电磁场与电磁波(第5章时变电磁场)
结论：空间中一旦建立静电荷分布，则空间中立即建立起静电场分布；反过 来，如果在静电场中我们将静电荷撤走，空间中的静电场也将立刻消失
2、时变的电荷和时变的电流源
E (r , t ) 1 4 0
(r ' , t )(r r ' )d '
| r r ' |3
5.4
一、H 的边界条件
时变电磁场的边界条件
n
H 1t
将积分形式麦氏第一方程用于边界面上的闭 合回路，并考虑高阶小量 h 。
1
μ 2
S
l
H1
h
H dl J dS
c S
D dS t S
H 2t
H2
Js
与恒定磁场相比较
H d l J dS
c S
1、静态场的场与源的时间特性
静电场和恒定磁场对源的即时性和独立性 静电场： 恒定磁场：
E 1 4 0
(r ' )(r r ' )d '
| r r ' |3
B 0 4
J (r ' ) (r r ' ) ' d ' 3 | r r | l
E ex Em cos t
Jd D e x 0 r Em sin t t
J dm 0 r Em 4.5 103 Em
J cm Em 4Em
故
J dm 1.125 103 J cm
作业：习题5.3 ，习题5.4 ，习题5.5
5.3
三、例题 例：已知无源的自由空间中，时变电磁场的电场强度为 求：(1)磁场强度；（2）瞬时坡印廷矢量；（3）平均 坡印廷矢量
◇麦克斯韦第一方程： 安培环路定律，表明传导电流和变化的电场都能产生磁场。 ◇麦克斯韦第二方程 ：电磁感应定律, 表明变化的磁场能产生电场。
◇ 麦克斯韦第三方程 ：磁通连续性原理，表明磁场是无源场,磁力线总是闭合曲线。 ◇ 麦克斯韦第四方程 ：高斯定律，表明电荷以发散的方式产生电场。 ◇ 静态场和恒定场是时变场的两种特殊形式。 ◇ 电流连续性方程可由麦氏方程导出。
s
则
J dS
式中
S
dq D dS J d dS dt t S S
Jd
D t
位移电流密度
设想S2上有位移电流流过，并考虑S2 的面元方向，得
S1
J dS J d dS （对上述两个不同的面S1和S2，得到相同的积分结果）
s2
一般情况下，空间可能同时存在真实电流和位移电流，则安培环路定律为
由斯托克斯定理
E dl E dS
故
c S
B E dS 0 t S
上式对任意回路所围面积都成立，故被积函数为零
E B t
上式是法拉第电磁感应定律的微分形式
5.2
位移电流
◇ 恒定磁场中的安培环路定律应用于时变场时的矛盾。 作闭合曲线 c 与导线交链，根据安培环路定律 经过S1 面
二、E 的边界条件
当 h 0 该积分为零 因此，时变场中H 的边界条件与恒定磁场时的 形式相同，即
同样的分析可得时变场中E的边 界条件与静电场时的形式相同， 即 n E1 E2 0
分界面上电场强度 的切向分量连续
n H1 H2 = Js
三、B 的边界条件
四、D 的边界条件
◇当穿过导体的磁通发生变化时，回路中会产生感应电流，这表明回路中感应了 电动势。这就是法拉第电磁感应定律。
in
d dt
◇负号表示感应电流产生的磁场
总是阻碍原磁场的变化。 ◇电动势是非保守电场沿闭合路径的积分，回路中出现感应电 动势，表明导体内出现感应电场
in Ein dl
（2）导体表面电流存在于两导体相向的面
Js
z 0
n H ez H ey
z 0
Js
z d
n H e z H ey p
z d
0 d
E0 sin t k x x
0 d
E0 sin t k x x
5.5
波动方程
考虑均匀无耗媒质的无源区域 0, J 0, 0 麦氏方程为
◇ 静态场和恒定场 微分形式
H J
积分形式
c
H dl
S
J dS
E 0
S
c
E dl 0
B 0
D
◇ 电流连续性方程 由
B dS 0 D dS q
S
H J
D t
两边取散度
D H J t D 0 J t
究宏观电磁现象的理论基础。 ◇本章在电磁场基本方程组的基础上给出电磁波的运动方程—波动方 程和电磁位方程，它们分别是波动理论和天线理论 的基础
5.1 5.2 5.3 5.4
法拉第电磁感应定律 位移电流 麦克斯韦方程 时变电磁场的边界条件
5.5
5.6
坡印廷定理和坡印廷矢量
波动方程
5.7
动态矢量位和标量位
B dS
S
则
E dl
c
d B dS dt S
结论：变化的磁场将激励感应电场，感应电场是一种漩式写为微分形式
E dl
c
d B B d S dS （设回路静止，磁通的变化由磁场随时间变化引起） dt S t S
微分形式
H J D t B E t
麦克斯韦方程
积分形式
D ) dS t
c
H dl
S
(J
S
第一方程
c
E dl
B dS t
第二方程
第三方程 第四方程
B 0
D
讨论
s
S
B dS 0
D dS q
同理
得
2 E E 2 0 t
2
2 H H 0 t 2
2
电场E 的波动方程
磁场H 的波动方程
式中 2 为拉普拉斯算符，在直角坐标系中
2 2 2 2 2 2 x y z
2
而波动方程在直角坐标系中可分解为三个标量方程
2 Ex 2 Ex 2 Ex 2 Ex 0 x 2 y 2 z 2 t 2
式中kx为常数。
试求：（1）磁场强度H；（2）两导体表面上的面电流密度Js。 z 解： （1）取如图所示的坐标。由
d
E 0
H t
o
x
得
e x
E E H ez 0 z x t
故
H
E0 e x cos z cos t k x x d t e z k x sin z sin t k x x d t 0 d d d k ex E0 cos z sin t k x x ez x E0 sin z cos t k x x 0 d 0 d d 1
B( r , t ) 0 4
J (r ' , t ) (r r ' ) ' d | r r ' |3 l
结论：时变的电场将激励磁场，时变的磁场也将激励电场，时变电场与时变磁 场的相互激励将形成向远方传播的电磁波
5.1
法拉第电磁感应定律及其数学方程
H E E t H E t
积分形式
c
H dl
c
S
( E
S
E dl
S
H dS t
E ) dS t
H 0
E
s
H dS 0
E dS q
麦克斯韦方程组是描述宏观电磁现象的基本规律。
c
H dl
S
D J dS t
安培环路定律的积分形式
由斯托克斯定理
c
H dl
S
H dS
安培环路定律的微分形式
H J D t
关于电流 传导电流：导电媒质中，带电粒子在电场的作用下的定向运动。 J c E 位移电流：具有磁效应，可以产生磁场。但与带电粒子的定向运动无关。 例 海水的电导率为4S/m，相对介电常数为81，求频率为1MHz时，位 移电流与传导电流的比值。 解：设电场随时间作正弦变化，表示为 则位移电流密度为 其幅值为 传导电流的幅值为
c
d dt
上式对磁场中的任意回路都成立。
设空间还存在静止电荷产生的静电场Ec,则总电场
E Ein Ec
沿任意闭合路径的积分
E dl Ein dl Ec dl Ein dl
c c c c
d dt
（静电场Ec沿任意闭合路径的积分为零）
磁通
n E1 E2 0 n D1 D2 0 n B1 B2 0
n H1 H2 = 0
或
E1t E2t 0
B1n B2n 0
D1n D2n 0
◇ 理想介质和理想导体的分界面 （ E2 0, D2 0, B2 0, H2 0 ）
电磁场第五章 时变电磁场
H2
同理得
en
(E1
E2
)
0
或
E1t E2t
5.4.2 两种常见的情况 1. 两种理想介质分界面
上的边界条件
在两种理想介质分界 面上，通常没有电荷和 电流分布，即JS＝0、ρS ＝0，故
en
媒质 1 媒质 2
Er、Hr 的切向分量连续
en
媒质 1 媒质 2
Dr、Br的法向分量连续
en
dt
BgdS
S
即
Ñ 若空间同时存在由电荷产生的电场
rr r 。E由 于Ein Ec
，故有
C
rr Ec gdl
0
Er c,则总电场
应Er为
与Erin 之E和rc ，
rr d r r
ÑC Egdl
dt
S BgdS
这就是推广的法拉第电磁感应定律。
2. 引起回路中磁通变化的几种情况：
(1) 回路不变，磁场随时间变化
2.6.2 麦克斯韦方程组的微分形式
H
J
D
E
t B
t
B 0
D
麦克斯韦第一方程，表明传导电 流和变化的电场都能产生磁场
麦克斯韦第二方程，表 明变化的磁场产生电场
麦克斯韦第三方程表明磁场是 无源场，磁力线总是闭合曲线
麦克斯韦第四方程， 表明电荷产生电场
5.3.2 媒质的本构关系
在时变的情况下不适用
解决办法： 对安培环路定理进行修正
由
D
J
(
D)
将
H
J
修正为：
H
t J
D
t
时变电场会激发磁场
(J
D )
电磁场与电磁波期末复习知识点归纳
标量场:梯度描述
静态场(稳态场):不随t变
场
场 矢量场:散度和旋度描述 时变场：随t变化
单位矢量：模为1的矢量
与矢量 A同方向的单位矢量：
eA
Aˆ
A A
A eAA
坐标单位矢量：与坐标轴正向同方向的单位矢量
如：ex
ey
ez或者xˆ
yˆ
zˆ
A Axex Ayey Azez
◇ 唯一性定理的意义：是间接求解边值问题的理论依据。
● 镜像法求解电位问题的理论依据是“唯一性定理”。
点电荷对无限大接地导体平面的镜像
z
r1
P
q h
r r2 介质
x
h
介质
q
点电荷对接地导体球面的镜像。
P
r
a
r2
o θ q d’
d
r1 q
q a q, d
d a2 d
第4章 时变电磁场
nˆ B1 B2 0
nˆ H1 H2 0
第三章 静态电磁场及其边值问题的解
静电场中: E 0
E(r) (r )
静磁场：B A
已知电位表达式可以用E(r) (r )求场强E
已知电场强度也可以求电位（P）
等于边界电流面密度。
1、E1t E2t
nˆ (E1 E2 ) 0
2、B1n B2n
3、D1n D2n s
nˆ B1 B2 0 nˆ (D1 D2 ) s
4、H1t H2t Js
nˆ H1 H2 Js
第5章 时变电磁场 (全)
? 2E
2 抖 r E J + me 2 = m e ¶t ¶t
? 2H
¶ 2H me = - 汛 J 2 ¶t
需要求解 6 个坐标分量。 位函数满足一个矢量微分方程和一个标量微分方程
? 2A
¶ 2A me 2 = - mJ ¶t
? 2F
¶ 2F r me 2 = e ¶t
仅需求解 4 个坐标分量，直角坐标系中实际上等于求解 1 个标量方程。
炎 B = 0
磁通连续性定理 高斯定理
炎 D = r
¶r ¶t
Ò J ?ds 蝌
S
-
d dt
蝌
V
r dv
炎 J = -
电荷守恒定律 本构关系
ì ï Jc = sE ï J =J + í ï J = rv ï î v
i
D = eE
B = mH
时 变 电 磁 场
时变电场是有旋有散的，时变磁场是有旋无散的。但， 时变电磁场中的电场与磁场是不可分割的，因此，时变 电磁场是有旋有散场。 在无源区中，时变电磁场是有旋无散的。 电场线与磁场线相互交链，自行闭合，从而在空间形成 电磁波。 静态场和恒定场是时变场的两种特殊形式。
dr dq i= = S s dt dt
J = dr s dt
极板间电通量随时间的变化率为
d Ye dt = d (SD ) dt = S drs dt = i
电位移矢量的大小随时间的变化率为
drs dD dD = = = J dt dt dt
方向上，充电时 相反。显然，
dD dt
dD dt
? E
2 2 r 抖 E J me 2 = m + ¶t e ¶t
电磁场与电磁波 第五章时变电磁场
D H J t 位移电流是电流概念的扩充，它不是带电粒子的定向运动 形成的，而是人为定义的，不能直接由实验测出。
l
H dl (J Jd ) dS
S
D J dS dS S S t
年中发生的美国内战 （1861-1865）将会降低为一个地区性琐事而
黯然失色”。
陕西科技大学编写
电磁场与电磁波
第5章 时变电磁场
14
评价
处于信息时代的今天，从婴儿监控器到各种遥控设备、从雷达到
微波炉、从地面广播电视到太空卫星广播电视、从地面移动通信到 宇宙星际通信、从室外无线局域网到室内蓝牙技术、以及全球卫星 定位导航系统等，无不利用电磁波作为传播媒体。 无线信息高速公路更使人们能在任何地点、任何时间同任何人取 得联系，发送所需的文本、声音或图象信息。电磁波的传播还能制 造一种身在远方的感觉，形成无线虚拟现实。 电磁波获得如此广泛的应用，更使我们深刻地体会到19世纪的麦 克斯韦和赫兹对于人类文明和进步的伟大贡献。
D (J )0 t
全电流连续 位移电流
D Jd 陕西科技大学编写 t
电磁场与电磁波
第5章 时变电磁场
7
流进曲面S1的传导电流 S1 S2 等于流出S2的位移电流 ② 位移电流与传导电流、运流电流一样具有磁的效应；
J dS Jd dS
令 l2 0
H 2t H1t J s
磁场： ( H - H ) J 即 en 1 2 S
B1n B2n 电场：H 2t H1t J s
陕西科技大学编写
电磁场与电磁波
第5章 时变电磁场
大学电磁场与电磁波第五章5.6时变电磁场的唯一性定理
的初始值，并且在 t ≥ 0 时，给定边界面S
上的电场强度的切向分量或磁场强度的切向分量，那么，在 t > 0
时，区域V 内的电磁场由麦克斯韦方程惟一地确定。
惟一性定理的证明
利用反证法对惟一性定理给予 证明。假 设区域内的解不是惟 一的，那么至少存在两组解 E1、H1和 E2、H2 满足同样的麦克斯韦
E0
=
−µ
∂H 0 ∂t
∇ ⋅ (ε E0 ) =0
根据坡印廷定理，应有
∫ ∫ ∫ −
S
(E0
×
H
0
)
⋅
en
dS
=
d dt
V
(1µ
2
Байду номын сангаас0
2
+
1 2
ε
E0
2
)dV
+
σ
V
2 E0 dV
根据 E0 和 H0 的边界条件，上式左端的被积函数为
(E0
×
H
0
)
⋅
en
S
=
(en
× E0 ) ⋅ H0
S
=
(H0
×
en
)
⋅
E0
S
=
0
所以
∫ ∫ d
dt
V
(1 2
µ
H0
2
+
1ε
2
2 E0 )dV +
σ
V
2 E0 dV = 0
由于场的初始值为零，将上式两边对 t 积分，可得
∫ ∫ ∫ V
(1 µ
2
H0
2
+
1 2
ε
2 E0 )dV +
电磁场与电磁波(第4版)第5章部分习题参考解答
5.1 在自由空间中，已知电场3(,)10sin() V/m y E z t e t z ωβ=−G G，试求磁场强度。
(,)H z t G解：以余弦为基准，重新写出已知的电场表示式3π(,)10cos( V/m 2y E z t e t z ωβ=−−G G这是一个沿方向传播的均匀平面波的电场，其初相角为z +90−D 。
与之相伴的磁场为300311π(,)(,)10cos(210πcos() 2.65sin() A/m120π2z z y x x H z t e E z t e e t z e t z e t z ωβηηωβωβ=×=×−−=−−−=−−G G G G G G G5.2 理想介质（参数为0μμ=、r 0εεε=、0σ=）中有一均匀平面波沿x 方向传播，已知其电场瞬时值表达式为9(,)377cos(105) V/m y E x t e t x =−G G试求：(1) 该理想介质的相对介电常数；(2) 与(,)E x t G相伴的磁场；(3) 该平面波的平均功率密度。
(,)H x t G 解：(1) 理想介质中的均匀平面波的电场E G应满足波动方程2220EE tμε∂∇−=∂G G据此即可求出欲使给定的E G满足方程所需的媒质参数。
方程中222929425cos(105)y y y y y E E e E e e t x x∂∇=∇==−−∂G G G G 221892237710cos(105)y y y E E e e t t x∂∂==−×−∂∂G G G x = 故得91899425cos(105)[37710cos(105)]0t x t x με−−+×−即18189425251037710με−==×× 故181882r 0025102510(310) 2.25εμε−−×==×××=其实，观察题目给定的电场表达式，可知它表征一个沿x +方向传播的均匀平面波，其相速为98p 10210 m/s 5v k ω===× 而8p 310v ====×故2r 3() 2.252ε==(2) 与电场相伴的磁场E G H G 可由0j E ωμ∇×=−H G G求得。
5.5时变电磁场的能量与能流5.7 波动方程
S dS
s
s (er
I2 2 2b3
) erdS
I2 2 2b3
2bl
I 2l b2
I2R
由上式可知，从导线表面流入的电磁能量转化为导体内部的热损 耗。坡印廷定理得以验证。
5.7 波动方程
考虑均匀无耗媒质的无源区域 0, J 0, 0 麦氏方程组限定形式为
w
(r,t)
we
(r,t)
wm
(r,t)
1 2
D(r , t )
E(r,t)
1 2
B(r, t )
H (r, t)
可见，时变场的能量密度是空间及时间的函数，空间各点能量密
度的改变引起电磁场能量的流动，即电磁能量在空间传输形成电磁能
流。
2. 坡印廷定理
设如下图所示的区域 V 中，媒质是线性且各向同性的，则此区域
因此，坡印廷定理从场的观点，描述了时变电磁场中能量的守恒 和转换关系。
3. 坡印廷矢量（能流密度矢量）
为了衡量这种能量流动的方向及强度，引入坡印廷矢量 S ，定义 为：
S EH
（W/m2）
S的方向：由式可知，S 与 E 及 H 垂直，又知 E H ，因此，S，E 及 H 三者在空间是相互垂直的，且由 E 和 H 与 S 构成右旋关系，如 图示。
H J E
t
E H
t
两边取旋度 E H
t
H 0
E
将矢量恒等式 E E 2E
得 E 2E H
t
大学_电磁场与电磁波第二版(周克定著)课后习题答案下载
电磁场与电磁波第二版（周克定著）课后
习题答案下载
电磁场与电磁波第二版（周克定著）课后答案下载
第一章矢量分析
第二章静电场
第三章恒定电流的电场和磁场
第四章静态场的解
第五章时变电磁场
第六章平面电磁波
第七章电磁波的辐射
第八章导行电磁波
附录一重要的矢量公式
附录二常用数学公式
附录三量和单位
电磁场与电磁波第二版（周克定著）：内容提要
全书共分八章,内容包括:矢量分析、静电场、恒定电流的`电场和磁场、静电场的解、时变电磁场、平面电磁波、电磁波的辐射及导行电磁波。
本书内容精练,概念清晰,语言流畅,注重实践性与新颖性。
为便于学习使用,书中安排有较
多的例题。
本书可作为高等学校本科相关专业“电磁场与电磁波”课程的教材,也可作为有关科技人员的自学参考书。
电磁场与电磁波第二版（周克定著）：图书目录
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电磁场与电磁波（第三版）课后答案第5章
第五章习题解答5.1真空中直线长电流I 的磁场中有一等边三角形回路，如题 5.1图所示，求三角形回路内的磁通。
解根据安培环路定理，得到长直导线的电流I 产生的磁场2IrB e穿过三角形回路面积的磁通为d SB S32322[d ]d d 2db db zd dI I z z xxxx由题 5.1图可知，()tan63x d zx d ，故得到32d 3db dIx dxx3[ln(1)]223Ib d b d5.2通过电流密度为J 的均匀电流的长圆柱导体中有一平行的圆柱形空腔，如题 5.2图所示。
计算各部分的磁感应强度B ，并证明腔内的磁场是均匀的。
解将空腔中视为同时存在J 和J 的两种电流密度，这样可将原来的电流分布分解为两个均匀的电流分布：一个电流密度为J 、均匀分布在半径为b 的圆柱内，另一个电流密度为J 、均匀分布在半径为a 的圆柱内。
由安培环路定律，分别求出两个均匀分布电流的磁场，然后进行叠加即可得到圆柱内外的磁场。
由安培环路定律d CI B l，可得到电流密度为J 、均匀分布在半径为b 的圆柱内的电流产生的磁场为2222b b bbbbr bbr br J r B J r 电流密度为J 、均匀分布在半径为a 的圆柱内的电流产生的磁场为2222a a aaaar aar ar J r B J r 这里a r 和br 分别是点a o 和b o 到场点P 的位置矢量。
将aB 和bB 叠加，可得到空间各区域的磁场为圆柱外：22222babab a r rBJr r ()br b 圆柱内的空腔外：2022ba aar BJr r (,)b ar b r a 空腔内：22b aBJr r J d()ar a 式中d 是点和b o 到点a o 的位置矢量。
由此可见，空腔内的磁场是均匀的。
5.3下面的矢量函数中哪些可能是磁场？如果是，求其源变量J 。
dbIzx题 5.1 图Sbr ar Jboao ab题5.2图d(1) 0,r ar H e B H（圆柱坐标）(2) 0(),x y ay ax H e e BH(3) 0,x y axay H e e BH(4) 0,ar He BH （球坐标系）解根据恒定磁场的基本性质，满足0B 的矢量函数才可能是磁场的场矢量，否则，不是磁场的场矢量。
电磁场与电磁波 第五章答案
第五章 恒定磁场重点和难点该章重点及处理方法与静电场类似。
但是磁感应强度的定义需要详细介绍，尤其要强调磁场与运动电荷之间没有能量交换，电流元受到的磁场力垂直于电流的流动方向。
说明磁导率与介电常数不同，磁导率可以小于1，而且大多数媒质的磁导率接近1。
讲解恒定磁场时，应与静电场进行对比。
例如，静电场是无散场，而恒定磁场是无旋场。
在任何边界上电场强度的切向分量是连续的，而磁感应强度的法向分量是连续的。
重要公式磁感应强度定义：根据运动电荷受力： B v F ⨯=q根据电流元受力： B l F ⨯=d I 根据电流环受力： B m T ⨯=真空中恒定磁场方程： 积分形式： I ⎰=⋅ll B 0d μ⎰=⋅SS B 0d微分形式：J B 0 μ=⨯∇0=⋅∇B已知电流分布求解电场强度：1，A B ⨯∇=V V ''-'=⎰'d )(4)( 0 r r r J r A πμ2，V V ''-'-⨯'=⎰'d )()( 4)(30 r r r r r J r B πμ 毕奥─萨伐定律。
3，I ⎰=⋅ll B 0d μ安培环路定律。
面电流产生的矢量磁位及磁感应强度分别为S ''-'=⎰'d )(4)(0 r r r J r A S S πμS ''-'-⨯'=⎰'d )()(4)( 30 r r r r r J r B S S πμ 线电流产生的矢量磁位及磁感应强度分别为⎰''-'=l r r l r A d 4)(0I πμ⎰''-'-⨯'=l r r r r l r B 30 )(d 4)(I πμ矢量磁位满足的微分方程：J A 0 2μ-=∇无源区中标量磁位满足的微分方程： 0 2=∇m ϕ 媒质中恒定磁场方程： 积分形式： I l =⋅⎰l H d⎰=⋅SS B 0d微分形式：J H =⨯∇ 0=⋅∇B磁性能均匀线性各向同性的媒质：场方程积分形式：⎰=⋅lI d μl B⎰=⋅BS H 0d场方程微分形式： J B μ=⨯∇ 0=⋅∇H矢量磁位微分方程：J A 2μ-=∇矢量磁位微分方程的解： V V ''-'=⎰'d )(4)(r r r J r A πμ 恒定磁场边界条件：1，t t H H 21=。