第四章 时变电磁场 电磁场与电磁波 课件 谢处方
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电磁场与电磁波公式总结 谢处方版
B dS 0
S
(2.6.7)P71
(2.6.3)P71
q D dS dV
S V
(2.6.4)P70
D
(2.6.8)P71
2.6.3 媒质的本构关系 1. D εE (2.6.9)P71 (2.6.10)P71 (2.6.11)P72
B H
C
q U
1. 双导体的电容计算 1 根据导体的几何形状，选取合适的坐标系 2 假定两导体上分别带电荷+q 和-q 3 根据假定的电荷求出 E
4 5
由
2
1
E dl 求得电位差 q U
求出比值 C
2. 部分电容 （1）电位系数 电位系数 自电位系数 互电位系数 （2）电容系数 电容系数或感应系数 自电容系数 互电容系数 3.1.4 静电场的能量 3.1.5 静电力 3.2 导电媒质中的恒定电场分析 3.2.1 恒定电场的基本方程和边界条件 1. 基本方程 恒定电场下： 积分形式：
dI
C
M
M dl M dS , J M ：磁化电流密度 M：磁化强度
C C
J
S
M
dS
3. 磁介质内磁化电流体密度与磁化强度的关系： J M M 4. 磁介质表面的磁化电流密度： J SM M e n 5. 真空中的安培环路定理推广到磁介质： B 0 ( J J M ) 6. 磁场强度： H
0 I
2a
，I 是线电流，a 是圆环半径
B(r) dS B(r)dV 0
S V
（2.3.12）P48
J (r)：电流密度矢量 12. 安培环路定理微分形式： B(r ) 0 J (r ) ， 0：真空的磁导率，
电磁场与电磁波公式总结谢处方版
电磁场与电磁波公式总结谢处方版电磁场与电磁波是物理学中非常重要的一个分支，它描述了电磁波的传播、散射、反射等行为。
谢处方版的《电磁场与电磁波》是一本非常经典的教材，下面是该教材中一些常用的公式总结。
1.麦克斯韦方程组这是电磁场与电磁波理论的基础，包括了四个基本方程：（1）curl E = - grad(Div) B + div(rot) A - jωμμ04πrotA, curl H = grad(Div) D + rot(rot) B - jωεε04πrotE. （2）div E = ρ/ε0, div H = 0. （3）rot E = 0, rot H = -jωμμ04πD. （4）其中E和H分别代表电场强度和磁场强度，D和B分别代表电位移和磁感应强度，A代表矢势，ρ代表电荷密度，j代表虚数单位，ω代表角频率，μ代表磁导率，ε代表介电常数。
2.波动方程描述电磁波在空间中传播的方程为：∂2E∂t2−div(rotH)=ρ∂2ρ∂t2div(rotE)=0∂2H∂t2+curl(curlE)=0其中E和H分别代表电场强度和磁场强度，ρ代表电荷密度。
3.坡印廷定理坡印廷定理描述了电磁场能量流动密度和矢量场的旋度的关系，对于一个封闭的体积元V内的电磁场，能量流量密度（功率密度）可用以下公式表示：W=12Re(E⋅JD)dV=12Re(H⋅JB)dV=12Re(E⋅J+c2H⋅B)dV其中W代表功率流密度，E和H分别代表电场强度和磁场强度，J代表电流密度，B代表磁感应强度。
该公式告诉我们，在时变电磁场中，电磁场能量沿闭合曲面S向外流动的功率等于曲面S内电磁场能量增加率。
4.洛伦兹力公式对于一个带电粒子在磁场中所受的洛伦兹力，可以用以下公式表示：F=qv×B其中F代表洛伦兹力，q代表带电粒子的电量，v代表带电粒子的速度，B代表磁感应强度。
该公式告诉我们，带电粒子在磁场中所受的力垂直于磁场方向和速度方向。
第四章时变电磁场-工程电磁场导论-冯慈章课件
电磁感应定律 磁通连续性原理：表明磁场是无源场 , 磁力线总是闭 合曲线。 磁通连续性原理
高斯定律：表明电荷以发散的方式产生电场 (变化的 磁场以涡旋的形式产生电场)。 高斯定律
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D l H dl S (J t ) dS B l E dl S t dS
ห้องสมุดไป่ตู้ 0
矢量恒等式
( H ) 0
所以
Stokes’ theorem
H J
l H dl S J dS
D l H dl S (J t ) dS
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( H ) 0 D 所以 H J t
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A, 称为动态位，是时间和空间坐标的函数。
由 H J 由
经 整 理 后 ，
D t
A A J ( ) t t 1
得
A ( ) t 2A 2 A J ( A) （1） 2 t t 2 （2） A t 定义A 的散度 A 洛仑兹条件 t 2A 2 A J 2 t 达朗贝尔方程 2 A (Dalangbaier Eguation) t
电磁感应定律
Maxwell方程组
全电流定律
坡印廷定理与坡印廷矢量 正弦电磁场 分界面上衔接条件 动态位A ,
达朗贝尔方程
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电磁辐射、传输线及波导
4.1 电磁感应定律和全电流定律
Faraday’s Law and Ampere’s Circuital Law 4.1.1 电磁感应定律（Faraday’s Law）
高斯定律：表明电荷以发散的方式产生电场 (变化的 磁场以涡旋的形式产生电场)。 高斯定律
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D l H dl S (J t ) dS B l E dl S t dS
ห้องสมุดไป่ตู้ 0
矢量恒等式
( H ) 0
所以
Stokes’ theorem
H J
l H dl S J dS
D l H dl S (J t ) dS
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( H ) 0 D 所以 H J t
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A, 称为动态位，是时间和空间坐标的函数。
由 H J 由
经 整 理 后 ，
D t
A A J ( ) t t 1
得
A ( ) t 2A 2 A J ( A) （1） 2 t t 2 （2） A t 定义A 的散度 A 洛仑兹条件 t 2A 2 A J 2 t 达朗贝尔方程 2 A (Dalangbaier Eguation) t
电磁感应定律
Maxwell方程组
全电流定律
坡印廷定理与坡印廷矢量 正弦电磁场 分界面上衔接条件 动态位A ,
达朗贝尔方程
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电磁辐射、传输线及波导
4.1 电磁感应定律和全电流定律
Faraday’s Law and Ampere’s Circuital Law 4.1.1 电磁感应定律（Faraday’s Law）
电磁场与电磁波 谢处方课件_1
A A(ex cos e y cos ez cos )
e A ex cos e y cos ez cos
x
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
5
2. 矢量的代数运算 （1）矢量的加减法
B
A B
两矢量的加减在几何上是以这两矢量为
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
y
ey
13
4、坐标单位矢量之间的关系 直角坐标与 圆柱坐标系
e
ex
ez
e
ey
e
ex
e ez
er
cos sin
sin cos
0
e
0
e
0 0 1
ez
o
单位圆
x
直角坐标系与柱坐标系之间 坐标单位矢量的关系
3
1. 标量和矢量 标量：一个只用大小描述的物理量。 矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字 母或带箭头的字母表示。
矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示
A 矢量的代数表示： e A A e A A A 矢量的大小或模： A A 矢量的单位矢量： e A A
A B B A ——矢量的标积符合交换律 AB
B
A
矢量 A与 B 的夹角
A B 0
A // B
A B AB
e x e y e y ez e z e x 0
ex ex e y e y e z ez 1
作以比较，得出相应结论。 解 (1)由梯度计算公式，可求得P点的梯度为
电磁场与波课件教学PPT-第四章 时变电磁场
2H2tH 2 J
1 A t
结论： 无源区两种方法一样简单
B A
有源区位函数方程更简单
EA
t
第四章 时变电磁场
24
电磁场与电磁波
面对的问题！ 分析方法： 求解区无源，用场的波动方程 求解区有源，用位函数方程 关联的一般性物理问题？ 典型问题的应用？
第四章 时变电磁场
25
电磁场与电磁波
D t
t t
(AB) BAAB
ΕD1(ΕD) t 2t
HB1(HB) t 2t
(ΕH) ΕJ
(1ΕD1HB)
t 2
2
第四章 时变电磁场
30
电磁场与电磁波
坡印廷定理及物理解释
微分形式（瞬时功率密度关系）：
(E H ) (1 E D 1 H B ) E J t2 2
积分形式（瞬时功率关系） ：
所以
d d tV ( 1 2H 0 2 1 2E 0 2 ) d V V
2
E 0d V 0
由于场的初始值为零，将上式两边对 t 积分，可得
V ( 1 2H 0 2 1 2E 0 2 ) d V 0 t(VE 0 2 d V ) d t 0
第四章 时变电磁场
40
电磁场与电磁波
电磁场与电磁波
根据坡印廷定理，应有
S ( E 0 H 0 ) e n d S d d tV ( 1 2 H 0 2 1 2 E 0 2 ) d V V E 0 2 d V
根据 E 0 和 H 0 的边界条件，上式左端的被积函数为
( E 0 H 0 ) e n S ( e n E 0 ) H 0 S ( H 0 e n ) E 0 S 0
上式中两项积分的被积函数均为非负的，要使得积分为零，必有
电磁场与电磁波课件之时变电磁场要点
E
H
能流密度矢量的瞬时值为
E
H
S (r , t ) E (r , t ) H (r , t )
S
可见，能流密度矢量的瞬时值等于电场强度 和磁场强度的瞬时值的乘积。
只有当两者同时达到最大值时，能流密度才达到最大。若某一时刻
电场强度或磁场强度为零，则在该时刻能流密度矢量为零。
在三维空间中仅需求解 4 个坐标分量。在直角坐标系中，实际上
等于求解 1 个标量方程。 必须指出的是，尽管磁感应强度在形式上只与磁矢势有关，不能
据此认为磁感应强度由磁矢势决定而与电标势无关。因为在时变情形
下，电磁场相互激发，而时变电场由磁矢势和电标势共同描述，使得 时变磁场本质上与磁矢势和电标势都有联系。
由麦克斯韦方程组微分形式
D H J t B E t B 0 D
E H t
0 H E
J 0
H E t H 0
E 0
则此区域中麦克斯韦方程为
, ,
E
H
V
D H J t B E t ( H ) 0 ( E ) 0
利用矢量恒等式 ( E H ) H E E H ，将上式代入
2 H 2 H 0 2 t 2 H 2 H 2 J t
P175
位函数方程为一个矢量方程和一个标量方程
2 A 2 A J 2 t
2 2 2 t
根据位函数定义式及麦克斯韦方程，得 2 A A J t 2 t A t
H
能流密度矢量的瞬时值为
E
H
S (r , t ) E (r , t ) H (r , t )
S
可见，能流密度矢量的瞬时值等于电场强度 和磁场强度的瞬时值的乘积。
只有当两者同时达到最大值时，能流密度才达到最大。若某一时刻
电场强度或磁场强度为零，则在该时刻能流密度矢量为零。
在三维空间中仅需求解 4 个坐标分量。在直角坐标系中，实际上
等于求解 1 个标量方程。 必须指出的是，尽管磁感应强度在形式上只与磁矢势有关，不能
据此认为磁感应强度由磁矢势决定而与电标势无关。因为在时变情形
下，电磁场相互激发，而时变电场由磁矢势和电标势共同描述，使得 时变磁场本质上与磁矢势和电标势都有联系。
由麦克斯韦方程组微分形式
D H J t B E t B 0 D
E H t
0 H E
J 0
H E t H 0
E 0
则此区域中麦克斯韦方程为
, ,
E
H
V
D H J t B E t ( H ) 0 ( E ) 0
利用矢量恒等式 ( E H ) H E E H ，将上式代入
2 H 2 H 0 2 t 2 H 2 H 2 J t
P175
位函数方程为一个矢量方程和一个标量方程
2 A 2 A J 2 t
2 2 2 t
根据位函数定义式及麦克斯韦方程，得 2 A A J t 2 t A t
[理学]第四章 时变电磁场 电磁场与电磁波 课件 谢处方_OK
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0 2 2a3
a2
RI 2
式中
R
1
a2
是单位长度内导体的电阻。由此可见，进入内导
体中功率等于这段导体的焦耳损耗功率。
以上分析表明电磁能量是由电磁场传输的，导体仅起着定向 引导电磁能流的作用。当导体的电导率为有限值时，进入导体中 的功率全部被导体所吸收，成为导体中的焦耳热损耗功率。 27
王喜昌教授编写
惟一性定理指出了获得惟一解所必须满足的条件，为电磁场 问题的求解提供了理论依据，具有非常重要的意义和广泛的 应用。
31
王喜昌教授编写
电磁场与电磁波
4. 5 时谐电磁场
时谐电磁场的复数表示 复矢量的麦克斯韦方程 复电容率和复磁导率 亥姆霍兹方程 时谐场的位函数 平均能流密度矢量
32
王喜昌教授编写
电磁场与电磁波
王喜昌教授编写
电磁场与电磁波
电磁能量在内外导体之间的介质中沿轴方向流动， 即由电源向负载，如图所示。
同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量 （理想导体情况）
穿过任意横截面的功率为
P
S
S
ezdS
b
UI
2d UI
a 2 2 ln(b a)
24
王喜昌教授编写
电磁场与电磁波
（2）当导体的电导率σ为有限值时，导体内
微分形式：
(E
H
)
(1
ED
1
H B) E J
t 2
2
积分形式 ： d 1 1
S (E H ) dS dt V (2 E D 2 H B) dV V E J dV
其中：d
(
1
E
D
1
H
B)
dV
第4章 时变电磁场 1PPT课件
电的磁磁场H 感都应J能定产律D 生：t 电麦场克lH 。斯d 韦l第二S(方J 程，D t)表d明S电全荷电和流定变律化
磁通连E续性原B理：表E明d磁l 场是无B 源场dS, 磁电力磁线感总应是定律闭
合曲线。 t
l
S t
：旋表的明形B 电式 荷 产0以 生发 电散 场的)。方SB式d产S生电0场 (变磁化通的连磁续场性以原涡理
2 t A
（2）
定义A 的散度 A 洛仑兹条件
t
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第四章
2 A
2A t 2
J
2
2
t 2
时变电磁场
达朗贝尔方程 (Dalangbaier Equation)
说明 确定了 A的值，与 BA共同确定 A；
简化了动态位与场源之间的关系;
若场量不随时间变化，波动方程蜕变为泊松方程
2AJ
2/
洛仑兹条件是电流连续性原理的体现。
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第四章
时变电磁场
若激励源是时变电流源时
A(x,y,z,t)
J(x,y,z,tr) vdV （无反射）
4πV
r
达朗贝尔方程解的形式表明：t 时刻的响应取
决于 (tr/v) 时刻的激励源。又称 A， 为滞后
位（Retarded Potential）。
电磁波是以有限速度 v 1 传播的， 光
也是一种电磁波。
当场源不随时间变化时， A， 蜕变为恒定
场中的位函数（拉普拉斯方程或泊松方程）。
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第四章
时变电磁场
4.4 坡印廷定理和坡印廷矢量
Poynting Theorem and Poynting Vector
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电磁场与电磁波
第4章 时变电磁场
1
本章内容
4.1 4.2 4.3 4.4 波动方程 电磁场的位函数 电磁能量守恒定理 惟一性定理
4.5 时谐电磁场
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电磁场与电磁波
第4章 时变电磁场 4.1 波动方程
2
问题的提出 麦克斯韦方程 —— 一阶矢量微分方程组，描述电场与磁场 间的相互作用关系 波动方程 —— 二阶矢量微分方程，揭示电磁场的波动性 麦克斯韦方程组 波动方程
I e 2 a
内导体表面外侧的坡印廷矢量为
S外 ( E外 H 外 )
a
a
பைடு நூலகம்
e
I2 UI ez 2 3 2 2 a 2 a ln(b a)
王喜昌教授编写
电磁场与电磁波
第4章 时变电磁场
27
由此可见，内导体表面外侧的坡印廷矢量既有轴向分量，也有径 向分量，如图所示。 进入每单位长度内导体的功率为
V
S
1 1 电磁能量密度： we wm E D H B w 2 2
1 1 空间区域V中的电磁能量：W w dV ( E D H B)dV V V 2 2
王喜昌教授编写
电磁场与电磁波
第4章 时变电磁场
15
特点：当场随时间变化时，空间各点的电磁场能
原因：未规定 A 的散度
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电磁场与电磁波
第4章 时变电磁场
8
王喜昌教授编写
电磁场与电磁波
第4章 时变电磁场
9
造成位函数的不确定性的原因就是没有规定 A 的散度。利用 位函数的不确定性，可通过规定 的散度使位函数满足的方程得 A
以简化。
位函数的规范条件
洛伦兹条件
A 0 t
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电磁场与电磁波
第4章 时变电磁场
20
在任意闭曲面S 所包围的体积V上，对上式两端
积分，并应用散度定理，即可得到坡印廷定理的
积分形式
d 1 1 ( E H ) dS ( E D H B) dV E J dV S V dt V 2 2
王喜昌教授编写
电磁场与电磁波
第4章 时变电磁场
18
在线性和各向同性的媒质，当参数都不随时间 变化时，则有 D Ε 1 ( Ε Ε ) 1 Ε Ε ( Ε D) t t 2 t t 2
B H 1 ( H H ) 1 H H ( H B) t t 2 t t 2
同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量 （理想导体情况）
穿过任意横截面的功率为
P
S
b S ez dS
a
UI 2 d UI 2 2 ln(b a)
王喜昌教授编写
电磁场与电磁波
第4章 时变电磁场
25
（2）当导体的电导率σ为有限值时，导体内 部存在沿电流方向的电场 J I E内 ez a 2
无源区的波动方程
在无源空间中，设媒质是线形、各向同性且无损耗的均匀媒 质，则有
2 E 2 E 2 0 t
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2 H 2 H 2 0 t
电磁波动方程
电磁场与电磁波
第4章 时变电磁场
3
Ε H t Ε H t H 0 Ε 0
S 的方向 —— 电磁能量传输的方向 S 的大小 —— 通过垂直于能量传输方
H
能流密度矢量
S
向的单位面积的电磁功率
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电磁场与电磁波
第4章 时变电磁场
22
例4.3.1 同轴线的内导体半径为a 、外导体的内半径 为b，其间填充均匀的理想介质。设内外导体间的电压为 U ，导体中流过的电流为I 。（1）在导体为理想导体的 情况下，计算同轴线中传输的功率；（2）当导体的电导 率σ为有限值时，计算通过内导体表面进入每单位长度 内导体的功率。
在内导体表面上电场的切向分量连续，即 E外z E内z
因此，在内导体表面外侧的电场为
E外
a
e
U I ez 2 a ln(b a) a
同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量 （非理想导体情况）
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电磁场与电磁波
第4章 时变电磁场
26
磁场则仍为
H外
a
物理意义： 单位时间内，通过曲面S 进入体积V的电磁能量等 于体积V 中所增加的电磁场能量与损耗的能量之 和。
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电磁场与电磁波
第4章 时变电磁场
21
坡印廷矢量（电磁能流密度矢量） 描述时变电磁场中电磁能量传输的一个重要 物理量 E ( W/m2 ) 定义： S ΕH 物理意义：
A 2 A 2 J t
2
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电磁场与电磁波
同样
D
第4章 时变电磁场
11
A ( ) t
A D E、E t
A 0 t
2 t
V
在导电媒质中，即为体积V内总的损耗功率
S
( E H ) dS —— 通过曲面S 进入体积V 的电磁功率
王喜昌教授编写
电磁场与电磁波
第4章 时变电磁场
17
推证
D H J t Ε B t
将以上两式相减，得到
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电磁场与电磁波
第4章 时变电磁场 4.2 电磁场的位函数
5
讨论内容
位函数的定义 位函数的性质 位函数的规范条件 位函数的微分方程
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电磁场与电磁波
第4章 时变电磁场
6
引入位函数的意义
引入位函数来描述时变电磁场，使一些问题的分析得到简化。 位函数的定义
B 0
B Ε t
同轴线
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电磁场与电磁波
第4章 时变电磁场
23
解：（1）在内外导体为理想导体的情况下，电场和磁场只存
在于内外导体之间的理想介质中，内外导体表面的电场无切向分 量，只有电场的径向分量。利用高斯定理和安培环路定理，容易
求得内外导体之间的电场和磁场分别为
E e
U , ln(b a)
P
S
S外
a
同理可得
2
推证
E H ( ) t
2H ( H ) 2 H 2 t H 2 H 2 0 t
2
E 2 E 2 0 t
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电磁场与电磁波
第4章 时变电磁场
1 1 ( E H ) ( E D H B) E J t 2 2
d 1 1 其中： ( E D H B) dV —— 单位时间内体积V 中所增加 dt V 2 2 的电磁能量 E J dV —— 单位时间内电场对体积V中的电流所作的功；
I H e 2
( a b)
内外导体之间任意横截面上的坡印廷矢量
S E H [e U UI I ] (e ) ez 2 ln(b a) 2 2 ln(b a)
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电磁场与电磁波
第4章 时变电磁场
24
电磁能量在内外导体之间的介质中沿轴方向流动， 即由电源向负载，如图所示。
库仑条件
A 0
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电磁场与电磁波
第4章 时变电磁场
10
位函数的微分方程
A B A E t
B D E H
D H J t
E B J t
王喜昌教授编写
电磁场与电磁波
第4章 时变电磁场
19
再利用矢量恒等式：
Ε H H Ε ( Ε H )
即可得到坡印廷定理的微分形式
1 1 ( Ε H ) ( Ε D H B) Ε J t 2 2
量密度也要随时间改变，从而引起电磁能量流动
电磁能量守恒关系：
进入体积V的能量＝体积V内增加的能量＋体积 V内损耗的能量
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电磁场与电磁波
第4章 时变电磁场 表征电磁能量守恒关系的定理
16
坡印廷定理
微分形式：
积分形式： d 1 1 ( E H ) dS ( E D H B) dV E J dV S V dt V 2 2
得到的电磁场矢量是相同的。
问题 若应用库仑条件，位函数满足什么样的方程? 具有什么特点?
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电磁场与电磁波
第4章 时变电磁场
4.3
13
电磁能量守恒定律
讨论内容
电磁能量及守恒关系 坡印廷定理 坡印廷矢量
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电磁场与电磁波
第4章 时变电磁场
dW dt
14
电磁能量及守恒关系
1 电场能量密度： we E D 2 1 磁场能量密度： wm H B 2
D Ε H Ε J Ε t B H Ε H t
D B Ε H H Ε Ε J Ε H t t
2 2
第4章 时变电磁场
1
本章内容
4.1 4.2 4.3 4.4 波动方程 电磁场的位函数 电磁能量守恒定理 惟一性定理
4.5 时谐电磁场
王喜昌教授编写
电磁场与电磁波
第4章 时变电磁场 4.1 波动方程
2
问题的提出 麦克斯韦方程 —— 一阶矢量微分方程组，描述电场与磁场 间的相互作用关系 波动方程 —— 二阶矢量微分方程，揭示电磁场的波动性 麦克斯韦方程组 波动方程
I e 2 a
内导体表面外侧的坡印廷矢量为
S外 ( E外 H 外 )
a
a
பைடு நூலகம்
e
I2 UI ez 2 3 2 2 a 2 a ln(b a)
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第4章 时变电磁场
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由此可见，内导体表面外侧的坡印廷矢量既有轴向分量，也有径 向分量，如图所示。 进入每单位长度内导体的功率为
V
S
1 1 电磁能量密度： we wm E D H B w 2 2
1 1 空间区域V中的电磁能量：W w dV ( E D H B)dV V V 2 2
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特点：当场随时间变化时，空间各点的电磁场能
原因：未规定 A 的散度
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造成位函数的不确定性的原因就是没有规定 A 的散度。利用 位函数的不确定性，可通过规定 的散度使位函数满足的方程得 A
以简化。
位函数的规范条件
洛伦兹条件
A 0 t
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在任意闭曲面S 所包围的体积V上，对上式两端
积分，并应用散度定理，即可得到坡印廷定理的
积分形式
d 1 1 ( E H ) dS ( E D H B) dV E J dV S V dt V 2 2
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在线性和各向同性的媒质，当参数都不随时间 变化时，则有 D Ε 1 ( Ε Ε ) 1 Ε Ε ( Ε D) t t 2 t t 2
B H 1 ( H H ) 1 H H ( H B) t t 2 t t 2
同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量 （理想导体情况）
穿过任意横截面的功率为
P
S
b S ez dS
a
UI 2 d UI 2 2 ln(b a)
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（2）当导体的电导率σ为有限值时，导体内 部存在沿电流方向的电场 J I E内 ez a 2
无源区的波动方程
在无源空间中，设媒质是线形、各向同性且无损耗的均匀媒 质，则有
2 E 2 E 2 0 t
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2 H 2 H 2 0 t
电磁波动方程
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3
Ε H t Ε H t H 0 Ε 0
S 的方向 —— 电磁能量传输的方向 S 的大小 —— 通过垂直于能量传输方
H
能流密度矢量
S
向的单位面积的电磁功率
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例4.3.1 同轴线的内导体半径为a 、外导体的内半径 为b，其间填充均匀的理想介质。设内外导体间的电压为 U ，导体中流过的电流为I 。（1）在导体为理想导体的 情况下，计算同轴线中传输的功率；（2）当导体的电导 率σ为有限值时，计算通过内导体表面进入每单位长度 内导体的功率。
在内导体表面上电场的切向分量连续，即 E外z E内z
因此，在内导体表面外侧的电场为
E外
a
e
U I ez 2 a ln(b a) a
同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量 （非理想导体情况）
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磁场则仍为
H外
a
物理意义： 单位时间内，通过曲面S 进入体积V的电磁能量等 于体积V 中所增加的电磁场能量与损耗的能量之 和。
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坡印廷矢量（电磁能流密度矢量） 描述时变电磁场中电磁能量传输的一个重要 物理量 E ( W/m2 ) 定义： S ΕH 物理意义：
A 2 A 2 J t
2
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同样
D
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A ( ) t
A D E、E t
A 0 t
2 t
V
在导电媒质中，即为体积V内总的损耗功率
S
( E H ) dS —— 通过曲面S 进入体积V 的电磁功率
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推证
D H J t Ε B t
将以上两式相减，得到
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第4章 时变电磁场 4.2 电磁场的位函数
5
讨论内容
位函数的定义 位函数的性质 位函数的规范条件 位函数的微分方程
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6
引入位函数的意义
引入位函数来描述时变电磁场，使一些问题的分析得到简化。 位函数的定义
B 0
B Ε t
同轴线
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解：（1）在内外导体为理想导体的情况下，电场和磁场只存
在于内外导体之间的理想介质中，内外导体表面的电场无切向分 量，只有电场的径向分量。利用高斯定理和安培环路定理，容易
求得内外导体之间的电场和磁场分别为
E e
U , ln(b a)
P
S
S外
a
同理可得
2
推证
E H ( ) t
2H ( H ) 2 H 2 t H 2 H 2 0 t
2
E 2 E 2 0 t
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第4章 时变电磁场
1 1 ( E H ) ( E D H B) E J t 2 2
d 1 1 其中： ( E D H B) dV —— 单位时间内体积V 中所增加 dt V 2 2 的电磁能量 E J dV —— 单位时间内电场对体积V中的电流所作的功；
I H e 2
( a b)
内外导体之间任意横截面上的坡印廷矢量
S E H [e U UI I ] (e ) ez 2 ln(b a) 2 2 ln(b a)
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第4章 时变电磁场
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电磁能量在内外导体之间的介质中沿轴方向流动， 即由电源向负载，如图所示。
库仑条件
A 0
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第4章 时变电磁场
10
位函数的微分方程
A B A E t
B D E H
D H J t
E B J t
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第4章 时变电磁场
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再利用矢量恒等式：
Ε H H Ε ( Ε H )
即可得到坡印廷定理的微分形式
1 1 ( Ε H ) ( Ε D H B) Ε J t 2 2
量密度也要随时间改变，从而引起电磁能量流动
电磁能量守恒关系：
进入体积V的能量＝体积V内增加的能量＋体积 V内损耗的能量
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第4章 时变电磁场 表征电磁能量守恒关系的定理
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坡印廷定理
微分形式：
积分形式： d 1 1 ( E H ) dS ( E D H B) dV E J dV S V dt V 2 2
得到的电磁场矢量是相同的。
问题 若应用库仑条件，位函数满足什么样的方程? 具有什么特点?
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第4章 时变电磁场
4.3
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电磁能量守恒定律
讨论内容
电磁能量及守恒关系 坡印廷定理 坡印廷矢量
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第4章 时变电磁场
dW dt
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电磁能量及守恒关系
1 电场能量密度： we E D 2 1 磁场能量密度： wm H B 2
D Ε H Ε J Ε t B H Ε H t
D B Ε H H Ε Ε J Ε H t t
2 2