C ，连接AC 、BC ，则tan ∠CAB 的值为( )A.12B.55C. 255D. 2 7. (2016义乌)抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 其中b ，c 是常数)过点A (2，6)，且抛物线的对称轴与线段y ＝0(1≤x ≤3)有交点，则c 的值不可能是( ) A. 4 B. 6 C. 8 D. 108. （2016江西样卷四）已知二次函数y ＝x 2－(m －1)x －m ，其中m >0，它的图象与x 轴从左到右交于R 和Q 两点，与y 轴交于点P ，点O 是坐标原点，下列判断中不正确的是( ) A. 方程x 2－(m －1)x －m ＝0一定有两个不相等的实数根 B.点R 的坐标一定是(－1，0) C.△POQ 是等腰直角三角形D.该二次函数的对称轴在直线x ＝－1的左侧9. 下列关于二次函数y ＝ax 2－2ax ＋1(a >1)的图象与x 轴交点的判断，正确的是( ) A. 没有交点B. 只有一个交点，且它位于y 轴右侧C. 有两个交点，且它们均位于y 轴左侧D. 有两个交点，且它们均位于y 轴右侧10.(2015上海)如果将抛物线y ＝x 2＋2x －1向上平移，使它经过点A (0，3)，那么所得新抛物线的表达式是________________．11. (2016泸州)若二次函数y ＝2x 2－4x －1的图象与x 轴交于A (x 1，0)、B (x 2，0)两点，则1x 1＋1x 2的值为________．12. 如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，顶点C 的纵坐标为－2，现将抛物线向右平移2个单位，得第12题图到抛物线y ＝a 1x 2＋b 1x ＋C 1，则下列结论正确的是______．(写出所有正确结论的序号)①b >0；②a －b ＋c <0；③阴影部分的面积为4； ④若c ＝－1，则b 2＝4A .13. (9分)(2016菏泽)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋2过B (－2，6)，C (2，2)两点．(1)试求抛物线的解析式；(2)记抛物线顶点为D ，求△BCD 的面积；(3)若直线y ＝－12x 向上平移b 个单位所得的直线与抛物线段BDC (包括端点B 、C )部分有两个交点，求b 的取值范围．第13题图【答案】1.D 【解析】将抛物线y ＝x 2－4x －4化为顶点式：y ＝(x －2)2－8，根据“左加右减、上加下减”的原则可得y ＝[(x ＋3)－2]2－8＋5＝(x ＋1)2－3.2.A 【解析】∵由函数图象可知，当－1<x <2时，ax 2＋bx ＋c <0，当x <－1或x >2时，ax2＋bx ＋c >0，若mx ＋n <ax 2＋bx ＋c ，则有x >1或x <－32，∴不等式mx ＋n <ax 2＋bx ＋c <0的解集为1<x <2.3. C 【解析】抛物线y ＝2x 2－22x ＋1，令x ＝0，得到y ＝1，即抛物线与y 轴交点为(0，1)；令y ＝0，得到2x 2－22x ＋1＝0，即(2x －1)2＝0，解得x 1＝x 2＝22，即抛物线与x 轴交点为(22，0)，故抛物线与坐标轴的交点个数是2. 4. C 【解析】∵图象开口向下，∴a ＜0，∵对称轴在y 轴右侧，∴a ，b 异号，∴b ＞0，故①错误；∵图象与y 轴交于x 轴上方，∴C ＞0，故②正确；当x ＝－1时，a －b ＋c <0，则a ＋c <b ，故③正确；图象与x 轴有两个交点，则b 2－4ac ＞0，故④正确．5. C 【解析】∵二次函数y ＝ax 2－2ax ＋c 的图象经过点(－1，0)，∴方程ax 2－2ax ＋c ＝0一定有一个解为x ＝－1，∵抛物线的对称轴为直线x ＝1，∴二次函数y ＝ax 2－2ax ＋c 的图象与x 轴的另一个交点为(3，0)，∴方程ax 2－2ax ＋c ＝0的解为x 1＝－1，x 2＝3.第6题解图6. D 【解析】如解图，根据二次函数y ＝－x 2－2x ＋3图象可知，点A 和点B 的纵坐标均为0，令－x 2－2x ＋3＝0，得x 1＝－3，x 2＝1，∴点A (－3，0)，B (1，0)，顶点C 的横坐标为x ＝－b 2a ＝－－22×（－1）＝－1，纵坐标为y ＝4ac －b 24a ＝4×（－1）×3－（－2）24×（－1）＝4，∴点C 的坐标为(－1，4)．如解图，过点C 作CD ⊥x 轴于点D ，则CD ＝4，OD ＝1, 又∵OA ＝3，∴AD ＝2，∴tAn ∠CAB ＝CD AD ＝42＝2.7. A 【解析】由题知，对称轴与线段y ＝0(1≤x ≤3)有交点，则有1≤－b2≤3，可得到：－6≤b ≤－2，由二次函数图象经过点A (2，6)，代入可得：4＋2b ＋c ＝6，∴b ＝2－c2，∴－6≤2－c 2≤－2, 解得：6≤c ≤14，所以c 的值不可能是4.8.D 【解析】令y ＝0得x 2－(m －1)x －m ＝0，则(x ＋1)(x －m )＝0，解得：x 1＝－1，x 2＝m ，∵m >0>－1，∴R (－1，0)，Q (m ，0)，∴方程有两个不相等的实数根，∴A 、B 正确，与要求不符；当x ＝0，y ＝－m ，∴P (0，－m )，∴OP ＝PQ ，∴△OPQ 为等腰直角三角形，∴C 正确，与要求不符；∵抛物线的对称轴为x ＝－b 2a ＝m －12，m >0，∴x >－12，∴D 错误，与要求相符，故选D. 9.D第9题解图【解析】在二次函数y ＝ax 2－2ax ＋1中，∵－b 2a ＝－－2a2a＝1，∴二次函数的对称轴为直线 x ＝1，判别式b 2－4ac ＝(－2a )2－4a ＝4a 2－4a ＝4a (a －1)，∵a ＞1，∴a －1＞0，∴4a (a －1)＞0，∴二次函数的图象与x 轴有两个交点，且这两个交点分别在直线x ＝1的两侧．如解图，由y ＝ax 2－2ax ＋1知抛物线与y 轴正半轴相交，显然对称轴左边的交点在y 轴的右侧，由此可知抛物线与x 轴的两个交点都在y 轴的右侧．10. y ＝x 2＋2x ＋3 【解析】设平移后的抛物线表达式为y ＝x 2＋2x －1＋b ，把A (0，3)代入，得3＝－1＋b ，解得b ＝4，则新抛物线的表达式为y ＝x 2＋2x ＋3.11. －4 【解析】设y ＝0，则2x 2－4x －1＝0，∴一元二次方程的解分别是点A 和点B 的横坐标，即x 1，x 2，∴x 1＋x 2＝－b a ＝－－42＝2，x 1·x 2＝c a ＝－12，∴1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝2－12＝－4.12. ③④ 【解析】∵4a＝－2，c ＝－1，∴b ＝4a ，∴结论④正确综上，结论正确的是③④.13. 解：(1)由题意可列方程组⎩⎪⎨⎪⎧4a －2b ＋2＝64a ＋2b ＋2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12b ＝－1，∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－x ＋2；(3分)(2)如解图，∵y ＝12x 2－x ＋2＝12(x －1)2＋32，∴抛物线的顶点坐标为(1，32)，∵直线BC 的解析式为y ＝－x ＋4， ∴对称轴与BC 的交点H (1，3)， ∴DH ＝3－32＝32，∴S △BDC ＝S △BDH ＋S △DHC ＝12×32×3＋12×32×1＝3；(5分)(3)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋b y ＝12x 2－x ＋2消去y 得到x 2－x ＋4－2b ＝0，第13题解图当b 2－4ac ＝0时，直线与抛物线相切，(－1)2－4(4－2b )＝0， ∴b ＝158，当直线y ＝－12x ＋b 经过点C 时，b ＝3，(7分)当直线y ＝－12x ＋b 经过点B 时，b ＝5，(8分)∵直线y ＝－12x 向上平移B 个单位所得的直线与抛物线段BDC (包括端点B 、C )部分有两个交点，∴158＜b ≤3.(9分)。

九年级数学专题05 二次函数与各系数之间的关系 (知识点串讲)(解析版)

专题05 二次函数与各系数之间的关系重点突破抛物线中，与函数图像的关系（灵活掌握）⏹二次项系数二次函数中，作为二次项系数，显然．⑴当时，抛物线开口向上，越大，开口越小，反之的值越小，开口越大；⑵当时，抛物线开口向下，越小，开口越小，反之的值越大，开口越大．【总结起来】决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小．⏹一次项系数在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴．⑴在的前提下，当时，，即抛物线的对称轴在轴左侧（a、b同号）；当时，，即抛物线的对称轴就是轴；当时，，即抛物线对称轴在轴的右侧（a、b异号）．⑵在的前提下，结论刚好与上述相反，即当时，，即抛物线的对称轴在轴右侧（a、b异号）；当时，，即抛物线的对称轴就是轴；当时，，即抛物线对称轴在轴的左侧（a、b同号）．【总结起来】在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置．⏹常数项⑴当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；⑵当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为；⑶当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负．【总结起来】决定了抛物线与轴交点的位置．总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．考查题型考查题型一根据二次函数的图像判断各系数、各式子符号典例1（2019·莆田市期中）已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc ＞0；②2a+b ＞0；③b 2﹣4ac ＞0；④a ﹣b+c ＞0，其中正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D 【详解】①∵抛物线对称轴是y 轴的右侧， ∴ab ＜0，∵与y 轴交于负半轴， ∴c ＜0， ∴abc ＞0，故①正确； ②∵a ＞0，x=﹣2ba＜1， ∴﹣b ＜2a ， ∴2a+b ＞0，故②正确；③∵抛物线与x 轴有两个交点， ∴b 2﹣4ac ＞0，故③正确；④当x=﹣1时，y ＞0， ∴a ﹣b+c ＞0，故④正确．故选D ．变式1-1．（2019·深圳市末）如图，已知二次函数()2y ax bx c a 0=++≠的图象如图所示，有下列5个结论 abc 0>①；b a c ->②；4a 2b c 0++>③；3a c >-④；()a b m am b (m 1+>+≠⑤的实数).其中正确结论的有( )A ．①②③B ．②③⑤C ．②③④D ．③④⑤【答案】B 【提示】由抛物线对称轴的位置判断ab 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所给结论进行判断即可．【详解】①对称轴在y 轴的右侧，ab 0∴<，由图象可知：c 0>，abc 0∴<，故①不正确；②当x 1=-时，y a b c 0=-+<，b ac ∴->，故②正确；③由对称知，当x 2=时，函数值大于0，即y 4a 2b c 0=++>，故③正确；bx 12a=-=④， b 2a ∴=-， a b c 0-+<，a 2a c 0∴++<， 3a c <-，故④不正确；⑤当x 1=时，y 的值最大.此时，y a b c =++，而当x m =时，2y am bm c =++，所以()2a b c am bm c m 1++>++≠，故2a b am bm +>+，即()a b m am b +>+，故⑤正确，故②③⑤正确，故选B ．【名师点睛】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数2y ax bx c =++系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y 轴的交点、抛物线与x 轴交点的个数确定，熟练掌握二次函数的性质是关键．变式1-2．（2019·济南市期中）如图，若二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）图象的对称轴为x=1，与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 、点B （﹣1，0），则 ①二次函数的最大值为a+b+c ； ②a ﹣b+c ＜0； ③b 2﹣4ac ＜0；④当y ＞0时，﹣1＜x ＜3，其中正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】详解：①∵二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）图象的对称轴为x=1，且开口向下， ∴x=1时，y=a+b+c ，即二次函数的最大值为a+b+c ，故①正确； ②当x=﹣1时，a ﹣b+c=0，故②错误；③图象与x 轴有2个交点，故b 2﹣4ac ＞0，故③错误； ④∵图象的对称轴为x=1，与x 轴交于点A 、点B （﹣1，0），∴A （3，0），故当y ＞0时，﹣1＜x ＜3，故④正确．故选B ．名师点睛：此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数最值等知识，正确得出A 点坐标是解题关键．变式1-3．（2018·福州市期中）二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图，下列结论正确的是( )A ．a <0B ．b 2－4ac <0C ．当－1<x <3时，y >0D ．－2ba=1 【答案】D 【解析】试题提示：根据二次函数的图象和性质进行判断即可. 解：∵抛物线开口向上， ∴0a > ∴A 选项错误，∵抛物线与x 轴有两个交点， ∴240b ac -> ∴B 选项错误，由图象可知，当－1<x <3时，y <0 ∴C 选项错误，由抛物线的轴对称性及与x 轴的两个交点分别为（－1，0）和（3，0）可知对称轴为1x = 即－＝1， ∴D 选项正确，故选D.变式1-4．（2019宁波市期中）如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc ＜0；②b ＜a+c ；③4a+2b+c ＞0；④2c ＜3b ；⑤a+b ＜m （am+b ）（m≠1的实数）．其中正确结论的有（）A ．①②③B ．①③④C ．③④⑤D ．②③⑤【答案】B 【解析】试题提示：由抛物线的开口方向判断a 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．试题解析：①由图象可知：a ＜0，b ＞0，c ＞0，abc ＜0，故此选项正确； ②当x=-1时，y=a-b+c ＜0，即b ＞a+c ，错误；③由对称知，当x=2时，函数值大于0，即y=4a+2b+c ＞0，故此选项正确； ④当x=3时函数值小于0，y=9a+3b+c ＜0，且x=-2ba=1，即a=-2b ，代入得9（-2b）+3b+c ＜0，得2c ＜3b ，故此选项正确； ⑤当x=1时，y 的值最大．此时，y=a+b+c ，而当x=m 时，y=am 2+bm+c ，所以a+b+c ＞am 2+bm+c ，故a+b ＞am 2+bm ，即a+b ＞m （am+b ），故此选项错误．故①③④正确．故选B ．变式1-5．（2019·泉州市期末次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，下列结论中正确的是( ) ① 0abc < ②240b ac -< ③2a b > ④22()a c b +<A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A 【提示】由函数图象可知a ＜0，对称轴-1＜x ＜0，20b a ->；0b <，图象与y 轴的交点c ＞0，函数与x 轴有两个不同的交点；△=b 2-4ac ＞0；再由图象可知当x=1时，y ＜0，即a+b+c ＜0；当x=-1时，y ＞0，即a-b+c ＞0；即可求解．【详解】解：由函数图象可知0a <，对称轴10x -<<，图象与y 轴的交点0c >，函数与x 轴有两个不同的交点， ∴2b a >，0b <；③错误240b ac ∆=->；②错0abc >；①错误当1x =时，0y <，即0a b c ++<；当1x =-时，0y >，即0a b c -+>； ∴()()0a b c a b c ++-+<，即22()a c b +<； ∴只有④是正确的；故选：A ．【名师点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握函数的图象及性质，能够通过图象获取信息，推导出a ，b ，c ，△，对称轴的关系是解题的关键．考查题型二一次函数与二次函数的综合判定典例2（2018·烟台市期末）如图,函数221y ax x =-+和y ax a =-(a 是常数,且0a ≠)在同一平面直角坐标系的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】详解：A ．由一次函数y =ax ﹣a 的图象可得：a ＜0，此时二次函数y =ax 2﹣2x +1的图象应该开口向下．故选项错误；B ．由一次函数y =ax ﹣a 的图象可得：a ＞0，此时二次函数y =ax 2﹣2x +1的图象应该开口向上，对称轴x =﹣22a-＞0．故选项正确； C ．由一次函数y =ax ﹣a 的图象可得：a ＞0，此时二次函数y =ax 2﹣2x +1的图象应该开口向上，对称轴x =﹣22a-＞0，和x 轴的正半轴相交．故选项错误； D ．由一次函数y =ax ﹣a 的图象可得：a ＞0，此时二次函数y =ax 2﹣2x +1的图象应该开口向上．故选项错误．故选B ．名师点睛：本题考查了二次函数以及一次函数的图象，解题的关键是熟记一次函数y =ax ﹣a 在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．变式2-1．（2018·陇南市期中）当ab ＞0时，y ＝ax 2与y ＝ax +b 的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【详解】∵ab ＞0，∴a 、b 同号．当a ＞0，b ＞0时，抛物线开口向上，顶点在原点，一次函数过一、二、三象限，没有图象符合要求；当a ＜0，b ＜0时，抛物线开口向下，顶点在原点，一次函数过二、三、四象限，B 图象符合要求．故选B ．变式2-2．（2020·无锡市期末）在同一坐标系内，一次函数y ax b =+与二次函数2y ax 8x b =++的图象可能是A ．B ．C ．D ．【答案】C 【提示】x=0，求出两个函数图象在y 轴上相交于同一点，再根据抛物线开口方向向上确定出a ＞0，然后确定出一次函数图象经过第一三象限，从而得解．【详解】x=0时，两个函数的函数值y=b，所以，两个函数图象与y轴相交于同一点，故B、D选项错误；由A、C选项可知，抛物线开口方向向上，所以，a＞0，所以，一次函数y=ax+b经过第一三象限，所以，A选项错误，C选项正确．故选C．变式2-3．（2018·巴彦淖尔市期中）在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为（）A．B．C．D．【答案】D【提示】根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，与y轴的交点可得相关图象．【详解】解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的（0，c），∴两个函数图象交于y轴上的同一点，故B选项错误；当a＞0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，故C选项错误；当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，故A错误，D选项正确；故选D．【名师点睛】本题考查二次函数及一次函数的图象的性质；用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y 轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下．变式2-4．（2018·成都市期末）同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【提示】本题可先由二次函数y=ax 2+bx+c 图象得到字母系数的正负，再与一次函数y=ax+b 的图象相比较看是否一致．【详解】A 、由抛物线可知，a ＜0，x=﹣2ba＜0，得b ＜0，由直线可知，a ＜0，b ＜0，故本选项正确； B 、由抛物线可知，a ＞0，由直线可知，a ＜0，故本选项错误； C 、由抛物线可知，a ＞0，x=﹣2ba＞0，得b ＜0，由直线可知，a ＞0，b ＞0，故本选项错误； D 、由抛物线可知，a ＞0，由直线可知，a ＜0，故本选项错误．故选A ．考查题型三用待定系数法求二次函数解析式典例3（2018·合肥市期末）已知二次函数的图象经过点（-1，-5），（0，-4）和（1，1），则这二次函数的表达式为（） A ．y =-6x 2+3x +4 B ．y =-2x 2+3x -4 C ．y =x 2+2x -4 D ．y =2x 2+3x -4【答案】D 【提示】利用待定系数法即可求出抛物线的解析式．【详解】解：设所求函数的解析式为y =ax 2+bx +c ，把（-1，-5），（0，-4），（1，1）分别代入，得：541a b c c a b c -+-⎧⎪-⎨⎪++⎩＝＝＝解得234a b c ⎧⎪⎨⎪-⎩＝＝＝所求的函数的解析式为y =2x 2+3x -4．故选：D【名师点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，同时还考查了方程组的解法等知识．变式3-1．（2019·青岛市期末）如图是某个二次函数的图象，根据图象可知，该二次函数的表达式是（）A ．y=x 2﹣x ﹣2B ．y=﹣12x 2﹣12x+2C ．y=﹣12x 2﹣12x+1D ．y=﹣x 2+x+2【答案】D【提示】根据开口方向、顶点坐标、对称轴逐项提示即可.【详解】 A 、由图象可知开口向下,故a ＜0, 故A 错误；B 、抛物线过点（﹣1,0）,（2,0）,根据抛物线的对称性,顶点的横坐标是12, 而211222y x x =--+的顶点横坐标是﹣12, 故B 错误； C 、211122y x x =--+的顶点横坐标是﹣12, 故C 错误； D 、22y x x =-++的顶点横坐标是12,并且抛物线过点（﹣1,0）,（2,0），故D 正确．故选D.【名师点睛】本题考察了二次函数的图像和性质，对于二次函数y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，a ≠0），当a >0时，抛物线开口向上，当a <0时，抛物线开口向下；其对称轴是直线：2b x a =-；若抛物线与轴的两个交点是A (x 1，0)，B (x 2，0)，则抛物线的对称轴是：122x x x +=. 变式3-2．（2018·海淀区期末）在平面直角坐标系xOy 中，四条抛物线如图所示，其解析式中的二次项系数一定小于1的是（）A ．y 1B ．y 2C ．y 3D ．y 4【答案】A【提示】由图象的点的坐标，根据待定系数法求得解析式即可判定．【详解】由图象可知：抛物线y 1的顶点为（-2，-2），与y 轴的交点为（0，1），根据待定系数法求得y 1=34（x+2）2-2；抛物线y 2的顶点为（0，-1），与x 轴的一个交点为（1，0），根据待定系数法求得y 2=x 2-1；抛物线y 3的顶点为（1，1），与y 轴的交点为（0，2），根据待定系数法求得y 3=（x-1）2+1；抛物线y 4的顶点为（1，-3），与y 轴的交点为（0，-1），根据待定系数法求得y 4=2（x-1）2-3；综上，解析式中的二次项系数一定小于1的是y 1故选A ．【名师点睛】本题考查了二次函数的图象，二次函数的性质以及待定系数法求二次函数的解析式，根据点的坐标求得解析式是解题的关键．变式3-3．（2018·庆阳市期中）已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（）A ．22(1)8y x =++B ．218(1)8y x =+-C ．22(1)89y x =-+ D ．22(1)8y x =-- 【答案】D【提示】顶点式：y=a （x-h ）2+k （a ，h ，k 是常数，a≠0），其中（h ，k ）为顶点坐标．【详解】解：由图知道，抛物线的顶点坐标是（1，-8）故二次函数的解析式为y=2（x-1）2-8故选：D ．【名师点睛】本题考查由顶点坐标式看出抛物线的顶点坐标，y=a （x-h ）2+k 的顶点坐标是（h ，k ）．变式3-4．（2018·庆阳市期末）顶点在点M(﹣2，1)，且图象经过原点的二次函数解析式是( )A ．y ＝(x ﹣2)2+1B ．y ＝﹣14(x+2)2+1C ．y ＝(x+2)2+1D ．y ＝14(x ﹣2)2+1 【答案】B【提示】二次函数图象的顶点在点M （-2,1）,可设函数的解析式是y =a （x +2）2+1,再将原点的坐标代入求出a 的值即可．【详解】解：∵二次函数图象的顶点在点M （-2,1）,可设函数的解析式是y =a （x +2）2+1,把点（0,0）代入得,4a +1=0,得：a =-14, 则此二次函数的解析式是y =-14（x +2）2+1, 故选B.【名师点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式,解决本题的关键是要熟练掌握待定系数法求二次函数解析式.变式3-5．（2019·吉林市期中）已知二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（）A ．2 23y x x =-+B ．2 23y x x =--C ．2 23y x x =+-D ．2 23y x x =++【答案】B【提示】根据题意，把抛物线经过的三点代入函数的表达式，列出方程组，解出各系数则可．【详解】根据题意，图象与y 轴交于负半轴，故c 为负数，又四个选项中，B 、C 的c 为-3，符合题意，故设二次函数的表达式为y=ax 2+bx+c ，抛物线过（-1，0），（0，-3），（3，0），所以0{3930a b c c a b c -+-++＝＝＝，解得a=1，b=-2，c=-3，这个二次函数的表达式为y=x 2-2x-3．故选：B ．【名师点睛】本题考查了用待定系数法求函数表达式的方法，同时还考查了方程组的解法等知识，是比较常见的题目．。

人教版初中数学中考复习一轮复习二次函数及其应用2(课件)

解方程，得 m1=-2，m2=3（不符合题意，舍去） ∴m=-2
典型例题——二次函数与方程、不等式的关系
9. （2021•泸州）直线 l 过点（0，4）且与 y 轴垂直，若二次函数 y＝（x﹣a）2+（x﹣2a）2+
（x﹣3a）2﹣2a2+a（其中 x 是自变量）的图象与直线 l 有两个不同的交点，且其对称轴
解方程，得 m1= 41-1 ，m2= - 41+1 （不符合题意，舍去）
4
4
∴m= 41-1 ， 4
1 - m＞3，即 m＜-3，当 x=3 时，y=6.∴9来自6m+2m2-m=6,
解方程，得 m1=-1，m2= - 3 （均不符合题意，舍去）. 2
综上所述，m=-2 或 m=
41-1
.
4
2 1＜- m≤3，即-3≤m＜-1，当 x=-m 时，y=6. ∴m2-m=6
bx＋c＝0有两个不相等的实数根；
②如果抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴只有一个交点，则一元二次方
程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根；
③如果抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点，则一元二次方程ax2＋bx
＋c＝0 没有实数根．
知识点梳理——知识点4：二次函数与一元二次方程及不等式的关系
A(1，0)，B(m，0)(－2＜m＜－1)，下列结论①2b＋c＞0；②2a＋c＜0；
③a(m＋1)－b＋c＞0；④若方程a(x－m)(x－1)－1＝0有两个不等实数根，
A 则4ac－b2＜4a；其中正确结论的个数是(
)
A．4
B．3
C．2
D．1
典型例题——二次函数与方程、不等式的关系

中考数学复习之二次函数的图像与性质,考点过关与基础练习题

18. 二次函数的应用➢ 知识过关1.二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 图像与系数a 、b 、c 的关系(1) 如果抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴有两个交点，则一元二次方程02=++c bx ax 有两个_____实数根.(2) 如果抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴只有1个交点，则一元二次方程02=++c bx ax 有两个_____实数根.(3) 如果抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴无交点，则一元二次方程02=++c bx ax 没有实数根.3. 二次函数与一次交点一次函数)0(≠+=k n kx y 的图像L 与二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程nkx y cbx ax y +=++=2{的解的个数确定 (1)方程组有两组不同的解⇔L 与G 有______交点； (2)方程组只有一组解⇔L 与G 只有______交点； (3)方程组无解⇔L 与G_______交点. 4. 二次函数的实际应用建立二次函数模型—求出二次函数解析式—结合函数解析式—解答问题.➢ 考点分类考点1 二次函数图像与系数的关系例1二次函数的图像如图所示，现有下列结论：①042>-ac b ；①a>0;①b>0；①c>0; ①039<++c b a ，则其中结论正确的有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个考点2二次函数的实际应用例2某文具店购进一批纪念册，线本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y(本)与每本纪念册的售价x(元)之间满足一次函数关系；当销售单价为22元时，销量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本.(1)请直接写出y 与x 的函数关系式；(2)当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？ (3)设该文具店每周销售这种纪念册所获昨的利润为w 元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？考点3二次函数的综合应用例3如图所示，直线与抛物线相交于点A 和点B ，点P 是线段AB 上异于A 、B 的动点，过点P 作PC①x 轴于点C ，交抛物线于点D. (1)求抛物线的解析式；(2)是否存在这样的P 点，使线段PD 的长有最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；(3)当①PAD 为直角三角形时，求点P 的坐标.➢真题演练1．二次函数y＝ax2+bx+1的图象与一次函数y＝2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．2．函数y＝|ax2+bx+c|（a＞0，b2﹣4ac＞0）的图象是由函数y＝ax2+bx+c（a＞0，b2﹣4ac ＞0）的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（）①2a+b＝0；②c＝3；③abc＞0；④将图象向上平移1个单位后与直线y＝5有3个交点．A．①②B．①③C．②③④D．①③④3．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，其对称轴为直线x＝﹣1，且过点（0，1）．有以下四个结论：①abc＞0，②a﹣b+c＞1，③3a+c＜0，④若顶点坐标为（﹣1，2），当m≤x≤1时，y有最大值为2、最小值为﹣2，此时m的取值范围是﹣3≤m≤﹣1．其中正确结论的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个4．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象关于直线x＝1对称，与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点．若﹣2＜x1＜﹣1，则下列四个结论：①3＜x2＜4；②3a+2b＞0；③b2＞a+c+4ac；④a＞c＞b，正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣2，并与x轴交于A，B两点，若OA＝5OB，则下列结论中：①abc＞0；②（a+c）2﹣b2＝0；③9a+4c＜0；④若m为任意实数，则am2+bm+2b≥4a，正确的个数是（）A．1B．2C．3D．46．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x=−12，且与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）．下列结论：①abc＞0；②a＝b；③2a+c＝0；④关于x 的一元二次方程ax2+bx+c﹣1＝0有两个相等的实数根．其中正确结论的序号是（）A．①③B．②④C．③④D．②③7．如图，若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴为直线x＝1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则下列结论：①abc＞0；②二次函数的最大值为a+b+c；③a﹣b+c＜0；④b2﹣4ac＜0；⑤当y＞0时，﹣1＜x＜3．⑥3a+c＝0；其中正确的结论有．8．公园草坪上，自动浇水喷头喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的离地高度y（米）关于水珠与喷头的水平距离x（米）的函数解折武是y=−13x2+43x（0≤x≤4）．那么水珠的最大离地高度是米．9．东方商厦将进货单价为70元的某种商品按零售价100元一个售出时，每天能卖出20个，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销量就增加1个，为了获取最大利润，则应降价元．10．中国跳水队被称为“梦之队”，跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的抛物线．已知跳板AB长为1米，距水面的高OA为3米，C 为入水点，训练时跳水曲线在离起跳点B水平距离1米时达到距水面最大高度k米，分别以OC、OA所在直线为横轴和纵轴，点O为坐标原点建立平面直角坐标系．若跳水运动员在入水时点C与点O的距离在3.5米至4米（含3.5米和4米）才能达到训练要求，则k的取值范围是．11．随着我国经济、科技的进一步发展，我国的农业生产的机械化程度越来越高，过去的包产到户就不太适合机械化的种植，现在很多地区就出现了一种新的生产模式，很多农民把自己的承包地转租给种粮大户或者新型农村合作社，出现了大农田，这些农民则成为合作社里的工人，这样更有利于机械化种植．某地某种粮大户，去年种植优质水稻200亩，平均每亩收益480元．计划今年多承包一些土地，已知每增加一亩，每亩平均收益比去年每亩平均收益减少2元．（1）该大户今年应承租多少亩土地，才能使今年总收益达到96600元？（2）该大户今年应承租多少亩土地，可以使今年总收益最大，最大收益是多少？12．在新农村建设过程中，渣濑湾村采用“花”元素打造了一座花都村庄．如图，一农户用长为25m 的篱笆，一面利用墙，围成有两个小门且中间隔有一道篱笆的长方形花圃．已知小门宽为1m ，设花圃的宽AB 为x （m ），面积为S （m 2）．（1）求S 关于x 的函数表达式．（2）如果要围成面积为54m 2的花圃，AB 的长为多少米？（3）若墙的最大长度为10m ，则能围成的花圃的最大面积为多少？并求此时AB 的长．➢ 课后练习1．已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 的对称轴为x ＝1，与x 轴正半轴的交点为A （3，0），其部分图象如图所示，有下列结论：①abc ＞0； ②2c ﹣3b ＜0； ③5a +b +2c ＝0；④若B （43，y 1）、C （13，y 2）、D （−13，y 3）是抛物线上的三点，则y 1＜y 2＜y 3．其中正确结论的个数有（）A ．1B ．2C ．3D ．42．已知抛物线y =12x 2﹣bx +c ，当x ＝1时，y ＜0；当x ＝2时，y ＜0．下列判断：①b 2＞2c ；②若c ＞1，则b ＞32；③已知点A （m 1，n 1），B （m 2，n 2）在抛物线y =12x 2﹣bx +c 上，当m 1＜m 2＜b 时，n 1＞n 2；④若方程12x 2﹣bx +c ＝0的两实数根为x 1，x 2，则x 1+x 2＞3．其中正确的有（）个． A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．如图是二次函数y ＝ax 2+bx +c 图象的一部分，图象过点A （﹣3，0），对称轴为直线x ＝﹣1，①b 2﹣4ac ＞0②4a +c ＜0③当﹣3≤x ≤1时，y ≥0④若B(−52，y 1)，C(−12，y 2)为函数图象上的两点，则y 1＞y 2，以上结论中正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与x 轴交于点A （3，0），与y 轴的交点B 在（0，3）与（0，4）之间（不包括这两点），对称轴为直线x ＝1．下列结论：①abc ＜0；②43a +3b +c ＞0；③−43＜a ＜−1；④若x 1，x 2（x 1＜x 2）是方程ax 2+bx +c ＝m （m ＜0）的两个根，则有x 1＜﹣1＜3＜x 2．其中正确结论的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ＞0）与x 轴交于A （﹣3，0）、B 两点，与y 轴交于点C ，点（m ﹣5，n ）与点（3﹣m ，n ）也在该抛物线上．下列结论：①点B 的坐标为（1，0）；②方程ax 2+bx +c ﹣2＝0有两个不相等的实数根；③54a +c ＜0；④当x ＝﹣t 2﹣2时，y ≥c ．正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，且抛物线经过点（1，0），下面给出了四个结论：①abc＞0；②a﹣2b+4c＞0；③5a+c＜b；④a﹣b=13c．其中结论正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．如图，物体从点A抛出，物体的高度y（m）与飞行时间t（s）近似满足函数关系式y=−1 5（t﹣3）2+5．（1）OA＝m．（2）在飞行过程中，若物体在某一个高度时总对应两个不同的时间，则t的取值范围是．8．某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离S（米）关于滑行的时间t（秒）的函数解析式是S＝﹣0.25t2+8t，无人机着陆后滑行秒才能停下来．9．图1是一个斜坡的横截面，tanα=12，斜坡顶端B与地面的距离为3米，为了对这个斜坡上的绿地进行喷灌，在斜坡底端安装了一个喷头A，喷头A喷出的水柱在空中走过的曲线可以看作抛物线的一部分，设喷出水柱的竖直高度为y（单位：米）（水柱的竖直高度是指水柱与地面的距离），水柱与喷头A的水平距离为x（单位：米），图2记录了y与x 的相关数据，则y与x的函数关系式为．10．如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2，则小球飞出s时，达到最大高度．11.开学季，福山振华量贩超市从厂家购进A、B两种型号的书包，两次购进书包的情况如表：进货批次A型书包（个）B型书包（个）总费用（元）一1002008000二20030013000（1）求A、B两种型号的书包进价各是多少元？（2）在销售过程中，A型书包因为物美价廉而更受消费者喜欢．为了增大B型书包的销售量，超市决定对B型书包进行降价销售，当销售价为44元时，每天可以售出20个，每降价1元，每天将多售出5个，请问超市应将B型书包降价多少元时，每天售出B型书包的利润达到最大？最大利润是多少？（3）第三次进货用10000元钱购进这两种书包，如果每销售出一个A型书包可获利9元，售出一个B型书包可获利6元，超市决定每售出一个A型书包就为当地“新冠疫情防控”捐b元用于购买防控物资．若A、B两种型号的书包在全部售出的情况下，捐款后所得的利润始终不变，此时b为多少？利润为多少？➢冲击A+已知△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接DB，DC．（1）如图①，当∠BAC＝120°时，请直接写出线段AB，AC，AD之间满足的等量关系式：；（2）如图②，当∠BAC＝90°时，试探究线段AB，AC，AD之间满足的等量关系，并证明你的结论；（3）如图③，若BC＝5，BD＝4，求ADAB+AC的值．。

中考数学一轮复习学案：第12讲二次函数

第12讲二次函数【考纲要求】1．理解二次函数的有关概念．2．会用描点法画二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质．3．会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴，并会求解二次函数的最值问题．4．熟练掌握二次函数解析式的求法，并能用它解决有关的实际问题． 5．会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.【命题趋势】二次函数是中考的重点内容，题型主要有选择题、填空题及解答题，而且常与方程、不等式、几何知识等结合在一起综合考查，且一般为压轴题．中考命题不仅考查二次函数的概念、图象和性质等基础知识，而且注重多个知识点的综合考查以及对学生应用二次函数解决实际问题能力的考查.【考点探究】考点一、二次函数的图象及性质【例1】(1)二次函数y ＝－3x 2－6x ＋5的图象的顶点坐标是( ) A ．(－1,8) B ．(1,8) C ．(－1,2) D ．(1，－4)(2)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的对称轴为直线x ＝1，且经过点(－1，y 1)，(2，y 2)，试比较y 1和y 2的大小：y 1________y 2.(填“＞”“＜”或“＝”)解析：(1)抛物线的顶点坐标可以利用顶点坐标公式或配方法来求．∵－b2a ＝－－62×(－3)＝－1，4ac －b 24a ＝4×(－3)×5－(－6)24×(－3)＝8， ∴二次函数y ＝－3x 2－6x ＋5的图象的顶点坐标是(－1,8)．故选A.(2)点(－1，y 1)，(2，y 2)不在对称轴的同一侧，不能直接利用二次函数的增减性来判断y 1，y 2的大小，可先根据抛物线关于对称轴的对称性，然后再用二次函数的增减性即可．设抛物线经过点(0，y 3)，∵抛物线对称轴为直线x ＝1，∴点(0，y 3)与点(2，y 2)关于直线x ＝1对称．∴y 3＝y 2. ∵a ＞0，∴当x ＜1时，y 随x 的增大而减小． ∴y 1＞y 3.∴y 1＞y 2. 答案：(1)A (2)＞方法总结 1．将抛物线解析式写成y ＝a (x －h )2＋k 的形式，则顶点坐标为(h ，k )，对称轴为直线x ＝h ，也可应用对称轴公式x ＝－b 2a ，顶点坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a，4ac －b 24a 来求对称轴及顶点坐标． 2．比较两个二次函数值大小的方法： (1)直接代入自变量求值法；(2)当自变量在对称轴两侧时，看两个数到对称轴的距离及函数值的增减性判断； (3)当自变量在对称轴同侧时，根据函数值的增减性判断．触类旁通1 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图，则下列结论中正确的是( )A ．a ＞0B ．当x ＞1时，y 随x 的增大而增大C ．c ＜0D ．3是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根考点二、利用二次函数图象判断a ，b ，c 的符号【例2】如图，是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象的一部分，给出下列命题：①a ＋b ＋c ＝0；②b ＞2a ；③ax 2＋bx ＋c ＝0的两根分别为－3和1；④a －2b ＋c ＞0.其中正确的命题是__________．(只要求填写正确命题的序号)解析：由图象可知过(1,0)，代入得到a ＋b ＋c ＝0；根据－b2a＝－1，推出b ＝2a ；根据图象关于对称轴对称，得出与x 轴的交点是(－3,0)，(1,0)；由a －2b ＋c ＝a －2b －a －b ＝－3b ＜0，根据结论判断即可．答案：①③方法总结根据二次函数的图象确定有关代数式的符号，是二次函数中的一类典型的数形结合问题，具有较强的推理性．解题时应注意a 决定抛物线的开口方向，c 决定抛物线与y 轴的交点，抛物线的对称轴由a ，b 共同决定，b 2－4ac 决定抛物线与x 轴的交点情况．当x ＝1时，决定a ＋b ＋c 的符号，当x ＝－1时，决定a －b ＋c 的符号．在此基础上，还可推出其他代数式的符号．运用数形结合的思想更直观、更简捷．触类旁通2 小明从如图的二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象中，观察得出了下面五个结论：①c ＜0；②abc ＞0；③a －b ＋c ＞0；④2a －3b ＝0；⑤c －4b ＞0，你认为其中正确的结论有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个考点三、二次函数图象的平移【例3】二次函数y ＝－2x 2＋4x ＋1的图象怎样平移得到y ＝－2x 2的图象( ) A ．向左平移1个单位，再向上平移3个单位 B ．向右平移1个单位，再向上平移3个单位C ．向左平移1个单位，再向下平移3个单位D ．向右平移1个单位，再向下平移3个单位解析：首先将二次函数的解析式配方化为顶点式，然后确定如何平移，即y ＝－2x 2＋4x ＋1＝－2(x －1)2＋3，将该函数图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位就得到y ＝－2x 2的图象．答案：C方法总结二次函数图象的平移实际上就是顶点位置的变换，因此先将二次函数解析式转化为顶点式确定其顶点坐标，然后按照“左加右减、上加下减”的规律进行操作．触类旁通3 将二次函数y ＝x 2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数解析式是( )A ．y ＝(x －1)2＋2B ．y ＝(x ＋1)2＋2C ．y ＝(x －1)2－2D ．y ＝(x ＋1)2－2 考点四、确定二次函数的解析式【例4】如图，四边形ABCD 是菱形，点D 的坐标是(0，3)，以点C 为顶点的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 恰好经过x 轴上A ，B 两点．(1)求A ，B ，C 三点的坐标；(2)求经过A ，B ，C 三点的抛物线的解析式．解：(1)由抛物线的对称性可知AE ＝BE . ∴△AOD ≌△BEC . ∴OA ＝EB ＝EA .设菱形的边长为2m ，在Rt △AOD 中， m 2＋(3)2＝(2m )2，解得m ＝1.∴DC ＝2，OA ＝1，OB ＝3.∴A ，B ，C 三点的坐标分别为(1,0)，(3,0)，(2，3)．(2)解法一：设抛物线的解析式为y ＝a (x －2)2＋3，代入A 的坐标(1,0)，得a ＝－ 3. ∴抛物线的解析式为y ＝－3(x －2)2＋ 3.解法二：设这个抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，由已知抛物线经过A (1,0)，B (3,0)，C (2，3)三点，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝0，9a ＋3b ＋c ＝0，4a ＋2b ＋c ＝3，解这个方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝43，c ＝－3 3.∴抛物线的解析式为y ＝－3x 2＋43x －3 3.方法总结用待定系数法求二次函数解析式，需根据已知条件，灵活选择解析式：若已知图象上三个点的坐标，可设一般式；若已知二次函数图象与x 轴两个交点的横坐标，可设交点式；若已知抛物线顶点坐标或对称轴与最大(或小)值，可设顶点式．触类旁通4 已知抛物线y ＝－12x 2＋(6－m 2)x ＋m －3与x 轴有A ，B 两个交点，且A ，B 两点关于y 轴对称．(1)求m 的值；(2)写出抛物线的关系式及顶点坐标．考点五、二次函数的实际应用【例5】我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售收益为：每投入x 万元，可获得利润P ＝－1100(x －60)2＋41(万元)．当地政府拟在“十二·五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投入100万元的销售，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售．在外地销售的收益为：每投入x 万元，可获利润Q ＝－99100(100－x )2＋2945(100－x )＋160(万元)．(1)若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少；(2)若按规划实施，求5年所获利润(扣除修路后)的最大值是多少； (3)根据(1)、(2)，该方案是否具有实施价值？解：(1)当x ＝60时，P 最大且为41万元，故五年获利最大值是41×5＝205(万元)． (2)前两年：0≤x ≤50，此时因为P 随x 的增大而增大，所以x ＝50时，P 值最大且为40万元，所以这两年获利最大为40×2＝80(万元)．后三年：设每年获利为y 万元，当地额为x 万元，则外地额为(100－x )万元，所以y ＝P ＋Q ＝⎣⎡⎦⎤－1100(x －60)2＋41＋⎝⎛⎭⎫－99100x 2＋2945x ＋160＝－x 2＋60x ＋165＝－(x －30)2＋1 065，表明x ＝30时，y 最大且为1 065，那么三年获利最大为1 065×3＝3 195(万元)，故五年获利最大值为80＋3 195－50×2＝3 175(万元)．(3)有极大的实施价值．方法总结运用二次函数的性质解决生活和实际生产中的最大值和最小值问题是最常见的题目类型，解决这类问题的方法是：1．列出二次函数的关系式，列关系式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围．2．在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值和最小值．触类旁通5 一玩具厂去年生产某种玩具，成本为10元/件，出厂价为12元/件，年销售量为2万件．今年计划通过适当增加成本来提高产品档次，以拓展市场．若今年这种玩具每件的成本比去年成本增加0.7x 倍，今年这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高0.5x 倍，则预计今年年销售量将比去年年销售量增加x 倍(本题中0＜x ≤11)．(1)用含x 的代数式表示，今年生产的这种玩具每件的成本为__________元，今年生产的这种玩具每件的出厂价为__________元；(2)求今年这种玩具的每件利润y (元)与x 之间的函数关系式；(3)设今年这种玩具的年销售利润为w 万元，求当x 为何值时，今年的年销售利润最大？最大年销售利润是多少万元？注：年销售利润＝(每件玩具的出厂价－每件玩具的成本)×年销售量．【经典考题】1．(乐山)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋1(a ≠0)的图象的顶点在第一象限，且过点(－1,0)．设t ＝a ＋b ＋1，则t 值的变化范围是( )A ．0＜t ＜1B ．0＜t ＜2C ．1＜t ＜2D ．－1＜t ＜12．(菏泽)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，那么一次函数y＝bx＋c和反比例函数y＝ax在同一平面直角坐标系中的图象大致是()'3．(上海)将抛物线y＝x2＋x向下平移2个单位，所得新抛物线的表达式是________．4．(枣庄)二次函数y＝x2－2x－3的图象如图所示．当y＜0时，自变量x的取值范围是______________．(第4题图)5．(珠海)如图，二次函数y＝(x－2)2＋m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y＝kx＋b的图象经过该二次函数图象上点A(1,0)及点B.(第5题图)(1)求二次函数与一次函数的解析式；(2)根据图象，写出满足kx＋b≥(x－2)2＋m的x的取值范围．6．(益阳)已知：如图，抛物线y＝a(x－1)2＋c与x轴交于点A(1－3，0)和点B，将抛物线沿x轴向上翻折，顶点P落在点P′(1,3)处．(1)求原抛物线的解析式；(2)学校举行班徽设计比赛，九年级5班的小明在解答此题时顿生灵感：过点P ′作x 轴的平行线交抛物线于C ，D 两点，将翻折后得到的新图象在直线CD 以上的部分去掉，设计成一个“W”型的班徽，“5”的拼音开头字母为W ，“W”图案似大鹏展翅，寓意深远；而且小明通过计算惊奇的发现这个“W”图案的高与宽(CD )的比非常接近黄金分割比5－12(约等于0.618)．请你计算这个“W”图案的高与宽的比到底是多少？(参考数据：5≈2.236，6≈2.449，结果可保留根号)【模拟预测】1．抛物线y ＝x 2－6x ＋5的顶点坐标为( ) A ．(3，－4) B ．(3,4)C ．(－3，－4)D ．(－3,4)2．由二次函数y ＝2(x －3)2＋1，可知( ) A ．其图象的开口向下B ．其图象的对称轴为直线x ＝－3C ．其最小值为1D ．当x ＜3时，y 随x 的增大而增大3．已知函数y ＝(k －3)x 2＋2x ＋1的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是( ) A ．k ＜4 B ．k ≤4C ．k ＜4且k ≠3D ．k ≤4且k ≠34．如图，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是( )(第4题图)A ．m ＝n ，k ＞hB ．m ＝n ，k ＜hC ．m ＞n ，k ＝hD ．m ＜n ，k ＝h5．如图，已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象经过点A (－1,0)，B (1，－2)，该图象与x 轴的另一交点为C ，则AC 长为__________．(第5题图)6．抛物线y＝ax2＋bx＋c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x …－2－1012…y …04664…从上表可知，下列说法中正确的是__________．(填写序号)①抛物线与x轴的一个交点为(3,0)；②函数y＝ax2＋bx＋c的最大值为6；③抛物线的对称轴是直线x＝1 2；④在对称轴左侧，y随x增大而增大．7．抛物线y＝－x2＋bx＋c的图象如图所示，若将其向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则平移后的解析式为__________．8．长江中下游地区发出了特大旱情，为抗旱保丰收，某地政府制定了农户购买抗旱设备的补贴办法，其中购买Ⅰ型、Ⅱ型抗旱设备所的金额与政府补贴的额度存在下表所示的函数对应关系.(1)分别求y1和y2的函数解析式；(2)有一农户同时对Ⅰ型、Ⅱ型两种设备共10万元购买，请你设计一个能获得最大补贴金额的方案，并求出按此方案能获得的最大补贴金额．9．如图，已知二次函数L1：y＝x2－4x＋3与x轴交于A，B两点(点A在点B的左边)，与y 轴交于点C.(1)写出二次函数L 1的开口方向、对称轴和顶点坐标； (2)研究二次函数L 2：y ＝kx 2－4kx ＋3k (k ≠0)．①写出二次函数L 2与二次函数L 1有关图象的两条相同的性质；②若直线y ＝8k 与抛物线L 2交于E ，F 两点，问线段EF 的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF 的长度；如果会，请说明理由．参考答案【考点探究】触类旁通1．D触类旁通2．C ∵抛物线开口向上，∴a ＞0； ∵抛物线与y 轴交于负半轴，∴c ＜0；对称轴在y 轴右侧，a ，b 异号，故b ＜0，∴abc ＞0. 由题图知当x ＝－1时，y ＞0，即a －b ＋c ＞0.对称轴是直线x ＝13，∴－b 2a ＝13，即2a ＋3b ＝0；由⎩⎨⎧a －b ＋c >0，2a ＋3b ＝0，得c －52b ＞0.又∵b ＜0，∴c －4b ＞0.∴正确的结论有4个．触类旁通3．A 因为将二次函数y ＝x 2向右平移1个单位，得y ＝(x －1)2，再向上平移2个单位后，得y ＝(x －1)2＋2，故选A.触类旁通4．解：(1)∵抛物线与x 轴的两个交点关于y 轴对称，∴抛物线的对称轴即为y 轴．∴－6－m 22×⎝⎛⎭⎫－12＝0.∴m ＝±6.又∵抛物线开口向下，∴m －3＞0，即m ＞3.∴m ＝6. (2)∵m ＝6，∴抛物线的关系式为y ＝－12x 2＋3，顶点坐标为(0,3)．触类旁通5．解：(1)(10＋7x ) (12＋6x ) (2)y ＝(12＋6x )－(10＋7x )＝2－x . (3)∵w ＝2(1＋x )(2－x )＝－2x 2＋2x ＋4， ∴w ＝－2(x －0.5)2＋4.5. ∵－2＜0,0＜x ≤11，∴当x ＝0.5时，w 最大＝4.5(万元)．答：当x 为0.5时，今年的年销售利润最大，最大年销售利润是4.5万元．【经典考题】1．B ∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋1的顶点在第一象限，且经过点(－1,0)，∴a －b ＋1＝0，a ＜0，b ＞0.由a ＝b －1＜0得到b ＜1，结合上面b ＞0，∴0＜b ＜1①；由b ＝a ＋1＞0得到a ＞－1，结合上面a ＜0， ∴－1＜a ＜0②.∴由①②得－1＜a ＋b ＜1，且c ＝1，得到0＜a ＋b ＋1＜2， ∴0＜t ＜2.2．C ∵二次函数图象开口向下，∴a ＜0.∵对称轴x ＝－b2a＜0，∴b ＜0.∵二次函数图象经过坐标原点，∴c ＝0.∴一次函数y ＝bx ＋c 过第二、四象限且经过原点，反比例函数y ＝ax 位于第二、四象限，故选C.3．y ＝x 2＋x －2 因为抛物线向下平移2个单位，则y 值在原来的基础上减2，所以新抛物线的表达式是y ＝x 2＋x －2.4．－1＜x ＜3 因为二次函数的图象与x 轴两个交点的坐标分别是(－1,0)，(3,0)，由图象可知，当y ＜0时，自变量x 的取值范围是－1＜x ＜3.5．解：(1)由题意，得(1－2)2＋m ＝0，解得m ＝－1，∴y ＝(x －2)2－1.当x ＝0时，y ＝(0－2)2－1＝3，∴C (0,3)． ∵点B 与C 关于直线x ＝2对称，∴B (4,3)．于是有⎩⎨⎧ 0＝k ＋b ，3＝4k ＋b ，解得⎩⎨⎧k ＝1，b ＝－1.∴y ＝x －1.(2)x 的取值范围是1≤x ≤4.6．解：(1)∵P 与P ′(1,3)关于x 轴对称， ∴P 点坐标为(1，－3)．∵抛物线y ＝a (x －1)2＋c 过点A (1－3，0)，顶点是P (1，－3)，∴⎩⎨⎧a (1－3－1)2＋c ＝0，a (1－1)2＋c ＝－3，解得⎩⎨⎧a ＝1，c ＝－3.则抛物线的解析式为y ＝(x －1)2－3，即y ＝x 2－2x －2. (2)∵CD 平行于x 轴，P ′(1,3)在CD 上， ∴C ，D 两点纵坐标为3，由(x －1)2－3＝3，得x 1＝1－6，x 2＝1＋6， ∴C ，D 两点的坐标分别为(1－6，3)，(1＋6，3)， ∴CD ＝26，∴“W ”图案的高与宽(CD )的比＝326＝64(或约等于0.612 4)．【模拟预测】1．A 2．C3．D 由题意，得22－4(k －3)≥0，且k －3≠0，解得k ≤4且k ≠3，故选D. 4．A5．3 ∵把A (－1,0)，B (1，－2)代入y ＝x 2＋bx ＋c 得⎩⎨⎧ 1－b ＋c ＝0，1＋b ＋c ＝－2，解得⎩⎨⎧b ＝－1，c ＝－2，∴y ＝x 2－x －2，解x 2－x －2＝0得x 1＝－1，x 2＝2，∴C 点坐标为(2,0)，∴AC ＝3.6．①③④ 由图表可知当x ＝0时，y ＝6；当x ＝1时，y ＝6，∴抛物线的对称轴是直线x ＝12，③正确；∵抛物线与x 轴的一个交点为(－2,0)，对称轴是直线x ＝12，∴抛物线与x 轴的另一个交点为(3,0)，①正确；由图表可知，在对称轴左侧，y 随x 增大而增大，④正确；当x ＝12时，y取得最大值，②错误．7．y ＝－x 2－2x 由题中图象可知，对称轴为直线x ＝1，所以－b－2＝1，即b ＝2.把点(3,0)代入y ＝－x 2＋2x ＋c ，得c ＝3.故原图象的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3，即y ＝－(x －1)2＋4，然后向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得y ＝－(x －1＋2)2＋4－3，即y ＝－x 2－2x .8．解：(1)由题意，得5k ＝2，∴k ＝25，∴y 1＝25x ；⎩⎨⎧4a ＋2b ＝2.4，16a ＋4b ＝3.2，∴⎩⎨⎧a ＝－15，b ＝85，∴y 2＝－15x 2＋85x . (2)设该农户t 万元购Ⅱ型设备，(10－t )万元购Ⅰ型设备，共获补贴Q 万元．∴y 1＝25(10－t )＝4－25t ，y 2＝－15t 2＋85t .∴Q ＝y 1＋y 2＝4－25t －15t 2＋85t ＝－15t 2＋65t ＋4＝－15(t －3)2＋295.∴当t ＝3时，Q 最大＝295.∴10－t＝7.即7万元购Ⅰ型设备，3万元购Ⅱ型设备，能获得最大补贴金额，最大补贴金额为5.8万元．9．解：(1)二次函数L 1的开口向上，对称轴是直线x ＝2，顶点坐标(2，－1)．(2)①二次函数L2与L1有关图象的两条相同的性质：对称轴为直线x＝2或顶点的横坐标为2；都经过A(1,0)，B(3,0)两点．②线段EF的长度不会发生变化．∵直线y＝8k与抛物线L2交于E，F两点，∴kx2－4kx＋3k＝8k，∵k≠0，∴x2－4x＋3＝8，解得x1＝－1，x2＝5.∴EF＝x2－x1＝6，∴线段EF的长度不会发生变化．11 / 11。

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二次函数与其他函数、方程关系课后作业1、将抛物线y=x 2-1向下平移8个单位长度后与x 轴的两个交点之间的距离为（） A ．4 B ．6 C ．8 D ．102、若二次函数y=ax 2-2ax+c 的图象经过点（-1，0），则方程ax 2-2ax+c=0的解为（） A ．x 1=-3，x 2=-1 B ．x 1=1，x 2=3 C ．x 1=-1，x 2=3 D ．x 1=-3，x 2=13、二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）和正比例函数y=32x 的图象如图所示，则方程ax 2+（b-32）x+c=0（a≠0）的两根之和（）A ．大于0B ．等于0C ．小于0D ．不能确定4、若m 、n （n ＜m ）是关于x 的一元二次方程1-（x- a ）（x-b ）=0的两个根，且b ＜a ，则m ，n ，b ，a 的大小关系是（）A ．m ＜a ＜b ＜nB ．a ＜m ＜n ＜bC ．b ＜n ＜m ＜aD ．n ＜b ＜a ＜m5、坐标平面上，某二次函数图形的顶点为（2，-1），此函数图形与x 轴相交于P 、Q 两点，且PQ=6．若此函数图形通过（1，a ）、（3，b ）、（-1，c ）、（-3，d ）四点，则a 、b 、c 、d 之值何者为正？（）A ．aB ．bC ．cD ．d6、二次函数y=ax 2+bx+c （a 、b 、c 为常数，且a≠0）的x 与y 的部分对应值如下表：有下列结论：①a ＞0；②4a-2b+1＞0；③x=-3是关于x 的一元二次方程ax 2+（b-1）x+c=0的一个根；④当-3≤x≤n 时，ax 2+（b-1）x+c≥0．其中正确结论的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．17、若二次函数y=x2-2x+m的图象与x轴有两个交点，则m的取值范围是8、抛物线y=ax2+2x-5与x轴交于A、B两点，交y轴于点C，且∠ACB=90°，则a= ______9、已知抛物线y=ax2+x+c与x轴交点的横坐标为-1，则a+c=10、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2-2mx+m-1（m＞0）与x轴的交点为A，B．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．①当m=1时，求线段AB上整点的个数；②若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，结合函数的图象，求m的取值范围．11、如图，抛物线y=ax 2+2ax+1与x 轴仅有一个公共点A ，经过点A 的直线交该抛物线于点B ，交y 轴于点C ，且点C 是线段AB 的中点．（1）求这条抛物线对应的函数解析式；（2）求直线AB 对应的函数解析式．12、如图，抛物线y=x 2-3x+45与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，点D 是直线BC 下方抛物线上一点，过点D 作y 轴的平行线，与直线BC 相交于点E（1）求直线BC 的解析式；（2）当线段DE 的长度最大时，求点D 的坐标．参考答案1、解析：抛物线y=x 2-1向下平移8个单位长度后的到的新的二次函数的解析式为y=x 2-9，令x 2-9=0求其解即可知道抛物线与x 轴的交点的横坐标，两点之间的距离随即可求．解：将抛物线y=x 2-1向下平移8个单位长度，其解析式变换为：y=x 2-9而抛物线y=x 2-9与x 轴的交点的纵坐标为0，所以有：x 2-9=0 解得：x 1=-3，x 2=3，则抛物线y=x 2-9与x 轴的交点为（-3，0）、（3，0），所以，抛物线y=x 2-1向下平移8个单位长度后与x 轴的两个交点之间的距离为6 2、解析：直接利用抛物线与x 轴交点求法以及结合二次函数对称性得出答案．解：∵二次函数y=ax 2-2ax+c 的图象经过点（-1，0）， ∴方程ax 2-2ax+c=0一定有一个解为：x=-1， ∵抛物线的对称轴为：直线x=1，∴二次函数y=ax 2-2ax+c 的图象与x 轴的另一个交点为：（3，0）， ∴方程ax 2-2ax+c=0的解为：x 1=-1，x 2=3．故选：C ．3、解析：设ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根为x 1，x 2，由二次函数的图象可知x1+x2＞0，a ＞0，设方程ax 2+（b-32）x+c=0（a≠0）的两根为m ，n 再根据根与系数的关系即可得出结论．解：设ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根为x 1，x 2， ∵由二次函数的图象可知x 1+x 2＞0，a ＞0，∴-a b ＞0．设方程ax 2+（b-32）x+c=0（a≠0）的两根为m ，n ，则m+n=-ab 32=-a b +a 32，∵a ＞0，∴a32＞0，∴m+n ＞0．故选A ． 4、解析：利用图象法，画出抛物线y=（x-a ）（x-b ）与直线y=1，即可解决问题．解：如图抛物线y=（x-a ）（x-b ）与x 轴交于点（a ，0），（b ，0），抛物线与直线y=1的交点为（n ，1），（m ，1），由图象可知，n ＜b ＜a ＜m ．故选D ．5、解析：根据抛物线顶点及对称轴可得抛物线与x 轴的交点，从而根据交点及顶点画出抛物线草图，根据图形易知a 、b 、c 、d 的大小．解：∵二次函数图形的顶点为（2，-1）， ∴对称轴为x=2， ∵21×PQ=21×6=3， ∴图形与x 轴的交点为（2-3，0）=（-1，0），和（2+3，0）=（5，0），已知图形通过（2，-1）、（-1，0）、（5，0）三点，如图，由图形可知：a=b ＜0，c=0，d ＞0．故选：D ．6、解析：根据表中x 与y 的部分对应值画出抛物线的草图，由开口方向即可判断①，由对称轴x=-1可得b=2a ，代入4a-2b+1可判断②，根据直线y=x 过点（-3，-3）、（n ，n ）可知直线y=x 与抛物线y=ax 2+bx+c 交于点（-3，-3）、（n ，n ），即可判断③，根据直线y=x 与抛物线在坐标系中位置可判断④．解：根据表中x 与y 的部分对应值，画图如下：由抛物线开口向上，得a ＞0，故①正确； ∵抛物线对称轴为x=213+-=-1，即-ab2=-1，∴b=2a ，则4a-2b+1=4a-4a+1=1＞0，故②正确； ∵直线y=x 过点（-3，-3）、（n ，n ），∴直线y=x 与抛物线y=ax 2+bx+c 交于点（-3，-3）、（n ，n ），即x=-3和x=n 是方程ax 2+bx+c=x ，即ax 2+（b-1）x+c=0的两个实数根，故③正确；由图象可知当-3≤x≤n 时，直线y=x 位于抛物线y=ax 2+bx+c 上方， ∴x≥ax 2+bx+c ，∴ax 2+（b-1）x+c≤0，故④错误；故选：B7、解析：根据△＞0⇔抛物线与x 轴有两个交点，列出不等式即可解决问题．解：∵二次函数y=x 2-2x+m 的图象与x 轴有两个交点， ∴△＞0， ∴4-4m ＞0， ∴m ＜1．故答案为m ＜18、解析：设A （m ，0），B （n ，0），由△AOC ∽△COB ，得OBCOCO OA =结合根与系数关系，列出方程即可解决问题解：∵抛物线y=ax 2+2x-5与x 轴交于A 、B 两点，交y 轴于点C ， ∴C （0，-5），设A （m ，0），B （n ，0），如图所示，∵∠ACB=90°，∴∠CAO+∠ABC=90°，∠ABC+∠OCB=90°，∴∠OAC=∠OCB ，∵∠AOC=∠BOC=90°，∴△AOC ∽△COB ，∴OB CO CO OA =，∴n m 55=-，∴mn=-25=-a 5，∴a=51故答案为519、解析：根据题意，将（-1，0）代入解析式即可求得a+c 的值．解：∵抛物线y=ax 2+x+c 与x 轴交点的横坐标为-1， ∴抛物线y=ax 2+x+c 经过（-1，0）， ∴a-1+c=0， ∴a+c=1，故答案为1．10、解析：（1）利用配方法即可解决问题．（2）①m=1代入抛物线解析式，求出A 、B 两点坐标即可解决问题． ②根据题意判断出点A 的位置，利用待定系数法确定m 的范围．解：（1）∵y=mx 2-2mx+m-1=m （x-1）2-1， ∴抛物线顶点坐标（1，-1）．（2）①∵m=1，∴抛物线为y=x 2-2x ，令y=0，得x=0或2，不妨设A （0，0），B （2，0）， ∴线段AB 上整点的个数为3个．②如图所示，抛物线在点A ，B 之间的部分与线段AB 所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，∴点A 在（-1，0）与（-2，0）之间（包括（-1，0）），当抛物线经过（-1，0）时，m=41当抛物线经过点（-2，0）时，m=91，∴m 的取值范围为91＜m≤41．11、解析：（1）利用△=b 2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点得到4a 2-4a=0，然后解关于a 的方程求出a ，即可得到抛物线解析式；（2）利用点C 是线段AB 的中点可判断点A 与点B 的横坐标互为相反数，则可以利用抛物线解析式确定B 点坐标，然后利用待定系数法求直线AB 的解析式．解：（1）∵抛物线y=ax 2+2ax+1与x 轴仅有一个公共点A ， ∴△=4a 2-4a=0，解得a 1=0（舍去），a 2=1， ∴抛物线解析式为y=x 2+2x+1；（2）∵y=（x+1）2， ∴顶点A 的坐标为（-1，0）， ∵点C 是线段AB 的中点，即点A 与点B 关于C 点对称， ∴B 点的横坐标为1，当x=1时，y=x 2+2x+1=1+2+1=4，则B （1，4），设直线AB 的解析式为y=kx+b ，把A （-1，0），B （1，4）代入得−k +b ＝0, k +b ＝4，解得k ＝2, b ＝2， ∴直线AB 的解析式为y=2x+2．12、解析：（1）利用坐标轴上点的特点求出A 、B 、C 点的坐标，再用待定系数法求得直线BC 的解析式；（2）设点D 的横坐标为m ，则纵坐标为（m ，m 2−3m +45），E 点的坐标为（m ，−21m +45），可得两点间的距离为d=−m 2+25m ，利用二次函数的最值可得m ，可得点D 的坐标．解：（1）∵抛物线y=x 2-3x+45与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，∴令y=0，可得x=21或x=25，∴A （21，0），B （25，0）；令x=0，则y=45， ∴C 点坐标为（0，45），设直线BC 的解析式为：y=kx+b ，则有，25k +b ＝0 ,b ＝45，解得：k ＝−21,b ＝45， ∴直线BC 的解析式为：y=−21x+45；（2）设点D 的横坐标为m ，则坐标为（m ，m 2−3m +45）， ∴E 点的坐标为（m ，−21m+45），设DE 的长度为d ，∵点D 是直线BC 下方抛物线上一点，则d=−21m+45-（m 2-3m+45），整理得，d=-m 2+25m ， ∵a=-1＜0，∴当m=a b 2-＝)1(225-⨯-=45时，d 最大=a b ac 442-=44250--=1625， ∴D 点的坐标为（45，−1615）．。