第5章 时变电磁场和平面电磁波1

[
]
(
)
(
)
(
)
[
]
[
]
E (t ) = Re (e + je i )e jωt = Re [(e + je i )(cos ω t + j sin ω t )] = e cos ω t − ei sin ω t H (t ) = Re (h + jh i )e j ω t = h cos ω t − h i sin ω t E (t )H (t ) = eh cos 2 ω t + e i hi sin 2 ω t − eh i cos ω t sin ω t − e i h cos ω t sin ω t
5.2 / 5.1-2 已知 α 是正实数，试证： (a)若 α << 1,
jα ⎞ ⎛ 1 + jα ≈ ± ⎜1 + ⎟ ; 2 ⎠ ⎝
jα ⎞ ⎛ 1 + jα ≈ ± ⎜ 1 + ⎟ ;。 2 ⎠ ⎝
(b)若 α >> 1, [解] ( a)
α << 1 :
1 + jα =
( 1+α
2
e j tan
⎛ & ∇ε ∇⎜ E ⋅ ε ⎝ ⎞ & & 2 & 2 ⎟ + ∇ E = −ω µεE + jω∇µ × H ⎠
利用(2)(3)后,
再利用(1)式代入, 得
& + ω 2 µεE & + ∇⎛ E & ∇ε ⎞ + ∇µ × ∇ × E & =0 ∇2E ⎜ ⋅ ⎟ ε µ ⎝ ⎠
& =x ˆE10e − jk1 z ， 5.7 / 5.3-1 设真空中 同 时存在两 个 时谐电磁 场 ，其电场 强 度分别为 E 1 & =y ˆ E20e − jk 2 z ，试证总平均功率流密度等于两个时谐场的平均功率流密度之和。 E 2
[证 1]
ˆ S1av = z
2 E10 ， 2η 0
ˆ S 2av = z
2 E 20 2η 0
故
ˆ S av = z
2 2 + E 20 E10 = S1av + S 2av 2η 0
70
& =x ˆE10e − jk1 z ， [证 2] E 1 & =y ˆ E20e − jk 2 z ， E 2
(d)
π⎞ ⎛ ˆ H 0 cos⎜ ωt − kz sin θ − ⎟ = y ˆ H 0 sin (ωt − kz sin θ ) H (t ) = y 2⎠ ⎝
ˆE0 sin (ωt − kz ) 5.5 / 5.2-1 已知自由空间某点的电场强度 E (t ) = x
(a) 磁场强度 H (t ) ； (b) 坡印廷矢量 S (t ) 及其一周 T=2π/ω 内的平均值 S [解]
ˆ x ∂ & = j & = j H ∇× E ωµ 0 ωµ 0 ∂x & E 1 1
x
E k π⎞ ⎛ & e j ωt = y ˆ ˆ 0 sin (ωt − kz ) H (t ) = Re H E 0 cos⎜ ωt − kz − ⎟ = y 2⎠ η0 ωµ 0 ⎝
69
[
]
式中
ωµ 0
68
[
]
[
]
=
1 [eh + ei hi + (eh − e i hi ) cos 2ω t − (eh i + e i h )sin 2ω t ] 2
可见,为恒定成分与二倍频成分的叠加. 5.4 / 5.1-4 将下列场矢量的瞬时值变换为复矢量，或作相反的变换：
ˆE 0 sin (ωt − kz ) + y ˆ 3E 0 cos(ωt − kz ) ； (a) E (t ) = x ˆ ⎢ E 0 sin ωt + 3E 0 cos⎜ ωt + (b) E (t ) = x ⎣
av 2 π − jkz − j ⎡1 ⎤ E jkz + j π E0 ⎡1 & & ∗ ⎤ 2 2 ˆE 0 e ˆ 0e ˆ = Re ⎢ E × H ⎥ = Re ⎢ x ×y = z ⎥ η0 η0 ⎣2 ⎦ ⎣2 ⎦
或 S
5.6 / 5.2-2 对于非均匀的各向同性线性媒质，请导出其无源区电场强度复矢量的波动方程。 [解] 无源区限定形式麦氏方程为
ˆ + jy ˆ )e (c) H = ( x &
− jkz
⎡
⎛ ⎝
π ⎞⎤
⎟ ； 6 ⎠⎥ ⎦
； 。
ˆ jH 0 e (d) H = − y
[解]
&
− jkz sin θ
ˆE 0 e (a) E = x
&
− jkz
e
−j
π
2
ˆ 3 E 0 e − jkz = (− j x ˆ+ y ˆ 3 )E 0 e − jkz + y
[
]
η0 =
µ0 ε0
2
(b)
E ˆ 0 sn2kz sin 2ωt S (t ) = E (t ) × H (t ) = − z 4η 0 z = 0,
z= z=
S (t ) = 0
, ,
π
4k
ˆ S (t ) = − z S (t ) = 0
E0 sin 2ωt 4η 0
2
π
2k
S
av
E 1 T 1 ˆ 0 sin 2kz ⋅ = ∫ S (t ) ⋅dt = − z T 0 4η 0 T
5.9 / 5.3-3 在理想导体平面上方的空气区域（ z ＞ 0 ）存在时谐电磁场，其电场强度为
ˆE 0 sin kz cos ωt 。 E (t ) = x
(a) 求磁场强度 H (t ) ； (b) 求在 z=0，π/4k 和 π/2k 处的坡印廷矢量瞬时值及平均值； (c) 求导体表面的面电流密度。 [解]
第5章
[解]
时变电磁场和平面电磁波
5.1 / 5.1-1 已知 z2=1+j，求复数 z 的两个解。
z 2 = 1 + j = 2e z1 = 4 2e
jπ 8
jπ
4
= 1.189e j 22.5 = 1.099 + j 0.455
o
o
z 2 = −1.189e j 22.5 = −1.099 − j 0.455
输的总功率。 [解] 设内导体单位长度电荷密度为 ρl ，由高斯定理得
εE ⋅ 2πρl = ρ l l ，
∴U = ∫ E ⋅ dl = ∫
a b b
ˆ 则E = ρ
ρL 2περ
得
a
ρl ρ b dρ = l ln 2περ 2πε a
ρl U = b 2πε ln
a
ˆ ∴E = ρ
U
ρ ln
b a
k
=
ωµ 0 µ0 = = η0 ε0 ω µ 0ε 0
E0
2 2 2 2
(b)
E ˆ× y ˆ ˆ 0 [1 − cos 2(ωt − kz )] sin (ωt − kz ) = z S (t ) = E (t ) × H (t ) = x η0 2η 0 S
av
E 1 T ˆ 0 = ∫ S (t )dt = z 0 2η 0 T
2
∫
T
0
sin
4πt dt = 0 T
或
⎡ j ⎤ ⎡1 & & ∗ ⎤ 2 ˆ S av = Re ⎢ E × H ⎥ = Re ⎢ z E 0 sin 2kz ⎥ = 0 ⎣2 ⎦ ⎣ 4η 0 ⎦ ˆj ˆ× y =z E0
(c)
& =n & ˆ×H J s
z =0
η0
ˆj = −x
E0
η0
⎡ ⎤ E E E π⎞ ⎛ ˆj 0 e jωt ⎥ = x ˆ 0 cos⎜ ωt − ⎟ = x ˆ 0 sin ωt J s (t ) = Re ⎢− x η0 η0 2⎠ η0 ⎝ ⎣ ⎦
(b)
π π ⎡ j ⎤ −j ⎡ ⎛ 3 ⎛3 3 1 ⎞⎤ 1⎞ & =x ⎟⎥ = x ⎟ ˆ ⎢ E 0 e 2 + 3E 0 e 6 ⎥ = x ˆE 0 ⎢− j + 3⎜ ˆE 0 ⎜ + + E j j ⎜ 2 ⎜ 2 ⎟ ⎟ 2 2 ⎥ ⎢ ⎝ ⎝ ⎠⎦ ⎠ ⎣ ⎦ ⎣
(c)
π⎞ ⎛ ˆ cos(ωt − kz ) + y ˆ cos⎜ ωt − kz + ⎟ = x ˆ cos (ωt − kz ) − y ˆ sin (ωt − kz ) H (t ) = x 2⎠ ⎝
E & = 1 z & =y ˆ 10 e − jk1 z ˆ×E H 1 1
η0
η0
E & = 1 z & = −x ˆ 20 e − jk 2 z ˆ×E H 2 2
η0
η0
2 2 E10 ⎤ E10 ⎡1 & & ∗ ⎤ = Re ⎡ z ˆ ˆ S1av = Re ⎢ E H z × = ， ⎢ ⎥ 1 1 ⎥ 2 η 2 η ⎣2 ⎦ ⎢ ⎥ 0 ⎦ 0 ⎣ 2 E 20 & ×H & ∗ =z ˆ S 2av = Re E 2 2 2η 0
[
]
⎛ E10 jk1 z E20 jk 2 z ⎞⎤ ⎡1 & & × H & ∗+H & ∗ ⎤ = Re ⎡ 1 x − jk1 z − jk 2 z ⎜ ˆ ˆ ˆ ˆ + + × − S av = Re ⎢ E E E e y E e y e x e ⎟ ⎢ 1 2 1 2 ⎥ 10 20 ⎜ η ⎟⎥ η0 ⎣2 ⎦ ⎢2 ⎥ 0 ⎝ ⎠⎦ ⎣