第四章 时变电磁场共38页文档
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电磁矢论 第四章、时变电磁场
上式称为洛伦兹规范。
注：电磁场论中另一种常用的规范是库伦规范 A 0，通常在
恒定磁场中应用。
4.2 电磁场的位函数
2、位函数的微分方程（达朗贝尔方程）
D H J t A B A, E t 2 A A A
即可得到坡印廷定理的微分形式：
1 1 E H E D H B E J t 2 2
再在任意闭合曲面S所包围的体积V上对上式两端进行积分， 并应用散度定理，即可得到坡印廷定理的积分形式：
S
过内导体表面进入每单位长度内导体的功率。
同轴线
4.3 电磁能量守恒定律（坡印廷定理）
解：（1）在理想导体中不存在电场和磁场，电场和磁场只存在 于内外导体之间的理想介质中。利用高斯定理和安培环路定理，容
易求得内外导体之间的电场和磁场分别为：
E e
I U a b , H e ln b a 2
2 2 2 t
4.2 电磁场的位函数
即：
A 2 A 2 J t
2
2 2 2 t
是洛伦兹规范下矢量位 A 和标量位 所满足的微分方程，
称为达朗贝尔方程。
4.2 电磁场的位函数
推导（由麦克斯韦方程组来推导）：
D D (1) H J E H E J E t t B B E H E H (2) t t
注：电磁场论中另一种常用的规范是库伦规范 A 0，通常在
恒定磁场中应用。
4.2 电磁场的位函数
2、位函数的微分方程（达朗贝尔方程）
D H J t A B A, E t 2 A A A
即可得到坡印廷定理的微分形式：
1 1 E H E D H B E J t 2 2
再在任意闭合曲面S所包围的体积V上对上式两端进行积分， 并应用散度定理，即可得到坡印廷定理的积分形式：
S
过内导体表面进入每单位长度内导体的功率。
同轴线
4.3 电磁能量守恒定律（坡印廷定理）
解：（1）在理想导体中不存在电场和磁场，电场和磁场只存在 于内外导体之间的理想介质中。利用高斯定理和安培环路定理，容
易求得内外导体之间的电场和磁场分别为：
E e
I U a b , H e ln b a 2
2 2 2 t
4.2 电磁场的位函数
即：
A 2 A 2 J t
2
2 2 2 t
是洛伦兹规范下矢量位 A 和标量位 所满足的微分方程，
称为达朗贝尔方程。
4.2 电磁场的位函数
推导（由麦克斯韦方程组来推导）：
D D (1) H J E H E J E t t B B E H E H (2) t t
电磁波第四章-时变电磁场
的能量，其方向为该点能量流动的方向
物理电子学院 周俊 第12页
坡印亭矢量(电磁能流密度矢量)： S E H (W / m 2 , 瓦 / 米 2 )
←描述时变电磁场中电磁能量传输的一个重要物理量 瞬时功率： S S ( t )
平均功率： S 1 T
1 S ( t )dt ， S av Re E H 2
2Ey x
2
2 E y
2Ey t
2
0
或
2Ey y
2
2Ey z
2
2Ey t
2
0
2 E z
2 Ez t
2
0
或
2 Ez x
2
2 Ez y
2
2 Ez z
2
2 Ez t
2
0
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周俊
第 4页
电磁场与电磁波 第四章__时变电磁场
2
2 2 2 的微分方程 t
若场量不随时间变化，波动方程蜕变为泊松方程
A J 2
2
▼第8页
电磁场与电磁波 第四章__时变电磁场
第三节 电磁能量守恒定律
1 电场能量密度： w e D E 2 1 磁场能量密度： w m B H 2 1 1 电磁能量密度： w w e w m D E B H 2 2
4.2.2 达朗贝尔方程 推导 A 和 的方程：
1 B A ←矢量位的定义： H A A A E ←标量位的定义： E t t
物理电子学院 周俊 第12页
坡印亭矢量(电磁能流密度矢量)： S E H (W / m 2 , 瓦 / 米 2 )
←描述时变电磁场中电磁能量传输的一个重要物理量 瞬时功率： S S ( t )
平均功率： S 1 T
1 S ( t )dt ， S av Re E H 2
2Ey x
2
2 E y
2Ey t
2
0
或
2Ey y
2
2Ey z
2
2Ey t
2
0
2 E z
2 Ez t
2
0
或
2 Ez x
2
2 Ez y
2
2 Ez z
2
2 Ez t
2
0
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电磁场与电磁波 第四章__时变电磁场
2
2 2 2 的微分方程 t
若场量不随时间变化，波动方程蜕变为泊松方程
A J 2
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电磁场与电磁波 第四章__时变电磁场
第三节 电磁能量守恒定律
1 电场能量密度： w e D E 2 1 磁场能量密度： w m B H 2 1 1 电磁能量密度： w w e w m D E B H 2 2
4.2.2 达朗贝尔方程 推导 A 和 的方程：
1 B A ←矢量位的定义： H A A A E ←标量位的定义： E t t
电磁场与电磁波第四章时变电磁场
电磁场与电磁波
第 4 章 时变电磁场
电磁场与电磁波第四章时变电磁 场..
电磁场与电磁波
第 4 章 时变电磁场
2
4.1 电磁场波动方程
麦克斯韦方程 —— 一阶矢量微分方程组，描述电场与磁场 间的相互作用关系。
波动方程 —— 二阶矢量微分方程，揭示电磁场的波动性。
麦克斯韦方程组
波动方程。
无源区域中电磁场波动方程
时变电磁场唯一性定理
在以闭曲面S为边界的有界区域V 中，
V
如果给定t＝0 时刻的电场强度和磁场强度 S
的初始值，并且当t 0 时，给定边界面S
上的电场强度或者磁场强度的切向分量已知，那么，在 t > 0 的
任何时刻，区域V 中的电磁场都由麦克斯韦方程组唯一确定。
唯一性定理指出了获得唯一解所必须给定的边界条件。
第 4 章 时变电磁场
17
4.5.1 简谐电磁场的复数表示
简谐场量的复数表示形式
设 A(r,t)是一个以角频率 随时间t 作余弦变化的场量，它
可以是电场或磁场的任意一个分量，也可以是电荷或电流等变量，
它与时间的变化关系可以表示为：
A ( r ,t) A 0 c o s [t ( r ) ]
实数表示法 或称瞬时表示法
只要把微分算子 用 j 代替，就可把麦克斯韦方程转换为
t
简谐电磁场复矢量之间的关系，而得到简谐场的麦克斯韦方程。
H
J D t
E
B t
B 0
D
Hm
Jm
j D m
Em
j B m
Bm 0
D m m
H J j D
E j B
D
式中A0代表振幅、 ( r )为与坐标有关的相位因子。
第 4 章 时变电磁场
电磁场与电磁波第四章时变电磁 场..
电磁场与电磁波
第 4 章 时变电磁场
2
4.1 电磁场波动方程
麦克斯韦方程 —— 一阶矢量微分方程组，描述电场与磁场 间的相互作用关系。
波动方程 —— 二阶矢量微分方程，揭示电磁场的波动性。
麦克斯韦方程组
波动方程。
无源区域中电磁场波动方程
时变电磁场唯一性定理
在以闭曲面S为边界的有界区域V 中，
V
如果给定t＝0 时刻的电场强度和磁场强度 S
的初始值，并且当t 0 时，给定边界面S
上的电场强度或者磁场强度的切向分量已知，那么，在 t > 0 的
任何时刻，区域V 中的电磁场都由麦克斯韦方程组唯一确定。
唯一性定理指出了获得唯一解所必须给定的边界条件。
第 4 章 时变电磁场
17
4.5.1 简谐电磁场的复数表示
简谐场量的复数表示形式
设 A(r,t)是一个以角频率 随时间t 作余弦变化的场量，它
可以是电场或磁场的任意一个分量，也可以是电荷或电流等变量，
它与时间的变化关系可以表示为：
A ( r ,t) A 0 c o s [t ( r ) ]
实数表示法 或称瞬时表示法
只要把微分算子 用 j 代替，就可把麦克斯韦方程转换为
t
简谐电磁场复矢量之间的关系，而得到简谐场的麦克斯韦方程。
H
J D t
E
B t
B 0
D
Hm
Jm
j D m
Em
j B m
Bm 0
D m m
H J j D
E j B
D
式中A0代表振幅、 ( r )为与坐标有关的相位因子。
电动力学教程 第4章 时变电磁场
A 随时间变化为动态矢量位
A E t 0
也随时间变化称为动态标量位。
A E t
(6)
2. 达朗贝方程 将(5)和(6)式分别代入麦克斯韦方程组得 到A和满足的微分方程 ρ 2 A t ε
因此上式改写为：
1 1 E H H E E J E D H B t 2 t 2 利用矢量恒等式 E H H E H E E H
麦克斯韦方程的复数形式是分别对其实部和虚部进行的并不改变其实部和虚部的性质故在复数运算中对复数的微分和积分运算rererererererere其中l是实线性算子如等因此麦氏方程所有场变量都仅仅是空间的函数反映场的空间分布方程的解剩以时间因子e与含时的麦氏方程比较其复数形式实现了时空分离因此使方程的求解更简单
利用麦氏方程组可以导出Poynting矢量和Poynting定理 的表达式。
D H J t B E t D E H E J E t B H E H t
kE0 B ˆx H dt e cos(t kz ) 0 t 0 1
(2) S (t ) E(t ) H (t )
ˆy E0 cos(t kz ) e ˆx e
ˆz e
kE0 2
0
kE0
cos(t kz )
0
cos2 (t kz )
电荷分布场(标量场)中的电荷流（即电 流）及电荷流密度（即电流密度）
dq i , dt
工程电磁场导论-第四章 时变电磁场
H y z
d
0 Hy(z) 0
ex 2.63104 sin(3109 t 10z) A / m2
2. 分界面上的衔接条件 ( Boundary Conditions )
时变电磁场中媒质分界面上的衔接条件的推导方式与前 三章类同，应用积分形式的基本方程：
法向分量
lD dS q
电场的切向分量 lB dS 0
布，不存在电流，则在分界面处的边界条件为
H1t H2t B1n B2n
E1t E2t D1n D2n
折射定律
n
B1
1 1,1
2
B2
2,2
tg1
B1t B1n
1H1t
B1n
tg 2
B2t B2n
2 H 2t
H2n
tg1 1 tg2 2
n
D1
3 1,1
4
D2
2,2
tg3
D1t D1n
1E1t
dt
S t
称为感生电动势，为变压器工作原理，亦称变压器电势。
感生电动势
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2）磁场不变，回路运动切割磁力线
f qv B
E f vB
e dm
q (ν B) dl
dt
l
称动生电动势，是发电机工
作原理，亦称发电机电势。
若B均匀，且l、B、v三
者垂直，则
动生电动势
e Blv
② 遵循麦克斯韦方程； ③ 电场和磁场相互联系成为不可分割的整体。
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法拉第（Michael Faraday, 1791-1867），伟大的英国物理学 家和化学家.他创造性地提出场的 思想，磁场这一名称是法拉第最 早引入的.他是电磁理论的创始人 之一，于1831年发现电磁感应现 象，后又相继发现电解定律，物
第4章 时变电磁场
(2)
对方程（2）两边取旋度有 E H t 2 2 E H E E ( E ) E
E t
2
对于各向同性的介质，得
2 E 2 E 2 0 t (5)
E 0 t
t
同理可得
2 H 2 H 2 0 t (6)
第四章 时 变 电 磁 场
从上方程可以看出：时变电磁场的电场场量和磁场场量在 空间中是以波动形式变化的，因此称时变电磁场为电磁波。 上两式为关于场量 E、H 的矢量波动方程，表示时变电磁场 以波的形式在空间存在和传播，其波速为
A E ex Am cos(t kz ) t
第四章 时 变 电 磁 场
§4.3 电磁能量守恒定律
能量守恒定律是一切物质运动过程遵守的普遍规律，作为特殊形态的物 质，电磁场及其运动过程也遵守这一规律。 下面讨论电磁场的能量和能量守恒定律，引入重要的坡印廷矢量和坡印廷 定理，分析讨论电磁场能量、电荷电流运动及电磁场做功之间的相互联系。
其中Am、k是常数，求电场强度、磁场强度。
解：
Ax B A ey ey kAm cos(t kz ) z k H ey Am cos(t kz )
A 0 t
C
如果假设过去某一时刻，场还没有建立，则C=0。
量位只决定于ρ，这对求解方程特别有利。只需解出A，无需
解出 就可得到待求的电场和磁场。 电磁位函数只是简化时变电磁场分析求解的一种辅助函数，应 用不同的规范条件，矢量位A和标量位 的解也不相同，但最终 得到的电磁场矢量是相同的。
电磁场与电磁波第四章
∇2ϕ
−
με
∂2ϕ ∂t 2
=
−
1 ε
ρ
矢量位和标量位满足(分离出的两个独立)的方程, 称为达朗贝尔方程
间接方法：A. 求解两个达朗贝尔方程 B. 达朗贝尔方程 + 洛仑兹条件
9
4.3 电磁能量守恒定律
讨论电磁场的能量问题，引入坡印廷矢量， 得到反映电磁能量守恒关系的坡印廷定理。
一、电磁场能量密度和能流密度
=
d dt
V
(1 2
μ
|
v H0
|2
+
1 2
ε
|
v E0
|2 )dV
+
σ
V
|
v E0
|2
dV
20
根据
v E0
或
v H0
满足的边界条件，左端被积函数
v (E0
×
v H
0
)
⋅
evn
|S
=
(evn
×
v E0
)
⋅
v H
0
|S
=
v (H
0
×
evn
)
⋅
v E0
|S
=
0
即
∫ ∫ d
dt
V
(1 2
μ
|
v H0
|2
+
∂2Ez ∂y 2
+
∂2Ez ∂z 2
− με
∂2Ez ∂t 2
=0
解波动方程，可求出空间中电磁场场量的分布。
(直接求解波动方程的过程很复杂)
4
4.2 电磁场的位函数
一、矢量位和标量位
∇ ⋅ Bv = 0
第4章 时变电磁场与电磁波(时变电磁场)
物质方程
1）辅助方程——本构方程 D 0E P B 0 ( H M ) J E 2）对于各向同性的线性媒质，有 D E B H J E
媒质可分为均匀与不均匀、线性与非线性、各向同性与 各向异性之分。 1)若描述电磁特性的参数(ε、μ、σ)与空间坐标无关，则 是均匀媒质，否则是不均匀媒质； 2)若描述电磁特性的参数(ε、μ、σ)与场量（E或H）的大 小无关，则是线性媒质，否则是非线性媒质； 3)若描述电磁特性的参数(ε、μ、σ)与场量的方向无关， 则是各向同性媒质，否则是各向异性媒质。 对于线性（Linear）、均匀(Homogeneous)、各向同性 （Isotropic）媒质被称为L.H.I媒质。除非另外说明,这里 涉及的媒质是线性、均匀、各向同性媒质。 在真空（或空气）中，ε＝ε0，μ＝μ0，σ＝0。 理想介质指的是电导率σ＝0的情况； 理想导体是指电导率σ→∞的媒质。
H ( x, y,0, t ) ax H 0 sin ax cos(t ay)
求理想导体表面上的电流分布、电荷分布以及分 界面处的电场强度。 解：理想导体表面上的电流分布为
J s n H a z a x H 0 sin ax cos(t ay ) a y H 0 sin ax cos(t ay )
E d l 0
c
在时变场中应该修正以来代替，
那么恒定磁场的性质安培环路定律
B c E d l S t d S
H d l I
c
在时变场中是否也要修正呢？
全电流定律
全电流定律
D H J t
积分形式
D l H dl s ( J t ) ds
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当与回路交链的磁通发生变化时，回路中会产生感
应电动势，这就是法拉弟电磁感应定律。
电磁感应定律： e d
dt
负号表示感应电流产生的磁
场总是阻碍原磁场的变化。
B
e
S
图4.1.1 感生电动势的参考方向
第四章
四、磁通变化方式：
时变电磁场
1.动生电动势：导电回路与恒定磁场有相对运动（导 线切割磁力线），此种感应电势又名发电机电势（发 电机工作原理）。
电的磁磁场H 感都应J能定产律D 生：t 电麦场克lH 。斯d 韦l第二S(方J 程，D t)表d明S电全荷电和流定变律化
磁通连E续性原B理：表E明d磁l 场是无B 源场dS, 磁电力磁线感总应是定律闭
第四章
时变电磁场
电荷守恒定律
SJC d S q t tVd V V tdV
SJCd SV JC dV V tdV
JC
t
第四章
高斯通量定律的微分形式： D
时变电磁场
JC t t D D t
JC
D0 t
令
Jd
D t
为位移电流密度。
第四章
恒定场
电流连续性原理
①磁场力： d fdv qB
②感应场强：
df
Ei
vB dq
③感应电势：
eEidvBd
图4.1.3 发电机电动势
第四章
时变电磁场
2、感生电动势：导电回路不运动，回路交链的磁通随 时间变化，此种感应电势又名变压器电势（变压器工 作原理）。
ed mdB d S B dS
dt dS t
S t
第四章
时变场的知识结构框图：
高斯定律 磁通连续性原理
时变电磁场
电磁感应定律
Maxwell方程组
全电流定律
坡印廷定理与坡印廷矢量
分界面上衔接条件
第四章
本章要求
时变电磁场
深刻理解电磁场基本方程组的物理意义，其中 包括位移电流的概念；
掌握电磁波的产生和传播特性。
第四章
时变电磁场
4.1 电磁感应定律和全电流定律
图4.1.2 感生电动势
第四章
时变电磁场
3.总的感应电势：一般情况，考虑上述导电回路的运 动，与交链的磁能随时间的变化两种情况：
el(νB)dlSB tdS
实验表明：只要与回路交链的磁通发生变化，回路中
e 就有感应电动势。 与构成回路的材料性质无关（甚
至可以是假想回路），当回路是导体时，有感应电流 产生。
电场 Eu , DEu(t)
d
d
位移电流密度
Jd
D(du)
t d dt
位移电流
图4.1.8 传导电流与
Sd u d u
位移电流
idSJd Sd(d t)C d tic
第四章
时变电磁场
1、一圆柱形电容器，内，外导体间的介质为空气，其
内外导体的半径分别为： R15cm ,R21c0，m 在此电容
器上加电压：
微分形式
可见：恒定磁场中安培环路定律是全电流定律的特殊形 式。
即：产生磁场的场源：1、电流，2、变化的电场。
第四章
时变电磁场
例 4.1.1 已知平板电容器的面积 S , 相距 d , 介
质的介电常数 ， 极板间电压 u( t )。试求位移电
流 id；传导电流 ic与 id 的关系是什么?
解：产生位移电流（Displacement Current），电流仍然是连续的。
第四章
时变电磁场
全电流定律
时变场中，存在 J（c 传导电流）， J（d 位移电流）及 v
（运流电流）的安培环路定律：
Hd
SJCdS
S
DdS t
vdS
S
积分形式
SJdSS
DdS t
HJD t
思考 电荷为什么会运动呢？即为什么产生感应电流呢？
第四章
4.1.2 感应电场（Inducted Electric Field）
时变电磁场
麦克斯韦假设，变化的磁场在其周围激发着一种
电场，该电场对电荷有作用力（产生感应电流），称
之为感应电场 。
在静止媒质中 e l Ei dl
lE id ls( E i)d S B td S
Ei
B t
图4.1.4 变化的磁场产 生感应电场
感应电场是非保守场，电力线呈闭合曲线，变化
的磁场 B是产生
t
E的i 涡旋源，故又称涡旋电场。
第四章
时变电磁场
若空间同时存在库仑电场,
即 EECEi ,则有
E B t
表明不仅电荷产生电场，变
化的磁场也能产生电场。
即：产生电场的场源：1、电荷， 2、变化的磁场。
J0
矢量恒等式
(H)0
所以 HJ
Stokes’ theorem
lHdlSJdS
时变电磁场
时变场
因为 J D
t
t
所以 (JD)0 t
矢量恒等式
(H)0
所以 HJD t
lHdlS(J D t)dS
第四章
时变电磁场
D
lHdlS(Jt)dS
=
图4.1.7 交变电路用安培 环路定律
JdS i
S1
DdS dSqi
4.1.1 电磁感应定律（变化的磁场产生电场 ）
一、楞次定律: 感应电势及其所产生的电流总是企图阻 止与回路交链的磁通的变化。
二、电磁感应定律: 导电回路所限定面积的磁通发生变 化，在该回路产生感应电势及感应电流，感应电势的 大小正比于磁通对时间的变化率。
e d
dt
第四章
时变电磁场
三、电磁感应定律的表达式:
第四章
时变电磁场
4.0 序
1、静电场与恒定磁场是空间坐标的函数，
与时间无关，二场互不相关，
2、 时变场是空间坐标与时间的函数，二场紧 密关联，变化的电场产生磁场，变化的磁场产 生电场。 电场与磁场相互依存构成统一的电磁 场。
英国科学家麦克斯韦将静态场、恒定场、时变 场的电磁基本特性用统一的麦克斯韦方程组高度概 括。麦克斯韦方程组是研究宏观电磁场现象的理论 基础。
u求t空气2sin2t
中任意点的位移电流密度。
第四章
时变电磁场
4.2 电磁场基本方程组·分界面上的衔接条件
Maxwill Eguations and Boundary Conditions
4.2.1 电磁场基本方程组 (Maxwell Equations) 全电流定律：麦克斯韦第一方程，表明传导电流和变化 的综电上场所都述能,产电生磁磁场场基。本方程组
图4.1.5 变化的磁场 产生感应电场
思考
根据自然界的对偶关系，变化的电场是否会产生 磁场呢？
第四章
4.1.3 全电流定律（Ampere’s Law）
时变电磁场
问题的提出
l Hdl i
经过S1面
lH dlS1JdSi
图4.1.6 交变电路用 安培环路定律
思考
经过S2面
lH dlS2JdS0
为什么相同的线积分结果不同？电流不连续 吗？ 原因所在？