2010-11-2高等数学试题(A.王雪峰)

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10-11高等数学(工)2期终考试试卷A含答案

《高等数学（工）2》期终试卷A一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．设函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处存在对,x y 的偏导数，则00(,)x f x y =（ B ）．（A ）00000(2,)(,)limx f x x y f x y x∆→-∆-∆ （B ）00000(,)(,)limx f x y f x x y x∆→--∆∆（C ）00000(,)(,)limx f x x y y f x y x∆→+∆+∆-∆ （D ）0000(,)(,)limx x f x y f x y x x →--2．已知(,)(1)arcsin f x y x y =+-1,12x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ B ）．（A ）2（B ）1（C ）8 （D ）153．设可微函数(,)f x y 在点00(,)x y 处取得极小值，则下列结论正确的是（ A ）．（A ）0(,)f x y 在点0y y =处的导数等于零（B ）0(,)f x y 在点0y y =处的导数大于零（C ）0(,)f x y 在点0y y =处的导数小于零（D ）0(,)f x y 在点0y y =处的导数不存在 4．已知曲面224z x y =--上点P 处的切平面平行于平面2210x y z ++-=，则点P 的坐标是（ C ）．（A ）(1,1,2)-（B ）(1,1,2)-（C ）(1,1,2)（D ）(1,1,1)--5．设D 是由圆周224x y +=及y 轴所围成的右半闭区域，则积分2Dxy d σ=⎰⎰（ B ）．（A ）6315（B ）6415（C ）6515（D ）68156．设D 是xo y 平面上以点(1,1)A ，(1,1)B -，(0,0)O 为顶点的三角形闭区域；1D 是D 在第一象限的部分，则(cos sin )Dxy x y dxdy +=⎰⎰（ A ）．（A ）12cos sin D x ydxdy ⎰⎰（B ）12D xydxdy ⎰⎰（C ）12(cos sin )D xy x y dxdy +⎰⎰（D ）07．平面123y z x ++=被三坐标面所割出的有限部分的面积是（ D ）．（A ）4（B ）36（C ）9（D ）728．设Ω是由0x =，0y =，0z =以及21x y z ++=所围成的有界闭区域，且(,,)f x y z 在Ω上连续，则(,,)f x y z dv Ω=⎰⎰⎰（ B ）．（A ）111200(,,)x ydx dy f x y z dz --⎰⎰⎰（B ）11122000(,,)x x y dx dy f x y z dz ---⎰⎰⎰（C ）111(,,)dx dy f x y z dz ⎰⎰⎰（D ）111220(,,)y x y dx dz f x y z dy ---⎰⎰⎰9．设2222:x y z a ∑++=（0z ≥），1∑为∑在第一卦限中的部分，则有（ C ）．（A ）14xdS xdS ∑∑=⎰⎰⎰⎰（B ）14ydS xdS ∑∑=⎰⎰⎰⎰（C ）14zdS xdS ∑∑=⎰⎰⎰⎰（D ）14xyzdS xyzdS ∑∑=⎰⎰⎰⎰10．已知2()()x ay dx ydyx y +++为某个二元函数的全微分，则a 等于（ D ）．（A ）1- （B ）0 （C ）1 （D ）2二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．设向量(2,1,2)=a ，(4,1,10)=-b ，λ=-c b a ，且⊥a c ，则λ=____3_____． 12．设sin xyz e=，则dz =sin cos()()xyexy ydx xdy +； 13．设2sin xz ey y -=+，则2(0,)z x yπ∂=∂∂_______1___． 14．设y z x=，而t x e =，21ty e =-，则d z d t=ttee ---；15．交换积分122001(,)(,)yy dy f x y dx dy f x y dx -+⎰⎰⎰⎰的次序为120(,)x xdx f x y dy -⎰⎰；16．设平面曲线L为下半圆周y =22()Lx y ds +=⎰π三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）． 17．求点(1,2,0)M -在平面:π210x y z +-+=上的投影．过点(1,2,0)-垂直于平面210x y z +-+=的直线方程为12121x y z +-==-，……（2分）参数方程为1,22,x t y t z t =-=+=-代入平面方程得23t =，………………………（4分）所求投影为1102,,333⎛⎫-- ⎪⎝⎭…………………………………………………………………（6分） 18、设(,2,)z f x x y xy =-，f 可微，求z x∂∂，z y∂∂及dz ．1232z f f yf x∂'''=++∂，……………………………………………………………..………..（3分）23z f xf y∂''=-+∂，…..………..………..………..………..………..………..………....……（5分）()()122332dz f f yf dx f xf dy '''''=+++-+…………………………….……..……...……（6分）19．设(,)z z x y =由22z x z y y ϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭所确定，其中ϕ为可微函数，求z x ∂∂，zy ∂∂．解：设22(,,)z F x y z x z y y ϕ⎛⎫=+-⎪⎝⎭，…………………………….………..……….（1分） 2x F x '=，2y z z z z z z F y y y y y y y ϕϕϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''=-⋅-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，122z z z F z y z y y y ϕϕ⎛⎫⎛⎫'''=-⋅=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，………………………………………..…..（4分）22z x xz ϕ∂=-'∂-…..………..………..………..………..………..………..………..……（5分）2z z yyz ϕϕϕ'+∂=-'∂-…………………………….……………………………………...……（6分）20．计算二重积分221Ddxdy x y++⎰⎰，其中D 是由曲线221x y +=所围成的闭区域．选择极坐标系，01:02r D θπ≤≤⎧⎨≤≤⎩…………………………………………………………（1分）221Ddxdyxy++⎰⎰2121r d dr rπθ=+⎰⎰………………………………………………………（3分）()1212ln 12rπ=+…………………………………………………………………………（5分）ln 2π=…………………………………………………………...…………………………（6分）21．计算二重积分()22max ,x yDedxdy ⎰⎰，其中:{(,)|01,01}D x y x y ≤≤≤≤．将积分区域分为1:{(,)|01,0}D x y x y x ≤≤≤≤，2:{(,)|0,01}D x y x y y ≤≤≤≤ ()()222212m ax ,m ax ,x yx yD D I edxdy edxdy =+⎰⎰⎰⎰……..………..………..…..…………………（2分）2212xyD D e dxdy e dxdy =+⎰⎰⎰⎰22110xyxydx e dy dy e dx =+⎰⎰⎰⎰……....………..…………（4分）221101xyxe dx ye dy e =+=-⎰⎰……..………..…………….……..………..……………（6分）22．计算三重积分22()x y dv Ω+⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面z =及平面2z =所围成的闭区域．解：Ω在xo y 面上的投影区域22{(,)|2}xy D x y x y =+≤。

2010-2011学年度第二学期期末数学(文科)试卷

主视图侧视图2010——2011学年度第二学期期末数学（文科）试卷一、选择题（每题5分，合计60分）1．复数34i i +()（其中i 为虚数单位）在复平面上对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．7cos6π=（）A ．12Ｂ．12-C ．2D ．2-3．双曲线2214yx -=的渐近线方程为（）A ．1x =±B ．2y =±C ．2y x =±D ．2x y =±4．记集合M {}24x x =>，N {}230x x x =-≤，则=M N （） A ．{}23x x <≤ Ｂ．{}02x x x ><-或 C ．{}23x x -<≤ D ．{}02x x <<5．下图给出的是计算201614121+⋅⋅⋅+++的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（）A. 9i >B. 10i >C. 11i >D. 12i >6．如图是某几何体的三视图，其中俯视图和侧视图是半径为1的半圆，主视图是个圆，则该几何体的全面积是（） A ．π B ．π2 C ．π3 D ．π47．已知数列{}n a 为等差数列，且π=++1371a a a ，则)t a n (122a a +的值为（）A ．B ．C ．D ．3-8．下列命题中的假命题．．．是（） A ． 0,3<∈∃x R xB ．“0>a ”是“0>a ”的充分不必要条件C ．02,>∈∀x R xD ．若q p ∧为假命题，则p 、q 均为假命题0.00040.00030.00020.00019．已知两个不同的平面α，β和两条不重合的直线m ，n ，在下列四个命题中错误．．的是（）A ．若m ∥α，n =βα ，则m ∥n Ｂ．若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β C ．若m ∥n ，m ⊥α ，则n ⊥α D ．若m ⊥α，m ∥n ，β⊂n ，则α⊥β10．若方程()20f x -=在(,0)-∞内有解，则()y f x =的图象是（）11．在区间()0,1内任取两个实数，则这两个实数的和大于13的概率为A ．1718B ．79C ．29D ．11812．对任意实数,x y ，定义运算x y ax by cxy *=++，其中,,a b c 是常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算。

2010“专升本”《高数》试题及答案

《高等数学》试卷一、单项选择题（每题2分，共计60分，在每小题的备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题干后面的括号内。

不选、错选或多选者，该题无分）1.已知函数)12(-x f 的定义域为]1,0[ ，则)(x f 的定义域为（）A. ]1,21[ B. ]1,1[- C. ]1,0[ D. ]2,1[-解：B x x ⇒≤-≤-⇒≤≤112110.2.)1lg()(2x x x f -+=在),(+∞-∞是（） A ．奇函数 B. 偶函数 C.非奇非偶函数 D. 既奇又偶函数解：01lg )1lg()1lg()()(22==+++-+=-+x x x x x f x f A ⇒. 3. 当0→x 时，x x s i n 2-是x的（） A. 高阶无穷小 B. 低阶无穷小 C. 同阶非等价无穷小 D. 等价无穷小解： 1sin lim20-=-→x x x x ， C ⇒. 4.=+∞→nn n n sin 32lim （）A. ∞B. 2C. 3D. 5 解：B n n n n n n n ⇒=+=+∞→∞→2]sin 32[lim sin 32lim . 5.设函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠-=0,10,1)(2x a x x e x f ax 在0=x 处连续，则 =a （） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 解：B a a a ae x e x f ax x ax x x ⇒=⇒+===-=→→→1122lim 1lim)(lim 20200. 6. 设函数)(x f 在1=x 可导，则=--+→xx f x f x )1()21(lim0 （） A. )1(f ' B. )1(2f ' C. )1(3f ' D. -)1(f '解：x x f f f x f x x f x f x x )1()1()1()21(lim )1()21(lim 00--+-+=--+→→ C f x f x f x f x f x x ⇒'=---+-+=→→)1(3)1()1(lim 2)1()21(lim200 7. 若曲线12+=x y 上点M 处的切线与直线14+=x y 平行，则M 的坐标（）A. （2，5）B. （-2，5）C. （1，2）D.（-1，2）解： A y x x x y ⇒==⇒=⇒='5,5422000.8.设⎪⎩⎪⎨⎧==⎰202cos sin ty du u x t ，则=dx dy （） A. 2t B. t 2 C.-2t D. t 2-解： D t tt t dx dy ⇒-=-=2sin sin 222. 9.已知x x x f n ln )()2(=-，则=)()(x f n （）A.211x+ B. x 1C. x lnD. x x ln 解：B x x f x x f x x x f n n n ⇒=⇒+=⇒=--1)(ln 1)(ln )()()1()2(.10.233222++--=x x x x y 有（）A. 一条垂直渐近线，一条水平渐近线B. 两条垂直渐近线，一条水平渐近线C. 一条垂直渐近线，两条水平渐近线D. 两条垂直渐近线，两条水平渐近线解：A y y y x x x x x x x x y x x x ⇒∞=-==⇒++-+=++--=-→-→∞→2122lim ,4lim ,2lim )2)(1()3)(1(2332 . 11.在下列给定的区间满足罗尔中值定理的是（）A. ]2,0[|,1|-=x yB. ]2,0[,)1(132-=x yC.]2,1[,232+-=x x y D ． ]1,0[,arcsin x x y = 解：由罗尔中值定理条件：连续、可导及端点的函数值相等C ⇒12. 函数x e y -=在区间),(+∞-∞为（）A. 单增且凹B. 单增且凸C. 单减且凹D. 单减且凸解： C e y e y x x ⇒>=''<-='--0,0.13.⎰+=C x F dx x f )()(曲线，则⎰=--dx e f e xx )( （） A.C e F e x x ++--)( B. C e F e x x +---)(C. C e F x +-)(D. C e F x +--)(解：D C e F e d e f dx e f e xx x x x ⇒+-=-=⎰⎰-----)()()()(.14. 设函数x e x f =-')12( ，则 =)(x f （）A. C e x +-1221 B. C e x +-)1(212 C. C e x ++1221 D. C e x ++)1(212解：D C e x f e x f e x f x x x ⇒+=⇒='⇒=-'++)1(21)1(212)()()12(. 15. =⎰b axdx dx darctan （）A.x arctanB. 0C. a b arctan arctan -D. a b arctan arctan + 解：⎰b a xdx arctan 是常数，所以 B xdx dx d ba ⇒=⎰0arctan .16.下列广义积分收敛的为（） A. ⎰+∞1dx e x B. ⎰+∞11dx x C. ⎰+∞+1241dx x D. ⎰+∞1cos xdx 解：C x dx x ⇒-==++∞∞+⎰)21arctan 4(412arctan 4141112π. 17.设区域D 由)(),(,),(,x g y x f y a b b x a x ==>==所围成，则区域D 的面积为（） A. ⎰-b a dx x g x f )]()([ B. ⎰-b a dx x g x f )]()([ C. ⎰-b adx x f x g )]()([ D. ⎰-b adx x g x f |)()(|解：由定积分的几何意义可得D 的面积为 ⎰-badx x g x f |)()(|D ⇒.18. 若直线32311-=+=-z n y x 与平面01343=++-z y x 平行，则常数=n （）A. 2B. 3C. 4D. 5 解： B n n n ⇒=⇒=+-⇒-⊥30943}3,43{}3,,1{.19.设y xy x y x f arcsin)1(),(-+=，则偏导数)1,(x f x '为（） A.2 B.1 C.-1 D.-2 解： B x f x x f x ⇒='⇒=1)1,()1,(. 20. 方程02=-xyz e z 确定函数),(y x f z = ，则x z ∂∂ = （）A. )12(-z x zB. )12(+z x zC. )12(-z x yD. )12(+z x y解：令⇒-='-='⇒-=xy e F yz F xyz e z y x F z z x z 222,),,( A z x zxy xyz yz xy e yz x z z ⇒-=-=-=∂∂⇒)12(222 21.设函数xy y x z +=2，则===11y x dz （）A. dy dx 2+B. dy dx 2-C. dy dx +2D. dy dx -2 解：222x ydx xdy dy x xydx dz -++= A dy dx dx dy dy dx dz y x ⇒+=-++=⇒==2211.22.函数2033222+--=y x xy z 在定义域上（）A.有极大值，无极小值B. 无极大值，有极小值C.有极大值，有极小值D. 无极大值，无极小值解：,6)0,0(),(062,06222-=∂∂⇒=⇒=-=∂∂=-=∂∂x z y x y x y z x y x z⇒=∂∂∂-=∂∂2,6222y x zy z 是极大值A ⇒. 23由012222=+--+y x y x 围成的闭区域D ，则=⎰⎰Ddxdy （）A. πB. 2πC.4πD. 16π解：有二重积分的几何意义知：=⎰⎰Ddxdy 区域D 的面积为π.24累次积分⎰⎰>axa dy y x f dx 0)0(),(交换后为（）A. ⎰⎰a x dx y x f dy 0),( B. ⎰⎰a aydx y x f dy 0),(C. ⎰⎰a a dx y x f dy 0),( D. ⎰⎰a yadx y x f dy 0),(解：积分区域},0|),{(}0,0|),{(a x y a y y x x y a x y x D ≤≤≤≤=≤≤≤≤=B ⇒.25.二重积分⎰⎰20sin 20)sin ,cos (πθθθθrdr r r f d 在直角坐标系下积分区域可表示为（）A. ,222y y x ≤+B. ,222≤+y xC. ,222x y x ≤+D. 220y y x -≤≤ 解：在极坐标下积分区域可表示为：}sin 20,20|),{(θπθθ≤≤≤≤=r r D ，在直角坐标系下边界方程为y y x 222=+，积分区域为右半圆域D ⇒26.设L 为直线1=+y x 坐标从点)0,1(A 到)1,0(B 的有向线段，则⎰-+L dy dx y x )( （） A. 2 B.1 C. -1 D. -2解：L ：,1⎩⎨⎧-==x y xx x 从1变到0 ，⎰⎰⇒-=+=-+012)(D dx dx dy dx y x L . 27.下列级数绝对收敛的是（）A ．∑∞=1sin n n πB ．∑∞=-1sin )1(n n n π C ． ∑∞=-12sin )1(n n n π D ． ∑∞=0cos n n π解： ⇒<22sin n n ππC n n ⇒∑∞=12sin π. 28. 设幂级数n n n n a x a (0∑∞=为常数 ,2,1,0=n ），在 2-=x 处收敛，则∑∞=-0)1(n n na （）A. 绝对收敛B. 条件收敛C. 发散D. 敛散性不确定解：∑∞=0n nn x a 在2-=x 收敛，则在1-=x 绝对收敛，即级数∑∞=-0)1(n n n a 绝对收敛A ⇒.29. 微分方程0sin cos cos sin =+ydx x ydy x 的通解为（） A.C y x =sin cos B. C y x =cos sin C. C y x =sin sin D. C y x =cos cos 解：dx x x dy y y ydx x ydy x sin cos sin cos 0sin cos cos sin -=⇒=+ C C x y x x d y y d ⇒=+⇒-=⇒ln sin ln sin ln sin sin sin sin . 30.微分方程x xe y y y -=-'+''2，特解用特定系数法可设为（） A.x e b ax x y -+=*)( B. x e b ax x y -+=*)(2 C. x e b ax y -+=*)( D. x axe y -=* 解：-1不是微分方程的特征根，x 为一次多项式，可设x e b ax y -+=*)( C ⇒.二、填空题（每题2分，共30分） 31.设 ,1||,01||,1)(⎩⎨⎧>≤=x x x f ，则=)(sin x f _________ 解：1)(sin 1}sin |=⇒≤x f x .32.若=--+→x x x x 231lim 22=_____________ 解：=++=++--=--+→→→)31(1lim )31)(2()2(lim 231lim 2222x x x x x x x x x x x x 123341==. 33.已知x y 2arctan =，则=dy __________ 解：dx xdy 2412+= . 34.函数 bx x a x x f ++=23)(，在1-=x 处取得极值-2，则_______,==b a . 解：b a b a b ax x x f -+-=-=+-⇒++='12,02323)(2.5,4==⇒b a .35.曲线12323-+-=x x x y 的拐点为 __________解：)1,1(),(0662632-=⇒=-=''⇒+-='y x x y x x y .36.设)(),(x g x f 是可微函数，且为某函数的原函数，有1)1(,3)1(==g f 则=-)()(x g x f _________解：2)1()1()()(=-=⇒=-g f C C x g x f 2)()(=-⇒x g x f .37.⎰-=+ππ)sin (32x x _________解：3202sin )sin (023232ππππππππ=+=+=+⎰⎰⎰⎰---x xdx dx x x x . 38.设⎪⎩⎪⎨⎧<≥=0,0,)(2x x x e x f x ，则 ⎰=-20)1(dx x f __________解：⎰⎰⎰⎰--=--=+==-201110012132)()1(e dx e dx x dt t f dx x f x t x .39. 已知 }1,1,2{},2,1,1{-==b a，则向量a 与b 的夹角为=__________解：3,21663||||,cos π>=⇒<==⋅>=<b a b a b a b a.40.空间曲线⎩⎨⎧==022z xy 绕x 轴旋转所得到的曲面方程为 _________.解：把x y 22=中的2y 换成22y z +即得所求曲面方程x y z 222=+.41. 函数y x x z sin 22+=，则 =∂∂∂yx z2_________解： ⇒+=∂∂y x x x z sin 22y x yx z cos 22==∂∂∂ . 42.设区域}11,10|),{(≤≤-≤≤=y x y x D ，则___)(2⎰⎰=-Ddxdy xy . 解：⎰⎰⎰⎰⎰-=-=-=--Ddx x dy x y dx dxdy x y 102101122322)()( .43. 函数2)(x e x f -=在0=x 处的展开成幂级数为________________解： ∑∞=⇒=0!n n xn x e ∑∑∞=∞=-+∞-∞∈-=-==0022),(,!1)1(!)()(2n n n n n x x x n n x e x f .44.幂级数∑∞=+++-0112)1()1(n n n nn x 的和函数为 _________ 解：∑∑∑∞=∞=-+∞=+++=-=+-=+-0111011)21ln()2()1(1)2()1(2)1()1(n n nn n n n n n nx n x n x n x .45.通解为x x e C e C y 321+=-的二阶线性齐次常系数微分方程为_________解：x x e C e C y 321+=-0323,1221=--⇒=-=⇒λλλλ032=-'-''⇒y y y .三、计算题（每小题5分，共40分）46． x x e x xx 2sin 1lim 3202-→-- 解：20300420320161lim 3222lim 81lim 2sin 1lim2222x e x xe x x ex xx e x x x x x x x x x -=+-=--=---→-→-→-→ 161lim 161322lim220000-=-=-=-→-→x x x x e x xe . 47.设x x x y 2sin 2)3(+=，求dxdy解：取对数得：)3ln(2sin ln 2x x x y +=，两边对x 求导得：xx x x x x x y y 3322sin )3ln(2cos 2122++++='所以]3322sin )3ln(2cos 2[)3(222sin 2xx x x x x x x x y x +++++=' xx x x x x x x x x x 2sin )32()3()3ln(2cos )3(212sin 222sin 2+++++=-.48.求 ⎰-dx x x 224解：⎰⎰⎰⎰-===-=dt t tdt tdt t tdx x x tx )2cos 1(2sin 4cos 2cos 2sin 4422sin 222C x x x C t t x C t t +--=+-=+-=242arcsin 2cos sin 22arcsin 22sin 2249.求⎰--+102)2()1ln(dx x x解：⎰⎰⎰+---+=-+=-+101010102)1)(2(12)1ln(21)1ln()2()1ln(dx x x x x x d x dx x x⎰=-=+-+=++--=10102ln 312ln 322ln 12ln 312ln )1121(312ln x x dx x x ..50.设),()2(xy x g y x f z ++= ，其中),(),(v u g t f 是可微函数，求 yzx z ∂∂∂∂,解：xv v g x u u g x y x y x f x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂+∂+'=∂∂)2()2( ),(),()2(2xy x g y xy x g y x f v u'+'++'==∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂+∂+'=∂∂y vv g y u u g y y x y x f y z )2()2(),()2(xy x g x y x f v '++'. 51．计算积分⎰⎰=Dydxdy x I 2 ，其中:D 由直线1,2,===x x y x y 所围成的闭区域.解：积分区域如图所示，可表示为：x y x x 2,10≤≤≤≤.所以 ⎰⎰⎰⎰==1222xx Dydy x dx ydxdy x I10310323)2(10510421022====⎰⎰x dx x y dx x xx52．求幂级数nn nx ∑∞=--+0)1()3(11的收敛区间（不考虑端点）. 解：令t x =-1，级数化为 n n nt ∑∞=-+0)3(11，这是不缺项的标准的幂级数. 因为 313)3(11)3(1lim )3(1)3(1lim lim 11=--+-=-+-+==∞→+∞→+∞→nnn n n n n n n a a ρ，故级数nn nt ∑∞=-+0)3(11的收敛半径31==ρR ，即级数收敛区间为（-3，3）. 对级数nn nx ∑∞=--+0)1()3(11有313<-<-x ，即42<<-x . 故所求级数的收敛区间为），（42-.53．求微分方程 0)12(2=+-+dy x xy dy x 通解.解：微分方程0)12(2=+-+dx x xy dy x 可化为 212xxy x y -=+'，这是一阶线性微分方程，它对应的齐次线性微分方程02=+'y x y 通解为2xCy =.设非齐次线性微分方程的通解为2)(x x C y =，则3)(2)(xx C x C x y -'='，代入方程得C x x x C x x C +-=⇒-='2)(1)(2.故所求方程的通解为2211xCx y +-=.四、应用题（每题7分，共计14分）54.某公司甲乙两厂生产一种产品，甲乙两厂月产量分别为y x ,千件；甲厂月产量成本为5221+-=x x C ，乙厂月产量成本为3222++=y y C ；要使月产量为8千件，且总成本最小，求甲乙两厂最优产量和最低成本？解：由题意可知：总成本8222221++-+=+=y x y x C C C ，约束条件为8=+y x .问题转化为在8=+y x 条件下求总成本C 的最小值 . 由8=+y x 得x y -=8，代入得目标函数为0(882022>+-=x x x C 的整数）.则204-='x C ，令0='C 得唯一驻点为5=x ，此时有04>=''C . 故5=x 使C 得到极小唯一极值点，即最小值点.此时有38,3==C y . 所以甲乙两厂最优产量分别为5千件和3千件，最低成本为38成本单位. 55.求曲线)2)(1(--=x x y 和x 轴所围成图形绕y 轴旋转一周所得的体积. 解：平面图形如下图所示：此立体可看作x 区域绕y利用体积公式⎰=ba y dx x f x V |)(|2π.显然，抛物线与x 两交点分别为（1，0）；（2平面图形在x 轴的下方.故⎰⎰---==21)2)(1(2|)(|2x x x dx x f x V ba y ππ2)4(2)23(2212342123πππ=+--=+--=⎰x x x dx x x x .xx五、证明题（6分）56设)(x f 在],[a a -上连续，且>a ，求证⎰⎰--+=aaadx x f x f dx x f 0)]()([)(.并计算⎰--+441cos ππdx e xx .证明：因为⎰⎰⎰--+=aaaadx x f dx x f dx x f 0)()()(，而⎰⎰⎰⎰-=-=--=-=-0)()()()()(aaa tx a dx x f dt t f t d t f dx x f ，故⎰⎰⎰⎰⎰-+=+=--aaa aa adx x f dx x f dx x f dx x f dx x f 0)()()()()( 即有⎰⎰--+=aaadx x f x f dx x f 0)]()([)(.利用上述公式有dx e e e x dx e x e x dx e x x x x x x x ⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=+-++=+---404044111cos ]1)cos(1cos [1cos ππππ 22sin cos 4040===⎰ππx dx x .说明：由于时间紧，个别题目语言叙述与试卷有点不近相同，没有进行认真检查，考生仅作参考.河南省“专升本”考试《高等数学》辅导专家葛云飞提供.。

2010年成人高考专升本高数(二)试题及答案

2010年成人高等学校招生全国统一考试高等数学（二）答案必须答在答题卡上指定的位置，答在试卷上无效。

一、选择题：1－10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将近选项前的字母填涂在答题卡相应题号的信息点上。

正确答案：A【安通名师解析】根据函数的连续性立即得出结果【安通名师点评】这是计算极限最常见的题型。

在教学中一直被高度重视。

正确答案：C【安通名师解析】使用基本初等函数求导公式【安通名师点评】基本初等函数求导公式是历年必考的内容，我们要求考生必须牢记。

【安通名师解析】根据基本初等函数求导公式和复合函数求导法则【安通名师点评】这样的题目已经练习过多次，属于特别重要内容。

正确答案：D【安通名师解析】如果知道基本初等函数则易知答案；也能根据导数的符号确定【安通名师点评】这是判断函数单调性比较简单的题型。

正确答案：A【安通名师解析】基本积分公式【安通名师点评】这是每年都有的题目。

课堂上讲过练过多次【安通名师点评】用定积分计算平面图形面积在历年考试中，只有一两年未考。

应当也一直是教学的重点正确答案：C【安通名师解析】变上限定积分求导【安通名师点评】这类问题一直是考试的热点，也始终是讲课的重点。

正确答案：D【安通名师解析】把x看成常数，对y求偏导【安通名师点评】本题属于基本题目，是年年考试都有的内容【安通名师点评】古典概型问题的特点是，只要做过一次再做就不难了。

这道题，已经讲过几次。

二、填空题：11－20小题，每小题4分，共40分，把答案写在答题卡相应题号后。

【安通名师解析】直接代公式即可。

【安通名师点评】又一种典型的极限问题，考试的频率很高。

课堂上一直强调公式的重要【安通名师解析】考查等价无穷小的定义【安通名师点评】无穷小量的比较也是重点。

本题是最常见的且比较简单的情况。

【安通名师点评】这道题有点难度，以往试题也少见。

不过在串讲时还是强调了这个内容。

【安通名师解析】求二阶导数并令等于零。

10-11-2《高等数学A(工科数学分析)》第二学期期末考试试卷(精简版)及参考答案

河南理工大学 2010-2011 学年第 2 学期《工科数学分析》(下)试卷（A 卷）一、填空题（共28分，每小题4分）１．函数xyz z xy u -+=32在点()2,1,1处沿方向l （其方向角分别是00060,45,60）的方向导数是 9/2 ．２．设0 < p < 1，计算级数()∑∞=--1121k k p p k =)20(,22<<-p pp3. 函数())sin(,22y x y x f +=在点)0,0(的泰勒公式（到二阶为止）为()()()2222,y x y x y x f +=++=ρρο４．函数()xx f 3=的幂级数展开式为∑∞=0!3ln n nn x n ．5.设()⎰-=22x xxy dy ex F ,则=')(x F ()⎰----+-223522x xxy x x dy ey ex e６．()⎰C ds x =()15532-，其中（C ）为抛物线x y =从点()0,0到点()1,1的一段弧。

7．微分方程()02='+''y y ，满足初始条件1,000='===x x y y 的特解为1ln y +=x 。

二、解答题（共50分，每小题10分）1、设()v u ,Φ具有连续偏导数，函数()y x z ,由隐方程()bz cy az cx --Φ,=0确定，求yz b x z a∂∂+∂∂。

解：将隐方程两边全微分可得：()()()()()0,2121=-⋅Φ'+-⋅Φ'=-⋅Φ'+-⋅Φ'=--Φbdz cdy adz cdx bz cy d az cx d bz cy az cx d ………………………………………………3分整理得：dy b a c dx b a c dz 212211Φ'+Φ'Φ'+Φ'+Φ'Φ'=……………………………………6分所以，212211,Φ'+Φ'Φ'=∂∂Φ'+Φ'Φ'=∂∂b a c y zb ac x z …………………………………………8分 y zb x z a ∂∂+∂∂=c b a c b b a c a =Φ'+Φ'Φ'+Φ'+Φ'Φ'212211,………………………………………10分2、判定正项级数∑⎰∞=+1141n n dx x x的敛散性。

2010-2011 第二学期高等数学期中考试答案

中国矿业大学徐海学院2010－2011学年第二学期《高等数学》（理工类）期中试卷答案一、填空题（每小题3分，共27分）．1. }1,0,0|),{(2≠>≥-x x y x y x2. 43.)2,1(-4. 320y y y '''-+=5.(1,0)2(2)dz edx e dy =++6.22400y x z ⎧-+=⎨=⎩7. 2220y z x +-=8. 2360x y z -++=或(1)2(1)3(1)0x y z +--++= 9. 4二、计算下列偏导数或导数1、已知arctan()z xy =，而x y e =，求d z d x. 解：d z d x =z z dy x y dx ∂∂+∂∂221()1()xy x e xy xy =+++2(1)1()y x xy +=+2、设函数z z x y =(,)由方程e z xy z+=+1所确定，求x z ∂∂，z y ∂∂，∂∂∂2zx y.解：zx x ze yz yz e +==+1,)1( (),e z xz x ez y y z+==+113222)1()1()1(1z zz z y zze xye e e z ye e y x z +-+=+-+=∂∂∂ 或设1),,(--+=xy z e z y x F z,x F y =-,y F x =-1z z F e =+1x x z z F y z F e =-=+，1y y zz F xz F e=-=+ 22231(1)(1)(1)z zz zy z z e ye z z e xye x y e e +-∂+-==∂∂++ 3、设2(,)z f xy x y =+，(,)f u v 具有二阶连续偏导数，求2,z z x x y∂∂∂∂∂.解：''12zyf f x∂=+∂ 2'"''''''111122122(2)2z f y xf yf xf yf x y∂=++++∂∂ 三、计算题1、求过点()4,2,0且与两平面12=+z x 和23=-z y 平行的直线方程. 解：已知两平面的法向量为1(1,0,2),n = 2(0,1,3),n =-则所求直线的方向向量12,,s n s n ⊥⊥12102013i j ks n n =⨯=-(2,3,1),=-则所求直线的方程为024231x y z ---==-。

2010-2011年度高数I试题A答案(经院内招生用)(同济版)

2010-2011年度高数I试题A答案(经院内招生用)(同济版)暨南大学考试试卷一、填空题（将题目的正确答案填写在相应题目划线空白处。

共8小题，每小题2分，共16分）暨南大学《高等数学I 》试卷A 答案及评分（经济学院内招生用）1．2cos limx x tdt x→=⎰2．x →∞-= 03. 极限lim 2sin2n nn x→+∞=x(0x 为不为的常数）4. 函数20 1()2 1 121 2x f x x x x x <⎧⎪=+≤<⎨⎪+≤⎩的间断点是1x =5．设x y a =，则函数的n 阶导数()n y =(ln )n x a a ；6．若21()11x x f x ax x ⎧≤=⎨->⎩ 当a = 2 时，函数)f x （在1x =处可导. 7．已知某工厂生产某种商品，该产品的边际成本函数()3C x '=+，其固定成本为2000（元）则总成本为()20003C x x =++（元）， 8. 1sin dx x =⎰ln csc cot x x c -+二、单选题（在每小题的备选答案中选出一个正确的答案，并将正确答案的号码填在题干的括号内。

共8小题，每小题2分，共16分）1.下列数列中收敛的是（ C ）(A) {}(1)n n - (B) 1n n ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭(C)212n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭ (D) {}(1)n -2.若1lim(21)1x x →-=，则对于任意给定的0ε>，存在（B ）当01x δ<-<时总有(21)1x ε--<成立(A) δε= (B) 2εδ=(C) 3δε= (D) 4δε=解：31232lim lim 12112xx x x x x x x →∞→∞⎛⎫+ ⎪+⎛⎫= ⎪ ⎪+⎝⎭ ⎪+⎝⎭ …………2分 312lim 112xx x x x →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭……………………3分 32123lim 121lim 12xx xx e x e e x →∞→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭===⎛⎫+ ⎪⎝⎭……………………5分2．(1ln lim xx x →+∞+解：()(11ln ln ln 1x xxx e++=……………………………1分而((ln 1lim ln lim lim1ln ln x x x x x x xx→+∞→+∞→+∞+===…………4分于是()1ln 1lim xx x e e →+∞+==………………………………5分3.sin 0x x x-→解：sin x x x -→03sin lim12x x x x →-= ………………………………………………2分21cos lim32x x x →-= ………………………………………………4分sin 1lim33x x x →== ………………………………………5分4．确定常数 a , b ,的值, 使 02 sin 1lim.2ln(1)d xx ba x xt t→-=+⎰解0sin 0x ax x →-→时,0.b ∴=………………………………2分原式=0022sin sin lim lim ln(1)d ln(1)d x x x x ba x x a x x t t t t →→--=++⎰⎰…………………………3分002200cos cos 1limlim ln(1)2x x a x a x x x →→--===+（） ………………………4分故lim cos x a x →-（）=0，从而1a = ………………………5分四、计算题（共4小题,每题6分,共24分）1．由方程1y y xe =+确定的函数()y f x =可导，求y '及 1x y =-''。

【专升本】2010年高等数学(二)及参考答案

绝密★启用前2010年成人高等学校专升本招生全国统一考试高等数学（二）答案必须答在答题卡上指定的位置，答在试卷上无效。

一、选择题：1－10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将近选项前的字母填涂在答题卡相应题号的信息点上。

1.A、 B.0 C. D.—2.设函数，则′=A、2B、1C、D、−3.设函数，则′=A.2B.-2C.D.-4.下列在区间（0，+）内单调减少的是A.y=xB.y=C.y=D.y=5.dx=A.-+CB.+CC.+CD.+C6.曲线y=1-与x轴所围成的平面图形的面积S=A.2B.C.1D.7.已知=dt，则′=A. B.+1 C. D.8.设函数z=，则￨A.0B.C.1D.29.设函数z=，则=A.-B.C.D.10.袋中有8个乒乓球，其中5个白色球，3个黄色球，从中一次任取2个乒乓球，则取出2个球均为白色球的概率为A. B. C. D.二、填空题：11－20小题，每小题4分，共40分，把答案写在答题卡相应题号后。

11、12、当0时，与是等价无穷小量，则13、设函数在点处的极限存在，则a=14、曲线y=+3+1的拐点坐标为15、设函数y=，则=16、设曲线y=ax在x=0处的切线斜率为2，则a=17、=18、=19、=20、函数z=2的驻点坐标为三、解答题：21－28题，共70分。

解答应写出推理、演算步骤，并将其写在答题卡相应题号后。

21、（本题满分8分）计算 .22、（本题满分8分）设y=，求 .23、（本题满分8分）计算。

24、（本题满分8分）计算。

25、（本题满分8分）（1）求常数a .（2）求X的数学期望EX和方差DX.26、（本题满分10分）在半径为R的半圆内作一内接矩形，其中的一边在直径上，另外两个顶点在圆周上（如图所示）.当矩形的长和宽各位多少时，矩形面积最大？最大值是多少？27、（本题满分10分）证明：当x1时，x1.28、（本题满分10分）求二元函数，=++xy，在条件x+2y=4下的极值.绝密★启用前2010年成人高等学校专升本招生全国统一考试高等数学（二）一、选择题：每小题4分，共40分.1. A2. C3. B4. D5. A6. B7. C8.D9.A 10.B二、填空题：每小题4分，共40分.11. 0 12. 113.1 14.15.16. 217.+ C 18. e 119.20.三、解答题：共70分.21.解：=6分= . 8分22.解：y′=′2分= . 6分所以 = y′=8分23.解：=6分=+ C 8分24.解：设 = t，则 =2t . 2分当x=0时，t=0；当x=1时，t=1 . 3分则 =2=2=2t25.解：（1）因为0.2 + 0.1 + 0.3 + a = 1，所以a=0.4 . 3分（2）EX=00.2=1.9 5分 DX=0.2+++0.4=1.29 8分26.解：如图，设x轴通过半圆的直径，y轴垂直且平分直径 .设OA=x，则AB= .矩形面积S=2x . 2分S′=2 -=2 . 6分令S′=0，得x=R （舍去负值）. 8分由于只有一个驻点，根据实际问题，x=R必为所求.则AB=R.所以，当矩形的长为R，宽为R时，矩形面积最大，且最大值S= . 8分27.解：设= x-1-，2分则′=1- .当 x1时，′0，则单调上升 .所以当x1时，= 0. 6分即 x-1-0 ，得 x6分28.解：设F，， =，= . 4分令，①，②，③8分由①与②消去得x=0，代入③得y = 2 .所以函数，的极值为4 . 10分。

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2010—2011 学年第二学期期末考试试题（卷）
科
目
高等数学（A）
试卷类型
A
考试班级
10 级五、解答下列各题(本大题共 3 小题，每小题 8 分，总计 24 分)
四、解答下列各题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，总计 18 分) 1、利用二重积分计算由曲面 z 学号：线的曲顶柱体的体积.
a 0上
装订线以内不准作任何标记
装订
姓名：
2、计算二重积分
x y dxdy ，其中 D :
D
x y 1.
2、试将函数
y
x 3x 1
2
x 5x 6
2
展开为 x 的幂级数.来自班级：西安科技大学
院系：
装
订线
3、已知是 z
x y
u
n 1

n
vn
（B）
u
n 1

n
vn
（C）
u v
n n 1

n
（D）
u
n 1

n
vn

3、设曲线积分装订线以内不准作任何标记则
xy dx yf ( x)dy 与路径无关， f ( x) 具有连续导数，且 f (0) 0 ，
（C）圆周
（D）椭圆 ).
一、填空题（将正确答案填在横线上）(本大题分 5 小题，每小题 4 分，共 20 分) 1、设 z 线学号：
1
u
n 1
n
v
n 1

n
都发散，则下列级数中哪一个必发散(
ln
y y
x y
2
2
，则 dz

．
.
装订
2、
dy
0
sin x x
2 L
dx
（A）
2
2
上
z 1 的部分曲面。试计算 1 4 zdS .
3、求内接于半径为 R 的球且具有最大体积的圆柱体的尺寸.
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科
目
高等数学（A） A
考试性质临潼
考试
命题
试题库 10 级
审批成绩
2010—2011 学年第二学期期末考试试题（卷）
4、曲面 x
2
y z a
2 2

2
与x
2
y 2az (a 0) 的交线是(
2
).
试卷类型
考试地点
学生班级
（A）抛物线 5、若级数
（B）双曲线和
6 x y , x y 1, x 0, y 0, z 0 所围成
2 2
1、计算曲线积分从O
0, 0 到 A 2 a, 0 的弧段.
式中 L 是 2a y dx xdy ， y a 1 cos t
L
x a t sin t
2 3 3 2
在对应于 t
1点处的切线方程.
4 条性质：①连续；②两个偏导数连
续；③可微；④两个偏导数存在，则有( （A） ② ③ ① （C） ③ ④ ① 3、负梯度方向是方向导数取得（（A）极大值（B）最小值
（B） ③ ② ① （D） ③ ① ④ ）的方向，梯度的模是方向导数的最大值．（C）最大值（D）极小值
（B） I 3
)．
西安科技大学
院系：
（A） I1
I 2 I1 ；
（C） I1
I3 I 2 ；
（D） I 3
I1 I 2
装
2、考察二元函数
f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处的下面
).
3、求曲线 x
3t t , y t t , z 2t 4t
z x
.
惯量的公式为 5、如果 lim
n
an an 1
2 ，则幂级数 an x 1
n0
在开区间
内绝对收敛． 2、设 z
二、选择题（将选项填在括号内）(本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分) 1、设平面区域 D 由直线 x
z (t ) 由 x y z e z , xe x tan t , y cos t 所确定，试求
.
三、解答下列各题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，总计 18 分)
f ( x)
4、占有区域为 D ，密度为
姓名：
x, y 的平面薄片对于直线 L : ax by c 0 的转动
．
n
1、设 z

ts ts
，其中 t
3 x y , s x 3 y ，求
dz dt
t 0
.
班级：
0 ， y 0 ， x y 1 2 ， x y 1 围成，若
I1
ln x y
D
7
d ， I 2
x y
D
7
d ， I 3
sin x y
D
7
d ,
订线
则 I1 ,
I 2 , I 3 之间的关系是( I 2 I3 ；