26.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质
二次函数y=ax2 bx c的图象和性质(1)
2、填表:
抛物线
开口方向
对称轴
顶点坐标
y 2x2
y 2(x 1)2
y 2(x 1)2
开口向上 直线x=0 开口向上 直线x=1 开口向上 直线x=-1
(0, 0) (1, 0) (-1, 0)
二次函数y=a(x-h)²对称轴为_直__线__x_=_h_,顶点坐标(_h_,_0_)_ .
h>0时，y=ax²向右平移h个单位 y=a(x-h)²；
y 0.5x2 1 开口向下 直线x=0 (0,1) y 0.5x2 1 开口向下 直线x=0 (0,-1)
二次函数y=ax²+k对称轴为 y轴 ，顶点坐标为 (0,k) .
k>0时，y=ax²向上平移k个单位 y=ax²+k；
k<0时，y=ax²向下平移| k|个单位 y=ax²+k.
复习引入
二次函数y=a(x-h)2的性质
抛物线 顶点坐标
y=a(x-h)2 (a>0)
（h，0）
y=a(x-h)2 (a<0)
（h，0）
对称轴
直线x=h
直线x=h
位置 在x轴的上方(除顶点外)
增减性
最值
开口大小
在对称轴的左侧,y随着x的增大 而减小. 在对称轴的右侧, y随 着x的增大而增大.
h<0时, y=ax²向左平移| h|个单位 y=a(x-h)².
简记为“上加下减，左加右减”.
议一议
1.在上面的坐标系中作出二次函数y=3(x+1)2 的图象.它与二次函数y=3x2和y=3(x-1)2的图 象有什么关系？它是轴对称图形吗?它的对称 轴和顶点坐标分别是什么?
2. x取哪些值时,函数y=3(x+1)2的值随x值的增 大而增大?
26.1.4二次函数y=ax2+bx+c的函数图象和性质
y 3x 6 x 5 配方: 5 2 3 x 2 x 3 5 2 3 x 2 x 1 1 3 2 老师提示: 2 3x 1 3 配方后的表达
2 二次函数y=ax +bx+c的图象和性质 y
x
画函数y=ax²+bx+c的图象
你能画出二次函数y=3x2-6x+5的图像吗？
我们知道,像二次函数y=a(x-h）2+k的图 象,顶点坐标为（h,k）,通过平移抛物线 y=ax2可以得到。
二次函数y=3x2-6x+5也能化成这种形式吗？
函数y=ax²+bx+c的图象
函数y=ax²+bx+c的顶点式
配方:
2 b 4 ac b y a x . 2a 4a
2
例.求次函数y=ax² +bx+c的对称轴和顶点坐标．
y ax2 bx c
c 2 b a x x a c 2提取二次项系数老师提 Nhomakorabea:2
提取二次项系数 配方:加上再减去一次项 系数绝对值一半的平方 整理:前三项化为平方形 式,后两项合并同类项 化简:去掉中括号
式通常称为顶 点式
3x 1 2.
2
函数y=3x2-6x+5的图象特征
2.根据顶点式确定开口方向,对称轴,顶点 坐标.
y 3x 1 2. ∵a=3>0,∴开口向上; 对称轴:直线x=1; 顶点坐标:(1,2).
增减性 最值
b 4ac b 2 当x 时, 最小值为 2a 4a
22.1.4二次函数y=ax2 bx c的图像和性质 初中初三九年级数学教学课件PPT 人教版
最值
x=h时，y最小值=k
x=h时，y最大值=k
二、学习目标：
1．理解二次函数 y=ax2+bx+c 与 y =a（x - h）2 +k之间 的联系，体会转化思想； 2．通过图象了解二次函数 y=ax2+bx+c 的性质，体 会数形结合的思想． 3 .会求二次函数的最值，并能利用它解决简单的实际 问题． • 学习重点： 会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为 y = a（x - h）2 +k 的形式，并能由此得到二次函数 y = ax2 +bx+c 的图象和性质．
答：经过15秒，火箭到达最高点，起最大高度为1135米。
总结：求二次函数最值，有两个方法． (1)用配方法；(2)用公式法．
四、课堂小结
二次函数 y ax2 bx c 的性质：
（1）顶点坐标
b 4ac b2
2a
,
4a
;
（2）对称轴是直线 x b
2a
（3）开口方向：当 a＞0时，抛物线开
2
直接画函数
的图象
y 1 x2 6x 21 2
描点、连线，画出函数 y 1 x 62 3
图像.
2
问题：
y
1 2
x2
6x
21
1.看图像说说抛物线
y 1 x2 6x 21
2
的增减性。
●
●
5
●
●
●
●
●
（6,3）
O
5
10
2.怎样平移抛物线 y 1 x2 2
可以得到抛物线
y 1 x2 6x 21？
口向上；当 a＜0时，抛物线开口向下。
二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质
二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质
二次函数，又称之为平方函数，它是最基本的解析函数之一。
它的标准形式是y=ax2＋bx＋c，其中a,b, c是实数，a≠0。
二次函数的图像是根据函数表达式的特性来推断的，只要我们把函数上的点代入进函数的表达式，并确定函数的拐点，就可以找出图形的形状。
一般来说，当a>0时，二次函数的图像是一条“U”形(有可能是拱状或者凹状)，当a<0时，二次函数的图像是一条蛇形抛物线(有可能是凸状或者凹状)，沿X轴的对称轴是当x=－b/2a时，它的最高点或者最低点是（－b/2a,f (－b/2a))。
二次函数不仅表示物理现象，也可以表示天文现象，甚至于在经济学中也有运用。
从数学上来讲，它具有众多的特性和性质，如：
A、二次函数有且只有两个极值，可能是极大值或极小值；
B、当a > 0时，函数有一个唯一的最小值点，沿X轴的对称轴也就是当x=－b/2a时的单位；
C、当a < 0时，函数有一个唯一的最大值点，同样沿X轴的对称轴也就是当x=－b/2a时的单位；
D、当x→±∞时，函数值→±∞，即它是一个可以到达正负无穷远处的无限延伸曲线。
以上就是二次函数的图像与性质，只要我们掌握了它的一般形式与特性，就可以很容易的根据题设的条件把它画出来，用它来描述和解决各种实际问题，它是一种有效的数学工具。
经典人教版26.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质.ppt
所以当x＝2时，y最小值＝－7 。
.精品课件.
17
解法二（公式法）：
因为a＝2＞0，抛物线 y 2x2 8x 1 有最低 点，所以y有最小值，
因为－ b
8
4ac b2 2,
4 21 82
7
2a 2 2
4a
42
所以当x＝2时，y最小值＝－7 。
总结：求二次函数最值，有两个方法． (1)用配方法；(2)用公式法．
3 半的平方
老师提示:
配方后的表达
3x
12
2 3
化简:去整理:前三项 化为平方形式,后两项 合并同类项
式通常称为配
3x 12 2.
掉中括号
方式或顶点式
.精品课件.
7
归纳
二次函数 画法：
y=
—12 x2－6x
+21图象的
(1)“化” ：化成顶点式 ；
(2)“定”：确定开口方向、对称轴、顶 点坐标；
.精品课件.
18
例6已知函数
y
1 2
x2
3x
1 2
，当x为何值
时，函数值y随自变量的值的增大而减小。
解法一：a 1 0 ，∴抛物线开口向下，
2
又y 1 x2 3x 1 1 x2 6x 9 9 1
2
22
2
1 x 32 9 1
2
22
1 x 32
2
5
∴ 对称轴是直线x＝－3，当 x＞－3时，y
图你像能的说特出征二吗次？函数y=—21 x2－6x＋21
.精品课件.
4
如何画出y 1 x2 6x 21的图象呢? 2
我们知道,像y=a(x-h)2+k这样的函数,
二次函数y=ax2 bx c地图像及性质
二次函数c+=2的图象y+axbx【教学目标】1、会用描点法画出二次函数、与的图象；2、能结合图象确定抛物线、、的对称轴与顶点坐标；3、通过比较抛物线与同的相互关系，培养观察、分析、总结的能力;【教学重点】画出形如、与形如的二次函数的图象，能指出上述函数图象的开口方向，对称轴，顶点坐标.【教学难点】理解函数、、与及其图象间的相互关系【知识点梳理】知识点一、二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c(a≠0，a，b，c为常数)的函数称为二次函数(quadratic funcion) .其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项.知识点二、二次函数的图象及画法二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是对称轴平行于y轴(或是y轴本身)的抛物线.几个不同的二次函数.如果二次项系数a相同，那么其图象的开口方向、形状完全相同，只是顶点的位置不同.1. 用描点法画图象首先确定二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标，然后在对称轴两侧，以顶点为中心，左右对称地画图.画结构图时应抓住以下几点：对称轴、顶点、与x轴的交点、与y轴的交点.2. 用平移法画图象由于a相同的抛物线y=ax2+bx+c的开口及形状完全相同，故可将抛物线y=ax2的图象平移得到a值相同的其它形式的二次函数的图象.步骤为：利用配方法或公式法将二次函数化为y=a(x-h)2+k的形式，确定其顶点(h，k)，然后做出二次函数y=ax2的图象.将抛物线y=ax2平移，使其顶点平移到(h，k).知识点三、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质1.函数y=ax2(a≠0)的图象与性质：2.函数y=ax2+c(a≠0)的图象及其性质:(1)当a>0时，开口方向、对称轴、增减性与y=ax2相同，不同的是顶点坐标为(0，c)，当x=0时，y最小=c(2)当a<0时，开口方向、对称轴、增减性与y=ax2相同，不同的是顶点坐标为(0，c)，当x=0时，y最大=c3.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线.它的顶点坐标是，对称轴是直线的左侧，抛物线自左知识点四、抛物线y=ax2+bx+c中a、b、c的作用【典型例题】题型一：k ax y +=2的图象和性质例1、一条抛物线的开口方向、对称轴与221x y =相同，顶点纵坐标是-2，且抛物线经过点（1，1），求这条抛物线的函数关系式．例2 、 在同一平面直角坐标系画出函数 、、的图象.由图象思考下列问题： （1）抛物线的开口方向，对称轴与顶点坐标是什么？（2）抛物线 的开口方向，对称轴与顶点坐标是什么？ （3）抛物线 ，与的开口方向，对称轴，顶点坐标有何异同？（4）抛物线 与 同有什么关系？例3、已知二次函数7)1(82-+--=k x k x y ，当k 为何值时，此二次函数以y 轴为对称轴？写出其函数关系式．变式训练： 1、已知函数231x y =， 3312+=x y ， 2312-=x y ． （1）分别画出它们的图象； （2）说出各个图象的开口方向、对称轴、顶点坐标； （3）试说出函数5312+=x y 的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标．2、 不画图象，说出函数3412+-=x y 的开口方向、对称轴和顶点坐标，并说明它是由函数241x y -=通过怎样的平移得到的． 3、 若二次函数22+=ax y 的图象经过点（-2，10），求a 的值．这个函数有最大还是最小值？是多少？题型二：2)(h x a y -=的图象和性质例1、不画出图象，你能说明抛物线23x y -=与2)2(3+-=x y 之间的关系吗?例2、已知函数221x y -=，2)1(21+-=x y ， 2)1(21--=x y ． （1）在同一直角坐标系中画出它们的图象；（2）分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； （3）分别讨论各个函数的性质．例3、根据上题的结果，试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线221x y -=得到抛物线2)1(21+-=x y 和2)1(21--=x y ？变式训练：1、函数2)1(3+-=x y ，当x 时，函数值y 随x 的增大而减小．当x 时，函数取得最 值，最 值y= ．2、不画出图象，请你说明抛物线25x y =与2)4(5-=x y 之间的关系．3、将抛物线2ax y =向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为 -2，且新抛物线经过点（1，3），求a 的值．题型三：2)(h x a y -=+k 的图象和性质例1、把抛物线c bx x y ++=2向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线2x y =，求b 、c 的值．例2、把抛物线223x y -=向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得的抛物线的函数关系式为 ．例3、在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．23x y -=，2)2(3+-=x y ，1)2(32-+-=x y ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．变式训练：1、抛物线22121x x y -+=可由抛物线221x y -=向 平移 个单位，再向 平移 个单位而得到．2、将抛物线522++-=x x y 先向下平移1个单位，再向左平移4个单位，求平移后的抛物线的函数关系式．3、将抛物线23212++-=x x y 如何平移，可得到抛物线32212++-=x x y ？4、抛物线c bx x y ++-=23是由抛物线132+--=bx x y 向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到的，求b 、c 的值．题型四、c bx ax y ++=2的图象和性质例1、通过配方，确定抛物线6422++-=x x y 的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画图．例2、已知抛物线9)2(2++-=x a x y 的顶点在坐标轴上，求a 的值．例3、已知抛物线253212+-=x x y ，求出它的对称轴和顶点坐标，并画出函数的图象．例4、利用配方法，把下列函数写成2)(h x a y -=+k 的形式，并写出它们的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．（1）162++-=x x y（2）4322+-=x x y（3）nx x y +-=2（4）q px x y ++=2变式训练：1、（1）二次函数x x y 22--=的对称轴是 ．（2）二次函数1222--=x x y 的图象的顶点是 ，当x 时，y 随x 的增大而减小．（3）抛物线642--=x ax y 的顶点横坐标是-2，则a = ． 2、抛物线c x ax y ++=22的顶点是)1,31(-，则a 、c 的值是多少？ 3、已知622)2(-++=k kx k y 是二次函数，且当0>x 时，y 随x 的增大而增大．（1）求k 的值；（2）求开口方向、顶点坐标和对称轴．4、当0<a 时，求抛物线22212a ax x y +++=的顶点所在的象限．5、已知抛物线h x x y +-=42的顶点A 在直线14--=x y 上，求抛物线的顶点坐标．题型五、c bx ax y ++=2的最大或最小值例1、求下列函数的最大值或最小值：（1）5322--=x x y ； （2）432+--=x x y ．例2、某产品每件成本是120元，试销阶段每件产品的销售价x （元）与产品的日销售量y（件）之间关系如下表：若日销售量y 是销售价x 的一次函数，要获得最大销售利润，每件产品的销售价定为多少元？此时每日销售利润是多少？例3、某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40件，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经过市场调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？变式训练：1、对于二次函数m x x y +-=22，当x= 时，y 有最小值．2、已知二次函数b x a y +-=2)1(有最小值 –1，则a 与b 之间的大小关系是（ ） A ．a ＜b B ．a=b C ．a ＞b D ．不能确定3、求下列函数的最大值或最小值:（1）x x y 22--=； （2）1222+-=x x y ．4、已知二次函数m x x y +-=62的最小值为1，求m 的值．，5、心理学家发现，学生对概念的接受能力y 与提出概念所用的时间x （单位：分）之间满足函数关系：)300(436.21.02≤≤++-=x x x y ．y 值越大，表示接受能力越强．（1）x 在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x 在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？（2）第10分时，学生的接受能力是多少？（3）第几分时，学生的接受能力最强？6、如图，有长为24m 的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a 为10m ），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB 为x m ，面积为S m 2．（1）求S 与x 的函数关系式；（2）如果要围成面积为45 m 2的花圃，AB 的长是多少米？（3）能围成面积比45 m 2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．题型六、利用待定系数法求二次函数的函数关系式例1、某涵洞是抛物线形，它的截面如图26．2．9所示，现测得水面宽1．6m ，涵洞顶点O 到水面的距离为2．4m ，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？例2、根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．（1）已知二次函数的图象经过点A （0，-1）、B （1，0）、C （-1，2）；（2）已知抛物线的顶点为（1，-3），且与y 轴交于点（0，1）；（3）已知抛物线与x 轴交于点M （-3，0）、（5，0），且与y 轴交于点（0，-3）；（4）已知抛物线的顶点为（3，-2），且与x 轴两交点间的距离为4．例3、已知二次函数c bx x y ++=2的图象经过点A （-1，12）、B （2，-3），（1）求该二次函数的关系式；（2）用配方法把（1）所得的函数关系式化成k h x a y +-=2)(的形式，并求出该抛物线的顶点坐标和对称轴．例4、已知二次函数的图象与一次函数84-=x y 的图象有两个公共点P （2，m ）、Q （n ，-8），如果抛物线的对称轴是x= -1，求该二次函数的关系式．变式训练：1、根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．（1）已知二次函数的图象经过点（0，2）、（1，1）、（3，5）；（2）已知抛物线的顶点为（-1，2），且过点（2，1）；（3）已知抛物线与x 轴交于点M （-1，0）、（2，0），且经过点（1，2）．2、二次函数图象的对称轴是x=-1，与y 轴交点的纵坐标是–6，且经过点（2，10），求此二次函数的关系式．3、某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物，如图所示，大门地面宽AB=4m ，顶部C 离地面高度为4．4m ．现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2．8m ，装货宽度为2．4m ．请判断这辆汽车能否顺利通过大门．4、已知二次函数c bx ax y ++=2，当x=3时，函数取得最大值10，且它的图象在x 轴上截得的弦长为4，试求二次函数的关系式．5、抛物线n mx x y ++=22过点（2，4），且其顶点在直线12+=x y 上，求此二次函数的关系式．【随堂练习】1、二次函数y=ax 2＋bx 2＋c 的图象如图所示，则a 0，b 0，c 0（填“＞”或“＜”＝．）2、二次函数y=ax 2＋bx ＋c 与一次函数y=ax ＋c 在同一坐标系中的图象大致是图中的（ ）3、在同一坐标系中，函数y=ax 2＋bx 与y=xb 的图象大致是图中的（ ）4、如图所示的是桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状．按照图中建立的直角坐标系，左面的一条抛物线可以用y=0．0225x 2＋0．9x ＋10表示，而且左右两条抛物线关于y 轴对称，你能写出右面钢缆的表达式吗？5、图中各图是在同一直角坐标系内，二次函数y=ax 2＋（a ＋c ）x ＋c 与一次函数y=ax ＋c 的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（ ）6、抛物线y=ax 2＋bx ＋c 如图所示，则它关于y 轴对称的抛物线的表达式是 ．7、已知二次函数y=（m －2）x 2＋（m ＋3）x ＋m ＋2的图象过点（0，5）．（1）求m 的值，并写出二次函数的表达式；（2）求出二次函数图象的顶点坐标、对称轴．8、启明公司生产某种产品，每件产品成本是3元，售价是4元，年销售量为10万件．为了获得更好的利益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是x （万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y 倍，且y=－102x ＋107x ＋107，如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费． （1）试写出年利润S （万元）与广告费x （万元）的函数表达式，并计算广告费是多少万元时，公司获得的年利润最大？最大年利润是多少万元？（2）把（1）中的最大利润留出3万元作广告，其余的资金投资新项目，现有6个项目可供选择，各项目每股投资金额和预计年收益如下表：如果每个项目只能投一股，且要求所有投资项目的收益总额不得低于1．6万元，问有几种符合要求的投资方式？写出每种投资方式所选的项目．9、已知抛物线y=a （x －t －1）2＋t 2（a ，t 是常数，a ≠0，t ≠0）的顶点是A ，抛物线y=x 2－2x ＋1的顶点是B （如图）．（1）判断点A 是否在抛物线y=x 2－2x ＋1上，为什么？（2）如果抛物线y=a （x －t －1）2＋t 2经过点B ．①求a 的值；②这条抛物线与x 轴的两个交点和它的顶点A 能否成直角三角形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由．10、如图，E 、F 分别是边长为4的正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，CE=1，CF=34，直线FE 交AB 的延长线于G ，过线段FG 上的一个动点H ，作HM ⊥AG 于M ．设HM=x ，矩形AMHN 的面积为y ．（1）求y 与x 之间的函数表达式，（2）当x 为何值时，矩形AMHN 的面积最大，最大面积是多少？11、已知点A （－1，－1）在抛物线y=（k 2－1）x 2－2（k －2）x ＋1上．（1）求抛物线的对称轴；（2）若点B 与A 点关于抛物线的对称轴对称，问是否存在与抛物线只交于一点B 的直线？如果存在，求符合条件的直线；如果不存在，说明理由．12、如图，A、B是直线ι上的两点，AB=4cm，过ι外一点C作CD∥ι，射线BC与ι所成的锐角∠1=60°，线段BC=2cm，动点P、Q分别从B、C同时出发，P以每秒1cm的速度，沿由B向C的方向运动；Q以每秒2cm的速度，沿由C向D的方向运动．设P、Q运动的时间为t秒，当t＞2时，PA交CD于E．（1）用含t的代数式分别表示CE和QE的长；（2）求△APQ的面积S与t的函数表达式；（3）当QE恰好平分△APQ的面积时，QE的长是多少厘米？13、如图所示，有一边长为5cm的正方形ABCD和等腰三角形PQR，PQ=PR=5cm，PR=8cm，点B、C、Q、R在同一直线ι上．当CQ两点重合时，等腰△PQR以1cm/秒的速度沿直线ι按箭头所示方向开始匀速运动，t秒后，正方形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积为Scm2．解答下列问题：（1）当t=3秒时，求S的值；（2）当t=5秒时，求S的值；14、如图2-4-16所示，公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在圆形水面中心，OA=1．25米．由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线的路线落下．为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在与高OA距离为1米处达到距水面最大高度2．25米．（1）如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水不致落到池外？（2）若水池喷出的抛物线形状如（1）相同，水池的半径为3．5米，要使水流不致落到池外，此时水流最大高度应达多少米？（精确到0．1米，提示：可建立如下坐标系：以OA 所在的直线为y 轴，过点O 垂直于OA 的直线为x 轴，点O 为原点）15、某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日生产的产品全部售出．已知生产x 只玩具熊猫的成本为R （元），每只售价为P （元），且R ，P 与x 的表达式分别为R=500＋30x ，P=170－2x ．（1）当日产量为多少时，每日获利为1750元？（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？16、阅读材料，解答问题．当抛物线的表达式中含有字母系数时，随着系数中的字母取值的不同，抛物线的顶点坐标出将发生变化．例如y=x 2－2mx ＋m 2＋2m －1①，有y=（x －m ）2＋2m －1②，∴抛物线的顶点坐标为（m ，2m －1），即⎩⎨⎧-==． ④， ③12m y m x 当m 的值变化时，x 、y 的值也随之变化，因而y 值也随x 值的变化而变化．把③代入④，得y=2x －1．⑤可见，不论m 取任何实数，抛物线顶点的纵坐标y 和横坐标x 都满足表达式y=2x －1． 解答问题：（1）在上述过程中，由①到②所学的数学方法是 ，其中运用了 公式，由③、④到⑤所用到的数学方法是 ．（2）根据阅读材料提供的方法，确定抛物线y=x 2－2mx ＋2m 2－3m ＋1顶点的纵坐标y 与横坐标x 之间的表达式．【家庭作业】1．抛物线y=－2x 2＋6x －1的顶点坐标为 ，对称轴为 ．2．如图，若a ＜0，b ＞0，c ＜0，则抛物线y=ax 2＋bx ＋c 的大致图象为（ ）3．已知二次函数y=41x 2－25x ＋6，当x= 时，y 最小= ；当x 时，y 随x 的增大而减小．4．抛物线y=2x 2向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线表达式为 ．5．二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则ac 0．（填“＞”、“＜”或“=”＝）。
数学九年级人教版《二次函数y=ax2 bx c的图象和性质》
第二十二章 ·二次函数
二次函数y=ax2+bx+c的 图像和性质
温故知新
二次函数y=a(x+m)2+k的图象和y=ax2的图象之间的关系。
y=ax2(a≠0)图像 当m>0时 向左平移m个单位
y=a(x+m)2
当m<0时 向右平移|m|个单位
当k>0时 向上平移k个单位 y=a(x+m)2+k
b ②若a＜0，当x> 2a 时，y随x的增大而减小；
当x<
b 2a
时，y随x的增大而增大。
知识点详解
（6）抛物线y=ax²+bx+c与坐标轴的交点。 ①抛物线y=ax²+bx+c与y轴的交点坐标为（0，c）。 ②抛物线y=ax²+bx+c与x轴的交点坐标为(x1,0)，(x2,0),其中为x1,x2方程 y=ax²+bx+c的两实数根。
=2(x-2)2-7≥-7 所以当x＝2时，y最小值=-7 。
例题详解
解法二（公式法）：
因为a＝2＞0，抛物线y=2x2-8x+1有最低点，所以y有最小值，
因为
－b
8
4ac b2 4 21 82
2,
7
2a 2 2
4a
42
。
所以当x＝2时，y最小值=-7。 总结：求二次函数最值，有两个方法。 (1)用配方法；(2)用公式法。
二次函数y=-3(x-2)2-4的图象可以y=-3x2的图象向右平移2个单位，再向下 平移4个单位得到对称轴是直线x=2顶点坐标是（2，-4）。
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
-5
顶点坐标：（2，1）
1.抛物线y=x2-4x+3与y轴的交点坐标是 ，
与x轴的交点坐标是
(。1,0)或（3，0）
抛物线与y轴的交 点有什么特征？
(0,3)
抛物线与x轴的交 点有什么特征？
写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：
(1) y 3x2 2x (2) y x2 2x
(3) y 2x2 8x 8
开口方向：向上。
对称轴：x
b 2a
2
2
1 2
2
y
4ac b2 4a
4
1 2
3
(
2
)2
4
1 2
1
顶点坐标：（2，1）
y
1 2
x2
-
2
x
3
（1） y 2x2 - 12x13
解：a
1 2
0
开口方向：向上。
对称轴：x
b 2a
2
2
1 2
2
y
4ac b2 4a
4
1 2
3
(
2
)2
4
1 2
1
顶点坐标：（2，1）
当x<h时,
y随着x的增大而减小。 y随着x的增大而增大。
当x>h时，
当x>h时，
y随着x的增大而增大。 y随着x的增大而减小。
x=h时,y最小值=k
x=h时,y最大值=k
抛物线y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象可由y=ax2的图象通 过上下和左右平移得到.
我们已经知道二次函数y=a(x-h)2+k
的图象和性质，能否利用这些知识
来讨论二次函数 y 1 x2 6x 21图象和
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① a，b同号 ② b=0 ③ a，b异号
对称轴在y轴左侧； 【左同右异】 对称轴是y轴； 对称轴在y轴右侧
例2、已知函数y = ax2 +bx +c的图象如 下图所示，x= 1 为该图象的对称轴，根
3
据图象信息你能得到关于系数a，b，c的 y 一些什么结论？
你能快速地确定下列二次函数的对称轴、顶点 坐标、开口方向并画出它们的草图吗？ 1)y=2x2+3 2)y=4(x-1)2 3) y=2(x+3)2+5
1 2 y x 6 x 21 你能说出二次函数 2
一般画一个二次函数的草图，需要确定哪 几个因素？
的对称轴、顶 点坐标与开口方向吗？如何画出它的图象？
1 3 .
-1
.
1
x
1.抛物线y=2x2+8x-11的顶点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
（C ）
2.不论k 取任何实数，抛物线y=a(x+k)2+k(a≠0) 的顶点都在 （ B） A.直线y = x上 B.直线y = - x上 C.x轴上 D.y轴上 3.若二次函数y=ax2 + 4x+a-1的最小值是2,则a 的值是 （A） • A 4 B. -1 C. 3 D.4或-1
函数y=ax²+bx+c的对称轴、顶点坐标 是什么？
2
b y ax bx c的对称轴是:x 2a 2 b 4ac b 顶点坐标是:( , ) 2a 4a
b 4ac b 2 y a x . 2a 4a
2
用顶点坐标公式求出下列函数的对称轴、顶点坐标：
1 2 y x 6 x 21 2
你知道是怎样配 方的吗？
配 方
(1)“提”：提出二次项系数；
( 2 )“配”：括号内配成完全平方；
（3）“化”：化成顶点式。
1 (x―6) 2 +3 y= — 2
x
1 y ( x 6) 2 3 2
… …
5
3.5
6
3
7
3.5
8
5
9
-3
x
o B -3
x
o C -3
x
o D -3
x
A
B
C
D
函数y=ax² +bx+c的图象和性质：
1)用配方法把它化为顶点式y=a(x-h)2+k ,从而得出它的 对称轴与顶点坐标 2）根据顶点坐标公式
2
b 4ac b 2 y a x . 2a 4a
2
b y ax bx c的对称轴是:x 2a b 4ac b 2 顶点坐标是:( , ) 2a 4a
3）抛物线y=ax² +bx+c位置与系数a，b，c的关系：
作业： 同步练习P102
4—12
C.a+b+c=0
6.若一次函数 y=ax+b 的图象经过第二、三、四 象限，则二次函数 y=ax2+bx-3 的大致图象是 y y y (C ) y
o
A 7.在同一直角坐标系中,二次函数 y=ax2+bx+c 与 一次函数y=ax+c的大致图象可能是 （ C）
y o x o y x o y x o y x
二次函数y=ax2+bx+c图象和性质
南宁市良庆区南晓中学 y 滕少英
o
x
1 2 如何画出 y x 6 x 21的图象呢? 2 我们知道,像y=a(x-h)2+k这样的函数,
容易确定相应抛物线的顶点为(h,k), 对称 1 2 轴为x=h,二次函数 y x 6 x 21是否 2 也能化成这样的形式吗?如果能，怎么化？
y 3x 4 x 1 y 2 x x 3
2 2
请你画出它们的草图
方法归纳
确定二次函数形如y=ax2+bx+c（a≠0)的 对称轴、顶点坐标方法：
1）配方法
2）顶点坐标公式法
知识点归纳
抛物线位置与系数a，b，c的关系： ⑴a决定抛物线的开口方向、开口大小、最高点或 最低点（或者说函数的最值） (2)c决定抛物线与y轴的交点位置： 当c>0 交于y轴的正半轴， 当c=0 抛物线经过原点， 当c<0 交于y轴的负半轴。
4.若二次函数 y=ax2 + b x + c 的图象如下,与x 轴的一个交点为(1,0),则下列各式中不成立 的是（ B ） y 2-4ac>0 - b <0 A.b B. 2a
1 o x D. 4ac-b2 >0-1 4a 5.若把抛物线y = x2 - 2x+1向右平移2个单位,再向 下平移3个单位,得抛物线y=x2+bx+c,则（ B ） A.b=2 c= 6 B.b=-6 , c=6 C.b=-8 c= 6 D.b=-8 , c=18
7.5
… …
y
请你根据图象说 出函数的增减性
直线X=6
10
5
O
5
10
x
归纳
1 2－6x +21图象的 二次函数 y= —x
画法：
2
(1)“化” ：化成顶点式 ； (2)“定”：确定对称轴、顶点坐标、开口方向；
(3)“画”：列表、描点、连线。
用配方法求出下列函数图象的对称轴与顶点坐标。 1) y=-2x2+8x -8 2) y=2x2+8x-6
y ax bx c c 2 b a x x a c
2
提取二次项系数
b 4ac b 2 a x . 2a 4a
2
化简:去掉中括号
2
这个结果通常称为 顶点坐标公式.
b 4ac b 2 y a x . 2a 4a
函数y=ax²+bx+c的顶点是
求次函数y=ax² +bx+c的对称轴和顶点坐标．
配方:
配方:加上再减去 2 b b 2 b 2 c a x x 一次项系数一半 a 2a 2a a 的平方 2 b 4ac b 2 整理:前三项化为平方形 a x 2 式,后两项合并同类项 2a 4a