高中数学必修4全套教案
新课标-人教A版-高中数学必修4教案精选
，
那么有（ D A．
） ． B． C． （ ） D．
例 2 用集合表示： （1）各象限的角组成的集合．
o
（2）终边落在
o o
轴右侧的角的集合．
解：(1) 第一象限角： ｛α|k360 π＜α＜k360 +90 ,k∈ Z｝ o o o o 第二象限角： ｛α|k360 +90 ＜α＜k360 +180 ,k∈ Z｝ o o o o 第三象限角： ｛α|k360 +180 ＜α＜k360 +270 ,k∈ Z｝ o o o 第四象限角：{α|k360 +270o＜α＜k360 +360 ,k∈Z｝ （2）在 ～ 中， 轴右侧的角可记为 ，同样把该范围“旋转” 后，得
1
1.定义中说：角的始边与 x 轴的非负半轴重合，如果改为与 x 轴的正半轴重合行不行，为什么？ 2.定义中有个小括号，内容是：除端点外，请问课本为什么要加这四个字？ 3.是不是任意角都可以归结为是象限角，为什么？ 处理：学生思考片刻后回答，教师适时予以纠正。 答：1.不行，始边包括端点（原点） ； 2．端点在原点上； 3．不是，一些特殊角终边可能落在坐标轴上；如果角的终边落在坐标轴上，就认为这个角不属于任一象限。 师：同学们一定要学会看数学书，特别是一些重要的概念、定理、性质要斟字酌句，每个字都要弄清楚，这样的 预习才是有效果的。 0 0 0 0 0 师生讨论：好，按照象限角定义，图中的 30 ，390 ，-330 角，都是第一象限角；300 ，-60 角，都是第四象限 0 角；585 角是第三象限角。 师：很好，不过老师还有几事不明，要请教大家： （1）锐角是第一象限角吗？第一象限角是锐角吗？为什么？ 生：锐角是第一象限角，第一象限角不一定是锐角； 0 师： （2）锐角就是小于 90 的角吗？ 0 生：小于 90 的角可能是零角或负角，故它不一定是锐角； 0 0 师： （3）锐角就是 0 ～90 的角吗？ 0 0 0 0 0 0 生：锐角：{θ|0 <θ<90 }；0 ～90 的角：{θ|0 ≤θ<90 }. 学生练习（口答） 已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在 x 轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出 它们是哪个象限的角？ 0 0 0 0 （1）420 ； （2）-75 ； （3）855 ； （4）-510 . 答： （1）第一象限角； （2）第四象限角； （3）第二象限角； （4）第三象限角. 5.终边相同的角的表示法 师：观察下列角你有什么发现? 390 330 30 1470 1770 生:终边重合. 0 师:请同学们思考为什么？能否再举三个与 30 角同终边的角？ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 生：图中发现 390 ，-330 与 30 相差 360 的整数倍，例如，390 =360 +30 ，-330 =-360 +30 ；与 30 角同终边的 0 0 角还有 750 ，-690 等。 0 0 0 0 师：好！这位同学发现了两个同终边角的特征，即：终边相同的角相差 360 的整数倍。例如：750 =2×360 +30 ； 0 0 0 0 -690 =-2×360 +30 。那么除了这些角之外，与 30 角终边相同的角还有： 0 0 0 0 3×360 +30 -3×360 +30 0 0 0 0 4×360 +30 -4×360 +30 ……， ……， 0 0 0 由此，我们可以用 S={β|β=k×360 +30 ，k∈Z}来表示所有与 30 角终边相同的角的集合。 师：那好，对于任意一个角α，与它终边相同的角的集合应如何表示？ 0 生：S={β|β=α+k×360 ，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。 6.例题讲评 例 1 设 E {小于90 的角｝ F {锐角｝，G＝{第一象限的角｝ ，
高中数学人教版必修4教案
1.1．1 任意角教学目标（一） 知识与技能目标理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. （二） 过程与能力目标会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合的书写．（三） 情感与态度目标1． 提高学生的推理能力； 2．培养学生应用意识． 教学重点任意角概念的理解；区间角的集合的书写． 教学难点终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写． 教学过程 一、引入：1．回顾角的定义①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角.②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． 二、新课：1．角的有关概念： ①角的定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． ②角的名称：③角的分类： ④注意：⑴在不引起混淆的情况下，“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”； ⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0°； ⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角． ⑤练习：请说出角α、β、γ各是多少度? 2．象限角的概念：①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角． 例1．如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角？例2．在直角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角．⑴ 60°； ⑵ 120°； ⑶ 240°； ⑷ 300°； ⑸ 420°； ⑹ 480°；正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角负角：按顺时针方向旋转形成的角 顶点AO答：分别为1、2、3、4、1、2象限角． 3．探究：教材P3面终边相同的角的表示：所有与角α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合S ＝{ β | β = α + k ·360° ，k ∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的和． 注意： ⑴ k ∈Z⑵ α是任一角；⑶ 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无限个，它们相差360°的整数倍；⑷ 角α + k ·720°与角α终边相同，但不能表示与角α终边相同的所有角．例3．在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相等的角，并判断它们是第几象限角．⑴－120°；⑵640°；⑶－950°12＇．答：⑴240°,第三象限角；⑵280°,第四象限角；⑶129°48＇,第二象限角； 例4．写出终边在y 轴上的角的集合(用0°到360°的角表示) ． 解:{α | α = 90°+ n ·180°,n ∈Z}． 例5．写出终边在x y =上的角的集合S,并把S 中适合不等式－360°≤β＜720°的元素β写出来． 4．课堂小结 ①角的定义； ②角的分类：③象限角；④终边相同的角的表示法． 5．课后作业：①阅读教材P 2-P 5； ②教材P 5练习第1-5题； ③教材P.9习题1.1第1、2、3题 思考题：已知α角是第三象限角，则2α，2α各是第几象限角？ 解：α 角属于第三象限，∴ k ·360°+180°＜α＜k ·360°+270°(k ∈Z)因此，2k ·360°+360°＜2α＜2k ·360°+540°(k ∈Z) 即(2k +1)360°＜2α＜(2k +1)360°+180°(k ∈Z)故2α是第一、二象限或终边在y 轴的非负半轴上的角． 又k ·180°+90°＜2α＜k ·180°+135°(k ∈Z) ． 当k 为偶数时，令k=2n(n ∈Z)，则n ·360°+90°＜2α＜n ·360°+135°(n ∈Z) ， 此时，2α属于第二象限角 当k 为奇数时，令k=2n+1 (n ∈Z)，则n ·360°+270°＜2α＜n ·360°+315°(n ∈Z) ， 此时，2α属于第四象限角 正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角负角：按顺时针方向旋转形成的角因此2α属于第二或第四象限角．1.1.2弧度制（一）教学目标（四） 知识与技能目标理解弧度的意义；了解角的集合与实数集R 之间的可建立起一一对应的关系；熟记特殊角的弧度数．（五） 过程与能力目标能正确地进行弧度与角度之间的换算，能推导弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式，并能运用公式解决一些实际问题 （六） 情感与态度目标通过新的度量角的单位制(弧度制)的引进，培养学生求异创新的精神；通过对弧度制与角度制下弧长公式、扇形面积公式的对比，让学生感受弧长及扇形面积公式在弧度制下的简洁美． 教学重点弧度的概念．弧长公式及扇形的面积公式的推导与证明． 教学难点“角度制”与“弧度制”的区别与联系． 教学过程一、复习角度制：初中所学的角度制是怎样规定角的度量的? 规定把周角的3601作为1度的角,用度做单位来度量角的制度叫做角度制． 二、新课： 1．引 入：由角度制的定义我们知道,角度是用来度量角的, 角度制的度量是60进制的,运用起来不太方便.在数学和其他许多科学研究中还要经常用到另一种度量角的制度—弧度制，它是如何定义呢？ 2．定 义我们规定,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制．在弧度制下, 1弧度记做1rad ．在实际运算中，常常将rad 单位省略． 3．思考：（1）一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是否是确定的？与圆的半径大小有关吗？（2）引导学生完成P6的探究并归纳： 弧度制的性质： ①半圆所对的圆心角为;ππ=rr②整圆所对的圆心角为.22ππ=rr③正角的弧度数是一个正数． ④负角的弧度数是一个负数． ⑤零角的弧度数是零． ⑥角α的弧度数的绝对值|α|=. rl 4．角度与弧度之间的转换： ①将角度化为弧度：π2360=︒； π=︒180；rad 01745.01801≈=︒π；rad n n 180π=︒． ②将弧度化为角度：︒=3602π；︒=180π；815730.57)180(1'︒=︒≈︒=πrad ；︒=) 180 (πn n ． 5．常规写法：① 用弧度数表示角时,常常把弧度数写成多少π 的形式, 不必写成小数． ② 弧度与角度不能混用．αα⋅=⇒=r l rl弧长等于弧所对应的圆心角(的弧度数)的绝对值与半径的积． 例1．把67°30＇化成弧度． 例2．把rad 53π化成度． 例3．计算：4sin)1(π；5.1tan )2(．例4．将下列各角化成0到2π的角加上2k π（k ∈Z ）的形式：319)1(π；︒-315)2(． 例5．将下列各角化成2k π + α(k ∈Z,0≤α＜2π)的形式,并确定其所在的象限．319)1(π；631)2(π-． 解: (1),672319πππ+=而67π是第三象限的角,319π∴是第三象限角.(2) 631,656631ππππ-∴+-=- 是第二象限角. .,,216. 是圆的半径是扇形弧长其中积公式利用弧度制证明扇形面例R l lR S =证法一:∵圆的面积为2R π,∴圆心角为1rad 的扇形面积为221R ππ,又扇形弧长为l,半径为R,∴扇形的圆心角大小为Rlrad, ∴扇形面积lR R R l S 21212=⋅=．证法二:设圆心角的度数为n ，则在角度制下的扇形面积公式为3602R n S π⋅=，又此时弧长180R n l π=，∴R l R R n S ⋅=⋅⋅=2118021π． 可看出弧度制与角度制下的扇形面积公式可以互化，而弧度制下的扇形面积公式显然要简洁得多．O R l22121:R lR S α==扇形面积公式7．课堂小结①什么叫1弧度角? ②任意角的弧度的定义③“角度制”与“弧度制”的联系与区别．8．课后作业：①阅读教材P 6 –P 8；②教材P 9练习第1、2、3、6题； ③教材P10面7、8题及B2、3题．4-1.2.1任意角的三角函数（三）教学目的：知识目标：1.复习三角函数的定义、定义域与值域、符号、及诱导公式； 2.利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值；3.利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围。
高中数学新湘教版精品教案《湖南教育出版社高中数学必修4 9.2.1 等差数列》
明确学习目标渗透核心素养
【情景引入】
1教师播放视频（高斯与数列的故事）
2请学生阅读以下案例并回答相应问题
案例错误!：在过去的三百多年里，人们分别在下列
时间里观测到了哈雷慧星：
1682，1758，1834，1910，1986，…
问题1：你能预测出彗星下一次出现的大致时间
吗？能写出通项公式吗？
案例错误!通常情况下，从地面到10公里的高空，气
温随高度的变化而变化符合一定的规律（如下表）
问题2：把表中温度排成一列： 28, , 15, , 2, ，-1，…
它能构成一个数列吗？是单调数列吗？
问题3：根据上述规律珠穆朗玛峰的峰顶大约多少度？
【新知探究1】等差数列的概念
思考1：（1）28, ,15, , 2, ，-2，…
（2）1682，1758，1834，1910，1986，…
（3）奥运会举办时间：1896，1900，1904，1908,
（4）5，5，5，5，5，5，5。
高中数学 必修四 (1.4.3 正切函数的性质与图象)教案 新人教A版必修4
1.4.3 正切函数的性质与图象教学过程导入新课思路1.(直接导入)常见的三角函数还有正切函数,前面我们研究了正、余弦函数的图象和性质,你能否根据研究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验,以同样的方法研究正切函数的图象与性质？由此展开新课.思路2.先由图象开始,让学生先画正切线,然后类比正弦、余弦函数的几何作图法来画出正切函数的图象.这也是一种不错的选择,这是传统的导入法. 推进新课 新知探究 提出问题①我们通过画正弦、余弦函数图象探究了正弦、余弦函数的性质.正切函数是我们高中要学习的最后一个基本初等函数.你能运用类比的方法先探究出正切函数的性质吗？都研究函数的哪几个方面的性质？②我们学习了正弦线、余弦线、正切线.你能画出四个象限的正切线吗？③我们知道作周期函数的图象一般是先作出长度为一个周期的区间上的图象,然后向左、右扩展,这样就可以得到它在整个定义域上的图象.那么我们先选哪一个区间来研究正切函数呢？为什么？④我们用“五点法”能简捷地画出正弦、余弦函数的简图,你能画出正切函数的简图吗？ 你能类比“五点法”也用几个字总结出作正切简图的方法吗？活动:问题①,教师先引导学生回忆:正弦、余弦函数的性质是从定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性这几个方面来研究的,有了这些知识准备,然后点拨学生也从这几个方面来探究正切函数的性质.由于还没有作出正切函数图象,教师指导学生充分利用正切线的直观性. (1)周期性 由诱导公式tan(x+π)=tanx,x∈R ,x≠2π+k π,k∈Z 可知,正切函数是周期函数,周期是π.这里可通过多媒体课件演示,让学生观察由角的变化引起正切线的变化的周期性,直观理解正切函数的周期性,后面的正切函数图象作出以后,还可从图象上观察正切函数的这一周期性. (2)奇偶性 由诱导公式tan(-x)=-tanx,x∈R ,x≠2π+k π,k∈Z 可知,正切函数是奇函数,所以它的图象关于原点对称.教师可进一步引导学生通过图象还能发现对称点吗？与正余弦函数相对照,学生会发现正切函数也是中心对称函数,它的对称中心是(2πk ,0)k∈Z . (3)单调性通过多媒体课件演示,由正切线的变化规律可以得出,正切函数在(2π-,2π)内是增函数,又由正切函数的周期性可知,正切函数在开区间(2π-+k π,2π+k π),k∈Z 内都是增函数.(4)定义域根据正切函数的定义tan α=xy,显然,当角α的终边落在y 轴上任意一点时,都有x=0,这时正切函数是没有意义的；又因为终边落在y 轴上的所有角可表示为k π+2π,k∈Z ,所以正切函数的定义域是{α|α≠k π+2π,k∈Z },而不是{α≠2π+2k π,k∈Z },这个问题不少初学者很不理解,在解题时又很容易出错,教师应提醒学生注意这点,深刻明了其内涵本质.(5)值域由多媒体课件演示正切线的变化规律,从正切线知,当x 大于2π-且无限接近2π-时,正切线AT 向Oy 轴的负方向无限延伸;当x 小于2π且无限接近2π时,正切线AT 向Oy 轴的正方向无限延伸.因此,tanx 在(2π-,2π)内可以取任意实数,但没有最大值、最小值.因此,正切函数的值域是实数集R .问题②,教师引导学生作出正切线,并观察它的变化规律,如图1.图1问题③,正切函数图象选用哪个区间作为代表区间更加自然呢？教师引导学生在课堂上展开充分讨论,这也体现了“教师为主导,学生为主体”的新课改理念.有的学生可能选取了［0,π］作为正切函数的周期选取,这正是学生作图的真实性的体现.此时,教师应调整计划,把课件中先作出［-2π,2π］内的图象,改为先作出［0,π］内的图象,再进行图象的平移,得到整个定义域内函数的图象,让学生观察思考.最后由学生来判断究竟选用哪个区间段内的函数图象既简单又能完全体现正切函数的性质,让学生通过分析得到先作区间(-2π,2π)的图象为好.这时条件成熟,教师引导学生来作正切函数的图象,如图2.根据正切函数的周期性,把图2向左、右扩展,得到正切函数y=tanx,x∈R,且x≠2π+k π(k∈Z )的图象,我们称正切曲线,如图3.图2 图3问题④,教师引导学生观察正切曲线,点拨学生讨论思考,只需确定哪些点或线就能画出函数y=tanx,x∈(2π-,2π)的简图.学生可看出有三个点很关键:(4π-,-1),(0,0),(4π,1),还有两条竖线.因此,画正切函数简图的方法就是:先描三点(4π-,-1),(0,0),(4π,1),再画两条平行线x=2π-,x=2π,然后连线.教师要让学生动手画一画,这对今后解题很有帮助. 讨论结果:①略.②正切线是AT. ③略.④能,“三点两线”法. 提出问题①请同学们认真观察正切函数的图象特征,由数及形从正切函数的图象讨论它的性质. ②设问:每个区间都是增函数,我们可以说正切函数在整个定义域内是增函数吗？请举一个例子.活动:问题①,从图中可以看出,正切曲线是被相互平行的直线x=2π+k π,k∈Z 所隔开的无穷多支曲线组成的.教师引导学生进一步思考,这点反应了它的哪一性质——定义域；并且函数图象在每个区间都无限靠近这些直线,我们可以将这些直线称之为正切函数的什么线——渐近线；从y 轴方向看,上下无限延伸,得到它的哪一性质——值域为R ；每隔π个单位,对应的函数值相等,得到它的哪一性质——周期π;在每个区间图象都是上升趋势,得到它的哪一性质——单调性,单调增区间是(2π-+k π,2π+k π),k∈Z ,没有减区间.它的图象是关于原点对称的,得到是哪一性质——奇函数.通过图象我们还能发现是中心对称,对称中心是(2πk ,0),k∈Z . 问题②,正切函数在每个区间上都是增函数,但我们不可以说正切函数在整个定义域内是增函数.如在区间(0,π)上就没有单调性. 讨论结果:①略. ②略. 应用示例例1 比较大小.(1)tan138°与tan143°；(2)tan(413π-)与tan(517π-). 活动:利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小,可以先利用诱导公式将已知角化为同一单调区间内的角,然后再比较大小.教师可放手让学生自己去探究完成,由学生类比正弦、余弦函数值的大小比较,学生不难解决,主要是训练学生巩固本节所学的基础知识,加强类比思想的运用.解:(1)∵y=tanx 在90°<x<180°上为增函数, ∴由138°<143°,得tan138°<tan143°.(2)∵tan(413π-)=-tan 413π=-tan(3π+4π)=-tan 4π, tan(517π-)=-tan 517π=-tan(3π+52π)=-tan 52π.又0<4π<52π<2π,而y=tanx 在(0, 2π)上是增函数,∴tan 4π<tan 52π.∴-tan 4π>-tan 52π,即tan(413π-)>tan(517π-).点评:不要求学生强记正切函数的性质,只要记住正切函数的图象或正切线即可. 例2 用图象求函数y=3tan -的定义域.活动:如图4,本例的目的是让学生熟悉运用正切曲线来解题.不足之处在于本例可以通过三角函数线来解决,教师在引导学生探究活动中,也应以两种方法提出解决方案,但要有侧重点,应体现函数图象应用的重要性.图4 图5解:由tanx-3≥0,得tanx≥3, 利用图4知,所求定义域为［k π+3π,k π+2π)(k∈Z ). 点评:先在一个周期内得出x 的取值范围,然后再加周期即可,亦可利用单位圆求解,如图5.本节的重点是正切线,但在今后解题时,学生哪种熟练就用哪种. 变式训练根据正切函数的图象,写出使下列不等式成立的x 的集合. (1)1+tanx≥0;(2)tanx+3＜0. 解:(1)tanx≥-1,∴x∈［k π-4π,k π+2π),k∈Z ; (2)x∈［k π-2π,k π-3π),k∈Z .例3 求函数y=tan(2πx+3π)的定义域、周期和单调区间. 活动:类比正弦、余弦函数,本例应用的是换元法,由于在研究正弦、余弦函数的类似问题时已经用过换元法,所以这里也就不用再介绍换元法,可以直接将2πx+3π作为一个整体.教师可让学生自己类比地探究,只是提醒学生注意定义域. 解:函数的自变量x 应满足2πx+3π≠k π+2π,k∈Z , 即x≠2k+31,k∈Z . 所以函数的定义域是{x|x≠2k+31,k∈Z }. 由于f(x)=tan(2πx+3π)=tan(2πx+3π+π)=tan[2π(x+2)+ 3π]=f(x+2),因此,函数的周期为2.由-2π+k π<2πx+3π<2π+k π,k∈Z ,解得35-+2k<x<31+2k,k∈Z .因此,函数的单调递增区间是(35-+2k,31+2k),k∈Z .点评:同y=Asin(ωx+φ)(ω>0)的周期性的研究一样,这里可引导学生探究y=Atan(ωx+φ)(ω>0)的周期T=ωπ. 变式训练求函数y=tan(x+4π)的定义域,值域,单调区间,周期性. 解:由x+4π≠k π+2π,k∈Z 可知,定义域为{x|x∈R 且x≠k π+4π,k∈Z }.值域为R .由x+4π∈(k π-2π,k π+2π),k∈Z 可得,在x∈(k π-43π,k π+4π)上是增函数. 周期是π,也可看作由y=tanx 的图象向左平移4π个单位得到,其周期仍然是π.例4 把tan1,tan2,tan3,tan4按照由小到大的顺序排列,并说明理由.活动:引导学生利用函数y=tanx 的单调性探究解题方法.也可利用单位圆中的正切线探究解题方法.但要提醒学生注意本节中活动的结论:正切函数在定义域内的每个区间上都是增函数,但我们不可以说正切函数在整个定义域内是增函数.学生可能的错解有: 错解1:∵函数y=tanx 是增函数,又1<2<3<4,∴tan1<tan2<tan3<tan4.错解2:∵2和3的终边在第二象限,∴tan2,tan3都是负数.∵1和4的终边分别在第一和第三象限,∴tan1,tan4都是正数.又∵函数y=tanx 是增函数,且2<3,1<4,∴tan2<tan3<tan1<tan4.教师可放手让学生自己探究问题的解法.发现错解后不要直接纠正,立即给出正确解法,可再让学生讨论分析找出错的原因. 解法一:∵函数y=tanx 在区间(2π,23π)上是单调递增函数,且tan1=tan(π+1),又2π<2<3<4<π+1<23π,∴tan2<tan3<tan4<tan1.解法二:如图6,1,2,3,4的正切函数线分别是AT 1,AT 2,AT 3,AT 4, ∴tan2<tan3<tan4<tan1.点评:本例重在让学生澄清正切函数单调性问题,这属于学生易错点.把正切函数y=tanx 的单调性简单地说成“在定义域内是增函数”是不对的. 知能训练课本本节练习1—5. 解答:1.在x 轴上任取一点O 1,以O 1为圆心,单位长为半径作圆,作垂直于x 轴的直径,将⊙O 1分成左右两个半圆,过右半圆与x 轴的交点作⊙O 1的切线,然后从圆心O 1引7条射线把右半圆分成8等份,并与切线相交,得到对应于83π-,4π-,8π-,0,8π,4π,83π等角的正切线.相应地,再把x 轴上从2π-到2π这一段分成8等份.把角x 的正切线向右平行移动,使它的起点与x 轴上的点x 重合,再把这些正切线的终点用光滑的曲线连结起来,就得到函数y=tanx,x∈(2π-,2π)的图象.点评:可类比正弦函数图象的作法. 2.(1){x|k π<x<2π+k π,k∈Z };(2){x|x=k π,k∈Z };(3){x|2π-+k π<x<k π,k∈Z }.点评:只需根据正切曲线写出结果,并不要求解三角方程或三角不等式. 3.x≠6π+3πk ,k∈Z . 点评:可用换元法. 4.(1)2π;(2)2π. 点评:可根据函数图象得解,也可直接由函数y=Atan(ωx+φ),x∈R 的周期T=ωπ得解. 5.(1)不是.例如0<π,但tan0=tan π=0.(2)不会.因为对于任何区间A 来说,如果A 不含有2π+k π(k∈Z )这样的数,那么函数y=tanx,x∈A 是增函数;如果A 至少含有一个2π+k π(k∈Z )这样的数,那么在直线x=2π+k π两侧的图象都是上升的(随自变量由小到大).点评:理解正切函数的单调性. 课堂小结1.先由学生回顾本节都学到了哪些知识方法,有哪些启发、收获.本节课我们是在研究完正、余弦函数的图象与性质之后,研究的又一个具体的三角函数,与研究正弦、余弦函数的图象和性质有什么不同?研究正、余弦函数,是由图象得性质,而这节课我们从正切函数的定义出发得出一些性质,并在此基础上得到图象,最后用图象又验证了函数的性质.2.(教师点拨)本节研究的过程是由数及形,又由形及数相结合,也是我们研究函数的基本方法,特别是又运用了类比的方法、数形结合的方法、化归的方法.请同学们课后思考总结:这种多角度观察、探究问题的方法对我们今后学习有什么指导意义？作业课本习题1.4 A组6、8、9.。
高中数学人教新课标必修四B版教案高中数学必修4全部教案
人教B版数学必修4 第一章基本初等函数（Ⅱ）教学设计一、教材分析1、本单元教学内容的范围1.1 任意角的概念与弧度制1.1.1 角的概念的推广1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算1.2 任意角的三角函数1.2.1 三角函数的定义1.2.2 单位圆与三角函数线1.2.3 同角三角函数的基本关系式1.2.4 诱导公式1.3 三角函数的图象与性质1.3.1 正弦函数的图象与性质1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质1.3.3 已知三角函数值求角本章知识结构如下：2、本单元教学内容在模块内容体系中的地位和作用（1）三角函数是一类十分重要的初等函数，它与本模块第三章“三角恒等变换”构成了高中“三角”知识的主体，是中学数学的重要内容之一，也是学习后继内容和高等数学的基础。
（2）三角函数是数学中重要的数学模型之一，是研究度量几何的基础，又是研究自然界周期变化规律最强有力的数学工具。
（3）三角函数作为描述周期现象的重要数学模型，与其它学科如天文学、物理学等联系非常紧密。
因此三角函数的学习可以培养学生的数学应用能力。
（4）三角函数的基础知识，主要是平面几何中的相似形和圆。
研究三角函数的方法，主要是在必修1中建立的研究初等函数的方法。
因此，通过对三角函数的学习，可以初步地把“数”与“形”联系起来。
（5）通过对三角函数的学习，不仅能使学生获得新的知识和技能，而且可以培养学生的辨证唯物主义观点，提高分析问题和解决问题的能力。
3、本单元教学内容总体教学目标 （1）任意角的概念、弧度制了解任意角的概念．了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化． （2）任意角的三角函数理解任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解任意角的余切、正割、余割的定义；并会利用单位圆中的有向线段表示正弦、余弦和正切，并理解其原理。
理解同角三角函数的基本关系式： 22sin cos 1x x +=，sin tan cos xx x=；借助单位圆的直观性探索正弦、余弦、正切的诱导公式，能进行同角三角函数之间的变换，会求任意角的三角函数值，并记住某些特殊角的三角函数值。
高一数学人教版(必修1~必修4)全套教案集(共4册)精品打包下载
2.过程与方法
让学生通过观察身边的实例，发现集合间的基本关系，体验其现实意义.
3.情感.态度与价值观
(1)树立数形结合的思想．
(2)体会类比对发现新结论的作用.
二.教学重点.难点
重点：集合间的包含与相等关系，子集与其子集的概念.
难点：难点是属于关系与包含关系的区别．
(5)海南省在2004年9月之前建成的所有立交桥；
(6)到一个角的两边距离相等的所有的点；
(7)方程 的所有实数根；
(8)不等式 的所有解；
(9)国兴中学2004年9月入学的高一学生的全体.
2．教师组织学生分组讨论：这9个实例的共同特征是什么?
3.每个小组选出——位同学发表本组的讨论结果，在此基础上，师生共同概括出9个实例的特征，并给出集合的含义.
(六)承上启下，留下悬念
1．课后书面作业：第13页习题1.1A组第4题.
2.元素与集合的关系有多少种？如何表示？类似地集合与集合间的关系又有多少种呢？如何表示？请同学们通过预习教材.
§1.1.2集合间的基本关系
一.教学目标:
1．知识与技能
(1)了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。
(2)理解子集.真子集的概念。
第一章集合与函数概念
集合
函数及其表示
函数的基本性质
第二章基本初等函数(Ⅰ)
指数函数
对数函数
幂函数
第三章函数的应用
函数与方程
函数模型及其应用
第一章集合与函数
§1.1.1集合的含义与表示
一.教学目标：
l.知识与技能
(1)通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；
人教版高中数学必修4《正弦函数、余弦函数的单调性》教案和教案说明
课题：正弦函数、余弦函数的单调性教材：人教版必修4（新课标A 版）教学目标：知识目标： 掌握正弦函数和余弦函数的单调性；会运用正余弦函数的单调性去判断两个同名的弦函数值的大小关系；能求出求形如的单调区间及)cos()sin(ϕωϕω+=+=x y x y 。
情感目标： 通过经历新知识的探索，培养学生善观察、勤思考、爱探究良好的学习品质。
能力目标： 培养学生的思考分析能力、自主探究能力，提高学生对新旧知识的运用能力，在推导新知及解题过程中使学生感悟数形结合思想及化归思想。
教学重点、难点：教学重点：用数形结合法探索正、余弦函数的单调性。
教学难点：求形如情形的单调区间当及0)cos()sin(>+=+=ωϕωϕωx y x y 。
教学方法：讲授法，探究法，讲练结合法教学过程:一、复习引入:1引入：前面已学过正弦函数和余弦函数的图象以及它们周期性和奇偶性，（投影：正、余弦函数的图象），现在我们要通过正弦、余弦函数图象去研究它的另一个重要的性质——单调性。
2、板书课题：正弦函数、余弦函数的单调性3、回忆：函数在某区间上单调增（或单调减）的图象特征。
二、新课:（一）、正弦函数的单调性1、探究正弦函数]23,2[sin ππ-=在x y 上的单调性(1) 让学生观察正弦函数y=sinx 的图象启发学生思考：它有多段图象自左到右是呈现上升状态，也有多段呈下降状态，根据函数单调性知识可知它分段具有单调性，那么这里面有什么规律呢，先要找一个周期区间上的函数图象来分析研究。
引导学生分析所选用的那一个区间段的图是否最佳选择，最适合的是只有一个单调增区间和单调减区间的用这两段上的图象。
（选择区间]23,2[ππ-） (2)让学生再观察正弦函数在区间]23,2[ππ-上的图象的升降情况.提问：从图形中你发现了什么样的现象？（3）总结出y=sinx 在一个周期段的区间上的单调性结论:(投影)正弦函数y=sinx 在闭区间]2,2[ππ-上单调增,其值由-1增大到1; 在闭区间]23,2[ππ上单调减,其值由1减小到-1. 2、探讨正弦函数y=sinx 在整个定义域上的单调性（1）观察y=sinx 在闭区间⋯⋯--]2325[]25,23[ππππ，、，它们的图象是完全相同的，也一样是从左到右上升状态，这些闭区间之间的关系是相隔了整数倍的周期，引导结合正弦函数的周期性,让学生试写出它在定义域上的单调增区间（2）得出结论:正弦函数y=sinx 在每一个闭区间)](22,22[Z k k k ∈+-ππππ上单调增,其值由-1增大到1;用类似方法探索出正弦函数y=sinx 在定义域上的减区间，得到结论：在每一个闭区间)](232,22[Z k k k ∈++ππππ上单调减,其值由1减小到-1. （教师板书正弦函数的增、减区间）强调：正弦函数在定义域R 上不单调，但在各个周期上分段单调；上面写的正弦函数的增、减区间，其实是由很多个区间组成，并不止一个，因为k 每取一个整数就有一个相应的区间，书写带周期的单调区间时，勿忘了写上Z k ∈这一条件。
高中数学必修4教案6篇
高中数学必修4教案6篇教学目标1、把握平面对量的数量积及其几何意义；2、把握平面对量数量积的重要性质及运算律；3、了解用平面对量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；4、把握向量垂直的条件。
教学重难点教学重点：平面对量的数量积定义教学难点：平面对量数量积的定义及运算律的理解和平面对量数量积的应用教学工具投影仪教学过程一、复习引入：1、向量共线定理向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使=λ五，课堂小结（1）请学生回忆本节课所学过的学问内容有哪些？所涉及到的主要数学思想方法有那些？（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向教师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？六、课后作业P107习题2.4A组2、7题课后小结（1）请学生回忆本节课所学过的学问内容有哪些？所涉及到的主要数学思想方法有那些？（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向教师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？课后习题作业P107习题2.4A组2、7题高中数学必修4优秀教案篇二教学预备教学目标一、学问与技能（1）理解并把握弧度制的定义；(2)领悟弧度制定义的合理性；(3)把握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式；(4)娴熟地进展角度制与弧度制的换算；(5)角的集合与实数集之间建立的一一对应关系。
(6) 使学生通过弧度制的学习，理解并熟悉到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系。
二、过程与方法创设情境，引入弧度制度量角的大小，通过探究理解并把握弧度制的定义，领悟定义的合理性。
依据弧度制的定义推导并运用弧长公式和扇形面积公式。
以详细的实例学习角度制与弧度制的互化，能正确使用计算器。
三、情态与价值通过本节的学习，使同学们把握另一种度量角的单位制---弧度制，理解并熟悉到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1.1．1 任意角 教学目标知识与技能目标理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. 过程与能力目标会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合的书写．情感与态度目标提高学生的推理能力； 2．培养学生应用意识． 教学重点任意角概念的理解；区间角的集合的书写． 教学难点终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写． 教学过程 一、引入：1．回顾角的定义①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角.②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． 二、新课：1．角的有关概念： ①角的定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． ②角的名称：③角的分类： ④注意：⑴在不引起混淆的情况下，“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”； ⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0°； ⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角． ⑤练习：请说出角α、β、γ各是多少度? 2．象限角的概念：①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角． 例1．如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角？正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角负角：按顺时针方向旋转形成的角顶点A O例2．在直角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角．⑴ 60°； ⑵ 120°； ⑶ 240°； ⑷ 300°； ⑸ 420°； ⑹ 480°； 答：分别为1、2、3、4、1、2象限角． 3．探究：教材P3面 终边相同的角的表示： 所有与角α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合S ＝{ β | β = α + k ·360 ° ， k ∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的和． 注意： ⑴ k ∈Z⑵ α是任一角；⑶ 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无限个，它们相差360°的整数倍；⑷ 角α + k ·720 °与角α终边相同，但不能表示与角α终边相同的所有角．例3．在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相等的角，并判断它们是第几象限角． ⑴－120°；⑵640 °；⑶－950°12＇．答：⑴240°,第三象限角；⑵280°,第四象限角；⑶129°48＇,第二象限角； 例4．写出终边在y 轴上的角的集合(用0°到360°的角表示) ． 解:{α | α = 90°+ n ·180°,n ∈Z}．例5．写出终边在x y =上的角的集合S,并把S 中适合不等式－360°≤β＜720°的元素β写出来． 4．课堂小结 ①角的定义； ②角的分类：③象限角；④终边相同的角的表示法． 5．课后作业：①阅读教材P2-P5； ②教材P5练习第1-5题； ③教材P.9习题1.1第1、2、3题思考题：已知α角是第三象限角，则2α，2α各是第几象限角？ 解：α 角属于第三象限，正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角负角：按顺时针方向旋转形成的角∴ k ·360°+180°＜α＜k ·360°+270°(k ∈Z)因此，2k ·360°+360°＜2α＜2k ·360°+540°(k ∈Z) 即(2k +1)360°＜2α＜(2k +1)360°+180°(k ∈Z)故2α是第一、二象限或终边在y 轴的非负半轴上的角．又k ·180°+90°＜2α＜k ·180°+135°(k ∈Z) ．当k 为偶数时，令k=2n(n ∈Z)，则n ·360°+90°＜2α＜n ·360°+135°(n ∈Z) ，此时，2α属于第二象限角当k 为奇数时，令k=2n+1 (n ∈Z)，则n ·360°+270°＜2α＜n ·360°+315°(n ∈Z) ，此时，2α属于第四象限角 因此2α属于第二或第四象限角．1.1.2弧度制（一） 教学目标知识与技能目标理解弧度的意义；了解角的集合与实数集R 之间的可建立起一一对应的关系；熟记特殊角的弧度数． 过程与能力目标能正确地进行弧度与角度之间的换算，能推导弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式，并能运用公式解决一些实际问题 情感与态度目标通过新的度量角的单位制(弧度制)的引进，培养学生求异创新的精神；通过对弧度制与角度制下弧长公式、扇形面积公式的对比，让学生感受弧长及扇形面积公式在弧度制下的简洁美． 教学重点弧度的概念．弧长公式及扇形的面积公式的推导与证明． 教学难点“角度制”与“弧度制”的区别与联系． 教学过程一、复习角度制：初中所学的角度制是怎样规定角的度量的?规定把周角的3601作为1度的角,用度做单位来度量角的制度叫做角度制．1．引 入：由角度制的定义我们知道,角度是用来度量角的, 角度制的度量是60进制的,运用起来不太方便.在数学和其他许多科学研究中还要经常用到另一种度量角的制度—弧度制，它是如何定义呢？ 2．定 义我们规定,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制．在弧度制下, 1弧度记做1rad ．在实际运算中，常常将rad 单位省略． 3．思考：（1）一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是否是确定的？与圆的半径大小有关吗？（2）引导学生完成P6的探究并归纳： 弧度制的性质：①半圆所对的圆心角为;ππ=rr②整圆所对的圆心角为.22ππ=r r③正角的弧度数是一个正数． ④负角的弧度数是一个负数．⑤零角的弧度数是零． ⑥角α的弧度数的绝对值|α|=.r l4．角度与弧度之间的转换： ①将角度化为弧度：π2360=︒； π=︒180；rad01745.01801≈=︒π；rad n n 180π=︒．②将弧度化为角度：︒=3602π；︒=180π；815730.57)180(1'︒=︒≈︒=πrad ；︒=) 180 (πnn ．5．常规写法：① 用弧度数表示角时,常常把弧度数写成多少π 的形式, 不必写成小数． ② 弧度与角度不能混用． 6．特殊角的弧度 角度0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度 0 6π 4π 3π 2π 32π 43π 65π π 23π π27．弧长公式αα⋅=⇒=r l rl弧长等于弧所对应的圆心角(的弧度数)的绝对值与半径的积． 例1．把67°30＇化成弧度．例2．把rad 53π化成度．4sin)1(π；5.1tan )2(．例4．将下列各角化成0到2π的角加上2k π（k ∈Z ）的形式：319)1(π；︒-315)2(．例5．将下列各角化成2k π + α(k ∈Z,0≤α＜2π)的形式,并确定其所在的象限．319)1(π；631)2(π-．解: (1),672319πππ+= 而67π是第三象限的角,319π∴是第三象限角. (2)631,656631ππππ-∴+-=-是第二象限角..,,216. 是圆的半径是扇形弧长其中积公式利用弧度制证明扇形面例R l lR S =证法一:∵圆的面积为2R π,∴圆心角为1rad 的扇形面积为221R ππ,又扇形弧长为l,半径为R, ∴扇形的圆心角大小为R lrad, ∴扇形面积lRR R l S 21212=⋅=． 证法二:设圆心角的度数为n ，则在角度制下的扇形面积公式为3602R n S π⋅=，又此时弧长180R n l π=，∴Rl R R n S ⋅=⋅⋅=2118021π．可看出弧度制与角度制下的扇形面积公式可以互化，而弧度制下的扇形面积公式显然要简洁得多．22121:R lR S α==扇形面积公式7．课堂小结①什么叫1弧度角? ②任意角的弧度的定义③“角度制”与“弧度制”的联系与区别．8．课后作业：①阅读教材P6 –P8；②教材P9练习第1、2、3、6题；OR l③教材P10面7、8题及B2、3题．4-1.2.1任意角的三角函数（三） 教学目的：知识目标：1.复习三角函数的定义、定义域与值域、符号、及诱导公式； 2.利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值；3.利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围。
能力目标：掌握用单位圆中的线段表示三角函数值，从而使学生对三角函数的定义域、值域有更深的理解。
德育目标：学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神； 教学重点：正弦、余弦、正切线的概念。
教学难点：正弦、余弦、正切线的利用。
教学过程： 一、复习引入： 1. 三角函数的定义 2. 诱导公式)Z (tan )2tan()Z (cos )2cos()Z (sin )2sin(∈=+∈=+∈=+k k k k k k ααπααπααπ练习1..____________tan600o的值是 D 3.D 3.C 33.B 33.A --练习2. .________,0cos sin 在则若θθθ> B第二、四象限 第一、四象限第一、三象限第一、二象限.D .C .B .A练习3. ____0sin20cos 的终边在则若 θθ<>θ，且 C第二象限 第四象限 第三象限 第一象限.D .C .B .A二、讲解新课：当角的终边上一点(,)P x y1=时，有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示——三角函数线。
1．有向线段：坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。
规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。
有向线段：带有方向的线段。
2．三角函数线的定义：设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点P (,)x y ，过P 作x长线交与点T .由四个图看出：当角α的终边不在坐标轴上时，有向线段,OM x MP y ==，于是有sin 1y y y MP r α====， cos 1x x x OM r α====，tan y MP AT AT x OM OA α====我们就分别称有向线段,,MP OM AT 为正弦线、余弦线、正切线。