时变电磁场(电磁场与电磁波).
电磁场与电磁波课后习题及答案六章习题解答
第六章时变电磁场有一导体滑片在两根平行的轨道上滑动，整个装置位于正弦时变磁场之中，如题图所示。
滑片的位置由确定，轨道终端接有电阻，试求电流i.解穿过导体回路abcda的磁通为故感应电流为一根半径为a的长圆柱形介质棒放入均匀磁场中与z轴平行。
设棒以角速度绕轴作等速旋转，求介质内的极化强度、体积内和表面上单位长度的极化电荷。
解介质棒内距轴线距离为r处的感应电场为故介质棒内的极化强度为极化电荷体密度为极化电荷面密度为则介质体积内和表面上同单位长度的极化电荷分别为平行双线传输线与一矩形回路共面，如题图所示。
设、、，求回路中的感应电动势。
解由题给定的电流方向可知，双线中的电流产生的磁感应强度的方向，在回路中都是垂直于纸面向内的。
故回路中的感应电动势为式中故则有一个环形线圈，导线的长度为l，分别通过以直流电源供应电压U0和时变电源供应电压U（t）。
讨论这两种情况下导线内的电场强度E。
解设导线材料的电导率为，横截面积为S，则导线的电阻为而环形线圈的电感为L，故电压方程为当U=U0时，电流i也为直流，。
故此时导线内的切向电场为当U=U（t）时，，故即求解此微分方程就可得到。
一圆柱形电容器，内导体半径为a，外导体内半径为b，长为l。
设外加电压为，试计算电容器极板间的总位移电流，证明它等于电容器的传导电流。
解当外加电压的频率不是很高时，圆柱形电容器两极板间的电场分布与外加直流电压时的电场分布可视为相同（准静态电场），即故电容器两极板间的位移电流密度为则式中，是长为l的圆柱形电容器的电容。
流过电容器的传导电流为可见由麦克斯韦方程组出发，导出点电荷的电场强度公式和泊松方程。
解点电荷q产生的电场满足麦克斯韦方程和由得据散度定理，上式即为利用球对称性，得故得点电荷的电场表示式由于，可取，则得即得泊松方程试将麦克斯方程的微分形式写成八个标量方程：（1）在直角坐标中；（2）在圆柱坐标中；（3）在球坐标中。
解（1）在直角坐标中（2）在圆柱坐标中（3）在球坐标系中已知在空气中，求和。
时变电磁场
在时变电磁场中能否采用 相同途径？
13:21
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电磁场与电磁波
第4章 时变电磁场
4.2 电磁场的位函数
时变电磁场为 统一整体 矢量位和标量位的引入
位函数同时包括 标量位和矢量位
B 0 B E t
B A
A E ( A) (E ) 0 t t 令： ( E A ) ，可得 E ( A ) t t A A(r , t ) : 动态矢量位 E ( ) 故： t (r , t ) : 动态标量位 B A
分类分析时变电磁场问题
共性问题
电磁波的 典型代表 均匀平面波
个性问题
电磁波的 传输 波导 电磁波的 辐射 天线
0 t
j t
第 4章
13:21
第 5、 6章
第 7章
第 8章
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电磁场与电磁波
第4章 时变电磁场
面对的问题？ 分析方法？ 关联的一般性物理问题？ 典型问题的应用？
13:21
磁矢位与电位函数分离 磁矢位只依赖于电流 电位函数只依赖于电荷
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电磁场与电磁波
第4章 时变电磁场
电磁场的波动方程
E J 1 2 E 2 t t 2 H 2 H 2 J t
en (J1 J 2 ) S t
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D H J t B E t B 0 D J t
电磁场与电磁波(第三版)课后答案第6章
第六章时变电磁场6.1 有一导体滑片在两根平行的轨道上滑动，整个装置位于正弦时变磁场5cos mT z e t ω=B 之中，如题6.1图所示。
滑片的位置由0.35(1cos )m x t ω=-确定，轨道终端接有电阻0.2R =Ω，试求电流i.解 穿过导体回路abcda 的磁通为5cos 0.2(0.7)cos [0.70.35(1cos )]0.35cos (1cos )z z d B ad ab t x t t t t ωωωωωΦ==⨯=⨯-=--=+⎰ B S e e故感应电流为110.35sin (12cos ) 1.75sin (12cos )mAin d i R R dt t t t t R ωωωωωωΦ==-=-+-+E6.2 一根半径为a 的长圆柱形介质棒放入均匀磁场0z B =B e 中与z 轴平行。
设棒以角速度ω绕轴作等速旋转，求介质内的极化强度、体积内和表面上单位长度的极化电荷。
解 介质棒内距轴线距离为r 处的感应电场为 00z r r r B φωω=⨯=⨯=E v B e e B e故介质棒内的极化强度为 00000(1)()e r r r r B r B εεεωεεω==-=-P E e e X极化电荷体密度为2000011()()2()P rP r B r r r rB ρεεωεεω∂∂=-∇⋅=-=--∂∂=--P极化电荷面密度为00()()P r r r a e r a B σεεωεεω==⋅=-⋅=-P n B e 则介质体积内和表面上同单位长度的极化电荷分别为220020012()212()P P PS P Q a a B Q a a B πρπεεωπσπεεω=⨯⨯=--=⨯⨯=-6.3 平行双线传输线与一矩形回路共面，如题6.3图所示。
设0.2a m =、0.1m b c d ===、71.0cos(210)A i t π=⨯，求回路中的感应电动势。
《电磁场与电磁波》PDF讲稿集合
特性：1）电场和磁场互为对方的涡旋（旋度）源。
在空E和§6－3 坡印廷定理及坡印廷矢量1、坡印廷定理能量的流动是时变场中出现的一个重要现象 流动的能量同空间媒质所消耗的能量以及电磁储能之间应满足能量守 恒定律，即Poynting定理，也称能流定理v v v ⎛ ∂ B ⎞ v ⎛ v ∂D ⎞ v v v v v v Q ∇ ⋅ (E × H ) = H ⋅ (∇ × E ) − E ⋅ (∇ × H ) = H ⋅ ⎜ − ⎜ ⎟ ⎜ ∂t ⎟ − E ⋅ ⎜ J + ∂t ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ v v v ∂H v v v ∂E = − μH ⋅ − E ⋅ σ E − εE ⋅ ∂t ∂t 1 ω m = μH 2 ∂ ⎛1 ∂ ⎛1 ⎞ ⎞ 2 = − ⎜ μH 2 ⎟ − σE 2 − ⎜ εE 2 ⎟ ∂t ⎝ 2 ∂t ⎝ 2 1 ⎠ ⎠ ω e = εE 2 ∂ 2 v v = − (ω m + ω e ) − p p = E ⋅ J = σE 2 ∂t假定：媒质是线性、各向同性的，且不随时间变化；无外加源Chap.6 时变电磁场 —— §6－3 坡印廷定理及坡印廷矢量v v ∂ ∇ ⋅ (E × H ) = − (ωm + ωe ) − p ∂t v v v v ∂ 令 S = E × H，得 − ∇ ⋅ S = (ω m + ω e ) + p ∂t单位时间内流入单 位体积中的能量坡印廷定理微分形式 单位体积内焦耳热损耗单位体积内电场能量和磁场能量的增加率 坡印廷定理积分形式取体积分，应用高斯定律得：v v d − ∫ S ⋅ ds = s dt∫ (ωVm+ ω e )dv + ∫ pdvV体积V内变为焦耳 热损耗的功率体积V内电场能量和磁场能量每秒的增加量 由于假设体积V内无外加源，根据能量守恒定律，等式左 端即为单位时间内穿过闭合面S进入体积V中的能量Chap.6 时变电磁场 —— §6－3 坡印廷定理及坡印廷矢量坡印廷定理物理意义： v ∂ 微分形式： − ∇ ⋅ S = ∂t (ω m + ω e ) + p外界向电磁场某点提供的电磁功率密度，等于该点电磁场能量密 度的时间增加率，与对这点自由电荷提供的功率密度之和v v d 积分形式： − ∫s S ⋅ ds = dt ∫V (ω m + ω e )dv + ∫V pdv 某时刻外界通过闭合面进入其所包围体积V中的电磁功率，等于V 内电磁场能量的时间增加率与体积内焦耳热损耗的瞬时功率之和Poynting定理是电磁场中的能量守恒与转换定律 它清楚地表明电磁场是能量的携带者与传播者Chap.6 时变电磁场 —— §6－3 坡印廷定理及坡印廷矢量2、坡印廷矢量v v v v v 由坡印廷定理可知， S ⋅ ds = ∫ (E × H )⋅ ds表示通过闭合面S的总瞬时功率 ∫s s定义:v v v S = E×H为坡印廷矢量，也称能流密度矢量。
第5章 时变电磁场 (全)
? 2E
2 抖 r E J + me 2 = m e ¶t ¶t
? 2H
¶ 2H me = - 汛 J 2 ¶t
需要求解 6 个坐标分量。 位函数满足一个矢量微分方程和一个标量微分方程
? 2A
¶ 2A me 2 = - mJ ¶t
? 2F
¶ 2F r me 2 = e ¶t
仅需求解 4 个坐标分量，直角坐标系中实际上等于求解 1 个标量方程。
炎 B = 0
磁通连续性定理 高斯定理
炎 D = r
¶r ¶t
Ò J ?ds 蝌
S
-
d dt
蝌
V
r dv
炎 J = -
电荷守恒定律 本构关系
ì ï Jc = sE ï J =J + í ï J = rv ï î v
i
D = eE
B = mH
时 变 电 磁 场
时变电场是有旋有散的，时变磁场是有旋无散的。但， 时变电磁场中的电场与磁场是不可分割的，因此，时变 电磁场是有旋有散场。 在无源区中，时变电磁场是有旋无散的。 电场线与磁场线相互交链，自行闭合，从而在空间形成 电磁波。 静态场和恒定场是时变场的两种特殊形式。
dr dq i= = S s dt dt
J = dr s dt
极板间电通量随时间的变化率为
d Ye dt = d (SD ) dt = S drs dt = i
电位移矢量的大小随时间的变化率为
drs dD dD = = = J dt dt dt
方向上，充电时 相反。显然，
dD dt
dD dt
? E
2 2 r 抖 E J me 2 = m + ¶t e ¶t
电磁场与电磁波 第五章时变电磁场
D H J t 位移电流是电流概念的扩充，它不是带电粒子的定向运动 形成的，而是人为定义的，不能直接由实验测出。
l
H dl (J Jd ) dS
S
D J dS dS S S t
年中发生的美国内战 （1861-1865）将会降低为一个地区性琐事而
黯然失色”。
陕西科技大学编写
电磁场与电磁波
第5章 时变电磁场
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评价
处于信息时代的今天，从婴儿监控器到各种遥控设备、从雷达到
微波炉、从地面广播电视到太空卫星广播电视、从地面移动通信到 宇宙星际通信、从室外无线局域网到室内蓝牙技术、以及全球卫星 定位导航系统等，无不利用电磁波作为传播媒体。 无线信息高速公路更使人们能在任何地点、任何时间同任何人取 得联系，发送所需的文本、声音或图象信息。电磁波的传播还能制 造一种身在远方的感觉，形成无线虚拟现实。 电磁波获得如此广泛的应用，更使我们深刻地体会到19世纪的麦 克斯韦和赫兹对于人类文明和进步的伟大贡献。
D (J )0 t
全电流连续 位移电流
D Jd 陕西科技大学编写 t
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第5章 时变电磁场
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流进曲面S1的传导电流 S1 S2 等于流出S2的位移电流 ② 位移电流与传导电流、运流电流一样具有磁的效应；
J dS Jd dS
令 l2 0
H 2t H1t J s
磁场： ( H - H ) J 即 en 1 2 S
B1n B2n 电场：H 2t H1t J s
陕西科技大学编写
电磁场与电磁波
第5章 时变电磁场
第5章 时变电磁场2008
D S J c d S S t d S
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D S ( J c t ) d S 0
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位移电流
D S ( J c t ) d S 0
式中 J c 为传导电流
D 定义: 位移电流密度 J d t
根据斯托克斯(Stokes)定理
B S ( E i ) d S S t d S 上式对任意面积均成立
B Ei t
微分形式
变化的磁场产生感应电场
物理意义：随时间变化的磁场将产生电场。
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电磁场与电磁波
② 回路切割磁力线，磁场不变
（以 L 为边做任意曲面 S ）
I
L
H dl J ds I
S1
L
H dl J ds 0
S2
结论： 恒定磁场中推导得到的安培环路定律不适用 于时变场问题！
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二、位移电流假说
在电容板之间，不存在自由电流，但存在随时间变化
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二、感应电动势的产生
引起磁通变化的原因有三类
d d i BdS dt dt S ① 回路不变，磁场随时间变化
B(t ) S B S (t ) B(t ) S (t )
d B i dS S t dt
意义：全电流定律揭示不仅传导电流激发磁场，变化的电 场也可以激发磁场。它与变化的磁场激发电场形成自然界 的一个对偶关系。麦克斯韦由此预言电磁波的存在。
[理学]第四章 时变电磁场 电磁场与电磁波 课件 谢处方_OK
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0 2 2a3
a2
RI 2
式中
R
1
a2
是单位长度内导体的电阻。由此可见，进入内导
体中功率等于这段导体的焦耳损耗功率。
以上分析表明电磁能量是由电磁场传输的，导体仅起着定向 引导电磁能流的作用。当导体的电导率为有限值时，进入导体中 的功率全部被导体所吸收，成为导体中的焦耳热损耗功率。 27
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惟一性定理指出了获得惟一解所必须满足的条件，为电磁场 问题的求解提供了理论依据，具有非常重要的意义和广泛的 应用。
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王喜昌教授编写
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4. 5 时谐电磁场
时谐电磁场的复数表示 复矢量的麦克斯韦方程 复电容率和复磁导率 亥姆霍兹方程 时谐场的位函数 平均能流密度矢量
32
王喜昌教授编写
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王喜昌教授编写
电磁场与电磁波
电磁能量在内外导体之间的介质中沿轴方向流动， 即由电源向负载，如图所示。
同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量 （理想导体情况）
穿过任意横截面的功率为
P
S
S
ezdS
b
UI
2d UI
a 2 2 ln(b a)
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王喜昌教授编写
电磁场与电磁波
（2）当导体的电导率σ为有限值时，导体内
微分形式：
(E
H
)
(1
ED
1
H B) E J
t 2
2
积分形式 ： d 1 1
S (E H ) dS dt V (2 E D 2 H B) dV V E J dV
其中：d
(
1
E
D
1
H
B)
dV
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r
dr
h
I 求 解 如图取一半径为 r ,宽度 为dr ,高度为 h 的圆环.
则圆环中的感生电动势的值为
r
dr
dB E i Ek dl ds L1 2π r 又 dR hdr
kh 所以 dI 2 rdr
11
例 设有一半径为R ,高度为h的铝圆盘, 其电导 率为 . 把圆盘放在磁感强度为 B 的均匀磁场中, 磁 场方向垂直盘面.设磁场随时间变化, 且 dB dt k 为一常量.求盘内的感应电流值.（圆盘内感应电流自 己的磁场略去不计） r dr
h
R
h
r
dr
B
12
已知
R , h , , B , dB dt k
10
当导体回路以速度 v 运动时,可以证明
d B BdS d S ( B v ) dl S t C dt S
当磁场不随时间变化时
d C E dl dt S B d S C ( v B ) dl F E v B F qv B q 导体中的感应电场实际上是导体中单位电荷所受的 洛仑兹力，同时也可以说明，感应电场是由于电荷在磁 场中运动而形成的.
出现的感应电流，总是使
它自己所激发的磁场反抗
任何引发电磁感应的原因 （反抗相对运动、磁场变 化或线圈变形等）.
B
N
F
S
v
4
用 楞 次 定 律 判 断 感 应 电 流 方 向
B
B
v
S
I
I
N
N
S
v
5
楞次定律 闭合的导线回路中所出现的感应电 流，总是使它自己所激发的磁场反抗任何引发电磁 感应的原因. 楞次定律是能量 守恒定律的一种表现 机械能 焦耳热
第5章、时变电磁场
5.1 法拉第电磁感应定律 5.2 位移电流 5.3 麦克斯韦方程组 5.4 时变电磁场的边界条件 5.5 坡印廷定理和坡印廷矢量 5.6 波动方程 5.7 动态位与滞后位 5.8 时谐电磁场 5.9 电磁对偶性（略） 5.10 似稳电磁场（略）
1
5.1 法拉第电磁感应定律
静态场
+ B
+
+ + + + + + +
+ + +
+ Fm +
+ + + +
+ + +
+ + + + + + + +
+ + + + + + + +
Ii
+ v + +
维持滑杆运动必须外加一力，此过程为外力克 服安培力做功转化为焦耳热.
6
三、法拉第电磁感应定律
当穿过闭合回路所围
面积的磁通量发生变化时， 回路中会产生感应电动势， 且感应电动势正比于磁通 量对时间变化率的负值.
13
2 d s k π r S
由计算得圆环中电流
kh dI rdr 2
于是圆盘中的感应电流为
r
dr
h
r
dr
kh R I dI rd r 2 0 1 2 kR h 4
14
五、涡电流 感应电流不仅 能在导电回 路内出 现，而且当大块导 体与磁场有相对运 动或处在变化的磁 场中时，在这块导 体中也会激起感应 电流.这种在大块导 体内流动的感应电 流,叫做涡电流 , 简 称涡流. 应用：热效应、电磁阻尼效应
d d dt dt
d d N i S B d S dt dt i 1
7
闭合回路由 N 匝密绕线圈组成
四、法拉第电磁感应定律微分形式 感应电动势 感应电场 . 令感应电场为 E in
d l E in dl dt 如果空间同时还存在由静止电荷产生的保守电
讨论
对法拉第电磁感应定律的讨论
式中等式右边为B对t的偏导数，该式用于分析时变场 式中的E是磁场随时间变化而激发的，称为感应电场 感应电场是有旋场，磁场随时间变化处会激发旋涡状 的电场 对任意回路（不一定有导体存在）成立 磁场不随时间变化时，有 E 0 ，与静电场的形式 相同，可见静电场是时变场的特殊情况
L S2
16
结论: 恒定磁场中推导得到的安培环路定律不实用 于时变场问题
二、位移电流假说 在电容板之间，不存在自由电流，但存在随时间 变化的电场。 为了克服安培环路定律的局限性，麦克斯韦提出 了位移电流假说：在电容器之间，存在着因变化的电 场而形成的电流，其性质与传导电流完全不同,量值与 回路中自由电流相等. 由电流连续性方程,知在极板间，有 d dq Jc dS DdS J c dS S S S dt dt D D (J c )dS 0 J d S c dS S S S t t
当回路静止时
d B l E dl dt S B d S S t d S
根据斯托克斯(Stokes)定理
B S ( E ) d S S t d S
法拉第电磁感应定律微分形式
9
上式对任意面积均成立
B E t
B E 法拉第电磁感应定律微分形式 t 物理意义：随时间变化的磁场将产生电场。
场 E c，则总电场 E E c E in
E dl E
l l
c
dl
E
l
in
dl E in dl
l
d d l E dl dt dt S B d S
8
d d l E dl dt dt S B d S
场大小不随时间发生改变（静电场，恒定磁场）
特性：电场和磁场相互独立，互不影响 时变场：场的大小随时间发生改变
特性：电场和磁场相互激励，从而形成不可分隔的 统一的整体，称为电磁场
2
一、电磁感应现象
实验表明：当穿过导体回路的磁通量发生变化时， 回路中会出现感应电流。——电磁感应现象
3
二、楞次定律
闭合的导线回路中所
15
5.2 位移电流
一、安培环路定律的局限性
恒定磁场中,安培环路定律 H dl I
l
s
j ds
S1
L
-
S2
（以 L 为边做任意曲面 S ）
+ + + +
H dl j ds I
L
I
S1
H dl j ds 0